Стабилизация решений смешанной задачи для параболических уравнений высокого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правахрукописи

Л

У

БИККУЛОВ ИЛЬГИЗ МИДЕХАТОВИЧ

Стабилизация решений смешанной задачи для параболических уравнений высокого порядка

01.01.02 - "Дифференциальные уравнения"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Стерлитамак - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Стер-литамакского государственного педагогического института и в лаборатории дифференциальных уравнений Стерлитамакского филиала АН РБ

Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится " 23 "апреля 2004 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерли-тамакском государственном педагогическом институте по адресу: г.Стерлитамак, пр. Ленина, 37.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакского государственного педагогического института

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь

профессор Мукминов Ф.Х.

профессор Рамазанов М.Д. кандидат физико-математических наук, доцент Ушаков В.И.

Ведущая организация Башкирский государственный

университет им. 40-летия Октября

диссертационного совета канд. физ.- мат. наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблеме изучения поведения при больших временах решений задачи Коши и смешанных задач для уравнений и систем линейных (и нелинейных) эволюционных уравнений посвящено очень большое число работ. Данная проблема ввиду многообразия свойств эволюционных систем имеет много аспектов. Важной является задача определения значений параметров нелинейной системы, при которых решение задачи Коши существует в целом по времени (т.е. при t > 0), или, наоборот, взрывается (Галактионов В.А., Левин Х.А.(1998), Andreucci D., Тедеев А.Ф.(1998, 1999), Liv X., Wang M.(2001), Deng К., Левин XA(2000) и другие). В тех же случаях, когда решение заведомо существует в целом, возникает задача изучения асимптотического поведения решения задачи Коши при больших временах. Этому направлению посвящены работы Ф.О.Порпера(1963, 1975), С.Д.Эйдельмана(1966,1975), В.Д.Репникова(1964,1966), Галакти-онова В.А., Varquez J.L.(1991), Gmira A., Veron L.(1984) и ряд других. В случае задачи Коши для линейного параболического уравнения второго порядка с ограниченной начальной функцией критерий стабилизации решения получен В.В.Жиковым(1977), S.Kamin (1976).

Работами А.К. Гущина по второй смешанной задаче для параболического уравнения в неограниченной области было положено новое направление исследований. В цикле его статей была решена задача о выделении геометрической характеристики неограниченной области, .определяющей поведение при большом времени решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка. А именно, было показано, что если начальное "распределение тепла" финитно, то в момент времени

? это тепло, грубо говоря, "равномерно размазывается" по шару радиуса \Д. Позже эти исследования были продолжены в работах В.И. Ушакова для третьей смешанной задачи, А.В. Лежнева для второй смешанной задачи и Ф.Х. Мукминова, Л.М. Кожевниковой для первой смешанной задачи. Параболические уравнения высокого порядка для первой смешанной задачи рассматривались Ф.Х. Мукминовым и А.Ф. Тедеевым. В работах этих авторов получены оценки решения сверху, но нам не известны результаты, каким либо образом подтверждающие их точность. Поэтому актуальной является проблема установления в каком-либо смысле точности оценки решения смешанной задачи для параболических уравнений высокого порядка в неограниченных областях. Недостаточно изучено также поведение решения в области с несколькими выходами на бесконечность.

Основной целью работы является исследование зависимости поведения при большом значении времени решения смешанной задачи для параболических уравнений высокого порядка от геометрии неограниченной области, имеющей несколько выходов на бесконечность.

Научная новизна.

Для достаточно широкого класса областей с несколькими выходами на бесконечность установлены оценки сверху решения смешанной задачи для параболических уравнений соответственно четвертого и шестого порядков, выражающиеся через простые геометрические характеристики неограниченной области. Полученные оценки сверху решения смешанной задачи являются в определенном смысле точными. Основные результаты диссертации являются новыми.

Методика исследования. Идея получения оценки реше-

ния сверху в неограниченной области заключается в установлении априорной оценки решения во внешности шара большого радиуса, что позволяет, в конечном счете, свести вопрос к оценке сверху решения в ограниченной области. Оценка снизу основана на "равномерности" оценки сверху, справедливой также и для всех ограниченных областей, вложенных в неограниченную. Это позволяет подобрать такую ограниченную область, для которой в момент времени t оценка сверху не может быть улучшена.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в исследованиях по качественной теории параболических уравнений.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители -профессора К.Б. Сабитов, Ф.Х. Мукминов, И.А. Калиев, 1999 -2004 гг.), кафедры прикладной математики и механики (научный руководитель - профессор В.Ш. Шагапов, февраль, 2004г.), кафедры теоретической физики (научный руководитель - профессор А.И. Филиппов, март 2004г.) Стерлитамакского государственного педагогического института, на научном семинаре Института математики с ВЦ УНЦ РАН (научные руководители - профессора Л.А. Калякин, В.Ю. Новокшенов, г. Уфа, октябрь 2002г.), на научном семинаре Института механики УНЦ РАН (научные руководители - профессора СВ. Хабиров, Р.С. Сакс, г. Уфа, март 2004г.), на научном семинаре Института математики с ВЦ УНЦ РАН (научные руководители - профессора Л.А. Калякин, В.Ю. Новокшенов, г. Уфа, октябрь 2002г.), а также на следующих международных научных конференциях: "Комплексный анализ, дифферен-

циальные уравнения и смежные вопросы"(г. Уфа, 2000 г.), "Дифференциальные уравнения и их приложения"(г. Самара, 2002 г.), "Асимптотики решений дифференциальных уравнений", посвященной юбилею акад. РАН Ильина A.M. (г. Уфа, 2002 г.), "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы", посвященной юбилею академика РАН Ильина В.А. (г. Стерлитамак, 2003 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 параграфов, списка литературы. Объем диссертации 96 страниц. Библиография 68 наименований.

Основное содержание работы

В диссертации изучается поведение решений при t оо параболических уравнений четвертого и шестого порядков. Для параболического уравнения четвертого порядка

в цилиндрической области D = (0, оо) х ft, ft с Rn рассматривается следующая смешанная задача:

где начальная функция <р(х) имеет ограниченный носитель: <р(х) = 0 при |х| > До. Коэффициенты уравнения (1) — дифференцируемые

функции, удовлетворяющие неравенствам

п

ИУ|2 < а*Лх)У1Уэ < м1у|2. М > 1.

1,3=1

для любого вектора у = {У1,У2,-••, Уп) £йпИ всех 1еП,а также неравенству

Ограничения на функцию g(r) определим позже.

В работе изучается зависимость поведения при больших значениях времени Ь2 (П) — нормы решения х) задачи (1)—(3) от геометрии неограниченной области П. Требование ограниченности носителя начальной функции существенно, так как в противном случае скорость стабилизации решения зависит не только от области но и от начальной функции

Пусть область О имеет К выходов на бесконечность, расположенных вдоль лучей s1, то есть имеет вид

где Щ — 1,..., К — непересекающиеся неограниченные области, 1

а Г2 —• ограниченная область. При этом можно О выбрать так,

о о

чтобы пересечение было достаточным весомым (см. ни-

п

же (8)). Обозначим = {х £ П : а < XI < Ь}, причем индексы

I *

а = 0, Ь = оо могут опускаться. Будем предполагать, что если выбрать ось 0x1, направленной вдоль некоторого л учат о область расположится в полуплоскости причем области

'Мукминов Ф.Х. О стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Дис.... канд. физ.-матем. наук, Москва: МГУ, 1980. — 72 с.

По будут ограничены при т> 0. Всюду в работе предполагается, i 2 что граница области П принадлежит равномерно классу С , то

есть существуют такие числа й, Ь >0, что Ух Е сЮ пересечение

В(й, х) П дЯ границы с шаром В (й, х) радиуса й с центром в точке

х задается как график функции у = /(&, ..., 61-1)> у которой

все производные до второго порядка включительно ограничены

числом Ь.

Обозначим через Л(г), = 1,...,К,г>0, первое собсгвен->

ное значение оператора—Д в области Пг с условием Неймана на части ее границы д ПП Пи условием Дирихле на оставшейся части границы:

Очевидно, А*(г),г >0, - невозрастаюшие функции. Выберем нумерацию так, чтобы

lim Aj(r) =0, i=l,2,...,q,

(6)

и lim Aj(r) >0, i = а + 1,..., К. При этом допустимо равенство

r-too

q = К. Однако q > 1, иначе, как хорошо известно, решение будет убывать быстрее, чем e~st. Потребуем также, чтобы для области П выполнялось условие

lim г2 Л(г) = оо, г = 1,..., q,

(7)

к

а для области было справедливым неравенство

»=9+1 *

Это ограничение несущественно, поскольку имеется произвол в

выборе области П. Нетрудно доказать, что оно выполнено, если

пересечение дППдЯ имеет ненулевую меру размерности (п — 1). о

Кроме этого, потребуем, чтобы функция g(r) удовлетворяла при достаточно больших значениях r> R неравенству

g{r) < Ктт{Л1/2(г)}

О)

с постоянной V, зависящей только от п, и, ц, и Я.

Рассмотрим монотонно возрастающие непрерывные функции ^(г) = г[Л(г)]~3/2, г > 0, 1 = Обозначим через г<(£),

г

t > 0, обратные функции к соответственно. Отметим, что так как , то справедливы равенства

Теорема 1. Пусть область П удовлетворяет условиям (6), (7), коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям (4), (5) и выполнено условие (9). Далее, пусть u(t,x) -решение задачи (1) - (3) в области Л, а ur(t, х), i — 1,..., q - решения той же

i

задачи в областях Q,r соответственно. Тогда найдутся такое по-i

ложительноечислю k1, зависящее только от п, ß и и, и такие числа T, Mj, зависящие от п, ¡/,R, и (suppyi С K(RqRv что для всех t справедливо неравенство

Такая же оценка справедлива и для функций иг(Ь,х)

при Уг > 2До с теми же самыми постоянными М1 и к. Отметим, что из (10) и (6) следует соотношение

\rtay

Ит ш

4->оо 1=1,7

= 00,

то есть экспонента в (11) стремится к нулю при £ -> оо. В частности, для трубчатых областей вида

где к$, Т* аналоги констант Мр к„ Т1 теоремы 1.

Оценка снизу установлена для областей с К выходами на бесконечность следующего вида. Если выбрать ось Ох, направленной вдоль оси симметрии области П, то каждый рукав име-

*

ет вид П = П[/,], г = I,...,д. Предполагается, что функции /„ г = — принадлежат классу С2[0,оо) и имеют огра-

ниченную вторую производную.

Будем говорить, что область удовлетворяет условиям А), В) или С), если, соответственно:

А) существуют положительные постоянные О, Р такие, что для произвольной точки г = (з,0) € 0x1, л > Р, выполнено нера-

венство

где p(s) — радиусы наибольших шаров B{p,z) с центром в z,, лежащих в П[/],

B) существует положительная постоянная С такая, что.

С) существует положительное число ^ такое, что

где рт(г) — радиус наибольшего шара, помещающегося в Пт[/].

Очевидно, что условие С) будет выполнено, если функция /(г) монотонно возрастает.

Теорема 2. Пусть область О. удовлетворяет условиям (6),

(7), а области П, г — 1,... д условиям А), В), С). Пусть иГ({,х)

г »

— решение задачи (1) — (3) в области £1Г с у ^ ХВ(ра,го), где

В(2р0^) - максимальный шар, лежащий в области ПГ, с центром в точке го € Ох\ . Тогда найдутся такое положителъное число к, зависящее только от п, ц и V, и такие положительные числа Т2, М2, зависящие еще от области П, и z0 ,что для всех справедливо неравенство

Замечание 1. В §4показано, что если области П, г = 1,...^,

1

удовлетворяют условиям В) и С), то экспонента в (12) убывает быстрее любой степени (. Тем самым, подтверждается точность оценки (12) в случае областей, удовлетворяющих условиям теоремы 2, в том смысле, что справедливы неравенства

где М\, «1, Л/2, лг аналоги констант М1, к1, М2, к2 теорем 1 и 2 соответственно.

Отметим, что в отличие от задачи с первым краевым условием ^

рассмотренным в работах Ф.Х.Мукминова и А.Ф.Тедеева, переход от уравнения (1) к уравнению более высокого порядка добавляет новые технические трудности, связанные с построением срезающей функции такой, чтобы пробная функция удовлетворяла необходимым краевым условиям. Мы ограничимся рассмотрением простейшего параболического уравнения шестого порядка

в цилиндрической области Б при следующих краевых условиях и начальном условии (3).

Для простоты, задачу (15), (16), (3) будем рассматривать в области вида П = П[/], где / — монотонно возрастающая на [О, оо) функция класса С2 [0, оо) с ограниченной второй производной. Обозначим: Пг = {х € П : 0 < XI < г}.

На область 17 мы накладываем следующие условия:

Потребуем также, чтобы средняя кривизна границы ЭП удовлетворяла неравенству

К(х 1,--.,хп) <0 при XI > До.

Для области Я вида (13) это условие записывается в виде

Д + (Л2

/"<(«- 2):

/

(19)

В дальнейшем будем предполагать, что г(£), I > 0, обратная к монотонно возрастающей непрерывной функции F(r) = г>0(Отмегим, что Ь = г(Ь) (р,й(к|ледовательно,

Г(0

Р6тШ

(20)

Теорема 3. Пусть область П = !)[/] с монотонной функцией / удовлетворяет условиям (17), (18) и (19). Далее, пусть u(t,x) -решение задачи (15), (16), (3) в области Л, а иг(г,х) решение той же задачи в области Пг соответственно. Тогда найдутся такое положительное число «з, зависящее только от п, и такие числа Т3, М3, зависящие от пи (вирру? С K[^R0) что для всех t > Т3 справедливо неравенство

Такая о/се оценка справедлива и для функций иг(^,х)

при Уг > 2Па с теми же самыми постоянными М3 и к3. Отметим, что из (20) и (17) следует соотношение

Нт «-+00 Ь

со,

то есть экспонента в (21) стремится к нулю при t —^ оо. В частности, для областей вида оценка (21) примет вид

J и2 (t,x)dx < М\ ехр , I > Т3*,

где к*3, Г3* аналоги констант М3, к3, Т3 теоремы 3.

Теорема 4. Пусть область 12 = П[/] с монотонной функцией / удовлетворяет условиям (17), (18), (19) и условиям А), В). Пусть иг{1,х) — решение задачи (15), (16), (3) в области Пг с V — ХВ(ро,*о)> где В(2ро,2о) - максимальный шар лежащий в области с центром в точке Z0€Е Ох\. Тогда найдутся такое положительное число к, зависящее от п, и такие положительные числа Т4, М4, зависящие от п и Z0, что для всех £ > Тц справедливо неравенство

где Мз, Из, М\, К4 аналоги констант М3, к3, М4, к4 теорем 3 и 4 соответственно.

Замечание 2. В §5 показано, что если область Г2 удовлетворяет условию В), то экспонента в (22) убывает быстрее любой степени Тем самым, подтверждается точность оценки (22) в случае областей, удовлетворяющих условиям теоремы 4, в том смысле, что справедливы неравенства

где Мз, «з, М4, «4 аналоги констант М3, к3, М4, к4 теорем 3 и 4 соответственно.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Фариту Хамзаевичу Мукминову за предложенную тематику исследований, полезные замечания, постоянное внимание к работе и поддержку.

Диссертация выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, коды грантов 99-0100934, 02-01-97901

1. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. Об убывании Ь2-нормы решения задачи Риккье для параболического уравнения 4-го порядка / Труды междун. науч. конф. "Комплексный анализ, диффренциальные уравнения и смежные вопросы". — Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. — Уфа. — 2000. — Т.2. - С.20-24.

Публикации по теме диссертации

2. Биккулов И.М. О стабилизации нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения 6-го порядка / Ученые записки физико-математического факультета БГПУ. — Уфа. - 2002. - Выпуск 4. - С.34-48.

3. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения 4-го порядка / Труды междун. науч. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения". — СамГАСА. — Самара. — 2002. — С.23-27.

4. Биккулов И.М. Стабилизация нормы решения одной смешанной задачи для параболического уравнения 6-го порядка в неограниченной области с несколькими выходами на бесконечность / Труды междун. науч. конф. "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы", посвящ. юбилею акад. РАН В.А.Ильина. — СФ АН РБ. - Уфа. - 2003. - Т.1. — С.83-89.

5. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. Стабилизация нормы решения одной смешанной задачи для параболического уравнения 4-го порядка в неограниченной области с двумя выходами на бесконечность / Труды междун. науч. конф. "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы", посвящ. юбилею акад. РАН В.А.Ильина. — СФ АН РБ. - Уфа. - 2003. — Т.1. - С. 174-182.

6. Биккулов И.М., Мукмииов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб. - 2004 . - Т.195. - №3. - С.115-142.

Подписано в печать Формат 60 х 84i/i6. Гарнитура "Time". Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ X» 64/04

Отпечатано в типографии Стерлитамакского государственного педагогического института: 453103, г. Стерлитамак, пр Ленина, 49.

Введение.

§ 1. Некоторые вспомогательные предложения.

§ 2. Существование и единственность решения параболического уравнения высокого порядка.

§ 3. Оценка сверху решения для уравнения 4-го порядка

§ 4. Оценка снизу решения для уравнения 4-го порядка

§ 5. Оценка скорости стабилизации решения уравнения б-го порядка

Диссертация посвящена изучению стабилизации нормы решения смешанной задачи для линейных параболических уравнений четвертого и шестого порядков в цилиндрической области Б = > 0} х П, где П — произвольная неограниченная область пространства Яп, п > 2. Рассматривается зависимость поведения нормы решения этой задачи при больших значениях времени £ от геометрии неограниченной по пространственным переменным области лежащей в основании цилиндра.

Поведение решения задачи Коши для уравнения (0.1) с суммируемой начальной функцией хорошо известно [66]\u(t,x)\ < С\ ¿2|MUi(n) Для всех (t,x) G D,где константа С\ > 0. В дальнейшем, ниже С; — положительные постоянные.

В работах [52 - 54] рассматривались смешанные задачи для параболического уравнения (0.1) в нецилиндрических областях. А именно, в [54] для первой смешанной задачи в предположении ограниченности сечений области плоскостями t = const получены оценки скорости стабилизации решения в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора на этих сечениях. В работах [52, 53] В.И.Ушаковым в предположении, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, установлена справедливость оценок, близких к приведенным выше для случая второй смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.

Оценка (0.8) совпадает с соответствующей оценкой для решения первой смешанной задачи для линейного параболического уравнения высокого порядка, полученной ранее в работе [37]. Отметим, что в работе [36] на основе принципа максимума при т = 1, то есть для линейного параболического уравнения второго порядка, получена равномерная оценка для ж^ПМ*,®)| < Г2ехр (-72^) 1Мк(П), 1 > Тз,и доказано, что она является точной по порядку стремления к нулю при Ь оо, в частности, для трубчатых областей вида [ж®]. Более подробный обзор работ по стабилизации решений параболических уравнений и систем можно найти в работах [8], [10], [21].

В случае же смешанных задач для параболических уравнений высокого порядка имеются оценки решения сверху, но нам не известны результаты, каким либо образом подтверждающие их точность.

В диссертации изучается поведение решений при t оо параболических уравнений четвертого и шестого порядков.

В работе изучается зависимость поведения при больших значениях времени Ьг(О) — нормы решения u(t,x) задачи (0.10)—(0.12) от геометрии неограниченной области Q. Требование ограниченности носителя начальной функции существенно, так как в противном случае скорость стабилизации решения зависит не только от области но и от начальной функции tp (см. [40]).

Отметим, что из (0.20) и (0.16) следует соотношениеНш тш<->оог=1)1?= оо,(0.23)/то есть экспонента в (0.21) стремится к нулю при Ь —> оо. В частности, для областей вида оценка (0.21) примет види2(^х)(1х < М^ехр , Ь >пгде М{, аналоги констант М\, «1, Т\ теоремы 1.

Оценка снизу установлена для областей с К выходами на бесконечность следующего вида. Если выбрать ось Ох\ направленной вдоль оси симметрии области О,, то каждый рукав имеет вид = г = 1,. Предг гполагается, что функции /,-, г = 1,., д — принадлежат классу С2[0, оо) и имеют ограниченную вторую производную.

Будем говорить, что область Г2[/] удовлетворяет условиям А), В) или С), если, соответственно:А) существуют положительные постоянные ф, Р такие, что для произ-^ вольной точки г = (¿,0) Е Ох\, в > Р, выполнено неравенствоз+р(з)/2Я I Т7ГТ >йгта-р{а)/2где р(в) — радиусы наибольших шаров В(р,г) с центром в лежащих водВ) существует положительная постоянная С такая, что/Г *> йСг Р<}{р) туС) существует положительное число сг такое, что/И > <?Рт{г), Г>Р,где Рт{У) — радиус наибольшего шара, помещающегося в Г2Г[/].

14Очевидно, что условие С) будет выполнено, если функция /(г) монотонно возрастает.

Отметим, что в отличие от задачи с первым краевым условием (0.5), переход от уравнения (0.10) к уравнению более высокого порядка добавляетновые технические трудности, связанные с построением срезающей функции такой, чтобы пробная функция удовлетворяла необходимым краевым условиям. Мы ограничимся рассмотрением простейшего параболического уравнения шестого порядкащ = А3и (0.25)в цилиндрической области D при следующих краевых условиях:«(<>*) 1*600 = М*.®)1хевп = AMt,x)\xedn = 0 (0.26)и начальном условии (0.12).

Основные результаты диссертации опубликованы в [2 - 7].

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Фариту Хамзаевичу Мукминову за предложенную тематику исследований, полезные замечания, постоянное внимание к работе и поддержку.(0.34)1. Некоторые вспомогательные предложения1.1. Рассмотрим ряд функциональных пространств, необходимых для исследования уравнения 4-го порядка.

1. Арефьев В.Н., Кондратьев В.А. Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи для нелинейных параболических уравнений// Дифференц. уравнения. - 1993. - Т.29. - №12. - С.2104-2116.

2. Биккулов И.М. О стабилизации нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения б-го порядка / Ученые записки физико-математического факультета БГПУ. — Уфа. — 2002. — Выпуск 4. — С.34-48.

3. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения 4-го порядка / Труды междун. науч. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения". -СамГАСА- Самара. 2002. - С.23-27.

4. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб. — 2004 . — Т.195. — №3. —C.115-142.

5. Богоявленский О.В., Владимиров B.C., Волович И.В., Гущин А.К., Дрожжинов Ю.Н., Жаринов В.В., Михайлов В.П. Краевые задачи математической физики//Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стек-лова. 1986. - Т. 175. - С.63-102.

6. Вишик М.И. О краевых задачах для квазилинейных параболических систем и уравнений и о задачи Коши для гиперболических уравнений //Доклады АН СССР. 1961. - Т.140. - №5. - С.998-1001.

7. Галактионов В.А., Дородницын В.А., Еленин Г.Г., Курдюмов С.П., Самарский A.A.//Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М., 1986. - Т.28. - С.95-205.

8. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка//Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. 1973. - Т.126. - С.5-45.

9. Гущин А.К. Некоторые свойства обобщенного решения второй краевой задачи для параболического уравнения//Матем. сб. — 1975. — Т.97(139). С. 242-261.

10. Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка//Матем. сб. — 1976. — Т.101(143). С.459-499.

11. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения//Матем. сб. — 1982. — Т. 119 (161). №4(12). - С.451-508.

12. Гущин А.К., Михайлов В.П., Михайлов Ю.А. О равномерной стабилизации решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка//Матем. сб. — 1985. — Т.128. — С. 147-168.

13. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности//Дифференц. уравнения. — 1988. — Т.24. — С.288-299.

14. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнений//Матем. сб. — 1965. — Т.67(109). — №4. — С.609-642.

15. Дубинский Ю.А.//Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. — М., 197G. Т.9. - С.5-130.

16. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А., Олейник O.A. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрической области//Матем. сб. — 1998. — Т.189. — №3. — С.45-68.

17. Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений// Матем. сб. 1977. - Т.104(146). - С.597-616.

18. Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго поряд-ка//Успехи мат. наук. 1987. - Т.42. — №2. - С. 135-176.

19. Кожевникова JT.M. О классах единственности решения первой смешанной задачи для квазилинейной параболической системы второго порядка в неограниченной области//Известия РАН — 2001.— Т.65.— №3. С.51-67.

20. Кожевникова JI.M., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t оо решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка//Матем. сб. — 2000. Т. 191. - т. - С.91-131.

21. Кожевникова JI.M. Мукминов Ф.Х. Об убывании ^-нормы решения первой смешанной задачи для нелинейной системы параболическихуравнений в области с нерегулярной границей //Дифференц. уравнения 2002. - Т.38. - №8.—С. 1079-1084.

22. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. 408с.

23. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1961. — 217 с.

24. Ладыженская O.A. О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения//Матем. сб. — 1950. — Т. 27(69).- С.175-184.

25. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967.- 736 с.

26. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. — 576 с.

27. Ландис Е.М. О зависимости классов единственности решения второй начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в неограниченной области от геометрии области//Доклады АН СССР. — 1984.- Т.275. С.790-793.

28. Лаптев Г.Г. Априорные оценки и существование сильных решений полулинейных параболических систем//Дифференц. уравнения. — 1998.- Т.34. т. - С.518-522.

29. Лежнев A.B. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений второй смешанной задачи для параболического уравнения//Матем. сб. 1986. - Т.129. - №2. - С.186-200.

30. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.- М.: Мир, 1972. 575с.

31. Максимова Н.О. О единственности решений задачи Коши и краевых задач в неограниченных областях для некоторых классов квазилинейных вырождающихся параболических уравнений//Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1985. - Вып.11. - С.12-31.

32. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. - 392 с.

33. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка//Матем. сб. — 1980. — Т.111(153). т. - С.503-521.

34. Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка//Дифференц. уравнения. 1987. - Т.23. - №10. - С.1172-1180.

35. Мукминов Ф.Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения//Матем. сб. — 1990.- Т.181. №11. - С.1486—1509.

36. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для системы уравнений Навье-Стокса // Дис. докт. физ.-матем. наук, Москва: Матем. институт РАН, 1994. — 225 с.

37. Мукминов Ф.Х. О стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Дис. канд. физ.-матем. наук, Москва: МГУ, 1980. — 72 с.

38. Олейник О. А., Радкевич Е.В. Метод введения параметра для исследования эволюционных уравнений//Успехи мат. наук. — 1987. — Т.ЗЗ.- Вып.5. С.7-76.

39. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1964. — 272 с.

40. Порпер Ф.О. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с переменными коэффициентами//Доклады АН СССР. 1963. - Т.153. - С.273-275.

41. Порпер Ф.О., Эйдельман С.Д. Теоремы о близости решений параболических уравнений и стабилизация решений задачи Коши// Доклады АН СССР. 1975. - Т.221. - С.32-35.

42. Репников В.Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений//Доклады АН СССР. — 1964. — Т.157.- С.532-535.

43. Репников В.Д., Эйдельман С.Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши //Доклады АН СССР. — 1966, — Т. 167, №2, - С.298-301.

44. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — М.: Наука, 1988. — 478с.

45. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка// Дифферент уравения. 1989. - Т.25. - №3. - С.491-498.

46. Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при £ —> оо решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка//Дифференц. уравнения. — 1991. — Т.27. — №10.- С.1795-1806.

47. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений//Укр. мат. журн. — 1992. — Т.44. №10. - С.1441-1450.

48. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводно-сти//Матем. сб. 1935. - Т.42(84). - С.199-216.

49. Ушаков В.И. О поведении решений третьей смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка при £ —> оо// Дифференц. уравнения. 1979. - Т.15. - С.310-320.

50. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области//Матем. сб.- 1980. Т.111(153). - С.95-115.

51. Черемных Ю.Н. О поведении решений краевых задач для параболических уравнений второго порядка при неограниченном возрастании ¿//Матем. сб. 1968. - Т.75(117). - С.241-254.

52. Эйдельман С.Д. Оценки решений параболических систем и некоторые их применения//Матем. сб. — 1954. — Т.ЗЗ. — С.57-72.

53. Andreucci D., Tedeev A.F. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains with noncompact boundary //J.Math.Anal.Appl.— 1999. V.231. - P.543-567.

54. Andreucci D., Tedeev A.F. Optimal bounds and blow-up phenomena for parabolic problems in narrowing domains // Proceeding of the Royal Soc. of Ed. 1998. - V.128. - №6. - P.1163-1180.

55. Galaktionov V.A., Levine H.A. A general approach to critical Fujita exponents and systems // Nonlinear Anal. TMA. — 1998. — V.34. — P.1005-1027.

56. Galaktionov V.A., Varquez J.L. Asymptotic behavior of nonlinear parabolic equations with critical exponents //J. Funct. Anal. — 1991. V.100. - №. P.435-462.

57. Gmira A., Veron L. Large time behaviour of the solutions of a semilinear parabolic equation in RN// J. Diff. Eq. 1984. - V.53. - №. - P.258-276.

58. Deng K., Levine H.A. The role of critical exponents in blow-up theorems. The sequal // J. Math. Anal. Appl. 2000. - V.243. - P.85-126.

59. Kamin S. On stabilisation of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations//Proc. Soc. Edinburgh, Sect. A. 1976. - V. 76. — №1. — P.43-53.

60. Moser J.A. Harnack inequality for parabolic differential equations //Comm. Pure Appl. Math. 1964. - V.17. - M. - P.101-134.

61. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations //Amer. J. Math. 1958. - V.80. - P.931-953.

62. Tâcklind S. Sur les class quasianalytiques des solutions des equations aux derive és partielles du type parabolique//Nova Acta Reg. Soc. Schi. Uppsaliensis. Ser.4. - 1936. - V.10. - №3. - P.3-55.

63. Toupin R.A. Saint-Venant's principle//Arch. Rat. Mech. Anal. — 1965. — V.18. P.83-96.