Интегральные представления решений и граничные задачи для некоторых квазилинейных уравнений гиперболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ильясова Альбина Куандыковна

Интегральные представления решений и граничные задачи для некоторых квазилинейных уравнений гиперболического типа

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 3 [.;др 2011

Воронеж-2011

4856583

Работа выполнена в Дагестанском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Айгунов Гасан Абдуллаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита диссертации состоится 15 марта 2011 г. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 в Воронежском государственном университете по адресу: .

394693 г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335, ъ>

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

доцент Глушко Андрей Владимирович доктор физико-математических наук, профессор Латышев Анатолий Васильевич

Ведущая организация:

Южный Федеральный университет

Автореферат разослан « » февраля 2011г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 доктор ф.-м. наук, профессор ^¡^

Смагин В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современной теории дифференциальных уравнений в частных производных важное место занимают исследования сингулярных, вырождающихся гиперболических уравнений, а так же уравнений смешанного типа. Интерес к этому классу уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой и гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в различных разделах механики сплошных сред и других областях науки и техники.

Известно, что решение задачи Коши для общего уравнения второго порядка гиперболического типа, которое встречается при исследованиях вибрации и играет существенную роль в теориях аппроксимации и отображений1, получено методом Римана через решения однородного сопряженного уравнения2. В работах М.М. Смирнова3 указано, что задача Гурса для этого уравнения сводится к решению системы двух линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода, к которым применяется метод последовательных приближений. Н.Р. Раджабовым был разработан метод представления главной части дифференциального оператора второго порядка гиперболического типа общего вида в виде композиции двух линейных операторов первого порядка. На основе данного метода были также найдены интегральные представления решений некоторых линейных дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярными коэффициентами.

На ранних этапах своего развития теория уравнений в частных производных в качестве одной из основных выдвигала проблему нахождения и исследования уравнений, допускающих явное интегрирование. В начале XX века сильнейшее влияние математической физики привело к переоценке ценностей в теории уравнений в частных производных. В результате, ряд классических результатов, касающихся точного интегрирования, был забыт даже специалистами. Но в настоящее время интерес к этим результатам значительно возрос в связи с открытием новых фундаментальных методов точного интегрирования нелинейных уравнений в частных производных.

Общеизвестным примером точно интегрируемого уравнения в частных производных является уравнение Лиувилля

«л, =Ме". //>0.

1 Бондаренко Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. -Ташкент: Фан, 1987. - 146с.

Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.:Наука,1982 -f8c' )

Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка., - V/ М.:Наука, 1964. -208с. \

3 \

В работе В.И. Жегалова4 выводятся формулы решения задач для уравнения Лиувилля с граничными условиями трех типов. Варианты граничных условий задаются на характеристиках уравнения, проходящих через начало координат.

В работах Н.Р. Раджабова и его учеников5 рассмотрены некоторые уравнения, аналоги уравнения Лиувилля. В частности, для уравнения

"(у) f{y) , я(у) ч

у? у уР

где /? = {iV/{l}}, а(у), f(y) - непрерывные функции, заданные на некотором отрезке / = [о,б]. При определенных ограничениях на коэффициенты получена формула явного решения и исследован ряд граничных задач типа Гурса.

В работе A.A. Кунгурцева6 исследуется вопрос разрешимости в евклидовых пространствах различной размерности задач об отыскании

решений уравнений вида ^ " = F(u), по граничным условиям, содержащим 6ху.шп

значения нормальных производных от функции и. В частности, при п = 2, F(u) = це", ц > 0 это уравнение совпадает с упомянутым выше уравнением Лиувилля.

Диссертация посвящена вопросам построения явных формул решений дифференциальных уравнений, которые являются аналогами уравнения Лиувилля.

Цель работы. Целью работы является нахождение явных формул интегральных представлений многообразия решений для квазилинейных уравнений гиперболического типа второго и третьего порядков с регулярными и сингулярными коэффициентами. Для рассматриваемых уравнений применяется метод Н.Р. Раджабова и исследуются некоторые граничные задачи.

Общая методика исследования. В работе применяются современные и классические методы теории дифференциальных и интегральных уравнений, метод интегральных представлений, метод редукции и метод представления главной части дифференциальных операторов гиперболических типов в виде композиции линейных операторов.

4 Жегалов В.И., Кунгурцев A.A. О характеристиках граничных задач для уравнения Лиувилля // Известия вузов. Математика. - 2008. -№11.- С.40 - 47.

5 Фозилов С.Т. Об одном аналоге уравнения типа Лиувилля со сверхсингулярной линией // Дифференциальные и интегральные уравнения. - Душанбе, 2001. - С.143 - 147.

6 Кунгурцев A.A. Задачи с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных уравнений гиперболического типа: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. -Казань, 2008,- 16 с.

Научная новизна. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с постановкой задачи и построением явных аналитических решений рассматриваемых дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа.

Получена формула явных решений для линейного дифференциального уравнения третьего порядка общего вида методом сведения к системе трех линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Методом сведения квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка с граничной сингулярной линией, со многими сингулярными линиями и с граничной сингулярной точкой к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка с соответствующими сингулярными коэффициентами, получены формулы их интегральных представлений.

На основе метода Н.Р. Раджабова получены формулы интегральных представлений многообразия решений для квазилинейных уравнений третьего и второго порядков с регулярными коэффициентами.

На основе полученных интегральных представлений поставлены и в явном виде найдены решения граничных задач различного типа.

Доказана единственность решения поставленных граничных задач.

Для уравнений с сингулярными коэффициентами изучены поведения решений в окрестностях точек соответствующих сингулярных линий.

Научная и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования могут быть использованы в дальнейшем при разработке теории сингулярных уравнений гиперболического типа и решения различных граничных задач.

Материал диссертации может быть также использован в вузовских лекционных курсах на кафедрах физико-математического профиля.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор А.И. Задорожный); кафедры дифференциальных уравнений и математической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор А.Л. Скубачевский); кафедры дифференциальных уравнений математического факультета Дагестанского государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Г.А. Айгунов); кафедры теории функций и математического анализа Таджикского государственного национального университета (руководитель - академик АНРТ, доктор физико-математических наук, профессор Н.Р. Раджабов); кафедры функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор И.Я. Новиков).

Также результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» и Международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» (г. Ростов - на -Дону, 2006г, 2008г.), на III Международной научной конференции «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Махачкала, 2007г.), на II Международной научно - технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, 2007г.), на III Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» (г. Москва, 2008г.); на Международной научно-образовательной конференции «Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования» (г. Москва, 2009г.), на Международной научной конференции «Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство» ( г. Плоцк, Польша, 2010).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [2], [7], [8] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. В совместных работах [1], [4], [6], [7], [8] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 14 параграфов, заключения и списка литературы. Библиография содержит 88 наименований. Общий объем работы - 86 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении дана краткая историческая справка по рассматриваемым вопросам, раскрывается актуальность темы и приводится краткое содержание работы.

Первая глава посвящена исследованию линейного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа с регулярными коэффициентами.

Обозначим через £2 прямоугольный параллелепипед n(a,ß,f)={(x,y,z):0<x«x,0<y<ß,0<z<y\.

Пусть

n,(a) = {(.x,y,z):0<x<a,y = z = 0}, n2(ß) = {(x,y,z):0<y<Zß,x = z=0}, n,(y) = {(x,y,z):0<z<r,x = y = 0}.

Грани данного параллелепипеда обозначим

Я, («, ß) = {(x,y,z):0<x<a,0<y<ß,z = 0}, Я, (а, у) = {O.y.z): 0 < л < а, у = 0,0 < г < у}, fJ,(ß, у) = [{х, у, г): * = 0,0 < у < ß, 0 < z < у}.

В области Q рассмотрим уравнение вида

д3и , . д2и ,, . д2и ,, . д:и , .д и , . Эи - + а(х, у, г)тггг- + Ь(х, у, г) + а(х, у, г) +т(х, у, г)— + п(х, у, г)— +

dxdydz дхдг bydz дхду дх ^(01)

дм

+Ф, у, z)—-h/J(x, у, z)u = Ф{х,у, г), oz

где а(х, у, г), Ь(х, у, г), с(х, у, г), </(*, у, г), т(х, у, г), п(х, у, г), ц(х, y,i)~ заданные функции в области £i.

Теорема 1. Пусть в уравнении (0.1) а(х, y,z)e С2У (р) Ь(х, у, г), с(х, у, z) е С' (а) и выполнены условия

da(x,y,z) . ... . . ч ,, ... Шх.у.г)

т(х, у, г) =---+ а(х, у, z)d(x, y,z), п(х, у, г) = Ь(х, у, z)d(x, у, г) +---,

dz д z

fi( х, у, г) = д^*'г) + с(х, у, z)d(x, у, z), c(*, у, z) = а(х, у, z)b(x, у, г) + У-, Эл dt

Тогда любое решение u(x,y,z) уравнения (0.1) из класса С3 (£2) представимо в виде

и(х, у, г) = ехр[- щ (х, у, z)]p(x, z) + f ехр[щ (л, г,г)-Щ (л, у, г)] • (ехр[-щ(х, г, г)] ■ р(г, г) +

>'0

+ J ехр[<у2 ((, г, z) -o)2(t, г, г)] • (ехр[- соъ ((, г, г)] ■ //(i, г) +

X»

+ J ex р[щ (I, г, £) - ¿а, (л\ г, г)] ■ Ф(/, г, }d Т,

где qKx,z),y/{y,z),ri(x,y) - произвольные непрерывные вещественные функции, причем <p(x,z)€ С1 (а,у), f{y,z~)e С2(Р,У),Ц(х,у)е С(а,/3),

co,(x,y,z)=ja(x,T,z)dT, Oi1(x,y,z)= jb(t,у,z)dt, ft),(д:,y,z) = \d(x,y,

A ч)

Во второй главе изучается квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое является аналогом уравнения Лиувилля.

Пусть область Р представляет собой прямоугольник

П(а,Ь) = {(л, у]|0 < х < а,0 < у < b}.

Далее обозначим

Л^)={(х,у]0£х<а, у = 0}, Л2(р>)={{х,у]х = 0,0<у<ь}.

В области Р рассмотрим уравнение

+ а(х, у)~ + Ь(х, у) ехР^ + а(х, у)и j + с(х, у)и = 0, (0.2)

где а{х,у),Ых,у\с(х,у) - заданные функции области Р.

В параграфах 2.1 и 2.2 построена формула явных решений уравнения

(0.2).

Теорема 2. Пусть в уравнении (0.2) а(х,у)е С'Х(Р), Ь(х,у),с(х,у)<в с(р).

Кроме того, пусть

да(х,у)

С(х,у)--Г—= 0.

ах

Тогда любое решение и(х,у) уравнения (0.2) из класса Сг(Р) представимо в виде

у

и(х, у) = <р(х) ехр(-й>, (х, у)) - Jcxpfej, (х, г) - ц (х, y)]ln(|f (r)+ е>2 (х, T))dT, (0.3)

Vf)

где <р(х), у/{у) - произвольные непрерывные вещественные функции из классов C2(/7,(ô)), С\П2т, щ(х,у) = |о(дг,t)dt, щ(х,у) = \b(t,y)dt.

>'о -v0

В параграфе 2.3 излагаются некоторые свойства решения уравнения

(0.2).

В параграфе 2.4 решены граничные задачи.

Задача /с,. Требуется определить регулярное в области Р решение и(.х,у) уравнения (0.2), удовлетворяющее условиям:

1) и(х,у0) = f,(x),

2) u(x0,y) = gl(у),

3) f,(x0) = gi(yB),

где /¡(х), g, (у) - заданные функции точек Я, (а),//2(/>).

Теорема 3. Пусть коэффициенты уравнения (0.2) удовлетворяют всем требованиям теоремы 2. Кроме того, пусть функции /,(х)е С2(Я,(я)), g,(y)e С\П2ф)). Тогда задача /г, имеет единственное решение, которое дается формулой вида

u(x,y) = fi(x)ехр(-с>|(х,у))-Jехр[й>,(х,т)-<у,(х,у)]ln со;(.v,г) + ехр

, w , dg{(y)

-gt(yMy)--;—

dy

dT

Задача Кг. В области Р требуется найти регулярное решение "(х. у)уравнения (0.2), которое удовлетворяет условиям: 1) и(*,;у)|,=>а = /г(х),

,, Эи

где /,(*), (у) - заданные непрерывные функции контуров /7,(о), /7,(й).

Теорема 4. Пусть коэффициенты уравнения (0.2) удовлетворяют всем условиям теоремы 2. Кроме того, пусть /2(л:)е С-(Я,(л)), #2(у)е С'(/72(Л)). Тогда задача к, имеет единственное решение, которое дается формулой (0.3), где

<р(х) = /2(х),

<р(у) = ехр[п(у)(С - (//) + я(^)ехр(-«1(/7))/2(.г0))^]-^,(у)-а(у)/:(л:0)ехр(-й)1(у))).

Задача А",. Требуется найти в области /> регулярное решение и(х, у) уравнения (0.2), удовлетворяющее условиям: 1) "(*,?„) = /,(*),

2)А„М| =«,(у),

1 Л~Л0

где /,(*), ,г,(у) - заданные непрерывные функции контуров /7,(а), //,№), Д^, - линейный регулярный дифференциальный оператор вида

Теорема 5. Пусть коэффициенты уравнения (0.2) удовлетворяют всем условиям теоремы 2. Кроме того, пусть f2(x)е С3(/7,(а)), я2(у)е С'(/7:№)). Тогда задача Л", имеет единственное решение, которое дается формулой (0.3), где

р(х) = /3(х), У(у) = ехр(-£,(у)).

В третьей главе исследованы квазилинейное уравнение второго порядка с одной граничной сингулярной линией на плоскости, квазилинейное уравнение второго порядка с одной сингулярной точкой на плоскости, квазилинейное уравнение второго порядка с п внутренними сингулярными линиями на плоскости.

В параграфе 3.1 построена формула явных решений уравнения вида

¿( ,_„ [и] + Ь(х, у) ехр(4, [«]) = 0, (0.4)

где Ц ,Л), ¿(1|1 - линейные сингулярные дифференциальные операторы

ду дхду дх

Через О обозначим прямоугольник

п(а, /?) = {(л-, у): 0 < л < а, 0 < у < /?}.

Далее

л-,(а) = {(х,у):0<х<а, у = 0}, жг(¡3) = {(х,у):* = 0,0<у <Р).

В области П рассмотрим уравнение (0.4), а(х,у),Ь(х,у),с(х,у) - заданные функции в области Q.

Теорема 6. Пусть в уравнении (0.4) а(х,у) е С| (р), а в окрестности любой точки ж2 (/)) по переменной у удовлетворяет условию Гельдера Iа(х, у) - <JU0)| < , где Я > 0, о < h < I.

Кроме того, пусть Ь(х,у)е С(£2), с(х, у ) е C(i2) и тождественно выполняется условие

ус(х,у)--г—^- = 0.

дх

Тогда любое решение и{х,у) уравнения (0.4) из класса С2(П) представимо

в виде

«(■*. у) = l^f0"'01 exp(-<q (х, у)) х

ехр(<д(я,г))

d г

(0.5)

II И".......г-

где ср(х), if/(у) - произвольные вещественные функции, р(л)е С2[л:,(а)],

Поведение решения уравнения (0.4) вида (0.5) существенно зависит от значения функции а(лг,0). Поскольку а(х,0)>1, то решение вида (0.5) в окрестности яг(р) не ограничено, его порядок определяется из равенства

«(*,;у) = о|ур("0>),при у-^0.

В параграфе 3.2 рассматриваются граничные задачи для уравнения (0.4).

Задача о,. В области а найти решение и(х,у) уравнения (0.4) из класса с-(£2), удовлетворяющее следующим условиям:

2)

где /,(*),- заданные непрерывные функции точек контуров к,(от),к2(р).

Теорема 7. Пусть коэффициенты уравнения (0.4) удовлетворяют всем требованиям теоремы 6. Кроме того, пусть /,(д:)е С2[л-,(«)], С1\к2(р)].

Тогда задача О, имеет решение, притом единственное. Это решение дается при помощи формулы (0.5), где д>(х) = /Дя),

ИУ) = exPlM~"° У) - а(*о

(( d ехр(- й), (г))

<1т

«Ф-'оЬь'.М)^

[- ехр(~ (j))W-»0)+s i (да

Задача Г)2. Требуется найти в области П решение и(х,у) уравнения (0.4) из класса С2(п), удовлетворяющее условиям:

1) и(*,.У)М'

2)

где (л), £,(>') - заданные непрерывные функции контуров л-,(аг),;г,(/?),

М(х,у) = ехм I

■а(х,т)-а(х,0)

ат

Теорема 8. Пусть коэффициенты уравнения (0.4) удовлетворяют всем условиям теоремы 6. Кроме того, пусть /2(дг)е С2(л-,(а))^2(у)е С'(л-:(/?)). Тогда задача о2 имеет единственное решение, которое дается в виде (0.5), где

Ф)ФГ"МЛм, г(у)=мр(-(у)г|;>Ги'0) «р(-^ (*0.у))).

В параграфе 3.3 получена формула интегрального представления уравнения вида

А =

Я(у-о,)

4=1 1 '

Вз

Л[и]+/?(д:, у)ехр(в[»]) = 0,

д2 " д " —- + П(у - а„ )а(х, у)— + П(у - а, )с{х, у), дхду *=' дх '=>

(0.6)

П(у~ок)

Т + рЬ-оМх-У)-

¿V 1=1

Через Р обозначим прямоугольник

Я = {(.*, у):а<х<Ь, с < у < (I }.

Далее

Я, {а,ь)={(х,у):а<х<ь, у = о}, Пг\с,й)={{х,у)\х = 0, д<у<1). Пусть прямые у = а, (л = 1,2,..., и) лежат внутри данного прямоугольника Р. Совокупность этих прямых, обозначим

Г„={а<х<Ь, у = ак},Г = ииГ11 а (х, у), ь (х, у), с (х, у) - заданные функции области Р. В области Р рассмотрим уравнение (0.6).

Теорема 9. Пусть в уравнении (0.6) функция а(х,у)е С'к(р), и в окрестности каждой точки прямых у = о, удовлетворяет условию Гельдера \а{х, у)-а{х,ак )| < Я | у~ак\", где Я > 0, 0< а < 1. Кроме того, пусть Кх,у)е С(Р), с(х,у)е С(Р) и тождественно выполняется условие

I V да(х, у)

Ф.У)--з—— = 0.

дх

Тогда всякое решение и(х,у) уравнения (0.6) из класса Сг(Р) представлено в явном виде и дается при помощи формулы

и4(У(г"),(ы(*,г)]ехр £.тк(ок(х,г)

и{х,у)=П\у-а1

•ехр

ср{х) + \-

<1 г

\\(Т-ак) П\т-а, »•1

(0.7)

где \У{у/,й)) = -Ы{у/{у)+Сй(х,у)), (0{х,у) = <ц{х,у)=]

а\х, т)-а\х,ак

т-ак

■<1т,

шк(к = 1,2.....п) - известные постоянные числа, зависящие от ак.

Решение вида (0.7) получено при предположении, что тка[х,ак)>1 и И'[(^(г),й)(лг,г)]|1о #0. В этом случае решение уравнения (0.7) в окрестности точек прямых у = ак обращается в бесконечность следующего порядка

«ММ^р-1"«').

В параграфе 3.4 поставлена и решена следующая граничная задача.

Задача М. Требуется найти в области Р решение и(х,у) уравнения (0.6) из класса С2(Р), которое удовлетворяет условиям:

1) и(х,у)=/(*),

2) — [/э(х,у)«(*,у)] =9(у), Эу

где /(х),д(у) - заданные непрерывные вещественные функции контуров

Я,(а,/?),Я2(с,с/), р(л,у) = П|у

-а* ехИ

~£тка>к(х,у)

Теорема 10. Пусть в уравнении (0.6) коэффициенты удовлетворяют всем требованиям теоремы 9. Кроме того, пусть /(х)еС2(,П1(а,Ъ)),д{у)еС\П2(с^)), <-/(>>) тка(ха,ак) > I. Тогда задача М имеет единственное решение вида (0.7), в которой функции

Цх) = /«ПК-акГ"Л1\ у{у) = -

"ПЬ - Г"'°<Л°'"'' ехР Ё т< . у)

В параграфе 3.5 исследуется квазилинейное уравнение второго порядка с одной сингулярной точкой на плоскости вида

(0.8)

где

= Э2 а(х.у) Э с(х,у) дхду г Эх г2 '

Г = .V' +

Через обозначим прямоугольник

7г(«\/?) = {0 < .г < «,0 < у < 0).

Пусть

л{а) = {0 < * < а, у = 0}, Я(Р) ~ = 0,0 < у < р).

а(х,у),ь(х,у\с(х,у) - заданные функции области й. В области П рассмотрим уравнение (0.8).

Теорема 11. Пусть в уравнении (0.8) ь(х,у\с(х,у)е с(р),у)е С],(р) и удовлетворяет условию Гельдера

\а(х,у)-о(0,0)(< Я,, где Я, >0, Ока, <1 и 0<я(0,0)<1, функция />(*, у) удовлетворяет условию Гельдера

¡/)(х, у) - /;(0,0)| < Н2, где Я2 > 0, 0 < а2 < 1. Кроме того, допустим, что тождественно выполняется условие

гс(х, у)-г2 + ха(х, у) = 0. Эх

Тогда всякое решение и{х,у) уравнения (0.8) из класса С2(П) представимо

в виде

и(х,у)=

.(0.0)

у+ + у"

ехр(- а, (.г, у))х

ч{х)-\\п

(У (г)+ ю2 (х, г)+Л(0,0) 1г»

х + ^х- + г~

хр(й;,(д:,г))

т+\1х~ +Г"

«(0.0)

(¡Г

В четвертой главе получена формула явных решений квазилинейного уравнения третьего порядка гиперболического типа с регулярными коэффициентами на плоскости.

Пусть О. представляет собой прямоугольный параллелепипед

П(а, /?, у) = {(*, у, г): 0 < х < а, 0 < у < /?, 0 < г < Грани этого параллелепипеда обозначим

Л, («,/?) = {(х, у, г): 0 < .г < «,0 < у < /?, г = 0}, Л,(аг, 7) = {(д-, у, г): 0 < л < (3-, у = 0,0 < г ^ 0}, П,(Р, У) = {(*. У.г): л = 0,0 2 у < р, 0 < г < у]. В области Q рассмотрим уравнение вида

Э3м / ч Э2« ,, чЭги , чЭи - + а(х, у)^— + Ь(х, + ф, у)— +

дхдудг дхдг дудг дz ^ ^

+ (1{х, + а(х< у)^ + ь(х' уЩ + у}> j = 0.

где а(.х,у),Ь(х,у\с(х,у) - заданные функции в области i2.

Теорема 11. Пусть в уравнении (0.9)a(x,y\c{x,y\d(x, у)е dfi]b(x,y)€ С'(р). Кроме того, выполняется условие

а(х,уХх,у)+^^-с{х,у) = 0. ду

Тогда любое решение уравнения (0.9) из класса С3(0) представимо в

виде

"(*. У. г) = <PZ (у. г)ехр(- щ (*, у)) + J у/2 (/, г)ехрЦ (/, у) - сох (х, у) - й>, (/, y))dt +

(0.10)

+ 11п(/7(/, r)+d(t, т\г - г0))"' ехр(й>, (/, г) - ыг (t, y))d г,

Уа

где

y2{x,zh С3Ша,у)\ <p2(y,z)e С2(П,(Р,Г)1 o{*,yh С(Я,(а,/?)), iyi(JC-y)= \b{t,y)dt, 02 (л-, у) = | а(х, r)d г.

х>> Уо

В параграфе 4.3 найдено решение граничной задачи для уравнения (0.9).

Задача К].. Требуется найти в области Q решение u(x,y,z) уравнения (0.9) из класса С3 (О), удовлетворяющее условиям:

1)и(*,у,г)1 = fi(x,z),

2) =g,U,z),

3) ии,у,г)].=.о =й,(д:,г),

4) /] (•*(), z0 )= <7, (у0, г0 ) = Л, (*о ■ Уо) >

где /, (-V, г). (>', г), Л, (л, _>') - заданные вещественные непрерывные функции плоскостей п1(а,р),п2(а,)'),п3(р,у).

Теорема 12. Пусть в уравнении (0.9) коэффициенты удовлетворяют всем требованиям теоремы 11. Тогда задача К! имеет единственное решение, которое

дается формулой (0.10), в которой у/1 (х, г) = /, (х, г), ^ (у, г) = + ql (у, г)■■ а(х, у),

ду

/](х,у) = ехр

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

• Аналитическое решение уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа методом представления главной части

линейного дифференциального оператора второго порядка гиперболического типа в виде композиции двух линейных операторов первого порядка.

• Аналитическое решение квазилинейных уравнений второго порядка гиперболического типа с регулярными коэффициентами, с одной граничной сингулярной линией на плоскости, со многими сингулярными линиями на плоскости, с одной граничной сингулярной точкой на плоскости.

• Аналитическое решение квазилинейного уравнения третьего порядка гиперболического типа с регулярными коэффициентами.

• Исследование граничных задач на основе полученных явных формул интегральных представлений.

• Анализ свойств решений исследуемых уравнений, изучение поведения решений сингулярных уравнений в окрестностях точек соответствующих сингулярных линий.

В заключение сформулированы в краткой форме основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Автор благодарен профессору Г.А. Айгунову за участие и советы при обсуждении результатов.

Публикации автора по теме диссертации

1. Ильясова А.К. К теории квазилинейных уравнений с внутренними сингулярными линиями /А.К. Ильясова, С.Т. Фозилов // Сборник трудов XIV Международной конференции «Математика. Экономика. Образование», IV Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Новороссийск 27 мая - 3 июня 2007г. - Ростов-на-Дону, 2007.-С. 40-42.

2. Ильясова А.К. Интегральные представления многообразий решения для одного класса уравнений в частных производных третьего порядка гиперболического типа / А.К. Ильясова // Вестник АГТУ. 2007. - № 4 (39).-С. 251 - 256.

3. Ильясова А.К. Об одном методе нахождения решений линейного гиперболического уравнения с частными производными третьего порядка / А.К. Ильясова // Сборник статей II Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем». Пенза, 4-5 сентября 2007г. - Пенза, 2007.-С.6-11.

4. Ильясова А.К. Интегральные представления многообразия решений и граничные задачи для одного класса квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с одной сингулярной линией /А.К. Ильясова, С.Т. Фозилов // Материалы III международной конференции «Функционально-дифференциальные

уравнения и их приложения». Махачкала, 24-27 сентября 2007 г. -Махачкала, 2007. - С. 93 - 99.

5. Ильясова А.К. Об одной краевой задаче для уравнения типа Лиувилля с п внутренними сингулярными линиями / А.К. Ильясова // Тезисы докладов 3-ей Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященной 85-летию члена-корреспондента РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева. Москва, 25-28 марта 2008 г. - Москва, 2008. - С. 264 - 266.

6. Ильясова А.К. Интегральное представление многообразий решений одного класса квазилинейных уравнений в частных производных третьего порядка с регулярными коэффициентами / А.К. Ильясова, С.Т. Фозилов // XVI Международная конференция «Математика. Экономика. Образование», V Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Новороссийск, 27 мая - 3 июня 2008г.: Тез.докл. - Ростов-на-Дону, 2008. - С. 87.

7. Ильясова А.К. Об одном уравнении типа Лиувилля с одной внутренней сингулярной точкой /Г.А. Айгунов, А.К. Ильясова// Успехи математических наук. Т.64. Вып.1(385). 2009. - С.135-136.

8. Ильясова А.К. Явная формула многообразий решения одного класса регулярных квазилинейных уравнений в частных производных третьего порядка гиперболического типа / Г.А. Айгунов, С.Т. Фозилов, А.К. Ильясова // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. 2009. - №2(150). - С.8 -10.

9. Ильясова А.К. Метод представления главной части линейного регулярного дифференциального оператора третьего порядка в виде композиции трех линейных операторов / А.К. Ильясова // Сборник трудов международной научной конференции «Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство». Плоцк, Польша, 20 - 25 сентября 2010г. - Москва, 2010. - С.410 - 414.

Ю.Ильясова А.К. Об одном квазилинейном уравнении второго порядка гиперболического типа с одной сингулярной линией на плоскости / А.К. Ильясова // Социальная политика и социология. № 9. - М.,2010 - С.173 -177.

Работы [2], [7], [8] соответствуют списку ВАК РФ.

Подписано в печать 09.02.11. Формат 60<84 Vi6. Усл. печ. л. 0,93 Тираж 100 экз. Заказ 169.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение.

Глава I. Явная формула интегрального представления решений для уравнения третьего порядка гиперболического типа с регулярными коэффициентами в трехмерном пространстве.

§1.1. Об одном способе сведения уравнений третьего порядка гиперболического типа общего вида к системе трех линейных уравнений первого порядка пространства И3.

§1.2. Явная формула интегрального представления уравнения третьего порядка гиперболического типа общего вида.

Глава II Интегральные представления и граничные задачи для одного класса квазилинейных уравнений второго порядка с регулярными коэффициентами.

§2.1. Сведение квазилинейного уравнения второго порядка к линейному дифференциальному уравнению.

§2.2. Явная формула интегрального представления решений квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка.

§2.3. Некоторые свойства решений квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка с регулярными коэффициентами.

§2.4. Граничные задачи для квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка с регулярными коэффициентами на плоскости.

Глава III Явные формулы интегральных представлений и граничные задачи для некоторых квазилинейных уравнений с сингулярными коэффициентами.

§3.1. Интегральные представления решений для одного класса квазилинейных уравнений второго порядка с одной граничной сингулярной линией на плоскости.

§3.2. Формулы явных решений граничных задач для квазилинейного уравнения с одной граничной сингулярной линией на плоскости.

§3.3. Интегральные представления решений для одного класса квазилинейных уравнений второго порядка со многими внутренними сингулярными линиями на плоскости.

§3.4. Об одной граничной задаче для одного класса квазилинейных уравнений второго порядка со многими внутренними сингулярными линиями .:.

§3.5. Интегральные представления решений для одного класса квазилинейных уравнений второго порядка с одной сингулярной точкой на плоскости.

Глава IV Интегральное представление решений и граничные задачи для одного класса квазилинейных уравнений третьего порядка с регулярными коэффициентами.

§4.1. Редукция одного класса квазилинейных уравнений третьего порядка к линейному уравнению с частными производными.

§4.2.Интегральные представления решений для одного класса квазилинейных уравнений третьего порядка.

§4.3. Граничная задача для квазилинейного уравнения производных третьего порядка с регулярными коэффициентами.

Сингулярные и вырождающиеся гиперболические уравнения, а также уравнения смешанного типа и их исследования являются одним из важных вопросов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Интерес к этому классу уравнений поддерживается как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в различных разделах механики сплошных сред и других областях науки и техники.

Основы теории сингулярных и вырождающихся уравнений заложены в работах известных математиков Ф. Трикоми, И.Н. Векуа, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля, М.А. Лаврентьева, К.И. Бабенко, A.B. Бицадзе. Наиболее пристальное внимание к данным уравнениям стало уделяться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики. Так, И.Н. Векуа указал их в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей безмоментной теории оболочек.

Теоретические основополагающие результаты принадлежат Ф. Трикоми, который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения

Uxx + Uxy=0 . и С. Геллерстедту, который провел исследования для уравнения nH-1uxx + uyy = 0,meN.

М.А. Лаврентьев, с целью упрощения исследований граничных задач подобных уравнений, предложил новую модель уравнений

A.B. Бицадзе принадлежат исследования задачи Трикоми и ее обобщений для этого уравнения. Теперь оно называется уравнением Лаврентьева -Бицадзе.

C.JI. Соболев для волнового уравнения в трехмерном пространстве i--utt-{uxx + uyy + uZ2)= О

С ^Л1, у, Z) разработал метод сведения задачи Коши к интегральному уравнению.

Задача Коши для линейных уравнений гиперболического типа была решена Адамаром иным методом с использованием особого понятия интеграла.

Одними из основных направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными являются постановка граничных задач, как по граничным условиям, так и условиям сопряжения, и поиск методов их решения.

Во второй половине XX века в этом направлении появляются новые работы, среди которых можно отметить исследования A.B. Бицадзе [9], М.М. Смирнова [74], С.П. Пулькина [58], В.Ф. Волкодавова [15], A.M. Нахушева [50], Н. Р. Раджабова [62], JI.C. Пулькиной [60] и других ученых.

Для общего уравнения гиперболического типа и^ + а {.х, у) их + Ь{х, у) иу + с(х, у) и = f(x, у) решение задачи Коши получено методом Римана через решения однородного сопряженного уравнения.

В работах М.М. Смирнова указано, что задача Гурса для этого уравнения сводится к решению системы двух линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Данное уравнение и его пространственные аналоги встречаются при исследовании вибрации и играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений [11].

Следует отметить проведенный в этом направлении ряд работ Н.Р. Раджабова [61] - [65], которым в 1985 году был разработан метод разложения главной части дифференциального оператора второго порядка гиперболического типа в виде композиции двух линейных операторов первого порядка. На основе данного метода для линейного дифференциального уравнения второго порядка гиперболического типа общего вида была получена явная формула интегральных представлений многообразия решений через две произвольные функции одного независимого аргумента.

В работе Н.Р. Раджабова «Интегральные представления и граничные задачи для некоторых гиперболических уравнений с одной и двумя сингулярными линиями» впервые было исследовано уравнение с двумя сингулярными линиями вида

Для него найдено интегральное представление через две произвольные функции одной переменной и изучены граничные задачи. В частности, требуется найти в области где g{y) и Ь(х) - заданные на некоторых контурах вещественные функции.

На ранних этапах своего развития теория уравнений в частных производных в качестве одной из основных выдвигала проблему нахождения и исследования уравнений, допускающих явное интегрирование. В начале XX века сильнейшее влияние математической физики привело к переоценке ценностей в теории уравнений в частных производных. В результате, ряд классических результатов, касающихся точного интегрирования, был забыт даже специалистами. Но в настоящее время интерес к этим результатам значительно возрос в связи с открытием новых фундаментальных методов точного интегрирования нелинейных уравнений в частных производных.

Общеизвестным примером точно интегрируемого уравнения в частных производных является уравнение Лиувилля и [ Ь{х,у) и [ с{х,у) Цх.у) у * ху *у

П = {0<х<а,0<у<р} 2 решение и(х,у) данного уравнения из класса С (Б) по граничным условиям и у = ¡ieu, fi = const

Уравнение быстрой диффузии ut = Ainu, и= y,t) , в двумерном координатном пространстве, встречается во многих прикладных задачах, например, при описании процесса растекания сверхтонкой пленки жидкости под действием сил Ван дер Ваальса. Оно возникает при моделировании диффузионных явлений в полупроводниках, полимерах и т. п. Уравнение быстрой диффузии с линейным источником имеет вид ut = Aln и-Ли, где Ле Re\{0}. Его стационарный аналог (эллиптического уравнения)

Д1п и = Ли заменой и = ехр{Лсо) сводится к уравнению Лиувилля Ао) = ехр(Ла)). А.Г. Попов для квазилинейного уравнения Лиувилля вида

Э2 Э2 на основе разработанного им метода, построил формулу точного решения.

В работе В.И. Жегалова «О характеристиках граничных задач для уравнения Лиувилля» выводятся формулы решения задач с граничными условиями первого, второго и третьего типов. В области

D = {0<x<a,0<y<b} рассматривается уравнение Лиувилля. Варианты граничных условий задаются на характеристиках уравнения, проходящих через начало координат.

Задача 1. (Гурса): найти функцию и{х,у) е C(D) n CU{D), являющейся в D решением рассматриваемого уравнения, и удовлетворяющую условиям

1) u{x,0)=ju{x),xe Р=[0,а],

2) u{Q>y)=v{y),yeQ=[Q,bl

3)//(0)=i/(0).

Эта задача, в том числе для общего уравнения и^ = у,и,их,иу) , изучалась в работах А.В. Бицадзе [9], М.М. Смирнова [74], Ф. Трикоми [76], А.Н. Тихонова [75]. В частности, в ([76], с.205) при определенных ограничениях на ( методом последовательных приближений доказано существование единственного решения данной задачи. При этом условия Липшица для Г по последним трем аргументам должны выполняться в некотором пятимерном параллелепипеде, сужение которого на плоскость (х,у) может оказаться лишь частью области Б.

Задача 2. Найти функцию и(х,у) е С{0) п Сол (ИиР)п С1,0 (£>и (?) п С1'1 (£>), удовлетворяющую следующим условиям ди

1}э/ ди

2) у= О

Ъх Ух (У), У £ (?, (л-) и (/) заданные функции непрерывно дифференцируемые на Р и (¡) соответственно.

Задача 3. Найти в Б решение и(х,у) того же класса, что и в задаче 2, удовлетворяющее условию £¿(0,0) = 0 и соотношениям

1) иу М) + Д (л) ехри{х,0) = ¿У, (л), Д (л) е [0, а],Д (л-) >0,

2) их (0, у) + Ьг (/) ехр «(0, у) = со2 (у), Л2 (у) е [0, Ь\ И2 (у) > 0.

В работах Н.Р. Раджабова, С.Т. Фозилова [79], [80] изучены некоторые уравнения типа Лиувилля. В частности, для уравнения вида Г где а,р = {Ы/{1}}, а(у), %) - функции, заданные на некотором отрезке 1 = [о, ь], г Э а(у) а/ / ' при определенных ограничениях коэффициентов получена формула явного решения и исследован ряд граничных задач типа Гурса. 8

В работе «Задачи с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных гиперболических уравнений» A.A. Кунгурцева исследуется вопрос разрешимости в евклидовых пространствах различной размерности задач об отыскании решений уравнений вида ^—= F{U) п0 граничным условиям, содержащим значения нормальных производных от функции U. В частности, при л = 2, F{U) = к exр U, к - const > 0 является рассматриваемым уравнением Лиувилля. Частные случаи данного уравнения с линейным оператором f встречаются при изучении процессов, связанных с явлениями вибрации и другими задачами механики и математической физики, играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений, к ним сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие. Известное нелинейное синус-уравнение Гордона и его обобщения, имеющие различные приложения (статистическая механика, теория поля, оптика, кристаллография) тоже являются частными случаями выше рассмотренного уравнения.

Диссертационная работа посвящена вопросам построения явных формул интегральных представлений некоторых классов квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго и третьего порядков гиперболического типа с регулярными и сингулярными коэффициентами, являющимися аналогами уравнения Лиувилля. Для рассматриваемых дифференциальных уравнений исследуются некоторые граничные задачи

Во введении дана краткая историческая справка по рассматриваемым вопросам, раскрывается актуальность темы и приводится краткое содержание работы.

В первой главе исследуется линейное дифференциальное уравнение третьего порядка гиперболического типа с регулярными коэффициентами.

Обозначим через Q прямоугольный параллелепипед

П{а, J3, у) = {{х,у $ : 0 < х< а, 0 < у< Д 0 < z< у}

Пусть

Пх{а) = {(л;y,z):0< х<а,у — z= О}, Пг{Р)~{(*.y*z):Q< у< р,х= О}, = {(*> у, z) :0 < z< у,х= у= 0} Грани данного параллелепипеда обозначим

П, {а, Д) = {Uу, z) : 0 < х< а,0 < у< Д z=0}, Пг {а, у) = {(х, у, z) : 0 < х < а, у = 0,0 < z < у\ Пъ{р,у)={{х,уг)'.х=Ъ,Ъ<у<р,Ъ<г<у\

В области £2 рассмотрим уравнение д3и . . д2и ,, ч д2и V д2и , . Ъи

- + a(x, у, z) —— + Ь{х, у, z) —— + d{x, у, z) —- + т{х, y,z) — + dxdyoz dxdz dyàz дхду dx du du i0-1) n{x, y,z) — + c{x,y,z)~ + ju(x, y,z)u = Ф(х, y, z), dy dz где а{х, y, z), à(x, y, z), c(x, y, z), d(x, y, z), m{x, y, z), n{x, y, z),/u(x, z) заданные функции в области £2. Теорема 1. Пусть в уравнении (0.1) а(х, у, z) € C^Q), b{x, у, z), с(х, у, z) е С\(i2) и выполнены условия ч да{х,у,г) , ч ,, Л т{х, у, z) =-— + а(х, у, z) d(x, у, z), dz л(х, у, z) = b(x, у, z) d(x, y, z) + ) dz

JLI(яг, y, z) = dc(*>y>z) + c(Xi y> z) dyt z), dz \ t \ da(x,y,z) c{x, y, z) = а (x, y, z) b(x, y, z) +--. dx

Тогда любое решение u{x,y) уравнения (0.1) из класса С3 (£2) представимо в виде и(х, у z) = ехр[— щ (х, у, z) }р(х, z) + у J ехр[бц (х, r,z)-o\{x,y,z)\{ехр[- <ог {х, r,z)\y/{r, z) +

Уо х Jехр[<у20,r,z)-co2{t,z,z)]- (ехр[— щ(t,г, z) ] • 77 (f, -г) + z |ехрЦ{Uт,£)-щ(х,т,г)]-Ф(t,т,£)dt }dr, где (р{х, z),y/{y,z),ri(х, у) произвольные непрерывные вещественные функции, причем<р(х, z) е С3 {а, у), у/(у, z) е С2 (/?, у), г/{х, у) е C{a,fi) , У а\ (х, y,z) = f а(х, т, z) dt,

Уо х

0)г (х, y,z) = J b{t, у, z) dt, z щ {x, y, z) — j d{x, y, £)

Во второй главе изучается квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое является аналогом уравнения Лиувилля. Пусть область Р представляет собой прямоугольник

П{а,Ъ) = {{х,у)0 < х<а,0 < у< Ъ}. Далее обозначим

П1^)={{х>ур<х<а,у=о}

В области Р рассмотрим уравнение

- + а(х,у)^- + Ь{х,у)ехр\^- + а{х,у)и} + с(х,у)и = 0 . (0.2) дхду дх \°У ) где а(х,у),Ь(х, у),с{х,у) заданные непрерывные функции в области Р.

В параграфах 2.1 и 2.2 построена формула явных решений уравнения

0.2).

Теорема 2. Пусть в уравнении (0.2) а{х, у) е С\{р), Ь{х,у),с{х,у)<Е С(р) . Кроме того, пусть о.

Тогда всякое решение и(х,у) уравнения (0.2) из класса С2 (Р) представимо в виде и(х, у) = <р{х) ехр(-й^ (х, у)) - |ехр[й} (х, т) - сох (х, у)]\п(у/{т) + сог (х, т))ёт

Уо

0.3) где <р{х) ,у/{у) произвольные непрерывные вещественные функции из классов

У х

Сг {П1 (а)) , С{П2 (Ь)), Щ и у) — \ а г) М, 0)2 (х, у) =

Уо -*о

В параграфе 2.3 излагаются некоторые свойства решения уравнения

0.2).

В параграфе 2.4 решены граничные задачи. Задача Кх. Требуется определить регулярное в области Р решение и(х,у) уравнения (0.2), удовлетворяющее условиям

1) и{х,у0)= /¡(л),

2) и{х^у) = д,{у),

3) /Каь) = йСУО) У где А (л) , gl (у) заданные функции точек

Теорема 3. Пусть коэффициенты уравнения (0.2) удовлетворяют всем требованиям теоремы 2. Кроме того, пусть функции х)е Сг {П1{а)), gl{y) е Сг{П2(Ь)) . Тогда задача Кг имеет единственное решение, которое дается формулой вида и(х, у) = fy (л) ехр(-щ (х, у)) у

- Jexpfo {х, т) - œx {х, у)]In сог (л, т) + ехр

Уо

-зЛУЫУ)-^ dy . dt

Задача Кг. В области Р требуется найти регулярное решение и{х, у) уравнения (0.2), которое удовлетворяет условиям

1) и(х>У)\у=у0 = Ш, Э и

2)

Э/ 8г ( У) , где f2 (*) , §i (у) - заданные непрерывные функции контуров Пх (а), Пг (Ь). Теорема 4. Пусть коэффициенты уравнения (0.2) удовлетворяют всем условиям теоремы 2. Кроме того, пусть /2 (я) е С2 (П1 (a)), g2 (у) е С1 (Я2 (Ь)) . Тогда задача кг имеет единственное решение, которое дается формулой (0.3), где р{х) = /2 (а) р{у) = ехр[а(/) (С-1 {g2 о7) + Ф) ехрНц (77)) f2 (х0)) drj] - g2 (у) - а{у) Гг {х0) ехр(-<у, (/))). о

Задача к3. Требуется найти в области Р регулярное решение и{х,у) уравнения (0.2), которое удовлетворяет условиям

1) "(*.Уо)=

2) где /3 (а) , (у) - заданные непрерывные функции контуров П1 (а), Пг (Ь), \р) - линейный регулярный дифференциальный оператор вида

Теорема 5. Пусть коэффициенты уравнения (0.2) удовлетворяют всем условиям теоремы 2. Кроме того, пусть Г2(х)<= С2 (П^а)), g2(y) е Сх (П2(Ь)). Тогда задача К3 имеет единственное решение, которое дается формулой (0.3), где р{х) = /3(л), = ехр(-#3 {у}).

В третьей главе исследованы квазилинейное уравнение второго порядка с одной граничной сингулярной линией на плоскости, квазилинейное уравнение второго порядка с одной сингулярной точкой на плоскости, квазилинейное уравнение второго порядка с п внутренними сингулярными линиями на плоскости.

В параграфе 3.1 построена формула явных решений уравнения вида и] + Ь(х, у) ехр(4, [и]) = 0, (0.4) где £(52). ^п - линейные сингулярные дифференциальные операторы кл) =у2-^ + уа(х,у), д2 Э

55 / Уа(х>У) ^+У1 У)

Через Г2 обозначим прямоугольник к(а,/3) = {(х, /): 0 < х< а, 0 < у< /?}

Далее щ(а) = {(*,у):0<х<а, у= 0}, (Р) — {(*» у): 0,0 < у< /?}.

В области О, рассмотрим уравнение (0.4), а(х, у), Ь(х, у), с(х, у) -заданные функции в области £2.

Теорема 6. Пусть в уравнении (0.4) з(х,у) е С\, а в окрестности любой точки яг (/?) по переменной у удовлетворяет условию Гельдера а(х,у) - а{х,Щ ^ Н\)\Ь, где Я > 0, 0</г<1.

Кроме того, пусть Ь{х, у) е С(£2), с(^/)бС(й) и тождественно выполняется условие ус{х,у)--= дх

Тогда любое решение и{х,у) уравнения (0.4) из класса С2 (£2) представимо в виде а{х'0) ехр(-¿ци,/))х

ЛЧ Г

0.5) где (р{х) , у/ {у) произвольные вещественные функции, (р{х) е С2 [я:1 (а)],

Кх^с'М/?)], а^.т) - а(х,0)

Уо о\(х,у) = у с1т, X

Поведение решения уравнения (0.4) вида (0.5) существенно зависит от значения функции а(х,0) . Поскольку а{х,0)>1, то решение вида (0.5) в окрестности лг (/?) неограниченно, его порядок определяется из равенства при

В параграфе 3.2 рассматриваются граничные задачи для уравнения (0.4). Задача Д. В области £2 найти решение и(х,у) уравнения (0.4) из класса С2(£2), удовлетворяющее следующим условиям

У=Уа

2)

М-Г0') ЯЛУ), где А (*)• Я1 (у) - заданные непрерывные функции точек контуров

Теорема 7. Пусть коэффициенты уравнения (0.4) удовлетворяют всем требованиям теоремы 6. Кроме того, пусть С2[7Гх{сс)], g^{y)e С1 [я2(/?)]. Тогда задача Д имеет решение, притом единственное. Это решение дается при помощи формулы (0.5), где р{х) = ^ (л) , уАу)=ехр с- П

Уо т

- ехр(- Щ {у)М%)+gx (/) |

Задача йг. Требуется найти в области а решение и(х, у) уравнения (0.4) из класса С2 (£2), удовлетворяющее следующим условиям 1) и(х'У\у=уп = ^Ы,

2)

-{и(х,уи^М(х,у)) ёг{у), где /2 (*)> 8г (у) ~ заданные непрерывные функции контуров [а), к2 (/?),

М(х, у) — ехр I

Уо з(х,т)-з(х, 0) с/т

Теорема 8. Пусть коэффициенты уравнения (0.4) удовлетворяют всем условиям теоремы 6. Кроме того, пусть /2 (лт)е С2 [а)), gг (у)е С1 (я"2 (/?)). Тогда задача Б2 имеет единственное решение, которое дается в виде (0.5), где 1/оГ "0) • «, V{У) - еЧ>(- & Ш Ы"^ <*р(- (* • /)))■

В параграфе 3.3 получена формула интегрального представления уравнения вида

А[и\+Ь{х,у)ех?{В[и\)=Ъ, (0.6)

16 л= в= д2 п д — + П(у-ак )а(х, у)- + П(у- ак )с(х, у),

П(У-ак)

- + П(у-ак)а{х,у). ду

Через Р обозначим прямоугольник

П = {{х,у) :а < х< Ь, с<у<с/}.

Далее

П1{а,Ъ) = {(х,у):а<х<Ъ, /=о},

П2(с,с1) = {{х,у):х= 0, с < у< д}.

Пусть прямые у=ак(к = 1,2.л) лежат внутри данного прямоугольника р. Совокупность этих прямых, в дальнейшем, обозначим

Гк={а<х<Ъ, у— ак } а (л-, /),Ь(х, у), с {х, у) - заданные функции в области Р.

В области Р рассмотрим уравнение (0.6). Теорема 9. Пусть в уравнении (0.6) функция а(х,у)е С1Х(Р), и в окрестности каждой точки прямых у—ак удовлетворяет условию Гельдера а(х, у)-а(х, ак)\< Н\у-ак\а, Н > 0, 0<а <1.

Кроме того, пусть Ь{х,у)еС{Р), с{х,у)еС(Р) и тождественно выполняется условие ч да(х, у) с[х>У)--— = 0. д х

Тогда всякое решение уравнения (0.6) из класса С2(Р) представлено в явном виде и дается при помощи формулы к=1 х ¿у(а, г)] ехр х (а, т)

Ах

Уо

П(т-ак) П\т — а

-тка{х,ак) к=1 к=У

0.7) где

О)

Щуг, со) = -1п {у/{у)+со(х, 7)), X со(х,у) =

I —---1-~

3 т-а,

Уо шк известные постоянные числа, зависящие от ак.

Решение вида (0.7) получено при предположении, что тка(х,ак)> 1, и

В этом случае решение уравнения (0.7) в окрестности точек прямых у — ак обращается в бесконечность следующего порядка и(х,у)= о|/-а1Г"<"*)).

В параграфе 3.4 рассмотрена и решена граничная задача. Задача М. Требуется найти в области Р решение и (х, у) уравнения (0.6) из класса С2 (Р), которое удовлетворяет условиям

1) "М^'М.

2) — \р{х, у)и{х, у) я(у),

Х=Хо где f{x), Я (у) ~ заданные непрерывные вещественные функции контуров

Пх {а, Ь),Пг (с, </), р{х, у) = П1 У- ак\тка{х-ак) ехр к=I тксок(х,у) к=1

Теорема 10. Пусть в уравнении (0.6) коэффициенты удовлетворяют всем требованиям теоремы 9.

Кроме того, пусть f{x) е С2 {Пу (а,Ъ)) ,q(y)e С1 (Я2 (с, d)), q{y) Ф 0, шка{х0,ак) >1.

Тогда задача М имеет единственное решение вида (0.7), в которой функции i р{х)= f{x)Y[\y0-ak тка(х.ак) к=1 in п

W(y)=exV ехР it ткй)к(х0,у) к=\ а*)

У~ак\

V к=1 *=1

В параграфе 3.5 исследуется квазилинейное уравнение второго порядка с одной сингулярной точкой на плоскости вида

Т / \ Ь(х,у) ( а(х, у) Л у+^^и =0, (0.8) г \ г ) где

Г - и i а(х' У) д i 2 2 , 2

Через Í2 обозначим прямоугольник л(а,/3) = {0 < х< а, 0 < у< 0}, и пусть лг(«) = {0< х<а,у=0}, К{0) = {*= 0.0 < у< a(x, у), b(x, у), с(х, у) за данные функции области Q,. В области Í2 рассмотрим уравнение (0.8). Теорема 11. Пусть в уравнении (0.8) b(x, у), с(х, у)е С(0), а(х, у) е С1Х(0.) и удовлетворяет условию Гельдера а(х, у) - а(0,0)| < г°1 Нх .где Нх > 0, 0 < ах < 1 и 0 < а(0,0) < 1, функция Ь(х, у) удовлетворяет условию Гельдера ь{х,у)-фЩ< га^Н2,гд& #2>0, 0 < ос2 < 1.

Кроме того, допустим, что тождественно выполняется условие гс(х, у)-г2^- + ха{х, у)=0. дх

Тогда всякое решение уравнения (0.8) из класса С2(0) представимо в виде и{х,у) = х э(0,0) ехр(- о\ [х, j/))x х Z

W-jln у/(т) + 0)2 (лг, -г) + ь(0,0) 1п

Г Х+л1 х2 +т2 jj ехр(^ (л-, т)]

I Т + л/х2 +Т2 X з(0,0

В четвертой главе получена формула явных решений квазилинейного дифференциальному уравнению третьего порядка гиперболического типа с регулярными коэффициентами на плоскости.

Пусть О представляет собой прямоугольный параллелепипед

П{а,р,у) = {(л-, у, г): 0 < х< а, 0 < у< /?, 0 < у} Грани этого параллелепипеда обозначим

Пх {а,р) = {(*, у, г): 0 < а,0 < у< /?, 0}, Пг {а, /)={(х,у,г):0<х<а,у=0,0<г< 0}, Щ (/?, у) = {(*, у, г): х= 0, 0 < у < /?, 0 < х< у}.

В области О, рассмотрим уравнение д3и ( ч д2и ,/ ч д2и , чЭи тт+++ oxdyàz oxoz ôyoz az d(x,y)ex p f ZSÏ ddu tdu

Ju a(x,y)— + b(x,y)— + c(x,y)u axay ax ay 0,

0.9) где а(х, y), b{x, y), c{x, y) заданные функции в области Q. Теорема 11. Пусть в уравнении (0.9) а(х, у), с(х, у), d(x, yh Ф), Ь(х,у)е ф).

Кроме того, выполняется условие а(х,у)Ь(х,у)+*^-с(х,у) = 0. ¿У

Тогда, любое решение уравнения (0.9) из класса С3 {О} представимо в виде х и{х, у, z) = (рг (у ^)ехр(- сц {х, у)) + ]У2 О, ^)ехр {о\ у)-щ (х, у) - сог {и /))<#+

-Ч) У 11п(т7(л т) + т)(г- z0 ))"1 ехр(сог т) - со2 (¿, у) )(1т (0 л 0)

Уо где г{х,г)е Сг(П2 (а,у)),<р2(у, z)e С2{П3(р,у)),7]{х,у)<Е С^П^аф)), р у

Щ (х, у)= | Ь(и у)Ж, сог у)= | а(х, т)с!т.

Уо

В параграфе 4.3 найдено решение граничной задачи для уравнения (0.9). Задача Кх. Требуется найти в области решение и(х,у,г) уравнения (0.9) из класса С3 (£2), удовлетворяющее следующим условиям

1) и{х,у,г)^{х,г),

2)

3) и&уг]^ = 1\(х,у),

4) ф0,г0)=д1(у0,г0) = Ъ1{х0,у0), где /*! {х, у), ^ (аг, у), Д (х, у) заданные вещественные непрерывные функции плоскостей Пх {а, ¡3), Пг (а, у), П3 (/?, у).

Теорема 12. Пусть в уравнении (0.9) коэффициенты удовлетворяют всем требованиям теоремы 11. Тогда задача К1 имеет единственное решение, которое дается формулой (0.10), где

Ух (*, г) = /; {х, г) ,

Ъу

Г!(х,у) = ехр а(х, у)^- + Ь(х, + с(х, у(х, у) дхду ох ду

Заключение

В диссертационной работе исследован вопрос, который относится к одной из основных задач теории дифференциальных уравнений - нахождения явных формул решений уравнений в частных производных. В работе упор делается на метод исследования, разработанный Н.Р. Раджабовым, позволяющий значительно расширить круг изучаемых уравнений, допускающие явные решения.

В процессе исследования для некоторых уравнений в частных производных гиперболического типа, как в регулярном, так и в сингулярном случаях получены формулы явных решений, содержащие произвольные функции. Это позволяет поставить и решить ряд граничных задач, что и было реализовано.

В работе изучены квазилинейные сингулярные уравнения, для которых не только получены формулы решений, но и исследовано поведение решений в окрестностях сингулярных точек. Также рассмотрены граничные задачи для этих уравнений.

Все результаты и выводы, полученные в диссертации, сформулированы в виде теорем.

В работе применены классические и современные методы исследования дифференциальных и интегральных уравнений. А также метод представления главной части дифференциальных операторов гиперболического типа в виде композиции линейных операторов первого порядка.

В заключении, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Г.А. Айгунову за поставленные задачи, ценные научные консультации и постоянное внимание к работе.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.,1978(1923). - 352с.

2. Айгунов Г.А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций одного класса нелинейных операторов типа Штурма-Лиувилля с весовой функцией неограниченной вариации на конечном отрезке. // УМН. -2000. Т. 55. - № 4. - С. 213-214.

3. Алиев Р.Г. Уравнения математической физики Изд-во ДГУ. 1987. - 80с

4. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Минск, Вышэйшая школа, 1972.

5. Бжихатлов Х.Г. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения и сингулярные интегральные уравнения третьего рода. // Дифференциальные уравнения. 1971. - т.7 - №1.- С.3-14.

6. Бицадзе A.B. К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа. Механика сплошных сред и родственные проблемы анализа. М., 1972. - С.42-47.

7. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.:Наука,1966.

8. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., 1982. - 448с.

9. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М., 1982. - 336с.

10. Бицадзе A.B., Нахушев A.M. К теории вырождающихся гиперболических уравнений. // Докл.АН СССР. 1972. - т.204.с.1289 - 1291.

11. Бондаренко Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. Ташкент: Фан, 1987. 146с.

12. Будак Б.М., Горбунов А.Д. О разностном методе решения задачи Коши дляуравнения y=f(x,y) и для системы уравнений = X{t,хх,хг.хп) (/=1.л)сразрывными правыми частями. // Вестник МГУ. Сер. матем. 1958 - № 5. - С. 7-11.

13. Векуа H.H. Системы сингулярных интегральных уравнений. М. - Л., Гостехиздат, 1950.

14. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.:Наука, 1988. - 512с.

15. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для ЭПД. Куйбышев, 1984. - 80с.

16. Волкодавов В.Ф., Специн B.JL, Федоров Ю.И. Краевые задачи для одной системы уравнений в жестко пластических телах вращения. // Дифференциальные уравнения Куйбышев, 1980 - С.36-45.

17. Вольперт А.И. Об индексе системы двумерных сингулярных интегральных уравнений. //Доклады АН СССР. 1962. - Т. 142 - №4 - С.776-778.

18. Вольперт А.И. Эллиптические уравнения на сфере и двумерные сингулярные интегральные уравнения. // Математический сборник 1962. - № 59(101).- С.195-214.

19. Врагов В.Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений. // Дифференциальные уравнения. 1972 - т.8 - №1. - С.7-16.

20. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.,1977. - 640с.

21. Гохберх И.И. К теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. // Доклады АН СССР 1952. - Т.132 - №6. - С.1279-1282.

22. Джумаев Э.Х. Приближенное решение краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с сингулярной линией: Автореф. дис. . канд. физ.- мат. наук. Душанбе, 2004. - 18с.

23. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.,1987 -415с.

24. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнения смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент, 1979. - 238с.

25. Дынин A.C. Сингулярные операторы произвольного порядка на многообразии. //Доклады АН СССР 1961. - Т.141 - №2. - С.285-287.

26. Елеев В.А. О некоторых задачах типа задачи Коши и задачи со смещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения.- 1997. т.12 - №1.- С.46-58.

27. Жегалов В.И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1990 - С. 94-98.

28. Жегалов В.И., Кунгурцев A.A. О характеристиках граничных задач для уравнения Лиувилля. // Извести вузов. Математика. 2008. - №11. - с.40-47.

29. Крупник H .Я. О непрерывности многомерного сингулярного оператора в пространстве основных и обобщенных функций.// Учебные записки Кишиневского университета. 1962. - № 50 - С.111-117.

30. Кунгурцев A.A. Задачи с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных уравнений гиперболического типа: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 2008. - 16 с.

31. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.,1973. -408с.

32. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболических уравнений. -М., 1953. 280с.

33. Ланина Т.И. О некоторых задачах для уравнений гиперболического и смешанного типов. //Дифференциальные уравнения.- 1973. т.9 - №1.- С.115-122.

34. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М., «Мир» 1972.-587 С.

35. Леднев H.A. Новый метод решения дифференциальных уравнений с частными производными. // Математический сборник. №22(64) - 1948 -С.205-266.

36. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О задаче Коши для гиперболических сингулярных интегральных уравнений типа свертки.// Вестник ЛГУ. Серия: матем., мех. и астр. 1965. - вып.4. - №19. - С.161-163.

37. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О сингулярных уравнениях с символом, обращающимся в нуль. //Доклады АН СССР. 1965. - Т.160. - №1965. -С.1250-1253.

38. Матвеев Н.М. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Уравнения класса Фукса и иррегулярная особая точка. JL, 1989.

39. Михайлов Л.Г. К теории полных дифференциалов с сингулярными точками. ДАН России, 1992, т.332,№4, с.646-650.

40. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, Изд-во АН Тадж. ССР. - 1963. - 183с.

41. Михайлова-Губенко Н.М. Сингулярные интегральные уравнения в пространствах Липшица. // Вестник ЛГУ. 1966. - №1 - С.51-63.

42. Михлин С.Г. К вопросу об индексе системы сингулярных уравнений. ДАН СССР 152, №3, 1963. С.555-558.

43. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.,1962.

44. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения. // УМН. 1948. - вып. 3(25).

45. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. -М.,1988.- 150 с.

46. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М. 1962.

47. Найдюк Ф.О. О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами: Автореф. дис. . канд. физ.- мат. наук. Воронеж, 2004. 19с.

48. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений. // Дифференциальные уравнения 1971 - Т.187 - №1 - С.49-56.

49. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области. // Дифференциальные уравнения. 1970. - Т.6. - №1. - С.190-191.

50. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения. // Доклады АН СССР 1969 - Т.187 - №4 - С.736 -739.

51. Нахушев A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик,1992. 155 с.

52. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. //«Дифференциальные уравнения». 1969. №1. С.79-84

53. Ниров Х.С. Классификация симметрии и решение тодовских систем : Автореф. дис. . .докт. физ.- мат. наук. М.,2009. - 39с.

54. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. М. -Л.,1950. - 400 с.

55. Петровский И.Г. О поведении интегральных кривых системы обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи особой точки. Т.41. -Вып.З. - 1935.

56. Попов А.Г. Геометрический метод точного решения эллиптического уравнения Лиувилля. // Вестник Московского университета. Математика. Механика. 1995. - №3 - С.38-42.

57. Пуанкаре А.О. О кривых, определенных дифференциальными уравнениями. М.-Л., ГТТИ, 1947.

58. Пулькин С.П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева -Бицадзе.// Доклады АН СССР. 1958. - Т.118. - №1. - С.38-41.

59. Пулькина Л.С. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя параллельными линиями сингулярности коэффициентов: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Горький, 1975. - 11 с.

60. Пулькина Л.С. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами./ Труды второго Международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 1988. -С. 129- 132.

61. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых гиперболических уравнений с одной и двумя сингулярными линиями. //Доклады АН СССР. 1985. - Т.281. - №3. - С.539-543.

62. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярными линиями или сингулярными поверхностями. Душанбе. Изд.ТГУ. - 4.1.1980, 127с.; 4.2.1981, 170с.; 4.3.1982, 170с.; 4.4.1985, 148с.

63. Раджабов Н.Р. К теории линейных гиперболических уравнений со сверхсингулярными коэффициентами. / Материалы конференции «О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений». Душанбе, 1990. -С.132-135.

64. Раджабов Н.Р. К теории одного класса линейных гиперболических уравнений с двумя сверхсингулярными линиями. // Докл. АН Тадж. ССР. -1989. Т.32. - №9. - С.573-577.

65. Раджабов Н.Р. Об одном уравнении гиперболического типа второго порядка с двумя сингулярными линиями. // Дифференциальные уравнения, -1988. Т.24. - №12. - С.2129-2133.

66. Раджабов Н.Р., Мирзоев А.Х. Интегральные представления решений для одной системы уравнений первого порядка гиперболического типа с сингулярной точкой. Душанбе, Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, 1991. - С.75-79.

67. Раджабов Н.Р., Рузметов С.Т., Фозилов С.Т. К теории линейных дифференциальных уравнений с частными производными третьего порядка в пространстве. Душанбе, Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, 1991. - С.80-86.

68. Сабитов К. Б. Критерий единственности решения задачи Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения. / Материалы международной конференции «Тихонов и современная математика». М., 2006. - С. 223 - 224.

69. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Об одной краевой задачи для уравнения смешанного типа негладкими линиями вырождения.// Доклады АН СССР. -1982. Т.262. - №3. - С.539-541.

70. Салехов Г.С. К вопросу о задаче обратной задачи Коши Ковалевской. // УМН - №5(51) - 1952 - С.169-192.

71. Самко С.Г. Общее сингулярное уравнение в исключительном случае. // Дифференциальные уравнения. 1965. - № 8. - С.1108-1115.

72. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1977. - 157с.

73. Смирнов М.М.Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка М.: Наука, 1964. - 208с.

74. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 736с.

75. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных второго порядка. М.:Ин.лит.,1957. - 443с.

76. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. -М., 1985. (

77. Фозилов С.Т. Граничная задача для уравнения типа Лиувилля. /Материалы Республиканской научной конференции, посвященной памяти Собирова Т. «О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений». Душанбе, 1990. - С.213-215.

78. Фозилов С.Т. К регулярной теории квазилинейных уравнений типа Лиувилля. Астрахань, Наука: Поиск 2005. - Т.2. - С. 11-13.

79. Фозилов С.Т. К теории нелинейных уравнений в частных производных. -Астрахань, Наука: Поиск 2003. Вып.1. - С.308-310.

80. Фозилов С.Т. О некоторых многомерных системах первого порядка со сверхсингулярными плоскостями. Тезисы докладов. Душанбе, ТГУ, 1992. -С.9-10.

81. Фозилов С.Т. Явная формула многообразия решений одного класса нелинейных уравнений гиперболического типа с частными производными в пространстве R3. Астрахань, Наука: Поиск 2003. - Вып.1. - С.306-308.

82. Фозилов С.Т., Раджабов Н.Р. Явная формула решений одного класса нелинейных уравнений третьего порядка. // Естественные науки. 2004. -№3(9). - С.101-104.

83. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике М.: Наука - 1973. -771с.

84. Чечик B.JI. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью. // Труды Московского математического общества. 1959. - Т.8. - С.155-198.