Классическая разрешимость задачи Коши для параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

У

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО

ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Классическая разрешимость задачи Коши для параболических уравнений

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Диссертация

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.95

Ахметов Денис Робертович

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор В. С. Белоносов

Новосибирск, 1999

Оглавление

1 Об изоморфизме, порождаемом линейным парабо-

лическим уравнением 17

1.1 Задача Коши для параболического уравнения с постоянными коэффициентами.............. 17

1.2 Задача Коши для параболического уравнения с переменными коэффициентами.............. 27

1.3 Критерий изоморфизма для параболического оператора с переменными коэффициентами........ 31

1.4 Анализ условий Зигмунда............... 49

2 О необходимых и достаточных условиях классической разрешимости задачи Коши 56

2.1 Критерий классической разрешимости задачи Коши

в классе уравнений................... 56

2.2 Необходимое условие существования классического решения.......................... 72

Введение

В общей теории дифференциальных уравнений с частными производными особое место занимает проблема поиска условий классической разрешимости различных начально-краевых задач для основных уравнений математической физики. Даже в самых простых случаях эта проблема до сих пор остается актуальной. Рассмотрим, например, задачу Коши для уравнения теплопроводности

Щ = ихх + f(x, £) при I > 0, и(х,0) = у>(х). (0.1)

Напомним, что классическим решением этой задачи называется непрерывная при £ > 0 функция и(х:£), имеющая при £ > 0 непрерывные производные щ, ихх и удовлетворяющая уравнениям (0.1).

Хорошо известно, что задача Коши (0.1), вообще говоря, не имеет классического решения, если функция f{x,t) только лишь непрерывна и не подчинена каким-нибудь дополнительным ограничениям. Уже в случае, когда правая часть не зависит от переменной ж, в классе ограниченных функций и(х^) задача (0.1) с нулевыми начальными данными эквивалентна обыкновенному дифференциальному уравнению (см. [1])

и'(г) = /(£) при £ > 0, и(0) = 0, (0.2)

необходимым и достаточным условием классической разрешимости которого является непрерывность функции /(¿) при £ > 0 и

сходимость несобственного интеграла Римана

1

! /(*) М < оо.

о

Однако никаких эффективных необходимых и достаточных условий сходимости несобственных интегралов не существует.

Естественно, что для задачи (0.1) дело обстоит еще сложнее. В частности, в рассмотренном случае обыкновенного дифференциального уравнения (0.2) непрерывности и ограниченности правой части /(£) достаточно для существования классического решения, а в случае задачи (0.1) это не так. Имеется пример равномерно непрерывной ограниченной функции /(#,£), для которой не существует классического решения задачи (0.1) (см. [2]).

В некоторых случаях можно сформулировать необходимые и достаточные условия классической разрешимости задачи (0.1) в терминах свойств интеграла, представляющего собой свертку правой части с фундаментальным решением уравнения. Такие условия оказываются трудно проверяемыми, но тем не менее представляются полезными, так как они проясняют роль интеграла Дюамеля в проблеме построения классических решений. Например, справедливо следующее утверждение.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в полосе

{х £ М, £ Е (0,Т]} и для каждого е £ (0,Т) удовлетворяет условию

тах|/(М)| <С{е)гмЫ\

где М > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от е. Для того чтобы существовало ограниченное классическое решение задачи (0.1) с нулевыми начальными данными, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое положительное То, при ко-

тором функция

1Г [ . 1 е~(х~£)2//(£ т) ¿^т при I > е,

О при£ < £

определена на множестве {х £ £ £ [О, То], £ £ (О,То]} и равномерно сходится при £—> О на любом компакте \х\ < А < оо, £ £ [О, То] к некоторой ограниченной функции ь(х, ¿).

Необходимость этого условия следует из теоремы 4 и замечания б второй главы диссертации, а достаточность нетрудно доказать, используя гипоэллиптичность оператора теплопроводности.

Данное необходимое и достаточное условие является, вообще говоря, неэффективным, однако, когда функция /(#,£) не зависит от переменной х, оно совпадает с приведенным выше необходимым и достаточным условием классической разрешимости задачи Коши (0.2) для обыкновенного дифференциального уравнения и является его обобщением на многомерный случай. В обоих примерах его можно сформулировать как существование свертки правой части с фундаментальным решением соответствующего уравнения, но в общем случае в отличие от задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения необходимо дополнительно потребовать равномерную сходимость интеграла, представляющего эту свертку.

Целью настоящей работы является поиск эффективных достаточных условий классической разрешимости задачи (0.1), близких к необходимым.

При изучении вопросов такого характера обычно указывают пару линейных многообразий V и Л и определяют в них нормы так, чтобы оператор задачи Коши (0.1) С \ и —>• (/, был изоморфизмом пространств V и Л и, кроме того, обеспечивал точные коэрцитивные оценки норм решений.

Поиск таких пространств V и 1Z начался еще в работах Ю. Ша-удера [3] и К. Чилиберто [4] и продолжается до настоящего времени (см. [5-22]). Фундаментальную роль в развитии этого направления сыграла работа Ю. Шаудера [3]. В ней впервые были получены априорные оценки решений линейных эллиптических уравнений 2-го порядка в нормах Гёльдера. Впоследствии все аналогичные оценки для решений различных квазиэллиптических уравнений стали называть "шаудеровскими". Лишь спустя 20 лет в 1954 году такого рода оценки удалось получить для линейных параболических уравнений 2-го порядка. Их впервые установил К. Чилиберто [4] в одномерном по пространственным переменным случае. Затем в работах А. Фридмана [5] и Р. Б. Бар-рара [6] они были распространены на многомерный случай. С помощью этих оценок удалось доказать разрешимость основных краевых задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений 2-го порядка (см., например, [8, 14, 9]).

В конце 50-х и начале 60-х годов разрешимостью различных начально-краевых задач для эллиптических и параболических уравнений и систем общего вида занимались многие авторы (см., например, [8-12]). Основополагающую роль здесь вновь сыграла работа по теории эллиптических уравнений [7]. В ней С. Агмону, А. Дуглису и JI. Ниренбергу удалось перейти от уравнений 2-го порядка к системам линейных и квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка с общими граничными условиями. Развитие этой методики применительно к линейным параболическим системам в наиболее общей форме осуществлено в работе В. А. Солонникова [13]. В частности, показано, что в качестве множеств V и 7Z можно взять пространства функций

V = с£аД+а/2(15, п = С*?2Щ) ® С2+а{R), 0 < а < 1.

Более широкие весовые гёльдеровские пространства, допускающие определенный рост при Ь -Л 0 как у функции так и у производных функции рассмотрены В. С. Белоносовым [18]. В обоих приведенных примерах старшие производные решения задачи (0.1) попадают в тот же класс функций, что и /(х, ¿). В настоящее время аналогичные исследования проводятся уже для квазиэллиптических и квазипараболических систем (см. [21, 22]). В диссертации исследуется вопрос о классической разрешимости задачи Коши

Ь(и) = ¡(х^) при ж Е ИГ и * е (0,Г), 0) = у(х) (0.3) с равномерно параболическим оператором

о п по п <-,

_ . , ои ТГ-^ . , О и , . . ои , .

¿М =94-1. М*. - Ь ^ &Г

в еще более широких пространствах функций.

Как упоминалось выше, обычно требуют, чтобы правая часть уравнения /(ж, €) и начальные данные (р(х) в той или иной форме удовлетворяли условию Гёльдера. Это условие можно трактовать как равномерную непрерывность со степенным модулем непрерывности со(6) = С5а. Возникает естественный вопрос: какие свойства модулей непрерывности коэффициентов уравнения, правой части и начальных данных гарантируют существование классических решений и точные коэрцитивные оценки их норм? Под точными коэрцитивными оценками норм решений мы понимаем то, что старшие производные решения задачи (0.3) попадают в тот же класс функций, которому принадлежит правая часть уравнения. Иначе говоря, модуль непрерывности старших производных решения совпадает с модулем непрерывности правой части.

Основным вопросом диссертации будет изучение условий коэр-цитивности задачи (0.3) в пространствах функций с квалифици-

рованными модулями непрерывности. Обозначим через и модуль непрерывности начальных данных:

и(6) = sup \ip(x) - <р(у)\.

\х-у\<6

Исследование однородной задачи Коши с такими начальными данными приведет нас к определению класса функций 1ZUjt, принадлежность которому естественно потребовать от правой части f(x,t), а желание получить точные коэрцитивные оценки однозначно повлечет определение класса решений VUit с тем же самым модулем непрерывности си. Будут установлены необходимые и достаточные требования к модулю непрерывности и, при которых оператор задачи Коши (0.3) является изоморфизмом пространств VWjt и Окажется, что эти необходимые и достаточные усло-

вия совпадают с хорошо известными условиями Зигмунда:

j^drKC^S), f^dr<c"-f- при ¿€(0,1).

О S

Этот результат является содержанием первой главы диссертации (теоремы 1 и 2).

Анализ условий Зигмунда проводится в конце первой главы. Впервые они появились в теории рядов Фурье в работе А. Зигмунда (см. [23], а также [24]). Затем они в различных формах встречались в ряде других работ по рядам Фурье (см., например, [25, 26]). Однако их появление в изучаемом нами вопросе вовсе не обусловлено разложениями в ряды Фурье.

Заметим, что эти ограничения не позволяют существенно выйти за рамки степенных модулей непрерывности (утверждения 1, 3 и следствия 1-3). Если модуль непрерывности удовлетворяет условиям Зигмунда, то существуют постоянные 0 < (3 < а < 1

иСьС2>0 такие, что

Схе < и{£) < при £ е [0,1].

Обратное, вообще говоря, неверно. Существует пример выпуклого вверх модуля непрерывности оо*, не удовлетворяющего обо-

при Ь £ [0,1], где 0 < (5 < а < 1 (утверждение 2). Условиям Зигмунда удовлетворяют, например, модули непрерывности вида со(Ь) = 1г/(1/£) с произвольными постоянными С > 0,

«е (0,1),/Зек.

В первой части второй главы диссертации найдено необходимое и достаточное требование к модулю непрерывности си, гарантирующее классическую разрешимость задачи Коши с нулевыми начальными данными в классе всех равномерно параболических уравнений с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами, правые части которых обладают локальным модулем непрерывности со (теорема 3). Интересно, что данное необходимое и достаточное условие совпало с хорошо известным в теории рядов Фурье условием Дини:

Достаточность условия Дини была известна и ранее (см. [27, 30]), а его необходимость впервые доказана в диссертации. Построен пример ограниченной равномерно непрерывной правой части, зависящей от произвольного модуля непрерывности со как от параметра, для которой не существует классического решения задачи (0.1) с нулевыми начальными данными, если модуль непрерывности со не удовлетворяет условию Дини.

Таким образом, построена в некоторой степени законченная теория классической разрешимости задачи (0.3) в терминах модулей

им условиям Зигмунда, несмотря на то, что < со*^) < ^

о

непрерывности начальных данных и правых частей (см. также [27-32]).

Если рассматривать произвольные непрерывные начальные данные и правую часть уравнения (не являющиеся, вообще говоря, равномерно непрерывными), то мы приходим к проблеме поиска других подходов к нахождению условий классической разрешимости задачи (0.3). Основной идеей при исследовании данного вопроса в настоящей работе послужила следующая естественная аналогия. В случае задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности

щ = ихх при t > 0, м(ж,0) = (р(х), (0.4)

где (р(х) — непрерывная функция, хорошо известен следующий результат [1].

Если в тихоновском классе функций существует классическое решение u(x,t) задачи (0.4), то для достаточно малых t > 0 оно представляется интегралом Пуассона

со

и'

В связи с этим логично предположить, что для задачи (0.3) может иметь место следующее утверждение.

Если в тихоновском классе функций существует классическое решение и(х^) задачи (0.3) с нулевыми начальными данными, то для достаточно малых £ > 0 оно представляется интегралом Дюамеля

и(х,Г) =11 г{х,1,£,т)/(£,т)<1£(1т,

0 К"

где Z(x, г) — фундаментальное решение уравнения Ь{и) = 0.

—оо

Эта гипотеза при очень слабых ограничениях на рост непрерывной правой части обоснована в теореме 4 второго параграфа второй главы, где установлено необходимое условие существования классического решения задачи Коши с нулевыми начальными данными для равномерно параболических уравнений с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами и непрерывными при t > О правыми частями без каких-либо дополнительных предположений о свойствах модуля непрерывности функции f(x,t). Аналогичные утверждения при более жестких предположениях о данных задачи доказаны в работах [2, 15].

Трудности при обосновании того, что интеграл Дюамеля действительно является классическим решением задачи (0.3) с нулевыми начальными данными, заключаются в том, что функция f(x,t) может иметь плохую гладкость или неограниченно расти как при t —>• 0, так и при |х| оо. Во всех таких случаях классическое решение задачи (0.3) может не существовать.

Основные определения и обозначения. Пусть Т > 0 — произвольная фиксированная постоянная, |ж| — евклидова норма вектора х Е Rn, I — мультииндекс, \l\ = l\ -i-----1-1п,

H(T) = {(x,t):xeRn, ¿Е(0,Т)}, D(T) = {(хМ,т) : 0 < г < i < Т, G Еп}, П(Т) = {(x,t,e):x 6 Rn, t в [0, Т], £ Е (0, Г]}.

Обозначим через С отображение

£: и -> (.

где f(x,t) = Liu) в Я(Т), <р{х) = и(х,0) при х Е IRn.

Говорят, что функция u(x,t) принадлежит тихоновскому классу функций в полосе {х Е Mn, t Е [io,^]}, если она непрерывна в

этой полосе и удовлетворяет условию

\и{х,1)\<Сием^\

тах

где Си,Ми >0 — некоторые постоянные, зависящие от и.

Будем говорить, что в тихоновском классе функций существует локальное по £ классическое решение задачи (0.3), если существуют положительная постоянная То и функция являющаяся при £ £ [0, То) классическим решением задачи (0.3) и принадлежащая тихоновскому классу функций в полосе Н(То).

Условие (Т). Функция f(x,t) принадлежит тихоновскому классу функций в полосе {х Е £ Е при любом фиксированном £ Е (0, Т), причем

тах|/(:М)| < С/(Фад2,

где М} >0 — некоторая постоянная, не зависящая от £.

Обозначим через Тш множество функций удовлетворя-

ющих условию (Т) и, кроме того, таких, что 1)

т

J С/(£) (И < оо, о

где — функция из условия (Т),

2) для каждой точки (х0^0) Е Н(Т) существуют такие постоянные С, е > 0, зависящие от /, ^о и ¿о? что для всех

|я-ж0|<е, \у-хо| < е, |*-*о|<е выполняется неравенство

1/ОМ) -/(у, *)|<Сиф-у|), где а;(<5') — некоторый фиксированный модуль непрерывности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция и (5), определенная и непрерывная при 5 > 0, называется модулем непрерывности, если выполнены следующие условия: и(0) = 0, ш(х) < и (у) при 0 < х < у, ш(х + у) < и{х) +ш(у) при Х,у > 0.

Если (р(х) € С(М.П) является равномерно непрерывной функцией, то

удовлетворяет этим условиям и называется модулем непрерывности функции (р.

Лемма 1. Любой модуль непрерывности и обладает свойствами

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем а, X > 0. Пусть п — целая часть а, тогда 0 < а — п < 1. В силу определения 1 имеем

си(ах) < ш((п + \)х) <{п + 1)Ца?) < {а + \)и){х).

Воспользуемся этим свойством при 0 < 5 Тогда

Лемма доказана.

Говорят, что модуль непрерывности и удовлетворяет условиям Зигмунда, если существует такая постоянная С, что при 5 £ (0,1) выполняются неравенства

вир \р(х) - <р(у)\

\х-у\<6

со(ах) < (а 4- 1)ш{х) при а,х > 0,

при 0 < $ <

(0.5)

о

(0.6)

Заметим, что верхний предел интеграла (0.6) можно заменить на произвольную постоянную Т\ > 0 и потребовать, чтобы неравенства (0.5) и (0.6) выполнялись для всех J Е (0,Т\). При этом, естественно, константа С будет зависеть от w и Т\.

Функциональные пространства. Пусть и — модуль непрерывности. Обозначим через множество вещественнознач-ных функций u(x,t), определенных и непрерывных при х Е Мп, t Е [0,Т), имеющих в полосе Н(Т) непрерывные производные Df ^u(x,t) при 2к + |/| < 2 и конечную норму

IMk, = (Diiuhk+\ib

2k+\l\<2

где

{u)n sup ^^ t)\ + bn[t) ^ _ ^

m

>{у/б) > '

ао = ш(уД), &о — а\ — — \Д, а,2 = 62 — и супремум берется по всем точкам (?/, ¿), (х^+5) (6 > 0) из полосы Н(Т) таким,

что х ф у.

Символом 7ZLOíт будем обозначать множество пар веществен-нозначных функций (/(ж,¿),<р(х)), определенных и непрерывных при (х,Ь) Е Н(Т) и х Е М.п соответственно, имеющих конечную норму

1К/^)1к.т = ||/1кт+||Ик

w ?

где

II/IU.T = </)2, |MU - SHP .

Через обозначим множество непрерывных в Н(Т) функций u(x,t), имеющих конечную норму

,, ,, ,, ,, \и(хЛ) - и(уЛ)\ \u(x,t) - u(x,t + S)\ Nk, = IMIc + sup ^¿_ff + sup ^-

где первый супремум берется по всем точкам (x,t) ф (y,t) из полосы Я(Г), второй — по всем точкам (x,t), (x,t + 5) (6 > 0) из полосы Н{Т),

||и||с = sup \и(х, £)|.

(x,t)€H(T)

— множество непрерывных в Н(Т) функций име-

ющих непрерывные в Н(Т) производные Dt'lxu при 2к + |/| < 2 и кон�