О вырождающихся параболических уравнениях с нелинейными функциями изменяющегося вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРаТВЕННЫЙпШИВЕРСИТЕТ

имени м.в.М\1ш6сов:4

механико-:-.-атематпческпп факультет

на правах рукописи УДК 517.956

РЕЗНИКОВА ЖАННА ВАСИЛЬЕВНА

О ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ВИДА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механпко - математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель : кандидат физико — математических наук,

доцент А.С.Калашников.

Официальные оппоненты : доктор физико — математических наук,

профессор В.В.Жиков;

кандидат физико — математических наук, доцент В.Н.Самохин.

Ведущая организация : Московский энергетический институт

(технический университет).

Защита диссертации состоится " "V " 1996 года в

16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:

119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико - математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико - математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " ^ " 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.0о3.05.04 при МГУ профессор

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации изучаются свойства решений задачи Кошп I начально - краевых задач для уравнений вида

Au := (M'sgnu), - (a|(|u|msgnu)x|ksgn(|u|m sgn fi)r)i—

(6|u|n sgn u)z + c|u|r sgn u = 0, (1)

где положительные показатели p, m, к, n п г. a также коэффициенты a > 0, bac могут зависеть от x и t.

Уравнения такого вида описывают, в частности, теплопередачу пли диффузию в нелинейной среде, течение жидкости или газа через пористый грунт, обтекание твердого тела вязкой жидкостью, горение плазмы, динамику биологических популяций.

' Уравнение (1) является параболическим при и ■ их ф 0 и может вырождаться, если и или их обращается в нуль. Такие уравнения принято называть неявно вырождающимися параболическими уравнениями.

К середине 50-х годов для различных уравнений вида (1) Буссинеском, Л.С.Лейбензоном, П.Я.Кочиной, Я.Б.Зельдовичем, А.С.Компанейцем, Г.И.Ба-ренблаттом и другими учеными было найдено много частных решений. Оказалось, что некоторые из них обладают свойством конечной скорости распространения возмущений, а также не имеют предписанной соответствующим уравнением гладкости и фактически удовлетворяют ему в обобщенном смысле.

В 1957 г. в работе О.А.Олейник [1] было введено физически мотивированное понятие обобщенного решения задачи Копт для уравнения (1) с Ъ = с = 0, р = к = 1, m = const > 1 (а также для некоторых более общих уравнений),"доказаны теоремы о существовании и единственности обобщенного решения. Эта работа положила начало построению математической теории неявно вырождающихся параболических уравнений.

В статье О.А.Олейник, А.С.Калашникова, Чжоу Юйлиня [2] помимо

[1] Олейник O.A. Об уравнениях типа уравнений нестационарной фильтрации//ДАН СССР. 1957: Т.113, N6-. С.1210-1213.

[2] Олейник O.A., Калашников A.C., Чжоу Юйлинь. Задача Копш. и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958. Т.22, N5, С.667-704.

новых теорем существования и единственности были доказаны различны« варианты принципа максимума для обобщенных решений, а также ряд пред ложений о налпчпп конечной скорости распространения возмещений.

В последующие годы исследование уравнений вида (1) с постояннымг показателями р. т. к, п. г было продолжено многими авторамп. Проводил« качественный анализ обобщенных решений. В частности, изучались следующие эффекты.

A) Неограниченное возрастание скорости распространения возмущений ("исчезновение фронта"). Этому эффекту посвящены работы Камин и Керш-нера [3], Пелетье-мл.[4].

Б) Локализация возмущений.. Впервые она была описана Л.К.Мартинсоном и К.Б.Павловым [5].

B) М-говенная компактифпкация носите; ." решения. Первые результаты по этой тематике для уравнений вида (1) оыли опубликованы Эвансом и Кнерром [6].

Г) Полная стабилизация за конечное время. Данный эффект был открыт Е.С.Сабининой [7].

Д) Внутренняя стабилизация за конечное время. Это явление обнаружено Кершнером [8].

[3] Kamin S., Kersner R. Disappearance of interfaces in finite time// Mecca-nica. 1993. V.28. P.117-120.

[4] Peletier M.A. A supersoiuron ior the porous media equation wit? nonuniform density// AppLMath. Lett. 1994. V.7, N3. P.29-32.

[5] Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Нестационарные сдвиговые течения проводящей жидкости со степенным реологическим законом// Магнитная гидродинамика. 1971. N2, С.50-58.

[6] Evans L.C., Кпегг B.F. Instantaneous shrinking of the support of nonnegative solutions to certain nonlinear parabolic equations and variational inequalitis// Ш. J. Math. 1979. V.23, N1. P.153-166.

[7] Сабинина E.C. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболических уравнений// ДАН СССР. 1962. Т.143, N4. С.794-797.

[8] Кершнер Р. О поведении температурных фронтов в средах с нелинейной теплопроводностью прч наличии поглощения// Вести. Моск. ун-та. Сер.1. Мат., мех. 1978, N5. 0.44-51.

Обзоры ряда результатов по теории нелинейных вырождающихся параболических уравнении можно найти в статьях Ю.А.Дубинского [9], С.Г.Крепна и М.И.Хазана [10], Аронсона [11], А.С.Калашникова [12], А.В.Иванова [13].

В последнее время усилился интерес к процессам теплопередачи и диффузии в существенно неоднородных и существенно нелинейных средах. Такие процессы проходят при изменяющихся режимах потока, п для построения адекватных математических моделей в ряде случаев приходится использовать уравнения вида (1) с переменными показателями р, т, к, п или г.

Число публикаций, посвященных подобным уравнениям, невелико. Укажем статью В.Н.Самохина [14], содержащую некоторые теоремы существования и единственности, а также близкие по тематике работы А.А.З.тотнпка п А.А.Амосова [15], В.В.Жикова [16], где имеются дальнейшие ссылки.

. А.С.Калашников [17] исследовал свойства решений задачи Коши для уравнения (1)ср = т = к = а = 1,Ь = 0и переменным показателем г, который

[9] Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1976. Т.9. С.5-130.

[10] Крейн С.Г., Хазан М.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве// Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: изд-во ВИНИТИ, 1983. Т.21. С.130-264.

[11] Aronson D.G. The porous medium equation// Lect. Notes Math. 1986. V.1224. P. 1-46.

[12] Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка// УМН. 1987. Т.42, N2. С.135-176.

[13] Иванов A.B. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение// Алгебра и анализ. 1992. Т.4, N6. С.114-130.

[14] Самохин В.Н. Об уравнениях политропной фильтрации с переменной нелинейностью// УМН. 1994. Т.49, Вып.З. С.189-190.

[15] Амосов A.A., Злотник A.A. Обобщенные решения "в целом" уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа// ДАН СССР. 1988. Т.301, N1. С.1303-1307.

[16] Жиков В.В. О переходе к пределу в нелинейных вариационных задачах// Мат. сб> -1992. Т.183, N8. С.47-84. • '

[17] Калашников A.C. О нелинейных явлениях в нестационарных пропес сах, описываемых асимптотически линейными уравнениями// Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, N3. С.381-391.

зависит от х или от t, отличен от единицы при конечных значениях своего аргумента, но может стремиться к единице при его неограниченном возрастании. В [17] найдены точные условия, обеспечивающие наличие мгновенного взрыва в случае г ■= r(x) > 1 и .с = с(х) < 0, мгновенной компактификацпи носителя в случае г = г(х) < 1 и с = с(х) > 0 , полной стабилизации за конечное время в случае г = r(i) < 1 и с = с(<) > 0 (последний эффект исследован также для первой краевой задачи при тп=к = а = 1,р = p(t) > 1, Ь=с=0).

В главах 1,11 настоящей диссертации изучается ряд эффектов, не рассмотренных в [17], а затронутые там явления анализируются в иных по сравнению с [17] ситуациях.

Присутствие в уравнении младшего члена типа " супер линейного источника" может вызвать эффект так называемого теплового взрыва, т.е. неограниченного возрастания решения за конечное время. К числу первых публикаций на эту тему относятся статья Каплана [18], а также работа Фужиты [19], где даны условия наличия и отсутствия теплового взрыва в задаче Коши для некоторых уравнений вида (1) при с < 0, г = const > 1, р = 1. Большое число результатов по этой тематике, а также обширный список литературы приведен в монографии A.A.Самарского, В.А.Галактионова, С.П.Курдюмова и А.П.Михайлова [20].

Другой причиной теплового взрыва может служить наличие нелинейного граничного условия в начально - краевой задаче. Соответствующие результаты имеются в статьях Филы и Фило [21], Су Нина [22].

[18] Kaplan S. On the growth, of solutions of quasilinear parabolic equations// Comm. Pure Appl. Math. 1963. V.16. P.305-330.

[19] Fujita H. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut = Au + u1+a// J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. I. 1966. V.13. P.109-124.

[20] Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

[21] Fila М., Filo J. Blow-up on the boundary: a survey. Preprint.

[22] Su Ning. Global existence and blow-up of solutions for nonlinear parabolic equations with forced flux conditions// Appl. Math. Dept. Tsinghua University. Beijing, China, 1995.

Вопросу о глобальной разрешимости задачи Кошп и начально - краевых задач для уравнений вида (1) с переменными коэффициентами и показателями посвящена глава III настоящей диссертации.

• Цель работы — исследование нелинейных эффектов для неявно вырождающихся параболических уравнений, содержащих степенные функции от решения с переменными показателями.

Методы исследования. В диссертации используются метод вспомогательных функций типа обобщенных супер- и субрешений, а также метод энергетических неравенств.

Научная новизна. 1. Получены новые неулучшаемые результаты о нелинейных эффектах в краевых задачах для неявно вырождающихся параболических уравнений, содержащих Степенные функции от искомого решения с переменными показателями. 2. Впервые исследованы свойства решений нестационарных уравнений с градиентными нелинейностями изменяющейся формы. 3. Впервые подвергнуты качественном)' анализу краевые задачи с нелинейностями переменного вида в граничных условиях.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области уравнений с частными производными, а также механики сплошных сред, математической биофизики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семнадцатой совместной сессии семинара имени И.Г.Петровского и Московского математического общества в январе 1995 г., на семнадцатой конференции молодых ученых МГУ в апреле 1995 г., на семинаре академика РАН О.А.Олейник в ноябре 1995 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научных работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 7 параграфов, которые в свою очередь делятся на пункты, и списка литературы, содержащего 108 наименований. Объем диссертации - 90 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведены основные определения и факты, используемые в диссертации, изложено ее содержание по главам. Отмечено, что большинство доказанных в .дпссертшши теорем являются точными, о чем свидетельствуют имеющиеся в тексте примеры.

Глава I посвящена качественному исследованию процессов теплопередачи в существенно неоднородных нелинейных средах.

о

В §1.1 изучается вопрос о глобальном сохранении теплового фронта для уравнения (1), где Ь = с= 0,р = 1,с начальным условием

и(х.О) = и0(х), х>0, (2)

и граничным условием

u(0,t) = ui(f), t > 0. (3)

Здесь iio(x), щ (t) — непрерывные неотрицательные ограниченные функции, и0(0) = iii(0). Сначала эта задача рассматривается при к = 1, m = т(х) > 1, Uq(x) = 0 при х > 1. Доказывается теорема 1.1, из которой вытекает, например, следующее утверждение: если т(х) = 1 + fi(l + х)~", где ц = const > 0 и v = const £ [0,2], то для любого to > 0 найдется такое zo = zo(io) > 0, что и(х, to) = 0 при х > xq. Показано, что это утверждение может оказаться неверным в случае и > 2.- Далее (теорема 1.2) рассматривается задача (1), (2), (3) при т = 1, к = к(х) > 1 и прежних предположениях относительно щ(х), щ(1).

В §1.2 изучается эффект локализации тепла в задаче (1) - (3), где щ(х) = 0 при х > 1, р = 1, а показатели т, к, п, г зависят от х. Сначала показано, что это явление может происходить за счет поглощения. Так в теореме 1.3 рассматривается случай к ~ 1, 0 < г(х) < т(х), с(х) > 0, а в теореме 1.4 — случай т = 1, 0 < г(х) < к(х), с(х) > 0. Затем показано, что локализация тепла может быть следствием конвективного переноса тепла (0 < п(х) < т(х), к — 1 или 0 < п(х) < к(х), т = 1).

В §1.3 найдены условия, обеспечивающие компактность носителя решения задачи (1) - (3), где Ь = 0, с > 0, при любом t > 0, несмотря на то, что начальная функция щ{х) ьсюду положительна. Отдельно рассматриваются: а) случай, когда ио(х) убывает специальным образом: щ(х) < М( 1 + х)~7, М = const >0,7 = const > 0; б) случай, когда начальное условие ограничено, но поглощение тепла на бесконечности значительно превышает количество тепла, выделяющегося в результате диффузии: тп = к = 1, 0 < г(х) < p(i) < 1 или р = тп = 1, 0 < г(х) < к(х) < 1.

В главе II даются условия стабилизации температуры при распространении тепла в существенно нестационарных нелинейных средах.

В §11.1 речь идет о полной стабилизации за конечное время. Сначала это явление изучается в полуограниченной среде при наличии поглощения: ,c(x,t) > 0, г = г.(<), 0 < r(t) < 1; затем — в ограниченной среде при наличии быстрой диффузии: fc=c = 0, m = l, 0< k(t) < p(t); и, наконец, в ограниченной среде под действием конвективного переноса: b(x,t) > 0, тп = m(t) >1, р = к = п = I либо b(x,t) > 0, п = n{t), 0 < n(t) < 1, р=к = 1.

В §11.2 псследуется внутренняя стабилизация за конечное время. Рассматривается уравнение (1), где х € [—1,1], с граничными функциями, убывающими специальным образом. Отдельно разбираются два случая: а) уравнения с переменными нелинейностями относительно решения (с(х, t) > 0. О < r(t) < m(t) < 1, р = к = 1, b — 0) и б) уравнения с переменными нелинейностями относительно градиента решения (c(x.t) > 0, 0 < r(t) < k(t) < 1. р = m = 1. 6 = 0).

В главе III содержатся условия наличия и отсутствия теплового взрыва в нелинейных средах с существенно нестационарными источниками.

В пункте III.1.1 §111.1 рассматривается задача Коши с начальным условием

- и(х, 0) = и0(х), х е R (4)

для уравнения (1), где р з 1, b = 0, c(x,i) > —g(t), g(t) > 0, г — r(t) > 1, но r(t) может стремиться к единице при t —+ -foo. Находится точное условие, обеспечивающие глобальную разрешимость задачи (1), (4). В пунктах III.1.2, III.1.3 найдены условия, гарантирующие разрушение за конечное время решения задачи Коши с убывающей на бесконечности начальной функцией и решения первой краевой задачи.

В §111.2 рассмотрена краевая задача для уравнения (1), где р = к = 1, b = с = 0, с граничным условием

(ura),(o,f) = -d(ota=0-

Здесь d(t) >0, 0 < р < 1; m = m(t), 0 < m(i) < 1, но лг(.') iuviaio^o Систро стремится к единице при t —> -foo, так что JJ °°[(i(<)]2(l — m(t))dt < -foo.

В теореме III.4 дается признак глобальной разрешимости рассматриваемой задачи.

Сформулируем более подробно по одному типичному результату из каждой главы на примере простейшего модельного уравнения

Щ — uzz + сит = 0. (5)

Рассмотрим задачу (5), (2), (3), где щ(х), uj(i) — непрерывные неотрицательные ограниченные функции, tio(O) - U](0), щ(х) - - 0 при х > 1. Будем считать выполненными следующие предположения:

(I) с=с(х) >0, ce C(R+), с(х) не возрастает;

(II) г - т{х) £ C(R7), О < r(x) < 1. г(х) не убывает.

Теорема I (о локализации возмущений). Пусть u(x,t) — неотрицательное ограниченное решение задачи (5), (2), (3) при прел::? ; ;-. - ниях (I),

(II). Пусть

^lirn^ x2c(x)(l - r(x))2 = +00. (6)

Тогда найдется такое С > 1. что u(x,t) = 0 при всех х > ( и t > 0.

В диссертации показано, что при замене (6) более слабым требованием (1 + х)2с(х)(1 — г(х))2 > d, d = const > 0, утверждение теоремы I может оказаться неверным.

Рассмотрим далее первую краевую задачу в полуполосе {(х,i)| — 1 < х < 1, 0 < t < +00} для уравнения (5) с начальным условием

u(x,0) = и0(х), -1 < х < 1. , (7)

и граничными условиями

u(2i - 3, f) = Ui(t), t> 0, t = 1,2. (8)

Здесь ug(x), ui(t) — неотрицательные непрерывные ограниченные функции, u0(2i - 3) = u;(0), Ui(t) < М( 1 + t)"1, i = 1,2, M = const > 0, 7 = const > 0. Будем считать выполненными следующие предположения: {III) с = c(t) > 0, с£_С(Щ);

(IV) г = г(<) е Сг(К+), 0 < r(t) < i, 8ир{И*)|[«(*)]-1|« > 0} < +00. Теорема II (о внутренней стабилизации за конечное время). Пусть

u(x,t) — неотрицательное ограниченное решение рассматриваемой задачи (5), (7), (8) при предположениях (III), (IV). Пусть

V<5 > 0 Бт t7{6c(i)s2(i)}1/s(0 = +00. (9)

Тогда для любого х0 € (-1,1) найдется такое i0 = t0(xo) > 0, что u(xq, t) = О при Î > tg.

Как показано в диссертации, условие (9), вообще говоря, нельзя заменить более слабым требованием (1 + ¿)r{c(i)s2(i)}'/iW > d,d = const > 0.

Рассмотрим, наконец, задачу Копш (5), (4) при следующих предположениях:

(V) с = c(t) < 0, с G C(R7)j

(VI) г = r(t) > 1, e(t) := r(t) -1, ее С^Щ); e'(t) < 0, /0+ооф)|ф)|& < +00;

(VII) uq G C(R), 0 < zxq(x) < M, M = const > 0.

Теорема III (о глобальной разрешимости). Пусть выполнены предположения (V)-(VII) и, кроме того,

/о+°° e(s)|c(s)|M£<'>ds < 1. (10)

1а задача (5), (4) глобально разрешима. |словпе (10) является точным.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Для математических моделей рапространения тепла в существенно ■нородных нелгшейных средах найдены условия, гарантирующие наличие ■ующпх эффектов: а) глобальное сохранение теплового фронта; б) локали-1я тепла; в) мгновенное сжатие нагретой области.

Для математических моделей теплопередачи в существенно нестаяи-Ьных нелинейных средах получены условия, обеспечивающие полную и греннюю стабилизацию температуры за конечное время.

Для математических моделей теплопередачи в нелинейных средах с Вественно нестационарными источниками, как внутренними, так и сосре-|оченлыми на границе, установлены условия наличия и отсутствия тепло-взрыва.

¡Построены примеры, свидетельствующие о точности большинства основ: результатов диссертации. [Автор выражает глубокую благодарность Анатолию Сергеевичу Калаш-кову за постановки задач, многочисленные обсуждения и ценные замечания кроцессе работы над диссертацией.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Резникова Ж.В. О нелинейных явлениях при распространении тепла в щественно неоднородных и существенно нестационарных средах.// УМН. 95. Т.50, N4. С.90-91.

2. Резникова Ж.В. О свойствах решений первой краевой задачидля неко->рых асимптотически линейных параболических уравнений// Дифференц. равнения. 1995. Т.31, N12, С.2046-2055.

3. Резникова Ж.В. О свойствах решений некоторых классов вырождаю-ихся параболических уравнений с градиентными нелинейностями изменяю-ейся формы// Рукопись деп. в ВИНИТИ, N 2996-В95 от 10.11.95, 19 стр.

4. Резникова Ж.В. Об условпях глобальной разрешимости краевых задач 1Я вырождающихся параболических уравнений с переменными' нелиней- ' )стями// Рукопись деп. в ВИНИТИ, N 2997-В95 от 10.11.95, 17 стр.