Асимптотика решений уравнений Вольтерра с однородными ядрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи Цалюк Марина Вадимовна /

Асимптотика решений уравнений Вольтерра с однородными ядрами

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 2005

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Пуляев Василий Федорович

доктор физико-математических наук, профессор Уртенов Маха-мет Али Хусеевич

кандидат физико-математических наук, доцент Авсянкин Олег Геннадьевич

Ведущая организация: Дагестанский государственный

университет

Защита состоится се&ТЯ&РЯ 2005 г. в 16.50 на заседании диссертационного совета К 212.208.06 при Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге 5, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская 148.

Автореферат разослан ^ ¿¿¿гу^го. 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.208.06 кандидат физико-математических наук, доцент Кряквин В.Д.

Я6ГР/5

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена изучению асимптотических свойств решений линейных интегральных уравнений Вольтерра

с однородным ядром К{Ь, а).

Задача изучения асимптотики на бесконечности решений различных классов уравнений — классическая задача анализа. Сошлемся, например, на работы А. Пуанкаре, О. Перрона, Ф. Хартмана и А. Уинтнера, А. Д. Мышкиса, Р. Беллмана и К. Кука.

Асимптотика решений интегральных уравнений Вольтерра с разностным ядром, по-видимому, впервые изучалась Н. Винером и Р. Пэли. Кроме того, в связи с задачами теорий восстановления активно изучалось поведение решения уравнения восстановления. Соответствующие результаты подробно изложены в книгах В. Феллера и Б. А. Севастьянова. В дальнейшем асимптотика решений интегральных уравнений Вольтерра с разностным ядром, а также асимптотическое представление резольвенты, интенсивно изучались Дж. Дж. Левиным, 3. Б. Цалюком и В. А. Дербеневым.

Близкими к уравнениям с разностным ядром являются встречающиеся в приложениях (астрофизике, биологии, медицине) уравнения с периодическими и однородными ядрами.

Изучением асимптотики решений уравнений Вольтерра с периодическими ядрами активно занимались В.Ф. Пуляев, В. А. Дербенев, 3. Б. Цалюк и В. Р. Винокуров.

Первые достаточно содержательные результаты, касающиеся интегрального уравнения с однородным ядром степени —1, получены Л. Г. Михайловым. ~ " ми к за-

(1)

1

дачам механики асимптотику некоторых уравнений с однородными ядрами рассматривал Р.В. Дудучава. Весомый вклад в изучение вопросов инвариантности некоторых пар пространств относительно операторов и уравнений с однородными ядрами, нетеровости, а также асимптотики решений по логарифмической шкале внесли такие ростовские математики, как Н. К. Ка-рапетянц, С. Г. Самко, М. А. Бетилгириев и другие.

Асимптотика решений, в основном, изучалась для уравнений с однородными ядрами степени однородности —1. Как известно, этот класс уравнений при помощи экспоненциальных замен сводится к уравнению с ядром — в), зависящим от разности аргументов. При этом рассматривался тот случай, когда

к е 11[о, оо).

Данное диссертационное исследование рассматривает асимптотику решений при Ь -¥ оо вольтерровых уравнений с однородными ядрами. В нем изучаются как уравнения с ядрами степени однородности —1, так и с ядрами степени однородности < -1. При этом в первом случае исследуются уравнения, которые сводятся к разностным уравнениям с несуммируемы-ми ядрами.

Основная задача — выяснить свойства решения в зависимости от свойств свободного члена, в частности, получить условия, при которых при заданной асимптотике свободного члена решение также будет иметь определенное асимптотическое представление. Первым шагом в данном направлении является изучение структуры резольвенты, которая в каждом конкретном случае асимптотики свободного члена позволяет получить результаты по асимптотике решения. В работе асимптотическое представление резольвенты применяется к нахождению асимптотики решений при свободных членах, имеющих разложение по естественной для математического анализа степенной шкале.

Так как, кроме того, в работе изучается проблема устойчи-

вости, то здесь естественно потребовать, чтобы соответствующий интегральный оператор с однородным ядром действовал в пространстве ВС непрерывных ограниченных функций. Как оказалось, для этого необходимо, чтобы степень однородности была < — 1. Именно такие уравнения и рассматриваются в данной работе.

Цель работы:

- изучить свойства линейных интегральных операторов Вольтерра с однородным степени однородности < —1 ядром, действующих в пространстве непрерывных ограниченных на [1, оо) функций ВС;

- получить критерии устойчивости, асимптотической устойчивости уравнения, а также действия оператора в некоторых подпространствах пространства ВС;

- найти условия допустимости пары (X, X), где X — замкнутое подпространство пространства ВС, относительно уравнения, то есть выяснить, в каких случаях при свободных членах из X решение тоже принадлежит X;

- в случае степени однородности —1 для ядра, сводящегося к несуммируемому разностному ядру, получить представление резольвенты в различных вариантах расположения корней символа;

- изучить асимптотику решения на бесконечности при свободном члене, имеющем тейлоровское разложение в окрестности бесконечности.

Методика исследования. В диссертационном исследовании используются методы теории интегральных уравнений, линейных непрерывных операторов, а также теории функций.

Научная новизна. В качестве основных результатов можно выделить следующие:

- установлено, что в случае степени однородности < — 1 из действия оператора в пространстве ВС следует устойчивость уравнения;

- доказано, что в устойчивом случае из действия оператора в некотором замкнутом подпространстве X С ВС следует допустимость пары (X, X) относительно уравнения, то есть при свободных членах из X решение тоже из X;

- получены условия, при которых если свободный член уравнения разлагается по некоторой степенной асимптотической шкале, то и решение имеет аналогичное разложение;

- в случае степени однородности —1 для ядра, сводящегося к несуммируемому разностному ядру, получено представление резольвенты в различных вариантах расположения корней символа;

- найдена асимптотика решения на бесконечности как в устойчивом, так и в неустойчивом случае при свободном члене, имеющем тейлоровское разложение в окрестности бесконечности.

Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы при изучении интегральных уравнений Вольтерра с однородными ядрами, а также в некоторых задачах прикладного характера.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и научных конференциях:

- семинар кафедры дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета (руководитель — доктор физико-математических наук, профессор З.Б. Ца-люк);

- Воронежские зимние математические школы „Современные методы теории функций и смежные проблемы", Воронеж, 2001, 2005;

- XXXIX международная научная студенческая конферен-

ция „Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 2001;

- международная научная конференция „Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели", Челябинск, 2002;

- Воронежские весенние математические школы „Понтрягин-ские чтения - XIII - XV", Воронеж, 2002 - 2004;

- X международная конференция „Математика. Экономика. Образование", Ростов-на-Дону, 2002;

- школ а-конференция „Лобачевские чтения", Казань, 2002;

- VI Казанская летняя школа-конференция „Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", Казань, 2003;

- международная конференция „Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения", Махачкала, 2003.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[14]. В работе [7], выполненной совместно с 3. В. Цалюком, ему принадлежит постановка задачи и указаг ние методов исследования. Автору диссертации принадлежит подробное проведение доказательств.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 85 наименований. Объем работы 103 страницы.

Содержание работы

Укажем обозначения, используемые в дальнейшем: % — множество целых чисел; К — множество вещественных чисел; С — множество комплексных чисел; [т] — целая часть числа т € К; {т} = т — [т]; Д[а, оо) = {(£, в) : а < з < < < оо};

С = С ([а, оо) -4 С) — пространство непрерывных на [а, оо) функций;

ВС = ВС ([а, оо) ->• С) — пространство непрерывных и ограниченных на [а, оо) функций с нормой

11*11 =sup|x(í)|;

t>a

А0 = А0([а, оо) —> С) — подпространство функций из ВС, имеющих конечный предел на бесконечности; Со = С0([а, оо) С) — подпространство функций из ВС, для которых lim x(t) = 0;

t-юо

А„ = А„([а, оо) С) — подпространство функций из А0, имеющих представление

x{t) = со + cxt~l + СаГ2 + • • • + Cnt~n + rn<p{t),

где V € С0;

Пусть Л = {Л0 = 0, Ai, А2, ...} — некоторая неограниченно

возрастающая последовательность действительных чисел, -г

Будем считать = 0.

о

ХЛ>т * {*(*) € ВС : *(*) = ¿ £ + % оо};

Хл,т ^ |x(f) е ВС : x{t) = g ^ + Ш, í ооJ;

Li[a, оо) = Li ([о, оо) —> С) — пространство суммируемых на [а, оо) функций.

Во введении дается краткий обзор работ по теме диссертации, формулируется общая постановка задачи и перечисляются основные результаты.

В первой главе рассматривается уравнение (1) с ядром степени однородности < — 1 и исследуются вопросы устойчивости и допустимости некоторых пар пространств относительно интегрального оператора и порождаемого им уравнения.

Положим Q(t) = K(t, 1), тогда уравнение (1) можно переписать в виде

t

= / lfl(\)*i»)da + №. (2)

i

Определим оператор Q равенством

t

(Qx)(t) = J ±QQx{s)ds. l

Определение. Пара (X, Y) называется допустимой относительно оператора Q, если любой элемент из пространства X он переводит в элемент пространства Y, то есть С Y.

Определение. Пара (Y, X) называется допустимой относительно уравнения (2), если для любого свободного члена / € Y соответствующее ему решение 1бХ.

Показано (§1.1), что для того, чтобы Q действовал в ВС, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: а > 1 и

t

SfF» / \Q(T)\T°~2 dT < (3)

i

Как оказалось, эти же условия являются достаточными и для устойчивости уравнения, то есть из допустимости пары (ВС, ВС) относительно оператора Q следует допустимость ее относительно уравнения (2).

В §1.2 изучаются свойства решений в зависимости от свойств свободного члена. Иначе говоря, устанавливаются условия допустимости различных пар пространств относительно уравнения (2). Основным результатом здесь является следующее утверждение.

Теорема 1.2. Пусть выполнено условие (3) и X — замкнутое подпространство пространства ВС. Если пара (X, X) допустима относительно оператора ф, то пара (X, X) допустима и относительно уравнения (2).

Заметим, что аналогичный результат имеет место в теории интегральных уравнений Вольтерра с неотрицательными ядрами. В случае произвольного ядра этот факт пока не доказан, но и не опровергнут.

Таким образом, имея критерии допустимости для ядра, можно получать соответствующие результаты и для уравнений. Основными, интересующими нас, замкнутыми подпространствами ВС являются пространство А0 непрерывных функций, имеющих предел на бесконечности, и его подпространство С0 функций, стремящихся к нулю. Допустимости пар (С0, С0) и (А0, А0) относительно оператора ф и уравнения (2) посвящены § 1.3 и § 1.4 соответственно.

Сформулируем основной результат этих параграфов.

Теорема 1.5. Пусть выполнено условие (3). Если, кроме того, г

рт i Я{т)т«-Чт € Ао, 1

то пара (Ао, А0) допустима относительно уравнения (2); если же 4

¿Г / Я(тЬ-**г 6 Со, 1

то пара (С0, Со) допустима относительно уравнения, то есть уравнение (2) асимптотически устойчиво.

В §1.5 диссертации изучается допустимость относительно уравнения (2) пар незамкнутых линейных подпространств (ХЛ|т, Хл,т) и (Хл,т, Хл>т) (см. стр. 8). В частности, показано, что в случае существования такого п > 0, что

<

вир*1"* [гп+а-2|д(т)|<*т < оо, «>1 У 1

при свободном члене /(£) € ХЛ, т(Хд,т) 1 где Лт < я, решение также принадлежит этому пространству.

Вторая глава посвящена изучению резольвенты однородного ядра степени —1. В этом случае экспоненциальными заменами уравнение с однородным ядром сводится к уравнению с ядром, зависящим от разности аргументов.

Условие суммируемости полученного разностного ядра равносильно условию

^ € ¿1(1, оо), (4)

таким образом, если однородное ядро удовлетворяет условию (4), то соответствующие результаты для уравнения

г

«с:

1

легко вытекают из известной теории линейных уравнений. Поэтому в этой главе изучается уравнение (2) при условии,

что $ Ьх[1, оо). Точнее, мы предполагаем, что

Ь

к

= <&(«) + с?о№ = £ Рп,-х(1п + Зо(*), (5)

3=1

где Яе> 0 и € ^[1, оо).

§2.1 носит вспомогательный характер и в нем рассматривается уравнение с разностным ядром

K{t) = K^t) + K0(t),

где

ut)=J2PnM^"jt=еЬа"1' j=l j=1 i=0

Re fa > 0, rij e N, j = 1, ..., к и K0(t) € Li[0, oo).

Полученное для этого случая представление резольвенты используется затем в § 2.2 для изучения асимптотического представления резольвенты однородного ядра -Q^-^, где Q(t) имеет вид (5).

Стоит заметить, что композиция линейных интегральных операторов Вольтерра с однородным степени —1 ядром также является интегральным оператором с ядром степени однородности -1. Поэтому резольвента, в свою очередь, будет однородной степени —1. Обозначим резольвенту через Rç(t, s), тогда, в силу однородности, ее можно представить в виде

Сформулируем основные результаты этого параграфа.

Теорема 2.1. Пусть существует такое /3 > 0, что t^Q0(t) € Lx[ 1, oo).

1) Для того,

чтобы t^lR(t) G Li[l, оо) необходимо и достаточно выполнения условия

ОО

1 - J u~{2+1)Q{u) йиф 0, Re z > -0. (6) 1

2) Если выполнено условие (6) и (lni)pt^-1(3o(i) 6 Li[l, оо), где р £ N, то (In t)vt?~lR{t) G Lijl, оо). Если, кроме того, {\nt)Tt0Qo(t) = о(1) «pw t оо, где 0 < г < р, то (In t)rtfiR{t) = о{ 1) при t оо.

Определим

оо

<$(*) = J u~iz+l>>Q{u)du.

Теорема 2.2. Пусть 6 оо) при некотором

/3 > 0 и уравнение 1 — = 0 имеет в полуплоскости Пег > —¡3 конечное число корней

Лх, ..., Л,

кратности тпх, ..., тч соответственно, причем тг+ъ ..., тд — целые, а ] < г — нет. Пусть, далее, для тех при которых Ие = —/3,

s

G 1, оо);

3o(A ¿Ont)*»-1 - f (Ы±) î

&,(А,)(1п*)КМ _ j(inÎ)KMs-^ J€ Ll[li 00). 1

Тогда резольвента f?g(t, s) представима в виде

t

RQ{t, s) = D{t, s) + i?o(i, s) + J Dit, ОДо(С, «)<*£,

(7)

где

>=1 L J

j=r+l

U

и з) = -/¡^У-Л — однородная функция степени однород-поста —1, такая что 6 1п[1, оо).

Условие (7) можно заменить некоторым более просто проверяемым условием (теорема 2.3).

На ос новании результатов второй главы при различных асимптотических представлениях свободного члена можно получать соответствующую асимптотику решения.

В работах других авторов изучался случай разложения свободного члена и решения по логарифмической шкале. Это было вызвано тем, что после сведения к разностному уравнению логарифмическая шкала преобразовывалась в степенную.

В третьей главе диссертации в качестве асимптотической шкалы для однородного уравнения выбрана естественная для математического анализа степенная шкала, так что свободный член допускает в бесконечности тейлоровское разложение.

Параграф 3.1 содержит некоторые, необходимые далее, свертки. В §3.2 получена асимптотика решения линейного интегрального уравнения Вольтерра с однородным степени —1 ядром.

В устойчивом случае справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.1. Пусть существуют такие ¡3 > 0 и целое р > О, что ((1пг)р + 1)^-1<Зо(£) € 1,1 [1, оо) и уравнение 1 — — 0 не имеет корней в полуплоскости Ле г > —¡5. Тогда если свободный член f(t) 6 Ап, где п > ¡3, то решение имеет асимптотику:

1) при п — $

0

®(4) = акГк + Гр ■ о(1), Ь -¥ оо

к=О

2) при п > ¡3

и

ж(*) = +(1п О"**-* • °(1)> í

к=0

Так как в случае наличия корней уравнения 1 - — О в полуплоскости Ее г > —/3, по теореме 2.2, в выражение для

резольвенты отдельно входят слагаемые, соответствующие корням с Яе Х3 > — ¡3 и с Яе Л, = — /3, то ниже мы рассмотрим эти два случая отдельно.

Теорема 3.2. Пусть £^-1С2о(£) € Ь\[1, оо) при некотором /3 > 0 и уравнение 1 — 0(-г) = 0 имеет в полуплоскости Яе г > — (3 конечное число корней

Ах, ..., А,

целой кратности т\, ..., тя соответственно, причем Ие Х} > —¡3, ] = 1, ..., 5 и Ах, ..., Аа (а > — целые и неотрицательные.

Тогда если свободный член /(¿) € Аш где п> ¡3, то решение имеет асимптотику

« И

х(г) = ^рт](Ш)гх>+ £ Рш,- +

]=а+1 А=0

Теорема 3.3. Пусть € оо) при некотором

/3 > 0 и уравнение 1 — = 0 имеет в полуплоскости Яе г > —¡3 конечное число корней

Ах, ..., Ад

кратности гпх, ..., тч соответственно, причем все они лежат на прямой 11е г = —0. Пусть, кроме того, для всех 3 = 1, 2, ..., д выполнены условия

г

\\ыхмшг>-1 -1 (ь^-^Й^л] €1/1[1) оо).

е Ьх[1, оо).

Тогда если свободный член /(£) € А„, где п> /3, то решение

имеет асимптотику Р

x{t) = akt~k + c(ln ty^t-0 + (In ■ о(1),

*=о

в случае, когда /3 € Z и уравнение 1 — $(z) = 0 имеет корень А = —/3 кратности тщ = max rrij, и

W

x(t) = а*Г* + (In tpr" • o(l) k=0

в противном случае.

Автор искренне благодарит своего научного руководителя, доктора физико-математических наук, профессора В. Ф. Пуля-ева за помощь и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

[1] Цалюк М. В. Устойчивость и асимптотика интегрального уравнения с однородным ядром // Известия РАЕН серия МММИУ. - Т. 39. - № 4. - 2001. - С. 17-24.

[2] Цалюк М.В. Асимптотика решения уравнения Вольтер-ра с однородным ядром степени однородности а = —1 // Материалы XXXIX междун. научн. студ. конф. „Студент и научно-технический прогресс". - Новосибирск, 2001. -С. 124-125.

[3] Цалюк М. В. Некоторые свойства решения линейного интегрального уравнения Вольтерра с однородным ядром // Материалы Воронежской весен, матем. шк. „Современные методы в теории краевых задач. „Понтрягинские чтения -XIII". - Воронеж, 2002. - С. 158-159.

[4] Цалкж М. В. Асимптотика резольвенты уравнения Вольтерра с разностным несуммируемым ядром // Материалы школы-конференции „Лобачевские чтения". -Казань, 2002. - С. 97-98.

[5] Цалкж М. В. Асимптотика резольвенты и решений линейного интегрального уравнения Вольтерра с однородным ядром // Материалы Междун. конф. „Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения". - Махачкала, 2003. - С. 117-119.

[6] Цалкж М. В. Устойчивость и асимптотика решений линейного интегрального уравнения с однородным ядром // Кубанский госуниверситет. Краснодар, 2003. - Деп. в ВИНИТИ 18.04.03, № 751 - В2003.

[7] Цалкж 3. В., Цалкж М. В. Асимптотика резольвенты уравнения Вольтерра с разностным несуммируемым ядром // Дифференциальные уравнения. - 2003. - Т. 39. -№ б. -С. 844-847.

[8] Цалкж М. В. Асимптотика резольвенты одного уравнения Вольтерра с однородным ядром // Материалы Воронежской весен, матем. шк. „Современные методы в теории краевых задач. „Понтрягинские чтения - XIV". - Воронеж, 2003. - С. 151-152.

[9] Цалкж М.В. О резольвенте линейного уравнения Вольтерра с однородным ядром // Материалы Воронежской весен. матем. шк. „Современные методы в теории краевых задач. „Понтрягинские чтения - XV". - Воронеж, 2004. -С. 227-228.

[10] Цалкж М. В. Асимптотика решения уравнения Вольтерра с однородным ядром // Материалы Воронежской зимн. матем. шк. „Современные методы теории функций и смежные проблемы". - Воронеж, 2005. - С. 243-244.

Тезисы докладов по теме диссертации

[И] Цалюк М.В. Интегральные уравнения Вольтерра с однородными ядрами степени однородности а — —1 // Воронежская зимн. матем. шк. „Современные методы теории функций и смежные проблемы": Тез. докл. - Воронеж,

2001. - С. 278-279.

[12] Цалюк М. В. Асимптотика решения интегрального уравнения Вольтерра с однородным ядром // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели: Тез. докл. междун. научн. конф. - Челябинск,

2002. - С. 110.

[13] Цалюк М.В. Об асимптотике решения интегрального уравнения Вольтерра с однородным ядром // X Международная конференция „Математика. Экономика. Образование": Тез. докл. - Ростов-на-Дону, 2002. - С. 85-86.

[14] Цалюк М. В. О резольвенте уравнения Вольтерра с разностным несуммируемым ядром //6 Казанская междун. летн. школа-конференция „Теория функций, ее приложения и смежн. вопросы": Тез. докл. - Казань, 2003. - С. 225-226.

Цалюк Марина Вадимовна

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 18.07.2005. Формат бОхЗД'/м Бумага 8уе«оСору. Печать трафаретная. Усл.-печ. л. 1,16. Тираж 100 экз. Заказ №5115.

Тираж изготовлен в типографии ООО "Просвещение-Юг" с оригинал-макета заказчика г. Краснодар, ул. Селезнева, 2, телефакс: 239-68-31.

»8 15156

РНБ Русский фонд

2006^4 11665

Список обозначений

Введение

ГЛАВА 1 Линейные интегральные уравнения Вольтерра с однородными ядрами степени < —

§1.1 Устойчивость уравнения.

§ 1.2 Допустимость некоторых пар пространств относительно уравнения.

§ 1.3 Критерии допустимости пар (Ао, Ао) и (Со, Со) относительно оператора.

§ 1.4 Критерии допустимости пар (Ао, Ао) и (Со, Со) относительно уравнения.

§ 1.5 Критерии допустимости пар (ХА,т, Хл,т) и (Хл,т, ХЛ) т) относительно уравнения.

ГЛАВА 2 Линейные интегральные уравнения Вольтерра с однородными ядрами степени —

§2.1 Представление резольвенты разностного несуммируемого ядра.

§ 2.2 Асимптотика резольвенты однородного ядра, порождающего неограниченный в ВС оператор.

ГЛАВА 3 Асимптотика решения уравнения Вольтерра с однородным ядром степени —

§3.1 Некоторые свертки.

§ 3.2 Асимптотика решения со свободным членом из Ап

I. Настоящее диссертационное исследование посвящено изучению асимптотических свойств решений линейных интегральных уравнений Вольтерра с однородным ядром K{t, s).

Изучение различных асимптотических свойств решений уравнений составляет значительную часть соответствующей теории уравнений. Достаточно сослаться на методы малого параметра, усреднения, ВКВ-метод и другие. Не меньшее значение имеет и выяснение асимптотических по времени свойств решений уравнений, описывающих эволюционные процессы. Например, для дифференциальных уравнений этой задачей занимались такие математики, как А. Пуанкаре, О. Перрон, М. Хукухара, Э. А. Кодцинг-тон, Ф. Хартман и А. Уинтнер, Р. Беллман и многие другие. Их результаты уже вошли в учебники (см. [10], [23], [37], [42]).

В середине XX века активно изучалось асимптотическое поведение решений при t —У оо дифференциальных уравнений с запаздыванием (см., например, монографии А. Д. Мышкиса [28], Р. Беллмана и К. Кука [4]).

Асимптотика решений интегральных уравнений Вольтерра с разностным ядром, по-видимому, впервые изучалась Н. Винером и Р. Пэли [11]. Кроме того, в связи с задачами теории восстановления активно изучалось поведение решения уравнения восстановления. Соответствующие результаты подробно изложены в книгах В. Феллера [41] и Б. А. Севастьянова [38], [39]. Асимптотика решений интегральных уравнений Вольтерра с разностным ядром, а также асимптотическое представление резольвенты, интенсивно изучались Дж.Дж. Левиным [60]—[62], З.Б. Цалюком [46]—[48], [18]—[20], В. А. Дербеневым [15], [16], [18]—[20]. t t > 1,

B.l) i

В последнее десятилетие в ряде задач физики, биологии, теории игр и т.д. возникли интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с периодическими и однородными ядрами (см., например, [21], [52], [54], [68]).

Изучением асимптотики решений уравнений Вольтерра с периодическими ядрами активно занимались В. Ф. Пуляев, В. А. Дербенев, 3. Б. Ца-люк, В. Р. Винокуров (см. [3], [12], [17], [35]).

Первые достаточно полные исследования интегрального уравнения Вольтерра с однородным ядром степени —1 принадлежат Л.Г. Михайлову [27]. В связи с приложениями к задачам механики асимптотику некоторых уравнений с однородными ядрами рассматривал Р.В. Дудучава [21]. Вопросы инвариантности некоторых пар пространств относительно операторов и уравнений с однородными ядрами, нетеровость, а также асимптотика решений по логарифмической шкале изучались в ряде работ ростовских математиков Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко, М. А. Бетилгириева и других (см. [1], [2], [5]-[8], [13], [22]).

Асимптотика решений, в основном, изучалась для уравнений с однородными ядрами степени однородности —1. Как известно, этот класс уравнений при помощи экспоненциальных замен сводится к уравнению с ядром

K{t — s), зависящим от разности аргументов (см., например, [40]). При этом рассматривался тот случай, когда К G -£q[0, оо).

В данной диссертации рассматриваются вольтерровы уравнения и асимптотика их решения. В ней изучается не только случай однородного ядра степени —1, но и ядра с другими степенями однородности. При этом в случае степени однородности ядра —1 исследуются уравнения, которые сводятся к разностным уравнениям с несуммируемыми ядрами.

• Основная задача — выяснить свойства решения в зависимости от свойств свободного члена, в частности, получить условия, при которых при заданной асимптотике свободного члена решение также будет иметь определенное асимптотическое представление. Чтобы не быть связанными с определенной асимптотикой свободного члена, изучается разложение резольвенты, которое в каждом конкретном случае позволяет получить необходимые результаты. В работе асимптотическое представление резольвенты применяется к нахождению асимптотики решений при свободных членах, имеющих разложение по естественной для математического анализа степенной шкале.

Так как, кроме того, в диссертации изучается проблема устойчивости, то здесь естественно потребовать, чтобы соответствующий интегральный оператор с однородным ядром действовал в пространстве ВС непрерывных ограниченных функций. Как оказалось, для этого необходимо, чтобы степень однородности была < —1. Именно такие ядра и рассматриваются в данной работе.

В качестве основных результатов можно выделить следующие:

- установлено, что в случае степени однородности ядра < — 1 из действия оператора в пространстве ВС следует устойчивость уравнения;

- доказано, что в устойчивом случае из действия оператора в некотором замкнутом подпространстве X С ВС следует допустимость пары (X, X) относительно уравнения, то есть при свободных членах из X решение тоже принадлежит X;

- получены условия, при которых если свободный член уравнения разлагается по некоторой степенной асимптотической шкале, то и решение имеет аналогичное разложение;

- в случае степени однородности —1 для ядра, сводящегося к несумми-руемому разностному ядру, получено представление резольвенты в различных вариантах расположения корней символа;

- найдена асимптотика решения на бесконечности как в устойчивом, так и в неустойчивом случае при свободном члене, имеющем тейлоровское разложение в окрестности бесконечности.

Все результаты диссертации являются новыми.

Работа носит теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы при изучении интегральных уравнений Вольтерра с однородными ядрами, а также в некоторых задачах прикладного характера.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах и конференциях: семинар кафедры дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета (руководитель — доктор физико-математических наук, профессор З.Б. Цалюк); Воронежская зимняя математическая школа „Современные методы теории функций и смежные проблемы", Воронеж, 2001; XXXIX международная научная студенческая конференция „Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 2001; международная научная конференция „Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели", Челябинск, 2002; Воронежская весенняя математическая школа „Понтрягинские чтения - XIII", Воронеж, 2002; X международная конференция „Математика. Экономика. Образование", Ростов-на-Дону, 2002; школа-конференция „Лобачевские чтения", Казань, 2002; Воронежская весенняя математическая школа ,Донтрягинские чтения - XIV", Воронеж, 2003; VI Казанская летняя школа-конференция „Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", Казань, 2003; международная конференция „Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения", Махачкала, 2003; Воронежская весенняя математическая школа „Понтрягинские чтения - XV", Воронеж, 2004; Воронежская зимняя математическая школа „Современные методы теории функций и смежные проблемы", Воронеж, 2005.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [72]-[85]. В работе [78], выполненной совместно с 3. Б. Цалюком, ему принадлежит постановка задачи и указание методов исследования. Автору диссертации принадлежит подробное проведение доказательств.

II. Прежде, чем перейти к изложению основных результатов диссертации, приведем ряд известных утверждений, необходимых нам в дальнейшем.

Рассмотрим уравнение t x(t) = J K(t, s)x(s) ds + f(t), t > a, (B.2) a и оператор t

Kx) (t) = J K(t, s)z(s) ds. (B.3) a

Как известно (см., например, [43]), если ядро K(t, s) удовлетворяет условию Радона (например, непрерывно), то оператор (В.З) действует в пространстве С [а, оо) непрерывных функций и является вполне непрерывным, а уравнение (В.2) при любом свободном члене / € С[а, оо) имеет в С [а, оо) единственное решение. *

Определение В.1 [43, глава 2, §2]. Пара (X, Y) называется допустимой относительно оператора К, если любой элемент из пространства X он переводит в элемент пространства Y, то есть А!"(Х) С Y.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема В.1 [43, глава 2, §2]. Для допустимости относительно оператора К пары (ВС, ВС) необходимо и достаточно, чтобы t sup I IK(tt s)| ds < oo. t>a J a

Теорема B.2 [43, глава 2, §2]. Для допустимости пары (Ао, Ао) относительно оператора К необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия t

1) sup / I K(t, s)l ds < oo; t>a J a t

2) J K(t, s) ds e Ao; a T

3) J K(t, s)(r - s) ds e A0 для любого T > a. a

Теорема В.З [43, глава 2, § 2]. Для допустимости пары (Со, Со) относительно оператора К необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия t oo; а Т t

1) sup / I K(t, s)|<fs t>a J

2) J K(t, s)(T - s)ds £ C0 при любом T > a.

Определение B.2 [43, глава 2, §2]. Пара (Y, X) называется допустимой относительно уравнения (В.2), если для любого свободного члена / € Y соответствующее ему решение х £ X.

Определение В.З [43, глава 2, §1]. Уравнение (В.2) и ядро K(t, s) называются устойчивыми, если для любого е > 0 найдется такое S > 0, что из f е ВС, ||/||вс < $ следует х е ВС и ||х||Вс < £•

Теорема В.4 [20, §3]. Уравнение (В.2) устойчиво тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

1) пара (ВС, ВС) допустима относительно уравнения (В.2); t

2) sup I |i?(t, s)| ds < oo, где R(t, s) — резольвента ядра K(t, s); t>a J a

3) пара (ВС, ВС) допустима относительно резольвентного оператора R.

Справедлив также следующий критерий устойчивости. Теорема В.5 [45]. Пусть выполнены условия t

1) sup J I K(t, s)|ds oo;

2) существует такое T > 1, что ут == sup J j K(t, s)| ds < 1. т

Тогда уравнение с ядром K(t, s) устойчиво.

Определение В.4 [43, глава 2, § 1]. Уравнение (В.2) и ядро K(t> s) называются асимптотически устойчивыми, если они устойчивы и из /6 Со следует х € Со.

Теорема В.6 [20, §3]. Уравнение (В.2) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

1) пара (Со, Со) допустима относительно уравнения (В.2);

2) пара (Со, Со) допустима относительно оператора R.

Рассмотрим уравнение t с: о

Теорема В.7 [20, §4]. Пусть К € Li[0, oo). t = J K(t-/s)x(s)ds + f(t)i t> 0. (B.4)

1) Для того, чтобы R € L\[0, oo) необходимо и достаточно выполнения условия

K(z) ф\ при Re z > 0. (В.5)

2) Если выполнено условие (В. 5) и tpK G la [0, оо), где р G N, то tpR G L\[0, оо). Если, кроме того, tlK — о(1) при t оо, где 0 < I < р, то и tlR = о(1) при t 00.

Теорема В.8 [20, §5]. Пусть существует такое целое р > 0, что (tp + 1 )К G bi[0, 00). Если уравнение 1 — K(z) = 0 имеет в полуплоскости Re 2 > 0 конечное число корней Ai, Л2, Xq целой кратности mi, т2, тпя соответственно и р > ро = ^тах^mj, то резольвента ядра K(t) имеет вид

R(t) = D(t) + Ro(t) + D* ДЬ(*), ч где D(t) = ^Pmji(t)eAi* и tp-p°.Ro G Z/i[0, 00). Если, кроме того, j=l tlK = о(1) при t —> 00, I < р — ро, то tlRo = о(1), t —»■ 00.

Теорема В.9 [20, §6]. Пусть уравнение 1 — K(z) = 0 имеет в полуплоскости Re г > 0 конечное число корней Х\ = 171, Лг = 27,., Ar+i, ., Ад кратности mi + ai, ., mr -f ar, mr+1, ., mq соответственно, где mj > 0 целые, aj G (0, 1), причем m\ = m.2 = • • • = mr = = р0 = max mj. Пусть, далее, (t90 + l)K(t) € -£a[0, 00) и для всех

Re Aj=0 j = 1, 2, ., & j-po—i+otj - J(t- s)Po-1+a^e-^aK(s)ds € Li[0, 00). 0

Тогда резольвента R(t) представима в виде

R(t) = D(t) + Rx{t) + (p * R2) (t) = R3{t) + (D * R4) (t), г g где D(i) = JZ *а,"~1рро(0е<ъ'Pmj-i(t)eXjt uRte Li[0, 00). Если, кроме j=1 3=1 того, K(t) = o(l) при t оо, то и Ri(t) = o(l) при t —> 00.

Теорема B.IO [47]. Пусть K(t) € Li[0, 00) и уравнение 1—K(z) = 0 имеет в полуплоскости Re z > 0 конечное число корней Ai, ., Xq кратности mi, mq соответственно, причем mi, тГ — целые, а rrij, j > г — нет. Пусть, далее, для тех j, при которых Re Aj = 0, t tmj-i - J(t- s^^e-^Kis) ds G Li[0, 00) и t

- J(t- a^-V^'tf (a) ds e Li[0, oo). о

Тогда резольвента R(t) представима в виде

R{t) = D(t) + До(<) + (D * ДЬ) (t), где i=i i=r+i и До € -£a[0, oo).

III. Перейдем к обзору основных результатов диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Авсянкин О. Г. Об асимптотике многомерных интегральных уравнений с однородными ядрами. Ростовский гос. ун-т. Ростов-на-Дону, 1997. - 27 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.04.97, № 1201-В97.

2. Авсянкин О. Г., Карапетянц Н.К. Интегральное уравнение с однородным ядром в полушаре или в октанте. Ростовский гос. ун-т. Ростов-на-Дону, 1995. 52 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.10.95, № 2798-В95.

3. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об асимптотике решений интегрального уравнения на полуоси с периодическим ядром // Известия вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. - № 4. - С. 3-5.

4. Беллман Р., Кук К. J1. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 548 с.

5. Бетилгириев М. А. Об асимптотике некоторых интеральных уравнений с однородными степени -1 ядрами. Ростовский гос. ун-т. Ростов-на-Дону, 1981. 26 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.08.81, № 4180-81.

6. Бетилгириев М. А. Асимптотическое разложение решений одного ин-терального уравнения с однородными степени -1 ядром // Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, Элиста. 1983. -С. 12-18.

7. Бетилгириев М.А. Об одном классе операторов с однородными ядрами в пространстве // Математический анализ и его приложения, Грозный. 1984. - С. 65-70.

8. Бетилгириев М.А. Исследование асимптотики интегральных операторов свертки и с однородными ядрами. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1985. 120 с.

9. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 504 с.

10. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. - 464 с.

11. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964. - 268 с.

12. Винокуров В. Р. Об ограниченности решения системы линейных интегральных уравнений Вольтерра с периодической матрицей // Учен, зап. Уральск, ун-та. 1960. - Вып. 23. - С. 3-9.

13. Гиль А. В., Карапетянц Н. К. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве функций с ограниченной средней осцилляцией // Доклады РАН. 2004. - Т. 397. - № 1. - С. 1-4.

14. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т. 2. М.: Мир, 1966. - 1063 с.

15. Дербенев В. А. Асимптотика уравнения восстановления. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Кубанск. гос. ун-т. Краснодар, 1975. 103 с.

16. Дербенев В. А. К вопросу об асимптотике уравнения восстановления // Дифференциальные уравнения. -1976. Т. 12. - № 4. - С 743-746.

17. Дербенев В. А., Пуляев В. Ф. Структура резольвенты и устойчивость линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // Изв. Сев.-Кавказск. научн. центра высш. школы. Сер. естеств. наук. -1992. № 1-2. - С. 7-14.

18. Дербенев В. А., Цалюк 3. Б. К вопросу об асимптотическом разложении решений уравнения восстановления // Дифференциальные уравнения. 1974. - Т. 10. - JV® 2. - С 335-341.

19. Дербенев В. А., Цалюк 3. Б. Асимптотика резольвенты неустойчивого уравнения Вольтерра с разностным ядром j j Мат. заметки. 1997. -Т. 62. - Вып. 1. - С. 88-94.

20. Дербенев В. А., Цалюк 3. Б. Асимптотика решений линейных уравнений Вольтерра с разностным ядром. Краснодар, 2001. - 88 с.

21. Дудучава Р. В. Интегральные уравнения свертки с разрывными пред-символами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижнымиособенностями и их приложения к задачам механики. Тбилиси, Мец-ниереба, 1979. - 136 с.

22. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Об одном классе интегральных уравнений типа свертки и его приложения // Известия АН СССР. Математика. 1971. - Т. 35. - JV® 3. - С. 714-726.

23. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. - 474 с.

24. Кокс Д. Р., Смит В. А. Теория восстановления. М.: Сов. радио, 1973. -184 с.

25. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. -М.: Наука, 1977. 384 с.

26. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. - 380 с.

27. Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени — 1. Душанбе: Дониш, 1966. - 50 с.

28. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 351 с.

29. Плащинский П. В. О решении некоторых интегральных уравнений с ядрами специального вида // Тр. междунар. конф., посвящ. 90-летию со дня рожд. акад. Ф. Д. Гахова. Минск, 1996. - С. 279-282.

30. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. — М.: Мир, 1979. 493 с.

31. Пуляев В. Ф. Существование асимптотически и-периодических решений у интегральных уравнений Вольтерра // Изв. Сев.-Кав. научн. центра высш. школы. Серия естеств. науки. 1973. - № 4. - С. 75-78.

32. Пуляев В. Ф. Ограниченные и почти периодические решения линей-ныхинтегральных уравнений. I // Дифференциальные уравнения.1989. Т. 25. - № 10. - С. 1787-1798.

33. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линей-ныхинтегральных уравнений. II // Дифференциальные уравнения.1990. Т. 26. - № 8. - С. 1423-1432.

34. Пуляев В. Ф., Цалюк 3. Б. Об асимптотически ш-периодических решениях интегральных уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1974. - Т. 10. - № 6. - С. 1103-1110.

35. Пуляев В. Ф., Цалюк 3. Б. Об асимптотическом поведении решений интегральных уравнений Вольтерра в банаховых пространствах // Известия вузов. Математика. 1991. - № 12. - С. 47-55.

36. Раджабов Э. JI. Об одном методе решения некоторого особого интегрального уравнения Вольтерра. Ред. журн. „Дифференциальные уравнения". - Минск, 1984. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.11.1984, № 7241-84.

37. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1953. - Т. 1. - 346 е.; Т. 2. - 415 с.

38. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. - 436 с.

39. Севастьянов Б. А. Теория восстановления // Итоги науки и техники. Теория вероятностей. Мат. статистика. М.: ВИНИТИ, 1974. - Т. 11.

40. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: ГТТЛ, 1948.-480 с.

41. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. -М.: Мир, 1967. 752 с.

42. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

43. Цалюк 3. Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1977. - Т. 15. -С. 131-198.

44. Цалюк 3. Б. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13. - № 11. - С. 2096-2098.

45. Цалюк 3. Б. Линейные интегральные уравнения Вольтерра. Краснодар, Куб. гос. ун-т, 1980. - 71 с.

46. Цалюк 3. Б. Асимптотическая структура резольвенты неустойчивого уравнения Вольтерра с разностным ядром // Известия вузов. Математика. 2000. - № 4(455). - С. 50-55.

47. Цалюк 3. Б. Структура резольвенты уравнения восстановления // Известия вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. - Спецвыпуск. -С. 150-151.

48. Цалюк 3. Б. Структура резольвенты системы уравнений восстановления с разностным ядром // Известия вузов. Математика. 2001. -№ 6(469). - С. 71-79.

49. Burton Т. A. Periodic solutions of linear Volterra equations // Funckial. Ekvac. 1984. - 27. - № 2. - P. 229-253.

50. Coleman B.D., Renninger G. H. Periodic solutions of certain nonlinear integral equations with a time lag // SIAM J. Appl. Math. 1976. - 31. -№ 1. - R 111-120.

51. Corduneanu C. Integral equations and stability of feedback systems. New York - London: Acad. Press, 1973. - 238 pp.

52. Cushing J. M. Periodic solutions of Volterra''s population equations with hereditary effects // SIAM J. Appl. Math. 1976. - 31. - № 2. -P. 251-261.

53. Friedrichs К. O. Asymptotic phenomena in mathematical physics // Bull. Amer. Math. Soc. 1955. - 61. - P. 485-504.

54. Gripenberg G. Periodic solutions of an epidemic model //J. Math. Biol. -1980. V. 10. - № 3. - P. 271-280.

55. Han G. Q., Zhang L. Q. Hermite-type method for Volterra integral equations with certain weakly singular kernels //J. Comput.Math. 1995. - 13. -№ 4. - P. 306-314.

56. Kalia R.N. Л class of integral equations, involving H-functions // Сердика. Бълг. мат. списание. 1982. - 8. - № 1. - С. 104-108.

57. Kaplan J. L. On the asymptotic behavior of Volterra integral equations // Siam. J. Math. Anal. 1972. - 31. - № 1. - P. 148-156.

58. Lamb W. A spectral approach to an integral equation // Glasgow Math. J. -1985. 26. - № 1. - P. 83-89.

59. Levin J.J. On the asymptotic behavoir of solutions of integral equations / / Volterra Equations. Proc. of the Helsinki Symp. on Int. Equation, Otaniemi,Finland, 1978 (Lect. Notes in Math., 737). Springer-Verlag, 1979. -P. 137-148.

60. Levin J. J., Shea D. F. On the asymptotic behavoir of the bounded solutions of some integral equations. I // J. Math, and Appl. 1972. - 37. - № 1. -P. 42-82.

61. Levin J. J., Shea D. F. On the asymptotic behavoir of the bounded solutions of some integral equations. II // J. Math, and Appl. 1972. - 37. - № 2. -P. 288-326.

62. Levin J. J., Shea D. F. On the asymptotic behavoir of the bounded solutions of some integral equations. Ill // J. Math, and Appl. 1972. - 37. - №3.-P. 537-575.

63. Londen S.-O. On the asymptotic behavior of the bounded solutions of a nonlinear Volterra equation // Siam. J. Math. Anal. 1974. - 5. - № 6. -P. 849-875.

64. Londen S.-O. On the asymptotics on a nonlinear scalar Volterra integrodifferential equation // Volterra Equations. Proc. of the Helsinki Symp. on Int. Equation, Otaniemi, Finland, 1978 (Lect. Notes in Math., 737). Springer-Verlag, 1979. - P. 149-172.

65. Miller R. K. Asymptotic behavior of solutions of nonlinear Volterra equations // Bull. Amer. Math. Soc. 1966. - 72. - P. 153-156.

66. Miller R. K. Nonlinear Volterra integral equations. Menlo Park, Calif., W. A. Benjamin, 1971. - 468 pp.

67. Smith W. L. Asymptotic renewal theorems // Proc. of the Royal Soc. of Edinburgh S. A. 1954. - 64. - P. 9-48.

68. Sneider Ludovici M.A. Saggio di una teoria per un'equazione integro-differenziale che interessa la dinamica delle galassie // Rend. mat. 1973. -6. - № 4. - P. 811-857.

69. Stewartson K. On asymptotic expantions in the theory of boundary layers // J. Math, and Phis., 1957. 36. - P. 172-191.

70. Weis D. L. Asymptotic behavior of some nonlinear Volterra integral equations // J. of Math. Anal, and Appl. 1975. - 49. - P. 59-87.

71. Цалюк M. В. Устойчивость и асимптотика интегрального уравнения с однородным ядром // Известия РАЕН серия МММИУ. Т. 39. - № 4. -2001. - С. 17-24.

72. Цалюк М. В. Асимптотика решения уравнения Вольтерра с однородным ядром степени однородности а = — 1 // Материалы XXXIX между н. научн. студ. конф. „Студент и научно-технический прогресс". -Новосибирск, 2001. С. 124-125.

73. Цалюк М. В. Некоторые свойства решения линейного интегрального урав-нения Вольтерра с однородным ядром // Материалы Воронежской весен, матем. шк. „Современные методы в теории краевых задач. „Понтрягинские чтения XIII". - Воронеж, 2002. - С. 158-159.

74. Цалюк М. В. Асимптотика резольвенты уравнения Вольтерра с разностным несуммируемым ядром // Материалы школы-конференции „Лобачевские чтения". Казань, 2002. - С. 97-98.

75. Цалюк М. В. Асимптотика резольвенты и решений линейного интегрального уравнения Вольтерра с однородным ядром // Материалы Междун. конф. „Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения". Махачкала, 2003. - С. 117-119.

76. Цалюк М. В. Устойчивость и асимптотика решений линейного интегрального уравнения с однородным ядром // Кубанский госуниверситет. Краснодар, 2003. Деп. в ВИНИТИ 18.04.03, № 751 - В2003.

77. Цалюк 3. В., Цалюк М. В. Асимптотика резольвенты уравнения Вольтерра с разностным несуммируемым ядром // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39. - № 6. - С. 844-847.

78. Цалюк М. В. Асимптотика резольвенты одного уравнения Вольтерра с однородным ядром // Материалы Воронежской весен, матем. шк. „Современные методы в теории краевых задач. ,Донтрягинские чтения -XIV". Воронеж, 2003. - С. 151-152.

79. Цалюк М. В. О резольвенте линейного уравнения Вольтерра с однородным ядром // Материалы Воронежской весен, матем. шк. „Современные методы в теории краевых задач. „Понтрягинские чтения XV". -Воронеж, 2004. - С. 227-228.

80. Цалюк М. В. Асимптотика решения уравнения Вольтерра с однородным ядром II Материалы Воронежской зимн. матем. шк. „Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2005. -С. 243-244.Тезисы докладов по теме диссертации

81. Цалюк М. В. Интегральные уравнения Вольтерра с однородными ядрами степени однородности а = —1 // Воронежская зимн. матем. шк. „Современные методы теории функций и смежные проблемы": Тез. докл. Воронеж, 2001. - С. 278-279.

82. Цалюк М. В. Асимптотика решения интегрального уравнения Вольтерра с однородным ядром // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели: Тез. докл. междун. научн. конф. -Челябинск, 2002. С. 110.

83. Цалюк М. В. Об асимптотике решения интегрального уравнения Вольтерра с однородным ядром // X Международная конференция „Математика. Экономика. Образование": Тез. докл. Ростов-на-Дону, 2002. - С. 85-86.

84. Цалюк М. В. О резольвенте уравнения Вольтерра с разностным несум-мируемым ядром //6 Казанская междун. летн. школа-конференция „Теория функций, ее приложения и смежн. вопросы": Тез. докл. Казань, 2003. - С. 225-226.