О параболических уравнениях высокого порядка в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Обозначения, определения и используемые факты.

§1. Обозначения.

§2. Определения.

§3. Используемые факты.

Глава 2. Теорема существования обобщенного решения для параболического уравнения высокого порядка в неограниченной области.

§1. Априорные оценки.

§2. Теоремы единственности.

§3. Принцип максимума.

§4. Теорема существования обобщенного решения в неограниченной области.

Глава 3. О поведении обобщенных решений параболических уравнений высокого порядка в окрестности граничной точки и

§1. Априорные оценки.

§2. Поведение обобщенного решения параболического уравнения высокого порядка в окрестности граничной точки и при

§3. Теорема типа Фрагмена-Линделёфа.

Глава 4. Стабилизация при i~*°o решения параболического уравнения высокого порядка, убывающего на множестве положительной меры.

§1. Об оценке ограниченных, на некотором множестве, решений эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами.

§2. Стабилизация при 00 решения параболического уравнения высокого порядка, когда решение убывает на фиксированном множестве.

§3. Стабилизация при решения параболического уравнения высокого порядка, когда решение убывает на семействе множеств с убывающими мерами.

Настоящая работа посвящена параболическим уравнениям высокого порядка, заданных в неограниченных областях в /R

В работе рассматриваются три круга вопросов. Первый круг вопросов, содержащийся в главе 2, посвящен теореме существования обобщенного решения параболического уравнения высокого порядка в цилиндрической области GHO.D . из класса где G -неограниченная область в /R".

Второй круг вопросов, который содержится в главе 3, посвящен изучению поведения обобщенных решений параболических уравнений высокого порядка, заданных в областях при

О и при t , когда сечения области описываются в терминах размера внутреннего диаметра с точностью до емкости. Доказана также теорема типа Фрагмена-Линделёфа для цилиндрической области G * 0) , где G C/R"-неограниченная область, описываемая в терминах размера внутреннего диаметра с точностью до емкости.

Третий круг вопросов, который содержится в главе 4, посвящен стабилизации классических решений параболических уравнений высокого порядка заданных в дивергентной форме с аналитическими коэффициентами, убывающих на множестве положительной меры.

Вопросы изучаемые в настоящей работе являлись объектом исследования многих авторов.

Априорные оценки, аналогичные оценкам из §1 второй главы и теоремы единственности для уравнений второго порядка, получены в fSJ> при условии, что решение, априоры, принадлежит классу

-5. Там же получены аналогичные априорные оценки и теоремы единственности для параболических систем для гладких классов решений.

Заметим, что априорные оценки, полученные во второй главе, являются аналогом оценок для фундаментальных решений параболических уравнений высокого порядка, которые приведены в [14] и [18] .

Теорема существования обобщенного решения для параболического уравнения второго порядка и для параболических систем из класса когда 6 -ограниченная область, доказана в [isj.

В третьей главе решения параболического уравнения высокого порядка рассматриваются в области сечения которой плоскостями Ь - V описываются в терминах размера внутреннего диаметра с точностью до емкости. Сами обобщенные решения рассматриваются из класса

Понятие емкости множества из /Д" впервые было дано В.А.Кондратьевым в

3J и В.Г.Мазьёй в г].

Теоремы 3.1-3.3 являются аналогом теорем полученных в [в]. -[8], для случая, когда изучаемая граничная точка является вершиной параболлоида. Теорема типа Фрагмена-Линделёфа, для цилиндрической области Gx(~°°l 0), доказанная во второй главе, является переносом на параболический случай соответствующей теоремы для эллиптических уравнений, которая доказана в /

Теорема 4.1, о стабилизации решения, в той форме, в которой она сформулирована в настоящей работе, для параболических уравнений второго порядка доказана в /3 J'. При этом мы требуем аналитичность коэффициентов уравнения, чтобы воспользоватся результатом работы

12]

Заметим, что в случае бесконечно дифференцируемых коэффициентов, без дополнительных условий, теорема не верна.

Перейдём к более подробному изложению содержания работы. Работа состоит из четырёх глав.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней даются обозначения, определения и используемые в работе факты.

В частности, вводится оператор Ъ/dt+l , где оператор

Q«(X;t)$) , определённый в области таков, что

3\>0 такое, что I/(X; 6)е 2) и имеет место

М'2/t

А°

Вводится понятие обобщенного решения из класса V для цилиндрической области где ь -область в iRn и по

0 • i нятие обобщенного решения из класса для произвольной области

0 с//?"".

Доказаны следующие равенства. i? * О J |)

I. Пусть U (X; t) & V I G * (ti; 121/-является обобщенным решением уравнения Ц^ + Luzf , где -ftehif G * (ti-, . Тогда

Vt'ftbt,] справедливо равенство: it t

J /U*(X;Z)C/CC / + //uluo/0Co/Z = /fjP.UG/3Co/Z. G ti ti G tt С

Доказано также аналогичное равенство, когда обобщенное решение U(ОС; Ь) принадлежит классу

II. Пусть область $)CIR Усодержится в цилиндре * (tut*) , где QI -шар в с центром в начале координат и с радиусом равным 2. Пусть Сх, cGz9 при , где -сечение области 2) плоскостью t-Z ,

О g £

Тогда, если -является обобщенным решением уравнения Ln~f , где f 2)1, то Vie ft.j Ы имеет место равенство: t и/ и *(Х; i, )о/х J + J/ubuofcco/t =

Gt Gt, Gr t

--J/fuofxo/t. ti Gt

Приведено также аналогичное равенство, когда обобщенное решение ЫС X; t) принадлежит классу

Во второй главе доказана теорема существования обобщенного решения U(X; t) из класса уравнения U^ + Lu-f , в цилиндре Ц0;Г- G*(0;T) , где ^/^-неограниченная область, удовлетворяющая нулевым условиям Дирихле на боковой границе цилиндра и начальной функции

Приведём формулировку этой теоремы.

Теорема 2.4. Пусть GС/РП-неограниченная область и Llo;r-~G*(0;T) -цилиндр в //]*' .

Пусть fe L2;eoC fUQ,Ti такова, что

7- ' riMrn**"*™

Л up J/f4*Jt/e /< ~ ос/.-j»

Пусть JGf такова, что ей» he* / чу*/е ичтсе>'т }<-.

Г JOC°hJ> Qi

Тогда в цилиндре Цол определено обобщенное решение U(x, t) уравнения Ut+ Lu= р , удовлетворяющее нулевым условиям Дирихле на боковой границе д£*{0;7~) цилиндра Li o r и начальному условию и , и такое, что ей, /*ир //иуосо/t/ешшшш> i-o.

Г-*00 /х»/'р О 0,x'

Доказаны также теоремы единственности обобщенных решений.

Третья глава состоит из трёх параграфов.

В первом параграфе доказаны априорные оценки, а во второй следующие теоремы.

Теорема 3.1. Пусть. Пусть область Я) расположенная в полупространстве такова, что Czi с Gz,г , при > , где Gt -сечение области 2) плоскостью t = Z .

Пусть внутренний диаметр каждого сечения Gt с точностью до емкости Jf равен Z(t) , где Z(t) таково, что -tsGtZ** (t) ,

Пусть /Л*[К-е-С-гЧ-1)Ш1-Ч-и)**1 где К и в -постоянные, зависящие от размерности пространства, С -постоянная, зависящая от уравнения, a Zz(~4)~Cl Пусть СХ>0 такое, что Л1 < ^

Пусть в области Я) задано обобщенное решение U(OC; t) * tW^fS) I уравнения Ut+Lu - Ot удовлетворяющее нулевым условиям Дирихле на ас* для почти всех t . Тогда для произвольной точки имеет место оценка

0 0 - X. / u'c/xc/t // / e/xe/t < C'fcj'** ^,

1 -/tJ где - W Г*"'} j^. Hit J Од". q;: *ft- Z I; nr>= 0, i,., о о с J J /// cioco/t

-i Qfib -i функцию U(X;t) пологаем равной нулю вне области

2)1.

Теорема 3.2. Пусть . Пусть область <0 расположенная в полупространстве такова, что , при Z*> г£з , где Gz -сечение области .2) плоскостью t"'Г .

Пусть внутренний диаметр каждого сечения Gt с точностью до емкости J равен Z(t) , где Z(t) таково, чтопусть П'[к-е-с-г*(-о/ха-ч^)п]чп*" , где к и

-постоянные, зависящие от размерности пространства, С -постоянная, зависящая от уравнения, а Пусть Gf>0 такое, что Л1<1 и Z(-i)<iJ2 .

Пусть в области V задано обобщенное решение и(ос; уравнения U^+LU- О , удовлетворяющее нулевым условиям Дирихле на для почти всех t .

Пусть коэффициенты оператора L таковы, что

Ъ*аАЩ; h зе- г У; г)! /,

73 lidl'-L /Mhl *

Сзе -предпологается больше 1 }.

Тогда для произвольной точки ЗС°е//?п имеет место оценка

J J tfdtxctt/j J d*Jt>4Hc'IU" в"4,

J cis где - irn= V j j>m=4/tm/ ; m* О

-100 о с'- / / ufo/ocdt /// с/х o/t

Ч-Н Qf:t Q*<:< функцию uCX;t) пологаем равной нулю вне области Я)).

Заметим, что теоремы аналогичные теоремам 3.1 и 3.2 можно доказать и в случае >П , когда сечения области -о описываются в терминах размера внутреннего диаметра и в случае, когда сечения области £) описываются в терминах размера внутреннего диаметра с точностью до меры.

Теорема 3.3. Пусть в области $)-/(X;t)''-t у&/х/ ; t<Oi задано обобщенное решение U(OC; t)eW* iS)) уравнения М* + + Лц = 0, удовлетворяющее нулевым условиям Дирихле на д Gt для почти всех Ь , где -сечение области 0 плоскостью

Пусть 1Л--С[(1-ГиРУа"*]2п*П , где С-постоян-ная, зависящая от уравнения.

Пусть Q>0 такое, что

Тогда имеет место оценка о О .X впП / wVxo/d/// J*Jt<c4UH ** ,

QtfnGt -ItJQ^nGt где - imr 2~9nt*J J>„= lt„/a/4'2*; т*0} i о о c'= // u4xo!t/// o/oco/t.

Для области 2) = j(X; t У-'t > Of IZCl*^-, t <О/ -можно доказать теорему, аналогичную теореме 3.2.

В третьем параграфе доказана следующая теорема типа Фраг-мена-Линделёфа.

Теорема 3.4. Пусть . Пусть

-неограниченная область. Пусть в цилиндре Gx(-°°; 0) определено обобщенное решение U(X;t)€ VL°jU-oo;oi уравнения Ut+Lu= О удовлетворяющее нулевым условиям Дирихле на боковой границе х С- 0) цилиндра Ц-оо:о. Пусть Z и у -положительные числа и внутренный диаметр области G меньше 2 Z с точностью до емкости tf .

Существует Zo , зависящее от tf Г и от оператора L) такое, что при имеет место альтернатива: либо U(X;t)= О t либо выполняется неравенство аЧХои/еи'п>П>о

J>^oo -J> lx!<fi функцию U(X;i) пологаем равной нулю вне цилиндра Li-00' .

Четвёртая глава посвящена стабилизации при решения параболического уравнения высокого порядка, убывающего на множестве положительной меры.

В области Р *ft*Oi рассмотрим оператор b/dt+L f где оператор таков, что такое, что

Ы1Ц /W

Vx€//?n и VT€У/?П имеет место н/Е

Предпологается, что коэффициенты аналитичны в/»".

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 4.1. Пусть U(X; t) -классическое решение уравнения Ut+Jiu~0 в области Рп*{&'0} . Пусть множество такое, что п -мерная мера Лебега те О (Е) множества/" больше нуля. Тогда если lu«Xst)/*/Л в !Rn*1t>0) и и(х;4)*0 при , когда осв£ 9 то U(OC;t)~*0 при для всех

ЗСб/?п, причем на кавдом компакте сходимость будет равномерной.

Теорема 4.2. Пусть в области /t"» ft* ot задано классическое решение U(Xjt) уравнения Ut+ Ь U = О .

Пусть Е -ограниченное множество в /Rn . Пусть множество ftc с-РпЧ содержится во множестве Е *jt * Of . Пусть At -пересечение множества-Л с П -мерной гиперплоскостью £s ^ , так, что = = U fit . Пусть S г' л-мерный шар с центром в точке ^Л)

Oi<t<CO и с радиусом равным Z , лежащий в гиперплоскости ь ~ (- . Пусть где di постоянная, зависящая от уравнения. Пусть >0, Пусть VT^fO; 00) 3 ЯГ-с такое, что П -мерная мера Лебега множества

SfVKftt не меньше Тогда, если /СЛХ;£)А/Ч в IRn*ft*0{ и ЫСХ-Л)^ О при 00 равномерно по fit, то есть

Ve уО ЭЬ^О такое, что g /ucx;t)/n /<6 , TO U(OC;t)-*0 при i-*00

I Sit

VoC€ /Rn, причём на каждом компакте сходимость будет равномерной.

Теорема 4.3. Пусть в области задано классическое решение U(X; t) уравнения U± + Lu = 0 . Пусть Et cS<z * х ft*Zi, где 5г , а eft >О -постоянная, зависящая от уравнения.

Пусть п -мерная мера Лебега те4

Et) множества £t стремится к нулю при t 00 .

Тогда, если /ц(Х;1)АтЧ в IRn*it*Ol и/oi(0C;t)/< 4[B(t)]ШШ на А , где <T<tb , £(t)*0 при t 00 , С -постоянная, зависящая от уравнения и размерности пространства, то Ы(Х; t)-*0 при Vxt/R" , причем на каждом компакте сходимость будет равномерной.

1. Е.М.Ландис, 0 поведении решения эллиптического уравнения высокого порядка в неограниченных областях, Тр. Моск. матем. о-ва, т. 31, 1974.

2. Б.Г.Мазья, Полигармоническая емкость в теории первой краевой задачи, Сибирский матем. ж., т. 6, №1, 1965.

3. Б.А.Кондратьев, 0 разрешимости первой краевой задачи для сильно эллиптических уравнений, Тр. Моск. матем. о-ва, т. 16, 1967.

4. О.А.Олейник, 0 единственности решения задачи Коши для общих параболических систем в классах быстро растущих функций, УМН, т. 29, вып. 5, 1974.

5. О.А.Олейник, Е.В.Радкевич, Метод введения параметра для исследования эволюционных уравнений, УМН, т. 33, вып. 5, 1978.

6. В.А.Кондратьев, Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях, Тр. Моск. матем. о-ва, т. 15, 1966.

7. В.П.Михайлов, 0 задаче Дирихле для параболического уравнения, Матем. сб., т. 61, вып. I, 1963.

8. В.П.Михайлов, 0 задаче Дирихле для параболического уравнения, Матем. сб., т. 62, вып. 2, 1963.

9. Г.Г.Гроза, Стабилизация при 00 решения параболического уравнения убывающего на множестве положительной меры, УМН, т. 31, вып. 3, 1976.

10. Е.М.Ландис, О.А.Олейник, Обобщенная аналитичность и некоторые связанные с ней свойства решений эллиптических и параболических уравнений, УМН, т. 29, вып. 2, 1974.

11. Н.С.Надирашвили, Об одном обобщении теоремы Адамара о трёх кругах, Вестник Моск. ун-та, Матем., механ., вып. 3, 1976.

12. Н.С.Надирашвили, Об оценке ограниченных на некотором множестве решений эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами, Вестник Моск. ун-та, .Матем., механ., вып. 2, 1979.

13. Л.Берс, Ф.Джон, М.Шехтер, Уравнения с частными производными, М., "Мир", 1966.

14. С.Д.Эйдельман, Параболические системы, М., "Наука", 1964.

15. О.А.Ладыженская, Краевые задачи математической физики, М., "Наука", 1973.

16. О.А.Ладыженская, В.А.Солонников, Н.И.Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М., "Наука", 1967.

17. Е.М.Ландис, Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов, М., "Наука", 1967.

18. А.Фридман, Уравнения с частными производными параболического типа, М., "Мир", 1968.

19. Г.Е.Шилов, Математический анализ, спец. курс, 1961.

20. Д.В.Нуцубидзе, 0 поведений решений параболических уравнений высокого порядка в окрестности граничной точки и на бесконечности, УМН, т. 38, вып. 6, 1983.

21. Д.В.Нуцубидзе, 0 разрешимости первой краевой задачи для параболических уравнений высокого порядка в неограниченных областях и об оценках их решений, Рукопись деп. в ВИНИТИ 21 декабря 1983 г., Р 6916-83 Деп.

22. И.Г.Петровский, ILut enten Ranc/ujez-Luf^o(6e c/ez WazmePetiunig £eic flung, G>mjo оз. mcttA., l/i, p. 383-419, /335.