Стабилизация решений вырождающихся линейных эллиптических и параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Гилимшина Венера Фидарисовна

004609374

СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИИ

ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЛИНЕЙНЫХ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

з о СЕН 2010

Уфа-2010

004609374

Работа выполнена в ГОУВПО "Башкирский государственный педагогический университет им.М.Акмуллы"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ф.Х. Мукминов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.В. Жибер

доктор физико-математических наук, доцент Л.М.Кожевникова

Ведущая организация:

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 8 октября 2010 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Учреждении российской академии наук Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения российской академии наук Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан

2010 г.

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф.-м.н.

С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Поведение решений краевых и смешанных задам для линейных равномерно эллиптических и параболических уравнений в зависимости от геометрии неограниченной области достаточно хорошо изучено. Менее исследованной является задача о скорости стабилизации решений линейных вырождающихся эллиптических и параболических уравнений.

Первые исследования зависимости скорости убывания решения второй смешанной задачи для равномерно параболического уравнения второго порядка от геометрии неограниченной области были выполнены А.К.Гущиным (Труды МИ-АН, 1973; Матем. сб., 1976). Для широкого класса областей установлена оценка

К*. г/Ж—у^ч, Пч/г)

где и (г) = теа{у 6 С} ■ |у| < г}. Доказана также точность этой оценки.

Ф.Х.Мукминовым (Матем. сб., 1980) была доказана оценка скорости убывания решения первой смешанной задачи в случае равномерно параболического уравнения второго порядка и доказана ее точность в классе неограниченных монотонно расширяющихся областей вращения.

Л.М.Кожевниковой (Матем. сб., 2005) существенно расширен класс неограниченных областей, в которых установлена оценка скорости убывания решения первой смешанной задачи в случае равномерно параболического уравнения второго порядка.

В диссертации рассматривается сочетание краевых условий разных типов. Уравнение может быть неравномерно параболическим, т.е. функция в(<,х), ограничивающая собственные числа матрицы старших коэффициентов уравнения, может расти или убывать при х —» оо и этот факт может оказывать существенное влияние на поведение решения при Ь —> оо. Помимо этого, уравнение может быть вырождающимся, т.е. з(1,х) может обращаться в нуль на границе. Исследований в этом направлении до сих пор не проводилось. Не исследовано также влияние распределения первого краевого условия на границе цилиндрической области на скорость убывания решения смешанной задачи для параболического уравнения.

В одной работе О.А.Олейник и Г.А.Иосифьяна была получена оценка сверху скорости убывания при х —» оо решения краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения в неограниченной области, но не было никакого подтверждения точности этой оценки. Не приводилось также никаких примеров, демонстрирующих влияние старших коэффициентов уравнения на скорость убывания решения. Лишь недавно для равномерно эллиптического уравнения Л.М. Кожевникова распространила упомянутую оценку на более широкий класс областей и доказала ее точность в семействе областей вращения.

Имеется также огромное количество работ, посвященных нелинейным вырождающимся эллиптическим и параболическим уравнениям. Однако в них ис-

следуются эффекты, обусловленные именно нелинейностью уравнений, и поэтому эти работы здесь не обсуждаются.

Цель работы. Исследовать скорость стабилизации решений вырождающихся параболических и эллиптических уравнений с сочетанием краевых условий разных типов на границе неограниченной области П. Для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка исследовать поведение при х —> оо решения этой задачи в зависимости от геометрии П и коэффициентов уравнения. Для вырождающихся параболических уравнений изучить поведение при Ь —» оо решения задачи в зависимости от геометрии П и коэффициентов уравнения.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Для вырождающихся эллиптических уравнений с сочетанием первого и третьего краевого условия на границе неограниченной области установлены оценки скорости убывания решений в зависимости от геометрии области и поведения старших коэффициентов уравнения. Для широкого класса областей вращения установлены оценки решения снизу, показывающие точность оценок сверху.

2. Для вырождающихся параболических уравнений второго порядка в неограниченной области получена оценка сверху скорости убывания решения смешанной задачи с сочетанием первого и третьего типа краевого условия. Установлено влияние старших коэффициентов уравнения и распределения первого краевого условия на скорость убывания решения при < —> оо. Показано в частности, что решение неравномерно параболического уравнения может убывать как существенно быстрее, так и медленнее, чем решение равномерно параболического уравнения. Для уравнения в дивергентной форме в широком классе областей вращения доказана точность оценки.

Методика исследования. Для исследования поведения на бесконечности решений эллиптических и параболических уравнений использован метод, который основывается на разбиении неограниченной области на конечные участки. Выделение таких частей связано с построением точных оценок первого собственного значения оператора, соответствующего уравнению, через геометрические характеристики области.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы при изучении задач математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинаре дифференциальных уравнений и математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН, на семинаре кафедры математического анализа БашГПУ, на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, БашГУ, 2004, 2005, 2006, 2008), на

международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева (Новосибирск, 2008), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", посвященной юбилею академиков В.А. Ильина и Е.И. Моисеева (Стерлитамак, 2008), на международной конференции "Дни дифракции-2009", (С.-Петербург, 2009), на международной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики", посвященной 90-летию памяти академика A.A. Самарского (Москва, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11]. Работа [1] выполнена совместно с H.A. Кульсариной. Из этой работы в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в совокупности на десять параграфов и списка литературы, содержащего 52 наименования. Общий объем диссертации - 86 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

Первая глава посвящена изучению поведения решения вырождающегося эллиптического уравнения в неограниченной области.

В неограниченной области Л пространства К", п ^ 2, х = {х\,х2, ■ ■ ■,хп) € К" рассматривается краевая задача для линейного эллиптического уравнения второго порядка с сочетающимися краевыми условиями первого и третьего типа

Ьи=- Ф, (1)

П П

Ьи — (aij(x)uxi)xj + ^ + (Съ{х)и)хг] ~ (1(х)и,

г,,3 = 1 г=1

= 0. (2)

гег2

ди

Здесь Гх С 9Г2 — произвольное замкнутое множество, Г2 = ЭГАГ); —— =

дN

п

а^ их, пу, п^ - компоненты внешней нормали к границе. Все коэффициенты

уравнения измеримы в П, й > 0. Симметрическая матрица (ач(х)} удовлетворяет условию эллиптичности: существуют положительные постоянная Т и неотрицательная функция з(х) такие, что для любого вектора у 6 Еп и почти всех

х € О справедливы неравенства:

п

К^ОМ2 < XI а<*р(х)у<*ур < в(а:)т1г/12- (з)

а,/3—1

Нехферывная в П функция в(х) может обращаться в нуль на границе области и функции в(а:), <1(х) и 1/в(ж) предполагаются интегрируемыми по любому ограниченному подмножеству

Будем предполагать, что неограниченная область П имеет р ветвей, уходя-

оо

щах на бесконечность, и представлена в виде объединения П = и Г2 поеледо-

лг=о

вательности вложенных ограниченных областей, удовлетворяющих

следующим требованиям. Дополнения = распадаются на конеч-

р

ное число ограниченных подобластей , i = l,...,p: = У . Пересече-

1=1

ния (сШ^) |"| Я распадаются на конечное число липшицевых гиперповерхностей Определим векторы = ..., 1р) и — (А^,..., Ар') формулами =

А(<3) = тг|у'(5(а;)|У5|2 + £г92)^|деС§0(М'г\Г1), 1а(х)д2<1х = Л (4)

и « ]

Будем предполагать, что существует число 0 > 0 такое, что при всех N ^ О выполняются неравенства

» = I.....р. (5)

оо

Описанное выше представление Г2 = и Г2 при выполнении неравенств (5)

лг=о

будем называть А-разбиением области, соответствующим задаче (1), (2) (в дальнейшем просто А-разбиением). Аналогичное понятие было введено Л.М.Кожевниковой в (Матем. сб., 2005) в случае Г2 = 0 и 8 = 1 для области, имеющей одну ветвь, уходящую на бесконечность вдоль оси Ох\. В работе (Матем. сб., 2005) области

= П(гдг) = {х 6 П | XI < гм}, N = 07оо (6)

определяются последовательностью чисел Приведено простое условие,

необходимое и достаточное для существования последовательности чисел такой, оо

что для разбиения П = [] Й выполнено требование (5) ( в случае равномерно N=0

эллиптического уравнения без младших членов, т.е. в = 1): для любого п > 0 найдется гг > П такое, что

А(П(Г2)\П(Г!)) > 0. (7)

Будем считать, что носитель функционала Ф лежит в Г2° и его значение на множестве функций Со°(Кп\Г1) определяется равенством

/71 . 71

([ф; )фу + 8(х)^,Ф&хЛ(1х, / [с1(х)ф2 + £ ф2] йх < оо. (8) ПО '=1 по «=1

Коэффициенты оператора Ь удовлетворяют неравенствам

|Ь - с|2 < зй/2, |6.;| < Ау/вИ, \сг\ ^ А^Тй, хеП (9)

где Ь = (Ьх, Ьг, ■ • • ,Ьп); с = (с\,с2,... ,сп), А - постоянная. Потребуем, чтобы для вектора с при всех № = 0,1,... и к таком, что 12Т2к2ве2к = 1, были выполнены соотношения

— дс - х * ' г = 1'р- (10)

г

о

Пространство //(П; Г1) определим как пополнение пространства Со°(К™ \Г1) по норме ||щ||1 = ¡{¿V2 Г!

Приведем результаты первой главы.

оо

Теорема 1. Пусть £1 = и £2 — некоторое Х-разбиение области П. Пусть

N=0

коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют соотношениям (8)-(10). Тогда решение и(х) задачи (1), (2) удовлетворяет оценке

I {з\Чи\2 + (1и)с1х < С! е-хр(-2кМ) ! 8и2<1х. (11)

Рассмотрим область вращения

«/ = {*€ К", ж = (хих')\ \х'\ < /(ц), XI > 0}, (12)

с положительной функцией }{х\). Следуя работе Л.М.Кожевниковой (Матем. сб., 2005), определим П-последовательность {гдг} индуктивным равенством, начиная с произвольного го > 0 :

2ДГ = вир{г| Ш / > г - N = 1,оо. (13)

Будем предполагать существование постоянной ад такой, что

вир{/(г)|г € [г - Дг),г + /(г)]} < гиДт-), г > г0. (14)

Тогда при некотором с > 1 справедливы оценки

zjv ZJV

I Wi~N~cf W¡' <15)

20 ZO

Пусть множество Г^ распределено достаточно регулярно. А именно, предполагается существование положительных чисел D,5 и Si таких, что при всех b> а> D, Ь— а> min{/(a),/(6)}/2 выполнены неравенства

mesP»Ti П [а, 6] > <5(6 — а), (16)

где "существенная" проекция РгГ\ определяется равенством

РгГ1 = {r|mesn_2ri П {zi = г} > ¿>i/"~2(r)}. (17)

Тогда при s(a;) = 1 П-последовательиость определяет A-разбиение области flj. Та же П-последовательность определяет A-разбиение и в случае неравномерно эллиптического уравнения, если при некотором С > О выполнено условие локальной равномерности

s{x)^Cs(y), x,2/6Í]}ir, r>z0, (18)

где

Щ,г = U®!.1')! max(zo,r - /(г)) < х\ < r + f(r), \х\ < f(x\)/a}.

Если же уравнение является вырождающимся, т.е. условие (18) не выполнено, мы требуем, чтобы всюду было граничное условие Дирихле, т.е. Tj = дП и для простоты, ограничимся случаем п = 2. Функция s(x) здесь предполагается непрерывной в ílf, а по переменной Х2 - четной и невозрастающей в интервалах (О, /(a;i)). Кроме того, предполагается существование числа и 6 (1,2) такого, что

JL((f(x1)-X2)"-2s(x1,x2)) >0, xeíC Х2>0. (19)

Если /- непрерывная функция, то условию (19) удовлетворяет, например, функция вида

з(хъх2) = /3(xi)(/(xi) + e(xi) - |я2|)м, м е (0,1),

с непрерывными функциями 0(х%) > 0, е(жх) >0и таким и G (1,2), что v 4- ¡x < 2. В частности, при s(x¡) = 0 получаем вырождающееся на границе области уравнение.

Теперь оценка (15) позволяет получить такое следствие из теоремы 1

г

J s\Vu\2dx < Сг ехр(—2к J -щ), г > z0.

П\П(г) zo

Точность оценки (11) для широкого класса областей вращения для уравнения в дивергентной форме

71

(аа/з(®)итр)т„ =0, (1')

а,/3=1

Lsu = div sVu = -Ф (20)

установлена в следующей теореме.

В том случае, когда функция s(r, 0) = s(r, 0,..., 0) возрастает и стремится к бесконечности при г —> оо, введем обозначения г_ = г — Д, г+ = п + Д, где гi такая точка, что s(ri,0) --- es(r,0) и Д = г\ — т.

Теорема 2. Пусть область О j определена функцией /, удовлетворяющей условию

sup f(z) ^ wf(r), r>z0 [r-/(r),r+/(r)l

и {zN}%=0 — Непоследовательность. Пусть существует число С > 1 такое, что функция s(x) удовлетворяет условию

s(x)^Cs(y), х,у б ii/,r, г > zq. (21)

Тогда для неотрицательного решения уравнения (20) (и ^ 0)в области вращения f2у найдутся положительные числа К, т такие, что

J s\Vu\2dx^mexp(-2KN). (22)

ilN

Если же функция s(r,0) монотонно возрастая стремится к бесконечности и существует число С > 0 такое, что

s(x) ^ Cs(y), х,у€ П2/>г Л [х £ Rn | r_ < xi < т>}, г > z0, (23)

то найдется 7 > 0 такое, что неотрицательное решение уравнения Lsu = 0 удовлетворяет оценке

u(zn, 0) > mexp{-KN)/(s(zN,0)y. (24)

Построены примеры областей и уравнений, для которых установлены скорости убывания решений в терминах геометрии области. В случае уравнения Пуассона Ди = —Ф в угле раствора а нетрудно вычислить, например, методом Фурье, что решение задачи Дирихле убывает как при г —» оо. Если же

взять s(x\,x2) = eZl, то из (11) следует оценка решения задачи Дирихле для уравнения (20)

j \Vu\2dx<C3e-r. (25)

i)\fi(r)

Поскольку и - решение эллиптического уравнения, отсюда нетрудно получить оценку вида

Мг,0)|^С4е_5 (26)

Легко видеть, что выполнено условие (23), и для неотрицательного решения уравнения (20) справедлива оценка вида (24)

u(zn, 0) ^ me~1ZN.

Поэтому, в определенном смысле, оценку (26) можно считать точной.

Рассмотрим теперь уравнение Пуассона в параболоиде {|ж'| < y/xi}. Из работы Л.М.Кожевниковой (Матем. сб.,2008) известно следующее убывание решения задачи Дирихле

J \Vu\2dx ^ Сзехр(—к\/г).

Если же в этом параболоиде рассматривать задачу Дирихле для уравнения (20) с функцией s(x) = eXl, то из (11) следует оценка

J |Vu|2cte sj С3 ехр(—г - ks/r),

а\Щг)

а из последней - неравенство

Кг,0)| < САе~*

Таким образом, рост s(x) может существенным образом ускорить убывание на бесконечности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения.

Вторая глава посвящена изучению скорости убывания при t —► оо решения вырождающегося параболического уравнения.

В цилиндрической области D = {t > О ) х Q рассматривается линейное уравнение второго порядка:

п п

«t= £ (aij(t,x)uxi)Xj + + ~~ d(t,x)u. (27)

i,j=l i=l

Предполагается, что симметрическая матрица {сц^} удовлетворяет условию: существуют положительные непрерывная в D функция s(x, t) и число Т такие, что для любого вектора у € К" и почти всех (t, х) G D справедливы неравенства:

п

s(i,z)M2 < Y1 < s(t,x)T\y\2. (28)

ij=1

Функция s(t,x) может обращаться в нуль на границе области и функции s{t,x), d(t,x) и s~l(t,x) предполагаются интегрируемыми по любому ограниченному

8

подмножеству В.

На измеримые младшие коэффициенты наложено ограничение в виде неравенств

У]{Ьг(1,х) - ф,х))2 < -з(Ь,х)(1Ц,х), (29)

¿=1 1

6г А\Г&й, Сг ^ Ау/1й, х 6 П, (30)

требуемых для почти всех (¿, ж) 6 С.

На боковой границе цилиндра Л заданы краевые условия первого и третьего типа:

"Мг =0; + =0- (31)

1 ¿=1 2

Здесь Г1 С Г = (0, оо) х ЗГ2 — произвольное замкнутое подмножество боковой

а п

границы цилиндра Г и Г2 — дополнение к нему Г2 = Г\Ги = ■

г,3 = 1

Рассматривается обобщенное решение задачи (27), (31) с начальным условием

«(0,1) = ^)6 12(П). (32)

Приступим к формулировке нашего результата сначала в предположении, что в = в(х).

Векторы = (£ ..., и числа в случае параболического

уравнения определяем формулами = сИэ! (Й1^, и

А^ = шГ | I («0г)^|2 + йд2)йх\д е С8°(КП\Г1) ^ у2 <1х = 1 \ ,

где Г{ = Г1 П ^ = т}. Будем предполагать, что существует число в > 0 такое, что при всех N ^ 0 выполняются неравенства

«(г = 1,...,р, т > 0, хеш". (33)

оо

Аналогично описанное выше представление П = и П при выполнении

N=0

неравенств (33) будем называть А-разбиением области, соответствующим задаче (27), (31), (32).

Потребуем, чтобы для выбранного разбиения нашлась постоянная С такая, что для вектора с = {с^} при всех N — 0,1,... были выполнены соотношения

,х) ^Су/Щ^Щз^, хеш", ¿>0, i = T~p. (34)

Для формулировки результата определим функцию

N(t) = max{N\N < X(N)t}, t > 0, (35)

где

X{N) = min{A?| г = 1,...р, v = 0,l,...N- 1}.

oo

Теорема 3. Пусть для области fi существует X—разбиение fi = (J fi , удо-

лг=о

влетворяющее условиям (33) и (11). Пусть s — з(х) и коэффициенты уравнения удовлетворяют (28), (29), (34) и начальная функция имеет ограниченный носитель suppip С ft0. Тогда найдутся числа х > О, М, такие, что решение u(t, х) задачи (27), (31), (32) при t ^ 0 удовлетворяет оценке

H0llz,a(il) < Mexp(-xiV(t))|M|wn). (36)

В некоторых случаях А - разбиение может не существовать из-за "плохого" распределения первого краевого условия. В таком случае применен другой метод, который допускает s — s(t,x), но требует ограниченности функции s. Определим функции

/ (s{T,x)\Vg\2 + d(T,x)g2)dx

A(r,r)= inf —-7.-к-;-, (37)

gec0~(K»\ri) J g2dx

«M

где Г[ = ГЧ П {t = т}, fi[r] = {ж € fi | |x| < r}.

Теорема 4. Пусть u(t,x) - решение задачи (27), (31), (32). Тогда найдутся числа х > О, М, зависящие от Т, До (suppy> с fi [До]), что для всех t > Т справедливо неравенство

ll«(t)k2(n) < Мехр Мьг(П), (38)

где Se = sup{s(i,x) | t > 0, x € fi \ ft[Jïo]} и r(t) любая такая функция, что

dm ^ f^x(r,r(t))dr.

В следующем утверждении для областей вращения вида установлена оценка снизу для решения уравнения без младших членов

п

ut = (aij(t,x)uXi)xj. (39)

i,i=1

При произвольном h > 0 определим множество

Qj[h] = {х = (хъх) € К" | xi G [zj, zj+]), I ж'I < h(zj+1 - zj)}.

Теорема 5. Пусть {гдг} - II-последовательность. Пусть существуют постоянные w и С > 1 такие, что выполнены неравенства (14) и

s(x)^Cs{y), x,y€Qj[h]. (40)

Если начальная функция неотрицательна и <р у= 0, то найдутся положительные числа К, а такие, что для решения (39), (31), (32) при t is 0 справедлива оценка снизу

\\u(t)f > aexp(-KN(t)), (41)

где N(t) определенная формулой (35) функция.

Рассмотрим примеры для области вращения с f(r) = ^/г, показывающие, что при Гг = 0, решение и вырождающегося параболического уравнения может убывать существенно быстрее (медленнее), чем решение равномерно параболического уравнения. Существуют положительные числа ей Т такие, что

1. для равномерно параболического уравнения с s(i) = I:

2. для неравномерно параболического уравнения с s(x) = х\ :

ИОНмп) <еч> ("£*). *>Т.

3. для неравномерно параболического уравнения с s(x) = — :

ll«(t)lli2(fl)<exp(-ei*).

Приведем теперь пример с чередованием краевых условий Дирихле и Неймана. Зададим кольцевые распределения множеств 71 и 72 следующим образом. Пусть aj—возрастающая к бесконечности последовательность чисел такая, что выполнено

Щ - Oi-1 _

lira -у-г- = 0.

1-+00 J(C4)

Точку х 6 80. будем считать принадлежащей 72, если найдется такое ¿, что х\ е [a,2i, d2i+i)- Все другие точки границы принадлежат 71. Мы полагаем Fi = (0,00) х 71. От непрерывной функции s(x), х > 0, потребуем выполнения неравенства

sup{s(y)|yi £ [ж — /(ж);ж + /(ж)]} < Cs(x), х > 0. (42)

Тогда из оценки теоремы 3, будем иметь

1М0Иьа(П) < ^ехр 'j ||И|£а(П). (43)

где г (4) :

г

/йг _

¿0

а функция в(л)//2(г) монотонно убывающая.

Приведем пример области с произвольными выходами на бесконечность. В частности допустимо П = К". Будем предполагать, что Г1 = 0, й{Ь,х) — ¿(|х|), й(г) - убывающая функция. Функция х) - неотрицательная и непрерывная в Г), такая, что х) и х) интегрируемы по любому ограниченному под-

множеству С. Справедлива оценка, которая легко выводится из оценки теоремы 3:

Н«(0Ила(П) < Мехр( -х<1(г(ф)М1у2т, где функция г(£) определяется из равенства

г

J у/й&йг =

го

В частности, если <1{г) = г-1, то получаем оценку

11«(011ып) ^ МехР(-*£^)1М1ь2(П)-

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю Мукминову Фариту Хамзаевичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Кульсарина H.A., Гилимшина В.Ф. Точная оценка скорости убывания решения параболического уравнения второго порядка при t —> 00 // Известия высших учебных заведений. Математика. №4, 2007. С. 35-44.

[2] Гилимшина В.Ф. Об убывании решения неравномерно параболического уравнения. // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. №2 - С. 235250.

[3] Гилимшина В.Ф. Оценка первого собственного значения задачи Зарембы для уравнения Лапласа в специальной области // Труды Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Математика. Том I.-Уфа: Башгосуниверситет. 2004. С.64-75.

[4] Гилгшшина В. Ф. Стабилизация решений параболического уравнения с чередующимися краевыми условиями // Труды Международной уфимской зимней школы-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученных. Сборник трудов: Математика. Том I. - Уфа: РИО Ба-шГУ, 2005. - С.176-181.

[5] Гилгшшина В. Ф. Об убывании решения параболического уравнения // Труды VI Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии. Сборник трудов: Математика. Том II. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2006. - С.21-29.

[6] Гилимшина В.Ф. Существование обобщенного решения смешанной задачи для неравномерно параболического уравнения. // Ученые записки, №8, Уфа, 2007г. С. 11-15.

[7] Гилимшина В. Ф. Об убывании потенциала электрического поля в области удлиненной формы. // Материалы V Уральской региональной научно - практической конференции. - Уфа: БГПУ, 2006 - с. 35-40.

[8] Гилимшина В.Ф. Существование обобщенного решения для неравномерно эллиптического уравнения // Ученые записки, № 9, Уфа, 2008г. С. 3-5.

[9] Гилгшшина В.Ф. Существование обобщенного решения смешанной задачи для неравномерно параболического уравнения // Сборник трудов VIII региональной школы - конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии. Уфа, 2009г. С. 12-18

[10] Гилгшшина В.Ф. Существование обобщенного решения для неравномерно эллиптического уравнения // Ученые записки, № 10, Уфа, 2009г. С.8-12.

[11] Гилимшина В.Ф. Стабилизация решений неравномерно параболического уравнения // Сборник трудов Четвертой всероссийской зимней школы-семинаров аспирантов и молодых ученых "Актуальные проблемы науки и техники", Уфа, 2009, Том И, с 101-105.

Гилимшина Венера Фидарисовна

СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 24.08.2010 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0,92. Уч.-изд. л. 1,07. Тираж 100 экз. Заказ 648.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Введение

Глава 1. Поведение решения вырождающегося эллиптического уравнения в неограниченной области

§1. Определение и существование обобщенного решения

§2. Оценка решения эллиптического уравнения сверху

§3. Построение Л—разбиений для эллиптического уравнения

§4. Оценка решения эллиптического уравнения снизу

§5. Примеры.

Глава 2. Стабилизация решения вырождающегося параболического уравнения

§1. Постановка задачи. Существование и единственность обобщенного решения смешанной задачи для параболического уравнения.

§2. Оценка решения параболического уравнения сверху

§3. Построение Л—разбиений для параболического уравнения

§4. Оценка решения параболического уравнения снизу

§5. Примеры.

Работа посвящена изучению стабилизации решений линейных вырождающихся параболических и эллиптических уравнений с краевыми условиями разных типов на границе неограниченной области Данное направление весьма обширно и включает в себя целый класс задач. В диссертации для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка исследовано поведение при \х\ —>■ оо решения этой задачи в зависимости от геометрии Г2 и коэффициентов уравнения. Для вырождающихся параболических уравнений исследовано поведение при £ —> оо решения задачи в зависимости от геометрии и коэффициентов уравнения.

Пусть — неограниченная область пространства п >

2, х — (#1, Х2,хп) € Рассматривается линейное эллиптическое уравнение второго порядка:

Ьи=- Ф, (0.1) п п

Ьи=^ (а^{х)их1)х. + + ((к(х)и)х.] - й(х)и. г,3=1 г—1

Все коэффициенты уравнения измеримы в О,, с1 > 0. Условия на обобщенную функцию Ф будут даны ниже. Симметрическая матрица (а^-(ж)} удовлетворяет условию эллиптичности: существуют положительные постоянная Т и неотрицательная непрерывная в П функция в(х) такие, что для любого вектора у £ Шп и почти всех х £ П справедливы неравенства: п

Ф)Ы2 < ^ аар(х)уаур < ф)Т|?/|2. (0.2) аф=1

Функция 5(х) может обращаться в нуль на границе области и функции б (ж), (¿(ж) и предполагаются интегрируемыми по любому ограниченному подмножеству Г2.

Рассмотрим краевую задачу для уравнения (0.1) с сочетающимися краевыми условиями первого и третьего типа г=1 хет2 0.

0.3)

Здесь Г*! С д£1 — произвольное замкнутое подмножество, Г2 = ¿Ю\Гх; будем иметь дело с обобщенным решением задачи (0.1), (0.3) в определении которого (см. ниже) условия (0.3) формально не участвуют. Тем не менее, при условии гладкости границы сЮ и коэффициентов уравнения (0.1) это обобщенное решение будет удовлетворять условию (0.3) на Г2 поточечно, а на Гх в смысле следа.

В диссертации для эллиптических уравнений исследована зависимость скорости убывания при х оо решения задачи (0.1), (0.3) от геометрии неограниченной области Q и функции s(x).

Список работ и результатов, посвященных изучению поведения решений эллиптических уравнений и систем огромен. Поэтому ограничимся лишь теми их них, в которых исследуется скорость убывания решения на бесконечности. Отметим интересную работу В.А. Кондратьева и С.Д. Эйдельмана [25], в которой доказано Li-неравепство Гарна-ка для эллиптических систем уравнений и в качестве приложения получено обобщение теоремы Лиувилля и установлено экспоненциальное убывание (рост) положительного решения в неограниченном цилиндре. В работе O.A. Олейник, Г.А. Иосифьян [41] изучался вопрос о поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка, удовлетворяющих на той части границы области, которая принадлежит некоторой окрестности бесконечности, однородным условиям Дирихле, либо условиям Неймана, либо условиям периодичности. Получены априорные оценки, характеризующие поведение таких решений при х —> +оо в областях с некомпактной границей в зависимости от геометрических свойств области и функционала Ф, стоящего в правой части уравнения. В частности, в работе [41] для области С Rn, лежащей в полупространвнешней нормали к границе. Мы стве хп > 0 и непустыми, ограниченными при любом t > 0 сечениями St = О П {х : хп = t} установлено, что решение задачи Дирихле aij(x)uXi)Xj = 0, и\дп = О, для любых Т > 0 и е ~ const 6 (0,1) удовлетворяет оценке

J aij(x)uXiuXjdx < Сехр{—о; i1 ~~

ПП{х:Т<хп<Т+1] ¿2 где a(ti,t2) = f/3(xn)dxn, (3{хп) = Л--Л1/2(а;п); Л(t) - измеримая, V локально ограниченная функция на (0, оо) такая, что

О < kit) < inf < I aij(x)uxiux,dx I I u2dx

С0°°(П) J J \ J

I st \st

-1 где х = (»1, .,ж„1).

В более поздних работах А.Ф. Тедеева, А.Е.Шишкова [44] и А.Е.Шишкова [49] установлены сен-венановские оценки для квазилинейных эллиптических уравнений второго и высокого порядков. В работе Л.М.Кожевниковой [22] для задачи Дирихле в неограниченной области п

- К>(у)%)% = ф, и=0 0 an и в предположении s = 1 получена оценка

J \Vu\2dy < Mexp(-rciV), N > 2, (0.4) где xn - А-последовательность (см. определение ниже, £1(г) = {у ^ ^ \У\ < г}).

В большинстве работ, посвященных установлению сен-венановских оценок для эллиптического уравнения используется понятие емкости замкнутого множества Е С Мп из работы [24] и его обобщения:

Л(д, Е) = I\Vg\4x\g е С?(Шп\Е), ^ д2 сЬ = Я

Легко видеть, что число А {С}, Е) является первым собственным значением оператора -Д в области С£\Е с граничным условием Дирихле на Е и условием Неймана на оставшейся части границы. В работе В.М. Ми-клюкова [33] число дО) названо основной частотой множества ф и получены некоторые оценки снизу для этого числа.

Обычно при доказательстве сен-венановских оценок для эллиптического уравнения в области используется емкость для пары С} = £(£), Е = сЮ, где £(£) = {ж € П | х\ = £} — какое-то сечение области (не обязательно плоское.) В работе [19] показано, что в случае области с нерегулярным поведением границы оценки, базирующиеся на характеристике Амогут становиться неточными. Поэтому в работах [18], [19] предложена иная характеристика неограниченной области — А-последовательность. В диссертации это понятие адаптируется на случай неравномерно эллиптического уравнения.

Будем предполагать, что неограниченная область О имеет р ветвей, уходящих на бесконечность, и представлена в виде объединения оо

П = и последовательности вложенных с ограниченно ных областей, удовлетворяющих следующим требованиям. Дополнения распадаются на конечное число ограниченных пор добластей со^, г = 1, : = 0 ■ Пересечение г=1 распадается на конечное число липшицевых гиперповерхностей г = 1

Определим векторы ^ = и (А^,., Аформулами if = dist(Sf, Sf+1) и Af = A(o;f), где

0.5)

Будем предполагать, что существует число в > 0 такое, что при всех N > 0 выполняются неравенства l<0Af(if)2, г = 1,.,р. (0.6)

Отметим, что в случае, когда функция d оценивается снизу функцией s, т.е. d > 5s, 5 > 0, х Е Г2, легко добиться выполнения условия (0.6). В самом деле, поскольку A(Q) > Ö, то достаточным для (0.6) является неравенство 1 < 65(tf)2, г = 1, то есть сечения Sf следует выбирать "достаточно удаленными "друг от друга. оо

Описанное выше представление Q — [J Q,N при выполнении нераn=о венств (0.6) будем называть А-разбиением области, соответствующим задаче (0.1), (0.3) (в дальнейшем просто А-разбиением). Понятие А-разбиения было введено Л.М.Кожевниковой в [18] в случае Гг = 0 и s = 1 для области, имеющей одну ветвь, уходящую на бесконечность "вдоль оси Ох\ \ В работе [18] области tiN = Q{zn) = {х G О, I XI < zN}, N = Ü7ÖÖ (0.7) определяются последовательностью чисел {zjv}w=o- Приведено простое условие, необходимое и достаточное для существования последовательоо ности чисел такой, что для разбиения Q — |J QN выполнено требовало ние (0.6) ( в случае равномерно эллиптического уравнения без младших членов, т.е. s = 1): для любого г\ > 0 найдется г2 > г\ такое, что r2)\ii(ri)) > 0. (0.8)

Отметим, что прототип понятия А-последовательности использовался в работе O.A. Олейник, Г.А. Иосифьян [40] для системы уравнений теории упругости. В этой работе определяется неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел {Ду}?£=о такая, что

1 < - Длг+0, N = О, оо, где

Х(гь г2) - и* { А{<2}

П(г2) \ П(п) С Я С П(г2) > , Г! < г2, т д € спа), \\д\\ьм = число © зависит лишь от п и констант равномерной эллиптичности.

Будем считать, что функционал Ф на множестве функций Со°(Мп\Г1) определяется равенством

IV Л II фу + 5 ф^Хг] Ах, / [Аф2 + 5 ф.?] Ах < оо. (0.9) по г=1 ^о ¿=1

Будем предполагать, что коэффициенты оператора Ь удовлетворяют неравенствам

Ь - с|2 < зА/2, < А^/вА, |сг-| < Ау/вй, х 6 (0.10) где Ь = (&ь &2, • • •, Ьп)] с = (сх, с2,., сп), А - постоянная. Потребуем, чтобы для вектора с при всех N = 0,1,. и к таком, что 12Т2к2ве2к — 1, были выполнены соотношения хеш?, « = 1,р. (0.11)

5с

Это условие корректно, поскольку, липшицева функция сНз^б^, х) почти всюду имеет производную.

В следующей теореме рассматривается обобщенное решение задачи (0.1), (0.3), которое будет определено в §1.

Теорема 1. Пусть = У — некоторое Х-разбиение области

N=0

Пусть коэффициенты уравнения (0.1) удовлетворяют соотношениям (0.9)-(0.11). Тогда найдется число С\ > 1 такое, что решение и(х) задачи (0.1), (0.3) удовлетворяет оценке ^Уг^2 + с1и2)с1х < С1вхр(-2А;7У) J зи2дх, (0.12) где постоянная к — из условия (0.11).

Конечно, оценка существенным образом зависит от представления оо

Г2 = У О,1*. Для случая области с одной ветвью при краевых условиях N=0 первого рода в [18] показано, что "наилучшая" оценка (0.12) получается при минимально возможных расстояниях ^, при которых еще не нарушается условие (0.6) с фиксированным в. В случае сочетающихся краоо евых условий (0.3) описание оптимального представления П = у

N=0 для получения "наилучшей" оценки (0.12) затруднительно, поскольку оно существенным образом зависит от распределения на границе условий первого и третьего типа, которое может быть не регулярным.

В случае областей вращения оценка (0.12) приводится к более "конструктивному" виду. При этом мы увидим, что из двух разбиений более сильную оценку дает то, для которого постоянная в в (0.6) наименьшая.

Рассмотрим область вращения = {хеЖп: х = (ж1,ж')| И < /Ы, XI > 0}, (0.13) с положительной функцией /(ал). Следуя [18], определим П-после-довательность {^дг} индуктивным равенством, начиная с произвольного г0 > 0 : гх = зир{£| шГ / >t — N = 1, оо. (0-14) гдг-ъг)

Ниже приводятся условия, при которых П-последовательность определяет А-разбиение по формуле (0.7). В §1 устанавливается оценка

2лг dr , N. (0.15) т

Если потребовать существование постоянной ги такой, что

8Щ>{/{х)\ге[г-/{г),г+ №)]}< г>г0, (0.16) то при некотором с > 1 справедливы оценки

ZN

Idr

Щ' N>0- (0.17)

ZQ

Оценки (0.15), (0.17) принадлежат Л.М.Кожевниковой (см. [18]).

Пусть множество Ti распределено достаточно регулярно. А именно, предполагается существование положительных чисел D, <5i и §2 таких, что при всех b > а > D, b — а> min{/(a),/(6)}/2 выполнены неравенства mesPvTi П [а, 6] > 6Х(Ь - а), (0.18) где "существенная" проекция РгГ\ определяется равенством

РгГг = {t|mes„2Г1 П {х\хг = t} > 62fn~2{t)}. (0.19)

Тогда при s(x) = 1 формула (0.7) определяет А-разбиение области (см. §3). Та же П-последовательность определяет А-разбиение и в случае неравномерно эллиптического уравнения, если при некотором С > 0 выполнено условие локальной равномерности s(x) < Cs{y)1 х,уе П}>г, г > 20, (0.20) где

Щг = {Ы,х') \ max{z0,r - f(r)) < хг <r + f(r), |ж'| < f(xi)/a}.

10

Если же уравнение является вырождающимся, т.е. условие (0.20) не выполнено, мы требуем, чтобы всюду было граничное условие Дирихле, т.е. Гх = дО и для простоты, ограничимся случаем п — 2. Функция в(х) здесь предполагается непрерывной в О/, а по переменной х2 - четной и невозрастающей в интервалах (0,/(жх)). Кроме того, предполагается существование числа V 6 (1,2) такого, что

Ы - х2у-2з(хъ х2)) >0, же ж2 > 0. (0.21)

Если /- непрерывная функция, то условию (0.21) удовлетворяет, например, функция вида з{хЬ Х2) = Р(Х1)Ц(Х1) + фх) - |ж2|)^ [1 е (0,1), с непрерывными функциями /3(жх) > 0? £(х1) > 0 и таким V Е (1,2), что V + ¡л < 2. В частности, при е(х{) = 0 получаем вырождающееся на границе области уравнение. В §3 доказано, что при выполнении условий (0.16), (0.21) П-последовательность также определяет А-разбиение.

По-видимому, значение /х > 1 показателя вырождения уравнения на границе области приводит к трудностям в интерпретации краевого условия Дирихле. В самом деле, в работе В.П. Михайлова [34], (см. также [35], [36]) доказано, что необходимым и достаточным условием существования Ь2 - предела на границе функции и{х) является условие

J \Чи(х)\2г(х)с1х < оо, (0.22) Я где г(х) - расстояние от точки х до границы дС}. В том случае, когда и(х) является решением вырождающегося на границе области С} эллиптического уравнения с показателем вырождения ¡1 > 1, условие (0.22) может не выполняться. Это означает, что краевое условие Дирихле как бы теряется. В таком случае постановка краевой задачи (0.1), (0.3) теряет смысл. Более полно вопрос о принятии решением эллиптического уравнения краевого условия Дирихле был изучен в работах А.К. Гущина

9], [11], [12] на основе установленного свойства Сп1(ф)-непрерывности (и других, более глубоких свойств) решения эллиптического уравнения. Но и при этих более общих подходах к определению решения задачи Дирихле условие (0.22) остается необходимым.

Теперь оценка (0.15) позволяет получить такое следствие из теоремы 1 г

J з\Чи\2(1х < С2ехр(-2& J -щ), г > г0. (0.23)

0\П(г)

В последнее неравенство зависимость от выбора Л-разбиения области входит только через постоянную к, которая определяется параметром 9. Легко видеть, что при больших в постоянная к ведет себя как С/л/д.

Точность оценки (0.12) для широкого класса областей вращения в случае уравнений в дивергентной форме п

X] (а<*р(х)ихр)ха = 0, (0.1') а,0=1

Lsu = div sVu = -Ф (0.24) установлена в следующей теореме.

В том случае, когда функция s(r, 0) = s(r, 0,., 0) возрастает и стремится к бесконечности при г —> оо, введем обозначения г = г —Л, r+ = ri +Д, где 7*1 такая точка, что s(t*i, 0) = es(r, 0) и А = 7*1 — г.

Теорема 2. Пусть область Г2/ определена функцией /, удовлетворяющей условию (0.16), и {¿\Ar}jvo — П-последовательность. Пусть существует число С > 0 такое, что функция s(x) удовлетворяет условию s(x) < Cs(y), х,уе г > zQ. (0.25)

Тогда для неотрицательного решения уравнения (0.1;) (и ф 0)в области вращения Qf П {a;i > Zo} найдутся положительные числа К, т такие, что

J s\^7u\2dx>rnexp(-2KN). (0.26)

Если же функция в (г, 0) монотонно возрастая стремится к бесконечности и существует число С > 0 такое, что з(ж) < Св(г/), х,у Е ЩуГ П {ж е Мп I г < < г+}, г > г0, (0.27) то найдется 7 > 0 такое, что неотрицательное решение уравнения Ь3и = 0 в области вращения П > ^о} удовлетворяет оценке и{гн, 0) > техр(-Ю\0/(ф^,О))7. (0.28)

Если выбрать функцинал Ф так, чтобы ф^ = 0 и ф > 0, то из принципа максимума следует, что решение задачи (0.24), (0.3) неотрицательно в Q,f. Таким образом, для вырождающегося уравнения второго порядка в дивергентной форме в неограниченной области доказана точность оценки (0.12) скорости убывания решения задачи с сочетанием краевых условий разных типов в том смысле, что постоянная к в показателе экспоненты не может быть заменена на последовательность к]\г , возрастающую к бесконечности.

Примеры областей и уравнений, для которых скорость убывания решений выражена в терминах геометрии области, рассмотрены в §5 первой главы.

Вторая глава посвящена изучению скорости убывания при t оо решения вырождающегося параболического уравнения.

Рассмотрим в цилиндрической области В — {¿>0}х0 линейное уравнение второго порядка: п п

Щ = х)иХ1)Хз + + (с1и)Хг) - (¿(г, х)и. (0.29)

1 г=1

На элементы симметрической матрицы {<%•} наложено следующее условие: существуют положительные непрерывная в И функция и число Т такие, что для любого вектора у е Еп и почти всех ж) Е -О справедливы неравенства: п

8&х)\у\2 < ^ аф,х)У1Уэ < х)Т\у\2. (0.30)

Функция х) может обращаться в нуль на границе области и функции б(Ь,х), ¿(¿,х) и предполагаются интегрируемыми по любому ограниченному подмножеству X). На измеримые младшие коэффициенты наложены ограничения п 1

-Ф^))2 < (о.з1)

Ьг < Сг < А > 0, X е О, * > 0. (0.32)

Предполагается, что существуют такие числа С и ¿о > 0, что при всех Ь > 0 выполнены неравенства: т,х) < 5(г,я?) < Св(^ж), те [¿-¿о^ + Яо],® € О. (0.33)'

На боковой границе цилиндра В заданы краевые условия первого и третьего типа: ди п I = о; + |г = о. (о.з4) г=1 2

Здесь Гх С Г = (0, оо) х дС2 — произвольное замкнутое подмножество боковой границы цилиндра Г и Гг — дополнение к нему Г2 = Г\Г1; = п сщих/П]. Мы будем иметь дело с обобщенным решением задачи (0.29), 1

0.34) с начальным условием и{0, ж) = еЬ2(П), (0.35) в определении которого (см. ниже в §1, гл.2) условия (0.34) формально не участвуют. Как и в случае уравнения эллиптического типа, при условии достаточной гладкости границы дО, и коэффициентов уравнения (0.29) это обобщенное решение будет удовлетворять условиям (0.34).

Во второй главе исследуется зависимость скорости убывания при t оо решения задачи (0.29), (0.34), (0.35) от геометрии неограниченной области Г2 и поведения функции х) при х —> сю.

Первые исследования зависимости скорости убывания решения смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка от геометрии неограниченной области были выполнены А.К.Гущиным в работах [4, 5]. Для широкого класса областей в них для решения второй смешанной задачи установлена оценка где v(r) = mes{у G Q : \у\ < г}. Доказана также точность этой оценки. Более полные исследования зависимости поведения при большом значении времени решения второй смешанной задачи от геометрии области и от начальной функции выполнены А.В.Лежневым в [32]. В.И.Ушаков [47] получил результаты, близкие к результатам А.К.Гущина, для третьей смешанной задачи в нецилиндрической области. В работе [39] Ф.Х.Мукминовым была доказана оценка скорости убывания решения первой смешанной задачи в случае параболического уравнения второго порядка и доказана ее точность в классе неограниченных монотонно расширяющихся областей вращения. В работах [39, 16] о скорости убывания решения первой смешанной задачи накладывается ряд технических требований как при получении оценки сверху, так и при доказательстве точности этой оценки. В частности, в работе [16] для областей вращения Qf эти условия таковы

Предполагается также существование постоянной А > 0 такой, что для ч, . IMUi(Q) ^ u{t,y)\<—у е Q lim f(r) = оо, lim г/f(r) = оо,

0.36) всех достаточно удаленных точек (0,0) оси 0Х1 выполнены неравенства рг+г/2 л

А / -гД > 1, г (г) = (г, 0)), г > Д0 (0.37)

Jz-r/2 ДА)

При этих условиях установлены оценки решения с финитной неотрицательной начальной функцией <р ф 0 rp{t) ^ mi exp I — K\ J dp/f(p)j < supu(i, x) < Mi exp ~kx / dp/f(p) 4 с положительными постоянными mi, Mi, k . Здесь функция p(t) p определена равенством p^(p) f -щ = t, где pm(z) - радиус наибольшего шара, помещающегося в fid {х± < z}. В работе [1] получены точные оценки решения параболического уравнения четвертого и шестого порядка с краевыми условиями Риккье на боковой границе неограниченной цилиндрической области. В работе [21] для параболического уравнения высокого порядка получена оценка скорости убывания решения.

При исследовании убывания при t —у оо решения смешанной задачи для параболического уравнения в неограниченной области используется идея работы [39]. В этой работе используется оценка Аронсона фундаментального решения задачи Коши для параболического уравнения

G(i, у) < СГп'2 exp ^-fcl^Zl!!^ , (0.39) с положительными постоянными С и к, зависящими только от п и постоянной параболичности. При помощи этой оценки и принципа максимума устанавливается, что решение первой смешанной задачи с финитной начальной функцией становится "пренебрежимо малым "при |ж| уД. Этот факт позволяет оценивать убывание при t —у оо уже в ограниченной области fi(r), |r| аД. Как известно, убывание решения в ограниченной области определяется оценкой

1К*)1к(П) < Мехр(-А(ад)*)|М|£2(П), в которой А(Г2(г)) - первое собственное значение оператора —Л с условием Дирихле на границе области Г2(г). Отсюда становится ясным, что определяющую роль в оценке скорости убывания при t оо решения первой смешанной задачи (0.29), (0.34), (0.35) в неограниченной области О должна играть функция А(Г2(г)).

Другим моментом получения оценки скорости убывания при £ —»• оо решения параболического уравнения является установление подходящей оценки решения при |ж| —> оо. Такая оценка может быть получена разными средствами. В работе [39], как было показано выше, используется оценка (0.39). В работе [16] использовалась характеристика являющаяся первым собственным значением оператора —А на сечении 5Г = О П {#1 = г}. Позже для оценки скорости убывания решения параболического уравнения при |ж| —V оо в работе [18] была введена новая характеристика неограниченной области — Л-последовательность — позволяющая получать хорошие оценки.

Таким образом, при изучении убывания при £ оо решения параболического уравнения приходится решать две задачи. Первая - оценка скорости убывания решения при ^ оо в ограниченной области Г1(г) с использованием характеристики А(£2(г)). Вторая задача об убывании решения при |ж| —оо может решаться либо при помощи другой подходящей характеристики неограниченной области (у (г) или А-последовательность), либо на основе оценки (0.39).

В работе [16] приводятся рассуждения о количестве характеристик неограниченной области, необходимых для изучения поведения при t —> оо решения параболического уравнения второго порядка в неограниченной области. Приводятся различные примеры областей в подтверждение этих рассуждений. В свете приведенных выше соображений становится ясным, что необходимы, вообще говоря, две характеристики, функция А(£~2(г)) и, например, А-последовательность. Как следует из результатов работы [18], в случае равномерно параболического уравнения функция А(Г2(г)) может быть удовлетворительно оценена для широкого класса областей в терминах параметров Л-последовательности. Но в случае вырождающегося параболического уравнения следует пользоваться обеими характеристиками.

В работах [39], [18] в цилиндрической области рассмотрена первая смешанная задача для параболического уравнения второго порядка с однородными краевыми условиями и финитной начальной функцией. В частности, для областей {(ж,у) 6 Мп+1 : |2/х| < жа}, 0 < а < 1, получена оценка и(г)\\ ^ Мехр(-«2^)|М|.

Доказана точность оценки в широком классе неограниченных областей.

Приступим к формулировке нашего результата сначала в предположении, что й = з(х).

Векторы ^ = и числа А^,., Ар в случае параболического уравнения определяем формулами ^ = с^и

4 = I(5|+ йд2)ах\д е СП1Г \Г[), / д2 йх = 1}, где - {х | (г, х) е 14}.

Будем предполагать, что существует число 0 > 0 такое, что при всех N > 0 выполняются неравенства а0 < г = 1, яг е ш?. (0.40) оо

Аналогично, описанное выше представление О, ~ У при выпол

N=0 нении неравенств (0.40) будем называть А-разбиением области, соответствующим задаче (0.29), (0.34), (0.35).

Ради некоторых упрощений, будем считать, что выполнено неравенство

А = I(5|У<7|2 + (1д2)(1х\д е С5°(КП\Г5), { 92 ¿х = 1} > 0. (0.41)

Ввиду неравенства (0.40), в случае когда в = 1и граница области гладкая, этого можно добиться сдвигом нумерации N = N + 1.

Будем считать, что начальная функция имеет ограниченный носитель. Иначе скорость убывания решения может существенным образом зависеть от начальной функции. Кроме того, как показано в работе [37], для расширяющихся областей нельзя получить оценку скорости убывания решения задачи (0.29)-(0.35) более сильную, чем оценка Нэша [52] для решения задачи Коши: и(1;,х) = <р Е Ь2(Шп) . Не ограничивая общность, можно считать, что эиррг/? С (при необходимости, можно сдвинуть нумерацию областей О,1* =

Потребуем, чтобы для выбранного разбиения и нашлась постоянная С такая, что для вектора с = {сг} при всех N = 0,1,. были выполнены соотношения

Пусть N(t) любая функция, такая, что N(t) < A([iV(i)])i, t > 0, A(N) = min{A, Х\\ г — 1, .р, v = 0,1, .N — 1}. В частности, можно взять N(t) = Nm(t) = max{N\N < X(N)t}. Ясно, что Nm(t) неубывающая функция.

Теорема 3. Пусть для области Q существует X—разбиение Q =

У удовлетворяющее условиям (0.40) и (0.41). Пусть в = в (ж) и лг=о коэффициенты уравнения удовлетворяют (0.30), (0.31), (0.32), (0.33), (0.42) и начальная функция имеет ограниченный носитель эирр^ С Тогда найдутся числа % > 0, М, такие, что решение х) задачи (0.29), (0.34), (0.35) при £ > 0 удовлетворяет оценке

Замечание. В случае равномерно параболического уравнения и первой смешанной задачи с помощью неравенства Нэша из (0.43) полуt > 0, г = 1 ,р. (0.42) оо

Ытыя) < MexP(-^«)|^|U2(i7).

0.43) чаем оценку

М*,а;)| < МгЦу\\ьт ехр(-х#(*/2)). Как и в случае эллиптического уравнения, оценка теоремы сущеоо ственным образом зависит от представления = |J £lN. В работе [18]

N=О для случая области Q с одной ветвью при краевых условиях первого рода показано, что "наилучшая" оценка (0.43) получается при минимально возможных расстояниях tN, при которых еще не нарушается условие (0.40) с фиксированным в. В случае сочетающихся краевых условий оо

0.34) описание оптимального представления Q = (J £lN для получения

N—0 наилучшей" оценки (0.43) затруднительно. Тем не менее, мы приводим широкий класс областей и распределений краевых условий, для которых оценка (0.43) точна по порядку стремления к нулю.

В общем случае, когда Гх С Г - произвольное ns = s(t, х), А — разбиение может не существовать. Причина в том, что числа Х\ могут быть нулями. В следующей теореме получена оценка с помощью идеи, использованной в работе А.К. Гущина [8] при исследовании второй смешанной задачи.

Определим функции

J (s(r,x)\Vg\2 + d(r1x)g2)dx

А(т, г) = inf ^-jr-—-, (0.44) ffeCg°(R»\r[) J g2dx 4 у од где ОД = {ж е О, | |ж| < г}, Г[ = {х | (г, х) G Гх}.

Теорема 4. Пусть u(t,x) - решение задачи (0.29), (0.34), (0.35) и скалярное произведение (х,с) > 0. Тогда найдутся числа % > 0, М, зависящие от Т, До (supp^ С f2[jRo])> что для всех t > Т справедливо неравенство

J u2(t,x)dx < Мех р (-^р) IMIW (0.45) п где вс = | £ > 0, а: 6 \ и г{€) любая такая функция, что ф < /о А(т,г(*))с*т.

В следующем утверждении для областей вращения установлена оценка снизу решения уравнения в дивергентной форме п

Пусть {.г/у} — П-последовательность для области вращения C¿f. При произвольном к > 0 определим множество

ЯАЩ = {х ~ Оь е I е гз+1)> 1Ж1 < ~ *з)}

Теорема 5. Пусть - П-последовательность. Пусть существуют числа £ (0,1], С > 1 такие, что выполнены неравенства

3 < < I, л = (0.47) ^■+1 - г, ¿з и

8{х)<Сз(у), ж^едЛЧ- - (0.48) начальная функция неотрицательна и <р ф 0, то найдутся положительные числа К, а такие, что для решения задачи (0.46), (0.34), (0.35) при t > 0 справедлива оценка снизу

1Н01М) > «ехр(0.49)

Таким образом, теорема 5 выделяет условия, при которых оценка (0.43) для уравнения (0.46) в случае областей вращения точна по порядку стремления решения к нулю.

Рассмотрим примеры при Г2 = 0, показывающие, что решение и вырождающегося параболического уравнения в области вращения Г2/, г) = yfr может убывать существенно быстрее (медленнее), чем решение равномерно параболического уравнения (s = 1). Существуют положительные числа г и Т такие, что

1. для равномерно параболического уравнения s(x) = 1 : exp(-i^)|H|L2(n) < ||«(i) 11^(0) < ехр(-е^)|Мк(П), t>T

2. для неравномерно параболического уравнения s(x) = х\, exp(-^)|Mk2(0) < |Ki)|U2(0) < exp(-£t)||^|U2(n), t > Т.

3. для неравномерно параболического уравнения s(x) = exp(-^)|MU2(fi) < \\u(t)\\b2(n) < ехр(—t > Т. с

В "сужающихся"областях вращения Qf, f(r) = r-a, а > 0 для неравномерно параболического уравнения с s(r, х') = г~2а~Р, ¡3 > 0 оценка теоремы принимает вид:

J u2(t,x)dx < Мех р (-/ets^r) \\ip\\lm. п

Другие примеры, при Г2 ф 0, приведены в §5 второй главы.

1. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и б-го порядков в неограниченной области // Матем. сб. 2004. Т.195. №3. С. 115-142.

2. Владимиров B.C. Уравнения математической физики — М.: Наука, 1971. 512 с.

3. Гилимшина В.Ф. Об убывании решения неравномерно параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. №2. С. 235250.

4. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка // Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. 1973. Т.126. С. 5-45.

5. Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1976. Т. 101(143). С. 459-499.

6. Гут^н А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1982. Т. 119(161). №4. С. 451-508.

7. FywpiH А.К., Михайлов В.П., Михайлов Ю.А. О равномерной стабилизации решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка//Матем. сб. 1985. Т.128. С. 147—168.

8. Гущин А.К. Некоторые свойства обобщенного решения второй краевой задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1975. Т. 97(139). №2(6) С. 242-261.

9. Гущин А.К. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка, Матем. сб., 1988. Т. 137. Ж. С. 19-64.

10. Гущин А.К. Некоторые свойства решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1998. Т. 189. №7. С. 53 90.

11. Гущин А. К. О внутренней гладкости решений эллиптических уравнений второго порядка // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46. №5. С. 1036— 1052.

12. Гущин А.К. О гладкости решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с квадратично суммируемой граничной функцией // ДАН СССР. 2007 Т. 415 №1. С. 1-4.

13. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности//Дифференц. уравнения. 1988. Т.24. С.288-299.

14. Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений// Матем. сб. 1977. Т.104(146). С.597-616.

15. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624.

16. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при £ —> оо решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. 2000. Т. 191. №2. С. 91-131.

17. Кожевникова Л.М. О классах единственности решения первой смешанной задачи для квазилинейной параболической системы второго порядка в неограниченной области // Известия РАН. 2001. Т. 65. №3. С. 51-66.

18. Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения // Матем. сб. 2005. Т. 196. №7. С. 67-100.

19. Кооюевникова Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для квазиэллиптических уравнений // Изв. РАН, 70:6 (2006), 93-128.

20. Кожевникова JI.M., Мукминов Ф.Х. Убывание решения первой смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка с младшими членами // ФПМ, 12:4(2006), 113-132.

21. Кожевникова Л.М. Классы единственности решений первой смешанной задачи для уравнения щ = Аи с квазиэллиптическим оператором А в неограниченных областях // Матем. сб. 2007. Т. 198. №7 1. С. 59-102.

22. Кооюевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. 2008. Т. 199. №8, 61-94.

23. Кондратьев В.А., Эйдельман С.Д. О свойствах решений линейных эволюционных систем с эллиптической пространственной частью. // Матем. сб. 1970. Т. 81(123). С. 398-429.

24. Кондратьев В. А. О разрешимости первой краевой задачи для сильно эллиптических уравнений // ДАН СССР, 136:4 (1961), 771-774.

25. Кондратьев В.А., Эйдельман С.Д. Положительные решения линейных уравнений с частными производными // Тр. ММО, 31 (1974), 85-146.

26. Кондратьев В.А., Коначек Н., Левеншвим Д.М., Олейник O.A. Неулучшаемые оценки в пространствах Гёльдера и точный принцип Сен-Венана для решения бигармонического уравнения // Тр. МИАН СССР, 166 (1984), 91-106.

27. Кульсарина H.A., Гилимшина В.Ф. Точная оценка скорости убывания решения параболического уравнения второго порядка при t —оо // Известия высших учебных заведений. Математика. №4, 2007. С. 35-44.

28. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

29. Ладыженская O.A., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. — 576 с.

30. Ландис Е.М. О поведении решений эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Тр. ММО, 31 (1974), 35-58.

31. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971.

32. Лежнев A.B. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1986. Т.129. №2. С. 186-200.

33. Миклюков В.М. Об асимпотических свойствах субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа и отображений с ограниченным искажением // Матем. сб., 111:1 (1980), 42-66.

34. Михайлов В.П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей // Матем. сб., 101(143):2(10) (1976) 163-188.

35. Михайлов В. П. О существовании граничного значения у бигармони-ческих функций // Матем. сб., 195:12 (2004), 81-94.

36. Михайлов В. П. О существовании граничного значения у полигармонической функции // Сиб. матем. журн., 46:5 (2005), 1125-1137.

37. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для системы уравнений Навье-Стокса: Дис. докт. физ.-матем. наук. М.: МИРАН, 1994. 225 с.

38. Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. №10. С. 1172-1180.

39. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1980. Т.111(153). Ш. С. 503-521.

40. Олейник O.A., Иосифъян Г.А.О единственности решения смешанной задачи для уравнений теории упругости в неограниченной области // УМН. 1976. 31. №5. С. 247-248.

41. Олейник O.A., Иосифъян Г.А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб., 112:4 (1980), 588-610.

42. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Аналитичность и теоремы типа Ли-увилля и Фрагмена-Линделефа для общих эллиптических систем уравнений // Матем. сб., 95:1 (1974), 130-145.

43. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравения. 1989. Т. 25. №3. С. 491-498.

44. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. Поведение решений квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченных областях // ДАН УССР, сер. А, 9 (1984), 23-27.

45. Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при t —> оо решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка//Дифференц. уравнения. 1991. Т.27. №10. С.1795—1806.

46. Ушаков В. И. О поведении решений третьей смешеанной задачи для параболических уравнений второго порядка при t —у оо// Дифференц. уравнения. 1979. Т.15. С.310-320.

47. Ушаков В. И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области // Матем. сб. 1980. Т.111(153). С. 95-115.

48. Хисамутдинова Н.А. Стабилизация решения двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области с несколькими выходами на бесконечность // Матем. сб. 2003. Т.194. №3. С. 83— 114.

49. Шишков А.Е. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях. // Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28. №6. С. 134-146.

50. Харди Г.Г., Литтлъвуд Дэю.Е., Полиа Г. Неравенства . М.: Издательство иностранной литературы, 1948, 456 С.

51. Moser J.A. Harnack inequality for parabolic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1964. V. 17. №1. P. 101-134.

52. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations//Amer. J. Math. 1958. V.80. P. 931-953.