О рациональности z-преобразования решений многомерных разностных уравнений и их асимптотике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

003481800

На правах рукописи

Ляпин Александр Петрович

О РАЦИОНАЛЬНОСТИ ¿-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ АСИМПТОТИКЕ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 2009

Работа выполнена в Институте математики Сибирского федерального университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Лейнартас Евгений Константинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Майергойз Лев Сергеевич

Ведущая организация:

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева

Защита диссертации состоится 13 ноября 2009 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан 12 октября 2009 г.

доктор физико-математических наук, профессор Чуешев Виктор Васильевич

Ученый секретарь диссертационного совета

Н. А. Бушуева

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Теория конечно-разностных уравнений развивалась параллельно с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и в случае линейных уравнений имеет вполне законченный вид. Она нашла широкое применение как в теории дискретных динамических систем, так и в перечислительном комбинаторном анализе.

В многомерном случае ситуация значительно сложнее и сколько-нибудь законченной общей теории конечно-разностных уравнений не создано. Отметим работу H. Levy, F. Lessman1, в которой для двумерного случая рассмотрены способы построения общих решений для некоторых видов разностных уравнений.

В монографии Д. Даджиона и О. Мерсеро2 двумерные разностные уравнения использовались в теории цифровой обработки многомерных сигналов для конструирования цифровых рекурсивных фильтров. В случае двух переменных задача об устойчивости цифрового рекурсивного фильтра решена в работе А.К. Циха3.

В работе M. Bousquet-Melou, M. Petkovsek4 многомерные разностные уравнения изучались с точки зрения применения к задачам перечислительного комбинаторного анализа. В ней сформулирована задача Коши для многомерного линейного разностного уравнения и доказана теорема существования и единственности решения этой задачи.

В работе Е.К. Лейнартаса5 приведена формула для решения задачи Коши с использованием понятия фундаментального решения.

Метод z-преобразования (метод производящих функций) является мощным средством исследования разностных уравнений как в теории дискретных динамических систем, так и в перечислительном комбинаторном анализе. Важный и естественный с точки зрения комбинаторики вопрос, решаемый в работе M. Bousquet-Melou и M. Petkovsek, состоит в том, как

1 Levy H., Lessman F. Finite différence équations. London. Pitman LTD. 1959.

2Даджион Д., Мерсеро О. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988. 488 с.

3Цих А.К, Условия абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Тейлора мероморфных функций двух переменных // Мат. сб. 1981. Т. 182. № 11. С. 1588-1612.

4Bousquet-Mélou M., Petkovsek M. Linear récurrences with constant coefficients: the multivariate case // Discrète Mathematics. 2000. V. 225. P. 51-75.

5 Лейнартас Е.К. Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения линейных разностных уравнений

// Сиб. мат. журнал. 2007. Т. 48. X' 2. С. 335-340.

^-преобразование решения разностного уравнения зависит от г-преобразо-вания начальных данных.

Последовательности Риордана впервые появились в работе L.W. Shapiro, S. Getu, W.-J. Woan, L. Woodson6 в связи с изучением групп Риордана и были определены с помощью ^-преобразования. В работах D. Baccherini, D. Merlini, R. Sprugnoli7 показано, что такими последовательностями {г(х, у)} описывается число путей на целочисленной решетке, количество узлов деревьев с помеченными вершинами на некотором уровне («level generating trees»), количество последовательностей Блума8 длины х, имеющих у изолированных элементов. Также последовательность Риордана возникает в задаче о расстановке фигур на шахматной доске, изучавшейся в работах М. Abramson, W. Moser9 и Г.П. Егорычева10. За последние годы появилось значительное число работ по данной тематике.

В одномерном случае известно, что z-преобразование числовой последовательности является рациональной функцией тогда и только тогда, когда эта последовательность удовлетворяет линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами. В многомерной ситуации это утверждение, вообще говоря, неверно. С другой стороны, рациональные функции являются простейшим из «наиболее полезных» классов производящих функций, согласно иерархии, предложенной Р. Стенли11: {рациональные производящие функции} С {алгебраические производящие функции} С {D-конечные производящие функции}.

Класс .D-конечных производящих рядов представляется наиболее естественным с точки зрения перечислительного комбинаторного анализа, потому что, в частности, он замкнут относительно таких операций (преобразований) над кратными рядами, как нахождение сечения ряда и его диагонали, композиции Адамара и композиции Гурвица степенных рядов12. Отметим,

'Shapiro L.W., Getu S., Woan W.-J., Woodson L. The Eiordan group // Discrete Applied Mathematics. 1991. V. 34. P. 229-239.

'Baccherini D., Merlini D., Sprugnoli R., Level generation trees and proper Riordan arrays // Applicable Analysis and Discrete Mathemamatics. 2008. № 2. P. 69-91 ; Merlini D. Generating functions for the area below some lattice paths // Disc. Math, and Th. Comp. S, AC. 2003. P. 217-228.

8Bloom D.M., Singles in a Sequence of Coin Tosses // The College Mathematics Journal. 1998. P. 307-344.

9Abramsori M., Moser W. Combinations, successions and the n-kings problem // Math. Mag. 1966. V. 39. № 5. P. 269-273.

10Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. Новосибирск: Наука, 1977. 288 с.

11 Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990. 440 с. ; Его же. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции. М.: Мир, 2005. 767 с.

"Lipshits L. D-finite power series // J. Algebra. 1989. V. 122. P. 353-373.

что вопрос о рациональности (и алгебраичности) z-преобразования для диагональных многомерных последовательной (многомерных аналогов композиции Адамара и Гурвица) рассматривался в работах А.К. Циха, К.В. Сафонова, Е.К. Лейнартаса, М.М. Елина, Т.М. Садыкова.

Исследование асимптотики решений многомерных разностных уравнений имеет большое значение не только в комбинаторном анализе, но и в теории обработки многомерных цифровых сигналов, в частности, при исследовании устойчивости цифровых рекурсивных фильтров13. В многомерном случае возникает ряд трудностей принципиального характера, одной из которых считается отсутствие понятия кратного асимптотического ряда. Один из способов исследования асимптотического поведения кратной последовательности f(x), х — (хi,..., хп) 6 Z" - это изучение асимптотики на «диагоналях» х = кр, где р - фиксированная точка из Z", а к = 0,1,2,____

В работе А.Г. Орлова14 методы, предложенные А.К. Цихом, применялись для получения асимптотических оценок коэффициентов Тейлора алгебраических и мероморфных функций двух переменных. В случае функций с полюсами на объединении конечного числа гиперплоскостей оценки на коэффициенты Тейлора типа «О-большое» впервые приведены для п = 2 в заметке А.И. Макосия15, а для п > 2 рассмотрены в упомянутых работах А.Г. Орлова. Этот случай представляет большой интерес с точки зрения перечислительного комбинаторного анализа. Например, в задачах о числе решеточных путей и задаче о покрытии костями домино соответствующая производящая функция представляет собой, как показано в работах R. Pemantle, М. Wilson16, рациональную функцию двух переменных, знаменатель которой представляет собой произведение линейных множителей. Получившая существенное развитие в работах М. Forsberg, М. Passare и А.К. Циха17 теория амеб была применена в работах Е.К. Лейнартаса, М. Passare и А.К. Циха18 к исследо-

13Цих А.К. Цит. выше.

14 Орлов А.Г. Об асимптотике коэффициентов Тейлора рациональных функций двух переменных // Изв. вузов. Матем. 1993. № 6. С. 26-33.

15Макосий А.И. К вопросу об асимптотике коэффициентов ряда Тейлора // Многомерный комплексный анализ. Красноярск: ИФ СО АН СССР. 1985. С. 224-227.

16Pemantle R., Wilson М. Asyraptotics for multivariate sequences, part I: smooth points of the singular variety // J. Comb. Th. Series A97. P. 129-161.

17Forsberg M., Passare M., Tsikh A.. Laurent Determinants and Arrangements of Hyperplane Amoebas // Advances in Math. 2000. V. 151. P. 45-70.

18Лейнартас E.K., Пассаре M., Цих A.K. Асимптотика многомерных разностных уравнений // УМН. 2005. Т. 60. № 5. С. 171-172 ; Их же. Многомерные версии теоремы Пуанкаре для разностных уравнений // Мат. сборник. 2008. Т. 199. № 10. С. 87-104.

ванию асимптотики решений многомерных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Таким образом, рассматриваемые вопросы теории многомерных разностных уравнений являются актуальными.

Цель диссертации

Цель настоящей диссертационной работы - исследовать 2-преобразование и асимптотику некоторых типов линейных разностных уравнений, возникающих в перечислительном комбинаторном анализе.

Методы исследования

В исследовании наряду с общими методами комплексного анализа использовалась также понятия, как многогранник Ньютона характеристического многочлена разностного уравнения, амеба многочлена и ее связь с разложениями рациональной функции в ряды Лорана. Доказательство алгебраичности преобразования Гурвица кратного ряда существенно опирается на понятие параметрического вычета Гротендика19. В основе исследований асимптотики решений многомерных разностных уравнений лежит многомерная версия теоремы Пуанкаре, полученная в совместной работе Е.К. Лейнартаса, М. Пас-саре и А.К. Циха. В теореме об асимптотике фундаментальных решений используется теорема Е.К. Лейнартаса20 о разложении рациональной функции на простейшие дроби.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность

Результаты диссертации представляют теоретический и практический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе, в теории многомерных разностных уравнений и перечислительной комбинаторике.

19Сафонов К.В., Цих А.К. Об особенностях пареметрического вычета Гротендика и диагонали двойного степенного ряда // Изв. вузов. Матем. 1984. № 4. С. 51-58.

30Лейнартас Е.К. О разложении рациональных функций многих переменных на простейшие дроби // Изв. вузов. Математика. 1978. № 10. С. 47-52.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались: на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу под руководством профессоров A.M. Кытманова и А.К. Циха (2002-2009 гг.), на Международных научных студенческих конференциях в Новосибирском государственном университете (Новосибирск, 2001, 2002, 2004 гг.), на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию Ю.Г. Решетня-ка (Новосибирск, 2004 г.), на Международной школе-конференции, посвященной памяти И.П. Митюка (Краснодар, 2005 г.), на летней школе-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу при Ярославском государственном педагогическом университете им. К.Д. Ушинского (Ярославль, 2009 г.), на Международной конференции «Аналитические функции многих комплексных переменных» (Красноярск, 2009 г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, заключения и списка литературы из 52 наименований. Работа изложена на 78 страницах.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) и Государственного фонда естественных наук Китая (ГФЕН) в рамках совместного проекта «Комплексный анализ и его приложения» (проект №08-01-92208_ГФЕН) и гранта Сибирского федерального университета.

Содержание работы

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Во введении приводится общая характеристика диссертации, а также кратко излагается содержание диссертации, указывается ее актуальность и научная новизна.

Первая глава диссертации посвящена описанию рациональных последовательностей Риордана как решений двумерных разностных уравнений специального вида.

В первом параграфе приведены общие сведения из теории многомерных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, а также формулы для отыскания решений таких уравнений, полученные в работах Б.К. Лей-нартаса, М. Пассаре и А.К. Циха, необходимые для изложения дальнейших результатов.

Обозначим через х = (xi,..., хп) точки n-мерной целочисленной решетки Zn = Z х ... х Z, где Z — множество целых чисел, и А = {а} — конечное подмножество точек из Z™.

Разностным уравнением относительно неизвестной функции fix) целочисленных аргументов х = (xi,... , х„) с постоянными коэффициентами са называется соотношение вида

£са/(х + а) = 0, (1)

а йА

где са — некоторые постоянные коэффициенты из поля С. Z" - положительный октант в U1

Характеристическим многочленом для разностного уравнения (1) назовем многочлен P{z) ■= са%а, где za = z"1... z%n, z = (zi,..., zn) e Cn. aeA

Многогранником Ньютона Яр многочлена P называется выпуклая оболочка в К" элементов множества А. Зафиксируем т = (mi,... , ran) € ЯР П Ъп и обозначим Хт — Z" \ (m+Z™). Далее, пусть : Хт ->С - некоторая заданная функция.

Сформулируем задачу: найти решение уравнения (1), совпадающее на Хт с функцией (р:

/(х) = <р(х), х 6 Хт. (2)

Во втором параграфе приведено решение многомерного разностного уравнения вида

п

/(х + /) - + в! + ... [?]... + еп) = О,

3=1

где х € Z", I = (1,1,..., 1), Cj € С, a ej — это n-мерный единичный вектор, у которого только j-ая координата равна 1, а остальные координаты равны нулю, j = 1,...,п.

В третьем параграфе рассматривается понятие последовательности Ри-ордана, введенное в работе L.W. Shapiro и др. в связи с изучением групп Риордана, которое в дальнейшем нашло широкое применение в различных задачах перечислительного комбинаторного анализа.

оо оо

Пусть dk, hk е С и d(z) = dkzи h(z) = £ hkz~k~l - ряды Лорана, fc=0 fc=0

вообще говоря, формальные.

Определение 1.1. Последовательностью Риордана, ассоциированной с парой d{z),h{z), называется последовательность {г(х,у),(х,у) € Z+}, производящая функция T>(z, w) которой имеет вид

v ' w-h(z) ¿s vjy+l v ' y=o

Определение 1.2. Последовательность Риордана называется рациональной, если ряд h(z) является разложением в окрестности бесконечно удален-

Q(z) т

ной точки рациональной функции h(z) = . , где P(z) = caiZQ,Q(z) =

а=о

caoza — многочлены от z £ Си Сид ф 0.

а

В четвертом параграфе приведен один из основных результатов диссертации: дано описание рациональных последовательностей Риордана как решений задачи Коши для двумерных разностных уравнений.

Теорема 1.2. Двойная последовательность {r(x,y)}(x,y)ez\, является рациональной последовательностью Риордана, определяемой парой d(z) и h(z) = тогда и только тогда, когда она является решением задачи Коши для разностного уравнения

[P(Sl)-ö2-Q(S1)}r(x,y)^Q, г(х, у) = <р(х, у), (х, у) £ Хт,ь где функция <р(х,у) задана на множестве Хтд следующим образом:

ф,у) :=Res|d(0 (щ)^*} ■

В пятом параграфе приведены некоторые многомерные разностные уравнения и связанные с ними рациональные последовательности Риордана, возникающие в ряде задач перечислительного комбинаторного анализа.

Вторая глава посвящена изучию ¿-преобразования некоторых кратных последовательностей.

Производящая функция (¿-преобразование) функции /(ж) целочисленных аргументов х € определяется следующим образом:

где/ = (М,•••,!),

хе%1

В первом параграфе приведен многомерный аналог теоремы Муавра для возвратных степенных рядов. А. Муавр рассмотрел под названием возвратных рядов степенные ряды ао + а\г + . ■ ■ + + ... с коэффициентами ах, 02,..., а*, • ■ образующими возвратную последовательность, т.е. удовлетворяющими соотношению вида

СоО-т+р + С1<1т+р+1 + . . . + Стйр = 0, р = О, 1, 2, . . . ,

где ^ — некоторые постоянные. Оказалось, что такие ряды всегда сходятся к рациональным функциям.

Для формулировки многомерного варианта теоремы Муавра о рациональности ¿-преобразования решения разностного уравнения нам потребуются следующие обозначения.

Рассмотрим всевозможные наборы 7 = (31,32, ■■• ,1п)> где л 6 {0,1}, г — 1,... ,п. Каждому такому набору J сопоставим «грань» Г/ целочисленного прямоугольника Пт = {х <= : 0 < Хк ^ Шк, к = 1,..., п} следующим образом: Г./ = {х е Пт : Хк = тк, если Зк = 1, и Хк < тк, если зк = 0}.

Пусть Ф(г) = У) ~гг ~ производящая функция начальных данных задачи (1)-(2). Для т £ГJ обозначим суммы

!/=0 те Г]

Если функцию ц>(х) начальных данных продолжить из множества на Ъ\ нулем, тогда Ф(г) = £ ФДг)-

Теорема 2.2. Производящая функция Р(х) решения задачи (1)-(2) и производящая функция начальных данных Ф(г) связаны соотношением

Р(гЩг) = £ £

I тeГJ

где многочлены Рг{г) умеют вид РТ(г) = ^ сага, а запись а ^ т означает,

аеА а^т

что а = (аь а2) б2^\{аб2г:0< су ^ т,,] = 1,2}. Из этой теоремы легко получается

Теорема 2.3. Производящая функция ^(г) решения задачи (1)-(2) рациональна тогда и только тогда, когда рациональна производящая функция Ф(г) начальных данных.

Во втором параграфе приведены некоторые результаты, связанные с композицией Гурвица степенных рядов, а также вариант обобщения композиции Гурвцица для многомерных степенных рядов, полученный М.М. Елиным21. Теорема Гурвица о сложении особенностей относится к числу значимых результатов в теории распределения особенностей голоморфных функций одного переменного.

Будем рассматривать кратные ряды Лорана вида

/м = Е % Ф) € с, (3)

аЧЩ

которые сходятся в некоторой окрестности {г £ Сп : > Щ,] = 1,... ,тг} бесконечно удаленной точки. Ряду (3) поставим в соответствие кратный степенной ряд

аи.гч

который называется преобразованием Бореля ряда (3), при этом сами функции /и^ называются ассоциированными по Борелю. Композиция Гурвица для двух однократных рядов вида

/м = Е$п » <4>

а=0 0=0

определяется, например, в работе Л. Бибербаха22 следующим образом:

тп=0 \а+/3=т )

21Елин М.М. Многомерный аналог композиции Гурвица // Изв. вузов. Магем. 1985. №2. С. 22-27.

22Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967. 240 с.

и задача состоит в том, чтобы по известным особым точкам функций /(г) и д(г), определенных рядами (4), найти особые точки композиции Приведем теорему Гурвица о сложении особенностей, решающую эту задачу, в изложении Бибербаха. Но прежде нам понадобятся следующие определения.

Суммой множеств А\ и Ач назовем дополнение теоретико-множественной суммы А!г + А!2 = {а^ + а12 : а^ € А[, а'2 € А'2} до всей комплексной плоскости:

Теорема (Гурвиц, 1899) Если функция ¡{¿) голоморфна в области А, содержащей множество {\г\ > Г1}, а функция д(г) голоморфна в области В, содержащей множество {|г| > г2}, то функция Ь,{г) голоморфна в связной части открытого множества А® В, содержащей внешность круга {\г\ >п + г2}-

Отметим, что композиция Гурвица (5) тесно связана с имеющим важное значение в теории распределения особенностей голоморфных функций преобразованием Бореля степенных рядов. А именно, если -Р(г) и — верхние функции преобразования Бореля функций ¡(г) и д(г) соответственно, тогда их произведение

является верхней функцией преобразования Бореля композиции Гурвица (5) рядов /(*) и д(г).

В третьем параграфе приведен вариант обобщения конструкции Гурвица для п > 1, который естественным образом связан с преобразованием Бореля кратных степенных рядов и многомерными аналогами теоремы Полна.

Определение 2.1. Для фиксированного вектора А = (А1,...,АП) 6 Сп назовем преобразованием Гурвица ряда (3) однократный ряд вида

Данная конструкция является обобщением классической композиции Гурвица степенных рядов. Действительно, при п = 2, /(г\,г2) = 1{^{)д{г2) и А = (1,1) из соотношения (6) получим (5).

А1 ф Л2 := (4 + А'2)', где А'= С\ А.

Подмножество комплексной плоскости Л С С назовем козвездой, если оно содержит некоторую окрестность бесконечно удаленной точки и его дополнение С \ А до комплексной плоскости является звездой. Отметим, что для любого набора козвезд А^,] = 1,..., п и вектора Л = (Ах,..., А„) € С" множество вида Л^х © ... © ХпАп := С \ {А^ 4- ■ ■ • + ХпА'п} также является козвездой.

Одним из основных результатов данного параграфа является следующая Теорема 2.5. Пусть А^,^ = 1,... ,п - козввздные области. Если функция

голоморфна в области вида А1Х.. ,хАп С С", то ее преобразование Гурвица голоморфно в козвездной области А1А1 © ... © ХпАп С С.

Для п = 1 классическая композиция Гурвица (5) рациональных функций /(2) и д(г) является рациональной функцией (см. книгу Л. Бибербаха), причем ее особые точки получаются путем сложения особых точек функций (4). Для п = 2, вообще говоря, из рациональности функции не следует рациональность ее преобразования Гурвица. В четвертом параграфе показано, что преобразование Гурвица рациональной функции для п — 2 всегда является функцией алгебраической.

Теорема 2.6. При п = 2 преобразование Гурвица (6) рациональной функции Р(г)/<5(г), голоморфной в бесконечно удаленной точке, является алгебраической функцией, особые точки которой содержатся в множестве точек £ € С вида

В третьей главе описана асимптотика некоторых многомерных последовательностей.

В первом параграфе получена асимптотика рациональных последовательностей Риордана, причем доказательство существенно опирается на факт,

£ = А]21 4- А2г2, где (21,2:2) ~ решения системы уравнений

= АаС&Огьгг) - = 0.

что рациональные последовательности Риордана являются решениями двумерного разностного уравнения специального вида, и на результаты работ Лейнартаса Е.К., Пассаре М., Циха А.К.

Для дальнейшего изложения потребуется понятие амебы многочлена и некоторые её свойства.

Амебой Ar многочлена R(z) называется образ множества V = {г 6 С" : R(z) = 0} при логарифмическом проектировании

Log : Oi,..., zn) (log |zi|,... ,log |zn|).

Дополнение к амебе состоит из конечного числа связных компонент, ограниченного снизу числом вершин многогранника Ньютона, а сверху — числом целых точек пересечения Aq П Zn. Кроме того23, каждой вершине v многогранника Ньютона можно сопоставить непустую связную компоненту Еи дополнения амебы Aq и разложение в ряд Лорана функции 1/Q(z), сходящееся в Log-1 Ev.

Отметим лишь, что Emii — это компонента дополнения амебы, соответствующая вершине многогранника Ньютона (m, 1), для которой сформулирована задача Коши, а через Птд обозначен конус, порожденный векторами {(т,1) - (тьт2)}, где (ti,t2)

Теорема 3.1. Пусть функция d(z) голоморфна вне особых точек функции h(z) = Если все корни многочленов P(z) и Q(z) простые и раз-P{z)

личные по модулю (каждого многочлена в отдельности) и граница амебы характеристического многочлена R(z, w) = P(z) • w — Q(z) гладкая, тогда для всякого направления (p,q) £ Int Отд существует единственная точка (zq (p/q) ,и>о (p/q)), такая, что ее логарифмический образ Log(zo, Wq) G дЕт д, и

г(х' У)--/n^^L v , z = Ар, у = Ад, А -> оо,

у2ir\qH(z0)

Q{z) P(z) q z P{z) q\ qj z2

23Forsberg M., Passare M., Tsikh A. Laurent Determinants and Arrangements of Hyperplane Amoebas // Advances in Math. 2000. V. 151. P. 45-70.

Отметим, что точка (zo,u>o) удовлетворяет системе уравнений

' P(z)w - Q(z) = 0, < (P'(z) Q'(z)\_p ( \P(z) Q(z) / q

Во втором и третьем параграфах найдена асимптотика фундаментальных решений многомерных разностных уравнений.

Пусть P(z, w) = Pi(z,w)-.. .-Pm(z,w) - произведение многочленов от переменных (z, w) 6 С2 вида Pi{z, w) = zw — biZ — c^w, di > 0,6; > 0, i = 1,..., m.

Вершине v — (m, m) многогранника Ньютона Л/р соответствует непустая

компонента Ev, в которой рациональная функция -у разлагается в ряд

Лорана:

1 = \р f(x, у)

v ' ' (i,y)eК„+к

где Ки — конус, построенный на векторах v — а, где a G Л/р.

После замены переменных 2 —> -, w —» — получим разложение в начале

2 w

координат в ряд Тейлора рациональной функции

F{z,v>) = -Ri---= Е (?)

П(1 -CLiZ-biW) (х,у)ё2% i—1

Таким образом, задача об отыскании асимптотики фундаментальных решений разностных уравнений вида P(<$i, «УДх, у) — 0 сводится к отысканию асимптотики коэффициентов Тейлора рациональной функции F(z, w) с линейными особенностями.

Рассмотрим ситуацию при дополнительном ограничении: система прямых Vi = {1 — a,iZ — biU> = 0}^ находится в общем положении в том смысле, что любые две из них пересекаются, а любые три - не пересекаются.

Обозначим Ро = z и Pm+i = w. Пусть многоугольник М С определен системой линейных неравенств Pi(z, w) > 0, i = 0,..., т + 1. Пусть (zi, Wi) - решение системы уравнений Pj(z, w) = qzPz(z, w) — pwPw(z, w) = 0 для i=l,...,m, a (Zij,Wij) - это решение системы линейных уравнений Pi(z,w) = Pj(z,w) = 0 с определителем Д^ = afij — оД ф 0, г ф j, и ij = l,...,m, а через PZ)PW обозначены производные от P{z,w) по переменным z и w соответственно.

Определим в положительном октанте конусы двух видов: К. = {(Р. 9) 6 М?. : тпвхгртч = тах.ерги9 =

1 Т М Vi

% = {(Р. ?) 6 : тах^ш' =

Асимптотику коэффициентов Тейлора /(я, у) функции F(z,гu) описывает

Теорема 3.3. Для рациональной функции вида (7) почти для любой (р, д)-диагонали х = &р, у = А; —► +оо справедлива асимптотическая формула

д.. , ух+1 „«+1 ' если(р,<г)€Пу+1 1 р 1 д

где г, =--, ад = т--- решение системы Qi = дг(^г — рм(2ш = О,

а; р + д ЩР + д Аг^+г - определитель системы линейных уравнений (¿г = <Э,+1 = 0, пара

(я»,¿+1,1^+1) - решение этой системы, а с,- - некоторая константа. Основные результаты

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1) приведено описание рациональных последовательностей Риордана как решений задачи Коши для некоторого класса двумерных разностных уравнений,

2) найдена формула для ¿-преобразования решения задачи Коши для многомерного разностного уравнения (при некоторых ограничениях на многогранник Ньютона) и приведено необходимое и достаточное условие рациональности данного ^-преобразования,

3) для многомерного аналога композиции Гурвица получена оценка на область, в которую эта композиция аналитически продолжается и для случая двух переменных доказана алгебраичность данной композиции,

4) найден главный член асимптотики рациональных последовательностей Риордана и исследована асимптотика фундаментального решения некоторого класса двумерных линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Работы автора по теме диссертации

[1] Ляпин А.П. Об асимптотике числа расстановок фигур на шахматной доске // Международная школа конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию ак. Ю.Г. Решетняка: тез. докладов. Новосибирск, 2004. С. 171-172.

[2] Ляпин А.П. Обобщенная композиция Гурвица диагонального вида // Комплексный анализ и его приложения: Тез. докладов Международной школы-конференции, посвященной памяти профессора И.П. Митю-ка. Краснодар, 2005. С. 71-72.

[3] Ляпин А.П. О рациональности многомерных возвратных рядов // Тезисы международной конференции «Аналитические функции многих комплексных переменных». Красноярск, 2009. С. 24-25.

[4] Ляпин А.П. Об одном варианте многомерной композиции Гурвица // Вопросы математического анализа: сб. научных статей. Вып. 9. Красноярск, КГТУ, 2006, с. 26-34.

[5] Ляпин А.П. Асимптотика коэффициентов Тейлора рациональной функции двух переменных с линейным множеством особенностей // Вестник КрасГУ. Физико-математические науки. 2006. №1. С. 93-97.

[6] Ляпин А.П. Последовательности Риордана и двумерные разностные уравнения // Журнал СФУ. Математика и физика. 2009. Т. 2. № 2. С. 210-220.

Подписано в печать 05.10.2009. Формат 60 х 84!/16. Печать оперативная. "Усл. печ. л. 1,25. Тираж 110 экз. Заказ

Отпечатано в ИПК СФУ. 660041, Красноярск, пр. Свободный, 82.

Введение

1. Разностные уравнения и последовательности Риордана

1.1. Задача Коши для многомерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами.

1.2. Обобщение основного рекуррентного соотношения.

1.3. Последовательности Риордана, ассоциированные с парой рядов Лорана.

1.4. Описание рациональных последовательностей Риордана как решений двумерных разностных уравнений.

1.5. Примеры рациональных последовательностей Риордана

2. О рациональности ^-преобразования решений многомерных разностных уравнений и преобразования Гурвица

2.1. Рациональные производящие функции решений задачи Коши для многомерных разностных уравнений.

2.2. Известные обобщения классической композиции Гурвица двух рядов на многомерный случай.

2.3. Преобразование Гурвица кратных рядов Лорана.

2.4. Алгебраичность преобразования Гурвица рациональных функций.

3. Асимптотика решений некоторых разностных уравнений

3.1. Асимптотика рациональных последовательностей Риордана

3.2. Асимптотика фундаментальных решений двумерных разностных уравнений специального вида.

3.3. Разложение на простейшие дроби и асимптотика коэффициентов рациональных функций.

Теория конечно-разиостных уравнений развивалась параллельно с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и в случае линейных уравнений имеет вполне законченный вид. Она нашла широкое применение как в теории дискретных динамических систем, так и в перечислительном комбинаторном анализе.

В многомерном случае ситуация значительно сложнее и сколько-нибудь законченной общей теории конечно-разностных уравнений не создано. Отметим работу Н. Levy, F. Lessman (1959 г.), в которой для двумерного случая рассмотрены способы построения общих решений для некоторых видов разностных уравнений ([36]). В монографии Д. Даджиоиа и О. Мер-серо (1988 г.) двумерные разностные уравнения использовались в теории цифровой обработки многомерных сигналов для конструирования цифровых рекурсивных фильтров ([3]). В случае двух переменных задача об устойчивости цифрового рекурсивного фильтра решена в работе А.К. Ци-ха (1991 г.).

В работе М. Bousquet-Melou, М. Petkovsek многомерные разностные уравнения изучались с точки зрения применения к задачам перечислительного комбинаторного анализа. В пей сформулирована задача Коши для многомерного линейного разностного уравнения и доказана теорема существования и единственности решения этой задачи ([32]).

В работе Е.К. Лейнартаса (2007 г.) приведена формула для решения задачи Коши с использованием понятия фундаментального решения ([10]).

Метод ^-преобразования (метод производящих функций) является мощным средством исследования разностных уравнений как в теории дискретных динамических систем, так и в перечислительном комбинаторном анализе. Важный и естественный с точки зрения комбинаторики вопрос, решаемый в работе М. Bousquet-Melou и М. Petkovsek, состоит в том, как ^-преобразование решения разностного уравнения зависит от z-преобразования начальных данных.

Последовательности Риордана впервые появились в работе L.W. Shapiro, S. Getu, W.-J. Woan, L. Woodson (1991 г.) в связи с изучением групп Риордана и определяются с помощью своего z-преобразования ([42]). В работах D. Baccherini, D. Merlini, R. Sprugnoli показано, что такими последовательностями г(х,у) описывается число путей на целочисленной решетке ([38]), количество узлов деревьев с помеченными вершинами на некотором уровне («level generating trees», [30]), количество последовательностей Блума длины х, имеющих у изолированных элементов (см. [30], [31]). Также последовательность Риордана возникает в задаче о расстановке фигур на шахматной доске, изучавшейся в работах М. Abramson, W. Moser и Г.П. Егорычева ([29], [4]). За последние годы появилось значительное число работ по данной тематике.

В одномерном случае известно, что ^-преобразование последовательности является рациональной функцией тогда и только тогда, когда эта последовательность удовлетворяет разностному уравнению с постоянными коэффициентами. В многомерной ситуации это утверждение, вообще говоря, неверно. С другой стороны, рациональные функции являются простейшим из «наиболее полезных» классов производящих функций, согласно иерархии, предложенной Р. Стенли: {рациональные производящие функции} С {алгебраические производящие функции} С {Z^-конечные производящие функции} (см. [22, 23, 32]).

Класс .D-конечных производящих рядов представляется наиболее естественным с точки зрения перечислительного комбинаторного анализа, потому что, в частности, он замкнут относительно таких операций (преобразований) над кратными рядами, как нахождение сечения ряда и его диагонали, композиции Адамара и композиции Гурвица степенных рядов см. работу L. Lipshitz, [37] 1989 г.). Отметим, что вопрос о рациональности (и алгебраичности) ^-преобразования для диагональных многомерных последовательной (многомерных аналогов композиции Адамара и Гурвица) рассматривался в работах А.К. Циха, К.В. Сафонова, Е.К. Лейнартаса, М.М. Блина, Т.М. Садыкова ([5, 6, 11, 13, 21]).

Исследование асимптотики решений многомерных разностных уравнений, имеет большое значение не только в комбинаторном анализе, но и в теории обработки многомерных цифровых сигналов, в частности, при исследовании устойчивости цифровых рекурсивных фильтров ([27]). В многомерном случае возникает ряд трудностей принципиального характера, одной из которых считается отсутствие понятия кратного асимптотического ряда. Один из способов исследования асимптотического поведения кратной последовательности f(x), х = (жх,. :хп) 6 Z™ - это изучение асимптотики на «диагоналях» х — кр, где р - фиксированная точка из а к = 0,1,2,.

В работах [16] и [17] методы работы [27] применялись для получения асимптотических оценок коэффициентов Тейлора алгебраических и меро-морфных функций двух переменных. В случае функций с полюсами на объединении конечного числа гиперплоскостей оценки на коэффициенты Тейлора типа «О-болыпое» впервые приведены для п = 2 в [15], а для п > 2 рассмотрены в [17]. Этот случай представляет большой интерес с точки зрения перечислительного комбинаторного анализа. Например, в задачах о числе решеточных путей и задаче о покрытии костями домино соответствующая производящая функция представляет собой, как показано в работах R. Pemantle, М. Wilson, рациональную функцию двух переменных, знаменатель которой — произведение линейных множителей ([40, 43, 51]). Получившая существенное развитие в работах М. Forsberg, М. Passare и А.К. Циха теория амеб ([33]) была применена в работах Е.К. Лейнартаса, М. Passare и А.К. Циха ([7, 8]) к исследованию асимптотики решений многомерных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Цель настоящей диссертационной работы - исследовать ^-преобразование и асимптотику некоторых типов линейных разностных уравнений, возникающих в перечислительном комбинаторном анализе.

Результаты диссертации докладывались:

• на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному аналргзу под руководством профессоров A.M. Кытманова и А.К. Циха (2002-2009 гг.),

• на Международных научных студенческих конференциях в Новосибирском государственном университете (Новосибирск, 2001, 2002, 2004 гг.),

• на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию ак. Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 2004 г.),

• на Международной школе-конференции, посвященной памяти профессора И.П. Митюка (Краснодар, 2005 г.),

• на летней школе-конфереиции по алгебраической геометрии и комплексному анализу при Ярославском государственном педагогическом университете им. К.Д. Ушинского (Ярославль, 2009 г.),

• на Международной конференции «Аналитические функции многих комплексных переменных» (Красноярск, 2009 г.).

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Первая глава диссертации посвящена описанию рациональных последовательностей Риордана как решений двумерных разностных уравнений специального вида.

В первом параграфе приведены общие сведения из теории многомерных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, а также формулы для отыскания решений таких уравнений, полученные в работах [7, 8, 9, 10], необходимые для изложения дальнейших результатов.

Обозначим через ж = (жх, .,жп) точки n-мерной целочисленной решетки Ъп = Z х . х Z, где Z — множество целых чисел, и А — {а} — конечное подмножество точек из Z™. Отметим, что для х = (жх,. , жп),т = (тх,., тп) £ Zn запись х ^ т означает, что жх ^ гах,., жп ^ тп, запись х ^ т означает, что х 6 Z™ \ (га + Z").

Разностным уравнением относительно неизвестной функции /(ж) целочисленных аргументов х = (жх, ■■■jXn) с постоянными коэффициентами са называется соотношение вида где са — некоторые постоянные коэффициенты из поля С.

Характеристическим многочленом для разностного уравнения (0.1) назовем многочлен P(z) ^ caza, где za — z^y . z = (zi,., zn) £

Cn, а через Cn обозначено n-мерное комплексное пространство.

В случае п — 1 известно (см., например, [2]), что всякое решение уравнения (1) является линейной комбинацией решений вида /(ж) = Xs s — 0,., к — 1, где £ — корень характеристического многочлена кратности к. Следовательно, размерность пространства решений конечна и равна степени характеристического многочлена Р{Л).

Для п > 1 подобный ответ невозможен, так как характеристическое множество V бесконечно. Для описания пространства решений уравнения (0.1) нам потребуются такие понятия как многогранник Ньютона и амеба многочлена. Соответствующие определения и необходимые сведения взяты из [33].

Многогранником Ньютона Afp многочлена Р называется выпуклая оболочка в М" элементов множества А.

Зафиксируем т = (гах,тп) £ Мр П Zn и обозначим Хт = Ъ\ \ (га + Z"). Далее, пусть ip : Хт —> С — некоторая заданная функция.

Сформулируем задачу: найти решение уравнения (0.1), совпадающее на Хгп с функцией ip\

0.1) аеА аеА ж) = <р(ж), х е X,

0.2)

Условия на точку га е Л/*р П 7U1, обеспечивающие существование и единственность решения задачи (0.1)-(0.2), исследовались в работе [32] (без использования понятия многогранника Ньютона) и могут быть сформулированы следующим образом.

Если вершина т многогранника Ньютона удовлетворяет условию т + Щ)пЛГР = {т}, то задача (0.1)-(0.2) имеет единственное решение. Решение V(x) разностного уравнения cQV{x + a) = <50(а;), xeZn, аеА где . . Г 0, если ж^О,

5о(®) = \ 1 п

I 1, если х = О называется фундаментальным решением. Продолжим функцию ф на Zn: ф(х), если х eZTr О, если х £ 11Т и определим функцию [i следующим образом: fi(x) — спф(х + а), х € Z". аеА

Пусть S — {х Е Zn : существует а € А такое, что х + а € a S+ = S П Ъ\ и S- = S \ S+. Определим функцию / Ф): х е S-, [О, х f Sи отметим, что = 0 для ж € Z".

Обозначим БиррЯ = {ж £ Z71 : ^(ж) т^ 0} — носитель функции "Р.

Теорема (Е.К. Лейнартас, 2007). Если существует фундаментальное решение разностного уравнения, удовлетворяющее условиям: ф{х)

771

Jmi

771

Jm

• для любого х 6 Z+ множество Supp V Г\(х — S-) состоит из конечного числа точек;

• для любого х € множество SxxppV П (х — 5+) = 0, то функция удовлетворяет уравнению (0.1) и начальным данным (0.2).

Во втором параграфе приведено решение многомерного разностного уравнения вида где х G Z", / = (1,1,., 1), cj е С, а е7- — это n-мерный единичный вектор, у которого только j-ая координата равна 1, а остальные координаты равны нулю, j = 1,. ,72.

Во третьем параграфе рассматривается понятие последовательности Риордана, введенное в работе [42] в связи с изучением групп Риордана, которое в дальнейшем нашло широкое применение в таких задачах перечислительного комбинаторного анализа, как задача о числе путей на целочисленной решетке ([38]), о производящих деревьях с помеченными вершинами («level generating trees», [30]), о расстановке фигур на шахматной доске ([4, 29]), о строках Блума (см. [30, 31]).

Пусть d{z) = dkZ~k~l и h(z) = hkZ~k~l — ряды Лорана, вообще говоря, формальные.

Определение 0.1. (1.1.) Последовательностью Риордана, ассоциированной с парой d(z),h(z) называется последовательность {r(x,y), (х,у) е производящая функция которой f(x) = &УУР(х ~ У) п f{x + I)~Y1 cif(x + ei + . fr]. + е„) = 0 з=i x,y)ez2+ имеет вид

Определение 0.2. (1.2.) Последовательность Риордана называется рациональной, если ряд h(z) является разложением в окрестности бесконечно удаленной точки рациональной функции где P(z) = caiza, Q(z) = ^ cQoza — многочлены от z G С и стд ф- О

Отметим, что из разложимости h(z) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки следует, что deg Q(z) < deg P(z) = га.

Рациональные последовательности Риордана назовем правильными, если справедливо равенство deg Q{z)Jr\ = deg P(z) (эквивалентное условию

В четвертом параграфе приведен один из основных результатов диссертации: дано описание рациональных последовательностей Риордана как решения задачи Коши для одного класса двумерных разностных уравнений.

Теорема 0.1. (1.1.) Двойная последовательность {г(х,у)}, (ж, у) G является рациональной последовательностью Риордана, определяемой парой d(z) и h(z) = тогда и только тогда, когда она является решением задачи Коши для разностного уравнения

ТП а h0 ф 0). разом:

В пятом параграфе приведены некоторые многомерные разностные уравнения и связанные с ними рациональные последовательности Риордана, возникающие в ряде задач перечислительного комбинаторного анализа.

Вторая глава посвящена изучию ^-преобразования некоторых кратных последовательностей.

Производящая функция (^-преобразование) функции целочисленных аргументов х 6 Z" определяется следующим образом:

W 7 = (1,1,-.,1).

В первом параграфе приведен аналог теоремы Муавра для возвратных степенных рядов.

А. Муавр рассмотрел под названием возвратных рядов степенные ряды ад + a\z + . + а^гк + . с коэффициентами а2,., ., образующими возвратную последовательность, т.е. удовлетворяющими соотношению вида

Сойт+р + Ciam+p+i + . + стар = 0, р = 0,1, 2., где Cj — некоторые постоянные. Оказалось, что такие ряды всегда сходятся к рациональным функциям.

Если /(ж) — решение разностного уравнения, то его ^-преобразование F{z) в случае п > 1 представляет собой, вообще говоря, расходящийся степенной ряд (см. [9]).

Сформулируем задачу: найти решение f(x) уравнения

P(6)f(x) = 0, ZI, (0.3) которое на множестве Xq совпадает с заданной функцией у?(ж) : f{x) = <р(х), х е х0. (0.4)

Известно (см., например, [10]), что задача (0.3)-(0.4) имеет единственное решение.

Теорема 0.2. (2.1.) z-преобразование F(z) решения f(x) задачи (0.3)-(0.4) удовлетворяет следующим соотношениям: I

P{z)F(z)= J2

О^а^-тп

EJt уТ ц>(т)

-а+1 т^О p{z)F{Z) = y, ( Е -т)) т^тп \т<а<т / т^О

0.5)

0.6)

PMFM = pW Е 0 - Е ( £

Т^тп т^т

4>(т). уТ+I ' p{z)F{Z)=х: г^О т^т о^т сфг

Ф) уТ+1 "

0.7)

0.8)

Отметим, что в одномерном случае в правых частях всех формул (0.5)-(0.8) стоят конечные суммы, в частности, из формулы (0.6) следует, что произведение P(z)F(z) является многочленом. Таким образом, функция F(z) является рациональной.

Для формулировки многомерного варианта теоремы Муавра о рациональности ^-преобразования решения разностного уравнения нам потребуются следующие обозначения.

Пусть J = (ji,., jn), где ji Е {0,1}, i = 1,., п. Каждому такому набору сопоставим «грань целочисленного прямоугольника» Пт = {i G :

0 ^ Хк ^ тк, к — 1,., п} следующим образом:

Гj = {х G Пт : хк = гпк, если jk = 1, и хк < rrik, если jk = 0}.

Например, Г(1д.i) = {т}, а Г(о1о1.,о) = {х е Zn : 0 ^ хк < тпк, к =

1 ,.,п}.

Пусть Ф(;г) = ^ ——у — производящая функция начальных данных т^о zT+1 т^тп задачи (0.3)-(0.4). Для г е Г/ обозначим

0 те

Если функцию (р(х) начальных данных продолжить из множества Xq на Z" нулем, тогда

Ф(г) = j

Теорема 0.3. (2.2.) Производящая функция F(z) решения задачи (0.3)-(0.4) и производяш,ая функция начальных данных Ф(-г) связаны соотношением

P(z)F(z) = Е фгЛ*)Рг(г),

J reTj где многочлены PT(z) имеют вид PT(z) = ^ caza, •а запись а ^ т ознаабА а^т чает, что а = (ад, а^) € Z+ \ {а € Z2 : 0 ^ щ ^ Tj, j = 1, 2}. Из теоремы 0.3. легко получается

Теорема 0.4. (2.3.) Производящая функция F(z) решения задачи (0.3)-(0.4) рациональна тогда и только тогда, когда рациональна производящая функция Ф {z) начальных данных.

Во втором параграфе приведены некоторые результаты, связанные с композицией Гурвица степенных рядов, а также вариант обобщения композиции Гурвцица для многомерных степенных рядов, полученный М.М. Елиным в работе [6].

Теорема Гурвица о сложении особенностей относится к числу значимых результатов в теории распределения особенностей голоморфных функций одного переменного. В отличие от теоремы Адамара об умножении особенностей (см. [1]), которая обобщалась на многомерный случай в различных направлениях (см. [5, 11, 13, 41]), многомерные варианты композиции Гур-вица степенных рядов изучались сравнительно мало (см. [6]). Композиция Гурвица для двух однократных рядов вида

0.9) а=0 0=0 определяется следующим образом (см. [1, с. 47]):

А« = Ё ( Е ^«нвд) ^ (о.ю) тп=0 \а+Р=т И J и задача состоит в том, чтобы по известным особым точкам функций f(z), и g(z), определенных рядами (0.9), найти особые точки композиции h(z). Приведем теорему Гурвица о сложении особенностей, решающую эту задачу, в изложении Бибербаха (см. [1]). Но прежде нам понадобятся следующие определения.

Суммой множеств А\ и Ai назовем дополнение теоретико-множественной суммы А[ + А'2 = {a'j + а'2 : а[ G а2 € А'^} до всей комплексной плоскости:

Ai ф А2 := (А[ + ЛУ, где А'= С\ А.

Теорема (Гурвиц, 1899). Если функция f(z) голоморфна в области А, содержащей множество > г\}, а функция g{z) голоморфна в области В, содероюащей множество {\z\ > Г2}, то функция h(z) голоморфна в связной части открытого множества А (В В, содержащей внешность круга {|,г| > п + г2}.

Отметим, что композиция Гурвица (0.10) тесно связана с имеющим важное значение в теории распределения особенностей голоморфных функций преобразованием Бореля степенных рядов. А именно, если а=0 ' 0=0

ZР верхние функции преобразования Бореля функций f(z) и g(z) соответственно, тогда их произведение

F(Z)G(Z) = £ ( £ ^а(а)Ь{Л £L тп=О у является верхней функцией преобразования Бореля композиции Гурвица (0.10) рядов f(z) и g(z).

В третьем параграфе приведен вариант обобщения конструкции Гурвица для п > 1, который естественным образом связан с преобразованием Бореля кратных степенных рядов и многомерными аналогами теоремы Полиа.

Будем рассматривать кратные ряды Лорана вида а{а) zc

М = Е ткт- (о-п) ае%1 которые сходятся в некоторой окрестности {z Е Cn : \zj\ > Rj,j = 1 ,.,п} бесконечно удаленной точки. Ряду (0.11) поставим в соответствие кратный степенной ряд Е ^ а&Щ. который называется преобразованием Бореля ряда (0.11), при этом сами функции / и F называются ассоциированными по Борелю.

Определение 0.3. (2.1.) Для фиксированного вектора А = (Ai,., An) £ Сп назовем преобразованием Гурвица ряда (0.11) нижнюю функцию преобразования Бореля функции F(А£), т.е. однократный ряд вида e(E^)Uг- (0-12) т=0 \||а||=т ' / S

Данная конструкция является обобщением классической композиции Гурвица степенных рядов. Действительно, при п = 2, f{zi,z2) — f(zi)g(z2) и А = (1,1) из соотношения (0.12) получим (0.10).

Подмножество комплексной плоскости Л С С назовем козвездой, если оно содержит некоторую окрестность бесконечно удаленной точки и его дополнение С \ А до комплексной плоскости является звездой.

Отметим, что для любого набора козвезд Aj,j = 1,.,п и вектора А = (Ai,., Ап) б Сп множество вида

AiAi © . 0 АпАп := С \ {Ai^i + . + АпА'п} также является козвездой.

Одним из основных результатов данного параграфа является следующая

Теорема 0.5. (2.4.) Пусть Aj,j = 1 ,.,п — козвездные области. Если функция f(y\ v а(а) JW - 2^ qgZ74. голоморфна в области вида А\ х . х Ап <Z Сп, то ее преобразование Гурвица голоморфно в козвездной области Ai^i © . 0 АпАп С С.

Для п = 1 классическая композиция Гурвица (0.10) рациональных функций f(z) и g(z) является рациональной функцией (см. [1]), причем ее особые точки получаются путем сложения особых точек функций (0.9). Для п = 2, вообще говоря, из рациональности функции не следует рациональность ее преобразования Гурвица. Например, для функции f{z1,z2) = (1 — z\ — Z2 — ZIZ2)-1 ее преобразование Гурвица имеет вид а(О = (£2 + 2(Ai + А2)£ + А? + А22 - 6AIA2)"5, т.е. является алгебраической функцией.

В четвертом параграфе показано, что преобразование Гурвица рациональной функции для п = 2 всегда является функцией алгебраической.

Теорема 0.6. (2.5.) При п = 2 преобразование Гурвица (0.12) рациональной функции P(z)/Q(z), голоморфной в бесконечно удаленной точке, является алгебраической функцией, особые точки которой содержатся в множестве точек £ 6 С вида = Ai^i + X2Z2 где (zi: z<i) — решения системы уравнений

Q*(Z!,Z2) = X2Ql1(zbz2) - X1Q*Z2(zl:z2) = 0.

Доказательство опирается на понятие амебы многочлена и некоторые её свойства ([33]), а также теорему об особенностях параметрического вычета Гротендика (см. [21] или [26]).

В третьей главе описана асимптотика некоторых многомерных последовательностей .

В первом параграфе получена асимптотика рациональных последовательностей Риордана, причем доказательство существенно опирается тот факт, что рациональные последовательности Риордана являются решениями двумерного разностного уравнения специального вида, и на результаты работ [7, 8].

Теорема 0.7. (3.1.) Пусть функция d(z) голоморфна вне особых точек функции h{z) — р. Если все корни многочленов P{z) и Q(z) простые и различные по модулю (каждого многочлена в отдельности) и граница амебы характеристического многочлена R(z,w) — P(z) • w — Q(z) гладкая, тогда для всякого направления (р, q) 6 Int Птд существует единственная точка (zo(|), такая, что ее логарифмический образ

Log(z0,wQ) G dEmii, и zlw§X , х = Ар, у = Xq, А оо, где

H(z) =

Отметим, что точка (zq,wq) удовлетворяет системе уравнений

P(z)w - Q(z) = О, fP'(z) QM) - Р

P(z) Q(z) J ~ q

Во втором и третьем параграфах найдена асимптотика фундаментальных решений многомерных разностных уравнений.

Пусть P(z, w) = Pi(z,w) ■ . • Pm(z, w) - произведение многочленов от переменных (z,w) Е С2 вида Pi(z, w) = zw — biz — a^w, ai > 0, > 0, i = 1 ,.,ra.

Вершине m = (m,., m) многогранника Ньютона Мр соответствует непустая компонента Ет, в которой рациональная функция разлагается в ряд Лорана:

1 = fix, у)

P(z,w) , ^ zxwy ' х,у)ект+т где Кт — конус, построенный на векторах т — а, где а € Л/р.

После замены переменных z —> ^, ги —> ^ получим разложение в начале координат в ряд Тейлора рациональной функции xwy. —---= f(xiV)z

П(1 - CLiZ - biW) (x,y)&% г=1

Таким образом, задача об отыскании асимптотики фундаментальных решений разностных уравнений вида P(6i,62)f(x,y) = 0 сводится к отысканию асимптотики коэффициентов Тейлора рациональной функции F(z, w) с линейными особенностями.

Рассмотрим ситуацию при дополнительном ограничении: система прямых Vi = {1 — aiZ — biW = находится в общем положении в том смысле, что любые две из них пересекаются, а любые три - не пересекаются.

Обозначим Qq = z и Qm+i = w. Пусть многоугольник М определен в положительном октанте системой линейных неравенств Qi{z,w) >

О, г = 0, + 1. Из условия а* > 0, ^ > 0 следует, что М не пусто. Пусть (Zi,W{) — решение системы уравнений Qi(z,w) = qzQz(z,vu) — pwQw(z, го) = 0 для г = 1,., тп, a (z^, ?%•) — решение системы линейных уравнений Qi(z,w) — Qj(z:w) = 0 с определителем А^ = aibj — ajbi ф О, ъфз, иг,;' = 1,.,т.

Определим в положительном октанте М+ множества двух видов: {(», g) б Ki : max zpwq = maxzpwq = zfw?

L + м у, г г = e R*. : maxzV = zM.}. м

Множества Ki, Пу представляют собой конусы, объединение которых совпадает с 1ц., при этом некоторые их них могут оказаться пустыми, а непустые конусы могут пересекаться лишь по граничным лучам. Можно утверждать, что почти всякая точка (р, q) G Ъ\ принадлежит внутренности одного из «целочисленных» конусов вида П K-L и Ъ2+ П .

Множество М в общем случае представляет собой многоугольник в R+, две стороны которого лежат на координатных осях, а остальные — на некоторых (или всех) прямых VV Не умаляя общности, этими прямыми можно считать Vi,. •. Vr, г ^ т. Вершины многоугольника М, не совпадающие с началом координат, имеют координаты (zj)i+1, ги^+i), г — 0, .,г, при этом будут выполняться неравенства Построим систему векторов r)1Q = (ai^oi, hwQ1) = (1,0), rjn = {axzi2l hwu), T]2i = (a2Zi2,b2Wi2): TJ22 = (a2Z23, Ь2И)2з), Tjn,n-l = (On^-l.n, , Vn,n = anzn>n+i, bnwnin+1) = (0,1), тогда конусы двух видов, построенные на этих векторах, совпадут с определенными формулами (0.13), а их представление через образующие вектора щ будет иметь вид

Ki = {(р, я) (Р> я) = <*77м-1 + а, /3 > 0}, г = 1,., та, fyi+i = {(р, g) : (р, д) = + f3r)i+i,i: а, 0 > 0}, i = 1,. ,п - 1.

Асимптотическое поведение коэффициентов Тейлора f(x,y) функции F(z, w) описывает

0.13)

Теорема 0.8. (3.3.) Для рациональной функции вида

F(z,w) = —--

П(1 - aiz - biw) i= 1 почти для любой (p,q)-диагонали х = kp,y = kq,k —> +оо справедлива асимптотическая формула г, Ч если (p,q) 6 К{ f{x, у) - ■> V ъ .

Aj,i+1 1 если (р, g) G ii,i+lUJi,i+l где Zi = ^= ^^ — решение системы Qi = - =

О, A{,i+i - определитель системы линейных уравнений Qi = Qi+i = 0; (2:^+1, Wij+i) — решение этой системы, а С{ — некоторая константа.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1) Приведено описание рациональных последовательностей Риордана г(х, у) как решений задачи Коши для некоторого класса двумерных разностных уравнений.

2) Найдена формула для г-преобразования решения задачи Коши для многомерного разностного уравнения (при некоторых ограничениях на многогранник Ньютона) и приведено необходимое и достаточное условие рациональности данного г-преобразования.

3) Для многомерного аналога композиции Гурвица получена оценка на область, в которую эта композиция аналитически продолжается и для случая двух переменных доказана алгебраичность данной композиции.

4) Найден главный член асимптотики рациональных последовательностей Риордана и получена асимптотика фундаментальных решений одного класса двумерных линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Заключение

1. Бибербах J1. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967. 240 с.

2. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: КомКнига, 2006. 376 с.

3. Даджион Д., Мерсеро О. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988. 488 с.

4. Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. Новосибирск: Наука, 1977. 288 с.

5. Елин М.М. Многомерная композиция Адамара. // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35. № 5. С. 1052-1057.

6. Елин М.М. Многомерный аналог композиции Гурвица // Изв. вузов. Матем. 1985. № 2. С. 22-27.

7. Лейнартас Е.К., Пассаре М., Цих А.К. Асимптотика многомерных разностных уравнений // УМН. 2005. Т. 60. № 5. С. 171-172.

8. Лейнартас Е.К., Пассаре М., Цих А.К. Многомерные версии теоремы Пуанкаре для разностных уравнений // Мат. сборник. 2008. Т. 199. № 10. С. 87-104.

9. Лейнартас Е.К. Кратные ряды Лорана и разностные уравнения // Сиб. мат. журнал. 2004. Т. 45. № 2. С. 387-393.

10. Лейнартас Е.К. Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения линейных разностных уравнений // Сиб. мат. журнал. 2007. Т. 48. № 2. С. 335-340.

11. Лейнартас Е.К. Об одном обобщении произведения Адамара в Сп // Мат. заметки. 1982. Т. 32. № 4. С. 477-482.

12. Лейнартас Е.К. О разложении рациональных функций многих переменных на простейшие дроби // Изв. вузов. Матем. 1978. № 10. С. 47-52.

13. Лейнартас Е.К. Многомерная композиция Адамара и суммы с линейными ограничениями на индексы суммирования // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30. № 2. С. 102-107.

14. Маергойз Л.С. Асимптотические характеристики целых функций и их приложения в математике или биофизике. Новосибирск. Наука. 1991. 278 с.

15. Макосий А.И. К вопросу об асимптотике коэффициентов ряда Тейлора // Многомерный комплексный анализ. Красноярск: ИФ СО АН СССР. 1985. С. 224-227.

16. Орлов А.Г. Об асимптотике коэффициентов Тейлора рациональных функций двух переменных // Изв. вузов. Матем. 1993. № 6. С. 26-33.

17. Орлов А.Г. Об асимптотике коэффициентов Тейлора рациональных функций многих переменных // Многомерный комплексный анализ. Межвузовский сборник. Красноярск, 1994. С. 116-141.

18. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1969.

19. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971. 432 с.

20. Сафонов К.В. Об условиях алгебраичности и рациональности суммы степенного ряда // Мат. заметки. Т. 41. № 3. 1987. С. 325-332.

21. Сафонов К.В., Цих А.К. Об особенностях пареметрического вычета Гротендика и диагонали двойного степенного ряда // Изв. вузов. Матем. 1984. № 4. С. 51-58.

22. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990. 440 с.

23. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции. М.: Мир, 2005. 767 с.

24. Трутнев В.М. Радиальный индикатор в теории суммирования Бореля и некоторые применения // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13. № 3. С. 659-664.

25. Федорюк М.В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.

26. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 241 с.

27. Цих А.К. Условия абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Тейлора мероморфных функций двух переменных. // Мат. сб. 1981. Т. 182. № И. С. 1588-1612.

28. Южаков А.П. Достаточное условие разделения аналитических особенностей в С" и базис одного пространства голоморфных функций // Мат. заметки. 1972. Т. 11. № 5. С. 585-596.

29. Abramson М., Moser W. Combinations, successions and the n-kings problem // Math. Mag. 1966. V. 39. № 5. P. 269-273.

30. Baccherini D., Merlini D., Sprugnoli R., Level generation trees and proper Riordan arrays // Applicable Analysis and Discrete Mathemamatics. 2008. № 2. P. 69-91.

31. Bloom D.M., Singles in a Sequence of Coin Tosses // The College Mathematics Journal. 1998. P. 307-344.

32. Bousquet-Melou M., Petkovsek M. Linear recurrences with constant coefficients: the multivariate case // DM. 2000. V. 225. P. 51-75.

33. Forsberg M., Passare M., Tsikh A. Laurent Determinants and Arrangements of Hyperplane Amoebas // Advances in Math. 2000. V. 151. P. 45-70.

34. Haustus M.L.T., Klarner D.A. The diagonal of a double power series // Duke Math. J. 1971. V. 38. № 2. P. 229-235.

35. Hurwitz A. Sur un theoreme de M. Hadamard // C. R. Acad. Sci. Paris. 1899. V. 128. P. 350-353.

36. Levy H., Lessman F. Finite difference equations. London. Pitman LTD. 1959.

37. Lipshits L. D-finite power series //J. Algebra. 1989. V. 122. P. 353-373.

38. Merlini D. Generating functions for the area below some lattice paths // Disc. Math, and Th. Сотр. S, AC. 2003. P. 217-228.

39. Odoni R.W.K. On the norms of algebraic integers // Mathematica. 1975. V. 22. P. 71-80.

40. Pemantle R., Wilson M. Asymptotics for multivariate sequences, part I: smooth points of the singular variety //J. Comb. Th. Series A97. P. 129-161.

41. Sadykov Т. M. The Hadamard product of hypergeometric series. Bulletin des Sciences Mathematiques. 2002. V. 126. № 1. P. 31-43.

42. Shapiro L.W., Getu S., Woan W.-J., Woodson L. The Riordan group // Discrete Applied Mathematics, 1991. V. 34. P. 229-239.

43. Wilson M. Asymptotics for generalized Riordan arrays // DMTCS proc. AD. 2005. P. 323-334.

44. Работы автора по теме диссертации

45. Ляпин А.П. Свойства амебы многочлена двух переменных // Студент и научно-технический прогресс: математика: Материалы

46. XXXIX Международной научной студенческой конференции. Новосибирск, НГУ, 2001.

47. Ляпин А.П. Амебы в исследовании асимптотики коэффициентов Тейлора рациональной функции двух переменных // Студент и научно-технический прогресс: математика: Материалы XL Международной научной студенческой конференции. Новосибирск, НГУ, 2002.

48. Ляпин А.П. Об асимптотике коэффициентов Тейлора рациональной производящей функции с линейными особенностями // Студент и научно-технический прогресс: математика: Материалы XLII Международной научной студенческой конференции. Новосибирск, НГУ, 2004.

49. Ляпин А.П. Об асимптотике числа расстановок фигур на шахматной доске / / Международная школа конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию ак. Ю.Г. Решетняка: тез. докладов. Новосибирск, 2004. С. 171-172.

50. Ляпин А.П. Обобщенная композиция Гурвица диагонального вида // Комплексный анализ и его приложения: Тез. докладов Международной школы-конференции, посвященной памяти профессора И.П. Митюка. Краснодар, 2005. С. 71-72.

51. А.П. Ляпин. О рациональности многомерных возвратных рядов // Тезисы международной конференции «Аналитические функции многих комплексных переменных». Красноярск, 2009. С. 24-25.

52. Ляпин А.П. Об одном варианте многомерной композиции Гурвица // Вопросы математического анализа: сб. научных статей. Вып. 9. Красноярск: КГТУ, 2006. С. 26-34.

53. Ляпин А.П. Асимптотика коэффициентов Тейлора рациональной функции двух переменных с линейным множеством особенностей // Вестник КрасГУ. Физико-математические науки. 2006. №1. С. 93-97.

54. А.П. Ляпин. Последовательности Риордана и двумерные разностные уравнения. // Журнал СФУ. Математика и физика. 2009. Т. 2. № 2.1. С. 210-220.