Интегральные представления многообразия решений и краевые задачи для некоторых классов нелинейных гиперболических уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГЬ ин

1 7 АПР Ш

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ТАДЖИКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К 065. 01. 02

На правах рукописи УДК 517. 95. (91)

ДЕХКОНБАЕВ НИЗОМИДИН И А\ ОМ КУЛОВИЧ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МНОГООБРАЗИЯ РЕШЕНИЙ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01. 01. 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ДУШАНБЕ - 1995

Работа выполнена в Душанбинском Государственном педуннверси-

тете.

Научный руководитель — профессор РУЗМЕТОВ Э.

Официальные оппоненты — член-корреспондепт АН Республики

Таджикистан, доктор физико-математических паук, профессор БОИМАТОВ К. X., доктор физико-математических паук, профессор САТТОРОВ А. С.

Ведущая организация — Самаркандский Государственный университет.

Защита состоится «..с?^?.» ., 1995 года в

Т

час. на заседании специализированного Совета К 065. 01. 02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Таджикском Госуниверситете (734025, Душанбе, проспект Рудаки, 17).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского Госуниверситета.

Автореферат разослан

года.

Ученый, секретарь специализированного совета к. ф. м. н. доцент

О. X. ХОСАБЕКОВ

t

ОЕЩЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы: Нелинейные дифференциальные уравнения з частных производных второго порядка являются одним иа

важных разделов теории дифференциальных уравнений с частными

производными. К рассмотрению таких уравнений приводят-многие

задачи гидродинамики,теории упругости и математической Физики.

фундаментальные результаты в теории нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений получены в работах Д.Г.Гвазава, А.З.Бицадзе, Н.В. Крылова, С.Н.Кружкова, А.Куф-нера, С.Фучика, И.А.Ларкина', К.Х.БоЙматова, Л.Г.Михайлова, Э.''.Мухама диена, S.3I.Яионса, Я.Д.Мамедова, С.А.Аширова, З.рузметова и других авторов.

В линейном случае по гиперболическим уравнениям с сингулярными коэВДи-лиентами и вырождением того или иного порядка фундаментальные результата получены в работах М.М. Смирнова, Н.Раджабова, З.Д.Усманова, ^.В.Волкодавова, А.Джураева, f4.C. Салахитдиноза, A.C. Сатторова и других авторов.

Следует отметить, что при исследовании некоторых уравнений использован метод, разработанный проф.Н.Радтабовым.

Что касается теории нелинейных гиперболических уравнений в регуляонвми и сингулярными коэффициентами, то здесь имеется незначительное количество работ.

•• "еяь паботн. Получение интегральных представлений многообразий репений через произвольные функции для некоторых классов нелинейных гиперболических уравнений с регулярными и сингулярными коэффициентами и исследований раслич-нах краевых задач.

■fet-^fta .ясслвдоаайиЯ. Использованы общие методы теории ди~~еренциальных уравнений, математического анализа, метод

г

интегральных представлений, метод интегральных уравнений.

Научная новизна.Все полученные в диссертации результат является новыми. Основные не них слодумцие:

- для одного класса нелинейного гиперболического уравнения второго порядка получаны интегральные представления многообразия рветни» «эрея лроиавольнъю функции. '*

» для некоторых классов нелинейных гиперболических уравнений второго порядка о регулярными коэффициентами Получены интегралы&е представления нногоойрлпкя реявний содержащиеся произвольные функции.

- найдены интегральные представления многообразий решений через произвольные функции для некоторых классов нелинейных гиперболических уравнений второго порядка с сингухяршим и сверхсмнгулярными коэффициентами, научено поведение ранения в окрестности сингулярной линии.

- полученные интегральные представления применены для выяснения корректных потановок задач типа Гурса и их ре пения.

Теоретическая и практическая ценность1 работы.Исс ледо в ния, содержащиеся в диссертации, нооят теоретический хорак тер. Полученные результаты могут быть прадло'жены для дальнейшего развития теории нелинейных дифференциальных ураине ний о регулярными, сингулярными и сверхсингулярными коэффи цивнтами.а также в различных прикладных вопросов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались: на Республиканской научной конференции "Дифференциальные урав нения, и их грдожения" (Куляб, 3-5 октября,1991), на Всесов Ной конференции Л Нелинейные проблемны дифференциальных

уравнзний и математической физики-вторые Боголюбовские чтения"(Киев, 14-18 сентября 1992г„), на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения.Математическая физика и специальные функции" (Самара, 24-31 мая 1992г.), на научном семинаре кафедры математического анализа ДГПУ им.К.Ш.Джураева "По дифференциальным уравнениям в частных производных-" (руководитель - профессор Рузметов Э.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, список которых приведен э конце автореферата. Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав обстоящих из восьми параграфов и списка литературы, включащего 38 наименований. Работа изложена на 132 страницах машинаписного текста.

Работа посвящена исследовании следующих нелинейных гиперболических уравнений второго порядка

к.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

(I)

г) - +

--у о'У

где к > i -целое число, Л— о , ¿ = / , ¿>1-const » в прямоугольных областях и в круга« в дм уравнения (I) при I — i * 4 ~> 1 ®т* области содержат сингулярные линрм, являвциеся либо граничными, либо внутренними,

Черев R, -обозначим прямоугольник, т.е.

Я =ffay): /У,1

Пусть P=z&*U2> круг: где Сй* -верхний полукруг, ограниченный участком

и с - J(xj): ixisji^-o j .-прямой

ЛИНИИ S=r О }

2) -нижний полукруг, ограничении?! участком И £ .

I

В диссертации исследованы краавыа задачи типа Гурса, Дарбу и др.

Приведем ниже постановку некоторых из этих оадач. Задача к. Требуется найти решение уравнения (1) при С из класса Cj^ (R) О С (Ю • удовлетворяющее одном) не следующих условий:

&

А3).

/я.=я0 J

и ^/Ц

гло у?(Л?; I , -заданные 1унк-

НИИ, -заданная константа^ 1ь = -^г- •

Задача В, Требуется найти в области р решение уравнения (13) из класса С,* (/^ I удовлетворяющее одному из граничите

условий: '

-m.fr).

йДО I /

1У1 иМЬ;^ -

в2).

.а (о;

гае (У) (с — /, £) -заданные функции,

А. } ^ =- -заданные константы.

Задача С. В области /2 требуется найти решение уравненш (I) из класса удовлетворяющее одному из следующих

условий:

-а.(о)и?(!0 .

е и СхЩ - р (сс)

¡У-О '

¡Х-0

(Ьг и*.'

где Р. (я), S¿(u) (¿=?Гз) iJu<*>M- заданные

функции, р- —С- -заданная константа.

j

В диссертации исследованы свойства полученных интегральных представлений. В частности, научен« свойства ранений я окрестностях сингулярных линий, которые вироко использованы в дальнейшем для выяснения постановки sanatf и их решения.

Первый параграф первой главы посвящен нахождение ре-■внця уравнении (Í) при JL = 0 в области /2. »т.е.нахождении ранения уравнения

[ъя'ду Oí/

Доказывается, что, если коэффициенты уравнения (4) связаны muy собой соотноиение*

(5) = ffcyjs ог

то'реиэпив уравнение (4) найдяно в явном вАде

и(гх,у) = /

(6) у к. ' '

«Й

/

где ffea) i Ч> (У) -Произвольные фуНКЦИЯ, причви

Y (я) € С'fe,W¿C&>f], и>(У)

определяется формулой к

гО(У) = fe* (t)¿Z, К = f^J К "У , Уо

IC>i -твое число, ёfyj^o, (р (у]-g(y)cz zzO Икает место следуюцее утверждение:

Теорема L Если коэффициенты уравнения (4) удовлетворяют ■ следующим условиям:

а), а (У), ё(У), с (У) €

б). с, (Ю = а (у) 8(Ю-с(у)= о, о,

в). К> i -целое число,

то отбое решение уравнения (4) из класса существует и оно предетавиыо в явном виде (б)

В случае невыполнения условия (5) решения уравнения (4) сводится к эквивалентной задаче решения нелинейного интегрального уравнения типа Вольтерра второго рода. Далее, доказывается существование и единственность решения нелинейного интегрального уравнения типа Вольтерра методом последовательных приближений Пикара.

Во втором параграфе первой главы для уравнения (4) когда С{(Ю= О » о либо с-Лавятся и исследуются вышеизложенные задачи Aj » Ag. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (4) удовлетворяют условиям теоремы I, причем £ (сс) £ С'[sca J.] »

J>1 (Ю £ С [y0}j}J , тогда единственное решение

.задачи Aj существует и предетавиыо а явном виде (6), где ysfojii ^(У) определяются соответственно формулами

Л2

где и?

А".-I

(р (Ю = [¿(.у) (а (Юр, 00 гу> 'оо)] * 80/)яо,

где ё (У) (а (Ю^ (У) +'(9)) ^ О

Аналогичные утверждения получены для задачи Ад.

В третьем параграфе первой главы исследуется уразнзние (4) в области Р , то есть а круге.

Доказывается, что при выполнении условия (5) явное решэниа уравнения (4) а области Р даётся при помощи формулы

V к

(7) ж

* ]8&)

оа У *

п

(¿4т

и_

-у/г*-**

где -произвольные непрерывные функции,

С -произвольная константа^ .

Имеет место следующее утзерждение. -ул^х*

Теорема 3. Пусть коэффициенты уравнения (4) удовлетворяют 'следующим условиям:

а). а(у), §(9) , С (У) • -заданные непрерывные

Функции , причем

б), с,(а) = а(у)Ш - = о, ¡'(х\у)~ о

в). Н'> / -целое число.

Тогда явное решение уравнения (4) из класса С^* (Р)Л О- (Р) существует и оно представимо в вило (7), гае я уСК)

непрерывные произвольные функции и С произвольная константа.

Пусть коэЭДитынты уравнения (4) связаны между собой соотнотаниом С,(У) - <2 (Ч)С(У) - О .Тогда регоние

уравнения (4) из класса С^ (Р) О С (р) сводите* к эквивалентной задаче репения нелинейного интегрального уравнения типа Вольтерра вторЬго рода. Далее,доказываетея существование и единственность репения нелинейного интегрального уравнения типа Вольтерра второго рода, методом последовательных приближений Пккара.

Полученный интегральные представления применяется для постановок И решений слодущих граничных аадач.

Задача К. Требуется найти рвоение уравнения (4) иа класса С (р) * удовлетворяющее одному из

следующих'уело в ий:

Ъи, Ъас.

■I = р (*>,

Ш1

и.(ху)1 ,_,=

где (х), ^ Г^У ( I ~ /} ¿J -заданные функции,

^ , Аь - заданные числсц /г. =--г- ■

Четвертый параграф первой главы посвящен исследованию нелинейных уравнений (2) и (3).

Для уравнений (2) и (3) получены интегральные представления многобразия репений через произвольные функции и решены ряд краевых задач.

Приведем постановку некоторых из этих задач. Задача Г. Требуется найти решение уравнений (2) либо (3) из класса П С (&) ».удовлетворяющее одному

из следующих условий:

IУ — У о

Ц, М = (А),

(С>'П ¿6 (Г, 9)1 = к

У » У„ 1 .V* г /

Гс).

Ъи

1>:

/ в л (X), /у-'У,

5'- = Л-х),

гяз ^ (* -*,*> 5) » ¿Гэ^-заданные

функции, Л » ¿у -заданные константу.

Но второй гячво В областях £ и Р исследованы нелинейное гиперболическое уравнение (I) при ¿ = 4

Л>* .

В первом параграфе второй главы исследуется уравнение (1) в области Й при <1 4 ,то есть рассматривается

уравнение

К

1 \9аП>» У Ъх) И ЪИ У'

Если коэффициенты уравнения (II) связаны между собой соотношением . $(Я,Ч)=0 «ибо с, (У) ^ с то для уравнения (II) найдены интегральные представления многообразий реоаний чорзо две произвольные Функции.

Второй параграф второй главы посвящен исследованию краевых задач для уравнения (II).

Задача И, В области Я требуется найти решение уравнения (II) ив класса С^* (/?) ,УДов1втворгоя$ее одному ив слвдувчих

условий • 1 !

«2>- (е^ уа(С,иС^)) = к,

где 6} (х) , О] (У) (с - I) -заданные функции, к--ваданная константа, р = —¡— .

Третий параграф второй главы поевяврн исследовании следующего нелинейного ураонония в области Р ,

1С

(13) (у'* . ауъА J тъи сш л

Доказано следующее утверждение. Теороиа 14. Пусть а уравнении (13)1

а). а(Ч) -непрерывная функция для всех Уер*,*] ,а в окрестности точки У- О удовлетворяет условию Гёльлерра

/а (у) - а (о)!¿с,/У/, С, = сопИ>о,

б). С (У) , ¿(У) -заданные непрерывные функции,

в). С, (У) = о (у) ¿ГУ) - €(У)~ О, /'(х,?) э О , Г). сЦс)> , к > / -целое число.

К £

Тогда всякое ровение уравнения (13)из класса представимо е явной виде

(14) Iе"

/ а(0)~ -¡¿^

- % ] (гц ш - ё Сгм] -¿У

То у

тгт / 1 СаСг)-а(о1,

-№)*)] > -

/у/ (/>(у)~£ (Юл. > о г где -произвольные функции и С -произвольная кон-

станта.

В случае невыполнения условий (5) для уравнения (13) найдено интегральные представления многообразий решений через произвольные функции и одной произвольной константой.

В данном параграфе исследуется вышеизложенные задачи В для уравнения (13).

Четвертый параграф второй главы посвящен исследованию уравнения (I) а области # (при — О ) , когда

<¿>4 ,т.е.

- с

П6) (^ I Ш ^ 1 Ш ^ > С&) и-^сс']) Доказаны следующие утверждения.

Теорема 18.Пусть коэффициенты уравнения (16) удовлетворяют следующим условиям:

а). &(</) £ С[0^]

и в окрестности точки У= О удовлетворяют условию

¡а(Ю-<*-(°)Ы НМ ,£>¿-1 при

У » а(о)>о,

б). ё(9) , ] , /Г^ = О

в). С, М = а(ьУ Ш ~ С(Ю ^ О, в (У) т4 о,

г). ¡<¿<-^-1 , /С -целое число,причем А'^...^ . Тогда лябоо ро гонка уравнения (16) иэ клаооа пред-ставимо в явном виде

О

/ *

1

О

£*<?(?) - в(Г)Х > о , р^г/ -произвольны«)

функции, причем у>(х) е С'[о,л] . р(У) е в окрестности точки могуть иметь особенность пор-

ядка I

Теорама 19, Пусть в уравнении (16);

в) $(¥) , С (У) « -яаданныв непрерывные функции,

б). С1(У)-СНу)((Ю-оЦ)£0 (уе(о,у\) и в окрестности точки У - О имеет порядок

с,и) = е 1 )

в). '6(у}* < 8, (У) ¿с ♦

г), а (9) <? С [с, уз7 и • окрестности точки у- о удовлетворяет условно

л) К > 1 -целое число,

в) УС^О,?, уповяетворяог условиям леммы 1.

Тогда любое решение уравнение (16) из класса С/, (И)

представило в виде

, ^ aCo)u)fif)'W(i/J

(18) U (эс,У) = г

и - £

где cfafaU) решение нелинейного интегрального уравнения

-типа Зодьтерра второго рода.

Далее, ставятся и исследуется вышеизложенные задачи С. Основное содержание диссертации опубликовано э следующих работах.

1. Дахконбаев Н.И. Интегральные представления и граничные задачи для одного класса нелинейного гиперболического уравнения второго порядка// В сб.Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения*Душанбе, 1991г.» стр.32-34.

2. Дахконбаев НД. Интегральные представления и граничные задачи для одного класса нелинейного гиперболического уравнения второго порядка с сингулярной линиеЯ//Дуаанбэ 1991.-10с.-Дел.в Таджик НИИНШЛ.07.91.*25{7?5).

3. Дехконбаев H.H. (?F cqhcJ^ цеушне^"?^

¿bjux^e^iC&UZ- -out- -^ттьс/^сгг mr'fSlfb*

4. Дехконбаев Н.И. О разрешимости одного класса нелинейног гиперболического уравнения второго поряяка//Душанбе,19? -Ие.-Деп.в»Таджик НИИНТИ. 27.03.92.#6(795)-ДАЭ2.

5, Дахконбаев Н.И. Интегральные представления и граничные задачи для одного класса нелинейных гиперболических

• уравнения с регулярными коэффициентами//Гезисй. докладо

Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции» (24-31 мая 1992г.). — Самара, С. ¿0-$! .

6. Рузметов Э., Дсхконбаев Н. И. Интегральные представления и граничные задачи для одного нелинейного гиперболического уравне-

нений с одной сверхсипгулярной линией// Тезис^ьдокладов конференции «Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики-вторые Боголюбовские чтения» (14-18 сентября, 1992г.). —Киев. — С. 134.

7. Рузметов Э., Дехкопбаев Н. И. Интегральные представления и граничные задачи для одного нелинейного гиперболического уравне." нпя с внутренней сингулярной линией / / Изв. ЛИ Тадж. ССР., отд. физ. мат. и геол. — хим. наук, — 1993. — №1 (5), 1993г.

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителе, профессору Рузиетову Э. за постановку задачи и постоянное внимание к работе.