О разрешимости квазилинейных смешанных задач для параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

рГо ОД 1 8 ДЕК 2003

На правах рукописи

Магомедова Елена Сергеевна

О РАЗРЕШИМОСТИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Специальность: 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Махачкала - 2000

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и геометрии Дагестанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико - математических наук, профессор А.И.Вагабов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.М.Гурьянов доктор физико — математических наук, профессор К.М.Магомедов

Ведущая организация: Научно - исследовательский институт прикладной

.математики и информатики Кабардино-Балкарского научного центра АН РФ.

Защита состоится £^>000 года в 14.00 часов на заседании

специализированного совета KQ63.61.07 в Дагестанском государственном университете по адресу : 367025, г.Махачкала, ул.Дзержинского, д. 12, математический факультет, аудитория 3 — 70.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Даггосуниверситета по адресу г. Махачкала, ул.Батырая, д.1.

Автореферат разослан. .( года

Учёный секретарь специализированного Совета Р.И.Кадцев

щ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Изучение смешанных задач для параболических уравнений относится к классическим проблемам математической физики, не покидающей поле деятельности математиков.

В последние годы заметно возросло число работ, относящихся к нелинейным задачам, что вызвано их многочисленными приложениями в вопросах моделирования процессов диффузии и химических превращений, при моделировании биологических процессов, процессов теплообмена и других областях.

В работах С.Н.Бернштейна, В.А.Ильина, О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, В.А.Солонникова, Х.А.Аманна, М.Струве, К.Грогери, А.А.Ермакова, М.Г.Слинько, М.Г.Назарова, Т.А.Акрамова, М.П.Вишневского, Р.И.Алихановой и других отражены ряд методов решения смешанных задач- метод интегральных преобразований, метод априорных оценок, метод Галеркина, метод конечных разностей, операторные методы, метод Фурье. Эти методы хорошо отражают развитие самой математической науки.

В настоящей диссертации даётся дальнейшее развитие простого, конструктивного метода решения смешанных задач, предложенного А.И.Вагабовым в случае квазилинейного уравнения теплопроводности, на случай плоских и многомерных квазилинейных параболических уравнений и систем. Ранее это было сделано в кандидатской диссертации Х.А.Абдусаламова в случае плоской квазилинейной параболической системы с постоянными коэффициентами.

Указанный метод является дальнейшим развитием обобщенного метода Фурье, исходящего из работ С.Н.Бернштейна, З.Н.Халилова,

Ю.Ф.Коробешшка,А.И.Гусейнова,К.К.Гасанова,К.Й.Худавердиева, Ф.Г.Максудова, А.В.Дедушева. Он позволяет получить совершенно новые конструкции и оценки решений линейных смешанных задач и избавиться от жёстких ограничений на нелинейность в случае решения нелинейных задач.

Цель работы. Целью данной диссертационной работы является:

1. Развитие нового аналитического аппарата конструктивного решения квазилинейных смешанных задач для параболических уравнений;

2. Нахождение новых интегральных представлений решений линейных смешанных задач и их оценок с целью использования в построениях простых интегральных систем уравнений, соответствующих широким классам смешанных задач для квазилинейных параболических уравнений. Установление нелокальных теорем существования.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработан обобщённый метод Фурье в общей ещуации для плоских нелинейных .задач параболического типа.

2. Проблема решения смешанной задачи для плоской нелинейной задачи сведена к решению системы двух интегральных уравнений.

3. Доказана "локальная" теорема существования и единственности решения задачи в конструктивной форме и установлена разложимость решения в обобщённый ряд Фурье.

4. Разработан новый аналитический аппарат, характеризующийся исключительной простотой и связанный с интегралами Пуассона в случае смешанных задач для многомерных квазилинейных параболических систем с постоянными коэффициентами.

5. Практическая ценность результатов определяется приложениями полученных исследований в вопросах моделирования химических, физических, биологических процессов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной школе-семинаре, посвященной памяти Н.В.Ефимова в Абрау-Дюрсо в 1998 году; на региональной конференции, посвященной памяти Х.Ш.Мухтарова в 1999 году в г. Махачкале; на семинарах кафедр математического факультета ДГУ, на городском семинаре по математике в г.Махачкале.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведён в конце автореферата.

Объём и структура работы. Диссертационная работа изложена на 76 страницах компьютерного текста; состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Библиография содержит 51 наименование, в том числе 4 на иностранном языке.

Содержание диссертации.

Во введении даётся краткий обзор и характеристика основных результатов по теме диссертации, проводится анализ исследований .

Предметом первых двух глав диссертации является исследование квазилинейного параболического уравнения

/ чЗу(Ы з2у / аИ ...

О <х <1, 0<1<Т,

с двумя граничными условиями с вещественными коэффициентами

ох

Зу

+/?/--+ /М = 0.

х=0 ОХ Х=1

и2{ч) = а2\{(,0)+ р2х{г,1) = 0 (2)

и с начальным условием

у(А,х)=^(х) (3).

К данным задачи (1)-(3) предъявляются следующие требования: 1. с(х)>0,с(х)еС5[0,/]

б

2. /(х, v, — I - непрерывно дифференцируемая функция в области О: V дх

и> - -

дФ дх

О <1 <Т <°о, 0<х<1,

где Ф{{, х) - решение задачи (1)-(3) при / = 0.

3. а,р24Щ + а2р1т1Щ)*0

4.ц/{х)еС3[0,1], =0-

В случае с(х)=1 и простейших граничных условий v{t,0) = v(t,l)- 0 задача рассмотрена в работе А.И.Вагабова. В нашей ситуации положение существенно меняется.

В § 1 гл.1 дана постановка проблемы и введена краевая задача с комплексным параметром Л:

у"-Л2с(х)у = 0, 0<х<1 (4)

и,{у)=0, и2(у)=0 (5).

Установлена теорема о наличии экспоненциально асимптотических по Л фундаментальных решений в правой (левой) Л -полуплоскости:

у?{х.Л)=

с(х)-

(6)

Решения (6) представляют основу всех следующих построений, в частности, при построении функции Грина в этом же параграфе.

В теореме 2 найдена асимптотика нулей знаменателя функции Грина, указаны свойства этих нулей.

В теоремах 3,4 и 5 параграфов 2 и 3 соответственно получено экспоненциально убывающее при х-»со асимптотическое представление

функции Грина G(x, ¿¡,Л) задачи (4)-(5), доказана формула предельного интегрального представления для любой непрерывной на £9,/] функции h(x): - 1 2 '

h{x) = lim — \}£ €>- d?. Jg(x, £ X);{r)h{z)dq, (7)

Ло т L 0

0<х<1,

L = {(Я! = Н, \arg Л\ S jju |W > Н, arg Л = ± ~J, Н » /,

и разложимость функции h{x) в ряд Фурье по собственным присоединённым функциям задачи (4)-(5).

Важное связующее звено работы принадлежит леммам параграфа 4. Лемма 2 доказывает абсолютную и равномерную сходимость интегралов вида

-х

. г/да«-

Js = ¡Л*еЛ ('-*>Mje ( ?]{^lf(r,g,v,w)dz (8)

(х ( ■)

■ I -Н & ,

= \Л3ех {'~т)с1Х\Е(х,£,Л)г 0 > |/(г, £ v, , ■ (9)

л о о

О ¿х<1, ОИйТ, 5 = 0,1

где Е- ограниченная на Ь функция, Ь-разомкнутый контур из правой Л-полуплоскости, имеющий асимптотами полупрямые аг£ Л При этом

справедливы оценки тах^ 0\,\1 ¡\)<С1а тах|/|

тах!\1 ,\,\1 ¡^йС^тах\/\ для \/а,-^<а < 1.

Утверждение их абсолютной и равномерной сходимости уже при всех целых 5 на \/[а, /?] с (о,7) и г е (0, г) доказывается в Лемме 3.

В Лемме 5 при условии (у(лг)е С3[0,1], х=01 = 0, 1 = 0,1,2,

доказано, что функция

т I О

непрерывна со своими производными по х до третьего порядка на прямоугольнике [0,г]х \0,1]. Причём дифференцирование можно производить под знаками интегралов.

Лемма 6 позволяет делать весьма удобный и существенный переход, заключающийся в равенстве

С" , (10) I I г

яг

о

с

/

где С„- концентрические окружности с центром в О, проходящие вне полюсов функции Грина С(х, X).

В последнем пятом параграфе гл.1 доказано, что функция

- / 2 1 Ф{г,х) = — Ит I Лел'с1А[с(х,£,ЛХ£М£№ (11)

2т и-*« 0

представляет собой единственное решение однородной задачи (1)-(3), причём это решение имеет производные любого порядка по г.

В главе II используются все построения, леммы и теоремы главы I. Она посвящена решению основной проблемы диссертации, то есть задачи (1)-(3).

В теоремах 7 и 8 доказывается эквивалентность вопроса решения задачи (1)-(3) решению интегро-дифференциального уравнения:

У(1,х) = ф(г,х)-^ <1т, (12)

2ть о о V

где <?(/, х) - указанное выше решение (11).

В § 2 сделан следующий шаг - сведение уравнения (12) к системе двух интегральных уравнений с двумя неизвестными:

т 1 I 3 .

V = ф(г, ж) —- \?ЯХ\с(х, £ ¡/(г, £ v, соУ {,'т) с/г т1 о о

ш'{С(х, £ А)с1$\/((, £ v, соу2('~т) <1г (13)

& ^ :0

В теореме 9 установлена эквивалентность вопросов разрешимости уравнения (12) и системы (13).

В §3 доказана теорема 10, устанавливающая однозначную разрешимость системы (13) в пространстве С?[0,1] непрерывных 2-вектор-функций (у, при достаточно малых / < /0 .Доказательство получено путём исследования и оценок интегральных операторов правой части (13).

В §4 обоснована наиболее трудоёмкая теорема 11 о непрерывной дифференцируемости по ( и х решения V,\У системы (13). Только после этого становится полностью оправданным то, что первая компонента V решения системы (13) служит решением задачи (1)-(3) в классическом смысле.

Доказательство теоремы 11 требовало чёткого выделения и расчёта главной части операторов системы (13) с применением лемм 1,2,3.

Наконец, в теореме 12 доказано, что при 0</</0, где /0- малое число, задача (1)-(3) имеет единственное решение.

Теорема 13 завершает главу 2 и утверждает представимость найденного в теореме 12 решения в виде ряда Фурье по собственным элементам задачи (4)-(5). При этом коэффициенты Фурье этого ряда получены нелинейным "возмущением / "из коэффициентов Фурье решения соответствующей линейной задачи.

Глава III относится к случаю квазилинейных смешанных задач для многомерных параболических систем:

Аду(1,х)= " Э^у

а Ьох'

ЗУ 5У ^ дх} " " дх„ }

дг = (лг;,...,д:„), 0<xL<1, 0<t<T< oo

при начальных и граничных условиях

= k = (15)

v(0,x)=<p(x), (16)

где А - постоянная пхп матрица,характеристические числа в¡,...,вп которой имеют положительные вещественные части, v,f,<p-ny.n матрицы.

Ставится проблема разрешимости задачи (14)-(16) в классическом смысле. Предполагается также, что tp(x)е С1 §0,1]п ], p(x^ Xk=0j -0, к = Т/п, а f{t,x,v,wl,...,w„) - непрерывно дифференцируемая в покомпонентном смысле в области D=D(T) :0<х,<1, i=-Tji, 0<t<T, ||v - Ф (t, x)jj < Q,

| Wj - <Q~ const,i = l,n, где |tv(i,= max\v(l,x), Ivl = maxIv,.-1

I Й*,-|| XJ ' ij 1 71

Ф - решение задачи (14)-(16) при f = 0.

Результаты -этой главы обобщают и усиливают результаты работы Х.А.Абдусаламова, посвященные задаче (14)-(16) в одномерном случае, п=1. При этом используется метод исследования проблемы, основанный на применении интегралов типа Пуассона, что представляет новизну и в случае линейной задачи.

Простота построений позволила избавиться от жёстких ограничений работы Х.А.Абдусаламова о различности характеристических чисел 9, и в несколько раз сократить объём изложения, причём в более общей ситуации.

dv

Вначале предполагается, что / не зависит от v и -—. В теореме 14

dxj

доказано, что решение задачи (14)-(16) можно представить в виде суммы интегралов Пуассона:

и

v(t,x) = $(t,x)+ F(t,x),

/2

-i\2

(17)

F{t,x) =

4л

% 1 I 4(?~т)

-« (t - т)

Г/2

где ф(и f(t, д) - нечётные и периодические с периодом 2 продолжения функций с [(?,/] на всю ось по каждой переменной

Теорема 15 даёт другое представление решения (20) в форме о о

+ W- • • М - Г.$)/(*. • ■ ■

Ао о о

с ядром К, выраженным через экспоненциальные ряды

. п/

(Xk-itfA

+ 1

m=C

(2т+2+хк-Цк)2 А

{2т+2+$к-хкУ (2m^k-xkfA (xk+tjk-2m-2)гA \

+ e

- e

<it

+ e

■it

Исходя из формул (17), в теоремах 16, 17 и их следствиях даются фундаментальные оценки для Ф ч Е и их производных:

Я'

А/2С

(18)

тах ^(^х)! < —

л'

»/-1 А" С -

о *

дф{},х)

дх<

п+1

ар4 ■ А * С

<

л■

(19)

(20)

тах х

п-2

4 0]П • А ^ С

дР{1,х) ^ ^__I ^тах\/(т,х)^

о Vг

где С - матрица, трансформирующая А в жорданову. а =25 тахг^ф,

НИп ' /£ У<я

Б- площадь п- мерной единичной сферы,

(21)

а, - тах

1й1йП

Ш<п

В случае же <р(х)еС'§0,1]') <р\хк=о,1 -0, к-1,п, вместо оценки (23) в теореме 18 доказывается оценка

дФ I ап

^Л Пп/

п/

А 2С

Мх)

дхг

(22)

Далее решение задачи (14)-(16) сводится к эквивалентной задаче решения системы интегральных уравнений

л о о о

С* i А о о о

г 1 1

1=1,п.

Используя систему (23) и оценки (18)-(21), приходим к теореме 19. Если выполнены указанные выше условия для задачи (14)-(16), то она имеет единственное классическое решение в о(Г0 ), где

/ \

Г0 = min

Т,-

Q я

/2

Я

J-'c

—Л

n-1 l2 ,

4a¡n8 A 2 С ■ \c~'\ -M2

где М = mor|/(r, .....w„ )|.

d(t)

Это решение является первой компонентой решения системы (23). Во втором параграфе рассмотрена прикладная задача о поперечных колебаниях упругого стержня:

3 « 84и я п

—- + —- = 0<х<1, t>0.

st2 дх4

(24)

_32и x=o,i дх2

= 0,

х=0,1

= ?>/(*). —

ыо Ot

1=0

где <pi zC2[0,l], <p¡,<p¡

= 0, i = 1,2.

0,1

Задача (24)-(26) иллюстрирует важность тех построений, которые проведены в §1 и с помощью которых мы приводим совершенно простую конструкцию решения этой задачи:

, /У® _,•(£=££ , ГГ7«

чЬ Iе " + 41 ЪШ, (26)

Ф,{х)±1]с1ф2{^ где ¥12(х)=--, а Ф, (х) и Ф2(х) нечётные,

периодические с периодом 2 продолжения на всю вещественную ось функций <р,(х) , <р2(х).

Текст диссертации представляет единое целое в смысловом отношении. Он разбит на три главы, носящих в определённой степени самостоятельный характер, однако нумерацию теорем и лемм мы сочли целесообразным сделать единой.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Магомедова Е.С., Вагабов А.И. Интегральные уравнения для плоских нелинейных смешанных задач параболического типа. // Тезисы международной школы-семинара памяти Н.В. Ефимова.- Ростов н/д,-1998.-С.183-184.

2. Магомедова Е.С., Вагабов А.И. Интегральные уравнения, относящиеся к плоским нелинейным смешанным задачам для уравнений параболического типа.// Изд.вузов Северо-Кавказского региона.Сер.естеств. и обществ.наук. -1999 №3 - с. 16 -21.

3. Магомедова Е.С. Построение решений смешанных задач для нелинейных уравнений теплопроводности.// Вестник ДГУ. — Махачкала,- 1999. №1 - с.54 - 58.

4. Магомедова Е.С. 'О построении решения смешанной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности.// Тезисы докладов конференции памяти X. Мухтарова. - Махачкала.- 1999. - с.48 - 49.

5. Магомедова Е.С. Суммируемость по Абелю интегралов и рядов Фурье непрерывной функции по обобщённым системам .// Вестник ДГУ. — Махачкала,- 1998.- Вып.4,- с.31 - 38.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

§ 1. Постановка проблемы и рассмотрение соответствующей краевой задачи.

§ 2. Асимптотическое представление для функции Грина.

§ 3. Формула интегрального преобразования, разложения в ряды Фурье.

§ 4. Леммы об основных интегралах, связанных с задачей (1)-(3).

§ 5. Решение задачи (1)-(3) в случае однородного уравнения (1).

ГЛАВА II. СВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

§ 1. Интегро-дифференциальное уравнение для задачи (1)-(3).

§ 2. Система интегральных уравнений.

§ 3. Решение системы интегральных уравнений.

§ 4. Дифференцируемость решений системы (38) и заключительные теоремы.

ГЛАВА III. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

§ 1. Многомерная смешанная задача для квазилинейной параболической системы.

§ 2. Задача о поперечных колебаниях упругого стержня.

ГЛАВА IV. СЛУЧАЙ ПЛОСКОЙ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННОЙ

СТАРШЕЙ ЧАСТЬЮ.

§ 1. Постановка проблемы и вспомогательная граничная задача.

§2. Асимптотическое представление матрицы Грина и её полюсы.

§3. Формула интегрального преобразования.

§4. Сведение к интегральным уравнениям и основная теорема.

Изучению смешанных, иначе начально-краевых, задач для линейных дифференциальных уравнений и систем посвящено большое число работ [1],

2], [10], [14], [22], [26], [36], [38], [39], [42], [47]. При этом естественно возникают различные методы решения, отражающие в свою очередь развитие математической науки. Это - метод разделения переменных Фурье, методы интегральных преобразований, операторные методы, метод характеристик, метод Галеркина, метод конечных разностей и другие.

Одно из центральных мест принадлежит методу Фурье, модификация которого используется в нашей работе и с которым связан большой математический аппарат, являющийся удобным и мощным инструментом исследования задач математической физики.

Впервые метод Фурье получил строгое обоснование в работах Стеклова В.А. [41], рассмотревшего смешанные задачи для уравнения колебания неоднородной струны и охлаждения неоднородного стержня.

Для многомерной смешанной задачи где 5/ - самосопряженный оператор, порожденный выражением метод Фурье обоснован Ладыженской О.А. [24].

Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для смешанных задач гиперболического и параболического типов в случае разделяющихся переменных получены Ильиным В.А. [15].

Для случая несамосопряженности пространственного оператора задачи обоснование метода Фурье приводит к исследованию разложимости и суммируемости функций в ряды по главным функциям оператора (либо пучков операторов), [7], [28].

Применение метода Фурье к уравнениям с неразделяющимися переменными приводит к значительным трудностям, связанным с исследованием бесконечных систем дифференциальных уравнений, из которых определяются коэффициенты разложения в ряд для неизвестного решения. Отметим в этом направлении работы Халилова З.И. и Коробейника Ю.Ф. и их учеников [13], [17]-[21], [43], [44], в которых использован обобщенный метод Фурье, примененный Бернштейном С.Н. в работе [5], относящейся к смешанной задаче для одного нелинейного гиперболического уравнения.

Дальнейшее развитие обобщенный метод Фурье получил в работах [11], [12], [36], [45], относящихся к нелинейным задачам.

Отметим повышенный интерес к таким задачам в последнее время и значительное продвижение в их исследовании, особенно для параболических уравнений, что отчасти вызвано многочисленными приложениями в вопросах моделирования процессов диффузии и химических превращениях, при моделировании биологических процессов, процессов теплообмена и других областях, [3], [48], [49], [50]. Отметим важные фундаментальные исследования Ладыженской O.A., Солонникова В.А., Уральцевой H.H. и их учеников [24]-[2 7] по квазилинейным параболическим уравнениям общего вида метода априорных оценок.

Сущность метода, использованного в работах [11], [12], [36], [46], состоит в том, что решение разыскивается в виде ряда по собственным функциям линейного пространственного оператора задачи с неопределенными коэффициентами. При нахождении этих коэффициентов приходят к бесконечной системе интегральных уравнений. Разрешимость полученной системы исследуется в определенных банаховых пространствах, при этом необходимым условием является самосопряженность указанного линейного оператора.

В нашей диссертации используется метод решения, предложенный Вагабовым А.И. [8], являющийся дальнейшим развитием обобщенного метода Фурье из предшествующих работ, его комбинирования с методом интегральных преобразований типа Лапласа. Мы целиком основываемся на аналитическом аппарате решения задачи и сводим ее к решению системы двух нелинейных интегральных уравнений особого вида. Простота схемы решения позволяет глубже вникнуть в содержание задачи и значительно увеличить диапазон рассматриваемых задач, в частности, отпадает существенность условия самосопряженности линейного пространственного оператора.

Дадим краткое изложение содержания работы, отметив ее существенные стороны. Предметом исследования первых двух глав является квазилинейное параболическое уравнение а2у / д\Л ,1Ч с(х)—= —т + / *,х,у,— , (1)

81 дхх дх

О <х<1, 0<1<т, с двумя граничными условиями с вещественными коэффициентами и^Ыос, — + ату)\х=о + (Д — + Д0у)|^=1 = 0, (2) и с начальным условием у(0,х) = М/(4 (3)

При решении задачи (1)-(3) мы ставим вопрос в принципиальном плане о возможности переноса метода работы [8] на случай параболических уравнений с переменными коэффициентами в старшей части. Для этого в главах 1 и 2 на простой модели разрабатывается соответствующая теория, приложимая и к более широким классам параболических уравнений.

К данным задачи (1)-(3) предъявляются следующие требования:

1)с(х)>0, с(х)<=С3[0,1]-,

2) /(/,х, V, \у) - непрерывно дифференцируемая функция в замкнутой области £>: 0<t<T <сс, 0<х<1 < 0, где - решение задачи (1)-(3) при / = 0, 0>О константа;

3) а^^Щ + аД

4)н/(х)еС3[0Д =0, 1 = 0,1,2.

I х=0,1

По поводу условия 2) заметим, что решение нелинейной задачи естественно искать в окрестности решения соответствующей линейной задачи.

XV

ЭФ дх

В случае с(х) = 1 и простейших граничных условий = у(/,7) = О задача рассмотрена в [8]. Простота этого случая определяется элементарностью резольвенты линейной части задачи и возможностью точных вычислений, связанных с нею.

В нашей ситуации положение меняется. Так, вспомогательное уравнение у" - }^с{х)у = 0 уже не имеет решений элементарного вида. Таким образом, при изменении главной линейной части задачи картина исследования может существенно меняться.

В § 1. гл. I дана постановка проблемы и введена в рассмотрение краевая задача с комплексным параметром X: у"-Х2с(х)у = 0, 0<х<1, (4) и1(у) = 0, 17 2 (у) = 0. (5)

Приведена теорема о наличии экспоненциально асимптотических по К фундаментальных решений уравнения (4) в правой (левой) X полуплоскости: 1

С[х) 4 е где (6) а]=а + 0 Г

Лу

Решения (6) представляют основу всех последующих построений, в частности, при построении функции Грина в этом же параграфе.

В теореме 2 найдена асимптотика нулей знаменателя функции Грина (спектр задачи (4)-(5)), указаны свойства этих нулей.

В теореме 3 получено экспоненциально убывающее при Х^юэ асимптотическое представление функции Грина G(x,^,X) задачи (4)-(5). Опираясь на это представление, в теореме 4 доказана формула

-1 2 1 h{x) = lim — ¡XeeX dX fG(x, X)c{^)h{^, (7) eio ni L 0

0<x<l,

L = = H,\argX\ < || U > H,argX = ±-j j,H » 1, предельного интегрального представления для любой непрерывной на [0,l] функции h(x).

На основании теоремы 4 получена теорема 5 о разложимости функции h(x) в ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям задачи (4)-(5). Сумма ряда понимается в смысле суммирования по Абелю порядка 2. Указан естественный способ объединения слагаемых ряда в скобки по четыре, основанный на их «родстве» по четырем соответствующим собственным значениям Х%к.

Важным связующим звеном работы являются леммы параграфа 4, относящиеся к интегралам, связанным с решением основной задачи. В лемме 1 установлены формулы

Ja= ¡X2k+lel2í-XadX = l^a^I^,t>0, а*0. (8) dt vi L 2 dt t e-x2dx<^e~R2 , R>0. (9) r 2

Лемма 2 доказывает абсолютную и равномерную сходимость интегралов вида

1 -к

Js = ¡Xsel2^dX¡e < (10) ь о о

1 # ЧНИ И *

1$ = \Х"ех2^Х\Е(х,1Х)е 1о 0 > (11)

10 о

0 < х< 1, ; 8 = 0,1, где Е - ограниченная на I функция; Ь - разомкнутый контур из правой X -полуплоскости, имеющий асимптотами полупрямые аг^Х = ±1у^. При этом справедливы оценки тах|у0|,|/0|)<аатах|/|, тах^1 ¡\,\1 ¡\)< С-Лтах\/\ \/а, <а < /. 2

Лемма 3 утверждает их абсолютную и равномерную сходимость уже при всех целых 5

Также абсолютно и равномерно сходятся интегралы вида

ДсК

0 , л (12) х % ^

-М {+]

I о при любых целых ^; ¿е[/0,Г], 10>0, 0<х<1. Это утверждает лемма 4.

В лемме 5 при указанном выше условии 4) на функцию \|/(л:) доказано, что функция непрерывна вместе со своими производными по х до третьего порядка на прямоугольнике [0,Г]х[0,7], причем, дифференцирование можно производить под знаками интегралов.

Лемма 6 позволяет делать весьма удобный и существенный переход, заключающийся в равенстве:

- lim [kdX ]g(x,jfix,^ v, ^V^dx = — ГЯ^ f/ix,, (13) l о о У где Cn - концентрические окружности с центром в 0, проходящие вне полюсов функции Грина

В пятом параграфе гл.1 доказано, что функция 1

Ф(*,*) =-Ит [кеХ1Ок [(?(*, ^ДМЙуЙ)^ (14)

2т «->® ¿г ^ представляет единственное решение однородной задачи (1)-(3), (/ = #), причем это решение имеет производные любого порядка по t.

В главе II используются все построения, теоремы и леммы главы I. Она посвящена решению основной проблемы диссертации, то есть задачи (1)-(3).

В теоремах 7 и 8 доказана эквивалентность решения задачи (1)-(3) решению интегро-дифференциального уравнения:

1 1 г ( 2( \

У(/,Х) = ФМ-- ех ^т, (15) о о У ди где - указанное выше решение (14) однородной задачи (1)-(3).

В §2 сделан следующий шаг - сведение уравнения (15) к системе двух интегральных уравнений с двумя неизвестными:

В теореме 9 установлена эквивалентность вопросов разрешимости уравнения (15) и системы (16).

Необычность системы интегральных уравнений (16) относительно неизвестных V, , а вместе с тем и трудность исследования, заключаются в наличие в операторах правой части «посторонней» операции несобственного интегрирования по параметру X.

В §3 доказана теорема 10, устанавливающая однозначную разрешимость системы (16) в пространстве С?[0,1] непрерывных вектор-функций (у, при достаточно малых 1<10.

Доказательство получено путем исследования и оценок интегральных операторов правой части (16).

В §4 обоснована наиболее трудоемкая теорема 11 о непрерывной дифференцируемости по / и х решения (у, ш) системы (16), из чего становится ясным то, что первая компонента V решения системы (16) служит решением задачи (1)-(3) в классическом смысле.

Доказательство теоремы 11 требовало четкого выделения и расчета главной части операторов системы (16) с применением лемм 1, 2, 3.

16)

Наконец, в теорема 12 доказано, что при 0<1<10, где ^ - малое число, задача (1)-(3) имеет единственное решение.

Теорема 13 завершает главу II и утверждает представимость найденного в теореме 12 решения в виде ряда Фурье по собственным элементам задачи (4)-(5). При этом коэффициенты Фурье этого ряда получены нелинейным «возмущением /» из коэффициентов Фурье решения соответствующей линейной задачи.

1. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. О смешанной задаче для линейной гиперболической системы на плоскости. //Уч. записки Латв. гос. университета, 1958, Т.20. Вып.З. С.87-104.

2. Агранович М.С. Граничные задачи для систем псевдодифференциальных операторов 1-го порядка. //УМН, 1969. Т.24. №1. С.61-125.

3. Акрамов Т.А., Вишневский М.П. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия. //Сибирский математический журнал. 1995. Т.36. №1.

4. Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Hayкова думка. 1965 798 с.

5. Бернштейн С.Н. Об одном классе функциональных уравнений с частными производными. //Изв. АН СССР. Сер. математ. 1940. Т.4. С. 17-26.

6. Вагабов А.И. Корректность задачи Коши для одного класса систем линейных дифференциальных уравнений. //Учен, записки Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. и хим. наук. 1964. №3. С. 10-13.

7. Вагабов А.И. Условия корректности одномерных смешанных задач для гиперболических систем. //Докл. АН СССР 1964. Т. 155. №6. С. 1247-1249.

8. Вагабов А.И. Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных уравнений. //Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32. №1. С.90-100.

9. Гусейнов А.И. Худавердиев К.И. О решении методом Фурье одномерной смешанной задачи для квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка.//ДАН СССР. 1963. Т.148. №3. С.496-500.

10. Дедушев A.B. Обобщенный метод Фурье в уравнениях с частными производными //Дисс. канд. физ.-мат. наук. Ростов н/д 1987. 149 с.

11. Загорский Т.Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. Львов. 1961.-213 с.

12. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений. //УМН. 1960. Т.15. №2. С.97-154.

13. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука. 1972. 496 с.

14. Коробейник Ю.Ф. Бесконечные системы дифференциальных уравнений: Диссертация кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону. 1955. 204 с.

15. Коробейник Ю.Ф. Решение смешанной задачи методом Фурье для интегро-дифференциального уравнения // Докл. АН СССР 1957. Т.114 С.14-17.

16. Коробейник Ю.Ф. О решении операторных уравнений методом Фурье // Труды семинара по функц. анализу. Воронеж. 1957. С.71-86.

17. Коробейник Ю.Ф. О решении уравнений гиперболического типа методом Фурье // Учен, записки Ростовского гос. ун-та, серия механико-математическая. Орджоникидзе: 1959. Т. LXVI. №7. С.77-116.

18. Коробейник Ю.Ф., Дедушев A.B. Решение смешанной задачи методом Фурье // Изв. СКНЦ ВШ, серия естеств. науки. 1980. №1. С.11-16.

19. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки.//Труды семинара им. Петровского. 1981. Вып.1. С.97-146.

20. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. Изд-во АН СССР, Ленинград. 1932. 473 с.

21. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: ГИТТЛ. 1953. 279 с.

22. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. 736 с.

23. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: ГИФМЛ. 1973. 407 с.

24. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности. //УМН. 1986. Т.41. Вып.5. С.59-83.

25. Лидский В.Б. Разложения в ряд Фурье по главным функциям несамосопряженного эллиптического оператора. //Матем. сб. 1962. Т.57. №2. С.137-150.

26. Магомедова Е.С., Вагабов А.И. Интегральные уравнения, для плоских нелинейных смешанных задач параболического типа. //Тезисы международ, школы-семинара памяти Н.В.Ефимова. Ростов н/д. 1998. С.183-184.

27. Магомедова Е.С., Вагабов А.И. Интегральные уравнения, относящиеся к плоским нелинейным смешанным задачам для уравнений параболического типа. //Изв. вузов Северо-Кавказского региона. Сер. естеств. и обществ, наук. 1999. №3. С. 16-21.

28. Магомедова Е.С. Построение решений смешанных задач для нелинейных уравнений теплопроводности. //Вестник ДГУ. Махачкала. 1999. №1 С.54-58

29. Магомедова Е.С. О построении решения смешанной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности. //Тезисы докладов конференции памяти Х.Мухтарова. Махачкала. 1999. С.48-49.

30. Магомедова Е.С. Суммируемость по Абелю интегралов и рядов Фурье непрерывной функции по обобщенным системам. //Вестник ДГУ. Махачкала. 1998. Вып.4. С.31-38.

31. Магомедова Е.С., Вагабов А.И. Представление решений смешанных задач для параболических систем интегралами Пуассона и их приложения. // Изв. вузов Северо-Кавказского региона. Сер. естеств. и обществ, наук. 2001. №4. С.13-17.

32. Магомедова Е.С., Вагабов А.И. Смешанная задача для плоской квазилинейной параболической системы второго порядка с переменной старшей частью.// Деп. в ВИНИТИ РАН № 1702-В-2002. 15с.

33. Максудов Ф.Г., Худавердиев Ф.К. Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных гиперболических уравнений //ДАН СССР. 1990. Т.310. №3. С.539-542.

34. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. 526 с.

35. Петровский И.Г. О проблемах Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций.//Бюллетень МГУ, секция А. 1938. Т.1, Вып.7. С.1-72.

36. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла. М.: Наука. 1964. - 462 с.

37. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве. //Труды Московского математического общества. 1961. С.297-350.

38. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука. 1983. 432 с.

39. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917. Тип М.П.Фроловой. 308 с.

40. Тихонов А.Н. Об уравнениях теплопроводности для нескольких переменных. //Бюлл. МГУ. Секция А. 1938. Т.1. Вып. 9.

41. Халилов З.И. Решение задачи колебания конечной струны в среде с переменным коэффициентом сопротивления. //ДАН АзССР. 1952. Т.8. №7. С.333-337.

42. Хамраев К. Применение обобщенного метода Фурье и теории операторно-дифференциальных уравнений к решению некоторых смешанных задач для уравнений с частными производными. //Дисс. канд. физ.-мат. наук. Баку. 1979. 115 с.

43. Чандиров Г.И. Об одном обобщении неравенства Гронуолла и его приложения. //Уч. зап. Азерб. ун-та. Серия физ.-мат. и химических наук. 1958. №6. С.3-10.

44. Шварц Л. Анализ. М.: Мир. 1972. 811 с.

45. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука. 1964. 443 с.

46. Amann Н. Dynamic theory of guasilinear parabolic equations II reaction -diffusion system. //Differential Integral Equations. 1990. V.3. №1. P. 1375.

47. Crôger K. Asymptotic behavior of solutions to a class of diffusions -reaction equations. //Math. Nachr, 1983. Bd. 112. S. 19-33.

48. Struwe M.A. Counterexample in regularity theory for parabolic systems. //Gzchoclowsk Math. J. 1984. V.34. №2. P. 183-188.

49. Tamarkin J. Some general problems of ordinary linear differential equations and expansion of arbitrary function in series of fundamental functions.//Math. Zs. 1927. V.27. P.l-54.