Об асимптотике коэффициентов Тейлора функций с аналитическими особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

, «ЙЬ

ОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ________ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

(Госкомвуз России)

КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ--

Специализированный совет K0S4.C1.01

На правах рукописи

Орлов Александр Геннадьевич

ОБ АСИМПТОТИКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕЙЛОРА ФУНКЦИЙ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ОСОБЕННОСТЯМИ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I

Красноярск —1995

Работа выполнена в Красноярском Государственном Университете Научный руководитель д.ф.-м.н., 1Ц>офессор Них А.К.

Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук,

профессор Маергойз Л.С.; доктор физик»математических наук, профессор Егорычев Г.П.

Ведущая организация: Институт математики с Вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, г.Уфа

Зашита состоится 10 марта 1995 года в 1500 час на заседании специализированного совета К064.61.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Красноярском Государственном Университете по адресу: 660062, Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского Государственного Университета.

Автореферат разослан 1995 года.

Ученый секретарь

специализированного совета ^ /7

кандидат физико-математических наук 6' 1 '-'^ТГК. Лсйнартас.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Необходимость исследования агашптотичес-ого поведения последовательности коэффициентов Тейлора стиму-нрована многочисленными вопросами современной математики и еоритической физики. В частности, задача комбинаторного анали-а об оценке сложности алгоритма требует для своего решения выделения асимптотики коэффициентов Тейлора определенного клас-

я туиниИ. л ГГр?*"*"**"* ,и»'И»»»т1 »адмиЧ»««»

ахождения решения х 6. 5гг~1 системы уравнении < >= • • • =< х,<&кх >— О,

де Фj — положительно определенные матрицы размерности лхп, озникают алгебраические функции

\ J = 1 J rn, ,...,mk>0

оэффициенты Тейлора q{m) которых обладают асимптотическими войствами, обеспечивающими необходимую скорость сходимости .лгоритма (смотри, например, статью "Barvinok A.I. Feasibility test-ng for systems of rea] quadratic equations// Proc. 24 Symp. Theor. :omput. ACM Press, 1992. PP 126-132").

Вюрым аспектом, вызьшаювшмшиерес ь этой проблематике. лв-¡яется теория устойчивости цифровых рекурсивных фильтров (см. Даджион Д., Мерсеро О. Цифровая обработка многомерных сигна-юв. М: Мир, 1988."). Такие фильтры определяются своей переда-

очттой функцией G(z-¡____, zn ) следующим образом: входной сигнал.

[редставляюший собой кратную последовательность х = х(к..., :„), преобразуется в выходной сигнал у = y(ki,..., к„) в соответчики с равенством Y = G ■ X, где X и Y — производящие функции юследовательностей х{к\,..., кп) и у{к\,..., кп), a G ■ X — произведение степенных рядов. Фильтр называется устойчивым, если >н всякую ограниченную последовательность преобразует в огра-шченную же последовательность. Достаточно, легко показать, что

фильтр устойчив тогда и только тогда, когда сходится ряд

£ \g(ki,...,kn)\

измодулейкоэффидиентов Тейлораg{ki,..., кп) передаточной фу шш G(zi,...,zn). Тем самым, вопрос об устойчивости фильтра с дится к проблеме асимптотических оценок коэффициентов g(ki,. <кп). Первые шаги в исследовании этой проблемы были сделаны Дуанкаре и продолжены в работах Гуда (I. J. Good, 1957), Ш.А. , утова (1981), А.И. Макосия (1985), А.К. Лиха (1991).

Цель настоящей диссертации состоит в исследовании асимпто ческого поведения коэффициентов Тейлора д(к\,..., кп) алгебра ческих и мероморфных функций, составляющих важный подклас классе голоморфных функций с аналитическими множествами о бенностей.

Методика исследования. Применительно к мероморфным функ ям исследование основано на многомерном аналоге следующего ф та для функций одного переменного (п = 1): асимптотика пос довательности д(к) определяется вычетами подынтегральной др| G(z)/zk+1 в ближайших к точке г — 0 полюсах функции G{z). 1 многозначных алгебраических функций вклад в асимптотику ко фидиентов д(к) также дают интегралы по контурам вблизи ближ пшх особых точек, сводящиеся к эталонному интегралу леммы В сона. Стартуя от интегрального представления Коши для юээф| циентов Тейлора,. в диссертации доказываются две общие теорс (теоремы 3.1 и 7.1), позволяющие свести n-мерный интеграл Кс к ,

(I) (п—1)-мерномуинтегралу, представляющемусобойинтег] вычет-формы Jlepe по росткам полярных множеств в ближ ших точках в случае однозначных функций;

(И) (п — 1)-мерному интегралу, который определяется разло нием Пюто исходной функции, если она многозначна.

Указанные (га — 1)-мерные интегралы приводятся к осииллир; пгим интегралам с многомерным параметром к = ..., кп) и. их исследования использованы:

— связь асимптотики осциллирующего интеграла и геометри« ких характеристик многогранника Ньютона его фазы;

— специально разработанный метод асимптотической оц« кратных осциллирующих интегралов, зависящих от многомерн

араметра, согласно которому исследование асимптотического по-едения интеграла необходимо проводить вдоль одномерных парабо--тчгетпгх хфивмх—лежащих в области значений параметра. Данный одход был предложен А.К. Цихом для одномерных интегралов. з<-.-исяших от двумерного параметра.

С помощью этих теорем описана структура асимптотического ло-.едения коэффициентов Тейлора мероморфных и алгебраических | уккш-ш. найдены условия абсолютной сходимости рядя из кочфАи-тентов Тейлора для некоторых классов таких функций. т.е. условие :ходимости ряда (1).

Маотпап кинпзт. ________,.: ' "* "птшови VГлmHtЯ яб-

■олютной сходимости "т™

гческих функций двух переменных. Полученные асимптотические шенки для коэф клиентов Тейлора алгебраических функций двух пе->еменных и мероморфных функций многих переменных в "пэраболи-1еских областях" являются новыми. Обобщен асимптотический ме-:од А.К. Циха вычисления одномерных интегралов, зависящих от шумерного параметра на кратные осциллирующие интегралы, зашедшие от многомерного параметра.

Практическая и тсоритическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы в теории устойчивости цифровых рекурсивных фильтров, в комбинаторном анализе — опенка сложности хлгоритма. в теории дифференциальных уравнешп! — поиск асим-ттотических решении.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях:

— Студент гг научно-технический прогресс - Новосибирск., 1992

Теории потенциала — Капяв»»лпи. 199?.

Ре-О'льтаты диссертации также неоднократно докладывались на научных семинарах Красноярского Государственного Университета и Института Физики им. Л.В. Киренского (1988-1994 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в

работах ¡1-4].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения. предварительных сведений и основного текста — глав 1 гг 2. Каждая глава разбита на шесть параграфов. Диссертационная работа изложена на 87 страницах. Библиография содержит 40 наименований отечественной и зарубежной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткое изложение содержания диссертация а также указаны некоторые предварительные сведения.

1. Первая глава посвящена вопросам асимптотического поведени последовательности коэффициентов Тейлора алгебраических функ ций одного и многих переменных, уточняются некоторые классичес кие результаты.

В §2 рассматриваются алгебраические функции одного перемен ного. Вводится понятие ближайших особых точек и доказывается

теорема 2.1. Коэффициенты Тейлора д(к) алгебраическое функции f(z), голоморфной в пуле, при к -г ос допускают асим птотическое разложение

где hv{k) - ряды Дюизо с конечным числом положительных сте пеней к, имеющие вид

здесь а„, Ви — величины, определяющие главный члег Ви (а„ — и)а" ряда 11юизо функции / в точке а„, т. е. член наименьшим показателем аи из всех ненатуральных показапи лей ряда Пюизо для /, а р — расстояние от нуля до ближайши особых точек и„ (т.е. |а„| = р).

Данный результат является обобщением известной теоремы Ха{ ди-Литтлвуда 1930 г. применительно к алгебраическим функция! говорящей о том, чго если ряд

з

д(к)~^1ЬЛк)а1,-к+0((р + еГк), е>0

i/=i

Ь„(к) = -^¡Ц- а«" *Г<а"+1> + о (k-^+V) ; ■ч Па.,} V /

со

к-й

сходится при < 1, существует предел

lim (1-;)"7(:) = B5¿0

и, кроме того,

k(ck - Ck~i) >-с, с> О,

"----• ■ /г—1.1 1-----------

П-о)

Далее рассматриваются алгебрзичеткие фунпши п переменных, где ч > 2. голоморфные в начале координат, множество особенностей которых —комплексная гиперповерхность V —пересекает замкнутый единичный поликрут

гтп = Ье Cn : ]2j|<l, j = 1,...,п},

в конечном числе точек ... кяв.щхегсягладкгг; а i,.^ ках.

В §3 основным результатом является теорема 3.1, указывающая общую интегральную формулу для коэффициентов Тейлора, которая позволяет локализовать задачу.

ТЕОРЕМА 3.1. Коэффициенты Тейлора д(к) алгебраической

функции двух т1с,ре.чеппых /("), ■««ожество особенностей которой. комплексная кривая V, пересекает U~ в конечном числе точек .....допускают разложение в сумму вкладов

g(k) ~ g(-l>(k) + ---+g{mHk). (2)

определяемых ростками вещественной поверхность

в monvar пересечения Вклады имеют слсдр*гш,г\ь

вид

л»(к) = _L_ f WWW ■

v / (27г)"-1 J /фМГМ1*1 е{<к'^>

|s-smkf v ^ >l

где = arg z^l'>, а аналитическая функция и ряд Люиао

^ '(l^j) в окрестности z^ определяются рядом

т=0 •

то

Существование указанного в теореме разложения в ряд Пюизо для функций многих переменных доказано Удовичич.

§4 посвящен детальному изучению двумерного случая. Для простоты будем считать, что пересечения множества особенностей алгебраической функции двух переменных с замкнутым единичным би «9угом и2 состоит из одной точки г'1) = (1,1), что согласно резуль татам §3 не ограничивает общности. Пусть 8 — порядок касания комплексной кривой V и II2, а ¡1 — порядок касания V и гиперболь = 1 в точке Основным результатом данного параграфе является теорема 4.1, которая дает асимптотические оценки для ко эффициентов Тейлора, основывающиеся на следующих двух фактах

a) формула для асимптотики коэффициентов Тейлора алгебр?, ических функций одного переменного (теорема 2.1);

b) аналог ряда Пюизо для алгебраических функций в С" с глад ким множеством особенностей.

Результаты, касающиеся структуры асимптотического поведени последовательности д(к), уточняют исследования А. Пуанкаре [22] который предлагал изучать последовательность вдоль диагональ ных направлений ¿2 — ак\. Оказывается, весьма полезную дополни тельную информацию о поведении д(к) на бесконечности (например касающейся сходимости ряда (0.1)) можно получить при исс ледова нии ее вдоль "параболических" направлений

Ьк2 ~акх = ±к1~сг, сг>0.

Теорема 4.1 позволяет распространить па алгебраические фуш; юш результаты А.К. Циха для мероморфных функций, указывая н полную аналогию качественной стороны асимптотического поводе вид коэффициентов Тейлора мероморфшлх и алгебраических фуш, шш двух переменных. А именно, качественное поведение асимптот! ки коэффициентов д(к) таково, что массив номеров

м2 = {(*!, А-2)}

"разбивается" на две области: П', представляющую собой объеш некие конечного числа "параболических" областей

в которой д(к) убывает степенным образом, и область П" = в"которойг](к)убывает^ экспоненциально. Геометрические характеристики "параболических" оолга-тсй зависят-лишь ох характеристик д и о множества особенностей, а порядки стеленного упыпаштгт—--------------

(возрастания) в них — от порядков убывания (возрастания) гамой алгебраической функции в точках г^'.

В §5 решается задача об абсолютной сходимости ряда (1). Ответ на поставленный вопрос очевиден, если алгебраическая гиперповерхность У, являющаяся множеством особенностей алгебратеской —1° °тинич1Шйпол1пгруг 11™ спеятромзнуле. В этом случае пос^.^д-г^т^тин^ь ГГ ояд (1) расхо-

дится. Если же V пе пересекает залшхутыи ■ ^игг"^™ *■> '' ••

то коэффициенты Тейлора эхспонешшально убывают, следовательно, ряд (1) сходится. Поэтому достаточно рассмотреть лишь случай, когда У пересекает только остов поликруга

Тп = {г€<Сп : = 1, ^ =

В этой ситуации сходи;,гость ряда (1) эквивалентна абсолютной сходимости ряда Тейлора в замыкании С/71. При п — 2 ответ на поставленный вопрос дает

Теорема 5.1. Если алгебраическая функция принадлежит классу Гёльдсра с показателем 1/2 на замкнутом единичном очхругс и~, ее множество особенностей пересекает [Г- лнгиь в конечном числе точек и является гладким в этих точках, то для нее ряд из модулей коэффициентов Тейлора, сходится, а при. любом мсиписм показателе существует алгеорихчесхая функции, дли которой уко.юнчыК ряд расходится.

Заметил, что теорема 5.1 остаток герноИ. если условие г«льд<»-ровости на и2 заменить условием гёльдеровости па остове бикруг«, ,:г,111)лк;1т?л1,ко потребовав непрерывность функции на О2. Непрерывность функции на и- является необходимым условием сходимости ряда (0.1). Для таких функций ряд Тейлора отождествляется с рядом Фурье на Т2. Поэтому результат теоремы 5.1 уместно сравнить с известными фактами:

(*) ряд из коэффициентов Фурье сходится абсолютно для функций класса С2(Т2);

сушествует пример функции класса С1(Т2) с неабсолютно сходящимся рядом Фзфье.

Таким образом, первое утверждение теоремы показывает, что вопрос об абсолютной сходимости ряда Фурье на Т2 для алгебраических функций решается более благоприятно, чем для любых функций.

2. Вторая глава диссертации посвящена обобщению результатов А.К. Циха на мероморфные функции многих переменных

п, ^ -

- 7ГГ-г,

голоморфных в начале координат, множество особенностей которых

У = {2 6 С'1 : <3(2) = 0}

пересекает замкнутый единичный поликруг с центром в нуле по конечному множеству точек ....

В §7 доказывается вычетная формула для асимптотики коэффициентов Тейлора, позволяющая понизить кратность интеграла Коши для коэффициентов. А именно, пусть

ич- -

где — ростки в точках

вещественной (п —1)-мерной поверхности (0.3), аЯеву —вычет дифференциальной формы относительно полюса V. Тогда верна

теорема 7.1. Последовательности д{к) и д(к) отличаются на экспоненциально убывающую последовательность:

|?(*)-$(*)!< Л о<17<1,

причем г} не зависит от к.

Далее, выделены две основные ситуации: (¿) множество особенностей мероморфной функции обладает свойством гладкости^ точках пересечения г^Н^ = 1 ,...,т) (и) множество особенностей является объединением конечного числа комплексных гиперплоскостей.

Для класса функций, удовлетворяющих условию (i), изучение 1Симптотиче( кого поведения последовательности коэффициентов Гейлора у(.\'1. ._. ., А-п) проведено в §8 вдоль лучевых направлений ви-ia

kt = {I к\,..., кп) t N" : ',<,-, — ljk\, j = 2. .... п \ . k\ ос.

~ле вектор / = (Ь.....tn) £ фиксированный. Ввиду теоре-

.гы 7.1 nnyi^HW последовательности д{к) сводится к исследованию »симптотичегких вкладов ц точках л-"', а преобразованием —>

= 1,. -.. п, каждутоточку ¿^ можно перевести в точку 1' 1.....I4,. охватывается следующей теоремой

Теорема 8.1. ¡¿ели ¿тэже«.-»»«» исиХсллсс-*?* " ной функции

«■>■ш

пересекает Un в единственной точке z^ = (1,..., 1) и является гладким в этой точке, то последовательность коэффициентов Тейлора g(k) этой функции.

(1) убывает экспоненциально одоль любого луча kt, отличного от критического, соответствующего значениям tj — ^ (j ~ 2,..., п), где aj — коэффициенты, касательной плоскости в точке ¿^ множества V;

(2) допускает степенную оценку >иг критическом луче, при этом если сужение

имеет Я-невырожденнун~> глтпуо ряда. Тейлора,

то >та степенная оценка следующая:

|<7(fc)| < const kir (In kx)m , 0 < m < n - 2,

iderb r —- удаленность многогранников Ньютона функций Р\у и rt\v, а число т — коразмерность центра границы многогранника Ньютона функции Г\]у/ если к тому же функция G принадлежит классу

Гельдера Hx(Un), то на

критическом луче

п— I

\g(k)\ < const - ,

¿de S — порядок касания V и Тп в точке z^.

С помощью разделения особенностей к теореме 8.1 сводится слу чай мероморфной функции

ад- Р(г)

ог'М-да-м'

для которой каждая из гиперповерхностей Т у = {<5-, = 0} пересека ст £/п в единственной точке (теорема 8.2).

В §9 для класса функций, удовлетворяющих условию (и), пол ностью выяснена структура асимптотического повеления последова тельностп коэффициентов Тейлора.

Пусть множество особенностей мероморфной функции ) явл* ется комплексная гиперплоскость, т.е.

Р(:)

С(-) = да^у гле = °о + + •"' + ап ¿п,

к гиперплоскость = 0 пересекает [7П в единственной точке ; (1..... 1). Введем порядки

д^Р

и обозначим

/3 = тт (/3, + 2д).

0<9<а—1

Заметим, что величины и /3 зависят от свойств числителя знаменателя одновременно. Теперь в массиве ГЧГ1 параметров к опр делим два типа областей, связанных лишь со знаменателем <5, точн с коэффициентами а\,..., ап. А именно, пусть

П(а) = Пл(а) = е РГ : Щ ~ ^ < з = 2,..., п|

£}'(&) = 1ЧП \ П(сг)

-дополнительная область. В указанных обозначениях имеет место

теорема 9.1. 1) Последовательность коэффициентов Тейлора g(k) функции G допускает степенную оценку

\g(k)| < const |fcj"-1 ^ в области Q(<r)~npit ~<r>--------------

и .экспоненциальную оценку

!</(£)! < const ехр {—С к\~2<Т) я области W((T) при о < —

(здесь С — не зависящая от к константа).

г-»п i, п., миОи^к.^ Avukuuu G схо-

дится, если

/3 > 2а.

Теорема 9.1 обобщена на случай, когда знаменатель мероморф-ной функции представляет собой произведение нескольких линейных множителей в целых степенях (теорема 9.2).

§10 носит вспомогательный характер. В нем доказан ряд свойств коэффициентов комплексных гиперплоскостей, пересекающих замкнутый единичный полюсруг в единственной точке. Для таких гиперплоскостей доказан морсовский характер их касания с остовом поликрута (лемма 10.2).

В §11 уточняются асимптотические опенки, полученные А.К. Ци-хом для коэффициентов Тейлора рациональных функций двух переменных вдоль специальных диагональных направлений g(pk.qk). (p,g€N).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Получено полное описание асимптотического поведения коэффициентов Тейлора алгебраических функций одного переменного.

2. Найдены асимптотические оценки для коэффициентов Тейлора алгебраических функций двух переменных с гладким множеством особенностей.

3. Определены условия абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Тейлора алгебраических функций двух переменных с гладким множеством особенностей.

4. Исследовано асимптотическое поведение диагональных последовательностей коэффициентов Тейлора мероморфных функций многих переменных.

5. Описана структура асимптотического поведения коэффициентов Тейлора мероморфных функций многих переменных с линейным множеством особенностей.

6. Найдены условия абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Тейлора мероморфных функций многих переменных с линейным множеством особенностей.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Орлов А.Г. Условия абсолютной сводимости ряда из коэффициентов Тейлора алгебраических функций двух переменных / / Материалы XXX МНСК. Математика. Новосиб. ун-т. Новосибирск, 1992. С. 59-63.

2. Орлов А.Г. Об асимптотике коэффициентов Тейлора рациональных функций двух переменных // Известия Вузов. Математика. Казань, 1993 N6(373). С. 26-33.

3. Орлов А.Г. Об асимптотике коэффициентов Тейлора мероморфных функиий многих переменных // Многомерный комплексный анализ. Межвузовский сборник.. Краснояр. ун-т, Красноярск, 1994. С. 116-146.

4. орлов А.Г. Об асимптотике коэффициентов Тейлора алгебраически! функций // Сиб. Мат. Журнал. Новосибирск, 1994. N5. С. 1125-1137.

В заключение хотелось бы отметить, что работа выполнялась при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований — грант 93-01-00258.