Задачи идентификации коэффициентов многомерных параболических уравнений с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Полынцева Светлана Владимировна

ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ МНОГОМЕРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УСЛОВИЯМИ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ, ЗАДАННЫМИ НА РАЗЛИЧНЫХ ГИПЕРПЛОСКОСТЯХ

Специальность 01 01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-2005

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук

профессор Белов Ю.Я. Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

Защита состоится 23 декабря 2005г в 15:00 часов на заседании диссертационного совета К 212.099 03 в Красноярском государственном университете по адресу 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан » ноября 2005г.

Ученый секретарь

профессор Лаврентьев М М., кандидат физико-математических наук доцент Любанова А.Ш.

Ведущая организация Новосибирский государственный

университет

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Шлапунов А.А

2006-4

пшо

з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений, границы области, граничных или начальных условий по той или иной информации о решениях этих уравнений. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов и др. приводят к обратным задачам.

Интерес к обратным задачам особенно интенсивен в последние 30-40 лет в связи с их важным прикладным значением. Они находят приложения при решении задач мониторинга окружающей среды, управления процессами, планирования разработки нефтяных месторождений, при созданнии новых приборов, аппаратов и др.

Одним из сложных для исследования классов обратных задач являются коэффициентные. Коэффициентные обратные задачи задачи об определении коэффициентов дифференциальных операторов (обыкновенных или в частных производных) по некоторой информации о решении.

Задачи идентификации коэффициентов (коэффициентные обратные задачи) уравнений и систем уравнений в частных производных исследовались М.М Лаврентьевым, В Г. Романовым, Ю.Е. Аниконовым, И. А Васиным, А И Прилепко, А Б Костиным, А Лоренци, А М. Денисовым, А.Д. Искен-деровым, В Л. Камыниным, А.И Кожановым, В.В. Соловьевым, В.М. Исаковым, Н Я Безнощенко, Н.И Иванчовым, Ю.Я. Беловым, Т.Н Шипиной, Г.А. Кирилловой, С Н. Барановым и другими.

Обратные задачи для дифференциально-операторных уравнений исследованы в работах Д. Г. Орловского.

Цель работы. Исследование на разрешимость задач идентификации нескольких коэффициентов многомерных параболических уравнений с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях.

Методика исследования. На основе преобразования Фурье и условий переопределения осуществляется переход от обратных задач к прямым вспомогательным задачам Коши для нелинейных интегродифференциаль-ных параболических уравнений Для доказательства разрешимости прямых задач используется метод слабой аппроксимации.

Основные результаты. В диссертации решены задачи одновременной идентификации нескольких коэффициентов многомерных параболических уравнений с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях В результате проведенных исследований доказаны теоремы существования и единственности классических решений

1. задачи определения функции источника и коэффициента при младшей производной,

2. задачи идентификации коэффициентов при младших производных;

3. задачи идентификации двух старших коэффициентов,

4. задачи идентификации трех младших коэффициентов,

5 задачи определения функции источника и коэффициентов при младшей и второй производных;

6 задачи определения функции источника и коэффициентов при первой и второй производных;

7. задачи идентификации трех старших коэффициентов;

8 задачи идентификации четырех коэффициентов,

9 задачи определения коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми, имеют теоретическое значение и могут быть ncuoj ьзонаны при построении общей теории обратных задач.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Красноярского госуииверситета, руководитель — д.ф.-м.н. Ю.Я. Белов (2001-2005гг);

II Всесибирском конгрессе женщин-математиков, посвященном С.В Ковалевской (г Красноярск, 15-17 января 2002г.),

III Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения "(г Красноярск, 25-29 августа 2002 г);

III Всесибирском конгрессе жешцин-математиков, посвященном С В Ковалевской (['Красноярск, 15-17 января 2004г.);

Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании ВИТ-2004" (г Ал маты, Казахстан, 6-10 октября 2004г.);

Международной конференции "Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования" (г Ханты-Мансийск, 12 13 апреля 2005 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, в которых отражено се основное содержание Список работ приведен в конце

автореферата.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 95 наименований. Общий объем диссертации составляет 155 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование ак туальности рассматриваемых в диссертации задач Сформулированы цели, задачи исследования и методы их решения Дано краткое содержание работы по главам.

В главе 1 приведены известные определения и теоремы из области функционального анализа и дифференциальных уравнений, используемые в диссертации.

В главе 2 исследованы три задачи идентификации двух коэффициентов многомерных параболических уравнений с условиями переопределе ния, заданными на двух различных гиперплоскостях.

В разделе 2 1 показана разрешимость задачи определения функции источника и коэффициента при младшей производной.

В полосе С(о— {(£,х,г)\0 < 4 ^ Т, х € Е2, г £ Е\} рассматривается уравнение

ди д^и

— = ¿1(и)+а3(*)^2х)и+д(1, х)/(Ь, х, г) (1)

с двумя неизвестными коэффициентами сф, ж), д{1,х), с начальным условием

и(0,х,г) = и0{х,г), {х,г)еЕ3. (2)

Здесь

функции f(t,x,z), uq(x,z) заданы в G(o,r] и ез соответственно, коэффициенты a,(t), г = 1,2, 3, - непрерывные действительнозначные функции переменной í, 0 ^ t < Т, причем <X3(í) > 0. Еп - действительное п-мерное евклидово пространство, га ^ 1, га - целое.

Предполагается, что выполняются условия переопределения на двух различных гиперплоскостях z — 0 и z = b (Ь ф 0):

u(t, х, 0) = ip(t, х), u(t, х, b) = i¡>(t, ж), (t, ж) G П[0>г), (3)

где n¡0jT] = {(t, E2}, b £ E-i, a <p(t, ж), ip(t, ж) заданные

функции, удовлетворяющие условиям согласования

V?(0, х) = мо(ж, 0), -0(0, а;) = (4)

Ниже мы рассматриваем классические (достаточно гладкие) решения Под решением обратной задачи (1)-(3) в полосе Gjo.t.i, 0 < t» ^ Т, понимается тройка функций a(í, х), g(t, х), u(t, х, г), удовлетворяющая соотношениям (1)-(3)

Предполагая, что решение u(t,x,z) задачи (1)-(3) допускает прямое и обратное преобразование Фурье по переменной z:

+оо

v(t,x,y) = ^ I u(t,x, z)e~tzv dz — F(u)(t,x,y),

-OO

-foo

u{t, x, z)= J v(t, x, y)eizv dy -= F~l(u)(t, x, z),

-OÛ

приводим задачу (l)-(3) к прямой задаче для интегродифференциального уравнения

dv Tí. Re{Pf(t,x,b)-Qf(t,xt 0)}

— = Lr(v) - a3{t)y2v + ' ' ,firL-krLo+

dt <pf(t,x,b)-ij>f(t,x,0)

+ Vf x,ti) {,'Vh

х, у) = «о(г, у), {х. у) € (с)

где

Q = i>t- ь,{ф) + a3{t) J y2ve'bv dy, P = <p, - Lr(>p) + a3(t) J y2vdy

~oo —oo

Здесь и далее /?еФ - действительная часть Ф: v(t,x,y) = F(u)(t,x,y), vQ(x,y) = F(u0)(x,y), F(t, x, у) = F(f)(t,x,y) преобразования Фурье по переменной z соответственно функций и, щ, /•

Пусть функции <p(t,x), ip(t,x), Ф = ipf-Lj(ip), Ф = 4>t-Lx{^), v0, f\z^0, f\г=ь, F(t,x,y) непрерывные no t, достаточно гладкие по х, у в С?[о,г] и удовлетворяют следующим соотношениям:

+ С, И <4; (7)

+ |7К2; (8)

\y\v+€\DZvo\ + \vrE№F\<M, |0|<4; (9)

\yr^Dlv0\ + \yrc)^DlF\^R, |7К2; (10)

(t,x,y) <Е G{p,T\, £ = const > 0; v ^ 3 - целое, С, N, M, R- неотрицательные постоянные.

Здесь и далее 0 = (/Зь .. ,/?„), 7 = (7ь • • ■ .7.0 - мультииндексы, Щ =

п

Yfi, и Dflx = dW/dxf ...dxfr. 1=1

Предположим также выполнение в П[о,г] условия

\ipf(t,x,b)~-il>f{t,x,0)\ > S > 0, S = const. (И)

Отметим, что условие (11) есть условие однозначной разрешимости линейной алгебраической си< го мы из которой находятся а и д.

Имеет место

Теорема 1. Пусть выполняются соотношения (7) (11) Тогда в классе о ¡.¡) существует решенье х, у) задачи (5). (6), удовлетворяющее неравенству

\у\г\Оу(1,х,у)\^С, («,*,?)€ Яру.], р=0,.-. |а|<2.

(12)

Постоянная 0 < I, ^ Т, зависит от постоянныт С, Ы, М, II, 6 из соотношений (7)-(11).

Здесь и далее в диссертации через С обозначены различные неотрицательные постоянные, а через обозначено пространство функций /, имеющих непрерывные производные в С[о,ц по I до порядка / и по х, до порядка т включительно.

Доказано, что классическое решение х, г), д(Ь,х), а(£, х) задачи (1)-(3) задается формулами

+ОС

и(Ь,х,г)= У ь{Ь,х,у)е"уйу, (13)

—00

ч>Ньх,ь)-ф/(г,х,оу

где х, у) является решением задачи (5), (6).

Согласно (12) из представлений (13), (14) следует, что тройка функций и, д, а принадлежит классу

Щи) = {А((, ж, г), х), /д (¿, х) | € С^Кш). * = 0,«/ - 1,

^ е С(С[0>(.)), еС^(и[0Л])}

и имеют меето неравенства

"-1 дк

ЕЕ

к~0

dz-kD°b(t,x,z)

< С, е Сю/.), (15)

J2 \D°Tg{t,x)\-\ ]Г ID'Xi.x)! < С, (t,x) £ П[ол]. (16)

Имеет место

Теорема 2. Пу<ть т>толняются условия (4), (7)-(11) Тогда в к пассе U(tt) существует единственное решение и, g, a лодачь (1)-(3), удовлетворяющее соотношениям (15), (16)

В разделе 2 2 проведено исследование однозначной разрешимости задачи идентификации коэффициентов при младших производных.

В полосе G[o,t] - {(£,;r,z)|0 ^ t ^ Т, х G Еп. z G Ех} рассматривается уравнение

ди Эи

— = Lx{u)+K{t)~+a(t!x)—+g{t,x)u+f{t,x,z) (17)

с двумя неизвестными коэффициентами a(t,x), g(t,x), с начальным условием

м(0, х, z) = и0(х, z), (ж, z) € Еп+1. (18)

Здесь

г . . v^ д2и ^ ди

функции /(t, а:, г), щ(х, z) заданы в С?[0,Г] и ^п+i соответственно, коэффициенты n(t), a,(i), i,j = 1, п, непрерывные действительнозначные функции переменной t, 0 ^ i ^ Т, Т > 0, Т — const, причем «(i) > 0 Здесь и ниже считаем, что a4(£) = aJt(f) и выполняется соотношение

¿«„66 >о ЩеЕп, t е [о, т]

Предполагается, что выполняются условия переопределения на двух различных гиперплоскостях:

u(t,x,0) = <p(t,x), u(t,x,b) = ф(г,х), (t,,x) еПм, (19)

где П[0>т] = {{t, х)|0 < t < Т,х е Еп}, и <p(t,x), 4'{t,x) - заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования

<£>(0, х) = uq(x,0), 1/1(0, х) = ио(х, Ь), х е Е„, Ь 0, 6 = const. (20)

Под решением обратной задачи (17)-(19) в полосе (?[о,г,.), 0 < t„ ^ Т, понимается тройка функций a(i,x), g(t,x), u(t, х, z), которые удовлетворяют соотношениям (17)-(19).

Предполагая, что решение u(t,x,z) задачи (17)-(19) допускает прямое и обратное преобразование Фурье но переменной 2, перейдем от задачи (17)-(19) к прямой вспомогательной задаче

Re{Qi (+_Z yv(t, x, y) dy - Pi f+_Z yv(t, x, y)e*> dy} +----_--v + F(t,x,y),

(21)

v(0, x, y) = v0(x, y), (x, у) e En+l, (22)

где

+oo

P = ^ - Lx{<f) + K(t) J y2v{t,x,y)dy-f(t,x,0),

-OO

+OO

Q = ^ - Ьх(ф) + K(t) J y2v(t,x,y)e"»dy-f(t,x,b),

—OO

Д = x) - определитель системы алгебраических уравнений, из которой

определяются о и д

г+оо

д =

ti-Zyv(t>x>y)dv v 'if+Zyv(t'x>yyh'Jdy 'Ф

Дь — ДеД; Sf(6) - срезающая функция класса C*(Ei), S > О, S — const, удовлетворяющая следующим соотношениям.

Ss(e) > - при в е Яь Ss(0) = <

л

U'

> 4 2'

(23)

£

4'

Сделаем предположение относительно входных данных. Пусть функции ¡¿¡(г, X), ФИ, х),Ф = <р1- ьт(<р), Ф = ^ - «о, /|г=0,

/|г-ь, Е(Ь,х,у) - непрерывные по t, достаточно гладкие по переменным г, 2/ в С[о,г] и удовлетворяют неравенствам

+ |т| < 2;

ы

,p+4-|/J|+e

р+4-|0|+е

l2/|P+2-h,+e!|_D>ol Hy|p+2-h1+e||.DiF| ^ Д; |7l ^ 2;

(24)

(25)

(26) (27)

(■t,x,y) € G|o,r], £ = const > 0, p ^ 3, p - целое, С, N, M, R -неотрицательные постоянные.

Предположим выполнение в П[о,г] условий

|Д(0,х)| =

дщ{х,0) . .дщ{х,Ъ) Щ[х,Ь)—'—0) -ч—

дг х ' ' dz

+ х) е П(о,п

^ S > 0, 5 = const,

Имеет место

Теорема 3. Пусть выполняются соотношения (23), (24)-(27) Тогда в к пассе C]'^(G[ о,/.]) существует решение v(t,x,y) юдачи (21), (22), удовлетворяющее неравенству

\y\"\Darv(t,x,y)\^C\ (29)

9 = 0, ■ - ■ ,р+2-\а\,р + 2-\а\+е, |а| < 2.

Постоянная t,, 0 < i* ^ Т, зависит, от постоянныт С N, M, R, S из

соотношений (23), (24)-(27).

Доказано, что классическое решение u(t, х, z) g(t, г), a(t, х) задачи (17)-

(19) задается соотношениями i 00

u(i,x,z)- J v(t,x,y)e'zy dy,

—00

и s Qif-Zyv(t>x>y)dy-Pif-Zyv(t>x>yy'"/dy

git X) — ------—--,

PI n A (3°)

Рф- Qip

=--д-.

где v(t,x,y) является решением задачи (21), (22)

Согласно (29) из представлений (30) следует, что тройка функций u(t,x, z), g(t,x), a(t,x) принадлежит классу

U(U) = {A(i, г, г), х), Ml(i, х) | ^ 6 C?,f(Gp,,.,). к = О,1,

р> 3, |а|<2, Л, eC(G{0g), П(ол1)}

и выполняются неравенства Р gk

ЕЕ

0 |«|<2

dziD°Mt,x,z)

(i,X,z)eG{ о,g, (31)

J2 \D>{t, ®)|+ Е IW. < («-ж) е (32)

Н$2 |а|^2

Имеет место

Теорема 4. Пусть выполняются углоаия (20), (24)-(28). Тогда в классе £/(<*) существует единственное решение и, д, а задачи (17)-(19), удовлетворяющее соотношениям (31), (32). Постоянная V, 0 < ^ Т, зависит от постоянных С, М, Я, 6 из (24)-(28).

В рал до л о 2 3 доказана однозначная разрешимость задачи идентификации двух старших коэффициентов многомерного параболического уравнения.

В полосе о,7] - {(£, х, г)| 0 I .<: Т, х £ Ен, г € Е\} рассматривается уравнение

ди д^и ди

т = х, г) (33)

с двумя неизвестными коэффициентами а(£,ж), я(1,х), с начальным условием

и(0,х,г) =щ(х,г), (х,г) £ Еп+Х (34)

Здесь

г , \ д2и ди

г,]-1 J J=1

функции f(t,x,z), щ(х, г) заданы в G[o,r| и Еп+1 соответственно, коэффициенты g(t), a,y(i), a,(t), i,j = l,n, - непрерывные действительнозначные функции переменной t, 0 < f < Т, Т > 0 - const.

Предполагается, что выполняются условия переопределения на двух различных гиперплоскостях:

u(t, х, 0) = f(t, х), u(t, х, b) = ip(t, x), (t, x) e П[о,г], (35)

где П[0)т] - {(i, x)\0 ^t ^T,x e En}, и (p(t, x), ip(t, x) - заданные функ-

ции, удовлетворяющие условиям согмасования

<р(0, х) — 0), -0(0, х) = щ(х,Ь), х £ Ен, b^O—const. (36)

Под решением обратной задами (33)-(35) в полосе G^i.], 0 < <„ ^ Т, понимается тройка функций a(t, х), q(t, ж), u(t, х, z), которые удовлетворяют соотношениям (33)-(35)

Предполагая существование преобразования Фурье по переменной z, приведем задачу (33)-(35) к прямой вспомогательной задаче

dv 2зд>

MP I-Z yMt, X, у) dy - Q /!~ y2v(t, x, y)e*» dy}

1 гу---

+ g{t)v+F(t,x,y),

v(0,x,y) = V0(x,y), (x,y) e En+1. Здесь

v+

(37)

(38)

Р = - Ьг(ф) ~ д{1)ф - ?{1,х,Ь), 0),

Д определитель системы алгебраических уравнений, из которой определяются коэффициенты а(£, х) и ж)-

Г+°° 2,.^___\ ]-. _ г+ои .

Д = Д(*,2г)

7^0,

/ уМ*> У) ¿У -гГ^У^'Х'У)^

уМ*. г, ¿у -г х, ¿у

+0О +00

Д1 = ЛеД, Вх = ЯеВ, В = Рг ! yv(t,x,y)dy - (¿г J уу(^ х, у)егЬу ¿у.

-оо —оо

Сделаем предположение относительно входных данных. Пусть функции <р^,х), фЦ,х), Ф = ^/-^хЫ, Ф = F(í,

/]2=п, /|г /„ У(){х, у) непрерывные но достаточно гладкие по переменным

х> У n G\o,т) и удовлетворяют неравенствам (24) (25) и \yr'-m+c\D0vo\Myr-m+W\ < М, № ^ 4;

< R, |7| < 2;

(t,x,y) £ G[o,Tj. е = const > 0, р > 4 целое, Л/, Я - константы. Предположим выполнение условий

|Ф4|+|Ф4|+|л(<)1 + 1^1+1^1+1/.|»=П+1/||»=о| < с, (t,x) е П(о,т]>

(40)

|Д(0,х)| = |В(0,*)| =

где 5 = const,

Ро-Qo =

дщ(х, 0) д2и0(х, Ь) дщ(х, b) д2щ(х, 0)

Ро

dz dz2 dz

дщ{х, 0) _ диа(х, b)

-Co-

dz

dz2

^ <5 > 0, же En,

> 6 > 0,

dz

дф{0'X) Lx(u0(x, b)) - 9(0)щ(х, b) - f(0, x, b), Lx(u0(x, 0)) - ff(0)un(x, 0) - /(0, x, 0).

(41)

т 81

Имеет место

Теорема 5. Пусть выполняются соотношения (23)-(25),(39),(40). Тогда, в классе С/'^(С^о,*,]) существует решение х, у) задачи (37), (38), удовлетворяющее неравенству

\у\"\оу(1,х,у)\^с, (г,х,у)есм, (42)

« = <),■■• ,р + 4-2|а|,р + 4-2|а|+е, \а\ ^ 2. Постоянная 0 < ^ Т, зависит от постоянных С, N, М, Я, 5 из соотношений (23)-(25), (39), (40).

Доказано, чю классическое решение и{Ь,х,г), а^,х), ?(£, ж) задачи (33)-(35) задается формулами

+оо

u(t,x,z)= У v(t,x,y)eizvdy,

, ч В

а(*>Х) = д.

х Р Г-2 у2^, х,у)*у-д уЧ(и х, у)е* ¿у (43) д^,х) = ---,

1др у{1,х,у) является решением задачи (37), (38)

В силу (42) из представлений (43) следует, что тройка функций и(Ь, х, г), <?(/, т), а(<, х) принадлежит классу С/(¿*) с постоянной р ^ 4, выполняются неравенства (31) и

(М)еп10,(<1. (44)

Имеет место

Теорема 6. Пусть выполняются условия (24), (25), (36), (39)-(41) Тогда в классе II(¿*) существует, единственное решение и, д, а задачи (33)-(35), удовлетворяющее соотношениям (31), (44) Постоянная <*, 0 <

^ Т, зависит от постоянных С, Ы, М, Я, <5 из соотношений (24), (25), (39)-(41)

Глава 3 диссертации посвящена исследованию задач идентификации трех и четырех коэффициентов многомерного параболического уравнения с условиями переопределения, заданными па трех и четырех различных гиперплоскостях.

В разделе 3.1 дана общая постановка задач.

В колосе (5(0,г) — х, г)| 0 ^ г ^ Т, ж £ Еп, г £ Е\) рассматривается многомерное параболическое уравнение ди д2и ди

— = 1х(и)+дг(г,х)^+д2(г,х)—+д3(1>х)и+д4(1,х)/(г,х,г) (45) с данными Коши

и(0, х, г) = ио(х, г), (х, г) € Еп+ ь (46)

Здесь

п „2 1 а

tJ=i 3 »=i функции f(t,x,z), vo(x,z) заданы в С[о,г) и .E„+i соответственно, коэффициенты ocr,(t), o,(t), г, j — 1 , п, непрерывные действительнозначные функции переменной t, х Е Еп, O^i^T, Т > О const.

R настоящей главе проводится исследование.

1 Задач идентификации трех коэффициентов уравнения (45), когда три коэффициента q2, qz, q4 или qu q3, q4, или qx, q2, q4, или çb q2, qz неизвестны и определяются одновременно с функцией г/ при условии дополнительной информации, заданной па трех различных гиперплоскостях.

= (47)

u{t, х, с) = х), х) е П[0]Т],

где n[0ln = {(*.«)! О < t < Т,х € i?n}, и p(t,a:), ^(i,®), х(*.®) -¡аданные функции, удовлетворяющие условиям согласования

¥?(0,ж) и0(х,0), ф(0,х) - и0(х,Ь), х(0, х) = щ(х,с), х € Е„, Ь ф с,Ь ф 0,сф 0 — const. Под решением задач (45)-(47) в полосе G[o>t,|, 0 < t, < Т, понимается четверка функций и, q2, qz, <74 или и, q\, t/з, <74, или и, q\, q2, £74, или и, Чи <72: <7з, которые удовлетворяют соотношениям (45)-(47).

2. Задачи идентификации четырех коэффициентов q%, г = 1,2,3,4, когда все они неи!вестпы и определяются одновременно с функцией и при условии дополнительной информации (47) и условия

u(t,x,d) - xi(é,ж), (t,x) е П[0Г1, (48)

где xi(t, х) - заданная функция удовлетворяющая условию согласования

Xi(0,z) = ua(x,d), х € Еп,

const.

Под решением задачи (45)-(47),(48) в полосе G[0,i.]> 0 < i* ^ Т, понимается пятерка функций и, qj, <72, f/з, <74. удовлетворяющая соотношениям (45)-(47),(48).

В разделе 3.2 показана однозначная разрешимость задачи (45)-(47) с тремя неизвестными коэффициентами q2(t,x), q$(t,x), qi(t, х). Коэффициент gi(f, х) уравнения (45) является непрерывной действительнозначной функцией в П[о,т] и qi(t, х) > 0

В разделе 3.3 исследуется однозначная разрешимость задачи идентификации трех коэффициентов уравнения (45), когда три коэффициента q\(t,x), qs(t,x), <74(i,х) неизвестны и определяются одновременно с функцией и при условии дополнительной информации (47). Коэффициент qi{t, г) является непрерывной действительнозначной функцией П^т).

В разделе 3.4 рассматривается задача идентификации трех коэффициентов уравнения (45), когда три коэффициента qi(t,x), qi(t, х), q\(t,x) неизвестны и определяются одновременно с функцией и при условии дополнительной информации (47) Коэффициент q^t, г) является заданной непрерывной действительнозначной функцией в Пр.г].

В разделе 3 5 рассматривается задача идентификации трех старших коэффициентов уравнения (45), когда три коэффициента qi(t,x), q2(t,x), q-j(t,x) неизвестны и определяются одновременно с функцией и при условии дополнительной информации (47) Коэффициент qt(t, х) является

непрерывной действительнозначной функцией в П[0д-]

В разделе 3 С рассматривается задача идентификации четырех коэффициентов 9ь 92- <?з, <?4 уравнения (45)

Глава 4 посвящена доказательпну однозначной разрешимости задачи идентификации коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной для параболического уравнения в случае задачи Коши и условий переопределения, заданных па двух различных гиперплоскостях.

Заключение содержит выводы и результаты проделанной работы. Работа выполнена при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект 01-01-00848) и Федерального агентства по образованию (грант А04-2.8-625).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Ю Я Белову за помощь и ценные советы при работе над диссертацией.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1 Белов Ю Я , Полынцева С В О задаче идентификации трех коэффициентов многомерного параболического уравнения // Совместный выпуск, часть I Вычислительные технологии, т. 9 Вестник КазНУ, N3(42). - Алматы-Новосибирск. 2004 С 273-280.

2 Белов Ю.Я., Полынцева С.В Об одной задаче идентификации двух коэффициентов многомерного параболического уравнения // ДАН. 2004. т.396. N5. С.583-586

3. Белов Ю.Я., Полынцева С В Об одной обратной задаче с двумя неизвестными коэффициентами /'/ Тр III между нар. конф "Симметрия и дифференциальные уравнения" - Красноярск: ИВМ СО РАН. 2002 С.60-65.

4. Полынцева С.В. О задаче идентификации двух старших коэффициентов параболического уравнения с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях // Вестник КрасГУ: физико-математические науки Красноярск 2004. Вып 3 С 107-112

5 Полынцева С.В О задаче идентификации коэффициентов в параболическом уравнении с условиями переопределения на двух различных гиперплоскостях // II Всесибирский конгресс женщин-математиков. Сб статей/Под ред. О.Г Проворовой. Красноярск' КГУ 2002. С.94-99

6. Полынцева С В Обратная задача определения коэффициентов в параболическом уравнении с условиями переопределения на двух различных гиперплоскостях '' II Всесибирский конгресс женщин-математиков. Тезисы докладов / Под ред. О.Г Проворовой Красноярск' КГУ 2002. С.164-165.

Подписало в печать «/у» ноября 2005г.

Бумага офсет. N1

Ус. печат. лист. 1,25

Тираж 100 Заказ .ЛЫ......

Формат 60 х 84 1/16 Печать офсет Ус. изд. лист 1,0

Издательский центр Красноярского государственного университета, 660041, г.Красноярск, пр.Свободный, 79

I

I

I (

л

4

I

! )

1

I

;

i

i

I

j

4

t

^73 5 79

РНБ Русский фонд

2006-4 23343

Введение

Глава 1. Вспомогательные предложения.

1.1. Основные определения и теоремы.

1.2. Принцип масимума.

1.3. Общая формулировка метода слабой аппроксимации.

1.4. Теорема метода слабой аппроксимации.

Глава 2. Задачи идентификации двух различных коэффициентов многомерного параболического уравнения

2.1. Задача определения функции источника и коэффициента при младшей производной.

2.1.1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче

2.1.2. Разрешимость прямой задачи

2.1.3. Существование и единственность классического решения обратной задачи.

2.2. Задача идентификации коэффициентов при младших производных.

2.2.1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче

2.2.2. Разрешимость прямой задачи

2.2.3. Существование и единственность классического решения обратной задачи.

2.3. Задача идентификации двух старших коэффициентов

2.3.1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче

2.3.2. Разрешимость прямой задачи

2.3.3. Существование и единственность классического решения обратной задачи

Глава 3. Задачи идентификации трех и четырех коэффициентов многомерного параболического уравнения

3.1. Постановка задач

3.2. Задача идентификации трех младших коэффициентов.

3.3. Задача определения функции источника и коэффициентов при младшей и второй производных.

3.4. Задача определения функции источника и коэффициентов при первой и второй производных.

3.5. Задача идентификации трех старших коэффициентов

3.6. Задача идентификации четырех коэффициентов

Глава 4. Задача определения коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной

4.1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче.

4.2. Разрешимость прямой задачи.

4.3. Существование и единственность классического решения обратной задачи

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений, границы области, граничных или начальных условий по той или иной информации о решениях этих уравнений. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов и др. приводят к обратным задачам.

Интерес к обратным задачам особенно интенсивен в последние 30-40 лет в связи с их важным прикладным значением. Они находят приложения при решении задач мониторинга окружающей среды, управления процессами, планирования разработки нефтяных месторождений, при созданнии новых приборов, аппаратов и др.

Обратную задачу называют одномерной в том случае, если идентифицируемые коэффициенты или функция источника зависят от одной переменной, в противном случае она многомерная. ч Первые исследования в теории обратных задач связаны с задачами сейсмики. В одномерном случае такие задачи впервые были рассмотрены Г. Герглотцем [82] и Е. Вихертом [95]. Теорема единственности решения сложной многомерной обратной задачи для уравнения Шредингера в классе кусочно-аналитических функций впервые была доказана Ю.М. Березанским в работе [24]. Различные многомерные обратные задачи впоследствии были исследованы М.М. Лаврентьевым [45, 46, 48], В.Г. Романовым [66, 68], Ю.Е. Аниконовым [1, 4], А.И. Прилепко [57, 58], А.Д. Искендеровым [33, 34], М.В. Клибановым [40], Н.Я. Безнощенко [12, 14] и др.

Одним из сложных для исследования классов обратных задач являются коэффициентные. Коэффициентные обратные задачи - задачи об определении коэффициентов дифференциальных операторов (обыкновенных или в частных производных) по некоторой информации о решении.

Задачи идентификации коэффициентов (коэффициентные обратные задачи) уравнений и систем уравнений в частных производных исследовались М.М. Лаврентьевым [45-47], В.Г. Романовым [66-68], Ю.Е. Аниконовым [2, 5], И. А. Васиным [59], А.И. Прилепко [62-64], А.Б. Костиным [60, 61], А. Лоренци [81, 88-90], A.M. Денисовым [28, 80], В.М. Исаковым [32, 84], В.Л. Камыниным [35], А.Д. Искендеровым [33], А.И. Кожановым [41-43,85-87], В.В. Соловьевым [69, 70], Н.Я. Безнощенко [11, 13], Н.И. Иванчовым [29, 30], Ю.Я. Беловым [76, 77], Т.Н. Шипиной [22, 23, 78], Г.А. Кирилловой[37-39], С.Н. Барановым [7-10] и другими.

Обратные задачи для дифференциально-операторных уравнений исследованы Д.Г. Орловским в работах [50-52].

Краевые задачи идентификации коэффициентов или функции источника для параболического уравнения рассматривались в [26, 63, 69, 76, 79, 91, 92] и многих других работах.

Задачи определения функции источника параболического уравнения исследовались в [15, 46, 58, 69], когда искомая функция источника не зависит от одной или нескольких независимых переменных уравнения. Корректность задач определения функции источника параболического уравнения при различных условиях переопределения, когда функция источника зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение была рассмотрена в [64].

Задачи идентификации коэффициента при младшем члене параболического уравнения, когда количество независимых переменных искомого коэффициента меньше числа независимых переменных уравнения исследовались в [32, 33, 47, 60, 62, 94].

Задачи идентификации двух коэффициентов в случае, когда условия переопределения задаются на одной гиперплоскости, см. [6, 75]. Некоторые задачи определения двух коэффициентов для различных уравнений см. в [74, 83, 89, 93].

Целью представленной диссертационной работы является исследование на разрешимость задач идентификации нескольких коэффициентов многомерных параболических уравнений с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях.

Для достижения этой цели в работе:

• На основе преобразования Фурье и условий переопределения поставленные задачи приведены к прямым вспомогательным задачам Коши для нелинейных интегродифференциальных параболических уравнений.

• В предположении достаточной гладкости входных данных методом слабой аппроксимации [16, 73] доказана локальная разрешимость вспомогательных задач.

• Решения исходных задач представлены в явном виде через решения вспомогательных прямых задач.

• Доказаны теоремы существования и единственности классических решений исходных задач идентификации коэффициентов.

Данный алгоритм был применен Ю.Я. Беловым для исследования разрешимости задач идентификации: функции источника, младшего коэффициента, коэффициента при первой производной по пространственной переменной в случае условий переопределения, заданных на одной гиперплоскости (см. (77]).

Отметим, что процедура сведения обратной задачи к прямой вспомогательной впервые была предложена Ю.Е. Аниконовым [1]. Далее такой подход был применим к исследованию разрешимости обратных задач в работах [2,

3, 6, 25, 48, 72, 76] и др.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 95 наименований. Объем диссертации составляет 155 страниц.

Заключение

В диссертации решены актуальные задачи одновременной идентификации нескольких коэффициентов многомерных параболических уравнений с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях. Сформулируем основные результаты работы.

В результате проведенных исследований доказаны теоремы существования и единственности классических решений

1. задачи определения функции источника и коэффициента при младшей производной;

2. задачи идентификации коэффициентов при младших производных;

3. задачи идентификации двух старших коэффициентов;

4. задачи идентификации трех младших коэффициентов;

5. задачи определения функции источника и коэффициентов при младшей и второй производных;

6. задачи определения функции источника и коэффициентов при первой и второй производных;

7. задачи идентификации трех старших коэффициентов;

8. задачи идентификации четырех коэффициентов;

9. задачи определения коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной.

Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при построении общей теории обратных задач.

1. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд. 1978.

2. Аниконов Ю.Е. Псевдодифференциальные операторы и обратные задачи. Новосибирск. 1986. (Препринт / АН СССР. Сиб. от-ние. Вычислительный центр, N671).

3. Аниконов Ю.Е., Белов Ю.Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1989. Т.306. N6. С.1289-1293.

4. Аниконов Ю.Е., Бубнов Б.А. Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1988. Т.298. N4. С.777-779.

5. Аниконов Ю.Е., Вишневский М.П. Формулы в обратной задаче для эволюционного уравнения // Сиб. мат. журнал. 1996. Т.37. N5. С.963-976.

6. Ахтамова С.С., Белов Ю.Я. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // ДАН. 1991. т. 361. N4. С.791-795.

7. Баранов С.Н. О задаче идентификации четырех коэффициентов многомерного параболического уравнения в случае неоднородных условий переопределения // Вестник КрасГУ: физико-математические науки. -Красноярск: КрасГУ. 2005. вып.1. С.149-159.

8. Баранов С.Н., Белов Ю.Я. О задаче идентификации двух коэффициентов с неоднородными условиями переопределения // Неклассическиеуравнения мат. физики: Сб. научн. работ / Под ред. А.И. Кожанова. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. 2002. С. 11-22.

9. Баранов С.Н., Белов Ю.Я. О задаче идентификации нескольких коэффициентов с неоднородными условиями переопределения // Дальневосточный мат. журнал. Т.5. N1. Владивосток. 2004. С.30-40.

10. Баранов С.Н., Белов Ю.Я. О задаче идентификации трех коэффициентов с неоднородными условиями переопределения // Вычислительные технологии. Т.8. часть 4. Новосибирск. 2003. С.92-102.

11. Безнощенко Н.Я. Достаточные условия существования решения задач определения коэффициентов при старших производных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. N11. С.1980-1915.

12. Безнощенко Н.Я. О задаче Коши для уравнения щ — А и + иАи = / // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.21. N6. С.991-1000.

13. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициента в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения. 1974. Т.10. N1. С.24-25.

14. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения. 1975. Т.П. N4. С.19-26.

15. Белов Ю.Я. Обратная задача для уравнения Бюргерса // Доклады РАН. 1992. Т. 323. N3. С.385-388.

16. Белов Ю.Я., Кантор С.А. Метод слабой аппроксимации. Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 1999. - 236с.

17. Белов Ю.Я., Полынцева С.В. О задаче идентификации трех коэффициентов многомерного параболического уравнения // Совместный выпуск, часть I. Вычислительные технологии, т. 9. Вестник КазНУ, N3(42). Алматы-Новосибирск. 2004. С.273-280.

18. Белов Ю.Я., Полынцева С.В. Об одной задаче идентификации двух коэффициентов многомерного параболического уравнения // ДАН. 2004. т.396. N5. С.583-586.

19. Белов Ю.Я., Полынцева С.В. Об одной обратной задаче с двумя неизвестными коэффициентами // Тр. III междунар. конф."Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН. 2002. С.60-65.

20. Белов Ю.Я., Саватеев Е.Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // ДАН СССР. 1991. Т.334. N5. С.800-804.

21. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. О задаче идентификации функции источника для системы составного типа // Тезисы докладов конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". Москва. МГУ. 1998.

22. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. Об одной задаче определения функции источника // Тезисы докладов Международной конференции "Обратные задачи математической физики". Новосибирск. 1998. С.18.

23. Березанский Ю.М. Об однозначности определения уравнения Шредингера // Доклады АН СССР. 1953. В.93. N4. С.591-594.

24. Бубнов Б.А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений. Новосибирск. 1989 (Препринт / АН СССР. Сиб. отд. Вычислительный центр. N87 - 714).

25. Волков В.М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. С.2166-2169.

26. Демидов Г.В., Яненко Н.Н. Метод слабой аппроксимации // Труды Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными. -М.: Изд-во Московск. ун-та, 1978. С.100-102.

27. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. МГУ. 1994. 206с.

28. Иванчов Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости // Сибирский математический журнал. 1994. Т.35. N3. С.612-621.

29. Иванчов Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сибирский математический журнал. 1998. Т.39. N3. С.539-550.

30. Ильин A.M., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17, N3. С.3-146.

31. Исаков В.М. Одна обратная задача для параболического уравнения // Успехи матем. наук. 1982. Т.32. N2. С. 108-109.

32. Искендеров А.Д. Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений // ДАН СССР. 1975. Т.225. N5. С.1005-1008.

33. Искендеров А.Д., Тагиев Р.К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. N8. С.1324-1334.

34. Камынин B.JL, Саролди М. Нелинейная обратная задача параболического уравнения высокого порядка // Журнал "Выч. математика и матем. физика". 1998. Т.38. N10. С.1683-1691.

35. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 2-е изд., перераб. М.: Наука. 1977.

36. Кириллова Г.А. Линейная обратная задача для одного класса параболических уравнений высокого порядка // Вестник НГУ. 2003. Т.З. N1. С.28-37.

37. Кириллова Г.А. Линейная обратная задача для параболических уравнений высокого порядка // Материалы международной Школы-конференции. Ханты-Мансийск. 2002. С. 19-20.

38. Кириллова Г.А. Обратная задача для параболического уравнения высокого порядка с неизвестным коэффициентом при решении в случае интегрального переопределения // Математические заметки ЯГУ. 2003. Т. 10. N1. С.34-45.

39. Клибанов М.В. Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии // СМЖ. 1976. Т. 17. N3. С.564-569.

40. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений мат. физики нечетногопорядка. Новосибирск: Издательство Новосибирского университета. 1990. - 132с.

41. Кожанов А.И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений. Новосибирск. 1998.- 29с.(Препринт/РАН Сиб. отд. Ин-т математики. N54)

42. Кожанов А.И., Кириллова Г.А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Математические заметки ЯГУ. 2000. Т.7 N1. С.35-49.

43. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

44. Лаврентьев М.М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений // Доклады АН СССР, 1965. Т. 160. N1. С. 32-35.

45. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1969.

46. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г. Теоремы единственности нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа // ДАН СССР. 1973. Т.208. N3. С.531-532.

47. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980.

48. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.- М.: Наука, 1976. 391с.

49. Орловский Д.Г. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения высокого порядка в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25. N6. С.1081-1084.

50. Орловский Д.Г. Слабые и сильные решения обратных задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1991. Т.27. N5. С.867-874.

51. Орловский Д.Г. Фредгольмова разрешимость краевых обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1992. Т.28. N4. С.687-697.

52. Полынцева С.В. О задаче идентификации двух старших коэффициентов параболического уравнения с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях // Вестник КрасГУ: физико-математические науки. Красноярск. 2004. Вып. 3. С. 107-112.

53. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-4-е изд. М.: Наука, 1974.

54. Прилепко А.И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики. Новосибирск: Наука, 1992. С.151-162.

55. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические,параболические, гиперболические уравнения переноса) // Мат.заметки. 1973. Т. 14,15. С.777-789.

56. Прилепко А.И., Васин И.А. Постановка и исследование нелинейной обратной задачи управления движением вязкой несжимаемой жидкости // Дифференциальные уравнения. 1992. Т.28. N4. С.697-709.

57. Прилепко А.И., Костин А.Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении I // СЖМ. 1992. Т.ЗЗ. N3. С.146-155.

58. Прилепко А.И., Костин А.Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении, II // Сиб. мат. журнал. 1993. Т.34. N5. С.147-162.

59. Прилепко А.И., Соловьев В.В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения, 1987. Т.23. N1. С.136-143.

60. Прилепко А.И., Соловьев В.В. Разрешимость обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. N1. С.136-143.

61. Прилепко А.И., Соловьев В.В. Теоремы о разрешимости и метод Роте в задачах для уравнений параболического типа II // Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. N11. С.1971-1980.

62. Рождественский Б.М., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

63. Романов В.Г. К теоремам единственности одного класса обратных задач // Доклады АН СССР, 1972. Т.204. N5. С. 1075-1076.

64. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука. 1984. - 261с.

65. Романов В.Г. Теорема единственности и устойчивости для нелинейного операторного уравнения // ДАН СССР. 1972. Т.207. N5. С.1051-1053.

66. Соловьев В.В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25. N9. С.1577-1583.

67. Соловьев В.В. Определение источника и коэффициентов в параболическом уравнении в многомерном случае // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. N6. С.1060-1069.

68. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 736с.

69. Условно-корректные задачи математической физики и анализа / Под ред. В.Г. Романова. Новосибирск: Наука, 1992. - 267с.

70. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск. 1967. - 195с.

71. Anikonov Yu.E. Constructive approaches to multidimensional inverse problems of determining two or more coefficients of evolutionary equations // J. Inv. Ill Posed Problems. 1999. V.7. N5. P.435-452.

72. Anikonov Yu.E., Belov Yu.Ya. Determining two unknown coefficients of parabolic type equation // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2000. V.8. N0. P. 1-19.

73. Belov Yu.Ya. Inverse problems for parabolic equations //J. Inv. Ill-Posed Problems. 1993. V.l. N4. P.283-305.

74. Belov Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations. Utrecht: VSP, 2002. 211p.

75. Belov Yu.Ya. and Shipina T.N. The problem of determining the sourse function for a system of composite type // J.Inv.Ill-Posed Problems. 1998. V.6. N4. P.287-308.

76. Cannon J.R. and Yanping Lin. Determination of a parameter pit) in some quasi linear parabolic differential equations // J. Ill-Posed and Inverse Problems. 1988. V.4. N1. P.595-606.

77. Denisov A.M. and Lorenzi A. Recovering nonlinear terms with a priori un-knoun domains of definition in second order nonlinear ordinary differential equations // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V.ll. N2. P.137-160.

78. Faragon A. and Lorenzi A. Parabolic integro-differential identification problems related to radial memory kernels with special simmetries // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V.ll. N1. P.67-88.

79. Herglotz G. Uber die Elastizitat der Erde bei Borucksichtigung inter Vari-ablen Dichte. Zeit schr. fur Math, und Phys. 1905. Bd52. N3. S.275-299.83. 1ванчов M.I. Обернет задач1 теплопровщноси з нелокальными умовами: Препринт. К.: 1СДО, 1996. - 84 с.

80. Isakov V.M. Invers parabolic problems with the final overdetermination // Comm. Pure Appl. Math. 1991. N44. P. 185-209.

81. Kozhanov A.I. Composite Type Equation and Inverse Problems // Utrecht: VSP. 1999.

82. Kozhanov A.I. On solvability of an inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation, I // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2002. V.10. N6. P.547-658.

83. Kozhanov A.I. On solvability of an inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation, II // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V.ll. N5. P.505-522.

84. Lorenzi A. Determination of a time-dependent coefficient in a quasi-linear parabolic equation // Recerche di Matematica. 1983. N32. P.263-284.

85. Lorenzi A., Paparoni E. Identification of two unknown coefficients in an inte-grodifferential hyperbolic equation // J. Inv. Ill-Posed Problems. 1993. V.l. N4. P.331-348.

86. Lorenzi A. and Paparoni E. Identification problems for pseudohyperbolic integrodifferential operator equations // J.Inv.Ill-Posed Problems. 1998. V.5. N6. P.523-548.

87. Riganti R. and Savateev E. Inverse problem for the nonlinear heat equation with final overdetermination // Rapporto Interno. 1995. N7. Politecnico di Torino. Torino.

88. Riganti R. and Savateev E. On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Rapporto Interno. 1991. N25. Politecnico di Torino. Torino.

89. Romanov V.G. On the well-posedness of inverse problems with the data support treated at the domain boundary // J. Inv. Ill Posed Problems. 1993. V.l. N2. P.155-167.

90. Rundell W. The determination of a parabolic equation from initial and final data // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. V.99. N4. P. 637-642.

91. Wiechert E. und Zoeppritz K. Uber Erdbebenwellen Gotingen. Nachr. Konigl. Geselschaft. 1907. N4. S.415-549.