Приближенные методы в теории нелинейных интегральных уравнений Вольтера первого и третьего рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ Специализированный совет Д 01.97.70

На правах рукописи

РГК ОД

Омуров Таалайбек Дардайылович „

^ 4 чпп 2т

УДК 517.9

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Бишкек - 2000

Работа выполнена в лаборатории вычислительной математики Института математики Национальной Академии наук Кыргызской Республики

Научные консультанты: доктор физико-математических наук,

академик HAH Кыргызской Республики М.И. Иманалиев,

доктор физико-математических наук, профессор А. Асанов.

Официальные оппоненты: член-корр. HAH Республики Казахстан, .

доктор физико-математических наук, профессор К А. Касымов, доктор физико-математических наук, профессор С.Н. Алексеенко, доктор физико-математических наук, профессор Г. И. Бижанова.

Ведущая организация: Научно-исследовательский вычислительный

центр Московского Государственного университета им. Ломоносова

Зашита диссертации состоится " 2000 г.

и часов на заседании Специализированного совета Д 01.97.70. по

присуждению ученых степеней доктора и кандидата физико-математических наук в Институте математики Национальной Академии наук Кыргызской Республики.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке HAH Кыргызской Республики.

Автореферат разослан " //Zf ¿-0//J? 2000 г.

Отзыв на автореферат просим прислать по адресу. 720071. Бипгкек-71, Проспект Чуй. 265"а", Институт математики HAH Кыргызской Республики, Специализированный совет Д 01.97.70.

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

С. Искандеров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широкое приложение интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода в прикладных задачах приводят к интенсивному развитию теории различных, классов таких уравнений. Вопросы разрешимости и смежные вопросы, различными способами исследованы в работах Лаврентьева М.М., Иманалиева М.И., Бухгейма A.JL, Аниконова Ю.Е., Романова В.Г., Асанова А., Аниконова Д.С., Апарцина A.C., Денисова A.M., Сергеева В.О., Магницкого H.A., Янно Я. й в других.

В отмеченных работах были построены вольтерровые регуляризиру-ющие операторы, а также доказаны существование и единственность решения исходных задач с ядром, отличным от нуля или обращающимся в нуль только в некоторых точках на диагонали.

Одним из способов исследования, развитым М.И. Иманалиевым, является приближенная замена исходной задачи сингулярно-возмущенной и ее исследования с помощью пограпслойных функций.

Далее, в работе Иманалиева М.И. [а] был разработан подход, связанный с такими функциями, уже для исследования нелинейных уравнений Вольтерра первого рода, так как нельзя "естественно" определить никакую нелинейную функцию в пространстве обобщенных функций.

Одним из важных типов прикладных задач, связанных с вышеуказанными уравнениями, считаются краевые и нелокально-краевые задачи типа Бицадзе-Самарского. Задачи такого характера интенсивно развивались за последние 30 лет в работах Бицадзе A.B., Самарского A.A., Нахушева A.M., Елеева В.А., Кальменова Т.Ш., Ахиева С.С., Салахитдинова М.С., Кумыковой С.К., Керефова A.A., Вабищевича П.Н., Напсо А.Ф. и других авторов. Вышеназванные задачи были исследованы для различных классов уравнений. Например, это задачи типа Трико ми, нелокальные задачи для уравнений типа Лаврентьева и другие классы. В некоторых нелокальных задачах [б, в] возникают уравнения Вольтерра первого и третьего рода. В них эти уравнения приводятся к интегральным уравнениям второго рода с использованием гладкости известных функций (или исключая особенности в определенных точках).

В некоторых математических проблемах встречаются вышеуказанные классы задач, где полученные вспомогательные уравнения являются интегральными уравнениями Вольтерра первого, третьего рода с негладкими (не дифференцируемыми) ядрами и тождественно обращающимися в нуль на диагонали со свободным членом, отличным от нуля при любых значениях аргумента._

а. Иманалиев М.И. Обобщенные решения интегральных уравнений первого рода.

Фрунзе-Илим, 1981.-144 с.

б. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных гипербола-

параболических уравнении //Днфференц. уравнения. T.K.JVbl, 1979.-С 41-53

в. Нахушсв A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные

уравнения Вольтерра III рода//Днфференц. \ равнения. Т. Х.№1, 1974.-С. 100-111.

В этих условиях такие классы задач являются некорректными по Адамару в С [О, Т], так как не выполнено необходимое условие разрешимости: f(()) ---0. В этом случае, когда отсутствует априорная информация о решении, те методы, которые указаны в вышеуказанных работах, не применимы и построение особого решения остается открытым для изучаемых уравнений.

Таким образом, возникает вопрос об построении пространств, в которых существует особые решения различных классов системы интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода, когда ядро обращается в нуль на диагоналях, а свободные члены отличны от нуля и о построении приближенных решений исследуемых уравнений, в частности, при помощи теории сингулярных возмущений при предположении, что особое решение существует.

Цель работы заключается в исследовании единственности особого решения системы интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода и системы уравнений Вольтерра третьего рода, изменяющих свою форму на различных отрезках, когда ядро тождественно обращается в нуль на диагонали, а свободные члены отличны от нуля и о построении особых приближенных решений при помощи теории сингулярных возмущений, А также в построении приближенного решения нелокальных краевых задач типа Бицадзе-Самарского для систем со смешанной структурой.

Нами разработаны методы для построения особых приближенных решений указанных задач с помощью малого параметра с теми условиями, которые упоминаются выше. Изучены обобщенная сходимость решений регуляризирующих систем к решениям эквивалентных задач, когда ¿'->0 и поведение решений в окрестности особой точки.

Приближенное решение понимается в том смысле, что оно слабо сходится к решениям эквивалентных задач, когда параметр регуляризации стремится к нулю.

Используется следующее пространство Z(lf), введенные в упомянутой книге М.И. Иманалиева, это пространство, элементами которого являются все кусочно-непрерывные с конечным числом разрывов первого рода и суммируемые на [0,1] функции, также z(x) - обобщенная функция, сосредоточенная в начале координат с условием, если пробная функция цг(0)= 0 ■ 'z,y/ и его подпространство Z(Uj всех кусочно-непрерывных с конечным числом разрывов первого рода и суммируемых на [0,1] функций.

Эти результаты продолжают исследования Иманалиева М.И., Лаврентьева М.М., Асанова А., Бухгейма А.Л., Янно Я., Денисова A.M. и др.

Нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского, также задачи с обратным временем, рассматриваемые в работе, примыкают к исследованиям Нахушева A.M., Иманалиева М.И., Елеева В.А., Кумыковой С.К., Полубариновой - Кочиной П.Я., Керефова A.A. и других.

Методы исследования. Основными являются понятия эквивалентных преобразований и интегральных представлений и методы приближенного

решения интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода, при помощи сингулярных возмущений. Также используются следующие специальные пространства.

Для некоторой функции О <Щ1) е ¡' (0,Т) и для константы Со О

г

обозначим (р(1)~ и введем линейное пространство С [О,Т] всех

о

функций и А) на [0,17, удовлетворяющих условиям: \iift) -и(т)\< С'0 \ср(1) - <р(т)\', с нормой: , , I ) - и(т)\ .

11и1= шах \ и(1)\+ ,шр ——--1 о <у <1, (отсюда следует, что

,Е/0,Г] ■ (,,т1^0Т]\<р(1)-<р(г)\.

и(0) =0), через Ьрк(0,'Г) - линейное пространство суммируемых функций,

г

удовлетворяющих условиям: ?)\и(гЖ < со, и норма определяется в виде:

о

т 1

\\и(*У\[р},Ч\Ыг)\и(1)\р й)'. о

Для введенных в обозначений пространств, дополнительно с нижным индексом 'V' будем обозначать соответственно пространства п - мерных вектор-функций. Также отметим, что нижний индекс от 1 до п в вектор-функциях указывает соответствующую компоненту функции.

Если функция Ъ(г) - ограниченная и а 0, то С.]Р[0,Т] = СГ10,Т]-

пространство Гельдера.

Научная новизиа. Получены следующие основные результаты: я.1) Для интегральных уравнений типа Вольтерра первого и третьего рода сформулированы эквивалентные задачи, дающие возможность использования теорию резольвент.

а.2) На основе эквивалентных задач, построены регуляризирующие системы (РС) без учета априорной информации о исходных данных и о решении. а.З) Установлена структура решений (РС), включающая в ссбя специфическую функцию типа погранслойной.

а.4) Доказана сходимость решений (РС) к решениям эквивалентных задач при £->0 и установлено поведение этих решений в окрестности особой точки. а.5) Построено особое приближенное решение с малым параметром для интегральных уравнений Вольтерра третьего рода, изменяющее свою форму на различных отрезках.

а.6) Получен модифицирующий вариант основного метода для построения особого приближенного решения системы интегральных уравнений Вольтерра - Урысона;

а.7) разработанный способ применен для построения решения граничных задач типа Гурса с обратным временем и задач Бицадзе-Самарского для

систем интегро-дифференциальных и интегральных уравнений смешанной структурой.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы для построения приближенных решений с малым параметром:

а) для функциональных интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода,

б) для полуявных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с краевыми задачами нелокального характера и условием Гурса с обратным временем, включающим в себя уравнения Вольтерра первого и третьего рода, а также могут быть применены к задачам интегральной геометрии.

Апробация работы. Результаты работы доказывались на республиканских, всесоюзных, международных конференциях (Респ. научн. конф. "Дифференц. уравнения и их приложения". - Фрунзе: КГУ, 1989; Респ. научи, конф. "Дифференц. уравнения и их приложения". - Ош: ОшГУ, 1993; Всесоюз. конф. "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач".-Бишкек, 1991; Междунар. конф. "Некорректно поставленные задачи в естественных науках". - Москва, 1991; Междунар. научно-практ. конф. "Проблемы механики и прикладной математики". - Бишкек, 1995; Междунар. научно-теор. конф. "Проблемы развития суверенного Кыргызстана". - Бишкек: Чуйск. ун-т, 1997; Междунар. научно-теор. конф., поев. 5 летию Чуйск. ун-та. - Бишкек: Чуйск. ун-т, 1999; Междунар. научно-практ. конф. "Современные технологии образования в высшей школе". -Бишкек: КГНУ, 1999) и доложены на семинарах Института математики HAH KP в 1993, 1996, 1998 (руководитель семинара академик HAH KP Иманалиев М.И.), на семинаре лаборатории численного анализа ВЦ МГУ в 1991, 1997 (руководитель семинара профессор Морозов В.А.), на семинаре лаборатории обратных задач Института математики HAH KP в 1995, 1999 (руководитель профессор Асанов А.), на семинарах факультета математики и кафедры математического анализа (в 1996 - КГНУ, руководитель профессор Саадабаев A.C., в 1999 - КГНУ, юбилейный семинар кафедры математического анализа).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-26]. Работы [1-5] опубликованы совместно с консультантами академиком Иманалиевым М.И. и доктором физико-математических наук, профессором Асановым А. Консультантам принадлежит подстановка задач и обсуждение задач с теми условиями, которые введены для известных функций, автору - идея разработки методов и доказательство теорем.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы и списка литературы, содержащего 111 наименований. Объем текста 215 страниц.

Содержание работы

Основным объектом исследования первой главы является система интегральных уравнений Вольтерра третьего рода, т.е.

p(x)u(x) + (Lu)(x) = f(x),xeD = [О, Т], (1.1)

где

X М(х)

Lu=j K(x,r)ii(z)dr + \ Kg(x,z,u(r))dT. (1.2)

о о

Если р(х)=0, то получим уравнения Вольтерра первого рода. Как обычно в теории уравнений типа Вольтерра введем множество Di = {(х, т) / 0< т<х< Т}.

Известные данные удовлетворяют следующим условиям: Ai)ClJ0,T]bf(x) и f(x)*0, VxeD.

А2) р(х), М(х) - неубывающие функции с условиями: С[0,Т] э р(х)\ = 0;

р(х)>0, Ухе(0,Т], М(0) = (), (0<М(х)<х<Г, VxeD). Аз) К(х,т) eC„(Di), K(x,rj\^ sO, К(х, 0) = 0.

Л^) Существуют такие константы щ, ¡3, Ф, и функция 0<h(x)sL'(0,T), что

к

M(x)eCv'(D) для <p(x) = \h(r)dr,2i \\К( х,т) - К( у,т)\,<С,(<р(т)f х

и

х\<р(х)~<р(у)\; p(x)<q0 (q>(x))P, \/xeD, О "Ci, 2 + сс0 </3,0 <а0 < 1, (р(хJJ'1 И(х) = М0(х)е L'(0,T); 0 - d0 mm f?(x) = I.

i <=>."J

As)K0(x,t,u) еС„0Л,ф0), K0(x,r,u)\T=^O, K0u(x,r,u)l=x^O, D0'D,xR\ K0(x,0,u) = 0, KCu(x,(),u) = 0, причем WKofx.v.uJ-Kofy.T.umC^pfT)/ <p(x)-cp(y)\, \\К0и(х,г,и)~К,т(у,т,и)\\<С02(<р(г))!' <p(x)-<p(y)|, 0 Co,,Co2-

В (1.1) Z„(U)3 u(x) - искомая векторная функция и предпологается, что это решение существует.

В условиях (Ai - Aj) требуется:

1) построить регуляризирующую систему, решение которой принимается в качестве приближенного особого решения,

2) построить решение регуляризированной задачи, 3) изучить поведение построенной функции иЕ fx) в окрестности особой точки х=0, когда £—* 0 и доказать сходимость к решению эквивалентной задачи.

В основном, вопросы исследования, связанные с проблемами (1-3), в случае f(0) =- 0, (М(х) ~ х) и К(х, х) Ф 0 были изучены в пространствах C„(D), C.J/D), CI „(D), Lf/0, Т), (р> 1, 0 < у < 1). Полученные результаты по

указанным проблемам отражены в работах Иманалиева М.И., Асанова А., Денисова A.M., Янно Я., Апарцина А.С. и других. Уравнение (1.1), когда заданные функции дифференцируемы по .t и р(х) - 0, в работах

Горошко O.A., Савина Г.Н., Елеева В.А. и других приведено к уравнению Вольтерра второго рода и решено в Cn(D). Подобные задачи в случае f(0)^0 в работах Иманалиева МИ. (М(х)= х , р(х)= 0) с известными гладкими функциями исследованы с учетом погранслойных функций.

В работах Иманалиева М.И., Асанова А., в случае М(х) = x,f(0) = 0 для изучения разрешимости и вывода априорных оценок регуляризированнЫх

задач использована теория резольвент с учетом ядра (——К(т,т)).

£

Но, если в классе не гладких (не дифференцируемых) функций ядро тождественно обращается в нуль на диагонали, то вышеотмеченный метод не применим, так как К(т, = 0. В работе доказана:

Лемма 1Л. При условиях (А! - As) уравнение (1.1) эквивалентно уравнению

р(х)и(х) + ]H0(s)u(s)ds - \H(s)(Qu)(s)ds + (Lu)(x) =f(x), (1.3)

О о _

где Щх) = diag(Hoi(x).....Нф)), Нв,(х) - d0h(x)f,2 (х). (i - 1,п);

Н(х) =diag(H,(xJ,..., H„(xj), Щх) - JohfxjMfxj, (i - 1,п), а (Qujfx) = colonfOifu,,..., и„),..., On(ui,..., и„)), О,(и,,..., ип) з uI(x)[pfx)u1(xj н-+ L,(iii,..., u„)J,... ,0„(иi,..., ип) ' и„(х)[р(х)и„(х)+ L„(ui,..., и,,)].

Для уравнения (1.3) нами предлагается регуляризованная задача

(е + р( xjjuj х) + \H0(s)uJs)ds - \H(s)(QuJ(s)ds + (LuJ(x) = f(x),{\A)

а о

ue(0)=—f(V), ((О, I) э £- малый параметр), (1.5)

s

для которой можно использовать теорию резольвент, т.е. для матричного

ядра (----Я 0( г )) можно найти в явном виде резольвенту R(x,t,£),

с + р(х)

которая имеет форму R(x,z,e) ~ -W0(х,т,е)-Н0(т), (г < х), где

£ + р(х )

1У0(х,т,£) = ехр(-]Р^^-), причем 11W0(x,x,s)\\<у[пехр(-\-^—^—), т<х.

\£ + p(s) \s + P(s)'

1 1

Еслир(х)=0, то W(x,T,£) = схр(— \H0(s)ds), т<х.

Далее, решение системы (1.4) ищется в виде

и€(х) = v(x) + S(x.e) + -П(х,е), (1.6)

£

где v(xj, %(х,£), П(х,£) - новые искомые п - мерные векторные функции с условиями: v(0)=0, д(0, £)=(), 11(0,s)^j(O). Тогда для определения этих

функций, используя теорию резольвент, получим систему уравнений вида: П(х,£) = --]\Г(х,т,е)Н0(т)/(0)11т + /СО) =1У(х,0,е)/(0); (1.7)

е

о

4(х,Е) =--1—Л\У0(х,т,Е)Н0(*){-+ £ + ~П))(х) -

£ + Р\ х) о £ + Р(т) о £

- --!Ц— [(Ц V + ^ + - я !)(т) - (Ьу)(т) + п(т) + —р(т) х

с + р(т) с с

х Щт,е)1№ +--'-—¡НС^ЖО^ + £ + ~П])(*) - №)(*)№--х

£ + р(х)>0 а £ + р(х)

х[е>(х)-ь ~Р(Х)П(Х,£)+(1/\'+ £ + -П](х)- (1у)(х)] = П])Сх,а); (1.8)

г с

ГГ^х^ ^ р(хМх) + - ]н(5)(0»)(ы)(1я + (Ьу)(х) =

= /(х)-/(0). (1.9)

Доказана:

Лемма 1.2. В условиях (Л1 - А5) функция П(х,е) единственна на Д

причем имеет место оценка: \\П(х,е)\,<^п\\ /(0) \ | е £

Теорема 1.1. Если уравнение (1.9) имеет решение в С„ (О) (или Су п(I))) и известные данные удовлетворяют условиям (А| - А5). То:

а)уравнение

(Ь,\)(х)= (Ь vs)(x) г 8 че(х) ~ /Сх) - /СО), Vх е Д (1.10) однозначно разрешимо в классе для достаточно малых 8 0;

б) при 3-Я), решение \'$СХ) сходится к решению ч(х) еСп СО) с оценкой:

¡| vCx)-vs(x)\>k:.<2e^:rГ<;-'(2N0+l)JпS|-/,>\\vfxj\c+(Ы0+1)^(3^)] ■

в) если у(х) е (у(0)=0) , то имеет место

11 \'(х)-ъ(х)\г< Г(Ы0 + 1)^М„С4 + \>0м()м0 ]81 , где 0 < 02 = ситг, Сл = .чир туе~', у 0 = /¡е^у''1^, 0<ро< 1,

г?/о.<»; о

М0= шр С\\у(х)-уСт)\\)(\(р(х)-<р(т)\у\ \\х(х)\\<г,УхеП,

(х.т>€0

.чир ; I у((р~'Су)) - чСф~](*))\\ - модуль непрерывности, <р~'(у)-

]_)'--.<;<£'

обратная относительно <р(х), (у - <р(х), ус[0, <р(Т)], хе[0, Т]).

Следствие 1.1. При условиях теоремы 1.1 следует, что задача (1.9) может иметь не более одного решения в ('„С О) (или С.'0П С О)).

Теорема 1.2. При условиях леммы (1.1; 1.2), теоремы 1.1 уравнение (1.8) однозначно разрешимо в классе функций С„(О) и при ¿ ->0 равномерно сходится к нулю на О с оценкой:

а) \\^(х,£)\\с<2ев'т{е-'(2Ы0 \Ых)\\с +(N0 + 1)^*1(6*') + + е^оз), когдау(х) е С„(В);

б) если у(х) е (i)), то имеет место

+ 1)4пМ0С4 +^М0Лг„ + еа><23), (0 <(]: ,03 = сопи, см. гл. 1, параграф 1.1/

Теорема 1.3. Пусть выполняются условия (А! - А5), лемм (1.1, 1.2), теорем 1.1, 1.2. Тогда система нелинейных уравнений (1.4) имеет единственное решение,"представимое в виде (1.6) и это решение при е 0,0 < £ < е и< 1 на (0, Т] сходится к решению уравнения (1.9) с оценкой:

а) 11„ю-и/х)\ \ < 2е~т {е1 (2к'0 + \ \ у(х) \\с + (м0 + (с*) +

+ +~М\1(0)\\е * , когда ?(х)еСп(Р);

£

б) если \(х)еС\.а(0), то \\у(х)-гф)\\< 2е°'т([(Ь'0 +1)4пМ0С4 +

,--/ ■— -~<Р( х)

£

Далее рассматривается уравнение для функций от двух переменных: р(1)и(х,1) + (10и)(х,1) = /(х,1), (1.11)

I м<1)х

где Ь0и = \ К(х,1,7])и(х,т])с!?1+ | | Ка(х,1,т],г ,и(г ,т]))йтс1т], о I) а

А,) С1/(И)эДх^гО, У(х, 1)еО = [О, X] х[0, Т]. А относительно = О,

(0<М(1)<1<Т, Ъе[0,Т]), С[О,Т]эр(1)\г__0=О, Сп(В7)э К(х,1,п)\п_ =0,

К(х,1,0) = 0, р(()<д0(<р(1)/, V/ е [0,Т],(2 + а0 < {3,0 <ад<1), Сл0Л0Л> (О3)зК0(х,1,т1,т,и) и Ко(х^,т],т,и)\м^0, К0и(х,1,?],т,и){Г^0, К0(х,с,0,т,и) = 0, КОи(х,1,0,т,и) = (), В2 {(х,1, г\} /0 <х <Х, 0 <ц <( <Т}, В3 = Б х D х Е", выполняются условия типа (А2 - А5).

В рамках условий (А1-А5), получены результаты, подобные к результатам лемм 1.1,1.2 итеорем 1.1-1.3.

В этой же главе рассмотрены другие варианты уравнений (1.1), (1.11). В §1.1,1.3 приведены и изучены иллюстративные примеры. При вышеуказанных исследованиях одним из важных аспектов считается вопрос, в каком смысле регуляризируюгцие системы дают приближение решение уравнения (1.1), т.е. можем ли получить условие вида

¡i(Фие)(х) -f(x)И , <¿>, Vxe[0,T], (O 8 -сколь угодно малое число, 1- q- fi), где (Фщ)(х) -\KQ(t,f{t))uJt)dt - ]H(t,f(t))(Qut)(t)dt +p(x)u/x) +

9 0

+ fLue)(x). Как ответом поставленного вопроса получены леммы вида: Лемма 1.3. Если (<р(х))~РeL1 (О, Т), то имеют место:

I I

а) |\П(х,е)\\ <(у2Т0)" í; *; = П = sup \ ¡(<pftjrfidt\, 1 \q-;Д

¡o,TI О

I

б) \\щ(х) - v(xj\[¡? <(24TM¡'(e) + 7¡Toefi-y "; Wtfx, с)\\с<М,(с), (Mi(e)-A) при s-Ю), у, = FyflPpPeP, y0 - (4n\\f(ü)\\f.

Лемма 1.4. При условиях леммы 1.3 выражение (Фие) (х) - f(x) сходится к нулю в смысле IJ(0, Т), т.е. имеет место оценка вида:

\\(Фие)(х)-/т» < [2"у,"(2"ТМ!'!(С) + Г1Т0£^У + -Pfer+MofeVT + i_ i / 1_ г 41,у2То£Р] "-£(>■ + Mi(£)) Т « - (у¡Го) " (е») 4 VxefO, TJ;

уз р(Т), (М0(£), М2(е) -Ю при s -#)).

В главе 2 изучаются системы интегральных уравнений Вольтерра третьего рода вида:

p(x)U(x) + (LU)(x) = f(x), (2.1)

X

где LIJ = \К(х, г)g(t,U(т))dz, а функция р(х) определяется по правилу

о

[0, хеЛ = [0,хи ],

\р0(х), хеВ = 1х0.Х], (2.2)

Bi) р0(х0) = 0, С(В)э pfí(x)>0, \/х<г(хи,Х ], ро(х) - неубывающая функция.

При задании функции р(х) в виде (2.2) система (2.1) меняет форму на отрезке А, переходя к системе интегральных уравнений Вольтерра первого рода. В связи с этим рассматриваются две задачи. В частности, первая задача для (2.1) ставится следующим образом:

Первая задача : Построить решение системы

p0(x)n(x) + (Lu)(x) = Ffx), хеВ, (2.3)

__.т

где (Lu)(x)= \lí( х,т )%(т,и(т ))dr, если известно точное решение системы

x¡.

(Lz)(х) - f0(х), х е А, (2.4)

Кг) F(x)*0,4xzB.F(x) = f(x)- ¡K(x.t)¡>(t,zT(t))dt.

о

Точнее, в параграфе 2.1 система (2.1) имеет правую часть, определенную по

{fix) X E A

Je[ j' ' где fjx) предсгавимав виде: f,(x), xsB,

ft(*) = fo(x) + £Q(x,zT(x),e), (Q(x,zt,£)-*0, e->0). (2.5)

В правой части параграфа 2.1 при дифференцируемой по t матричной функции K(x,t) такой, что, K(x,t)\=x=0, K,(x,t)[ х=0 для системы (2.4) с правой частью fs (х) доказывается, что решение цепочек систем:

X

ze(x) = G(x,vs(x)), S vs(x) + jvs(t)dt = w£(x) + Sv(0), x e A;

о

£w'£(x) + ]Kl(x,t)w£(t)dt = fs(x), xeA, we(0) = 0,

о

сходится по метрике пространств Cn(A), Lpn(А) при 8—Ю к известному точному решению zT(x), х с- А системы (2.4), т.е. имеем:

Теорема 2.1. Пусть K(x,t)eCf;'(A), g(x.z) еС°п'(D0) и gz(x, z)>a-0, V(x,z)eD0 = A x R",zT(x)-точное решение системы (2.4). Тогда если fe(х) представимо в виде (2.5), то при достаточно малом £&(0,Ь1~(2М0С0)~1)

таком, что а = >-:(S )-> 0 и £ ^ ^ о при S —> О, имеет место оценка

5

7 1

\\zT(x)-Zg(x)\[.<LG[4a1^P- + -i\\v(x)\>v е + WV(S^)J.

о

Лемма 2.1. Если выполняются условия теоремы 2.1 и zT(х) е- Lqn(А), то справедлива оценка

l+i -

\\zT(x)-zs(x)\\r,<Ll;£<+ (-)ч(1 + 2М0с)а,,УхеА, где 1 q.

q

Из постановки первой задачи видно, что приближенным решением (2.3) является функция и/х) и это решение ищется в виде

и/х) = v(x) + с(х, е) + —П(х,е). Для этого, на основе леммы 1.1, система (2.1)

£

приводит ся к виду аналогичному (1.3), который допускает построение регуляризирующей системы вида:

(£ + Ро(х))и£(х) = -]H0(t)u£(t)dt + \H(l)(Que)(t)dt-(L(u£)(x) + х0 х0

+ F(x), u,(x0) = h>(хд), (2.6)

£

при этом П(х, /:), ¿(х, £), v(x) определяются из уравнений типа (1.7)-(1.9), а f- малый параметр, (Qu)(x)=colon(01(uI,.. ,и„), ...,Q„(uh... ,и,)).

Чтобы использовать такую методику необходимо, кроме выше допущенных предположений, выполнение следующих условий, т.е.

Б3) существуют такие константы с/о, ß, dg и функция О <h(x)eb! (х0,Х),

X

что p(x)<q0 (tp(x))ß, VxeB, 2 + а0 <ß,()<a0 <1, р(х)~ jh(t)dr,

XО

(p(x))~>h(x) = M0(x)<=L,(x0,XJ; 0 ' d0 min F,2(x)^l.

Б4) K(x,t)eC°„!(D), K(xj)\t^0, K(x,x0)-O, g(x,z) eC°J (DJ ng/x,zj>a :-0, \f(x,i)eD2 —DxR", \\К(х,т)-К(у,т)'\<С,(<р(т))в\<р(х)-<р(у)\, 0< C;. При условиях (БгБ4) доказывается, что решение и£(х) системы (2.6) для всех хе(хо, X], сходится к решенгао системы (2.4) с правой частью F(x) - F(x0).

Для решения первой задачи для системы: p(t)U(x,t) + (L0U )(x,t) = f(x,t), (2.7)

с кусочно-непрерывной правой частью предполагаем, что

Г0, teA = [ 0,t0 ], p(t) = \ 0

\p0(t),teB = [t0lT], (2.8)

Ро(Ч)~0< C(B) э р0(l) >0, V? e(l0,T] и является неубывающей функцией,

I I X

где LUU = \K(x,t,T])U(x,tj)dr] Щ K0(x,t,i],r )^(т],т,и(т,?]JJdrdtj, а

О 0 0

диагонально-матричные функции K(x,t,r/), K0(x,t,Tj,r) порядка пхп, обращаются в нуль на диагонали.

Далее, производится регуляризация системы интегральных уравнений Вольтерра третьего рода на £>; , с учетом, что известно точное решение системы (2.7) на Do = [ОХ]* А, а вектор функция C„l'1(Dl)3F(x, 1)^0, Vfx,t) е О, = [0,Х] х [t0,TJ. Эти результаты содержатся в §2.2.

В третьем и четвертом параграфах изучается другая задача, которая для системы (2.1) ставится следующим образом:

Вторая задача: При правой части ]о(х)^ 0 найти решения системы (2.4) на части А отрезка [0,Х], если известно точное решение zT(x) системы (2.3) на части В отрезка [ОХ], при этом предполагается выполнение условий (Ei - Б4).

В этой задаче f(x) задается по правилу: f(x) = \0^

|JJx),xc.B.

В вышесказанных условиях регуляризированная система, строящаяся на основе леммы 1.1, имеет вид:

г и/х) = -fH0fsX (s)ds + (L2us ) (х) + j0 (xj, (2.9)

о

X

где L2uc = \H(s)(QuJ(s)ds-(Lue )(x), (Qu.)(x)= co!on(Q,(u,,..., un),..., 0

Qn(u,,..., и n)), a Qi(iij,..., un) =ii,(x)(L,(u,,..., u„))(x),.. , Oifu,,..., u„) = - u/xJfLnfiii,..., u„))(x), при этом решение (2.9) ищется в виде

иг(х) = и(х) + £(х,е) + -П(х,е). (2.10)

s

Теорема 2.5. При выполнении условий (Бi - Б4) и

7 ч ■ 00

Ki=(N]Co + -е'1 JyfnQ4<l,rae Q4=2C1niLi\((p(s))pds, Со-fe^zdr = 1,

2 о о

0 < Л'/ = const, решение регуляризированной системы (2.9) единственным образом представимо в виде (2.10) для любого 0<е < ¿ь < 1- Причем

ие(0) = - f0(O) и при всех хе(0,х0] это решение ujx) сходится к решению с"

системы с правой частью fo(x) -fo(0), когда e->Q.

Лемма 2.6. Пусть j е(х) представима в виде (2.5) и имеют место

условия (Б]-БД No(x)^(p(x))-'((p(x))ß&l](x0,X), zT(x)&Cln(B). Тогда,

если ^ ->0 при ö—Ю, то справедлива оценка 11 zT (х) - zs (х) \\< ^ М,. S S

Здесь использованы обозначения вида:

М,- ^expfCjL^NofsJds), ¡j ]h(s)Js\\<T,,Ö <Lg=sup\\gu(x,u)\u

■ч ч n°

N3 = Х-хо, ! j /2 (х) - f s (x) [j < a(S ), Ух e В, a zs (x) -решение задачи

S г'/х) + p(x)zs(x) = -(Lzs)(x) + Fs(x). xeB, FS(x) ~ Js(x) ~ }K(x,t)g(t,v(t))dt + 8 --V '(x), zs(x0) = 0.

0

Аналогичные результаты в параграфе §2.4 получены при решети: второй задачи для системы уравнений Вольтерра (2.7).

В главе 3 исследованы системы уравнений Вольтерра первого рода вида-

]к(х,т,и(т))<1т = /(х), (3.1)

о

в которых известные функции удовлетворяют условиям:

A,) f(x) е С'„(D), D = [0,XJ; f(0)*0-,

А2) K(x,T,uJeC„°-0J(D0) : К(х,т,и)\т=х^0, Ки( х,т,и]\^0.

А3) Существуют такие функции 0 h(x) е ¿¡(О, X) и такие константы

а0, Д ( 2 + а0 <: ß,() <а0<1), что

|| Цх.т.и) - К(у,т,и)| \<С0,Х0(Т) | ср(х) - (р(у) X0(x)(<p(x))~ß е 1,(0,X), \\Ки(х,т,и)-Ки(у,т,и)\\<С02Х0(г)\<р(х)~<р(у)\, 0 ■ Coi,Co2.

X

<р(х) •= ¡hfl)di, D0 = {(х,т,и)/0<т <x< X, R" эй}.

о

A4) Пусть f(x) =f0(x) +fi(x) и пусть существуют константы d0, d1 такие, что

Cl(D)*f0(x)*O.VxeD, а Сп'(1))эШ \\j)(x)\\<dj(9(x)f, VxeD и do min foi2(x) I-

[i=l,nj

В работе Иманалиева М.И. [а] был использован метод для приближенного особого решения уравнения (3.1), основанный на теореме:

Теорема 1.6.1. Если функции К(х,т,и) и f(x) непрерывны по своим аргументам и непрерывно дифференцируемы по х, и и Ки(х,т,и)>Я> 0, функция К х(х,т,и) удовлетворяет условию Липшица по и, то уравнение

jK(x,r,ucJdr = / fx) - e ef(0), имеет единственное решение, представимое

о

С - , С ~

ввиде: и (x) = G(x,—e е + Mi(x,£)),\w(x,ej\<C0,\uJx)\<Cj +— е е, £ £

где C,C'i = const, (i -0,2), не зависящие от £, G(x, и) - непрерывная

функция, удовлетворяющая условию Липшица по и .

Для доказательства этой теоремы использованы соотношения вида:

/

K(x,x,ue(x)) + \Kx(x,t,ue(r))dr-= f'(x)+-e cf(0). (3.2)

о

£

1 ~

К(х,х,и) = v(x), и(х) = G(x,v(x)), we(x) - v.(x)--с с f(0),

s

wc(x) = -\Kx(x,t,G(t,wc(t) + ш.е~~'))с1т + f'(x). (3.3)

о £

Отметим, что при выполнении условия вида К(х, х, и) = 0, непосредственно метод доказательства этой теоремы не применим, т.е. нельзя построить соотношение вида (3.2). Следовательно, ставится вопрос, как построить решение уравнения (3.1) в условиях (Ai - АД Нами доказана:

Лемма 3.1. Пусть выполняются условия (А! - А4). Тогда уравнение (3.1) эквивалентно уравнению

]H0(s)u(s)ds - ]h(s){(Qu)(s) - H](s)n(s)}ds + )к(x,s,u(s))ds = f(x), (3.4)

00 0

где Hofx) = diag(Hoi(x),...,Hn„(x)), H0,(x)- d0hfx)f0i3(x), (i=l,n),

H(x) =diag(H,(x),..., H„(x)), Щх) = d0h(x)f0l(x), (i~J,n),

H,(x) =diag(Hn(x),..., Hln(x)), H,,(x) =f,,(x). (1 - l,n), a

(Ou)(x) = colon(Oi(ui,..., u„),.. , On(u[,..., ii„)), Qi(uj,..., u„) - iiifx) x

x x

x\K ifx,s,v,.....ujds,..., Q„(u,,..., un) - у„(х)\К„(х, s, u,. ,u„)ds.

о 0

Лемма 3.1 является модифицированным вариантом леммы 1.1. Далее, введена регуляризирующая система вида:

еи,(х) + ¡Н0(т)иЕ(т)с1т = ¡Н(т){(Оие)(т) - Н/тМт)}^ - ¡К(х,т,

О 0 о

+ (3.5)

(3.6)

£

и решение представлено по правилу: и (х) = и(х) + £(х,с) + —П(х,е).

£

Применив, относительно полученных систем, теорию резольвент, получим для определения векторных функций П(х, е), £(х, е), и(х), систему уравнений:

П(х,е) = ~-\¥(х,т,£ )Н0(т ) Г(0)с1т + //0) = 1¥(х,0,е) Г(0), (3.7) П(0,е) = ДО);

£(х,е) = -~)\¥(х,т,е)Н0(т){-)щ*){[(О[о + 4 - (Ои) ($)] -

£ 0 £ о £

- )[&*) + -П(*,е)]}сЬ - - Г (К(т,х,о(з) + ^(¡.е) + - П($,е)) - К(т,5,

£ Е% £

и(н)))фу - и(т)}<1т + -\Н($){[(01 и + ])(*) - (Ои)(х)] - Н,(X £ д £

х [%(т,е) + -П(т,е)]}& - и(х)--](К(х,тр(т) + Ц(т,е) + -П(т,£))-

£ Ед £

-К(х,т,и(т)))с!т, (4(0,£) = (>), (3.8)

X X X

¡Н0(з)и(з)сЬ - ¡Н(х){(Ои)(*) - Н,(.<;)и(5)}сЬ + \К(х^,и(5))сЬ = 0 0 о

= /(х)-/(0), и(0) = 0. (3.9)

Доказана:

Лемма 3.2. Пусть уравнение (3.9) имеет решение в СП(В), причем имеют место условия (А1-А4) и леммы 3.1. Тогда уравнение (3.9) имеет единственное решение в С„(0).

Лемма 3.3. При условиях (А] -АД леммы 3.1 функция П(х,е) определена единственным образом по правилу (3.7) и допускает ограничение:

\\П(х,£)\\<М0\\./(0)\\е~

Лемма 3.4. Если выполняются условия (А[ - А4) и лемм 3.2, 3.3, то уравнение (3.8) однозначно разрешимо в С„(В) и векторная функция ¿¡(х, е) при £ —Ю на [0,Х7 сходится к нулю по норме пространства ("'„(О).

Теорема 3.1. Пусть имеют место условия (А; - А_0, лемм 3.1-3.4. Тогда уравнение (3.5) с условием (3.6) имеет единственное решение ие(х) и при

s-*0 сходится к решению и(х) уравнения (3.9) па (0,Х] с оценкой: 1|и/х) - v(x)\\ < II 4 \\Дх, £)\\с.

s

Отметим, что полученные результаты при исследованиях уравнения (3.1) применимы и интегральным уравнениям Вольтерра первого рода, где искомые функции зависят от двух переменных.

В главе 4 изучены два вида краевых задач для нелинейных систем, которые содержат интегро-дифференциальные уравнения и интегральные уравнения Вольтерра первого и третьего рода. Первый тип краевых задач - это задачи типа Гурса с обратным временем, а второй тип задач - это задачи типа Бицадзе-Самарского. Аналогичные задачи исследованы в работах Иманалиева М.И., Нахушева A.M., Лаврентьева М.М., Вабищевича П.Н., Музылева Н.В., Напсо А.Ф. и других, т.е. исследуются граничные обратные задачи, состоящие: я) в определении неизвестного граничного условия на одном из концов отрезка, шли б) в определении некоторых неизвестных функций в граничных условиях с дополнительным условием о зависимости решения от времени. Их методы решения основаны на нелокальном возмущении дополнительного условия или методах, основанные на экстремальных значениях искомых функций.

Такие задачи встречаются в теории теплообмена, в модельных задачах теории изучения "иерва", в часности, это системы типа Ходжкин-Хаксли-Фидзуха. В задачах первого н второго вида, когда в системах участвуют интегральные уравнения Вольтерра первого или третьего рода с недифферен-цируемыми ядрами, которые некорректны по Адам ару в С.[0,Т] и отсутствует априорная информация о решении, то методы, использованные вышеназванных работах не применимы. Поэтому в рамках указанных проблем отмеченные классы задач требуют изучения. Этим вопросам посвящены исследования, которые содержатся в §4.1- 4.3.

В параграфах 4.1, 4.2 исследованы задачи вида: (Lu)(x, t) =f(x, I, v(x, I)) + (Lq[u, <p])(x, 1), (4.1)

(Ll(p)(x) =fo(x) r )\M o(x,. tj, t, ufy r), u(rj. 0))dtdij, (4.2)

0 0

xT

nfO, t) - 0, u(x, TJ -\\M ¡(x, /;, t, u(ii r), u(ii 0))duir], (4.3)

о 0

x t

где (Lii)(x, t) = uxt(x, I) + b(x)ut(x, t) - a(t)ux(x, l), (L0[u, <p])fx, 1) = f jK;(x, г,

no

7j, t,u(t], t), (piij))drd7j;

a) (L,<p)(x) mp(x)<p(x) -\Ko(x, 7], <p(i]))dq, (4.4)

0

M(x) x

б) или (Li<p)(x) s I к (x,T])(p(T])dr] -i- o(x,7],<p(T]))dTj. При этом относительно

о о

заданных функций f0(x) eC„'(Do), C(D0)s>p(xJ\x=0 = 0, М(х)\х~0 = О, C„(D6)3 К(х, 7]) |гх = О, C°a,(Di)i K0(x,ji <р(т])) |s 0, К0р fx, т], <p(jj)J \- О, Ki(x,t, rh г,и, <р) eCOMOJJ(D,), Щх, т], т,и,и) eC?flA,J(D^, М,(х, т],т,и,и)е еС1,0,0,1'1 (D^) налагаются условия вида (А| - А5), a b(x) cC(D0), a(t) eC(D.t), f(x, t, и) eCn0A1(D5), где D0 = [О, X], D, =DxDx{K'x^, ueR", q> elГ}, D2 =D0 xD0x[0, TJxfWxR", и еР»}, Ds = D0xD0 xR", D4 = [0, T], Ds^DxIT, D6 = {(x, rj)/0<i]<x<X}, (0<M(x)<x<X, VxeD0.

В (4.1), (4.2) и fx, t) cC„'t! (T)J, <p(x) eZn(ll) - искомые векторные функции, при этом предполагаются, что решения этих систем существуют.

Отметим, что все результаты §4.1,4.2 получены в случае, когда N0(x,t),

__XI __XI

N 0(x,t), где N0(x,t) = jjKi(x,t,r],r,u(ri,T),ip(7]))drdT], N 0(x,t) = \\К i(x,t,t],T, 0 0 0 0 и(7j, т), v(j]))dvdr;, Vfx,tj eD, удовлетворяют требованиям следующей леммы:

Лемма 4.1. Пусть для любого 0 Ео -малого числа существует 0г 6д -малое число и при этом пусть выполняется условие Sup I\N0(x,t)-N 0(х,OW' ^o-

D

Тогда имеет место неравенство вида \\z(x,t) - V(x,i}\\-'е0 , V(x,t)eD, где z(x,t)-решение системы (4.5), a V(x, t) - решение системы (4.6), v(x)eC„(Do). Здесь (4.5), (4.6) определяются по правилу:

Г х х

t -\a(v)dv х -jb(s)ds х -jbfsjJs хт

z(x, t) = je 1 (а(т) je " z(i], r)drj ^ f(x, т, je " z(ij, rjdi]) + ¡(x,

0 0 0 00

1 T 4

'1 - §b(s' }ds' \a(v)dv xT V -\Ь(цЫц

т, T], v, je s z(s,v)ds, <p(i]JJdvdrjjdr + e' [ jjM i(x,rj,r, je 1 x о ООО

7 4 1

V -¡b(fi)dp xT '1 -\h(fi)df '/ -\b(»)d»

x z(s, T)ds, je 5 z(s,0)ds)dzdr]+jjM ix(x,r],T,je s z(s, t)ds, je s x

0 00 0 0

T A X

T -f a(v)dv X - \b(s)ds x -\h(s)ds

xz(s, OJdsJdrdrj- je T (a(r)je n z(rj, rjdrj + f(x,r, je ' z(rj,r)dT]) + oo о

4

хт 1 -\b(s')ds'

+ jjK i(x, r, ?],v, je ' Z(s, vjds, ^dvdijjdj] =(B[z, <p])(x, t),

00 0

p(x)<p(x) + XjK ofx, i],q>(i]))dr] + XjH o(rj)(p(T])drj - }tf (tl)(QJ<p,zJ)(u)dr] =f0(x) +

r 1

хТ ;/ -¡b(s)th ,i -¡tfinls

+ ¡jMofx, V, r, je " z(f.i, r)dn,\e * z(j.i, OJdfxJdrdjj, (4.5) 00 о 0

V(x, t) - (B[V, v ])(x, t), Vfi", t) e Д

p(x)o(x) -г Jtf „(ijMrjJdr, - (P[o,V] )(x) = f0(x) - f0(0) (4.6)

0

и введены относительно (4.1 )-(4-3) с учетом (4.4).

Далее, обсуждая аналопгано, как в предыдущих главах, т.е. в условиях (Л] - Aj) и лемм 1.1, 4.1, чтобы найти решение системы (4.5), (4.6) введем регуляризованную систему вида:

\z(x,t,e) = (B[:,<p] )(x.t.e),

(s - р(х))<р(х,с) + (PI (p,=J)(x, е) '¡He(tj)<p(ri,e)dT} -f0(x), (4.7)

V

q>(0,£)-'-f0(0), (4.8)

г

где (P[<p, z])(x. a) - ]к„(х, tj, ф, ejjdi/ - ]н (ij)(Q[(p, zJ)(tj, sjdij-0 0 >) ч

xT О -\h(shh ,, -f Ь(Ыч

- | JiV/ 0(x, tj, r, \e M z(p, r)d^\e. " z(jli, 0)du)drdrj, (О, 1)э£ - малый

oo о о

параметр й решение этой системы ищем в виде

z(x, t, s) --= z(x, t) + t, e),<p(x, e) = v(x) + - П(х, £) + g(x,£), (4.9)

с

где v(0)=0, П(0, £j - fofO), £(0,s) --- О и X(x.t,c), v(x), П(х,£), c(x,e) - искомые функции, являющиеся решениями системы уравнений, которые получаются из (4.7). Обсуждая аналогично, как это сделали в предыдущих главах, получим следующие результаты:

Лемма 4.2. Если система уравнении (4.6) имеет решение z(x, t)eC„°'(D), и(х) eC„(Do), (или v(x) cCr„(Do)) и выполняются условия (А] - А5), леммы 4.1. То существует единственная пара п - мерных вектор-функций (zg(x, t), us(x)j, которая является решением системы уравнений fx, tj = (B[zs. us ] ) (х, t), У(х, t) е /),

(S - p(x))vs(x) - - \Hn(Tj)vs(V)d,j + (P[ vs,zs])(x) +F(xJ,

о

и при S-Ю равномерно сходится к решению (z, и) системы (4.6) на Д при этом имеет место:

а) |! z5(x, t) - z(x, t) ¡|(- < Oi (1 - О) -'[e-!(2N0 Рл I! и(х) \м- i

+ (N0 + J) JHe>oz(8K)L

|| osfxj - o(x) ||f <(Q20 -Q)-' + I)le''(2Nu - \ v(x) ||c +

r- Po

+ (N0+ 1) -Jn a>o-(8 )], когда v(x)£Cn(D0); 6) !| zs(x, t)-z(x, t) \\c<Qi(l - O)-'[(N0 - 1) JnC7To + TgMo-JnyoJ 8r, \\usfx)-u(x)\\c <(l+02(l-0) ~')[(No +1)JHCjT0 +T0N0 -Jny0] 8y, если v(x) eCrwl(D0), где (0, 1)э8 - малый параметр, С7 = sup rre'T,

rc[0.x)

cc

y0 = rle-TTr-'dt, 0 po -1, T0= sup (\\и(х)-и(тП / {^(xj-^jjJl r),

0 (х,>1)е»о

0 :Q =Oi+ Q2 1, 0) 0 -(8) — sup Wufy'frJWr'MM У~!(У) - обратная к

" \ys-SS'

y/(x), \,o(x)\\<r, YxeDq.

Лемма 4.3. При условиях (Ai - A5) функции П(х, a), ifx, e), Ы(х, t, s) единственно определены па Do и Д причем:

Jftfr )ds 1

|| П(х, £) \ < 4n\\fo(0) ||e 0 6 - \fo(0) Gs <(l-Q)-'[£a°(Q° +Q°) + e-1(2N0^l)J7is'-/,°\\u(x)\{: +(N0 ^ l)4n x x(0oz(£po)]• если °(x)eCJDo):

Gc <(1 -Q)'1 [su"(Q4 +Q°2)+£y((N0 + l)^C7T0 , T0N0^y0)], когда

u(x) e С (D0 J, a Gs =! | K(x, t,e) \ [■ + \ | l;(x, ^ , где 6> < 7. (4.10)

Теорема 4.1. Пусть для функций fo(x), р(х), Kj(x,l, t7, т,и, (р), Mq(x, 77, г,и, и), М](х, 7], т,и, и), Кд(х, r/,(p), b(x), a(t), f(x,t,u) имеют место условия (А]-А5) и лемм 1.1, 4.1-4.3. Тогда нелинейная система интегральных уравнений (4.7) с условием (4.8) имеет единственное решение, представимое в виде (4.9). Причем, это решение сходится к решению (и, и) системы (4.6) на (0,Х]х [0,1'], когда £—Ю, (0 £<£о Д ПРИ этом имеют место оценки:

/ t<xJ

а) \\z(x,t,£)-z(x,t)\\<A0(E), \\<p(x,£)-u(x)\\<A1(£) + -Ji\\fu(0)\\e ' ,

£

Ух е (0, Х[, если и(х) eCn(D0);

у(х)

б) ¡1 z(x, t, е) - z(x, t) II <А2(е), \\<p(x, £) - и(х)\\ < А3(е) + -4n\tf0(0)\\e £ ,

£

Vxe(0,X], когда v(x)eCr¥.n(D0), где О, max (О¡,0т), Q? 'шах(0°,, A>(e)-Q*(l-Q)'J[ea°(QhQV+e~1(2N„ ' 1)4~пе'^\\v(x)\[. +(NB+J)x х^й)0-(£Ро)] + £а"0?; Aj(е) = Aq(£) \ e'(2N0 + l)^s'~Po \\и(х)\£ +{N0 :

+ 1)4па>0-(еРо); Л2(с) = 0>(1 - 0)-'[£ап(0°, г 0\) + e'((N0 + 1;4~п С7Тв+

+ T0N04n у0)] + sa°Q°. ; Л3(с) =А,(е) + er((N0 + l)Jn С7Т0 + ToNo 47г /о).

Теорема 4.2. Пусть выполняются условия теоремы 4.1 и z(x,t) cC°'n(D), v(x)eCn(Do)A™™- o(x)eCy,lo,(Do), о(0) = 0). Тогда па основе

х -]b(s)d,

равенства вида u(x,t) = je " z(rj,t)dr}, существует единственная функция

о

и(х, t) eC'''„(D), которая является пределом функции uz(x, t), когда е^О при этом имеют место: a) \\itc(x,t) - u(x,t)\\<nsao(c)X, если и(х) eC„(Dq), б) если v(x) eCrvJD0), то j | гф, t) - u(x, t) ; |c < N5A2(s)X.

Теорема 4.3. При условиях теоремы (4.1,4.2) существует единственная пара п -мерных вектор-функций (ut ,<ps) и при £~Я) сходится к функции (и, о) на (0,Х]х[0,Т], где v(x) решение уравнения Вольтерра третьего рода

p(x)v(x)^\K0(x,71,vO1))dr1+)nо^оШт] -}//(71)(Q[v,it])(r1)dr1 - ]\М0(х,

ООО 00

г, и(ц, т), u(tj, ())) drdn =fo(x) -fo(0), v(0) - 0.

Аналогичные результаты получены в параграфе 4.2 при решении задачи (4.1)-(4.3)н(б).

Параграф 4.3 посвящен исследованию системы вида:

I X

и , (х,1) - ри, (x,t) ^f(x,t,u(x,t)) + ¡¡Кi(x,t,r/,T,u(rj,T), <p(T))dTjdr, (4.11)

* ' оо

I U(D rX

iL,<p)(i) =p(t)y(t) -r jK0(t, r, (pfrjjdr- lК (I, T)(p(r)dT ~ fo(t) ■+ \\M 0(t, r, i], 0 0 0 0 u(tj, z), ii(0, rJJdijdT, (4.12)

u(x,t)\^0 = 0, Vx e[0,XJ =D0, u(0,l) - ,(t)u(x, ,t), I e[0,T], (4.13)

i-1

tx

u(X, t) =\\M ¡(i, т, ?], u(tj, t), u(0, T))dijdr, (4.14)

о 0

II

где a:(t) - известные функции, afi) Ho, Vte[0,T] и 0 x; xy ... x„- X,

i ~ 1

po г pX2 ' 1,0 ц - const.

В прикладных задачах встречаются простые случаи задачи ('1.11)-

д

(4.14), т.е.: L0(u,<p)^(), f(x,t,u) = —П„(x,t), П0(x,t) - поток почвенной

сх

влаги в точке х в момент времени t >0. В зависимости от задания I70(x,t) на поверхности почвы, т.е. при х=0 для V? е[0,Т /, уравнения Адлера:

u,(x,t) = -?-(Dux +AuJ^^-n0(x,t), (4.15)

О X ox

имеют различные формы, которые зависят от Д А - достаточно гладкие

положительные функции, a u(x,i) - распределение влаги в почвенном слое

0<х<Ь для всех t из [0,Т]. Например, в работах Нахушева A.M. и Борисова

В.Н. уравнение (4.15) изучена при условиях А ^ 0,D = const > О, (или

D = 0,A = const>0) и вместо (4.14) рассмотрено условие u(b,t) = 0,

X/te [0,Т], без уравнения (4.12). Задача (4.11)-(4.14) является более общим,

чем вышеуказанная задача и если: f0(t)^0,\/t efO,TJ, то решение

уравнения (4.12) не лежит в Сп[0,Т] и те методы, которые вышесказаны не

применимы. Поэтому в этой главе для решения исследуемых задач,, нами

разработаны и изучены методы, когда отсутствует априорная информация о

решении,а полученные результаты пополняют исследования по нелокальным

задачам типа Бицадзе - Самарского.

В заключение автор выражает благодарность академику HAH KP

Иманалиеву М.И., доктору физико-математических наук, проф. Асанову А.

и доктору физико-математических наук, проф. Панкову П.С. за ценные

советы, способствующее обсуждение задач и их методов решения.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Иманалиев М.И., Асанов А., Омуров Т.Д. Единственность и приближенное решите интегральных уравнений Вольтерра первого рода с недифференцируемым ядром //Изв. HAH PK. -Бишкек: Илим, 1997. -Вып.1-С.18-23.

2. Иманалиев М.И., Омуров Т.Д. Регуляризация, единственность системы интегральных уравнений Вольтерра III рода с ядрами, тождественно обращающиеся в нуль на диагонали //Сб.научн.тр. КГТТУ им. И.Арабаева. - Бишкек, 1997. - Вып.2. - С.20-25.

3. Иманалиев М.И., Омуров Т.Д. Обобщешюе интегральное уравнение Волтерра III рода с негладкими функциями //Мат-лы 3 научно-теор. конф.

"Проблемы развития суверенного Кыргызстана". Сер. мат. и физ. Чуйск. ун-т-Бишкек, 1997 .-С. 51-57.

4. Иманалиев М.И., Омуров Т.Д. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра П1 рода с ядрами, тождественно обращающимися в нуль на диагонали //Изв. HAH PK -Бишкек: Илим, 1998.-№2-3.-С.5-9.

5. Асанов А., Омуров Т.Д. Единственность и приближенное решение нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода с негладкими ядрами. //Проблемы механики и прикладной математики: Мат-лы Междунар. научно-практ. конф. -Бишкек, 1995. - Т.11. - С. 12-13.

6. Омуров Т.Д. Решения неявных интегральных уравнений типа Фредгольма и их приложения к некоторым задачам. Бишкек: Илим, 1991. - 134с.

7. Омуров Т.Д. Условия разрешимости нестандартно заданных уравнений с краевыми условиями //Исслед. по интегро - дифференц. уравнениям. -Бишкек: Илим, 1994. - Вып.25. - С.145-149.

8. Омуров Т.Д. Приближенное решение нелинейной смешанной системы с нелокальными краевыми условиями //Там же. -Бишкек: Илим, 1999-Вып.28. - С.290-300.

9. Омуров Т.Д. Об одном методе построения приближенного решения уравнения Вольтерра первого рода //Вестн. КГНУ. Естествен.-техн. науки.-1995. - Вып. 1.-С.96-98.

10.Омуров Т.Д. Приближенное решение задачи типа Гурса для смешанной нелинейной системы //Мат-лы 4 научно-теор. конф., поев. 5 летию Чуйск. ун-та - Бишкек, 1999.-С. 186-199.

11.Омуров Т. Д. Решение системы нелинейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода свободным членом отличного от нуля //Там же,-Бишкек, 1999. - С.200-206.

12.Омуров ТД. Решения интегральных уравнений Вольтерра типа стыка с особыми ядрами //'Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.-Бишкек: Илим, 1998. -Вып.27,- С. 149-153.

13.Омуров Т.Д. Регуляризация, единственность системы интегральных уравнений Вольтерра стыкугцего типа //Там же. - Бишкек: Илим, 1997. -Вып.26. - С. 128-133.

14.Омуров Т.Д. Регуляризация, единственность решения интегральных

уравнений Вольтерра I рода с недифференцируемыми ядрами //Вести. КГНУ. Естествен, -техн. науки. - Бишкек, 1997. - Вып.1. - С.130-134.

15.Омуров Т.Д. Некоторые способы решения интегральных уравнений и их приложения //Там же. -Бишкек, 1994. -Вып. 1 .-С. 117-123.

16.Омуров Т.Д. Приближенное решение системы обобщенных интегральных уравнений ВольтерраШ родаУ/Там же. -Бишкек,1998.-С.88-93.

17.Омуров Т.Д. Приближенное решение задачи типа Гурса для нелинейных дифференциальных уравнений с обратным временем //Мат-лы 4 научно-теор. конф., поев. 5 летию Чуйск. ун-та - Бишкек, 1999.-С. 166-171.

18.Омуров Т.Д. Регуляризация и единственность решения нелинейной системы особых интегральных уравнений Вольтерра первого рода /./Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 1999,- Вып. 28. - С.179-184.

19.Омуров Т.Д. Обратные задачи типа Гурса для дифференциальных уравнений //Там же. - Бишкек, Илим, 1998. - Вып. 27. - С. 257-261.

20.Омуров Т.Д. Единственность и приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра третьего рода с ядрами типа Абеля //Там же,-Бишкек: Илим, 1997,-Вып.26.-С.123-128.

21.0муров Т. Д. Регуляризация и единственность решения интегральных уравнений Вольтерра третьего рода не согласованным стыком в смысле обратных задач //Сб. научн. тр.-Бишкек: БВКК, 1999. - Вып.1.-С. 297-307.

22.0муров Т.Д. Решение одного класса интегро - дифференциальных уравнений в частных производных //Исслед. по теории и нриб. методам

■ решения дифференц. и интегро. - дифференц. уравнений. -Фрунзе: КГУ, 1989.-С.48-50.

23.0муров Т.Д. Решение неявных интегро-дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с условием Гурса //Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнении и некорректно поставленных задач: Тез. докл. Всесоюз. конф. -Бишкек, 1991.-С.82.

24.0муров Т.Д. Системный алгоритм решения неявного интегрального уравнения типа Фредгольма //Некорректно поставленные задачи в естественных науках: Тез. докл. Междунар. конф. -Москва, 1991.- С. 208.

25.0муров Т.Д. Решение обратной задачи в смысле задачи минимизации //Респ. научн. конф. "Дифференц. уравнения и их приложения": Тез. докл. - Ош: ОшГУ, 1993. - С.84.

26.0муров Т.Д. Решение одного класса интегро-дифференциальдых уравнений //Респ. научн. конф. "Дифференц. уравнения и их приложения": Тез. докл. - Фрунзе, 1989. - С.76.

Тираж 100. Обьем 1,5 п л. Формат 60 ч 84/16

Отпечатано в ОсОО "Эллек'\ г.Бшдкек, ул.Тоголока Моддо, 60

ОМУРОВ ТААЛАЙБЕК ДАРДАЙЫЛОВИЧ

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ I ТЕ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА В диссертационной работе исследованы системы интефальных ,»-равнений Вольтерра первого и третьего рода, а также уравнений Вольтерра, изменяющих свою форму на раггснчных отрезках. Доказаны гдинственность особых решений исследуемых уравнений и разработшш иегоды для построения этих решений.

Введены понятия о слабых решениях регуляризирующих сисгем. В работе также показано применение разработанных методов для решения систем со смешанной структурой.

СЫЗЫКТУУ ЭМЕС БИРИНЧИ ЖАНА Y4YH4Y ТУР ДО IT ВОЛЬТЕРРА ИНТЕГР АЛ ДЫК ТЕКДЕМЕЛЕР ТЕОРИЯСЫНДАГЫ БОЛЖОЛДОП

Диссертацияда биринчи жана учунчу турдогу Вольтерра интеграл-дык теядемелер системасы, ошондой эле ар кандай аралыкгагы турун ззгертуучу. Вольтерра теадемелеринин учурлары изилденген. Каралган гендемелердин взгоче чыгарылыштарынын жалгыздыгы дапилденген, ошону менен бирге эле ушу л чыгарьшышгарды болжолдоп габуу ыкмалары иплелип чыккан.

Регуляризациалоочу сисгемалардын начар чыгарылыштары жонун-дйгу тушунук киргизилген.

Инггелип чыккан болжолясш эсептоо ыкмаларынын юэ бир аргын-даштырылган системаларды чыгаруудагы когсдонулуштары керсэтулген

TAALAYBEK D OMUROV

THE APPROXIMATE METHODS IN THE THEORY OF VOLTERRA NONLINEAR INTEGRAL EQUATIONS OF THE FIRST AND THE THIRD TYPES The systems of nonlinear integral equations of the Volterra nonlinear integral equations of the first and the third type changing their forms on the different segments are investigated in this thesis. The uniqueness of the special solution of researched equations is proved and the methods for the construction of this solution are developed.

The concept a weak solution of the reguianzied systems is given.

Also the application of developed methods for the solution of system with mixed structure is shown.

ОМУРОВ ТААЛАЙБЕК ДАРДАЙЫЛОВИЧ

ЧЫГАРУУ ЫКМАЛАРЫ