Исследование решений некоторых нелинейных интегральных уравнений Вольтерра в окрестности особых точек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I, ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 12-31 ВШЪТЕРРА (ИУВ) С РЕГУЛЯРНЫМИ ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ

§ I, Об ограниченных решениях нелинейных ИУВ

§ 2. Асимптотика исчезающего решения нелинейного ИУВ

ГЛАВА П. РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ ИУВ В ОКРЕСТНОСТИ 32

РЕГУЛЯРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ

§ 3, Аналитическая структура решений нелинейных ИУВ

§ 4. Построение семейств исчезающих решений нелиней- 40 ных ИУВ

ГЛАВА Ш. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА 53

РЕШЕНИЙ ИУВ В ОКРЕСТНОСТИ ИРРЕГУЛЯРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ

§ 5. Асимптотическое представление решений линейного 53 однородного ИУВ: действительная независимая переменная

В последнее время наблюдается резкое возрастание интереса к теории интегральных уравнений Вольтерра (ИУВ). Интерес к этой теории вызван неуклонным ростом их применений в прикладных задачах (в математической биологии, математической физике, теоретической экологии и др.), а также тем, что уравнения Вольтерра являются не просто частным случаем уравнений Фред-гольма, а составляют особый класс уравнений со своими специфическими задачами.

ИУВ встречаются еще в работах Абеля (1826 г.), Лиувилля (1838 г.), Каке (1864 г.), фукса (1870 г.) и Пеано (1888 г.) [50;59;82]. Впервые к таким уравнениям с самой общей точки зрения подошел В.Вольтерра[ 79-81 ], откуда они и получили свое название.

Совсем недавно М.К.Керимов привел обширную библиографию некоторых новых работ по интегральным и интегро-дифференциаль-ннм уравнениям как Дополнение к переводу монографии В.Вольтерра [ 20 ].

Библиография, приведенная А.З.Цалюком в [бо] вместе с довольно богатой библиографией, имеющейся в [20], дает возможность оценить направления развития теории этих важных для приложений уравнений. Кроме того, имеется обзорная статья [35], в которой отражены работы советских математиков, опубликованные в последние 15-20 лет, посвященные исследованию интегральных уравнений.

В наиболее общем виде, при котором не теряется его специфика, нелинейное интегральное уравнение первого и второго рода с параметром, входящим регулярно, можно записать так:

SI

4c*> jX&SyW)^)^^) , ten, где J - непрерывные функции, Л - действительный или комплексный параметр.

Хорошо известно, что задача решения уравнения Вольтерра первого рода является некорректной задачей. А.Н.Тихоновым и его учениками предложен метод регуляризации решений нелинейных интегральных уравнений первого рода, а затем эти задачи решались численными методами с применением ЭВМ [58]. М.М.Лаврентьевым предложен ряд основополагающих методов типа последовательных приближений для нелинейных операторных уравнений первого рода [38]. В [34] М.И.Иманалиев в пространстве непрерывных функций применяет регуляризацию при помощи сингулярных возмущений, при которой интегральные уравнения первого рода заменяются интегро-дифференциальными уравнениями второго рода с малым параметром при производной.

Г.С.Литвинчук в [40;41;43] изучал поведения решений интегральных уравнений с аналитическими ядрами в окрестности особых линий, в работе [42] им рассмотрены особенности интегральных уравнений Фредгольма в случае подвижного полюса.

АЫ.Шешко и В.С.Мастяница [64] предложили элементарный способ получения точного решения одномерного сингулярного интегрального уравнения. .

В.Р.Винокуровым [14-1б] введены для нелинейных ИУВ второго рода определения сильной устойчивости, асимптотической устойчивости и т.д., соответствующие аналогичным понятиям для обыкновенных дифференциальных уравнений. Периодические и почти периодические решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра были изучены в [II;17-18;52-56]. Существование ограниченных решений интегро-дифференциальных

Ряд результатов теории нелинейных уравнений Вольтерра изложен в [47].

А.З.Цалюк, М.М.Шамсутдинов [61-63] рассмотрели вопросы ограниченности и стремления к конечному цределу при f-*00 решений ЙУВ второго рода.

Р.А.Анваровым и Г.С.Ларионовым [i] было показано, что в системе "хищник - жертва", изучение которой было начато Вольтерром [к]» слабая нелинейность дает эффекты, которых нет в линейном случае.

В работах [74;75;77] положено начало применению методов топологической динамики к изучению ИУВ второго рода.

Ввиду того, что мы в дальнейшем будем заниматься только изучением решений ИУВ в о1фестности особых точек, мы остановимся далее на работах, посвященных этому воцросу. В самом начале развития теории ИУВ Лалеско и Вольтерра обнаружили тесную связь между особыми линейными ИУВ и линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с особой точкой [20; 59;73;8l].

Исследование решений ИУВ в орфестности особых точек восходит к Горну [70]. Изучению аналитической структуры решений нелинейного скалярного ИУВ с особой точкой в случае, когда X^ijS^) голоморфная функция в окрестности точки = О , посвящены работы [22;23;70;7б]. В этих работах построены решения уравнения (I) в виде тех или иных уравнений Вольтерра изучалось в [7]. о

I) сходящихся рядов. Естественно, что структуры этих рядов существенным образом зависят от известной функции ) , В работах [24;2б] дана структура решений интегро-дифференци-альных уравнений, для которых уравнение (I) является частным случаем.

Нелинейное скалярное ИУВ вида

-tVo = Сшьчв))** + (2) о рассматривается в [бб] при определенных условиях на функции и 4ft) ' слеДУя работам [22;70;7б], найдены решения уравнения (2) также в виде сходящихся степенных или обобщенно-степенных рядов.

Разложения решений многомерных ИУВ в охфестности регулярных особых точек рассмотрены Э.И.Грудо [27;28].

Горн в [71] исследовал систему линейных ИУВ

А/У = / ttft'S) + -¥-(*), (3) о в случае ^Cf-f/S) , - голоморфные функции в о!фестности точки -£-£=0 , - целое число. Конечно, характер решений уравнения (3) существенным образом зависит от канонической формы матрицы tfojO) и числа ^ , а также от того, является ли система (3) однородной. Работы [l2, § 5.5; 65;78 ] служат хорошим дополнением к исследованиям Горна, относящимся к (3).

Э.И.Грудо в [26;29] построил решения системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (которые содержат как частный случай систему (3) при / ) в виде сходящихся рядов.

Линейные интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с особыми точками изучались в работах [8;9;31;33;45;68;69].

Линейные ИУВ с произвольной неподвижной особенностью исследовались в [10;51Т.

Л.Н.Сретенский [57] рассматривал линейные ИУВ в предположении аналитичности ядра и свободного члена. Исследуется влияние полюсов свободного члена и особенностей ядра на решение. Предполагается, что ядра есть частное двух целых функций.

Линейные ИУВ с особой точкой типа (3) ( ) возникают в теории распространения волн в средах с памятью [44].

Все основные понятия аналитической теории дифференциальных уравнений [l3;2I;36;39], такие, как регулярная особая точка, иррегулярная особая точка целого ранга, асимптотическое представление решения в окрестности особой точки и другие , были с успехом перенесены Н.А.Магницким [46] на линейные ИУВ. Это еще раз показывает, что наиболее близким математическим объектом к уравнениям Вольтерра являются обыкновенные дифференциальные уравнения.

В настоящее время асимптотические методы продолжают развиваться, ибо численные и асимптотические методы не исключают, а взаимно дополняют друг друга. Хорошо известна важность асимптотических рядов в теории дифференциальных уравнений [13;36;67]. Оказывается, асимптотические ряды играют не менее важную роль и в теории ИУВ с особыми точками [см.,например, 65; 7l].

В настоящей диссертационной работе получен ряд новых результатов, относящихся к теории нелинейных ИУВ с особыми точками.

Будем говорить, что точка i= О является регулярной (иррегулярной) особой точкой ИУВ f%ft,s,u(sj)ds + о A J если £ = / ( £ ~ целое > / ).

В первой главе^изучается ИУВ с регулярной особой точкой iufi) = ЯIu/sjds 4s ^//У, ±4.0, (4) о о когда функции, определяющие уравнения, непрерывны. В первом параграфе рассматривается уравнение (4) при -//£)= О . Приведены достаточные условия существования однопараметрического семейства ограниченных решений уравнения (4) и выделены их главные члены. Показано, что найденными решениями исчерпываются все ограниченные решения уравнения (I) в окрестности точки -Ь-0 . Даны также условия,при которых уравнение (4) не может иметь ограниченных решений в о!фестности -Ь=0 , исключая тривиальное.

Во втором параграфе даны достаточные условия, при которых решение укороченного уравнения,соответствующее (4), является главным членом асимптотики решений нелинейного уравнения

4) (конечно, при этом

Во второй главе исследовано разложение решений в тот или иной сходящийся ряд в окрестности точки -t- о уравнения

У 7Г — х^ds+^X^s^/c^.^^cfs tfab (5) где > <£> / - Целые числа; и -ffl) голоморфные функции в окрестности точки -L-S = t(f0 = • -•

К j > J J DtJ0

В третьем параграфе рассмотрено интегральное уравнение

5) при и построены решения в виде сходящихся обобщенно-степенных рядов. Также показано, что найденные решения охватывают в окрестности точки -t-o все ограниченные решения уравнения (5).

В следующем параграфе найдены решения уравнения (5) при ' . Показано, что построенным однопараметрическим семейством решений исчерпываются все ограниченные решения уравнения (5) ив этом случае.

Третья глава посвящена изучению асимптотической и аналитической структуры решений нелинейных ИУВ в окрестности иррегулярной особой точки.

При действительной независимой переменной в пятом параграфе дано асимптотическое разложение решений линейного однородного ИУВ с иррегулярной особой точкой.

В шестом параграфе найдена асимптотическая и аналитическая структура исчезающих вместе с -Ь решений некоторых клас~ сов нелинейных ИУВ с иррегулярной особенностью на основе решений укороченного линейного однородного ИУВ. При этом независимая переменная считается действительной. Доказано, что найденное однопараметрическое семейство ограниченных решений включает в себя все ограниченные решения данного уравнения в о!фестности точки i-'O . Далее, в седьмом и восьмом параграфах рассмотрена система ИУВ с иррегулярной особой точкой

4гЩ = + /Щ) ds -t ff*)J> (6)

О о где fnxnj - матрица и (пм) -матрицы CfcfejSjtfJ^ f-t) - голоморфны в 01феСТН0СТИ точки -£=£=4-0; fyftjSjO) = о и по tL начинается с членов не ниже второго измерения, - целое число, ^ - комплексная переменная.

В седьмом параграфе исследовано уравнение (6) при -£(t)=o.

Пусть £ -сектор с вершиной в начале координат и с углом t раствора, не цревосходящее —-— . н

В секторе g ,содержащем в себе положительную вещественную полуось, при определенных условиях на собственные числа матрицы Ж [о; о) построено решение нелинейного уравнения (6) в виде сходящегося ряда на основе общего решения соответствующего укороченного линейного однородного ИУВ,

В последнем параграфе доказано, что интегральное уравнение (6) при условиях , 4(°h //У " ° ъ cl-ct$fojo)fo имеет в любом секторе $ голоморфное исчезающее решение и дано асимптотическое разложение этого решения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [З-б]. Работа обсуждалась на семинаре по интегро-дифференци-альным уравнениям в Институте физики и математики АН Кирг.ССР, на семинаре по дифференциальным уравнениям в Институте математики АН БССР и республиканском семинаре по программе "Диф-ференциал-2" при Белорусском государственном университете им. В.И.Ленина.

На защиту выносятся следующие результаты:

Даны достаточные условия существования однопараметриче-ского семейства ограниченных решений нелинейного ИУВ в окрестности регулярной особой точки и выделены их главные (в смысле асимптотического поведения) члены; показано, что этими решениями исчерпываются все ограниченные решения данного уравнения в окрестности особой точки; приведены достаточные условия, при которых нелинейное ИУВ не может иметь ограниченных решений в окрестности регулярной особой точки, исключая тривиальное; построен и дан главный член асимптотики исчезающего решения для некоторых классов нелинейных ИУВ, когда функции, определяющие уравнения, непрерывны; дано разложение решений в тот или иной сходящийся ряд новых классов нелинейных ИУВ с регулярной особой точкой цри условии, когда функции, определяющие уравнения, голоморфны; показано, что найденными решениями исчерпываются все ограниченные решения данного уравнения в окрестности особой точки; изучена асимптотическая и аналитическая структура решений нелинейных систем ИУВ с иррегулярной особой точкой в комплексном случае.

1. Анваров Р.А,, Ларионов Г,С, Модель Вольтерра со слабонелинейной наследственной характеристикой, - Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, №8, с. 1494-1496.

2. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений.-Мн.: Вышэйш.школа, 1979. 136 с.

3. Байзаков А.Б. Асимптотическое поведение решений одного нелинейного интегрального уравнения Вольтерра. Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, 1983, № 2, с. 29-34.

4. Байзаков А.Б. Об одном классе интегральных уравнений Вольтерра с особой точкой. Минск, 1983. - 14 с. - 1>укопись представлена редкол.ж. "Изв.АН БССР. Сер, физ.-мат.наук" Деп. в ВИНИТИ 07 июля 1983 г,, Л 3758-83 Деп.

5. Байзаков А.Б. Разложение решений одного класса интегральных уравнений Вольтерра. В кн.: Исслед.по интегро-дифференц.уравнениям. - Фрунзе, 1983, с.357-371.

6. Байзаков А.Б. Асимптотическая и аналитическая структура решений одного интегрального уравнения с иррегулярной особой точкой. Мн., 1983, - 21 с. (Препринт / Ин-т математики АН БССР: 24 (181)).

7. Байнов Д,Д., Самойленко A.M., Сарафова Г.Х. Существование ограниченных решений одного класса интегро-дифферен-циальных уравнений типа Вольтерра. Nonlinear vibration Problems , 1979, т.19, с.127-135.

8. Бектеналиев А. Асимптотические решения интегро-диф-ференциального уравнения первого порядка с особой точкой.В кн.: Исслед.по интегро-дифференц.уравнениям. Фрунзе, 1973, с,213-219.

9. Бектеналиев А. Исследование вырожденного интегро-дифференциального уравнения с особенностью. В кн.: Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Фрунзе, 1979, с.114-124,

10. Бильман Б.М., Панов Л.И. Интегральные уравнения типа Вольтерра с произвольной неподвижной особенностью. Докл,АН Тада. ССР, 1970, т. 13, Л 8, с. 13-16.

11. Боташев А.И., Талипова Л.А. Условия существования периодических решений нелинейных систем интегро-дифференци-альных уравнений типа Вольтерра в некритическом случае. -Изв. АН Кирг. ССР, 1974, В I, с.8-11.

12. Быков Я.В. 0 некоторых задачах теории интегро-диффе-ренциальных уравнений. Фрунзе: Главиздат Министерства культуры Кирг. ССР, 1957. - 328 с.

13. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Пер. с англ. В.Ф.Вутузо-ва, А.Б.Васильевой и М.В.Федорюка. М.: Мир, 1968. - 464 с.

14. Винокуров В.Р. Некоторые вопросы теории устойчивости систем интегральных уравнений Вольтерра, I. Изв. высш.учебн. заведений. Математика, 1969, № 6, с.2^-34.

15. Винокуров В,Р, Некоторые вопросы теории устойчивости систем интегральных уравнений Вольтерра, П. Изв.высш.учебн. заведений. Математика, 1969, №7, с.28-38,

16. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование / Пер. с франц. О.Н.Бондаренко. М.: Наука, 1976. -288 с.

17. Вольтерра В, Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / Пер. с англ. и дополнение М.К.Керимова. М,: Наука, 1982. - 304 с.

18. Голубев В.В, Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЕ, 1950. - 436 с.

19. Грудо Э.И. Об одном случае интегрального уравнения Вольтерра. Дифференц.уравнения, 1965, т.1, $ 2, с,214-218.

20. Грудо Э.И, Изучение решении одного класса интегро-дифференциальных уравнений. Дифференц.уравнения, 1965, т.1, В 4, с. 535-544.

21. Грудо Э.И. Об одном классе интегро-дифференциальных уравнений, Дифференц,уравнения, 1965, т,1, В 6,с.767-772,

22. Грудо Э.И. Разложение решений одного интегро-диффе-ренциального уравнения. Дифференц,уравнения, 1966, т.2,12, сЛ587-1593.

23. Грудо Э.И, 0 решениях одной системы интегро-дифференциальных уравнений в окрестности особой точки» I Дифференц. уравнения, 1967, т.З, $ 5, с.761-770.

24. Грудо Э.И, 0 решениях многомерного интегрального уравнения Вольтерра в окрестности особой точки, Дифференц. уравнения, 1967, т.З, $ 7, C.III9-II26.

25. Грудо Э.И. О разложении решений многомерных интегральных уравнений Вольтерра в окрестности особых точек. -Дифференц.уравнения, 1968, т.4, № 6, сЛ071-1080,

26. Грудо Э.И, 0 решениях одной системы интегро-диффе-ренциальных уравнений в окрестности особой точки. П. Дифференц. уравнения, 1969, т.5, $ II, с.2041-2049.

27. Гурса Э. Курс математического анализа / Пер. с франц. А.И.Некрасова, т.1. -М.-Л,: Объед.науч.-техн. Изд-во НКТП СССР, 1936. 592 с.

28. Донская Н.В., Панков П.С., Бектеналиев А. О достаточном условии существования решения системы интегро-диффе-ренциальных уравнений в ощ)естности особой точки. В кн.: Исслед. по интегро-дифференц,уравнениям, - Фрунзе, 1973,с.220-226.

29. Ерутин Н.П, Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Мн.: Наука и техника, 1979. - 744 с.

30. Иванова М.А. Существование решения одного класса интегро-дифференциальных уравнений в окрестности регулярной особой точки. В сб.: Дифференц,и интегральн.уравнения. -Иркутск, 1976, с.230-237.

31. Иманалиев М.И, Методы решения нелинейных обратных задач и их приложения. Фрунзе: Ияим, 1977. - 347 с,

32. Иманалиев М.И., Хведелидзе Б.В. и др. Интегральные уравнения, Дифференц.уравнения, 1982, т. 18, № 12, с.2050-2069.

33. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Пер. с англ. Б.М.Левитана. -М.: Ш, 1958. 474 с.

34. Колмогоров А.Н,, Фомин С,В, Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 544 с,

35. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СОАН, 1962.-92 с.

36. Латышева К.Я., Терещенко Н.И., Орел Г.С. Нормально-регулярные решения и их приложения. Киев: Вища школа, 1974. - 136 с.

37. Литвинчук Г.С. Об особенностях решений комплексного уравнения Фредгольма в случае подвижного полюса ядра. -Ростов н/Д, Уч.зап. ун-та, 66, Тр. физ.-матем.фак,, 1959,7, с.117-139.

38. Литвинчук Г. С. О функции, определяемой интегральным уравнением Фредгольма с аналитическим ядром, В сб.: Исслед. по соврем, пробл, теории функций комплексного переменного, -М., 1961, с.241-249.

39. Локшин А.А., Суворова Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью. М.: Изд-во МГУ, 1982. - 152 с,

40. Магницкий Н,А. Линейные интегральные уравнения Воль-терра I и Ш рода, Ж, вычисл.матем. и матем.физ., 1979,т. 19, № 4, с, 970-988.

41. Магницкий Н.А. Асимптотика решений интегральных урашений Вольтерра I рода. Докл. АН СССР, 1983, т.269, J6 I, с.29-32.

42. Мамедов Я.Д., Аширов С. Нелинейные уравнения Вольтерра. Ашхабад: Ылым, 1977. - 176 с.

43. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций, т.1,Изд. 2-е. М.: Наука, 1967. - 486 с.

44. Михайлов Л.Г. Новый класс интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами, Душанбе: Изд-во Ш Тадж, ССР, Труды, т.1, 1963. - 183 с.

45. Мюнтц Г.М. Интегральные уравнения. Часть I: Линейные уравнения Вольтерра. М.: ОНТИ, 1934. - 330 с.

46. Панов Л.И. Об интегральных уравнениях с ядрами, имекъ щими неинтегрируемую особенность произвольного порядка. -Докл. АН Тадк. ССР, 1967, т.Ю, В 6, с,3-7.

47. Пуляев В.Ф. Существование асимптотически со -периодических решений у интегральных уравнений Вольтерра, Изв. Сев,Кавказ,научн,центра высш.школы, серия естеств.наук, 1973, № 4, с,75-78,

48. Пуляев В.Ф. Об со -периодических решениях линейных интегральных уравнений Вольтерра. Научн,тр.Кубанск,ун-та, 1974, вып.180, с.132-134.

49. Пуляев В.Ф,, Цалюк 3,Б. Об асимптотически со -периодических решениях интегральных уравнений Вольтерра. Дифферент уравнения, 1974, т.Ю, № 6, C.II03-III0.

50. Пуляев В.Ф., Цалюк 3,Б, Асимптотически почти-периодические решения интегрального уравнения Вольтерра. Научн, тр.Кубанск.ун-та, 1974, выпЛ80,сЛ27-131.

51. Самойленко A.M., Нуржанов О.Д. Метод Бубнова-Галеркина построения периодических решений интегро-дифферен-циальных уравнений типа Вольтерра. Дифференц.уравнения, 1979, т.15, № 8, с.1503-1517,

52. Сретенский Л.Н. Memoire sur les equations de M.v. Volterra. Матем,сборник, 1931, т,38, вып,1-2, с,1-44.

53. Тихонов А,Н., Арсенин В.А, Методы решения некорректных задач, М,: Наука, Изд, 2-е, 1979. - 286 с.

54. Трикоми Ф. Интегральные уравнения / Пер. с англ. Боярского и И,И.Данилкка. М.: Ш, I960. - 300 с.

55. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра. В кн.: Матем.анализ (Итоги науки и техники), т.15. М,: Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ, 1977, с.131-198.

56. Цалюк З.Б., Шамсутдинов М.М. К вопросу об асимптотике решений линейных интегральных уравнений Вольтерра. Дифференц. уравнения, 1970, т.6, №9, с. 1567-1573.

57. Цалюк З.Б., Шамсутдинов М.М. О существовании предела при решения нелинейного уравнения Вольтфра, Дифференц. уравнения, 1971, т.7, $ 12, с.2253-2258.

58. Цалюк З.Б., Шамсутдинов М.М. Об ограниченности решений одного класса нелинейных уравнений Вольтерра. В кн.: Мат.анализ. - Краснодар, 1971, с. 63-71.

59. Шешко й*А,, Мастяница B.C. О решении одного двумерного сингулярного интегрального уравнения первого рода. -Докл. АН БССР, 1980, т.24, № 9, с.773-776.

60. Щерба А.З. Асимптотическое разложение решения интегрального уравнения Вольтерра. В кн.: Мат.анализ. -Краснодар, 1971, с.85-91.

61. Щерба А.З. Голоморфные решения одного класса интегральных уравнений Вольтерра. Дифференц.уравнения, 1974, т. 10, J6 II, с. 2079-2080.

62. Эрдейи А. Асимптотические разложения / Пер. с англ. Н.Я.Виленкина. М.: Физматгиз, 1962. - 128 с.

63. Chambers L.G. The problem of eigenvalues in some singular homogeneous Volterra integral equations.- Proc. Amer. Math. Soc., 1974, v. 42, N 1, p. 140-142.

64. Fenyes T. On the operational solution of the convolution type integral equation of the third kind. Stud. Sci. Math, hung., 1977, v. 12, N 1-2, p. 65-75.

65. Horn ST. Uber eine nicht lineare Volterrasche Integral-gleichung. Jahresbericht d.D. Math. Ver., 1914, v.23,S. 85-90.

66. Horn J. Singulare Systeme linearer Volterrascher In-tegralgleichungen.- Math. Zeitschr., v. 3, S. 265-313» 1919.

67. Hukuhara M. Pri singula punkto de la ordinare diferen-ciala exvacio de unua ordo, Journ. Рас. Sci., Kyusyn Univ., 1949, v. 3, P. 9-21.73» Lalesco T. Introduction a la theorie des equations integrales.- Paris, 1912.- 152 p.

68. Miller R.K., Sell G.R. A note on Volterra integral equations and topological dynamics. Bull. Amer. Math. Soc., 1968, v. 74, N 5, p. 904-908.

69. Miller R.K., Sell G.R. Volterra integral equations and topological dynamics. Amer. Math. Soc. Mem., 1970, N 102, 67 p.

70. Sato T. Sur 1'equation integrale.- Journal of the mathematical society of Japan, 1953, v. 5, N 1, p. 145-153.

71. Sell G.R. The geometric theory of Volterra integral equations. A preliminary report. "Proc. EQUADIFF III. Ill Cze-chosl. Conf. Different. Equations and Applicat., Brno, 1972." Brno, J.E. Purkune Univ., 1973, p. 139-143.

72. Takesada Т. On the singular point of integral equations of Volterra type.- Journal of the mathematical society of Japan, 1955, v. 7, И 2, p. 123-136.

73. Volterra V. Sulla inversion© degli integrali definiti.-Rend Accad. Lincei, 1896, v. 5, N 5, p. 177-185.

74. Volterra V. Sulla inversione degli integrali imultipli.-Rend. Accad. Lincei, 1896, v.5, N 5, p. 289-300.

75. Volterra V. Sulla inversione degli integrali definiti.-Atti Accad. Torino, 1896, v. 31, p. 311-323, 400-408, 537-567, 693-708.

76. Volterra V. Lecons sur les equations integrales et las equations integro-differentielles. Paris, 1913*- 162.