Параболические уравнения высокого порядка в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ3.

ГЛАВА I. ЗАДАЧА КОШ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАСТУЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Ц ( R")

§ I. Основные обозначения и вспомогательные утверздения18.

§ 2. Формула параметрикса и основные утверждения для случая уравнения высокого порядка26.

§ 3. Оценка норм некоторых оператор-функций28.

§ 4. Некоторые свойства оператор-функций УЦТ) и доказательство теорем 1,1.-1.3.41.

ГЛАВА П. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИЛЬНО ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В КЛАССАХ РАСТУЩИХ ФУНКЦИЙ.

§ 5. Задача Коши для параболических систем в пространстве

MR")--------------------- 53.

§ 6. Задача Коши для сильно параболических систем в пространстве LjRn) с весом 59.

ГЛАВА Ш. НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СИЛЬНО ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

§7. Разбиение единицы и определение класса

O^jnjtthty) 63.

§ 8.Оценка нормы оператор-функции Н(Ь,%)?0.

§ 9.Доказательство теоремы 3.2.88.

РМ; D)U(x.i), CD

О г где

P(xJ;b) = ZL CLJX,i)b°

Ul дифференциальное выражение (д.-в.) , с коэффициентами^являющимися квадратными матрицами порядка А/ , определенными в ци -линдрической области

Здесь

S} С R" — произвольная (ограниченная или неограниченная) область.

В последнее время наряду с общими краевыми задачами для равномерно параболических систем, интенсивно изучаются параболические системы с растущими коэффициентами в неограниченных об -ластях, вырождающиеся параболические системы, а также уравнения, коэффициенты которых могут иметь сингулярности на некоторых многообразиях, в частности, на границе области.Интерес к таким классам уравнений возрастает, так как уравнения, описывающие некоторые диффузионные процессы, и некоторые процессы тепло-мас-сообмена принадлежат к ним.

В основополагающей работе И.Г. Петровского [ I ] введен широкий класс параболических систем дифференциальных уравнений и для них установлена корректная разрешимость задачи Коши в классе ограниченных функций.Коэффициенты системы предполагались зависящими только от времени t

Результаты работы [i] были обобщены С.З.Бруком [2-3J для параболических систем, коэффициенты которых являются ограниченными функциями пространственных переменных X .

Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе растущих функций вида

I ucocJ)i < с гс1°с1 , с,с 7 о, (2) была установлена А.Н.Тихоновым [4 J . Кроме того, им построен . пример ненулевого решения задачи Коши с нулевыми начальными данными, удовлетворяющий неравенству ^^

I u(x,i)\ & с т.е. принадлежность классу вида (2) является достаточным для единственности решения задачи Коши.Хольмгрен [5] расширил класс единственности до класса с Ш <Сп\зс. 1

I Шэс,£)| < с г

Затем Тэклинд [6] нашел точный класс единственности-решения задачи Коши для уравнения теплопроводности единственно в классе сIxl hCuci)

I щхЛ) | < с г тогда и только тогда, когда положительная неубывающая на №+<&[ функция h(t) удовлетворяет условию лО dr +■ ос i Ыг)

О .А. Ладыженская [ 7 ] доказала корректную разрешимость задачи Коши для одного параболического уравнения (I) ( А/-1) с коэффициентами; не зависящими от X , в классе быстро растущих функций вида аи-1

I Шхл) I < с е

Далее^С.Д.Эйдельман [8-9] обобщил этот результат,,сначала на случай параболических систем, коэффициенты которых являются ограниченными функциями X ,затем и на случай диссипативных систем L10—IX3 с растущими младшими коэффициентами, такими, что jim-JoU iajx,i)i с с, а + loci) ^ t

Получены также точные оценки фундаментальной матрицы решений системы (I).

Я.И. Житомирский [12] исследовал задачу Коши для стационарной параболической системы (3), в которой старшие коэффициенты ограничены вместе с производными до порядка 5LM +1 включительно, а младшие коэффициенты С^I) ( /dLj am ) удовлетворяют неравенствам

I tfajx,i)\iCA a + о ) где п * , ««-WI

Получены оценки фундаментальной матрицы решений (матрицы Грина задачи Каши ) и её производных : n+jp\ a/yi

I tf , А тЩф^сЬ^ы где О о < "i- t < I, x, у e R , а постоянные A , 8 зависят от Т , причём С >6 С Т-{оут'\

Основываясь на оценках (4) Я.И. Житомирский доказал, что если коэффициенты сопряженной системы

-di где

Рtf(cC(xA)-)J lAUaw также удовлетворяет условиям (3 ), то решение задачи Коши t (5)

W{X,0) = UJoc) , единственно в классе функций

J1 1 U(*U)| * I l ^ j , (6)

В работе Г.Н. Золотарева [13] показано, что для параболических по И.Г.Петровскому систем с гладкими ограниченными коэффициентами, решение задачи Коши единственно в классе Теклинда функций, удовлетворяющих неравенству

I ЬНи(ХЛ)\ С ЛОСр I Ь С 1X1 ) j ^ (7) где Ь (1) - неубывающая положительная функция такая, что о<=> i h сг)

Кроме того, если коэффициенты постоянны, то условие (Й является также необходимым.

Затем B.C. Рыжий для параболических систем с растущими коэффициентами типа (3 ) доказал [14 J единственность решения задачи Коши в классе функций (7) - (?').

Классы единственности решений краевых задач и задачи Коши для общих параболических систем получены О.А.Олейник [15 - 1б] , О.А. Олейник , Е.В. Радкевич [ 17 ] .

Смешанные задачи методами теории потенциала были исследованы в работах В.П.Михайлова [18] ,Т.Я. Загорского (19J и др. Смешенные задачи для систем более общей конструкции с помощью метода регуляризатора детально изучил В.А. Солонников [20] . Матрица Грина однородной параболической граничной задачи в произвольной цилиндрической области полностью описаны С.д.Эидельманом и С.Д. Ивасшпеным [21] , а общей неоднородной граничной зада-чи-в работе С.Д.Ивасишена [22 J .

Краевые задачи для параболических уравнений второго порядка с растущими коэффициентами ( включая старшие), изучены Аронсоном Д., Бесала П. [23 J , А.Г.Гагнидзе [24] и др.

Общие краевые задачи для параболических по И.Г. Петровскому систем с растущими младшими коэффициентами в неограниченных.цилин.>-дрических областях .исследовали С.Д.Ивасишен и В.П. Лавренчук [25-27] .

Исследованию вырождающихся параболических уравнений 2 -го порядка посвящены работы Г.Фижеры [28] ,0.А.0лейнкк L29] ,Бре-зис , Розенкрац, Зингер [ 30 ] , Глушак А.В. t 31J и др. Различным . классам вырождающихся параболических систем, а также системам, тлеющим сингулярные коэффициенты , посвящены работы М.И. Матийчука [32] , С.Д. Шмулевича[33] , В.И. Шевченко £34J , А.П.Малицкой [35 - 36] , Л.Г. Купцова [37] , И.Д. Лукальского [38] и др.

Отметим, что в связи с изучением спектральных сеоисте эллиптических операторов, некоторые классы граничных задач для стационарных параболических уравнений и систем с растущими коэффициентами, изучены в работах А.Г. Костюченко f 39 J ,С.Д. Шмулевича [40 J , Ш.К. Баямова [4l] , К.Х. Бойматова и А.Г. Костюченко £42 J и др. С.Д.Эйдельман, Ф.О. Порпер [ 43 ] изучили оценки L^ -норм сильно диссипативных систем.Общий случай граничной задачи исследовали С.Д. Ивасишен, В.П. Лавренчук [27] , которые установили оценки матрицы Грина, аналогичные оценкам в С 39, 43 ] .

Из анализа работ становится ясно, что исследовались параболические уравнения и системы высокого порядка в основном с растущими младшими коэффицентами.До настоящего времени, также не рассматривался класс параболических уравнений высокого порядка в цилиндрической области с произвольным ( ограниченным или неограниченным )основанием, эллиптическая часть которых является сильно выровдающимися дифференциальными выражениями класса Трибеля, т.е. такого д.-в. , который имеет сильное вырождение около границы области и на бесконечности ( если область бесконечна)гспециального вида.

В настоящей работе изучается задача Коши для параболического уравнения ж сильно параболической системы высокого порядка с растущими коэффициентами^ включая старше ) цри . в пространстве L^CR ) 9 а. также в пространстве растущих функций ( Li - с весом).Устанавливается корректность начальной задачи для некоторого класса сильно вырождающихся параболических уравнений в цилиндрических областях с ограниченным или неог- , раниченным основанием S2 : имеющим негладкую границу ЪЛ , Получено также интегральное представление решения задачи Коши и начальной задачи через специально построенный "параметрикс". Основным методом исследования является метод параметрикса Э.Э.Леви [ 44 ] .Только формула параметрикса строится из "локальных пара-метриксов".применением разбиения единицы области.В стационарном случае такие формулы параметрикса црименены для исследования асимптотики спект^ра широкого класса дифференциальных операторов в работах К.X. Бойматова , А.Г. Костюченко [42] и К.Х.Бойматова [45-47] ,Е.0телбаева [48] .

Результаты работы расширяют возможность применения метода параметрикс Э.Э.Леви для исследования параболических систем с растущими коэффициентами (включая старшие) , и некоторыми типами вырождения и сингулярности.

Работа состоит из введения, 3-х глав и списка литературы, насчитывающей 55 наименований советских и зарубежных авторов, объем работы - 9Ъ машинописных страниц.

В главе I рассматривается случай одного параболического уравнения (/tвида (I) в пространстве LA(Rn).

В § I приводятся основные обозначения и вспомогательные утверждения. Пусть коэффициенты д.в. Удовлетворяют следующим условиям :

RtiH + ajtxA)) > (PisГ+ qcx.\ для всех x,t)e ПТ(Й"), seR" где о > о , а

CjJLX>}yo непрерывная функция такая, что ^ — •

B.Для всех d , Idl = Xr>1,

I Vajxj)j 4 ;

I & yto , для всех CxJ) ефп) , где у = ( ) , X, такие, что V < < ^ (i + i/), яг, < ✓ , а V ( о< некоторое фиксированное число.

C. Для всех d , 0< для всех (Xti) в /Тр f R"J, где 0<%, < ^ ' л- I Va.uj) I < а ^fe), для всех £ ё Г7Т CR"1).

Приведем формулу "параметрикоа", которая нужна для формулировки результатов.

Пусть Qji), *f .(х\ М-финитные бесконечно дифференцируемые функции, такие, что 1 ■ к

Ifijx) - i , XG R , г i = I a f ,(x)=i в некоторой окрестности ЧРР Ч^ • Отметим ещё, что ^ № £ ^ >где - целочисленная решетка в R" ), а л

-K-i „-K+i

L » ^ ^

Введем оператор-функцию, действующую в следующим образом: ч-1

8) где (^Д)-псевдодифференциальный оператор ( п.д.о.) с символом t 0 с\ - j /, j L |ol|=^/rj ^ I J т.е. (t,t)-F QAb'Ajt)F, F-прямое -а Г -обрат

J kj J, ное преобразование Фурье в пространстве Шварца р

Обозначил через Н\{0)'Т) ; Ц.(R^jJ-npocTpaHCTBo вектор --функций U.(;i):[0,T]-? Ц/$ имеющих сильную производную по i , принадлежащую La(Rn) [49J . Имеют место следующие утверждения.

Теорема I.I Пусть для дифференциального выражения

- II

Ь) выполнены условия А - Д. Тогда существует число Т. > о такое, что в области ПТе(R J существует сильное решение U(',i) S И\(0}Т )? Ц(Ю] задачи Коши

I д(иь*}--Р(.Л-,Ъ)иЫ) : (9)

L UC-j с?') - W.C-) > которое можно представить в виде и.(-А) - УU,о) ас-) , о') где оператор -функция (о:ф}j определяется следующим образом: t

9 )

Уал) - Усы) + j m, г) fins) o^n, , принадлежит классу EL Co J), О+ЭС-с! mo

Теорема Пусть выполнены условия А-Д, и, кроме того для каждого фиксированного {, (о* i б 71) дифференциальное выражение является формально самосопряженным, т.е. 0 « /Э

Тогда сильное решение задачи Коши (9) единственно в классе

Н'{СоЛ), Ш1}.

Теорема!.3.( Об устойчивости решения)< Пусть выполнены условия теоремы1.2.Тогда для каждого Т (о<7< Т0 ) существует число Ир > Ci такое, что для сильного решения задачи Коши (9) справедлива оценка

Из теоремГ.143 следует корректность задачи Кощи в пространстве L>(R") .Приведем схему доказательства теоремы I.I.

В § 3 приводятся оценки норм некоторых о.-ф. Так как '■ С ( R") СЛ R")» то можно определить о.-ф.

J и , Uk C.t R") .

Характерное свойство о.-ф. И Li, t) заключается в следующем. При 0 й 1<Т о?ф. НИЛ) можно представить в виде

JL

RUO CelttrO , где С^- t 1 ,а о.-ф. допускают непрерывное продолжение на все Ц ( R h) ^ и , кроме того , существует число де. ( о <зе< i) такое, что

Х&Ъ & 13х(о,7) , т.е.

Как следствие,полупим, что

1 (ort'UT). (II)

Оценка (II) позволяет решить интегральное уравнение t г методом последовательных приближений в пространстве линейных ограниченных оператор-функций ~X(Lz(Rl). ~

В § 4 приводятся некоторые свойства о.-ф. доказательство теорем!! -13.

- 13

В частности доказано, что для любого 6 U^CR^^ tfu^UJ) - U0(- ) ( в смысле ЦЮ), -7Т+0

Jj ^с-Д))] УС1,г)иЛ ) - О.

1. Петроьский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций. Бюлл.МГУ, 1938, сер. А 1,вып.7.

2. Брук С.З. О задаче Коши для систем дифференциальных уравнений параболического типа. Изв. АН СССР, сер. матем., 1946,10, № 2.

3. Брук С.З. Фундаментальные решения систем дифференциальных уравнений параболического типа.-Докл. АН СССР,1948,60, № I.

4. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности.-Матем. сб. , 1935,42,№ 2, с. 199-216.

5. Holmgren Е. Sur les solutions quasianalytiques delaequations de la chaleur.- Arc.for. Matem. 1924, 18, p.64.

6. Teclind S. Sur les classes quasianalitiques des solutions des equations aux derivees partelles du type parabolique.- Rord. Acta. Requal Sosietatus Scientiarum,Upsali.1937,4,N10.

7. Ладыженская O.A. О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения. Матем. сб., 1950,25(69), & 2, с.175 - 184.

8. Эйдельман С.Д. Оценки решений параболических систем и некоторые их приложения.- Матем. сб., 1953, 33 (75), № 3, 359-382.

9. Эйдельман С.Д. О фундаментальных решениях параболических систем. -Шатем. сб., 1956,38 (80),В I, 51 92.

10. Матем. сб., 1961, 53,1& I, 73 136.

11. Эйдельман С.Д. О задаче Коши для параболических систем сс растущими коэффициентами.-Докл. АН СССР,1959,127,& 4, с.760 -763.

12. Эйдельман С.Д. Параболические системы.- М, Наука, 1964 -444 с.

13. Рыжий B.C. О единственности решения задачи Коши для параболических по И.Г. Петровскому систем с растущими коэффициентами.- Записки мех -мат.фак. ХГУ и Харьковского мат. общ-ва, 1963, 29, сер. 4.

14. Олейник О.А. О единственности решений краевых задач и задачи Коши для общих параболических систем.-Докл. АН СССР, 1975,220,6,с.34.

15. Олейник О.А. О единственности решения задачи Коши для общих параболических систем в классах быстрорастущих функций. Успехи матем. наук,1979,29,№ 5,с.229.

16. Олейник А.А., Радкевич Е.В. Метод введения параматра для исследования эволюционных уравнений. Успехи матем. наук, 1978,33,В 5.

17. Михайлов В.П. Решение смешанной задачи для параболической системы методом потенциалов.- Докл. АН СССР, 1960,132, Jfe 2, с. 291 294.

18. Загорский Т.Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа.Львов, 1961.

19. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболи -ческих систем дифференциальных уравнений общего вида.-Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, 1965, т. 83,с. 3-162.

20. Эйдельман С.Д.,Ивасишен С.Д. Исследование матрицы Грина однородной параболической граничной задачи.- Тр.Моск.мат. об-ва, 1970,23,с. 179 234.

21. Ивасишен С.Д. Матрицы Грина граничных задач для параболических по И.Г. Петровскому систем общего вида.- I Матем. сб., 1981, 114 (156) Дз I, с. II0-I66,

22. Матем. сб., 1981,114 (156)4, с. 523 565.

23. Aronson D.G., Besala P. Parabolic equations with unbounded coefficients. Jour. Diff. Equst., 1967, 3, N1, P.1-14.

24. Гагнидзе А.Г. Исследование параболических уравнений второго порядка с растущими коэффициентами методом введения параметра . Вестник Моск. ун-та, матем., механикаД981,J& 5, с. 33-37.

25. Ивасишен С.Д.Лавренчук В.П. 0 корректной разрешимости общих граничных задач для параболических систем с растущими коэффициентами.- Укр. матем. журнал, 1978,30,№ I,с.100-106.

26. Ивасишен С.Д. 0 корректной разрешимости параболических граничных задач в пространствах растущих функций.-Укр.матем. дурна л, 1982,34,1$ I.I

27. Ивасишен С.Д.,Лавренчук В.П. 0 матрице Грина параболических граничных задач с растущими коэффициентами. В кн.:0бщая теория граничных задач.Киев : Наук.думка,1983,с.81-89.

28. Фикера Г. О единой теории граничных задач для эллип-т-ико параболических уравнений второго порядка.-Период.сб. переводов, Математика, 1963, 7,1£ 6, с. 99-121.

29. Олейник О.А. О гладкости решений вырождающихся эллиптических и параболических уравнений.-Докл. АН СССР,1965,163,й 3,с. 577-580.

30. Brezis Н., Rosenkrantz W., Singer В. Ona degenerate elliptic-parabolic equation occurring in the theory of protablity.- Communic of Pure Applied. Math., 1971, 24, 113,p.395-416.

31. Глущак А.В. 0 вырожденном эллиптико-параболическом урав* нении е неограниченной области.-Сиб. мат. ж. ,1975,16,Ife 4,с. 691 699.

32. Матийчук М.И. Фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применения к краевым задачам.- I 1974, 10,№ 8 ; Ш 1975,II,№ 7; 1У 1978, 14, № 5.

33. Шмулевич С.Д. 0 начальной задаче для параболической системы вырождающейся на границе области.-В кн.:Тр.Всесоюзн. конф. по уравн. с частными произв., М.,1978,с. 352-354

34. Шевченко В.И. Задача совпадения минимального и максимального операторов для дифференциальных систем в области и её приложения. Автореферат.Дис. канд. физ-мат. наук, 1979,12 с.

35. Малицкая А.П. 0 фундаментальных решениях и стабилизации решения задачи Коши для одного класса вырождающихся параболических уравнений. -Дифферен. уравнения, 1975, II,№ 7, с.1316- 1330.

36. Малицкая А.П. Построение фундаментального решения для одного .\л;Кяасса вырождающихся параболических уравнений высокого порядка.» Укр. матем. ж.,1980, 32, № 6.

37. Купцов Л.Г. О фундаментальных решениях одного класса вырождающихся параболических уравнений.-В кн.:Тр. Всесоюз. конф. по уравн. с частными произЕ.,М.,1978,с.352-354.

38. Пукальский И.О. Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями и особенностями.Автореферат дис. канд.физика т. наук.-Киев, 1983 16 с.

39. Костюченко А.Г. Асимптотическое поведение спектральной функции само с опряженных э ллпитиче ских опера т оров.-В кн.: Четвертая летняя математическая школа,Наук.думка,Киев,1968, с. 42 117.

40. Шмулевич С.Д. О распределении собственных значений оператора самосопряженной эллиптической краевой задачи в неограниченной области.-Докл. АН СССР,1969,189,J& 5, с.959-962.

41. Баимов Ш.К. Свойства собственных значений и собственных функций общей несамосопряженной эллиптической краевой задачи в неограниченной области.-Дифференц. уравн.,1978,14, Н,с. 724-727.

42. Бойматов К.Х.,Костюченко А.Г. Распределение собственных значений эллиптических операторов во всем пространстве.-В кн.:Тр. семинара им. И.Г.Петровского, Изд-во МГУ,М.; 1976,вып. 2, с. ИЗ--143.

43. Эйдельман С.Д. ,Порпер Ф.О. Исследование поведения -норм решений сильно параболических систем с диссипацией.-Изв. АН СССР,сер. мат.,1973,37, № 3,с.676 690.

44. Levi Е.Е. Sulle equazione lineare totalemente eliitiche alle derivate partirali. Rend.Circ.Mateni. Palermo, 1907, 24,p.275-317. '

45. Бойматов К.Х. Спектральная асимптотика дифференциальных и псевдодифференциальных операторов. В кн.: Тр. семинара им. И.Г. Петровского, Изд-во МГУ, 1,1981,вып.7,с.50-100; II - 1983,вып.9, с.240-263.

46. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложение к краевым задачам. Докл. АН СССР, 1979, 247,№ 3, с.532 - 536.

47. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения. Тр. матем. инст-та АН СССР, 1984 ,т.170

48. Отелбаев М. К методу Тит^марша оценки резольвенты.-Докл. АН СССР, 1973, 211

49. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.Мир,М.:1969, с.427.

50. Tpebel Н. bp-theory for a class of singular elliptic differential operators. -Czechoslovak Matii.Journal, 1973, 23, N47, P.525-5^1.

51. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. Мир, М.: 1980 664 с.

52. Юсупов А.К. 0 существовании и единственности решения задачи Коши для параболических уравнений с растущими коэффициентами. В кн. Тезисы респ. научно-теор. конф. молодых ученых и специалистов Тадж ССР, посвящ. ХХУ1 съезду КПСС, Душанбе 1982,с.27-28.

53. Юсупов А.К. О задаче Коши для параболических уравнещш.'с^растущими коэффициентами.-Душанбе, 1983 13 с -Рукопись предстваЕле-на редколлегией журнала " Изв. АН Тадж ССР.Отд.физ-мат.хим. и геол. наук."Деп.ВИНИТИ, 15 ноября 1983 г. Ш 6075 - 83.

54. Юсупов А.К. О системах параболических уравнений с растущимикоэффициентами. В кн.: Тезисы респ. научной конф. по уравнениям математической физики,Душанбе, 1983, с. 141

55. ЮсупоЕ А.К. О некоторых классах сильно вырождающихся параболических уравнений. Докл. АН Тадж ССР, 1984, т. 27, № 8.