Задача Дирихле для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

МАТВЕЕВА Нюргуяна Николаевна

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск — 2005

Работа выполнена в Якутском государственном университете им. М.К. Аммосова.

Научный консультант: академик РАН Монахов В.Н.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Попов C.B.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Подгаев А.Г. кандидат физико-математических наук Попова Т.С.

Ведущая организация: Институт вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН

Защита состоится 28 апреля 2005 года в 17.00 часов на заседании диссертационного совета К 212.306.05 при Якутском государственном университете им. М.К. Аммосова по адресу: г. Якутск, ул. Кулаковского, 48, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета им. М.К. Аммосова.

Автореферат разослан ¿¿Л^***0—_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент В.Е. Федоров

¿ГЗ YS

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Параболические уравнения, меняющие направление эволюции (уравнения переменного типа), возникают при математическом моделировании различных гидродинамических процессов: турбулентных течений вязкой жидкости, течений газа с немонотонным уравнением состояния, нелинейной теории горения и т.д.

Другим источником появления уравнений переменного типа является приближенное математическое моделирование с помощью разложения по малому параметру: уравнения пограничного слоя Прандтля для возвратных потоков жидкости, уравнения мелкой воды и двухслойной жидкости и другие.

Предметом наптих исследований является следующий класс квазилинейных параболических уравнений переменного типа:

а(х, t, v)vt = а(х, t, «, iix)vxx + b(x. t, v, vx), а > О. (1)

где коэффициент о меняет знак на некотором многообразии. Первые исследования линейных уравнений переменного типа (а = const, Ь = 0, а = х, — 1 < х < 1) были осуществлены Жевре (1913).

Достаточно полная теория линейных параболических уравнений переменного типа была построена С. А. Терсеновым и изложена в его монографии (1982), где приводится полная библиография работ других авторов до 1982 г.

Библиография более поздних работ по этой тематике содержится в монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова. C.B. Попова

Другие классы уравнений переменного типа, включая и квазилинейные уравнения, изучались Н.Н.Яненко, В.А.Новиковым (1973), Т.И.Зеленяком, B.C. Белоносовым (1974), П.И. Плотниковым (1993). А.И. Подгаевым (1987), С.Г. Пятковым (2001),

(1999).

П.П. Ахмеровым (1985), М.М. Лаврентьевым (мл.) (1990), D.H. Гребеневым (1994) и другими.

Изучению начально-краевых задач для вырождающегося уравнения (1) при условии неотрицательности решения (sgn ч = 1) посвящено большое количество работ. Наиболее полные математические результаты в теории стационарных плоских безотрывных течений несжимаемой жидкости в рамках приближений пограничного слоя были получены Н.С. Пискуновым (1943). Им была установлена теорема существования достаточно гладких решений уравнения пограничного слоя в плоскости переменных Мизеса. Дальнейшее развитие эти результаты получили в работах O.A. Олсйник (1963) и заключаются в основном в установлении более сильных априорных оценок решения, позволивших, в частности, обосновать обратный переход от переменных Мизеса к физическим переменным. При постановке задачи, позволяющей изучать течение вплоть до линии отрыва, доказано существование обобщенного решения при отрыве пограничного слоя при возрастающем давлении в работах Н.В. Хуснутдиновой (1985-2002).

С.Н. Кружков (1967) впервые показал, что для неотрицательных решений общих вырождающихся параболических уравнений оценка модуля пространственной производной не зависит от производной по времени. Аналогичный результат при более ограничительных предположениях был получен ранее Е.С. Сабининой (1962).

Постановка задачи о встречных потоках (задача Дирихле) для уравнения (1) предложена В.Н. Монаховым (1970) и в случае модельного уравнения типа Хопфа (uut = ихт) изучена О.Б. Бочаровым (1978). Для этой задачи доказаны существование и единственность слабого решения, при некоторых ограничениях на данные задачи и размеры области установлено сущест во-

вание гладкого решения, также установлена неединственность решения (1989).

Для уравнения пограничного слоя Прандтля-Мизеса теорема существования обобщенного решения задачи о встречных потоках была доказана В.Н. Монаховым (1998). и при этом предложен метод установления оценки модуля пространственной производной {\их\ < М). Отметим также, что В.Н. Монаховым, Н.В. Хуснутдиновой (1995) изучена задача о сопряжении перпендикулярных пограничных слоев (потоков). Дальнейшее обобщение полученных результатов проведено в работах В.Н. Монахова, C.B. Попова (1998), а также в работе С.Г. Пяткова (2001), которая посвящена обобщению результатов О.Б. Бочарова.

Цель работы. Диссертация посвящена доказательству разрешимости задачи Дирихле для вырождающихся параболических уравнений вида (1) в двух основных случаях: вырождение происходит при производной итх (а = и | 7а0, ао > р > 0, а = sgri V ) или при производной щ (а = | мр' sgn v, а > р > 0). Основное внимание уделяется получению оценки модуля пространственной производной решения (|«а| < М). Предложен алгоритм численного решения задачи о встречных потоках, реализованный на модельных уравнениях вида (1) (а = sgn и, а — \и\7ао, а0 = const > 0).

Методика исследований. Доказательство разрешимости задач базируется на получении априорных оценок с помощью принципа максимума, в результате которых делается предельный переход. Здесь прежде всего следует выделить монографию O.A. Ладыженской, В.А. Солонникова. Н.И. Уральцевой (1967), а также работы O.A. Олейник (1963), С.Н. Кружкова (1979), В.II. Монахова (1998). При этом используются методы функционального анализа, методы теории дифференциальных

уравнений в частных производных.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получена априорная оценка максимума модуля решений задач Дирихле для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции.

2. Для указанного класса задач о встречных потоках для нелинейных уравнений получена граничная оценка градиента решений, а также глобальная оценка градиента решений, как в случае слабого вырождения, так и в случае сильного вырождения на решении.

3. Доказана разрешимость задач с вырождением при производной по времени и со слабым вырождением.

4. Разработаны и протестированы алгоритмы численного решения задачи Дирихле о встречных потоках для уравнения типа Хопфа.

Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах, и в частных случаях из них следуют известные результаты.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и неоднократно обсуждались на семинаре по "Дифференциальные уравнения с частными производными" (рук. проф. Егоров И.Е.) НИИМ при ЯГУ, докладывались на Международных конференциях по математическому моделированию (г. Якутск, 1997, 2001, 2004), па Сибирской птколе-семинаре по математическим проблемам механики сплошных сред (г. Новосибирск, 1997), на научной конференции "Лаврен-тьевские чтения"(г. Якутск. 1997, 1999), на республиканской научно-практической конференции "Математика. Информатика. Образование"(г. Якутск, 2002). на Всероссийской школе-

семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка"(г. Якутск, 2004).

Результаты диссертации доложены также в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН на семинаре "Краевые задачи механики сплошных сред"(рук. академик РАН В.Н. Монахов и чл.-корр. РАН П.И. Плотников) (2002) и в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН на семинаре "Качественная теория дифференциальных уравнений"(рук. проф. Т.И. Зеленяк) (2002).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликован ы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, изложенных на 105 страницах. Список цитируемой литературы на 9 страницах содержит 87 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении даны краткие исторические сведения по теме диссертации, излагаются цели проводимых исследований, в сжатом виде приводится содержание.

В первой главе изучается задача о встречных потоках для квазилинейных параболических уравнений со слабым вырождением, с обращающимся в нуль коэффициентом при старшей производной по .т. Применяется метод эллиптической регуляризации параболического уравнения, устанавливаются априорные оценки решений, не зависящие от параметров ре1уляризагдаи, с помощью которых осуществляется предельный переход. Первая глава состоит из чехырех параграфов. Первый и третий параграфы разбиты на три пункта, а второй и четвертый - на два пункта.

В первом параграфе дана постановка задачи (пункт 1°). Краевая задача: в области Q = {(z, t) 10 < х < 1,0 < t < 1} найти решение уравнения (1) такое, что

u{k.t) = 0; (-\)ки(х.к) — ик{х) > 0, же (0,1), А: — 0,1;

(2)

Здесь а = |и|7а0, ац > р > 0, о = sgn и.

Приведены условия гладкости и параболичности для функций а и 6. Условия параболичпости задают степенной порядок роста по \р\ = \их \ коэффициента а. Более сложные условия подчиненности, связывающие порядки по р производных функций а и 6 и их порядки по \и\ в окрестности и = 0, сформулированы в терминах некоторых дифференциальных форм, однородных относительно этих порядков.

В пункте 2° проведена эллиптическая регуляризация уравнения (1):

Lu = üuxx + еии — ощ + Ь = 0, е = е(е0) > 0, (3)

где ä = a(x,t.s,p), Ъ — b(x,t,s,p), s = îI>(£qîs)s + сг(и) =

s = H; ф{у) = rHl^iy), Ф(у) - /£4(1 -

о

при у е (0,1), ф(у) = 1 при у > 1, ф(у) = 0 при у < 0, ф(у) 6 С4[0,1].

В пункте 3е при определенных условиях подчиненности порядков роста а и b по р и приведения коэффициента b к специальному виду, на основе принципа максимума полу чена оценка модуля решения, не зависящая от параметров регуляризации.

Лемма 1. Для решений и G В(П) = f| W$(TÎ) f]

р)С,,+/5(Г2)} задачи (3), (2) при условии

и b(x,t, |и|. 0) < /у0 ч'1 M > N0 > 1, ß0 = t'onnt > 0, (4)

справедлива оценка

вир\п(х. = М < оо, п

где постоянная М не зависит отпараметров г иг о.

Во втором параграфе в пункте 1° с помощью нелинейной подстановки С.Н. Бернштсйна з = Ф(у) устанавливаются оценки производных [?хх| и на границе области П.

Лемма 2. На границе области = (0,1) х (0,1) производная иг решения и(хА) € О, регуляризованной задачи (3), (2) ограничена равномерно относительно е,£о-'

Лемма 3. Для решений задачи (3), (2) справедлива оценка

с постоянной М\, не зависящей от е.

Пункт 2° второго параграфа посвящен доказательству оценки модуля пространственной производной решения. Оценка устанавливается с помощью дифференцирования уравнения регуляризованной задачи и подстановки их = г(и)д{х,£), где функция г(и) выбирается специальным образом.

Лемма 4 (об оценке \их\ в О). Пусть выполнены предположения (г), (г?) и неравенства (5), (6). Тогда для решения и(х, I, е) задачи (3), (2) справедлива равномерная по е,£о оценка

|К||сЮ < М\ < оо

(6)

£\Ы\дп < Мх

(7)

||"х||п < М0-

В третьем параграфе доказывается

Лемма 5 (о разрешимости регулярикованной задачи). Существует по крайней мере одно решение и(х^,е) £ В(0.) ре?у-ляризованной задачи (3),(2).

Четвертый параграф посвящен обоснованию предельжм о перехода по параметру регуляризации с использованием метода монотонности.

Вторая глава посвящена изучению краевой задачи о встречных потоках для нелинейных уравнений с вырождением при производной по времени (с обращающимся в нуль коэффициентом при щ). Отметим, что нахождению обобщенных неотрицательных решений и(т, > О уравнения с таким вырождением посвящены работы Е.С. Сабининой (1962, 1965).

Глава 2 состоит из пяти параграфов, четвертый разбит на два пункта, пятый — на пять пунктов.

В первом параграфе дается постановка задачи и проводится регуляризация. В области = {(•£,£) |0<х<1,0<<<1} изучается краевая задача (9),(2):

-5\ирщ + а(.г,г,\и\)ихх + ЬоОМ, \ч\)их + ММ, М) = (9)

где <5 = sgn и, 7 > 0.

Далее, аналогично схеме предыдущей главы, исследуется существование обобщенного решения краевой задачи (9), (2). §2 посвящен оценкам максимума модуля решений и производных на границе, §3 — глобальной оценке максимума модели пространственной производной, а в §4 обоснован предельный переход.

Пятый параграф данной главы посвящен изучению краевой задачи (1), (2) о встречных потоках для общего квазилинейного уравнения с вырождением при производной по времени (при этом в уравнении (1) а = о > р > 0). В отличие от

задачи (9), (2) применяются условия подчиненности коэффи-

пиентов уравнения в окрестности у = 0. Как и в первой главе, можно осуществить предельный переход по параметру регуляризации с использованием метода монотонности. При этом уравнение (9) выполнено в пространстве Ьр(0. Т; ТУ-1 (О,1)), но вместе с тем принятие необходимых следов (2), вообще говоря, не гарантируется.

Третья глава посвящена разработке и проверке точности численных алгоритмов решения задачи Дирихле для модельного уравнения Хонфа. Разрешимость этой задачи, как отмечено выше, установлена О.Б. Бочаровым (1978). Предложены два метода решения указанной задачи. Первый метод основан на итерационном методе декомпозиции области. В основе второго метода численного решения задачи лежит эллиптическая регуляризация исходного уравнения, основанная на итерационном методе Зейделя. Точность численного решения проверяется на тестовых примерах с использованием автомодельных решений уравнения Хонфа.

Третья глава состоит ш пяти параграфов, четвертый параграф разбит на два пункта.

В первом параграфе дается постановка задачи. В области 9, = {{х, £) | 0 < х < 1,0 < £ < Т} для уравнения

ищ ~итт = 0 (х, Ь) е (О, I) X (О, Г) (10)

рассматриваются начально-краевые условия

и(х. 0) = <ро(х) > 0; и(х, Т) = (х) <0, х е [0,1]

и((М) = г/(М) = 0, t£(Q,T) (11)

Рассматривается элтиптическая регуляризация уравнения (10):

ищ - ихх - еиа = 0 (х, *) е (0, /) х (0, Т) (12)

Во втором параграфе построены автомодельные1 решения задачи (10), (11):

u = {t о-ф(х), te[0,io],ioe(0,T), (13)

или

U(x t) = ( (Î0 " ПРИ ° < Î - h'h ~ 1 < Т (14)

^ ' ' \ 0, при U < t < t2 [ '

где Ф удовлетворяет условиям:

Ф" = -Ф2, Ф|х=о,г = 0. (15)

Предлагаются два алгоритма вычисления автомодельных решений.

В третьем параграфе приводятся тестовые решения задач (10),(11) и (15),(14), а также алгоритм для проверки ючности численного решения.

В четвертом параграфе описываются численные алгоритмы решения задач (10),(11) и (12),(И).

В пятом параграфе приведены примеры расчетов. Приведены 7 таблиц численных расчетов, а также в приложении 10 рисунков.

Работы автора по теме диссертации:

[1] Попов C.B., Александрова H.H. Оценка производной ограниченного решения квазилинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени //2 Международная конференция по математическому моделированию: Тез.докл. Якутск. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 1997. С. 4647.

[2] Матвеева H.H., Попов C.B. Разрешимость краевых задач для квазилинейного параболического уравнения вюрого порядка с меняющимся направлением времени // Математические проблемы механики сплошных сред: Тез.докл. -Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1997. С.98.

[31 Матвеева H.H.. Монахов В.Н., Попов C.B. Оценка модуля пространственной производной решения задачи о встречных иохоках для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Динамика сплошной среды, 1998. Вып. 113. С. 103-106.

[4] Матвеева H.H.. Попов C.B. Встречные потоки решений квазилинейных параболических уравнений с вырождением при производной по времени // "Лаврентьевские чтения "Республики Саха (Якутия): Тсз.докл. - Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1999. С. 15-17.

[5] Матвеева H.H., Монахов В.Н. Встречные потоки решений квазилинейных параболических уравнений с вырождением при производной по времени // Мат. заметки ЯГУ, 1999. Т.5, вып. 2. С. 37-45.

[6] Матвеева H.H.. Попов C.B. Нелинейные вырождающиеся f параболические уравнения с меняющимся направлением

эволюции // Мат. заметки ЯГУ, 2000. Т.7, вып. 2. С. 82 -92.

[7] Махвссва H.H. О чиспенном методе решения задачи о встречных потоках с меняющимся направлением времени // Тез. докл. III Международной конференции по матем. моделированию. - Якутск, 2001. С. 139-110.

|8| Матвеева H.H. Разрешимость задачи Дирихле для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений пе-

ременного типа // Мат. заметки ЯГУ, 2002. Т. У. вып. 1. С. 47-57.

[9] Матвеева H.H. О численном методе решения задачи Дирихле для квазилинейного вырождающем осм параболического уравнения переменного типа // Тез.докл. респ. научно-практ. конференции "Математика. Информатика. Образование". - Якутск, 2002. С. 40.

[10] Васильев В.И., Матвеева H.H. Численное решение задачи для нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Наука и образование. -Якутск, 2002. № 4(28). С. 63 65.

[11] Матвеева H.H. Автомодельные решения краевой задачи о встречных потоках для уравнения Хопфа //Тез. докл. IV Международной конференции по матем. моделированию. -Якутск, 2004. С. 26-27.

[12] Матвеева H.H. Численное решение задачи Дирихле для уравнения Хопфа //Тез. докл. Всероссийской школы-семинара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка". - Якутск, 2004. С. 28.

Подп. к печ. 14.03.2005. Формат 60x84/16. Печ.л. 1,0. Тир. 100 экз.

Отпечатано в ООО РИЦ "Офсет" г. Якутск, ул. Билибина, 10А.

1-58?!

РНБ Русский фонд

2006-4 5318

i

i

I i

i

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ВСТРЕЧНЫЕ ПОТОКИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СО СЛАБЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

§ 1. Оценка максимума модуля решений

1°. Постановка задачи. Предположения.

2°. Регуляризация.

3°. Оценка максимума модуля решения.

§2. Оценка пространственной производной.

1°. Оценка производной на границе.

2°. Глобальная оценка производной.

§3. Разрешимость регуляризованной задачи.

1°. Гельдеровская непрерывность производной.

2°. Разрешимость задачи в W^ffi).

3°. Принадлежность u(x,t,e) пространству B(Q).3G

§4. Предельный переход.

ГЛАВА 2. ВСТРЕЧНЫЕ ПОТОКИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ

§ 1. Постановка задачи, регуляризация.

§ 2. Оценка максимума модуля решений и производных на границе.

§3. Оценка максимума модуля пространственной производной.

§ 4. Предельный переход.

§ 5. Общее квазилинейное уравнение.

1°. Постановка задачи. Предположения.

2°. Регуляризация.

3°. Оценка модуля пространственной производной.

4°. Предельный переход.

ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ.

§1. Постановка задачи. Регуляризация.

§ 2. Автомодельные решения.

§ 3. Тестовые решения.

§4. Вычислительные алгоритмы.

1°. I метод.

2°. II метод.

§ 5. Примеры расчетов.

1°. Пример 1.

2°. Пример 2.

3°. Пример 3.

4°. Обсуждение результатов расчетов.

1°. Исторический обзор. Параболические уравнения, меняющие направление эволюции (уравнения переменного типа), возникают при математическом моделировании различных гидродинамических процессов: турбулентных течении вязкой жидкости, течений газа с немонотонным уравнением состояния, нелинейной теории горения и т.д.

Другим источником появления уравнений переменного типа является приближенное математическое моделирование с помощью разложения по малому параметру: уравнения пограничного слоя Прандтля для возвратных потоков жидкости, уравнения мелкой воды и двухслойной жидкости и другие.

Предметом наших исследований является следующий класс квазилинейных параболических уравнений переменного типа: a(x,t,ii)ut = a(x,t,u,ux)axx + b(x,t,n,ux),a > 0, (1) где коэффициент а меняет знак на некотором многообразии. Первые исследования линейных уравнений переменного типа (а = const, Ь = О, <7 = .г, — 1 < х < 1) были осуществлены Жевре (1913)[24].

Достаточно полная теория линейных параболических уравнений переменного типа была построена С.А. Терсеновым и изложена в его монографии [80], где приводится полная библиография работ других авторов до 1985 г.

Библиография более поздних работ по этой тематике содержится в монографин И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, С.В. Попова [23].

Другие классы уравнений переменного типа, включая н квазилнненные уравнения, изучались Н.Н.Яненко, В.А.Новиковым [87], Т.И.Зеленя-ком [5, 25, 26], B.C. Белоносовьш [5], П.И. Плотниковым [57], А.И. Под-гасвым [58, 59] , С.Г. Пятковым [72, 73], П.П. Ахмеровым [4], М.М Лаврентьевым (мл.) [30]—[32], В.Н.Гребеневым [16] и другими. Подробную библиографию и ряд результатов можно найти в монографиях [23], [35].

Изучению начально-краевых задач для вырождающегося уравнения (1) при условии неотрицательности решения (sgn « = 1) посвящено большое количество работ. Наиболее полные математические результаты в теории стационарных плоских безотрывных течений несжимаемой жидкости в рамках приближений пограничного слоя были получены Н.С. Писку новым (1943) [56]. Им была установлена теорема существования достаточно гладких решений уравнения пограничного слоя в плоскости переменных Мнзеса. Дальнейшее развитие эти результаты получили в работах О.А. Олейник (1963) [53, 54] и заключаются в основном в установлении более сильных априорных оценок решения, позволивших, в частности, обосновать обратный переход от переменных Мнзеса к физическим переменным. При постановке задачи, позволяющей изучать течение вплоть до линии отрыва, доказано существование обобщенного решения при отрыве пограничного слоя при возрастающем давлении в работах Н.В. Хуснутдиновой [82, 83, 84, 85, 86].

С.Н. Кружков (1967) [28, 29] впервые показал, что для неотрицательных решений общих вырождающихся параболических уравнений оценка модуля пространственной производной не зависит от производной по времени. Аналогичный результат при более ограничительных предположениях был получен ранее Е.С. Сабининой (1962) [75, 76].

Постановка задачи о встречных потоках (задача Дирихле) для уравнения (1) предложена В.Н. Монаховым (1970) и в случае модельного уравнения тнпаХопфа (игц = ихх) изучена О.Б. Бочаровым [7]. Для этой задачи доказаны существование и единственность слабого решения, при некоторых ограничениях на данные задачи и размеры области установлено существование гладкого решения, также установлена неединственность решения [10].

Для уравнения пограничного слоя Прандтля-Мизеса теорема существования обобщенного решения задачи о встречных потоках была доказана В.Н. Монаховым (1998) [49, 52], и при этом предложен метод установления оценки модуля пространственной производной (\их\ < М). Отметим также, что В.Н. Монаховым, Н.В. Хуснутдиновой (1995) [47] изучена задача о сопряжении перпендикулярных пограничных слоев (потоков). Дальнейшее обобщение полученных результатов проведено в работах В.Н. Монахова, С.В. Попова [36],[38], [50], а также в работе С.Г. Пяткова (2001) [74], которая посвящена обобщению результатов О.Б. Бочарова.

2°. Цель работы. Диссертация посвящена доказательству разрешимости задачи Дирихле для вырождающихся параболических уравнений вида (1) в двух основных случаях: вырождение происходит при производной ихх (а = |м|7Я(ь «о > Р > 0, а = sgn и) или при производной ut (а = |«|7sgnw, а > р > 0). Основное внимание уделяется получению оценки модуля пространственной производной решения (\их\ < М)> Предложен алгоритм численного решения задачи о встречных потоках, реализованный на модельных уравнениях вида (1) (а = sgn и, а = !и|7«(ь о = const > 0).

3°. Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, заключения и приложения. В каждой главе нумерация формул, лемм и теорем отдельная. При ссылках между главами используются эти номера с указанием главы этой формулы, леммы или теоремы.

Основные результаты:

1. Получена априорная оценка максимума модуля решений задач Дирихле для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции.

2. Для указанного класса задач о встречных потоках для нелинейных уравнений получена граничная оценка градиента решений, а также глобальная оценка градиента решений, как в случае слабого вырождения, так и в случае сильного вырождения на решении.

3. Доказана разрешимость задач с вырождением при производной по времени и со слабым вырождением.

4. Разработаны и протестированы алгоритмы численного решения задачи Дирихле о встречных потоках для уравнения типа Хопфа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Антонов Ю.С. Численные алгоритмы для некоторых уравнении неклассического типа. Дисс. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Якутск, 1996.

2. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983, 316 с.

3. Ахмедов Х.Х. О некоторых краевых задачах для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени: Дисс. .канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1989. 98 с.

4. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: НГУ, 1975. 156 с.

5. Бернштейн С.Н. Ограничение модулей последовательных производных решений уравнений параболического типа // Докл. АН СССР. 1938. Т.18, №7. С. 385-388.

6. Бочаров О.Б. О первой краевой задаче для уравнения теплопроводности со знакопеременным коэффициентом // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / СО АН СССР. Ин-т гидродинамики. 1978. Вып. 37. С. 27-39.

7. Бочаров О.Б. Об одном квазилинейном параболическом уравнении с переменным направлением времени // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1982. Т. 13, № 1. С. 21-30.

8. Бочаров О.Б. О задаче Дирихле для квазилинейного уравнения с переменным направлением времени // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / СО АН СССР. Ин-т гидродинамики. 1986. Вып. 7G. С. 58-67.

9. Бочаров О.Б. Пример неединственности нелинейной задачи с возвратным направлением параболнчностн // Тезисы докл. VII Всесоюзной школы "Качественная теория дифф. уравн. гидродинамики". Барнаул, 1989. С. 20.

10. Вабпщевич П.Н. Численное решение краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Журн. выч. матем. и матем физ. 1992. Т. 32, № 3. С. 434-442.

11. Вабпщевич П.Н. Численное моделирование нестационарных конвективно-диффузионных процессов в противотоке // Журн. выч. матем. и матем физ. 1995. Т. 35, N2 1. С. 46-52.

12. Васильев В.И., Тихонова О.А. Численное решение задач теплопроводности с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 1995. Т. 2, № 2. С. 84-91.

13. Васильев В.П., Матвеева Н.Н. Численное решение задачи для нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Наука и образование. Якутск, 2002. № 4(28). С. 63-65.

14. Врагов В.Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, № 6. С.1098-1105.

15. Гребенев В.Н. Об одной системе вырождающихся параболических уравнений, возникающей в гидродинамике // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 4. С.753-767.

16. Grebenev V.N. Interfacial phenomenon for one-dimensional equation of forward-backward parabolic type // Annali di Matematica pure ed applicata (IV). 1996. Vol. CLXXI. P.379-394.

17. Горевчук О.В. Краевая задача для одного класса нелинейных вырождающихся параболических уравнений // Сиб. мат. журн. 1997. Т.38, №6. С.1222-1239.

18. М.-Л.: ОНТИ, 1934. Т. 3, Ч. 2. 320 с.

19. Егоров И.Е. Краевые задачи для уравнений высокого порядка и с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР, 1988. Т.303,№. 6. С.1301-1304.

20. Егоров И.Е., Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995. 133 с.

21. Egorov I.E. On strong solvability of a nonlocal boundary value problem for an equation with variable time direction // Math. Zametki YaGU. 1994. V.l, №2. P.70-74.

22. Egorov I.E. On smoothness of a solution to a nonlocal boundary value problem for an operator-differential equation with variable time direction // Math. Zametki YaGU, 1995. V.2, Ш. P.98-104.

23. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Некласснческне дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 1999. (в печати)

24. Gevrey М. Sur les euations aux derivees partielles du type parabolique // J. de Math., 1913. V.10, №6. P.105-148.

25. Зеленяк Т.П. Об одном уравнении со знакопеременным коэффициентом диффузии // Матем. проблемы химии. Новосибирск. 1975. 4.1. С.111-115.

26. Зеленяк Т.И., Новиков В.А., Яненко Н.Н. О свойствах решений нелинейных уравнений переменного типа // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. Т.5, №4. С.35-47.

27. Калашников А.С. О возникновении особенностей у решений уравнения нестационарной фильтрации // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1967. Т.7, N 2. С. 440-444.

28. Кружков С.Н. Нелинейные параболические уранения с двумя независимыми переменными. Труды Московского математического общества. М., 1967. Т. 16. С. 329-346

29. Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 1979. Вып.5. С.218-272.

30. Лаврентьев М.М.(мл.) Априорная гладкость решений ряда уравнений переменного типа // Матем. модел. 1990. т.2, №9. С.145-153.

31. Лаврентьев М.М.(мл.) О разрешимости краевых задач для некоторых параболических уравнений с вырождениями // Снб. мат. журн. 1987. Т.28, №2. С.79-95.

32. Лаврентьев М.М.(мл.) О свойствах приближенных решений нелинейных уравнений переменного типа // Сиб. мат. журн. 1980. Т.21, .Мб. С.176-185.

33. Ладыженская О.А., Солонннков В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

34. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.

35. Ларькнн Н.А., Новиков В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983. 170 с.

36. Матвеева Н.Н., Монахов В.Н., Попов С.В. Оценка модуля пространственной производной решения задачи о встречных потоках для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Динамика сплошной среды. 1998. Вып. ИЗ. С. 103-106.

37. Матвеева Н.Н., Монахов В.Н. Встречные потоки решений квазилинейных параболических уравнений с вырождением при производной по времени // Мат. заметки ЯГУ. 1999. Т.5, вып. 2. С. 37-45.

38. Матвеева Н.Н., Попов С.В. Встречные потоки решений квазилинейных параболических уравнений с вырождением при производной по времени // "Лаврентьевские чтения" Республики Саха (Якутия): Тез.докл. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1999. С. 15-17.

39. Матвеева Н.Н., Попов С.В. Нелинейные вырождающиеся параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т.7, вып. 2. С. 82-92.

40. Матвеева Н.Н. О численном методе решения задачи о встречных потоках с меняющимся направлением времени // Тез. докл. III Международной конференции по матем. моделированию. Якутск, 2001. С. 139-140.

41. Матвеева Н.Н. Разрешимость задачи Дирихле для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений переменного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 1. С. 47-57.

42. Матвеева Н.Н. О численном методе решения задачи Дирихле для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения переменного типа // Тез.докл. респ. научно-практ. конференции "Математика. Информатика. Образование". Якутск, 2002. С. 40.

43. Матвеева Н.Н. Автомодельные решения краевой задачи о встречных потоках для уравнения Хопфа //Тез. докл. IV Международной конференции по матем. моделированию. Якутск, 2004. С. 26-27.

44. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. 424 с.

45. Монахов В.Н., Хуснутдинова Н.В. О сопряжении каналовых и фильтрационных течений вязкой несжимаемой жидкости // Журнал прикладной механики и теоретической физики. 1995. N 1. С.95-99.

46. Монахов В.Н. Математическое моделирование возвратных течений в пограничном слое Прандтля // Тезисы докл. 2 Международной конф. по математическому моделированию. Якутск, 1997. С. 40-41.

47. Монахов В.Н. Возвратные течения в пограничном слое // Динамика сплошной среды. 1998. Вып. 113. С. 107-113.

48. Монахов В.Н., Попов С.В. Весовые оценки градиента решений сильно вырождающихся параболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 1998. Т.5, вып. 2. С. 46-51.

49. Монахов В.Н., Попов С.В. Контактные краевые задачи математической физики // Динамика сплошной среды. 2000. Вып. 116. С.58-73.

50. Монахов В.Н. Встречные потоки решений вырождающихся параболических уравнений // Математическое моделирование. 2000. Т. 12, №11. С. 77-90.

51. Олейннк О.А., Самохпн В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Физматлит, 1997. 512 с.

52. Олейннк О.А. О системе уравнений пограничного слоя // Журн. выч. мат. и мат. физики. 1963. Т. 3, № 3. С. 489-507.

53. Олейннк О.А., Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными // Успехи мат. наук. 1961. Т.16, вып.5(101). С.115-155

54. Пискунов Н.С. Интегрирование уравнений теории пограничного слоя // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1943. Т.7. С.35-46.

55. Плотников П.И. Уравнения с переменным направлением времени и эффект гистерезиса // Докл. РАН. 1993. Т.ЗЗО, №6. С.691-693.

56. Подгаев А.Г. О некоторых корректных задачах для уравнений переменного типа // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982. вып. 55. С.143-153.

57. Подгаев А.Г. О граничных задачах для некоторых квазилинейных параболических уравнений с неклассическими вырождениями // Сиб. мат. журнал. 1987. Т.28, №2. С.129-139.

58. Попов С.В. Разрешимость краевых задач для уравнения ut = ихх sgn х при произвольном склеивании // Математический анализ н днфференц. уравнения. Новосибирск: НГУ, 1992. С. 34-41.

59. Попов С.В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени высокого порядка / Ред. журн. "Сиб. мат. журнал". Новосибирск, 1988. 56 с. Деп. в ВИНИТИ 07.12.88, № 8646-Б88.

60. Попов С.В. О разрешимости краевой задачи для одного уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Дифференциальные уравнения и их приложения. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1989. С.39-47.

61. Попов С.В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1991. Вып. 102. С. 100-113.

62. Popov S.V. On a boundary value problem for a singular parabolic eguation with changing time direction // Mat. Zametki YaGU. 1994. V.l, №1. P.113-128.

63. Попов С.В., Шахурдин К.А. Разрешимость одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени //2 Международная конференция по математическому моделированию. Тез.докл. Якутск: Новосибирск., 1997. С.47-48.

64. G8. Попов С.В., Шахурдин К.А. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 1997. Т.4, №2. С.49-56.

65. G9. Попов С.В. О встречных потоках теплового пограничного слоя сжимаемой жидкости // Мат. заметки ЯГУ. 1999. Т.6, №2. С.130-133.

66. Попов С.В. Об одной краевой задаче со сдвигом для параболического уравнения переменного типа // Динамика сплошной среды. 2000. Вып. 116. С.83-94.

67. Пятков С.Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1985. Т.285, №6. С.1322-1327.

68. Пятков С.Г., Подгаев А.Г. О разрешимости одной краевой задачи для нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Снб. мат. журн. 1987. Т.28, № 3. С. 184-192.

69. Пятков С.Г. Разрешимость начально-краевых задач для одного нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск, 1987. 30с. (Препринт/ АН СССР. Сиб. Отд-нне. Ин-т математики; № 16).

70. Пятков С.Г. О разрешимости задачи Дирихле и некоторых свойствах решений для нелинейных параболических уравнений с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2001. Т 8, вып. 2. С. 56-74.

71. Сабинина Е.С. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143, № 4. С. 794-797.

72. Сабинина Е.С. Об одном классе квазилинейных параболических уравнений, не разрешимых относительно производной по времени // Сиб. мат. журн. 1965. Т.6, №5. С. 1074-1100.

73. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. С.711.

74. Терсенов Ар.С. О разрешимости некоторых краевых задач для одного класса квазилинейных параболических уравнсннй // Сиб. мат. журн. 1999. Т.40, № 5. С.1147-1156.

75. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Сиб. отд-ние АН СССР. Ин-т математики. 1982. 168 с.

76. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985. 105 с.

77. Хуснутдннова Н.В. Разрешимость краевых задач для вырождающихся параболических уравнений // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / СО АН СССР. Ин-т гидродинамики. 1985. Вып. 73. С. 156-161.

78. Хуснутдннова Н.В. Об условиях ограниченности градиента решений вырождающихся параболических уравнений // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / СО АН СССР. Ин-т гидродинамики. 1985. Вып. 72. С. 120-128.

79. Хуснутдннова Н.В. Модель пограничного слоя с отрывом // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / СО АН СССР. Ин-т гидродинамики. 1990. Вып. 97. С. 146-166.

80. Хуснутдннова Н.В. Оценка производной ограниченного решения вырождающегося квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / СО РАН. Ин-т гидродинамики. 1993. Вып. 107. С. 155-161.

81. Хуснутдннова Н.В. Об отрыве пограничного слоя при возрастающем давлении // Сиб. мат. журн. 1999. Т.40, №5. С.1195-1210.

82. Хуснутдннова Н.В. Оценка модуля скорости гидродинамических потоков // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / СО РАН. Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. С. 64-72.

83. Яненко Н.Н., Новиков В.А. Об одной модели жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. Т.4, №2. С.142-147.