Краевые задачи для параболических уравнений произвольного порядка в весовых пространствах Гёльдера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧЕРЕПОВА МАРИНА ФЁДОРОВНА

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГЁЛЬДЕРА

(01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 7 ЯН В 2011

Москва - 2010

4842940

Работа выполнена на кафедре Математического моделирования Московского энергетического института (технического университета).

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Бадерко Елена Александровна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Прилепко Алексей Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Романко Василий Кириллович

доктор физико-математических наук, профессор Скубачевский Александр Леонидович

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет Вычислительной математики и кибернетики

Защита диссертации состоится 16 февраля 2011 г. в 16 ч. 00 м. в ауд. 710а на заседании диссертационного совета ДМ 212.157.17 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просьба направлять по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан 12 января 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Григорьев В.П.

Актуальность темы. В области О С Rn X (0,Т), 0 < Т < +оо, рассматриваем линейное равномерно-параболическое уравнение произвольного порядка 2m (m — натуральное)

Lu = dtu+(-l)m £ £ b/(P)Ô'u = /(P), (1)

|/|=2m ¡¡¡<2m-l

где P = (x,t) = (xu...,x„,t) dt = d/dt, d = (<9b...,3„), 9,- = d/dx,, l = (/i,..., /„) — мультииндекс.

В диссертации изучаются краевые задачи для уравнения (1) в нецилиндрических областях с негладкими (по £), вообще говоря, "боковыми" границами. Эти области могут быть неограниченными (как по х, так к no i), а. их "боковые" границы — некомпактными. Кроме того, рассматривается задача Коши для уравнения (1) в полупространстве. Целью работы является исследование разрешимости (в классическом смысле) этих задач в весовых пространствах Гёльдера при условии, что младшие коэффициенты и правая часть уравнения могут расти определенным образом при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных в случае задачи Коши), а старшие коэффициенты удовлетворяют условию Гёльдера в каждой замкнутой подобласти рассматриваемой нецилиндрической области, причем соответствующие коэффициенты Гёльдера растут, вообще говоря, определенным образом при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных). В частности, старшие коэффициенты могут не удовлетворять условию Дини вблизи этой параболической границы (плоскости).

Разрешимость первой краевой задачи в пространстве Гёльдера C2,a(fi), 0 < а < 1, получена С. Чилиберто1 при п = 1 и А. Фридманом2 при п > '2. Аналогичный результат для задачи с косой производной установлен Л.И. Камыниным и В.Н Масленниковой3'4. В. А. Солонников5

1 Ciliberto С. Formule di maggiorazione е teorerai di esistenza per le soluzioni delle equazioni paraboliche in due variabli. // Ricerche Mat., 1954, v. 3, p. 40-75.

2 Friedman A. Boundary estimates for second order parabolic equations and their applications. // J. Math. Mech., 1958, v. 7, p. 771-792.

3 Камынин JI.И., Масленникова В.Н. Граничные оценки шаудеровского типа решения задачи с косой производной для параболического уравнения в нецилиндрической области. // Сиб. мат. ж., 1966, т. 7, №1, с. 83-128.

4 Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов. III. // Дифференц. уравн., 1966, т.

2, №10, с. 1333-1357.

6 Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида. // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова, 1965, т. 83, ч. 3.

доказал разрешимость краевых задач общего вида, удовлетворяющих условию Лопатинского, для параболических систем произвольного порядка в пространствах Ck,a(Q), где число к не меньше, чем порядок системы. Затем B.C. Белоносов6, В.А. Солонников и А.Г. Хачатрян7 рассмотрели краевые задачи для параболических систем произвольного порядка 2m в цилиндрических областях с гладкой границей класса С':,а, к > 2т, при условии, что начальные функции принадлежат классу С^, где число г < к (в том числе г < 2т), и правые части уравнений растут определенным образом при приближении к плоскости начальных данных, доказали разрешимость таких задач в весовых пространствах Гёльдера функций, старшие производные которых (порядка больше, чем г) не ограничены вблизи плоскости t = 0.

Исследование разрешимости краевых задач в пространствах Гёльдера в областях с негладкими "боковыми" границами при п = 1 было начато М. Жевре8 для уравнения теплопроводности. Л.И. Камынин в серии работ (см., например, 9) построил систематическую теорию гладкости параболических потенциалов для одномерного уравнения 2-го порядка Как следствие, он получил разрешимость краевых задач для этого уравнения в плоских областях с криволинейными "боковыми" границами. Е.А. Бадерко ввела обобщенный параболический потенциал простого слоя для одномерного уравнения порядка 2т и использовала его в 10 для решения краевых задач в областях с негладкими, вообще говоря, "боковыми" границами.

В многомерном случае Е.А. Бадерко11 построила интегро-диффе-ренциальный оператор, с помощью которого доказала разрешимость первой краевой задачи в пространстве С1,0Г(Г2) для уравнения 2-го порядка в полуограниченной области с некомпактной и негладкой (по t)

6 Белоносов B.C. Оценки решений параболических систем в весовых классах Гёльдера и некоторые их приложения. // Матем. сб., 1979, т. 110 (152), №2 (10), с. 163-188.

' Солонников В.А., Хачатрян А.Г. Оценки решений параболических начально-краевых задач в весовых гёльдеровских нормах. // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова, 1980, т. 147, с. 147-155.

8 Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique. // J. Math. Pur. Appl., 1913. Ser. 6, v. 9, №7, p. 305-471.

9 Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. VI. // Дифференц. уравн., 1972, т. 8, №6, с. 1015-1025.

10 Бадерко Е.А. О разрешимости граничных задач для параболических уравнений высокого порядка в областях с криволинейными боковыми границами. // Дифференц. уравн., 1976, т. 12, №10, с. 1781-1792.

11 Бадерко Е.А. О решении первой краевой задачи для параболических уравнений с помощью потенциала простого слоя. // ДАН СССР, 1985, т. 283, №1, с. 11-13.

"боковой" границей. Этот результат в общем случае нецилиндрической области с компактной границей класса С1,0 получен в работе автора12. Разрешимость задачи с косой производной в пространстве C1,Qr(fi) установлена Е.А. Бадерко13, ЛИ. Камыниным14.

Е.А. Бадерко в работах 1987-1992 гг. (см., например, 15>16) рассмотрела краевые задачи для 2то-параболического уравнения с граничными операторами порядка не выше 2т — 1, удовлетворяющими условию Лопатинского, и установила их однозначную разрешимость в пространстве С2т_1>а(П) nC2m,1(fi) в нецилиндрических областях с, возможно, негладкой (по t) и некомпактной "боковой" границей с помощью построенных ею векторного потенциала простого слоя для представления решения и интегро-дифференпиального оператора, позволяющего установить разрешимость системы граничных интегральных уравнений, индуцированной поставленной краевой задачей. Заметим, что в указанных работах поведение старших производных решения не исследовалось.

Подчеркнем, что во всех цитированных работах от правой части уравнения требовалось, чтобы она была ограничена в Ü. Кроме того, предполагалось, что коэффициенты уравнения — из класса Гёльдера С°'а(П), то есть они должны быть ограничены и равномерно гёльдеровы в fi. Это условие (вместе с условием равномерной параболичности уравнения) обеспечивает существование фундаментального решения задачи Коши для уравнения, что существенно использовалось в 9~16.

В 1980 г. Д. Гилбарг и JI. Хёрмандер17 доказали разрешимость задачи Дирихле в весовом пространстве Гёльдера для эллиптического уравнения 2-го порядка в ограниченной области класса С1,а при условии, что правая часть и младшие коэффициенты могут расти определенным образом вблизи границы области и все коэффициенты лишь

12 Черепова М.Ф. Решение задачи Бицадзе-Самарского для параболического уравнения в нецилиндрической области. Дисс. канд. физ.-мат. н. М., МГУ, 1987.

13 Бадерко Е.А. Решение задачи с косой производной для параболического уравнения методом граничных интегральных уравнений. // Дифференц. уравн., 1989, т. 25, №1, с. 14-20.

14 Камынин JI.IÍ. Приложения параболических потенциалов Паньи к краевым задачам математической физики. // Диффереяц. уравн., 1990, т. 26, №3, с. 487-496.

15 Бадерко Е.А. О решении методом граничных интегральных уравнений краевых задач для линейных параболических уравнений произвольного порядка в нецилиндричсских областях. Дисс. докт. физ.-мат. н. М., МГУ, 1992.

16 Бадерко Е.А. Краевые задачи для параболического уравнения и граничные интегральные уравнения. // Дифференц. уравн., 1992, т. 28, №1, с. 17-23.

17 Gilbarg D., Hörmander L. Intermediate Schauder estimates. // Arch. Rational Mech. Anal., 1980, v. 74, p. 297-318.

локально гёльдеровы с точным указанием характера гельдеровости. Затем Г.М. Либерман18 получил аналогичный результат в случае параболического 2-го порядка для первой краевой задачи и задачи с косой производной в ограниченной области. Отметим, что в 17'18 существенно использовалось условие ограниченности области, а также принцип максимума для уравнения 2-го порядка в ограниченной области.

В диссертации рассматриваются краевые задачи и задача Коши для параболического уравнения произвольного порядка с аналогичными 17,18 условиями на коэффициенты и правую часть уравнения в неограниченной, вообще говоря, области (как по х, так и по t) с "боковой" границей, которая может быть некомпактной. Заметим также, что существенное ослабление условий на старшие коэффициенты не позволяет строить фундаментальное решение задачи Коши для уравнения (1)(см. 1Э) и, следовательно, пользоваться методом работ9-16.

Цели и задачи работы. 1) Установление существования и единственности в весовых пространствах Гёльдера решений краевых задач и задачи Коши для уравнения (1) с описанными выше условиями на коэффициенты и правую часть уравнения. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

— исследование гладкости в весовых пространствах Гёльдера 2т-параболических потенциалов для "модельного" уравнения, в том числе, доказательство оценок для старших производных этих потенциалов;

— установление разрешимости в весовом пространстве Гёльдера краевых задач для "модельного" уравнения с неограниченной правой частью; в частности, получение оценки в бесконечной по "времени" области для решений систем граничных интегральных уравнений, к которым редуцируются эти задачи;

— получение априорных оценок в нормах весовых пространств Гёльдера решений краевых задач и задачи Коши для уравнения (1).

2) Построение шкалы гладкости в весовых пространствах Гёльдера решений краевых задач и задачи Коши для уравнения (1).

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории потенциала; метод решения систем интегральных урав-

18 Lieberman G.M. Second Order Parabolic Differential Equations. Singapore. World Scientific, 1996 (2005).

19 Ильин A.M. О фундаментальном решении параболического уравнения. // ДАН СССР, 1962, т. 147, с. 768-771.

нений, разработанный Е.А. Бадерко, и метод сжимающих отображений; методы априорных оценок и продолжения по параметру. Для вывода априорных оценок автором разработан метод, который позволяет получать априорные оценки решений краевых задач сразу во всей области (как ограниченной, так и неограниченной) для уравнений произвольного порядка. Этот метод можно применять и для систем произвольного порядка.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Исследована гладкость 2т-параболических потенциалов в весовых пространствах Гсльдера для "молельного" уравнения, содержащего только старшие производные с постоянными коэффициентами. А именно, рассмотрены объемный потенциал, плотность которого может расти определенным образом вблизи параболической границы области, обобщенный 2т-параболический потенциал простого слоя, введенный Е.А. Бадерко, и потенциал Пуассона. С их помощью получены достаточные условия принадлежности решений краевых задач и задачи Коши для "модельного" уравнения с неограниченной правой частью весовым пространствам Гёльдера и доказаны оценки для этих решений. Полученные оценки характеризуют, в частности, поведение старших производных решений краевых задач и задачи Коши при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных в случае задачи Коши).

2. В бесконечной по "времени" области рассмотрены системы граничных интегральных уравнений, к которым редуцируются линейные краевые задачи для "модельного" уравнения с порядком граничных операторов < 2т — 1. Показано (с помощью интегро-дифференциального оператора, построенного Е.А. Бадерко), что в случае неограниченной по £ области решения этих систем принадлежат классу функций, растущих экспоненциально по а также доказана оценка для этих решений. Как следствие, установлена разрешимость в весовом пространстве Гёльдера краевых задач для "модельного" уравнения с растущей (вблизи параболической границы области и при £ —> +ос) правой частью уравнения в неограниченных (как по х, так и Ь) областях с, возможно, негладкой (по £) и некомпактной "боковой" границей.

3. Доказаны априорные оценки в нормах весовых пространств

Гёльдера решений краевых задач и задачи Коши для общего 2т-параболического уравнения с переменными коэффициентами. Область, в которой рассматриваются задачи, может быть неограниченной (как по х, так и по £), "боковая" граница — негладкой (по £) и некомпактной. Предполагается, что младшие коэффициенты и правая часть уравнения могут расти определенным образом при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных в случае задачи Коши) и все коэффициенты уравнения локально гёльдеровы с точным указанием характера г'ельдеровости; в частности, коэффициент Гёльдера может расти определенным образом к бесконечности вблизи параболической границы области (плоскости-носителя начальных данных).

4. Установлена однозначная разрешимость в весовых пространствах Гёльдера краевых задач и задачи Коши для общего 2т-параболического уравнения с переменными коэффициентами при условии, что младшие коэффициенты и правая часть уравнения растут, вообще говоря, определенным образом при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных в случае задачи Коши) и все коэффициенты уравнения локально гёльдеровы с точным указанием характера гёльдеровости, причем коэффициент Гёльдера может расти определенным образом вблизи параболической границы области (плоскости-носителя начальных данных). При этом область, в которой рассматриваются краевые задачи, может быть неограниченной, а ее "боковая" граница — негладкой по 4 и некомпактной.

5. Построена шкала гладкости решений краевых задач и задачи Коши для общего 2т-параболического уравнения в весовых пространствах Гёльдера.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях различных задач для параболических уравнений и систем произвольного порядка, линейных и нелинейных. Она может служить теоретической основой для исследований задач, описывающих диффузионные процессы при химико-термической обработке металлов, а также при распаде перенасыщенных твердых растворов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре под руководством акад. В.А. Ильина, акад. Е.И. Моисеева, чл.-корр. РАН И.А. Шишмарева (ф-т ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова); на семинаре под руководством акад. Е.И. Моисеева и проф. И.С. Ломова (ф-т ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова); на семинаре под руководством проф. Ю.А. Дубинского и проф. A.A. Амосова (Московский энергетический институт); на семинаре под руководством проф. Е.А. Бадерко (мех.-мат. ф-т МГУ им. М.В. Ломоносова); на семинаре под руководством акад. В.А. Са-довничего и проф. А.И. Прилепко (мех.-мат. ф-т МГУ им. М.В. Ломоносова); на семинаре под руководством проф. А.Л. Скубачевского (Российский университет дружбы наполняв на меж лунаполных консЬе-

\ i ПГ 1 Г-1 / / f \щ/ ± i i ^

ренциях "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" им. И.Г. Петровского (Москва, 2001, 2004 гг.); на международной конференции "Тихонов и современная математика", посвященной 100-летию со дня рождения А.Н. Тихонова (Москва, 2006 г.); на международных конференциях "Информационные средства и технологии" (Москва, 2008, 2009, 2010 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Среди них работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разделенных на 24 параграфа и 32 пункта. Общий объем диссертации — 195 страниц. Список литературы содержит 108 названий.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан обзор литературы, связанной с темой диссертации, и изложено основное содержание работы.

Введем следующие обозначения: \х\ = (xf -f ... + х\)1!2, |Р) = |а;)+ +|f|i/2n». др = (да.)д4)> дгр = (Дх,0), AtP = (0,Ai), Аи{Р) = = и(Р + АР) - и(Р), Дх«(Р) = и(Р + АХР) - и(Р), Atu{P) = и(Р+ +AtP)-u(Py, а(Р)а = £ ai(P)al, а'= (а £ Rn)-

\l\-2m

Для любой области G С Rn+1 через C*'a(G) (к > 0 — целое,

0 < Q < 1, Л > 0) обозначаем пространство Гёльдера растущих, вообще говоря, по переменной t функций и : G -4 R, непрерывных в G вместе с производными д%д'и, 2ms + |i| < к, для которых конечно

выражение

k<Q

М|л ^^Tl^trr + Е sup I__u

0<t-2mH/|<2ra-i ОАЩ 1 |Ai|(t~2ms_l'l+a)/2m[exp(Ai) + exp(A(i + Af))] J +

+ E .. SUP .. i Т7ГГ!^7Г7Тл i ■

При A = 0 пространства Co'a(G) совпадают с пространствами Ck,a(G), используемыми для изучения решений праболических уравнений порядка 2т (см. 5,2°), в которых гладкость по пространственным переменным в 2т раз выше, чем по "временной". Нормы в этих пространствах обозначаем ||u;G||<,,a.

Пусть D = Rn х (0,Г), 0 < Т < +оо. Заметим, что D = Щ*1 при Т = +оо. Рассматриваем область Q С D граница которой t?fi = = HoUn^US, где По С Я" — область на гиперплоскости t = О, Пу С Rn — область на гиперплоскости t = Т, если Т < +оо, и Пт — 0, если Т = +со; Е — "боковая" граница Q, являющаяся n-мерной поверхностью. Область Q и поверхность Е могут быть как ограниченными, так и неограниченными (как по х, так и по t). Сечение Ег = Efl{f = т} для любых 0 < т < Т является (п-1)-мерной поверхностью, которая в каждой своей точке имеет касательную плоскость, лежащую в плоскости

t = T.

Предполагаем, что Е — из класса Гёльдера Ск'а для некоторого

1 < к < 2m — 1 (см.15,16). Естественным образом 15,16 определяются пространства Гёльдера Сд'а(Е), г < к, функций, заданных на поверхности Е. Через С\а{£) обозначаем подпространство {<р 6 Сд,а(Е) :

(р = 0 на Ео}.

Определил! весовые пространства Гёльдера функций, растущих, вообще говоря, при приближении к параболической границе области. Пусть Н = Е П По — параболическая граница П и Р £ П. Обозначим dp = Jnf \Р — Q\, Q — (£, т), — параболическое расстояние

20 Эйдельман С.Д. Параболические системы. М., Наука, 1964.

от точки Р до параболической границы Н области П. Пусть 5р— = min(ip, ¿Л), Р, А € П. Полагаем

||U;fi||k = 8ир{[тт(4-М)]|и(^)|ехр(-А«)},

II", П||л,в - 11«, + 1 |Ap|i[exp(Ai) + ехр(А(£ + At))}\'

Пространством Cji0(ii) (С£"(П))

называем пространство функций непрерывных в Q, для которых < +00 (!|«;П||л'о <

< +00.)

Для ограниченной по t области U рассматриваем также пространство (£^'а(П) функций и : Q R, непрерывных в i2, для которых

kft|0/ = sup{[min(i]fo,l)] |u(i>)|}+

+ sup {[тт(ЛЛр+Др,1)] |ДРи(Р)| |ДР|-°}<+оо.

fiJAi'l^O '

Определим весовые пространства Гёльдера функций, старшие производные которых могут расти при приближении к параболической границе области. Полагаем

||U;fi||g"a = |!tt;n||2r1'a+ £ lia'ujnifc + HftujniK;

[t[=2m

/яг . o\2m'Q — Ч1П ! [min(SPiF+AlP,l)] ¡А<д'и(Р)1

{0 U, 1 '/д а - flSUPo j |Af|(2m-|i|+a)/2m[exp(Ai) + exp(A(i + Дг))]

|/|=i

Пространством C$a(Q) (Сл2™'а(П))

называем пространство функций u:Q —t R, непрерывных в Q вместе с производными d'u, |/| <2т — 1, для которых ||tt; < +оо ([¡и; П||д™'а < +оо). Заметим, что функ-

ции из класса

обладают

дополнительной гладкостью по t по сравнению с функциями из Сд™'°(П).

Для ограниченной по "времени" области введем весовые пространства Гёльдера и ¿^'"(П), к Е N. Для натуральных к полагаем

2ms+\l\=k

' fa ОАЩ( |Д4|(*--!гш.-|/|+в)/2га j>

l<k-2ms-\l\<2m-l

Пространством называем пространство функций

и : fi —> R, непрерывных в П вместе с производными d'cflu, 2ms + |/| < < к — 1, для которых конечна величина |и; (|и;

В определим весовые пространства Гёльдера функций, растущих, вообще

говоря, при t —У и t —V -(-оо. Обозначим ^(^т?) = = min(f, г/), rj > 0, и положим

[ [гшп(^,1)]1ДР«(Р)1 | л»«,^ {|AP|Q[exp(Ai) + exp(A(i + At))]J '

Пространством Ca£(#}.+1)

называем пространство функций и: кй, непрерывных в для которых конечна величина ||и;

В слое D рассматриваем также пространство Wl'a{D) функций, непрерывных в D. для которых

|u; = sup|[min(i'1-a''/'2m, 1)] |u(P)|}

+

+ sup {[тЦ^,1)3|Дри(Р)||ДР|-а}<+00.

Определим весовые пространства Гёльдера функций, имеющих растущие, вообще говоря, старшие производные при приближении к плоскости t = 0. Для натуральных к полагаем

2ms+|/|=fc

+ Е sup

l<k—2ms—\l\<2m~l Я^^О [ IЩ^'^^ЬМЩ + eXP(A(i + At))] j '

Пространством Сд а(Д"т1) (Сд,'« )) называем пространство функций и : —> И, непрерывных в вместе с производными 2те 4- |/| < к — 1, для которых конечно выражение ||и;-К++1||Аа

В слое £) введем также пространства и к £ Лг.

Для натуральных А; полагаем

зи0 {и-ьйу.'Я 'ЦУЗД.

1и;£>£°=1и;£>1р+ £ Щ^'щВ)^.

1<1Ь-2т«-|1|<2т-1

Пространством <Е^,а(В) называем пространство функций и :

£) Л, непрерывных в £> вместе с производными д^д1и, 2те + |/| < < Л;— 1, для которых ¡и;!)]^0 < +оо (\щБ\ка,а < +оо). Заметим, что при т = +оо пространство (<ёа'а{0)) совпадает с пространством

В первой главе исследуется гладкость в весовых пространствах Гёльдера основных 2т-параболических потенциалов. Для произвольно фиксированного Л £ рассматриваем параболический оператор порядка 2тп (который называем "модельным")

Ь0и = дги+{-1)та(А.)ди.

Вещественные коэффициенты оператора ¿о зависят от параметра Л и удовлетворяют условиям

(3/?о > 0) (VA € щ+1, Vct € rn) а(а)а > /?0Н2т; (2)

а;(Л), |2| = 2т, ограничены в (3)

Функция

( (2тг)_п J exp{ix ■ а - a(a)at.}da, t > О, — \ д»

(О, t<0,

является фундаментальным решением уравнения Ь$и = 0 (см.20).

Рассматриваем объемный потенциал с плотностью, распределенной в области П:

у/(Р) = УДР; Л) - ¡%{Р - а(А))/(<э) ¿д, Р, л 6 а (4)

п

В этой главе предполагаем, что "боковая" граница Е области П — из класса Гёльдера

Е 6 СЧ (5)

Теорема 3.3. Пусть для коэффициентов оператора Ьо выполнены условия (2), (3) и для поверхности Е — условие (5). Тогда для любого фиксированного Л > 0 потенциал V/ есть ограниченный оператор из пространства С° а(П) в пространство Сдт-1,а(П). Теорема 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.3 и пусть Л > 0. Тогда для любой функции / £ Сд'"(П) пространственные производные д'У?^) порядкаЩ = 2т потенциала(4) принадлежат классу Сд'°(П) и справедлива оценка

Кроме того, пространственные производные д^Vf(P) порядка 1 < И < 2т — 1 удовлетворяют неравенству

(д'ут2са <с\\т\°с-

Здесь и далее положительные постоянные С и Л не зависят от Л и Т.

Рассматриваем обобщенный 2т-параболический потенциал простого слоя, построенный Е.А. Бадерко в 15,21:

и<р(Р) = и<р(Р; А) = / г(Р; а(А)) ■ Р, Л 6 П, (6)

Е

где £(Р;<2;а(Л)) = (£0, •••,^т-!)(Р;<?;а(Л)) — вектор-функция, ^о(Р; <2; й(Л)) = - Я] о(Л)), определение функций в = 1, т — 1, см. в 15'21.

Рассматриваем линейное пространство вектор-функций ¡р = = (<^о, ...,<'•рт-.\), заданных на Е:

т-1

А > 0, и8 = аз/т,

6=0 0

21 Бадерко Е.А. О гладкости 2т-параболического потенциала простого слоя. // Дифферент уравн., 1990, т. 26, Л-1, с. 3-10.

с нормой

1Мк(Е)= шах

8=0,171—1

Теорема 5.1. Пусть для коэффициентов оператора Ьо выполнены условия (2), (3) и для поверхности £ — условие (5). Тогда для любого фиксированного Л > 0 оператор и<р есть ограниченный оператор из пространства Фд(Е) в пространство Слт_1,а(0).

Утверждение теоремы является новым при Т — +оо и т > 2. В случае Т < +оо теорема следует из 15,21, а при Т ~ +оо и тп = 1 — из 22.

Обозначим йр = 1пГ \р — 0\,рб0, — расстояние от точки р

до "боковой" границы £ области О, с^д = гшп(с/р, ¿д), Р, А € П. Теорема 5-3. Пусть выполнены условия теоремы 5.1 и пусть А > 0. Тогда для любой функции у £ Фд(£) пространственные производные д1и^р. |/| = 2т, потенциала (6) удовлетворяют неравенствам

\&и<р{Р)\ < С|Ь|к(Е)№1+а+ 1)ехр(лг),

I Ар&и<р(Р)\ < С|Ь||фл(£)|ДРГ№,1р+др + 1)ехр(А(*.+ ДО), р, р + ар е п, д* > о.

Кроме того, для производных д117(р порядка 1 < |/| < 2т — 1 справедлива оценка

\А<д1и<р(Р)\ < С!|^||фл(Е)(Д01-(|'|-а)/2т№,1р+дР + 1)ехр(А(* + ДО), р, р + дгр е п, дг > о.

Также в первой главе рассматриваются объемный потенциал

У/(Р) = / щр - Я-а(Л))/((?)сгд, р, л е л?1, я;«

с плотностью, распределенно!! в полупространстве и растущей,

вообще говоря, при приближении к плоскости < = 0 и при Ь +оо, и потенциал Пуассона

ш(р) = { %(р - (ц,0);а(а)щ№, р,аещ^, в.п

22 Шевелева В.Н. О гладкости основных параболических потенциалов в бесконечной по "времени" области. // Вестн. Моск. ун-та. Сер 1. Мат., мех., 1997, №1, с. 66-68.

и исследуется их гладкость в весовом пространстве Гёльдера Сд™,0г(Д!?+1). Из полученных оценок, как следствие, устанавливаем гладкость решения задачи Коши

Ь0и = / в В.1+1, и|(_о= /г в Яп. (7)

Теорема 9.1. Пусть для оператора Ьц выполнены условия (2), (3) и А > 0. Тогда для любых функцшI / £ С°А,аа(Щ.+1) и /г £ С2т_1'а(Дп) существует решение задачи (7) и £ Сд™'а(Д™+1). Это решение имеет вид и = V/ + П/г и справедлива оценка

П";Я++1НаТ < ст-,я1+1\\°С + 1|Л; д-н2™-1'").

Яслы / = о,то и £ 1) и

1кД++1ПоГ < СЦЛ;^"!!2—ь«.

Во второй главе изучается система граничных интегральных уравнений, к которой редуцируются краевые задачи для 2т-параболи-ческого "модельного" уравнения. Поверхность, на которой рассматриваются уравнения, является, вообще говоря, нецилиндрической, негладкой (по £) и может быть неограниченной (как по х, так по

Пусть компоненты векторного оператора % = (Й8о,58т_х) действуют на функции и, определенные в П, по формулам

38,1х{Р) = £ &,1{Р)д1ч, 8 = 0, т - 1, Р £ Е, (8)

|(|<г.

где 0 < го < г\ < ... < 1 < 2т - 1. Предполагается, что для вещественных коэффициентов оператора Ш выполнены:

"условие дополнительности" 5>15'20 (9)

и

А,/ £ С2т_1-Г"°(Е), 5 = 0^1, |/| < г$. (10)

Во второй главе предполагается, что

Е £ С'2т~1-Г'а, г = тт(г0,2т - 2). (И)

Наряду с Фа(Е) рассматриваем пространство

5=0 0

Из 15,21 и теоремы 5.1 следует, что при условиях (2), (3), (10), (И) произведение 9527 есть ограниченный оператор Фд(Е) в Фд(Е). Рассмотрим систему граничных интегральных уравнений

Шр = ф, (12)

где ф = (^о> •••>Фт-\)- В 15'16 доказано, что если выполнены условия (2), (3), (9)—(11), то для любого конечного Т > 0 и ф Е Фо(ЕТ), Ет = = Е П {0 < í < Т}, существует единственное решение системы (12) <р 6 Фо(Ет) и получена оценка для этого решения с постоянной, зависящей от Т. Мы доказываем, что решение системы (12) в бесконечной по "времени" области принадлежит классу функций, растущих экспоненциально по (, а также доказываем оценку для этого решения. А именно, справедлива

Теорема 10.1. Пусть для оператора выполнены условия (2), (3), длл оператора 35 - условия (9), (10) и для поверхности Е — условие (11). Тогда существует число Х\ > 0 (Х\ не зависит от А) такое, что если А > Лх, то для любой вектор-функции ф £ Фд(Е) решение (р системы (12) принадлежит пространству Фд(Е) и справедлива оценка

1Мк(£) < С|Мк(Е)-

Утверждение теоремы известно при ш = 1 (см.23), а при т > 2 и Т < +оо оно следует из 15,16.

Рассматриваем краевую задачу

Ь0и — / в Г2, и| /г в Г2о, (13)

= фе, = 0, т - 1, на Е, (14)

при естественных условиях согласования

= ф8, 5 — 0, ш — 1, на Ео- (15)

12о

Из теорем 5.1, 5.3, 10.1 следует Теорема 14.3. Пусть выполнены условия теоремы 10.1 и пусть А > 0. Тогда для любых функций / € И £ С2т-1'°(ДП) и

фе £ С2™~1~г"а (Т,), в = 0,т— 1, удовлетворяющих условиям согласования (15), существует решение задачи (13), (14) и £ С|™;<1(Г2) Ли

некоторого Л > Л, Л > О (Л не зависит от К). Это решение имеет вид суммы потенциалов

и = Vf + ПН + U<p, (16)

где ip = (2Sf7)_1(?/> - - SäJJ/г), и справедлива оценка

ш—1

<mMt+\\h>Rn\\2m~ha + Е ii^siir1-^).

s=0

При Г < +оо и более сильном условии ка правую часть уравнения (/ ограничена и локально гёльдерова в Q) в 15,16 доказано существование решения задачи (13), (14) и 6 С2га_1'°(П) П С2тД(П), получено интегральное представление (16) и установлена соответствующая оценка корректности с постоянной С, зависящей от Т. В случае т = 1 в 23 доказана разрешимость первой краевой задачи и задачи с косой производной в пространстве Сд а(П) при Т < +оо и / = 0.

В третьей главе доказаваются априорные оценки в нормах весовых пространств Гёльдера Сл2™'а(0) и Сд™,ог(П) решений краевых задач для общего 2т-параболического уравнения (1), переменные коэффициенты которого удовлетворяют условиям

(ЗД, > 0) (VP 6 ГУ, Vct G Rn) а{Р)а > Д)М2т; (17)

щ{Р), |i| = 2m, ограничены и равномерно непрерывны в fi; (18)

(ЗА > 0) (VP, Р + АР е Q)

|Ара;(Р)| < А|АР|0(£рр+Др-f 1), \1\ = 2т- (19)

keC°Qlaa(Ü), |/| < 2т — 1 (20)

Область, в которой рассматриваются задачи, может быть неограниченной (как по х, так и по t), "боковая" граница — негладкой (по t) и некомпактной. Предполагаем, что поверхность Е — из класса Гёльдера

Е G С2™'1'". (21)

Рассмотрим краевую задачу

Lu = f в О, «j = h в fV, (22)

23 Baderko Е.А. Parabolic problems and boundary integral equations. // Math. Methods Appl. Sei., 1997, v. 20, p. 449-459.

= -ф8, 5 = 0,т—1, на 1!, (23)

где операторы в = 0,то — 1, заданы формулами (8). Теорема 15.1. Пусть для оператора Ь выполнены условия (17)—(20), для, операторов в = 0,т—1. условия (9), (10), для поверхности Е — условие (21) и пусть А > 0. Пусть функция и € Сд ™'а(П) является решением задачи (22), (23), где / 6 /г £ С2т-1,°(По), V« £ £ Сдт~1-Г"а(Б), А' = 0, то — 1, и выполнены условия согласования (15). Тогда существует число Лг > 0 такое, что если А > Лг, то справедлива оценка

11^; «М!^ < + П^;о0||2—+ ^ (24)

Если и € Сд™'а(П), то для любого А > Л2

< {правая часть (24)). (25)

Из теоремы 15.1 в случае ограниченной по Ь области П следует Теорема 15.2. Пусть для операторов Ь, 5 = 0,то — 1, и поверхности £ выполнены условия теоремы 15.1 и Т > 0 — произвольное число. Пусть функция и £ является решением задачи (22),

(23), где / 6 <Га°'а(П), К е С2т^а(П0), фв Е 5 = 0,т-1, и

выполнены условия согласования (15). Тогда справедлива оценка

.—- , т—1 ч

+ £ Ц^^П2"-1"'"0). (26)

4 8=0 '

Если и 6(Г2т'а(П), то

М|2т'а< (правая часть (26)). (27)

Постоянная С в оценках (26), (27) зависит от Т.

Утверждение теоремы 15.2, а именно, оценка (27) известна18 в случае ш = 1 и ограниченной области О. Таким образом, теоремы 15.1, 15.2 представляют собой новый результат для любых то > 1 за исключением указанного частного случая. Для доказательства теоремы 15.1 автором разработан новый метод вывода априорной оценки.

Далее в третьей главе с помощью этого же метода доказываются априорные оценки в весовых пространствах Гёльдера решения задачи Коши для уравнения (1):

£и = / в В, и| = Л вй". (28)

Предполагаем, что коэффициенты оператора Ь удовлетворяют условиям:

(3/3° > 0) (УР 6 Д Уст £ Я") Й(Р)ст > /3>]2т; (29)

о;(Р), |/| = 2т, ограничены и равномерно непрерывны в £); (30) (ЗА0 > 0) (УР,Р+ДРеБ)

|Др«/(Р)| < А°\АР\а(д;;1% + 1), |/| = 2т; (31)

£ в£°(1>)» |/| < 2т - 1. (32)

Теорема 20.1. Пусть для оператора Ь выполнены условия (29)-(32), Т — \ П П^™* », г- рп+ъ------------------

- I ^^ ы. / » ну иииу у> у I«((; с^ии/с/ М- Ч^/ д ^ ^ »I ОЬсЛ- ^иилиГМЛОе'КЬ

задачи (28), гс>е / 6 С^Р^1) и /г € С2",-1'°(ДП). Тогда существует число Аз > 0 такое, что если А > А®, то справедлива оценка

1к д++1115а < С(\\г-,щ+1\\1-аа + ||Л;-Н"||2т~1,0Г). (33) Если и £ Сд™'°(Р++1), то для любого А >

IIй; < {правая часть (33)). (34)

Из теоремы 20.1 следует Теорема 20.2. Пусть выполнены условия (29)-(32) и Т > 0 — произвольное число. Пусть функция и £ <Гат'а(1)) является решением задачи (28), где / £ (С°'а(Й) и Л € С2т-1-а(Рп). Тогда справедлива оценка

\Щ < С(|/; + ||Л; ^И2"-1'"). (35)

Ясли гг £ <Г1т'а{0), то

¡и; Й1т'а < (правая часть (35)). (36)

Постоянная С в (35), (36) зависит от Т.

Утверждения теорем 20.1, 20.2 составляют новый результат для любых т > 1.

В четвертой главе вновь рассматривается общее 2т-параболи-ческое уравнение, коэффициенты которого удовлетворяют условиям (17)—(20), и нецилиндрическая область П, описанная выше. Область по-прежнему может быть неограниченной, а ее "боковая" граница —

негладкой (по и некомпактной. Ставится задача отыскания классического решения уравнения

£и = / в Г2, (37)

с начальным условием

и^ = /г на (38)

и граничными условиями

= ф3, в = 0,т - 1, на £ (39)

при условиях согласования (15).

Основной результат работы составляют теоремы о разрешимости и единственности решения задачи (37)-(39).

Теорема 21.1. Пусть для оператора Ь выполнены условия (17)—(20), для граничных операторов йй„, в = 0, т — 1, — условия (9), (10), для поверхности £ — условие (21) и пусть А > 0. Тогда для любых функций / 6 /г € х1>, € С1т-у-г-а(£), в = МГ^Т, удовле-

творяющих условиям согласования (15), существует решение задачи (37)-(39) м 6 для некоторого Ао > Л, Ло > 0 и справедлива

оценка

11«; < с(||/; + I!*; ^\\2т~х'а + £ Ш Ц\,Г1~ГЛ

4 5=0 '

Построен пример, показывающий, что решение краевой задачи в случае неограниченной по I области может приобретать рост еЛ°' с показателем Ло > Л.

Из теоремы 21.1 в случае ограниченной по I области П следует Теорема 21.2. Пусть для операторов Ь, в = 0,т — 1, и поверхности £ выполнены условия теоремы 21.1 и Т > 0 — произвольное число. Тогда для любых функций / € в£,0(П), Л € С2т-1'о(П0)) фа € Сдт~1-г"а(Х), 5 = 0,т — 1, удовлетворяющих условиям согласования (15), существует решение задачи (37)-(39) и £ (Г2т'а(П) и выполнена оценка

/ т~1 о . \

< + ¡¡/г;П0||2т_1,ат- £ ЕЦ^

4 5=0 '

с постоянной С, зависящей от Т.

Если потребовать более сильных условий на коэффициенты и правую часть уравнения, а именно, коэффициенты ai,bi Е С0,а(П), правая часть / ограничена и локально гёльдерова, то при Т < +оо в работах 15,16 доказано существование решения задачи (37)-(39) и £ С2т~1,с*(П) П С2т,1(П) и получена соответствующая оценка корректности с постоянной С, зависящей от Т. В работе 18 установлено существование решения и € (Г2'а(П) первой краевой задачи и задачи с косой производной для уравнения 2-го порядка (го = 1) при тех же условиях на данные задачи, что и в теореме 21.2, но для ограниченной области Q.

Таким образом, утверждения теорем 21.1, 21.2 составили новый результат в случаях:

1) ш = 1 для первой краевой задачи и задачи с косой производной в неограниченной области; "боковая" граница области может быть некомпактной;

2) m > 2.

Доказательство теоремы 21.1 проводится методом продолжения по параметру с использованием теорем 14.3 и 15.1 (см. оценку (25)).

Теорема 21.5. Пусть выполнены условия теоремы 21.2. Пусть и G Фа '"(fi) — решение задачи (37)-(39) при f = 0, h = 0, ф$ = О, s = 0,т—1. Тогда и = 0 в П.

При более сильных условиях на коэффициенты уравнения, а именно, Щ, b[ € С°'а(0), в случае т >2 в работах 15,24 доказана единственность решениям 6 C2m-1,a(fi) задачи (37)-(39), обладающего свойством: производные д1и, |/| = 2го, локально гёльдеровы в П. В случае уравнения второго порядка (га = 1) в работе 18 доказана единственность классического решения первой краевой задачи и задачи с косой производной при тех же условиях на коэффициенты уравнения, что и в теореме 21.5, но для ограниченной области.

Таким образом, утверждение теоремы 21.5 составляет новый результат при сформулированных условиях на коэффициенты уравнения в случаях:

1) т = 1 и неограниченной области для первой краевой задачи и задачи с косой производной; "боковая" граница области может быть некомпактной;

2) т > 2.

24 Бадеркс Е.А. О единственности решений начально-краевых задач для параболических уравнений высокого порядка. // Дифференц. уравн., 1995, т. 31, №1, с. 63-70.

Теорема 21.5 следует из априорной оценки (26) (см. теорему 15.2). В случае ограниченной по "времени" области П (т.е. при Т < +оо) построена шкала гладкости решений задач (37)-(39) в весовых пространствах Гёльдера. Коэффициенты уравнения удовлетворяют условию (17), а также для некоторого натурального к условиям:

щ б С*"1,а(П), |/| = 2т; (40)

д(дга1, 2шб'+|г| = /с, |2| = 2т, ограничены и равномерно (41)

непрерывны в О;

(зл*>о) (ур, р + дреп)

|ДР^5га,(Р)| <Л4|ЛР|а(^+ДР+1), 2гпз+\г\ = к, ¡/| = 2т; (42) \1\ < 2т — 1 (43)

Кроме того, независимо от (40)-(43) нам потребуются условия:

(ЗМк > 0) {д1дгаф}^ <МЬ (44)

1 < к - 2тэ - |г| < 2т- 1, ¡¡) = 2т;

\1\<2тп-1 (45)

Предполагаем, что коэффициенты граничных операторов й = = 0,т — 1, для некоторого натурального к принадлежат пространству

€ С2га-1-г'+*'а(Е), я = 0,ш-1, \1\ < га. (46)

Введем условия согласования для функций /, к, ф6 на основании Ед "боковой" границы. Обозначим через

2(х,г)и = (- 1)т+1 £ £ М^«

¡/|=2ш |/|<2т—1

— эллиптическую часть оператора Ь,

^(х, о« - (-1)т+1 Е - Е ¿ДОЧ ; > о,

|/|=2т |/[<2т—1

9^(г,4)и = Е [д{в3^{х,Щд]щ ] > 0, я = 0,т - Г,

— операторы, получающиеся из и граничных операторов _з'-крат-ным дифференцированием их коэффициентов по переменной Ь.

Полагаем

и^(х) = к(х), и^+1\х)=ац(х,0) + ^с^(х,0)и^{х), 9 = 0,1,2,...;

Я=0

= х£Е0, 5 = 0,т-1; 9 = 0,1,2,....

)=0

Для любого сг > 0 говорим, что для задачи (37)-(39) выполнены условия согласования порядка с, если

1) в случае нецелого о выполнены равенства

= ? = ОД. 2--. И; « = 0,го-1;

2) в случае целого о выполнены равенства

1 ~ 0,1,2,..., (7 — 1; 5 = ПТт^Т;

Теорема 22.1. Пусть к — натуральное число, Т < +оо, для оператора Ь выполнены условия (17), (40)—(43), для операторов 285, 5 = = 0,т —1, — условия (9), (46), поверхность Е 6 С2т~1+к'°. Пусть функции / 6 Ь € С2т-1+*'а(П0), ф, е С2т-1-г'+4-°(Е),

в = 0,ш — 1, удовлетворяют условиям согласования порядка (2т - гт_ 1 + к)/{2т). Тогда решение и £ &1т'а(0,) задачи (37)-(39) принадлежит пространству {О] и справедлива оценка

—. . — т—1 х

|«; П|2т+*'а < С(|/; П|£в + ||Л; П0||2т-1+*'° + £ \\ф3; Е||2т-1-г.+*,«Л

4 8=0 /

Если, кроме того, выполнены условия (44), (45) и / е (Г*'а(П), то и € и выполнена оценка

/ т-1 ч

< С(|/;П|^+ ||А;П0||2т-1+к',,+ £ ||^;Е||2т-1-г'+*'°).

4 «=о '

Шкала гладкости решений краевых задач для параболических систем общего вида в пространствах Гёльдера Ск'а(П), к > 2т, была построена в 5 при соответствующих условиях гладкости на данные задачи. В работах6,7 построена шкала гладкости решений краевых задач для систем произвольного порядка в весовых пространствах Гёльдера функций, старшие производные которых растут при Ь +0, в случае

цилиндрических областей при более высокой гладкости "боковой" границы области и коэффициентов уравнения, чем в настоящей работе, а именно £ £ С2т+к'п и £ Ск'а(Щ. Отметим также работу 17, в которой построена шкала гладкости в пространствах ^'"(П), к > 2, в случае эллиптического уравнения 2-го порядка для задачи Дирихле в ограниченной области.

Таким образом, утверждение теоремы 22.1 является новым результатом (в том числе, и при т = 1).

Рассмотрим задачу отыскания классического решения задачи Коши (28).

Теорема 23.1. Пусть для оператора Ь выполнены условия (29)—(32), 'Г = +сх> и Л > 0. Тогда для любых функций / £

/г £ С2т~1,а (Кп) существует решение задачи (28) и £ С^^*для некоторого Л° > Л, Л° > 0, и справедлива оценка

I!«; ДГЧЙГ < с(||/; ДГЧЙ + ||л; л»ц2т-1>а).

Теорема доказывается методом продолжения по параметру с использованием теоремы 9.1 и априорной оценки (34) (см. теорему 20.1).

Простые примеры для уравнения 2-го порядка показывают, что решение задачи Коши в может иметь рост еА°' с показателем

А°> А.

В случае слоя В при Т < +оо из теоремы 23.1 следует Теорема 23.2. Пусть выполнены условия (29)-(32) иТ > 0 — произвольное число. Тогда для любых функций / £ 1г £ С2т_1'а(Лп) существует решение и £ (Г2г"'а(1?) задачи (28) и выполнена оценка

с постоянной С, зависящей от Т.

При более сильных условиях на данные задачи, а именно /, а/, 6; £ £ С°-а(В), !г 6 С2т-а(Нп) и при Т < +сс из работ 5-20 следует, что существует решение и £ С2гп'а(В) задачи (28) и справедлива соответствующая оценка корректности. Таким образом, утверждения теорем 23.1, 23.2 составили новый результат, в том числе, и при Т < +оо.

Теорема 23.4. Пусть выполнены условия теоремы 23.2 Пусть и £ <£2™-а(В) — решение задачи (28) при / = 0, к = 0. Тогда и = 0 в В.

Теорема следует из априорной оценки (35) (см. теорему 20.2).

В случае ограниченных коэффициентов единственность решения задачи Коши для уравнения 2-го порядка (т — 1) следует из принципа максимума25, а при т > 2 она установлена в 20. В работе 26 доказана единственность решения задачи Коши при т — 1 в предположении, что коэффициенты могут слабо расти при Ь +0 (с использованием принципа максимума). Таким образом, теорема 23.4 составляет новый результат при сформулированных условиях на коэффициенты уравнения при то > 1.

В диссертации построена шкала гладкости решения задачи Коши в весовых пространствах Гёльдера. Предполагаем, что коэффициенты уравнения удовлетворяют условию (29) и для некоторого натурального

Je уСЮЗИЛ^г!"

щ £ С*~11в(1>), \1\ = 2т; (47)

д$дгщ, 2тб- + |г| = к, = 2т, ограничены и равномерно (48)

непрерывны в £>; (ЗА* > 0) (УР, Р + ДР € £) |ДрЭ^Ч(Р)1< Ак\АР\а(Ч;;>%+1), 2тв + |г| = к, \1\ = 2т; (49) ]/| < 2т - 1. (50)

Независимо от (47)—(50) нам потребуются условия:

(ЗА/* > 0) (д°дгаг, < Мк, (51)

1 < к- 2тв- |г| < 2т- 1, |/| = 2т;

£<£*'"(£), |/| < 2т - 1 (52)

Теорема 24.1. Пусть к — натуральное число, Т = +оо, для коэффициентов оператора Ь выполнены условия (29), (47)-(50). Пусть А > О и функции / € Н £ С2т~1+^а(Р"). Тогда решение

и £ СЛ2„Т(Р;+1) задачи (28) (А0 — постоянная из теоремы 23.1) принадлежит пространству С1™*к'а(Щ^1) 4 справедлива оценка

\\щЯп++1\\1™2к'а < c(\\f;Rn++1\\hC+\\h\RnW

iп I |2т—1+к,а

25 Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // Усп. мат. наук, 1962, т. 17, вып. 3 (105), с. 3-146.

26 Камынин Л.И., Химченко Б.Н. О проблеме Тихонова-Петровского для параболического уравнения 2-го порядка. // Сиб. мат. ж., 1981, т. 22, №5, с. 78-109.

Если, кроме того, выполнены условия (51), (52) и / £ то

и £ и выполнена оценка

IIй; Д++1Пл"аА'а < +

Из теоремы 24.1 следует Теорема 24.2. Пусть к — натуральное число, выполнены условия (29), (47)—(50) иТ < +оо. Пусть функции/£ ¿£'°(.0), Н £ С2т-1+к'а{В.п). Тогда решение и 6 <Гв '"{О) задачи (28) принадлежит пространству и справедлива оценка

|„. П|2т+4,а г,(\{- п\к.а л.

1-1 — I а _: — уи ) ~ ю ' 1Г"!-"П у

Если, кроме того, выполнены условия (51), (52) и / £ то

и € (С1т+к,а(В) и выполнена оценка

|и;£>|2™+*,» < с(|/;£>|^ + П/г;^!!2"1-1^'").

Шкала гладкости решения задачи Коши в пространствах Гёльдера. Ск,а(Б), к > 2т, при Т < +оо построена в5 при соответствующих условиях гладкости на данные задачи. Таким образом, утверждения теорем 24.1, 24.2 составили новый результат (в том числе и при Т < +оо).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту — профессору Е.А. Бадерко за помощь и ценные консультации.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Черепова М.Ф. Об оценках пространственных производных второго порядка для параболического потенциала простого слоя. // Дифферент уравн., 1996, т. 32, №4, с. 545-549.

2. Черепова М.Ф. О некоторых свойствах параболического потенциала объемных масс. I. // Дифференц. уравн., 1999, т. 35, №12, с. 1701— 1706.

3. Черепова М.Ф. О некоторых свойствах параболического потенциала объемных масс. II. // Дифференц. уравн., 2000, т. 36, №3, с. 408414.

4. Черепова М.Ф. О гладкости потенциала объемных масс для параболических систем. // Вестник МЭИ, 1999, №6, с. 86-97.

5. Черепова М.Ф. Об оценках параболических потенциалов. // Вестник МЭИ, 2000, №6, с. 77-88.

6. Черепова М.Ф. О задаче Коши для параболических систем. // Вестник МЭИ, 2001, №6, с. 75-84.

7. Черепова М.Ф. О разрешимости задачи Коши для параболического уравнения с растущими коэффициентами. // Вестник МЭИ, 2004, №6, с. 81-93.

8. Черепова М.Ф. Об оценках старших производных параболических потенциалов для уравнения высокого порядка. // Вестник МЭИ, 2005, №6, с- 109-120.

9. Черепова М.Ф. Некоторые свойства 2т-параболических потенциалов. // Вестник МЭИ, 2006, №6, с. 101-111.

10. Черепова М.Ф. О разрешимости краевых задач для параболического уравнения высокого порядка с растущими коэффициентами. // Докл. РАН, 2006, т. 411, №2, с. 171-172.

11. Черепова М.Ф. О разрешимости краевых задач для параболического уравнения с растущими вблизи границы коэффициентами. // Дифференц. уравн., 2007, т. 43, №1, с. 110-121.

12. Черепова М.Ф. Краевые задачи для параболического уравнения высокого порядка с растущими коэффициентами. // Дифференц. уравн., 2008, т. 44, №4, с. 507-516.

13. Черепова М.Ф. Регулярность решения задачи Коши для параболического уравнения высокого порядка, // Дифференц. уравн., 2010, т. 46, №4, с. 540-549.

14. Черепова М.Ф. Регулярность решений краевых задач для параболического уравнения в весовых пространствах Гёльдера. // Тр. XVIIIМНТК "Информационные средства и технологии", 2010, т.1, с. 352-357.

15. Черепова М.Ф. Регулярность решений краевых задач для параболического уравнения с растущими вблизи границы коэффициентами. // Доклады РАН, 2010, т. 434, №5, с. 595-598.

Подписано в печатьлГ. й, {СГ. Зак. Тир. {СС п.л. У, №

Полиграфический центр МЭИ(ТУ) Красноказарменная ул.,д.13

Обозначения и основные определения.

Введение.

Глава I. Гладкость параболических потенциалов

1. Фундаментальное решение "модельного" параболического уравнения.

2. Гладкость потенциала объемных масс с плотностью, распределенной в полупространстве.

3. Потенциал объемных масс с плотностью, распределенной в области.

3.1. Вспомогательные оценки.

3.2. Гладкость потенциала объемных масс с плотностью, распределенной в области.

4. Оценки старших производных потенциала объемных масс. Дополнительная гладкость объемного потенциала.

4.1. Функции Л и г

4.2. Интеграл У\(Р).

4.3. Оценки производных потенциала объемных масс в полуограниченной области.

4.4. Потенциал объемных масс в области общего вида.

5. Обобщенный параболический потенциал простого слоя. Формулировки теорем.

6. Потенциал простого слоя в элементарной области.

7. Потенциал простого слоя в области общего вида.

8. Гладкость потенциала Пуассона.

9. Задача Коши для "модельного" оператора.

Глава II. Система граничных интегральных уравнений

10. Вводная часть; формулировка теоремы.

11. Система интегральных уравнений в модельном случае.

12. Система интегральных уравнений на элементарной поверхности.

12.1. Оператор К.

12.2. Оператор К0.

12.3. Операторы А1, А2.

12.4. Оператор А3.

12.5. Доказательство теоремы 10.1 в случае элементарной поверхности.

13. Система интегральных уравнений на поверхности общего вида.

14. Краевые задачи для "модельного" оператора.

Глава III. Априорные оценки

15. Априорные оценки решений краевых задач; формулировки теорем.

16. Вспомогательная лемма.

17. Интерполяционные неравенства для области.

18. Интерполяционные неравенства для слоя.

19. Доказательство теоремы 15.1 об априорных оценках.

20. Априорные оценки решения задачи Коши.

Глава IV. Краевые задачи. Задача Коши

21. Разрешимость краевых задач. Теорема единственности

22. Регулярность решений краевых задач

23. Разрешимость задачи Коши. Теорема единственности.

24. Регулярность решения задачи Коши.

В области Г2 С Д" х (0,Т), 0 < Т < +оо, рассматриваем линейное равномерно-параболическое уравнение произвольного порядка 2т

Ьи=Едги+{~1)та(Р)ди+ £ Ь,(Р)0'и=:/(Р), (0.7)

2т— 1 где, см. обозначение (0.1), а(Р)ди = щ(Р)д1и).

1\=2т

В настоящей работе изучаются краевые задачи для уравнения (0.7) в нецилиндрических областях с негладкими (по ¿), вообще говоря, "боковыми" границами. Эти области могут быть неограниченными (как по х, так и по ¿), а их "боковые" границы — некомпактными. Кроме того, рассматривается задача Коши для уравнения (0.7) в полупространстве. Целью работы является исследование разрешимости (в классическом смысле) этих задач в весовых пространствах Гёльдера при условии, что младшие коэффициенты и правая часть уравнения могут расти определенным образом при приближении к параболической'границе области (плоскости-носителю начальных данных в случае задачи Коши), а старшие коэффициенты удовлетворяют условию.Гёльдера в каждой замкнутой подобласти рассматриваемой нецилиндрической области, причем соответствующие коэффициенты Гёльдера растут, вообще говоря, определенным образом при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных). В частности, старшие коэффициенты могут не удовлетворять условию Дини вблизи этой параболической границы (плоскости).

Разрешимость первой краевой задачи в пространстве' Гёльдера С2'а(Г2), 0 < а < 1, и оценки решения для одномерного (п = 1) уравнения второго порядка в прямоугольнике получены С. Чилиберто [1]. В многомерном случае этот результат установлен А. Фридманом [2], который рассматривал нецилиндрические области с границей класса С2'а. Теоремы существования решений в классе С2,а(£1) третьей краевой задачи (с конормальной производной) и задачи с косой производной доказаны Л.И. Камыниным и В.Н. Масленниковой [3-7]. В.А. Солонников [8] установил разрешимость краевых задач общего вида, удовлетворяющих условию Лопатинского, и получил оценки решений для широкого класса параболических систем произвольного порядка в пространствах Ск'а(0,), где число к не меньше, чем порядок системы. С.Д. Эйдельман [9-14] построил и изучил свойства фундаментальных матриц решений, матриц Грина для параболических систем и с их помощью получил разрешимость краевых задач и интегральные представления решений. Затем В.С. Белоносов [16, 17] рассмотрел краевые задачи для параболических систем порядка 2т в ограниченных цилиндрических областях с гладкой границей класса 0к'а, к > 2т, при условии, что начальные функции принадлежат классу где число- г < к (в том числе, г меньше, чем порядок уравнений), и правые части уравнений могут расти определенным образом при приближении к плоскости начальных данных, доказал разрешимость таких задач и получил оценки решений в весовых пространствах Гёльдера функций, старшие производные которых (порядка больше, чем г) не ограничены вблизи плоскости £ = 0. Этот результат для неограниченной по х области и систем общего вида установлен В.А. Солонниковым и А.Г. Хачатряном [18].

Исследование разрешимости краевых задач в пространствах Гёльдера в областях с негладкими "боковыми" границами былог начато М. Жевре в работе [19], где для одномерного (п = 1) уравнения теплопроводности он изучил свойства тепловых потенциалов с негладкими кривыми-носителями (удовлетворяющими лишь условию Гёльдера с показателем > 1/2) и применил эти результаты к решению первой и второй краевых задач.

В 1971-1972 г.г. Л.И. Камынин [20-25] построил систематическую теорию гладкости параболических потенциалов для общего одномерного (п = 1) параболического уравнения 2-го порядка (т = 1) в различных классах функций, в том числе и в пространствах Гёльдера С1,а(П). Как следствие, он получил разрешимость краевых задач для параболических уравнений 2-го порядка в плоских областях с криволинейными "боковыми" границами, удовлетворяющими только условию Жевре.

В 1973-1976 г.г. Е.А. Бадерко [26-31] ввела обобщенный параболический потенциал простого слоя для одномерного 2т-параболического уравнения (т > 1), исследовала его свойства, а также гладкость Других 2т-параболических потенциалов (при п = 1) и применила эти результаты для решения краевых задач для уравнения произвольного порядка 2т в областях на плоскости с негладкими, вообще говоря, "боковыми" границами. Результаты этих работ позже были использованы В.А. Тверитршовым [42-45] и Х.М. Семааном [46-49] для рассмотрения свойств потенциала простого слоя, порожденного фундаментальной матрицей решений одномерной параболической системы 2-го порядка и для решения краевых задач для этих систем в областях с негладкими "боковыми" границами.

В многомерном (п > 2) случае в 1985 г. Б.А. Бадерко [32] построила интегро-дифференциальный оператор, с помощью которого доказала разрешимость первой краевой задачи в пространстве С1,а(17) для-параболического уравнения 2-го порядка в полуограниченной области специального вида с некомпактной и негладкой (по t) "боковой" границей. Затем, с помощью этого же оператора и разбиения-единицы в наших работах [33-35] получена разрешимость в пространстве С1,а(Г2) первой краевой задачи и задачи Бицадзе-Самарского (с граничным условием первого рода) для уравнения 2-го порядка в общем случае нецилиндрической области с компактной границей класса С1,а. Кроме того, в наших работах [35-37] решена вторая краевая задача-и'задача Бицадзе-Самарского с граничным условием второго рода для параболического уравнения 2-го порядка в области с границей класса С1,а.

Разрешимость задачи с косой производной в пространстве С1,а(Г2) для уравнения 2-го порядка установлена Е.А. Бадерко [38] с помощью потенциала простого слоя. Независимо Л.И. Камынин [39-41] получил этот результат с помощью потенциалов Паньи. Позднее, в 1997 г. Е.А. Бадерко [50] доказала, что решения первой краевой задачи и задачи с косой производной для однородного параболического уравнения 2^0 порядка в области, неограниченной как по х, так и по i, принадлежат классу Сд а(П) функций, растущих по t экспоненциальным образом при t —> +оо. В 1998 г. Е.А. Бадерко [51] показала, что решение задачи с косой производной в области с негладкой "боковой" границей класса С1'01 принадлежит пространству C2'a(Q), если граничная-функция — из С1,а(Е). Х.М. Семаан [52] получил аналогичный результат для одномерной параболической системы 2-го порядка с помощью метода работы [51].

В 1987-1992 г.г. Е.А. Бадерко [53-60] рассмотрела краевые задачи для 2т-парабодического уравнения с граничными операторами порядка не выше 2т—1, удовлетворяющими условию Лопатинского, и установила их однозначную разрешимость в пространстве C2m~l'a{fl) П C2m,1(f2) для нецилиндрических областей, возможно, неограниченных по ж, с негладкой по t и некомпактной "боковой" границей класса С2т-1~г>а? г = тт(?'о,2т — 2), ?'о — минимальный порядок граничных операторов. Этот результат получен в предположении, что правая- часть уравнения ограничена и локально гёльдерова, а коэффициенты уравнения ограничены и равномерно гёльдеровы в $7: Метод работ [53-59] состоит в том, что краевая задача сводится к системе граничных интегральных уравнений с помощью введенного Е.А. Бадерко векторного потенциала простого слоя, порожденного фундаментальным решением уравнения (существование фундаментального решения уравнения во всем пространстве Дп+1 обеспечивается условиями на коэффициенты уравнения). Для доказательства разрешимости системы интегральных уравнений в [53-59] построен интегро-дифференциальный оператор;

Заметим, что в работах [19-45, 50, 53-59] поведение старших производных решения не исследовалось. Кроме того, от правой части / уравнения требовалось, чтобы она была ограничена в О,. В> наших^ра-ботах [95, 97, 98] доказано, что условие ограниченности / является завышенным для задач класса С2ш~1,а(П) (га > 1), а именно, условие ограниченности можно заменить условием возможного роста / при приближении к параболической границе области. Кроме того, в,наших работах [94, 96, 98-100] доказаны оценки для старших производных параболических потенциалов — объемного потенциала (при дополнительном условии на характер гёльдеровости /), потенциала Пуассона и потенциала простого слоя, из которых, как следствие, получены оценки старших производных решений краевых задач (и задачи Коши), характеризующие их возможный рост при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных). В [101] установлены некоторые дополнительные свойства гладкости потенциалов внутри области. Результаты этих работ содержатся в настоящей диссертации.

Подчеркнем, что во всех цитированных выше работах требовалось, чтобы коэффициенты уравнения (системы) принадлежали классу Гёльдера С°'а({2), то есть они должны быть ограничены и равномерно гёльдеровы в Г2. Это условие (вместе с условием равномерной парабо-личности уравнения) обеспечивает существование фундаментального решения задачи Коши для уравнения (системы), что существенно использовалось в работах [19-59], так как решение разыскивалось в виде параболических потенциалов, порожденных фундаментальным решением уравнения (системы).

В 1980 г. Д. Гилбарг и Л. Хёрмандер [61] доказали разрешимость задачи Дирихле в весовом пространстве Гёльдера для эллиптического уравнения 2-го порядка в ограниченной области класса при условии, что младшие коэффициенты могут расти определенным образом вблизи границы области и все коэффициенты лишь локально гёльдеровы с точным указанием характера гёльдеровости. Этот результат установлен с помощью промежуточной априорной оценки ша-удеровского типа для ограниченной области, доказанной в этой работе. Затем Г.М. Либерман [62, 63], используя метод работы [61], получил аналогичный результат в случае параболического уравнения 2-го порядка для первой краевой задачи и задачи с косой производной в* ограниченной области. Отметим, что в [61-63] существенно использовалось условие ограниченности области, а также принцип максимума для-уравнения 2-го порядка в ограниченной области.

В- наших работах [102, 103] рассмотрены первая краевая задача*, задача с косой производной и задача Коши для параболического уравнения второго порядка с такими же условиями на коэффициенты уравнения, что и в [61-63], но в неограниченной области (как по ж, так и по £) с "боковой" границей, которая может быть некомпактной. Неограниченность области не позволила нам воспользоваться методом работ [61-63]. Кроме того, существенное ослабление условий на старшие коэффициенты уравнения означает, в частности, что старшие коэффициенты уравнения могут не удовлетворять условию Дини вблизи параболической границы области (или плоскости-носителя начальных данных). Этот факт не позволяет, вообще говоря, строить фундаментальное решение задачи Коши для уравнения (0.7) (см. [64]) и, следовательно, пользоваться методом работ [19-59].

В наших работах [102, 103] мы доказали априорные оценки решений первой краевой задачи, задачи с косой производной и задачи Коши с помощью предложенного нами метода вывода априорных оценок как в ограниченных, так и в неограниченных областях и использовали этот результат для доказательства однозначной разрешимости указанных задач в весовых пространствах Гёльдера Сд'^(^). Поскольку в доказательстве мы не использовали принцип максимума, то с помощью этого же метода мы получили затем однозначную разрешимость в весовых пространствах краевых задач и задачи Коши и для уравнения высокого порядка в [104-106]. Результаты этих работ изложены в настоящей диссертации.

В диссертации построена шкала гладкости решений краевых задач в весовых пространствах Гёльдера Фа,а(0,) и к > 2т. Кроме того, нами построена шкала гладкости решения задачи Коши в пространствах и сДа(Р![+1), к > 2т (см. [106-108]).

Диссертация состоит из четырех глав. В первых двух главах рассматривается параболическое уравнение порядка 2га, содержащее только старшие производные с постоянными коэффициентами (будем называть его "модельным" уравнением), а в последних двух главах — общее параболическое уравнение порядка 2га с переменными коэффициентами.

Первая глава посвящена исследованию гладкости в весовом пространстве Гёльдера С1™'а(П), т > 1, параболических потенциалов, порожденных фундаментальным решением "модельного" уравнения. Мы рассматриваем объемный потенциал, обобщенный параболический потенциал простого слоя, введенный Е.А. Бадерко в [55, 59], и потенциал Пуассона.

Хорошо известен [8-, 14] результат о принадлежности гёльдеровско-му классу с С2т'а(Яп х [0,Т]), 0 < Т < +оо, потенциала объемных масс с плотностью, принадлежащей С°'а(1)), В = Яп х [0;Т]. В.Н. Шевелева [66, 67] в случае уравнения 2-го порядка рассмотрела объемный потенциал с плотностью, распределенной в полупространстве Щ+1 и принадлежащей С$(Л++1), Л > 0; (в частности, непрерывной в и показала, что потенциал принадлежит классу Гёльдера Сд'а(Д"+1) функций, растущих по £ экспоненциальным образом.

Однако использование объемного потенциала с плотностью, распределенной в слое, не всегда возможно. Причиной тому может быть нецелесообразность или невозможность продолженргя коэффициентов или правой части уравнения из О в И. Такая ситуация встречается, например, в нелинейных задачах (см. работы В. Погожельского [68], А. Пискорека [69], А. Божымовски [70], П. Олыпевски [71]). В работах Е.А. Волкова [72] и Е.Г. Гусейнова [73] рассматривается задача Дирихле для уравнения Пуассона с правой частью, неограниченной, вообще говоря, вблизи границы области; для доказательства существования решения и исследования его свойств в этих работах используется ньютонов потенциал с плотностью, распределенной в области.

Свойства объемных потенциалов для параболического уравнения второго порядка с ограниченной плотностью, распределенной в области, изучались в работах А. Фридмана [74] и Д.В. Сивакова [75].

Мы рассматриваем потенциал объемных масс с плотностью /, распределенной в нецилиндррпеской области, а также в полупространстве предполагая, что плотность потенциала может расти определенным образом при приближении к параболической границе области (или плоскости-носителю начальных данных), и устанавливаем, что потенциал принадлежит классу Гёльдера С^71~1,а(П) ( или гп > 1. Как уже отмечалось выше, это показывает, что условие ограниченности правой части уравнения вблизи параболической границы области является завышенным для задач класса С2т1'а(Г2).

Кроме того, при дополнительных условиях на характер локальной гёльдеровости / (при этом / по-прежнему может растр! вблизи границы, так же, как и коэффициент Гёльдера), устанавливаются оценки старших производных потенциала объемных масс, характеризующие их возможный рост при приближении к параболической границе области (или плоскости-носителю начальных данных). Эти результаты, используются в дальнейшем во всех других главах при решении краевых задач п задачи Коши с неограниченной правой частью уравнения.

Далее мы рассматриваем обобщенный параболический потенциал простого слоя, введенный Е.А. Бадерко [55, 59]. Гладкость этого потенциала в пространстве Гёльдера С2ш1,а;(0) получена в [55, 59] вгслу-чае ограниченной ш> "времени" (Т < +оо) нецилиндрической области с негладкой (по £), вообще говоря, "боковой" границей, которая может быть некомпактной. При Т = +оо методом работ [55, 59] гладкость потенциала простого слоя в пространстве экспоненциально растущих по t функций Ci'a(Q), А > О, установлена В.Н. Шевелевой [66, 67] для уравнения 2-го порядка и Х.М. Семааном [46, 48] — для одномерной по х параболической системы 2-го порядка (подробная библиография о потенциале простого слоя содержится в докторской диссертации Е.А. Бадерко [59]). Мы исследуем гладкость обобщенного потенциала простого слоя в классе Гёльдера C2m-1'a(i7), Л > 0, растущих по t функций в бесконечной по "времени" области с помощью метода работ [55,59].

Затем мы доказываем оценки для старших производных обобщенного потенциала простого слоя и их приращений. Полученные оценки, в частности, показывают, что эти производные могут расти к бесконечности определенным образом при приближении к "боковой"" границе области; из них также следует характер локальной гёльдеровости указанных производных. Кроме того, мы устанавливаем оценки для приращений по t младших производных потенциала простого слоя, характеризующие Pix поведение внутри области. Оценки для старших производных потенциала простого слоя в случае одномерной по х системы параболических уравнений 2-го порядка доказаны в [48, 76] с помощью метода нашей работы [94]. Свойства старших производных потенциала простого слоя и потенциала объемных масс для уравнения 2-го порядка частично изучались в [77] в случае ограниченной цилиндрической области.

Оценки, полученные в этой главе для обобщенного потенциала простого слоя, используются во всех других главах при решении краевых задач.

Наконец, мы рассматриваем потенциал Пуассона для "модельного" уравнения порядка 2m и исследуем его гладкость в весовом пространстве Гёльдера Со,а'а(Д£+1). Ранее Дж. Арнезе [78] установил гладкость потенциала Пуассона в пространстве Гёльдера С2ш1'а(£>), Т < +оо, для 2т-парабодического уравнения, а В!Н. Шевелева [66, 67] — в пространстве С{'а(Д++1) для уравнения 2-го порядка. Кроме того, в работах [78, 66] получена оценка для старших производных потенциала Пуассона, показывающая их возможный рост при £ —» 0. Свойства потенциала Пуассона изучались также в работах [8, 17, 21, 27, 79].

Из оценок для потенциала объемных масс и потенциала Пуассона, полученных нами в первой главе, как следствие, мы устанавливаем гладкость решения задачи Коши для "модельного" 2т-параболического уравнения в весовом пространстве Гёльдера Этот результат применяется дальше в главах 3, 4 для доказательства априорной оценки решения задачи Коши и, как следствие, разрешимости задачи Коши для общего 2т-параболического уравнения в весовом классе Гёльдера С2хтаа(Щ^).

Во второй главе мы рассматриваем систему граничных интегральных уравнений, к которой редуцируются краевые задачи для 2га-параболического "модельного" уравнения. Поверхность, на которой рассматриваются уравнения, является, вообще говоря, нецилиндрической, негладкой (по £) и может быть неограниченной (как по х, так и по ¿). Е.А. Бадерко в [53-56, 58, 59] с помощью построенного в этих работах интегро-дифференциального оператора доказала разрешимость такой системы в области, ограниченной по t (для любого конечного Т > 0), и установила оценку для этого решения с постоянной Ст, зависящей от Т. Мы доказываем, что решение этой системы в бесконечной по "времени" области принадлежит классу функций, растущих экспоненциально по а также доказываем оценку для этого решения. Для этого мы заново устанавливаем разрешимость системы интегральных уравнений (с помощью оператора Е.А. Бадерко), но уже в бесконечной по "времеш1" области. Ранее при Т = +оо разрешимость граничных интегральных уравнений для первой краевой задачи и задачи с косой производной в случае уравнения второго порядка (га = 1) доказана Е.А. Бадерко в [50], а при га > 1 — в модельном случае в [59].

Как следствие полученных в первых двух главах результатов, установлена разрешимость в весовом пространстве Гёльдера Сд™'а($7) краевых задач для "модельного" уравнения с растущей (вблизи параболической границы и при I —> +оо) правой частью уравнения в неограниченных (как по ж, так и по ¿) областях с негладкой по £) и некомпактной "боковой" границей. Разрешимость таких задач для общего 2т-параболического уравнения в пространстве Гёльдера С2т1,а(Г2) П С2т,1(Г2) при Т < +оо с ограниченной и локально гёльде-ровой правой частью, доказана ранее в; [53-59]. Результат о разрешимости краевых задач в весовом пространстве Гёльдера для "модельного" оператора, полученный нами в этой главе, используется затем в главах 3, 4 для доказательства априорной оценки решений^ краевых задач и доказательства разрешимости этих задач в весовом пространстве в случае общего 2т-параболического уравнения.

Третья глава посвящена доказательству априорных оценок в нормах весовых пространств Гёльдера Сд™'а(П) и решений краевых задач для общего 2т-параболического уравнения, переменные коэффициенты которого удовлетворяют условиям:

1) (ЗА) > о) (VР е П, Уст е а{Р)ст > А)М2т;

2) й/(Р), |/| = 2т, ограничены и равномерно непрерывны в О;

3) (ЗА>0) (VР,Р+АРеП) \АРщ(Р)\ < А\АР\<*(5р^р+1), \1\ = 2ш; 4|/| < 2т — 1.

Область, в которой рассматриваются задачи, может быть неограниченной (как по .т, так и по ¿), "боковая" граница — негладкой (по £) и некомпактной.

Априорная оценка в С2'а(Щ была впервые получена Ю. Шаудером [80, 81] в случае эллиптического уравнения 2-го порядка в ограниченной области для задачи Дирихле и Р. Фиоренцем [82] — для задачи с косой производной. Для внешних областей А.П. Осколков [83] установил оценки шаудеровского типа для задачи Дирихле и задачи с нормальной производной в классе функций, убывающих вместе с производными на бесконечности определенным образом. Этот результат получен при условии, что коэффициенты и правая часть уравнения убывают на бесконечности определенным образом, старшие коэффициенты удовлетворяют некоторому дополнительному условию; в доказательстве существенно используется компактность границы. Для эллиптического уравнения порядка 2т с общими краевыми условиями априорные шаудеров-ские оценки вплоть до границы доказаны С. Агмоном, А. Дуглисом, Л. Ниренбергом [84].

Для параболических уравнений второго порядка априорные в С2,а(Г2) оценки шаудеровского типа для первой краевой задачи получены С. Чилиберто [1] при п = 1 в прямоугольнике, А. Фридманом

2] и Р. Барраром [85] — в многомерном случае в нецилиндрических ограниченных областях класса С2,а. Граничные (2 + а)-оценки решений третьей краевой задачи и задачи с косой производной установлены Л:И. Камыниным и В.Н. Масленниковой [3-5]. B.C. Белоносов. [16, 17] доказал априорные оценки решений краевых задач для параболических систем порядка 2га в весовых пространствах Гельдера функций, старшие производные которых растут при t —> 0, в ограниченных цилиндрических областях с гладкой границей класса Ск,а, к > 2т.

Если коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям 1) —4), то в случае эллиптического уравнения 2-го порядка Д. Гилбарг и Л. Хёр-мандер [61] получили априорную оценку в весовом классе !) для задачи Дирихле в ограниченной области. В случае параболического уравнения 2-го порядка аналогичный результат установил Г. Либерман [62, 63] для первой краевой задачи и задачи с косой производной в ограниченной области.

Традиционный способ вывода априорной оценки в ограниченной области состоит в том, что сначала априорная оценка доказывается в достаточно малой окрестности любой точки области или ее границы, после чего оценка во всей области получается с помощью конечного покрытия компакта. Кроме того, в случае уравнения 2-го порядка используется принцип максимума для ограниченной области. Именно так получена априорная оценка в работах [61-63]. Неограниченность области и отсутствие принципа максимума не позволила нам воспользоваться методом этих работ.

В настоящей диссертации предлагается другой способ вывода априорной оценки, с помощью которого эта оценка получается сразу во всей области (как ограниченной, так и неограниченной); кроме того, мы не используем принцип максимума, поэтому метод можно применять для уравнений произвольного порядка, а также для систем уравнений произвольного порядка.

Используя этот же метод, мы доказываем априорную оценку решения задачи Коши для 2т-параболического уравнения, коэффициенты которого удовлетворяют условиям 1) — 4), где расстояние до параболической границы области заменяется расстоянием до плоскости t = 0.

Заметим, что из априорных оценок, полученных в этой главе немедленно следует единственность решевдш краевых задач и задачи л 2г/2 сх 27П Q

Коши в весовых пространствах Гёльдера (Ua ' (Q) и Фа ' (D) соответственно, если коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям 1) - 4).

Для уравнения второго порядка {т = 1) в случае ограниченных коэффициентов единственность решения является хорошо известным фактом, вытекающим из принципа максимума (см., например, [86, 87, 92]). Если коэффициенты уравнения не ограничены вблизи параболической границы, то при т = 1 единственность решения первой краевой задачи и задачи с косой производной доказана при условии, что область, в которой рассматриваются задачи, ограничена ([63, с. 8789]; см. также [92, с. 113]). В случае т > 2 единственность решения краевых задач в классе С2т-1,а(Г2) установлена в [57, 59, 60] в предположении, что коэффициенты уравнения ограничены и гёльдеровыв Q.

В' четвертой главе устанавливается однозначная разрешимость краевых задач и задачи Коши в весовых пространствах Гёльдера Сд^,а(П) и Сл,а'а(-^4-+1) соответственно, для 2т-параболического уравнения, коэффнциеты которого удовлетворяют условиям 1) —4), правая часть уравнения — из весового класса Сд'^(О); при этом область может быть неограниченной (как по .т, так и по i), а ее "боковая" граница — негладкой (по t) и некомпактной. Аналогичный результат в случае эллиптического уравнения 2-го порядка получен ранее в [61] для задачи Дирихле в ограниченной области, а в случае параболического уравнения 2-го порядка — в [62, 63] для первой краевой задачи и задачи с косой производной в ограниченной области.

Заметим, что если старшие коэффициенты удовлетворяют только условиям 1), 2), то, как показано в работе A.M. Ильина [65], классическое решение задачи может не существовать. Мы доказываем, что если, кроме того, выполнено условие 3), то классическое решение задачи существует. Однако, если мы продолжим теперь старшие коэффициенты на все пространство Rn+1, то для уравнения может не существовать фундаментальное решение задачи Коши (см. [64]), которое существенно используется, например, в методе потенциалов. Кроме того, если правая часть / уравнения только непрерывна, то классическое решение уравнения также может не существовать (см., например, [90, с. 385-388]). Мы показываем, что классическое решение существует, если правая часть уравнения имеет интегрируемый рост при приближении к параболической границе области (или плоскости-носителю начальных данных) и локально гёльдерова с указанием характера гёльдеровости. Таким образом, условия, которые мы накладываем на коэффициенты и правую часть уравнения, являются близкими к минимальным, при которых существует классическое решение задачи.

Далее в четвертой главе построена шкала гладкости решений краевых задач в весовых пространствах Гёльдера Фа' (Q) и к > 2т, в ограниченных по t областях с границей класса Ск~1'а. Кроме того, построена шкала гладкости решения задачи Коши в пространствах С\1а(Щ+1) и к > 2т. Аналогичная шкала гладкости в случае эллиптического уравнения 2-го порядка была построена ранее в [61] для задачи Дирихле в ограниченной области.

Шкапа гладкости решений краевых задач и задачи Коши для параболических систем общего вида в пространствах Гёльдера Ск>а(П), к > 2т, была построена В.А. Солоннпковьш [8] при Т < +оо. B.C. Бе-лоносов [16, 17] построил шкалу гладкости решений краевых задач для параболических систем порядка 2m в весовых пространствах Гёльдера функций, старшие производные которых растут при t —> 0, в случае цилиндрических ограниченных областей при более высокой гладкости боковой границы области и коэффициентов уравнения, чем в настоящей работе. Аналогичный результат для неограниченной по х области и систем общего вида установлен В. А. Солоннпковьш и А.Г. Хачатряном [18].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту — профессору Е.А. Бадерко за помощь и ценные консультации.

1. Ciliberto С. Formule di maggiorazione e teoremi di esistenza per le soluzioni d'elle equazioni paraboliche in due variabli. // Ricerche Mat., 1954, v. 3,,p. 40-75.

2. Friedman A. Boundary estimates for second order parabolic equations and their applications. // J*. Math. Mech., 1958, v. 7, p. 771-792.

3. Камынин Л.И., Масленникова В.H.,Граничные оценки-решения III краевой задачи для параболического уравнения. // ДАН СССР, 1963, т. 153, №3, с. 526-529:

4. Камынин Л.И., Масленникова В.Н. Граничные оценки решения задачи с косой производной для* параболического уравнения в» нецилиндрической области. // ДАН СССР, 1965, т. 160, №3, с. 527-529.

5. Камынин JI.H., Масленникова В.Н. Граничные оценки шаудеровского типа решения задачи с косой производной для параболического уравнения в нецилиндрической области. // Сиб. мат. ж., 1966, т. 7, №1, с. 83-128.

6. Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов. II. // Дифференц. уравн., 1966, т.2, №5, с. 647-687.

7. Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов. III. // Дифференц. уравн., 1966, т. 2, №10, с. 1333-1357.

8. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида. // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова, 1965, т. 83, ч. 3.

9. Эйдельман С.Д. О фундаментальных решениях параболических систем. // Матем. сб., 1956, т. 38, №1, с. 51-92.

10. Эйдельман С.Д. © фундаментальных решениях параболических систем. II. // Матем. сб., 1961, т. 53, №1, с. 73-136.

11. Эйдельман С.Д. О краевых задачах для параболических систем в полупространстве. // ДАН СССР, 1962, т. 142, №2, с. 812-814.

12. Эйдельман С.Д. К теории общих краевых задач для параболических систем. // ДАН СССР, 1963, т. 149, №4, с. 792-795.

13. Эйдельман С.Д., Ивасишен С.Д*. Исследование матрицы Грина однородной параболической граничной задачи. // Тр. Моск. мат. об-ва, 1970, т. 23, с. 179-234.

14. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М., Наука, 1964.

15. Матнйчук M.PL, Эйдельман С.Д. О фундаментальных решениях и задаче Коши. //Тр. семинара по функциональному анализу, Воронеж, 1967, вып. 9, с. 54-83.

16. Белоносов B.C. Оценки решений параболических систем в гёльдеровских классах с весом. // ДАН СССР, 1978, т. 241, №2, с. 265-268.

17. Белоносов1-В.С. Оценки решений параболических систем в весовых классах Гёльдера и, некоторые их приложения. // Матем. сб., 1979, т. 110 (152), №2'(10), с. 163-188.

18. Камынин JI.PI. К теории Жевре для параболических потенциалов.1.. // Дифференц. уравн., 1971, т. 7, №4, с. 711-726.

19. Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов.

20. I. // Дифференц. уравн., 1971, т. 7, №8, с. 1473-1489.

21. Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов.1.. // Дифференц. уравн., 1972, т. 8, №2, с. 318-322.

22. Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов1.V. // Дифференц. уравн., 1972, т. 8, №3, с. 494-509:

23. Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов.VI. // Дифференц. уравн., 1972, т. 8, №6, с. 1015-1025.

24. Бадерко Е.А. О гладкости в пространствах Гёльдера потенциалов для 2р-параболических уравнений. // ДАН СССР, 1973, т. 211, №5, с. 1017-1020.

25. Бадерко Е.А. Об оценках основных потенциалов для параболических уравнений высокого порядка. I. // Дифференц. уравн., 1973, т. 9., №8, с. 1438-1451.

26. Бадерко Е.А. Об оценках основных потенциалов для параболических уравнений высокого порядка. II. // Дифференц. уравн., 1973, т. 9, №9, с. 1646-1653.

27. Бадерко Е.А. Гладкость потенциалов для 2р-параболических уравнений и приложения их к решению краевых задач в криволинейных областях. Дисс. канд. физ.-мат. н. М., МГУ, 1974.

28. Бадерко Е.А. О решении краевых задач для 2р-параболических уравнений в областях с криволинейными боковыми границами. // ДАН СССР, 1975, т. 225, №1, с. 21-23.

29. Бадерко Е.А. О4 разрешимости граничных задач для параболических уравнений« высокого порядка в областях с криволинейными боковыми границами. // Дифференц. уравн., 1976, т. 12, №10, с. 1781-1792.

30. Бадерко Е.А. О решении первой краевой задачи для параболических уравнений с помощью потенциала простого слоя. // ДАН СССР, 1985, т. 283, №1, с. 11-13.

31. Черепова М.Ф. Решение методом потенциала 1-ой краевой задачи для параболического уравнения 2-го порядка в нецилиндрической области. // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 11.01.85. №361-85-Деп.

32. Черепова М.Ф. О задаче Бицадзе-Самарского для параболического уравнения. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. 1986, №4, с. 74-76.

33. Черепова М.Ф. Решение задачи Бицадзе-Самарского для параболического уравнения в нецилиндрической области. Дисс. канд. физ.-мат. н. М., МГУ, 1987.

34. Черепова М.Ф. Об одной краевой задаче с нелокальными граничными условиями для параболического уравнения. // В сб. "Экстремальные задачи, функциональный анализ и их приложения". Изд-во МГУ, 1988, с. 101-103".

35. Черепова М.Ф. О гладкости параболического потенциала простого слоя, у/ Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 29.06.88. №5194-В88.

36. Бадерко Е.А. Решение задачи с косой производной для параболического уравнения методом граничных интегральных уравнений. // Дифференц. уравн., 1989, т. 25, №1, с. 14-20.

37. Камынин Л.И. О гладкости параболических потенциалов Паньи.1. // Дифференц. уравн., 1989, т. 25, №3, с. 477-490.

38. Камынин Л.И. О гладкости параболических потенциалов Паньи.1.. // Дифференц. уравн., 1989, т. 25, №4, с. 659-674.

39. Камынин Л.И. Приложения параболических потенциалов Паньи к краевым задачам математической физики. // Дифференц. уравн., 1990, т. 26, №3, с. 487-496.

40. Тверитинов В.А. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка. // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 02.09.88. №6850-В88.

41. Тверитинов В.А. Решение второй краевой задачи для параболической системы с одной пространственной переменной методом граничных интегральных уравнений. // Деп. в ВИНИТШАНСССР. 15.11.89. №6906-В89.

42. Тверитинов. В.А. О второй краевой задаче для параболической системы с одной пространственной переменной. // Дифференц. уравн., 1989, т. 25, №12, с. 2178-2179.

43. Тверитинов В'.Ач Орешении методом граничных интегральных уравнений краевой задачи- для параболической системы на плоскости. // Дифференц. уравн., 1990; т. 26, №1, с. 174-175.

44. Семаан Х.М. О гладкости потенциала простого слоя для параболических систем с одной пространственной переменной. // Деп. в ВИНИТИ РАН, 20.06.97. №2048-В97.

45. Семаан Х.М. О решении второй краевой задачи для параболических систем в областях на плоскости с негладкой боковой границей. // Деп. в ВИНИТИ РАН, 26.02.99; №567-В99.

46. Семаан Х.М. О решении второй краевой задачи для параболических систем на плоскости. Дисс. канд. физ.-мат. н. М., МГУ, 1999.

47. Семаан'Х.М. О разрешимости в пространстве Гёльдера £,i+a,(i+a)/2 jjrjiQpQjj краевой задачи для параболических систем в области с негладкой боковой границей. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. 2000, №2, с. 43-45.

48. Baderko Е.А. Parabolic problems and boundary integral equations. // Math. Methods Appl. Sei., 1997, v. 20, p. 449-459.

49. Baderko E.A. Schauder estimates for oblique derivative problems. // C.R. Acad. Sei. Paris, 1998, t. 326rSerie I, p. 1377-1380.

50. Семаан Х.М. Оценки решения краевой задачи для параболических систем в пространстве Гёльдера £,2+а>(2+а)/2> jj Дифференц. уравн., 2001, т. 37, №1, с. 130-131.

51. Бадерко Е.А. О "почти" модельной краевой задаче для параболического уравнения высокого порядка. // Дифференц. уравн., 1987, т. 23, №1, с. 22-29.

52. Бадерко Е.А. Метод теории потенциала в краевых задачах для 2га-параболическихуравнений в полуограниченной области. // Дифференц. уравн., 1988, т. 24, №1, с. 3-9.

53. Бадерко Е.А. О гладкости 2т-параболического потенциала простого слоя. // Дифференц. уравн., 1990, т. 26, №1, с. 3-10.

54. Бадерко Е.А. О параболической краевой задаче в области простого вида. // Дифференц. уравн., 1991, т. 27, №1, с. 17-29.

55. Бадерко Е.А. О единственности решения краевой задачи для 2ш-параболических уравнений. //Bich. "Дифференциальные уравнения И'оптимальное управление". Тез. докл. Всесоюзн. конф1. Ашхабад. 1990, с. 29-31.

56. Бадерко Е.А. Краевые задачи для параболического уравнения- и граничные интегральные уравнения. // Дифференц. уравн., 1992, т. 28, №1, с. 17-23.

57. Бадерко Е.А. О решении методом граничных интегральных уравнений краевых задач для линейных параболических уравнений произвольного порядка в> нецилиндрических областях. Дисс. докт. физ.-мат. н. М., МГУ, 1992.

58. Бадерко Е.А. О единственности решений начально-краевых задач для параболических уравнений высокого порядка. // Дифференц. уравн., 1995, т. 31, №1, с. 63-70.

59. Gilbarg D., Hörmander L. Intermediate Schauder estimates. // Arch. Rational Mech. Anal., 1980, v. 74, p. 297-318.

60. Ильин A.M. О фундаментальном решении параболического уравнения. // ДАН СССР, 1962, т. 147, №4, с. 768-771.

61. Ильин A.M. О параболических уравнениях, коэффициенты которых не удовлетворяют условию Дини. // Мат. заметки, 1967, т. 1, №1, с. 71-80.

62. Шевелева В.Н. Решение методом интегральных уравнений контактных задач для параболических уравнений. Дисс. канд. физ.-мат. н. М., МГУ, 1994.

63. Шевелева В.Н. О гладкости основных параболических потенциалов!в бесконечной по "времени" области. // Вестн. Моск. ун-та. Сер'1. Мат., мех., 1997, №1, с. 66-68.

64. Погожельский В. Исследование интегралов параболического уравнения и краевых задач в неограниченной области. // Мат. сб., 1959, т. 47 (89), с. 397-430.

65. Piskorek A. Sur certaines problèmes aux limites pour l'équation parabolique dans un domaine non cylindrique. // Ann. РЫ. Math., 1964, v. 16; №1, p. 101-116.

66. Божымовски A. Об одной нелинейной задаче для бесконечной системы интегро-дифференциальных уравнений параболического типа в нецилиндрической области. // Дифференц. уравн., 1978, т. 14, №4, с. 690-698.

67. Олыпевски П. Нелинейная краевая задача для системы произвольной мощности интегро-дифференциальных уравнений второго порядка. // Дифференц. уравн., 1984, т. 20, №10; с. 1788-1799:

68. Волков Е.А. О границах подобластей, весовых классах Гёльдера и решении в этих классах уравнения Пуассона. // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова, 1972, т. 117, с. 75-99.

69. Гусейнов Е.Г. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в обобщенных весовых пространствах Гёльдера. // Дифференц. уравн., 1990, т. 26, №3, с. 428-437.

70. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., Мир, 1968.

71. СивакоВ(Д.В. Некоторые свойства параболических потенциалов объемных масс. // Деп. в ВИНИТИ РАН, 05.10.94. №2300-В94.

72. Семаан Х.М. Об оценках в пространствах Гёльдера старшей производной потенциала простого слоя для параболических систем с одной пространственной переменной. // Деп. в ВИГО1ТИ РАН, 30.03.98. №927-В98.

73. Олыпевски П. Свойства производных второго порядка тепловых потенциалов для уравнения параболического типа. // Дифференц. уравн., 1984, т. 20, №5, с. 844-851.

74. Arnese G. Su alcune propietâ dell'integrale di Poisson relativo ad una equazione parabolica di ordine 2m a coefficienti non constanti. // Ann. mat. pura ed appl., 1971, y. 91, p. 1-16.

75. Ладыженская O.A., Солонников B.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., Наука, 1967.

76. Schauder J. Uber lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung. // Math. Zeits., 1934, v. 38, №2, p. 257-282.

77. Schauder J. Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen • Differentialgleichungen. // Studia Math., 1934, v. 5, p. 34-42.

78. Fiorenza R. Sui problémi di derivata oblique per le equazioni elliptiche. // Ricerche Mat., 1959; v. 8, №1, p. 83-110.

79. Осколков А.П. О решении краевых: задач для линейных эллиптических: уравнений, в; неограниченной; области^. // Вестник Ленинградского ун-та,. 1961, №7,. с. 38-50. .

80. Агмот©., Дуглис А., Ниренберг ЛС Оценки решениш эллиптических уравнений вблизи границы. М., ИЛ, 1962.

81. Камынин Л.И., Химченко Б.И. Об аналогах теоремы Жиро для параболического уравнения 2-го порядка. // Спб. мат. ж., 1973, т. 14, №1, с. 86-110.

82. Камынин: Л.И., Химченко Б.H. О единственности решения задачи Коши для параболического уравнения- 2-го порядка с неотрицательной характеристической формой. // ДАН1 СССР, 1979, т. 248, Ш, с. 290-294.

83. Камынин Л;Ж, Химченко Б.Н. © проблеме Тихонова-Петровского для параболического уравнения.2-го порядка. // Сиб. мат. ж., 1981, т. 22, №5, с. 78-109.

84. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Наука, 1983.

85. Гилбарг Д.,, Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения: с частными производными второго порядка. М., Наука, 1989;

86. Крылов Н.В. Лекции по эллиптическим и параболическимуравнениям в пространствах Гёльдера. Новосибирск., Научная книга, 1998.

87. Эйдельман С.Д. Параболические уравнения. Итоги науки и техники. Сер. совр. пробл. мат. Фундамент, направл. // ВИНИТИ РАН, 1990, т. 63, с. 201-313.

88. Черепова М.Ф. Об оценках пространственных производных второго порядка для параболического потенциала простого слоя. // Дифференц. уравн., 1996, т. 32, №4, с. 545-549. .

89. Черепова М.Ф. О некоторых свойствах параболического потенциала объемных масс. I. // Дифференц. уравн., 1999, т. 35v №12, с. 1701-1706. ,

90. Черепова М.Ф. О некоторых свойствах, параболического потенциала объемных масс. II. // Дифференц. уравн., 2000; т. 36№3, с. 408-414. . , ' •

91. Черепова-М1Ф: О-гладкости: потенциала объемных масс для; параболических систем. // Вестник МЭИу 1999; №6, с. 86т-97.98; Чёрепова М\Ф. 0б оценках параболических потенциалов:;. // : Вестник МЭИ, 2000, Л*6, с. 77-88. . .

92. Черепова.М'-Ф*. О задаче Коши для параболических систем.,: // Вестник МЭИ, 2001, №6, с. 75 S i.

93. Черепова М1Ф: Об оценках старших производных параболических потенциалов для уравнения высокого порядка. // Вестник МЭЩ 2005^№6у с. 109-120:

94. Черепова М.Ф. Некоторые свойства 2т-параболических потенциалов. // Вестник МЭИ, 2006. №6, с. 101-111.1021. Черепова М.Ф. О разрешимости задачи Коши дляпараболического уравнениях растущими, коэффициентами. // Вестник МЭИ, 2004, №6, с. 81-93.

95. Черепова М.Ф. О разрешимости краевых задач для параболического уравнения с растущими вблизи границы? коэффициентами. // Дифференц. уравн., 2007, т. 13, №1, с. 110-121.

96. Черепова М.Ф. О разрешимости краевых задач для параболического уравнения высокого порядка с растущими коэффициентами. // Докл. РАН, 2006,. т. 411, №2; с. 171-172.

97. Черепова М.Ф. Краевые задачи для параболического уравнения высокого порядка с растущими коэффициентами. // Дифференц. уравн., 2008, т. 44, №4, с. 507-516.

98. Черепова М.Ф. Регулярность решения задачи Коши для параболического уравнения высокого порядка. // Дифференц. уравн., 2010, т. 46,.№4, с. 540-549.

99. Черепова М.Ф. Регулярность решений краевых задач для параболического уравнения в весовых пространствахТёльдера. // Тр. XVIIIМНТК "Информационные средства и технологии", 2010, т. 1, с. 352-357.

100. Черепова М.Ф. Регулярность решений краевых задач для параболического уравнения с растущими вблизи границы коэффициентами. // Доклады РАН, 2010, т. 434, №5, с. 595-598.