Исследование разрешимости задач для нестационарных вырождающихся на решении нелинейных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

1. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.■:.

1. Постановка задачи.

2. Обозначения и вспомогательные утверждения.

3. Теоремы существования.

4. Теоремы единственности.

2. РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В СОБОЛЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ.

1. Постановка задачи.

2. Обозначения и вспомогательные утверждения.

3. Оценки в соболевских пространствах.

4. Теорема существования и единственности.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.

1. Постановка задачи.

2. Обозначения и вспомогательные утверждения.

3. Первая теорема существования.

4. Вторая теорема существования.

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию разрешимости краевых задач для некоторых нестационарных уравнений с неявным вырождением. Первые результаты по нелинейным параболическим уравнениям с неявным вырождением были получены в работах О. А. Олейник, А. С. Калашникова, Чжоу Юлинь, Ж. - Л. Лионса, Р. А. ГуллааЛ. Они основывались на компактности приближений, которое опиралось на монотонность по параметру приближения Галеркина. Достижение монотонности по параметру требовало сильных ограничений на нелинейный член, в частности на гладкость определяющей его функции и на ограниченность начальной функции.

Среди авторов, внесших существенный вклад в развитие теории нелинейных параболических уравнений с неявным вырождением, предложивших новые подходы и методы построения единой теории, отметим Ж. -Л. Лионса, X. Трибеля, Б. С. Агопвоп, Р. ВёпПап, Ю. А. Дубинского, Р. А. Иллааг!;, М. М. Лаврентьева - мл., А. А. Самарского, В. А. Галакти-онова, С. П. Курдюмова, А. П. Михайлова, О. А. Ладыженскую, В. А. Солонникова, Н. Н. Уральцеву и других.

На протяжении последних двадцати лет количество работ, посвященных рассматриваемым уравнениям заметно возросло. В значительной мере это связано с появлением новых приложений в физике атмосферы и океана, математической биофизике, синергетике, изучающей общие законы самоорганизации нелинейных сред, теории переноса, статистической физике. Также связано с появлением новых методов исследования таких уравнений. Рядом авторов Г. В. Алексеев, Н. В. Хуснутдинова, т

С. Н. Антонцев, В. Н. Монахов, Н. М. Бокало, О. Б. Бочаров, А. Н. Васильев, В. Н. Врагов, Т. И. Зеленяк, А. А. Иванов, Р. Керш-нер, А. И. Кожанов, Н. В. Кис лов, Е. Р. Косыгина, Г.-И. Лаптев, В. А. Новиков, А. Г. Подгаев, П. И. Плотников, С. Г. Пятков, К. Н. Солтанов, P. Benilan, G. Crandall, D. Eidus, К. Hollig, A. V. Lair, T. Nanbu, P. E. Sacks, J. Vazques были получены новые теоремы существования и единственности для различных классов нелинейных вырождающихся параболических уравнений. Соответствующую библиографию и многие результаты можно найти в монографии А. А. Самарского, В. А. Галактионова, С. П. Курдюмова, А. П. Михайлова "Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений" М.: Наука. 1987. Некоторые сведения обзорного характера можно найти в работах А. С. Калашникова, А. А. Иванова, Г. И. Лаптева.

Несмотря на значительное число публикаций, посвященных теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений, нет общих методов доказательства существования, единственности решения краевых задач для подобных уравнений. Одним из факторов, определяющих сложность проблемы, является нелинейность в главной части дифференциального уравнения в частных производных и его вырождение не на заданных многообразиях, а, как говорят, на решении, которое само неизвестно. В связи с этим представляется актуальным развитие методов решения нелинейных вырождающихся параболических уравнений, позволяющих доказывать теоремы существования и единственности для широких классов задач.

Цель работы. Исследовать разрешимость краевых задач для нелинейных вырождающихся на решении параболических уравнений.

Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, теория обобщенных функций и распределений, теория операторов, методы теории уравнений с частными производными: метод Фаэдо - Галеркина, метод регуляризации, метод компактности, используется техника, основанная на получении и применении априорных оценок.

Теоретическая значимость и научная новизна. В диссертации исследуются краевые задачи для нелинейных параболических уравнений с неявным вырождением. Результаты диссертации носят теоретический характер. Для указанного класса задач получены теоремы существования и единственности решений. Все основные результаты диссертации имеют законченный характер, сформулированы в виде легко проверяемых условий и являются новыми.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на П-ой Международной конференции по математическому моделированию, г. Якутск, 1997 г., на Дальневосточной математической школе - семинаре им. академика Е. В. Золотова, г. Владивосток, 1997 и 1999 гг., на Ш-ем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), г. Новосибирск, 1998 г., а также на научных семинарах "Дифференциальные уравнения" (1997-1999 гг.) (рук. д. ф.-м. н., проф. А. Г. Зарубин), на научном семинаре в Хабаровском отделении ИПМ ДВО РАН (рук. д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН Н. В. Кузнецов), на научном семинаре "Численные методы" ВЦ ДВО РАН (рук. д. ф.-м. н., проф. С. И. Смагин), на краевом конкурсе молодых ученых и аспирантов

1999 и 2000 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в б работах. Список публикаций приведен в конце автореферата,.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 12 параграфов и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 117 страниц машинописного текста, подготовленных автором в системе ЬлТеХ, библиография включает 71 наименование. Нумерация приводимых в реферате теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертации.

1. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида.// Успехи-математических наук. 1964. Т. 19, вып. 3 117. С. 53-159.

2. Алексеев Г. В., Хуснутдинова Н. В. О разрешимости первой краевой задачи для уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости// Докл. АН СССР. 1972. Т. 202. N 2. С. 310-312.

3. Ахиезер Н. И. Лекции об интегральных преобразованиях. Харьков. Вища школа. 1984. 120 с.

4. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. К.: Наукова думка, 1965.

5. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель 3. Г. Функциональный анализ. К.:Выща шк., 1990. 600 с.

6. Бокало Н. М. Энергетические оценки решений и однозначная разрешимость задачи Фурье для линейных и квазилинейных параболических уравнений// Дифференц. уравнения. 1994. Т.30. N 8. С. 1325-1334.

7. Васильев А. Н., Михайлов А. П. Автомодельные решения задачи Коши для уравнения нелинейной теплопроводности//Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. N 5. С. 788-800.

8. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторно дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

9. Галактионов В. А. Об одной краевой задаче для нелинейного параболического уравнения щ = Аиа+1 + иР // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. N 5. С. 836.

10. Галактионов В. А., Курдюков С. П., Михайлов А. П., Самарский А. А. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 480 с.

11. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

12. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.

13. Горевчук О. В. Краевая задача для одного класса нелинейных вырождающихся параболических уравнений//Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38. N 6. С. 1222-1239.

14. Гребенев В. Н. О разрешимости задачи развития области турбу-лизованной однородной жидкости//Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. Т. 29. N 4. С. 616-619.

15. Гребенев В. Н. Теорема существования для одного уравнения параболического типа с меняющимся направлением времени// В сб. Применение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям матем. физики. ИМ СО АН СССР. 1983. С. 46-52.

16. Дубинский Ю. А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях //Мат. сб. 1965. Т. 67. N 4. С. 609-642.

17. Егоров И. Е. О сильной разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения с меняющимся направлением времени// Международная конференция по математическому моделированию. Якутск. 1997 г. С. 27-28.

18. Иванов А. В. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение // Алгебра и анализ. 1992. Т. 4. N 6. С. 114-130.

19. Калашников А. С. О характере распространения возмущений в задачах нелинейной теплопроводности с поглощением//Журнал выч. матем. и матем. физики. 1974. Т. 14. N 4. С. 891-905.

20. Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка //УМН. 1987. Т.42. N 2. С. 135-176.

21. Калашников А. С., Олейник О. А. Об уравнениях нестационарной фильтрации// Проблемы теории фильтрации и механика процессов повышения нефтеотдачи. М.: Наука, 1987.

22. Кожанов А. И. О регуляризации одного уравнения переменного типа//Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. ИМ СО РАН СССР. Новосибирск. 1985. С. 157162.

23. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 624 с.

24. Косыгина Е. Р. Об анизотропных точных решениях многомерного уравнения нестационарной фильтрации//Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1995. Т. 35. N 2. С. 241-259.m

25. Кузнецов Ю. В. О склейке функций из пространств / Труды математического института им. В. А. Стеклова. 1976. Т. 140. С. 191-200.

26. Курдюмов С. Н., Гуревич, М. И., Гельковская О. В. Автомодельные решения квазилинейного уравнения теплопроводности с распределенной плотностью и нелинейными объемными источниками//Дифференц. уравнения. 1995. Т. 34. N 10. С. 1722-1733.

27. Лаврентьев M. М. Разрешимость нелинейных параболических задач// Сиб. матем. журн. 1993. Т. 34. N 6. С. 123-129.

28. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

29. Ладыженская О. А. Математические вопросы вязкой несжимаемой жидкости. М.:Наука, 1970.

30. Ладыженская О. А., Уральцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 538 с.

31. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

32. Лаптев Г. И. Слабые решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностью // Мат. сб. 1997. Т. 188. N 9. С. 83-112.

33. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. Москва. Мир. 1971. 372 с.

34. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

35. Михлин С. Г. Курс математической физики. Москва. Наука. 1968. 325 с.

36. Мусхелешвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

37. Олейник О. А. Об уравнениях типа уравнений нестационарной фильтрации//Докл. АН СССР. 1957. Т. 113. N 6. С. 1210-1213.

38. Олейник О. А., Калашников А. С., Чжоу Ю Линь Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтра-ции//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958. Т. 22. N 5. С. 667-704.

39. Подгаев А. Г. Компактность некоторых нелинейных множеств // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285. N 5. С. 1064-1066.

40. Подгаев А. Г. Об относительной компактности множества абстрактных функций из шкалы банаховых пространств// Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N 2. С. 135-145.

41. Плотников П. И. Уравнения с переменным направлением пара-боличности и эффект гистерезиса//ДАН. 1993. Т. 330. N 6. С. 691-693.

42. Пятков С. Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени// ДАН СССР. 1985. Т. 285. N 6. С. 1327-1329.

43. Пятков С. Г. О свойствах собственных функций одной спектральной задачи и их приложения. Сб. Корректные краевые задачи длянеклассических уравнений математической физики. Новосибирск. ИМ АН СССР. 1984. С.- 115-130.

44. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы si производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. Наука и техника. 1987.

45. Солтанов К. Н. О разрешимости некоторых нелинейных параболических задач //Дифференц. уравнения. 1980. Т.16. N 5. С. 882-887.

46. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск:Наука, 1973. 144 с.

47. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск:Наука, 1985. 104 с.

48. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Москва. Мир. 1980. 664 с.