Задачи идентификации коэффициентов многомерных параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Баранов Сергей Николаевич

1

ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ МНОГОМЕРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

специальность 01.01.02 дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-2005

Работа выполнена в Красноярском государственном университете Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Белов Ю. Я.

Официальный оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится 11 ноября 2005г. в 16 часов па заседании диссертационного совета К 212.099.03 в Красноярском государственном университете по адресу 660041, г. Красноярск, пр. Свободный. 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан */Р..ь 2005г.

Ученый секретарь диссертациошюго совета

профессор Кожанов А. И.

кандидат физико-математических наук,

доцент Лгобанова А. Ш.

Ведущая организация: Институт математики СО РАН

д.ф.-м.н,

Шлапупов А А.

- 4 /7 ¿¿У

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Обратными задачами для дифференциальных уравнений называются задачи определения входных данных - коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий но дополнительной информации о решениях уравнений. Эту дополнительную информацию часто называют условиями переопределения.

Обратные задачи возникают во многих областях науки и техники. Необходимость использования обратных задач возникает, например, в следующих случаях:

• создание приборов, техники с заранее заданными или заранее планируемыми характеристиками;

• оценка экспериментальных данных, получение тех или иных выводов по косвенным наблюдениям:

• обработка данных, полученных в результате проведенного эксперй-

Тсория и методы решения обратных задач составляют важное направление научных исследований в области дифференциальных уравнений в частных производных.

Обратная задача называется одномерной, если коэффициенты уравнения зависят только от одной пространственной переменной. В случае, когда уравнение зависит от нескольких пространственных переменных, обратная задача называется многомерной.

Первые результаты о разрешимости одномерных обратных задач при-

мсита.

I

националы

надлежат Г.Герглотцу и Е.Вихерту. Результаты, связанные с изучением многомерных обратных задач, были впервые получены Ю.М. Березан-еким. Исследования многомерных обратных задач проводились также М.М. Лаврентьевым, В.Г. Романовым, Ю.Е. Аникоиовым, Б.А. Бубновым, А.Д. Искендеровым, М.В. Клибановым, А.И. Прилепко, Н.Я. Без-иощенко, Н.И. Иванчовым и другими.

В работах А.И Кожаиова рассматривались краевые обратные задачи, в которых неизвестный коэффициент зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и является ядром некоторого дифференциального оператора первого порядка.

В работах Е.Г. Саватоова исследовалась однозначная разрешимость обратных задач для параболических уравнений, когда искомый коэффициент или функция источника зависит от всех переменных и имеет вид

/(%(*) или f(t)+g(x).

В работах О.Н. Николаевой изучены задачи гиперболической аппроксимации для обратных задач, задачи однозначной разрешимости для гиперболических уравнении, содержащих малый параметр при второй производной по времени, исследован нон рос о близост и решений задач с малым параметром и соответствующих предельных задач.

В работах Т.Н. Шииииой доказана однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения функции источника F(t, х) параболического уравнения, которая зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и предегавима в виде F(t,x) — f(t)g(x): исследована корректность задачи идентификации функции источника для системы составного тина в предположении, что функция источника

зависит только от временной переменной Исследованы вопросы стабилизация решения ыри £ —> оо; доказаны теоремы существования и единственности «в целом» для одномерной нелинейной обратной задачи в случае, когда неизвестен коэффициент при младшем члене параболического уравнения. Получены достаточные условия, при которых решение исследуемой задачи стремится к решению некоторой стационарной задачи при Ь —* оо.

Цель работы. Доказательство существования и единственности решений обратных задач и определение входных данных для многомерных параболических уравнений.

Методика исследования. С использованием преобразования Фурье осуществляется формальный переход от обратной задачи к прямой задаче для интегродифференциального уравнения. Механизм сведения обратной задачи к прямой впервые предложен Ю.Е. Аниконовым. Для доказательства разрешимости прямых задач используется метод слабой аппроксимации.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми, носят теоретический характер и снабжены строгими доказательствами. Они могут быть использованы при построении общей теории обратных задач.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Красноярского государственного университета руководитель - д.ф-м.н. Ю.Я. Белов (2000-2005гг.);

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы, в

которых отражено ее основное содержание Список работ приведен ниже.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, главы, в которой приведены некоторые вспомогательные определения и утверждения, трех глав самостоятельных исследований, списка цитируемой литературы из 76 наименований и списка работ автора но теме диссертации. Объем диссертации составляет 121 страницу машинописного текста.

Содержание работы Во введении проведен анализ работ других авторов по теории обратных задач, дано обоснование актуальности выбранной темы, приведены постановки задач и метод их исследования.

В первой главе исследована следующая задача: В полосе в G[0,n = z)\ 0 < t < Т, же Em, z € i?i}, Т = canst > О, тп > 1 - целое, решение и, fi, А уравнения:

ut(t, х, z) = Lx(u(t, х, z))+uxl{t, x, z) + fi(t, x)uz(t, x, z)+

(1)

+A(i,x)it(i,x, z) + f(t,x,z), удовлетворяющее начальным данным

м(0, х, z) = «о(х, z), xeEm, z€ Еи (2)

и условиям переопределения

u(t, х, 0) = 6(t, х), uz(t, х, 0) = k(t, х), (t, х) € П[0,г|- (3)

а п

Здесь Lz(и) = Yl <*ктиХкХт + YlakUxk, функции f(t,x,z), щ(x,z)

t,m=l fc=l

заданы в G[o,T\ и Еп+1 соответственно, Е^ - fc-мерпое евклидово пространство, а^п = a,km{t), о,к — - непрерывные функции переменной t, t е [0, Т]. Предполагаем, что для всех £ 6 Е,„ t € [0, Г] выполняется

неравенство

п

к,7П= 1

где к положительная константа.

Предполагаем также выполнение условия согласования

0(0, х) = щ(х, 0), к(0, х) = ^^ (4)

и соотношение

^^ (5)

OZ ~

Условие (5) требование положительности определителя системы уравнений на pi(£, х), А(£, х) неизвестные в начальный момент времени.

Ранее Ю.Е Аниконовым и Ю.Я Беловым, указанная выше задача, была исследована в случаях, когда хотя бы одно из условий переопределения (к или в) являются однородными. Доказаны теоремы существования и единственности. При 9(t, х) — 0, k(t, х) = 0 получены следующие соотношения для неизвестных [i(t, х), A(i, х):

. ч _ _ u^z(t,x, 0) + fz(t,x, 0) u»(t,x, 0)

. . _ (Vzzijt, X, 0) - Lx(u(t, x, 0)) - fzz(t, x, 0) - uzzzz(t, o) , X{t>x) _ _____ +

(uzzz(t, x, 0) + fz(t, x, 0 ))u zzzz (t■ z, 0)

При 9(t, x) = 0, k(t, x) ^ 0 получены следующие соотношения для неизвестных fj,(t, х), A(t, х):

uzz(t,x,0)+f(t,x,Q)

H(t,x) = -

и. ч . (kt(t,x) - Lx(k(t,x)) - fz(t,x,0) -uzzz{t,x,0) , Щх) - щщ +

+

k(t, х) Lx(k(t,

(uzz (t, х, 0) + /(£, х, 0))и„ (t, х, 0)

k2(t,x) 7

В диссертации рассмотрен случай неоднородных условий переопределения.

Из (1) (3), предполагая, что определитель системы уравнений для неизвестных n(t, х) и A(t,x), A(t,x) = k2(t,x) — 0(t,x)uzz(t,x, 0) ф 0, находим:

{ф!~ uzz(t,x,0))k(t,x) - (ф2 ~ uzzz(t,x,0))6[t,x)

k*(t,x)-6(t,x)uzz(t,x, 0) ' W

(j>2 - uZZ2(t,x,0))k(t,x) - (ф1 - uzz{t,x,0))uzz(t,x,Q) K ,X} k\t,x)-e{t,x)uzz{t,x, 0) ' ( >

Здесь

Vi(t, x) = 9t(t, x) - x)) - f{t, x, 0),

1&a(i, x) = h(t, x) - Lo.(A-(i, i)) - fz(t, x, 0).

Пусть

+oo +00

v{t,x,y) = ~ J u(t,x, z)e~uydz, u(t,x,z) = j v{t,x,y)e,iVdy (8)

—ос ОС

прямое и обратное преобразования Фурье по переменной z. Применим (формально) преобразование Фурье но переменной z к исходному уравнению (1):

v,{t, х, у) = Lx(v(t, х. у))-y2v{t, х, y)+iynv{t, х, у) +Xv{t,х, у)+ФЦ, х, у), +00

где Ф(t,x,y) — ^ J f(t,x,z)e~tzvdz преобразование Фурье по пере-ос

мешюй z функции f(t, х, z). Из последнего уравнения и соотношений (6) (8) получаем, что v(t,x,y) есть решение задачи

2 , М - y2)fc - (гр2 - У3)0

= - V2v + zyv--ф-щ-+

(ф2-У3)к-(ф1-У2)У2 + к2 — 6У2 + '

в

v{0,x,y) = v0{x,y). (10)

+00 +00

Здесь v0(x,y) = ¿ / u0(x, z)e~iz"dz, Y2(t,x) = - f y2vdy, Y3{t,x) =

-oc —00

+00

-i f y3vdy преобразование Фурье по переменной г функции щ(х, г)

—00

и от- функций uzz(t, х, z) и uzzz(t, х, z) при г = 0 соответственно.

В уравнении (9) от выражений, содержащих интегралы, возьмем вещественную часть. Получим уравнение

* =£.(«) - » » + гуу--ЩьГГЩ-+

Де(У-'2 - У3)& - Де((У>! - У2)У2)

Re{k2-0Y2) 'V

(H)

Мы пришли к вспомогательной прямой задаче (11), (10). Рассмотрим функцию срезки ¿>¿(0). Пусть функция Яб{9) - достаточно гладкая и обладает следующими свойствами:

> £ > 0 при всех 0еЕ1» = ° ~

Q — "»'.........^ « I Л Ü 6

J U' 0 - з-

Поставим срезку в знаменатель дробных выражений в (11): выражение Re(k2 — 0У2) заменим на S* (Re(k2 - 0У2)). Получим уравнение vi х, у)) - y2v(t, х, у) -1- iyv{t, х, y)Pi(t, х, у, v)+

(12)

+v(t, X, y)P2(t, X, y, v) + Ф(<, x, y),

где

Pz{t,x,y,v) ■■

Ss(Re(h*-eY2)) Re(i>2 - Y3)k - Rem - Y2)Y2)

(Яе(к2 - 0У2))

Доказывается классическая однозначная разрешимость задачи (12), (10). На основании'' свойств функции срезки доказывается однозначная разрешимость в «малом» задачи (11), (10). Решение задачи (1) - (3) в явном виде выражается через решение задачи (11), (10).

Относительно функций в, к, Ф, зд, /|г=0, /г|2=0, фи ф2 предположим следующее: они достаточно гладкие (имеют все непрерывные производные, входящие в соотношения (13) - (16)), и удовлетворяют этим соотношениям:

\D*$\ + \D»k\ + |^/|г=0| + |^Л|г=о| +

(13)

I+ IФ| " Nn' Щ = п = (14)

(1 + |#+£) \D%\ + (1 + М"+0 \В*Ф\ < Мп, |/3| = п, п = ОД (15) (1 + М"+£) ij^ol + (1 + |#+£) | JU| < Rn, Щ = n, п = ОД (16)

(t,x,y) 6 G|o,T|> е = consi >0, /Lt > 6 — целое. Для доказательства существования решения задачи (12), (10) применим метод слабой аппроксимации. Получаем решение задачи (12), (10):

« е (е10,ч) = {/1 6 с (G1(U.|), Щ! € С (С[0,г]), И < 2}. При этом (1 + |y|6+£) \D«v{t,x,y)\ < С, |а| < 2, (t,x,y) € Gm. (17) Доказано, что тройка функций u(t,x,z), ¡J.{t,x) и \(t,x), где

+оо

u(t,x,z)= J v(t,x,y)eiz4y, (18)

-ос

+0O +00 +oo

Яе{ф2 + i f y3vdy)k + + / y2vdy) f y2vdy)

M(t,x) =-=----, (19)

k2 + 6Re( f y2vdy)

—oo

+oc +oo

Re(i>i + f y2vdy)k - Re{i>2 + i f y3vdy)6

A(i) x) =-^---=22-, (20)

k2 +6Re( f y2vdy)

—oo 10

и при этом u(t,x,z), fJ,(t, х), X(t, х) - действительнозначные функции, является решением задачи (1) - (3) в G[од] (здесь функция v(t, х, у) — решение задачи (12), (10)). В силу (17) из (18) (20) следует, что решение w(t,x,z), ¡J,(t,x) , \(t,x) принадлежит классу

. Qk _

Z{t.) = |y>(t,ar,z), ф(1,х), X(t,x) | -¿gy e к = 0,5,

Vi e С(С,0Л)); ^(Пцц)}

и удовлетворяет неравенствам

(21)

3*

< С, (t,x,z) € G[0ii,],

(22)

ЕЕ

|«|<2*==0

£ *)l + Е *)l < (*> х) € П(0Л]- (23)

|«|<2 |п|<2

В (21) пространство ^2(П[0Л]) = {a(t,x) | D'lxa е С(П[0Л]), |а| < 2}.

+30 +00

При до<гтточио малом t, доказано, что и, f y2ve"vdy; i f y3ve"vdy

-ОС -00

- действительные и следовательно

+ОС

u(t,x,z) = J v{t,x,y)eiz4y, (24)

H(t,x) =

\{t,x)

+00 +00 +00 (i>2 + » / y3vdy)k +{i>i+ f y2vdy) f y2vdy

_-эо_—oo_—oo_

+00 ' k2+0(f v2vdy)

-oo

+00 +oo

{■Ф1 + f y2vdy)k -(Фг+i f y3vdy)6

_— X_-oc_

+oo

k* + 0(f yHdy)

-oo

(25)

(26)

u

Доказана

Теорема 1. Пусть выполняются условия (4), (5), (13) - (16). Тогда в классе Z(tt) существует решение u(t,x,z), A(t,x), fi(t,x) задачи (1) (3), удовлетворяющее соотношениям (22), (23). Предположим выполнение одного из условий: а) Пусть fl/Ов Tljo.t,]- b) Пусть 9=0ик/0в П^,]. Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и условие а) или условие Ь). Тогда решение u(t,x,z), Л(t,x), ¡i(t, х) задачи (1) - (3) в классе Z(t„) единственно.

Из теоремы 1 и теоремы 2 следует

Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 1 и хотя бы одно из условий а) или Ь). Тогда существует, единственное pevteuue задачи (1) - (3) в классе Z(t») Решение выражается формулами (24) - (26). Во второй главе исследована задача Коти ut{t, х, z) —Lx(u{t, x,z)) + a(t, x)u!2(t, x, z) + b(t, x)uz(t, x, z)+

(27)

+c[t, x)u{t, x, z) + d(t, x)f(t, x, z),

u(0, x, z) = щ(х, z), x g Em, z € Ei. (28)

В первом параграфе неи'тестггыми в задаче являются коэффициенты b(t,x). c(t,x). d(t,x) и решение u(t,x,z) задачи (27). (28)

В втором параграфе неизвестными п задаче являются коэффициенты a(t, x). c(t,x), d(t, х) и решение u(t,x,z) задачи (27), (28)

В третьем параграфе неизвестными в задаче являются коэффициенты a(t,x), b(t,x). d(t,x) и решение u(t,x,z) задачи (27). (28).

В четвертом параграфе неизвестными п задаче; являются коэффициенты a(t,x). b(t,x). c(t,x) и решение u(t,x,z) задачи (27). (28).

Для каждого случая сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи. Получены формулы, но которым решения обратных задач представимы через решения соответствующих прямых задач.

В третьей главе неизвестными в задаче являются функция «(£, х, г) и все четыре коэффициента а(4, х), Ь(£, х), с(<, х) и й(р, х). Сформулирована и доказана теорема существования и единственности решения. Получены формулы, по которым решение обратной задачи выражается через решение вспомогательной задачи.

Автор выражает- благодарность научному руководителю Белову Ю.Я. за помощь и ценные советы при работе над диссертацией.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Варанов С. Н., Белов Ю. Я. О задаче идентификации двух коэффициентов с неоднородными условиями переопределения // Неклассические уравнения математической физики: Сб. науч. работ / Под ред. А. И. Кожанова. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. С. 11-22.

2. Баранов С. Н.. Белов Ю. Я О задаче идентификации трех коэффициентов с неоднородными условиями переопределения // Вычислительные технологии, т. 8, часть 4. - Новосибирск. 2003. С. 92-102.

3. Баранов С. Н., Белов Ю. Я. О задаче идентификации нескольких коэффициентов с неоднородными условиями переопределена // Дальневосточный математический журн. - Т. 5. -№1. - Владивосток,

2004. - С. 30 - 40.

4. Баранов С. Н. О задаче идентификации четырех коэффициентов многомерного параболического уравнения а случае неоднородных условий переопределения // Вестник Красноярского государственного университета: физико-математические науки. - Красноярск:КрасГУ,

2005, вып. 1, С. 149 159 .

Подписано в печать*??....(9....... 2005г.

Бумага офсет.

Ус. печ&т. лис. 0,9

Тираж 100 Заказ ..Л.Ш.........

Формат 60 х 84 1/16 Печать офсет. Ус. печат. лис. 0,9

Издательский центр Красноярского государственного университета, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

ХМ 8 6 2 7

РНБ Русский фонд

2006-4 17684

Введение

Некоторые определения и теоремы функционального анализа и дифференциальных уравнений

Глава I. Задача идентификации двух неизвестных коэффициентов многомерного параболического уравнения

1.1. Постановка задачи.

1.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

1.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи

1.4. Построение решения исходной задачи.

1.5. Доказательство выполнения условий переопределения

1.6. Единственность решения исходной задачи.

Глава II. Задачи идентификации трех неизвестных коэффициентов многомерного параболического уравнения

1. Определение трех младших коэффициентов.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

1.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи 44 , 1.4. Построение решения исходной задачи.

1.5. Доказательство выполнения условий переопределения

1.6. Единственность решения исходной задачи.

2. Определение коэффициентов при ж), х), х, г)

2.1. Постановка задачи.

2.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

2.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи

2.4. Построение решения исходной задачи.

2.5. Доказательство выполнения условий переопределения

2.6. Единственность решения исходной задачи.

3. Определение коэффициентов при я), х), х, г)

3.1. Постановка задачи.

3.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

3.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи

3.4. Построение решения исходной задачи.

3.5. Доказательство выполнения условий переопределения

3.6. Единственность решения исходной задачи.

4. Определение трех старших коэффициентов

4.1. Постановка задачи.

4.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

4.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи

4.4. Построение решения исходной задачи.

4.5. Доказательство выполнения условий переопределения

4.6. Единственность решения исходной задачи.

Глава III. Задача идентификации четырех неизвестных коэффициентов многомерного параболического уравнения

1.1. Постановка задачи.

1.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

1.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи

1.4. Построение решения исходной задачи.

1.5. Доказательство выполнения условий переопределения

1.6. Единственность решения исходной задачи.

Обратными задачами для дифференциальных уравнений называются задачи определения входных данных - коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий по дополнительной информации о решениях уравнений. Эту дополнительную информацию часто называют условиями переопределения.

Обратные задачи возникают во многих областях науки и техники. Необходимость использования обратных задач возникает, например, в следующих случаях:

• создание приборов, техники с заранее заданными или заранее планируемыми характеристиками;

• оценка экспериментальных данных, получение тех или иных выводов по косвенным наблюдениям;

• обработка данных, полученных в результате проведенного эксперимента.

Теория и методы решения обратных задач составляют важное направление научных исследований в области дифференциальных уравнений в частных производных.

Обратная задача называется одномерной, если коэффициенты уравнения зависят только от одной пространственной переменной. В случае, когда уравнение зависит от нескольких пространственных переменных, обратная задача называется многомерной.

Первые результаты о разрешимости одномерных обратных задач принадлежат Г.Герглотцу [68] и Е.Вихерту [76]. Результаты, связанные с изучением многомерных обратных задач, были впервые получены Ю.М. Березанским в работе [21]. Одномерные обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались, например, в [42], [36, 37]. Исследования многомерных обратных задач проводились М. М. Лаврентьевым [39, 43], В.Г. Романовым [48, 51], Ю.Е. Анико-новым [1, 6, 59, 60, 61], Б.А. Бубновым [22], А.Д. Искендеровым [32, 34], М.В. Клибановым [35], А.И. Прилепко [44, 45], Н.Я. Безнощенко [8, 11], Н.И. Иванчовым [29, 30] и другими.

В диссертации рассматриваются задачи определения входных данных многомерных параболических уравнений.

Краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (в том числе и функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной рассматривались в работах [22], [23], [55], [64]-[67], [73], [75] и других.

В работах А.И Кожанова [36]-[38], [69]-[71] рассматривались краевые обратные задачи, в которых неизвестный коэффициент зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и является ядром некоторого дифференциального оператора первого порядка.

В работах [52, 54] исследовалась однозначная разрешимость обратных задач для параболических уравнений, когда искомый коэффициент или функция источника зависит от всех переменных и имеет вид /(£)д(х) или /(¿)4-д(х). Обратным задачам для параболических уравнений с данными Коши посвящены работы [5], [8], [12]-[14], [16], [64], [66]. В указанных работах разрешимость получена в предположении, что искомые коэффициенты не зависят от каких - либо переменных, входящих в уравнение. В работе [49] в случае данных Коши доказана теорема единственности для задачи определения функции источника, зависящего от всех переменных и имеющего специальный вид.

В работах [25], [26] изучены задачи гиперболической аппроксимации для обратных задач, задачи однозначной разрешимости для гиперболических уравнений, содержащих малый параметр при второй производной по времени, исследован вопрос о близости решений задач с малым параметром и соответствующих предельных задач.

В работах [17]-[19] доказана однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения функции источника х) параболического уравнения, которая зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и представима в виде х) = /(£)<?(#); исследована корректность задачи идентификации функции источника для системы составного типа в предположении, что функция источника зависит только от временной переменной Исследованы вопросы стабилизации решения при £ —оо; доказаны теоремы существования и единственности «в целом» для одномерной нелинейной обратной задачи в случае, когда неизвестен коэффициент при младшем члене параболического уравнения. Получены достаточные условия, при которых решение исследуемой задачи стремится к решению некоторой стационарной задачи при £ —у оо.

В основе исследования разрешимости задач с данными Коши лежит метод, позволяющий с помощью преобразования Фурье переходить от обратной задачи к прямой задаче для интегро-дифференциального уравнения. Механизм сведения обратной задачи к прямой впервые предложен Ю.Е. Аниконовым [1]. Далее такой подход к исследованию корректности обратных задач был развит в работах [4]-[6], [7], [14], [22], [64], [66] и применен к решению задач, исследованных в настоящей диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и списка публикаций автора по теме диссертации. Исследуются задачи определения одновременно нескольких коэффициентов многомерных параболических коэффициентов.

1. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений - Новосибирск: Наука. Сиб. отд. 1978.

2. Аниконов Ю.Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения// Матем.сборник. 1990. Т.181. №1. С.68 74.

3. Аниконов Ю.Е. Обратные задачи математической физики и биологии// ДАН СССР.1991. Т.318. №6. С.1350 1354.

4. Аниконов Ю.Е. Псевдодифференциалъные операторы и обратные задачи Новосибирск - 1986. (Препринт / АН СССР. Сиб. от-ние. Вычислительный центр, N671).

5. Аниконов Ю.Е., Белов Ю.Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1989. Т.306. №6. С.1289 1293.

6. Аниконов Ю.Е., Бубнов Б.А. Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1988. Т.298. №4. С.777 779.

7. Ахтамова С.С., Белов Ю.Я. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // ДАН СССР. 1991. Т.316. С.791 795.

8. Безнощенко Н.Я.0 задаче Коши для уравнения щ — Аи + иАи = / // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.21. №6. С.991-1000.

9. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при младщих членах в параболическом уравнении// СМЖ. 1975. Т.16. №3. С.473 -482.

10. Безнощенко Н.Я. Об определении коэфициента при младшем члене общего параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1976. Т.12. т. С.175 176.

11. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении// Дифференциальные уравнения. 1975. Т.П. т. С.19 26.

12. Белов Ю.Я. Обратная задача для уравнения Вюргерса // ДАН СССР. 1992. Т.323. №3. С.385 388.

13. Белов Ю.Я. О расщеплении одной обратной задачи для многомерного параболического уравнения // ДАН СССР. 1995. Т.345. №4. С.441 444.

14. Белов Ю.Я., Саватеев Е.Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // ДАН СССР. 1991. Т.334. №5. С.800 804.

15. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. О задаче идентификации функции источника для системы составного типа. Тезисы докладов конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". Москва. МГУ. 15 - 18 июня 1998г.

16. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. Об одной обратной задаче для системы составного типа. Тезисы докладов Третьего сибирскогоконгресса по прикладной и индустриальной математике. Часть 1. Новосибирск. 22 - 26 июня 1998г. С. 136.

17. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. Об одной задаче определения функции источника. Тезисы докладов Международной конференции "Обратные задачи математической физики". - Новосибирск. 21 - 25 сентября 1998г. С. 18.

18. Белов Ю.Я., Яненко H.H. Влияние вязкости на гладкость решения в неполно параболических системах // Матем. заметки. 1971. Т. 10. Ж. С.93 - 99.

19. Березанский Ю.М. Об однозначности определения уравнения Шре-дингераЦ ДАН СССР. 1953. В.93. JVM. С.591 594.

20. Бубнов Б.А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений Новосибирск - 1989 (Препринт /АН СССР. Сиб. отд. Вычислительный центр. С. 87 - 714).

21. Волков В.М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа// Дифференциальные уравнеия.1983. Т. 19. №12. С.2166 2169.

22. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики М.: МГУ. 1979.

23. Ермолаева О.Н. О гиперболической регуляризации обратной задачи опеределения коэффициента при второй производной по пространственной переменной // Комплексный анализ и математическая физика. КрасГУ. 1998. С. 45-58.

24. Иванчов Н.И. Обратные задачи теплопроводности в двух компонентной среде// Дифференциальные уравнения. 1992. Т.28. №4. С.666 672.

25. Иванчов Н.И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями// Украинский математический журнал. 1993. Т.45. №8. С. 1066 1071.

26. Иванчов Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости// Сибирский математический журнал. 1994. Т.35. №. С.612 621.

27. Иванчов Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении// Сибирский математический журнал. 1998. Т.39. №3. С.539 550.

28. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук. 1962. Т. 17. С. 3-146.

29. Искендеров А.Д. Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений// ДАН СССР. 1975. Т. 225. №. С.1005 1008.

30. Искендеров А.Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений// Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. №5. С.890 898.

31. Искендеров А.Д., Тагиев Р.К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения// Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. №. С. 1324 1334.

32. Клибанов М.В. Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии// СМЖ. 1976. Т. 17. №3. С.564 569.

33. Кожанов А.И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений Новосибирск, 1998 - 29с. (Препринт/ РАН Сиб. отд. Ин-т математики; №54).

34. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка Новосибирск: Издательство Новосибирского университета, 1990, - 132с.

35. Кожанов А.И., Кириллова Г.А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Математические заметки ЯГУ. 2000. Т.7, е 1. С. 35-49.

36. Лаврентьев М.М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений// ДАН СССР. 1965. Т.160. №1. С.32 35.

37. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики Новосибирск: СО АН СССР. 1962.

38. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г. Теоремы единственности нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа// ДАН СССР.1973. Т.208. №3. С.531 532.

39. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики Новосибирск: Наука. Сибирское отделение. 1982.

40. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа- М.: Наука. 1980.

41. Прилепко А.И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики Новосибирск: Наука. 1992. С.151 - 162.

42. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения переноса) // Математические заметки. 1973. Т.14,15.

43. Прилепко А.И., Костин A.B. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением //Матем. сб. 1992. Т.183. №4. С.49-68.

44. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука, 1965.

45. Романов В.Г. К теоремам единственности одного класса обратных задач// ДАН СССР. 1972. Т.204. №5. С.1075 1076.

46. Романов В.Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения// Матем. заметки. 1976. Т.19. №4. С.595 600.

47. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений -Новосибирск: НГУ. 1973.

48. Романов В.Г. Теорема единственности и устойчивости для нелинейного операторного уравнения// ДАН СССР. 1972. Т.207. №5. С.1051 1053.

49. Саватеев Е.Г. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений//ДАН. 1995. Т.340. №5. С.595 596.

50. Саватеев Е.Г. О задаче определения функции источника и коэффициента параболического уравнения//ДАН. 1995. Т.344. №5. С.597 -598.

51. Саватеев Е.Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения// СМЖ. 1995. Т.36. №1. С.177 185.

52. Соловьев В.В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения// Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25. №9. С. 1577 1583.

53. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач М.: Наука. 1979.

54. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач// ДАН СССР. 1943. Т.5. №39. С.195 198.58. янбнко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики Новосибирск, 1967.

55. Anikonov Yu.E. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differencial Equations / VSP. Utrecht. 1995.

56. Anikonov Yu.E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems / VSP. Utrecht. 1997.

57. Anikonov Yu.E. Inverse Problems for Kinetic and other Evolution Equations / VSP. Utrecht. 2001.

58. Anikonov, Yu.E. and Belov, Yu.Ya. On unique solvability of an inverse problem for a parabolic equation / Dokl. Akad. Nauk SSSR, 306, 6, 1289 1293. English transl. in Sov. Math. Dokl., 39, 3, 601 - 605.

59. Anikonov Yu.E. and Belov, Yu.Ya. Determining two unknown coefficients of then parabolic type equation //J. Inv. Ill-Posed Problems.

60. Belov Yu.Ya. Inverse problems for parabolic equations// J. Inv. Ill-Posed Problems. 1993. V.l. №4. P.283 305.

61. Cannon J.R. and Yanping Lin. Determination of a parameter p(t) in some quasi linear parabolic differential equations// J. Ill - Posed and Inverse Problems. 1988. V.4. №1. P.595 - 606.

62. Herglotz. G. Uber die Elastizität der Erde bei Borucksichtigung inter Variablen Dichte Zeit sehr, fur Math, und Phys. 1905. Bd52. №3. S.275 - 299.

63. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems // Utrecht: VSP. 1999.

64. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation, I // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2002. V.10, N 6. P. 547-658.

65. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, II // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V.ll, N 5. P. 505-522.

66. Pilant M. and Rundell W. An inverse problem for nonlinear parabolic equation// Comm. in Partial Differntial Equation. 1986. V.ll. №4. P. 445 457.

67. Riganti R. and Savateev E. On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation// Rapporto Interno. 1991. №25. Politecnico di Torino. Torino.

68. Riganti R. and Savateev E. Solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Comm. in Partial Differntial Equation. 1994. V.19. №9&10. P. 1611 1628.

69. Riganti R. and Savateev E. Inverse problem for the nonlinear heat equation with final overdetermination // Rapporto Interno. 1995. №7. Politecnico di Torino. Torino.

70. Wiechert E. und Zoeppritz K. Uber Erdbebenwellen Gotingen Nachr. Konigl. Geselschaft. 1907. №4. S.415 - 549.Публикации по теме диссертации

71. Баранов С. Н., Белов Ю. Я. О задаче идентификации трех коэффициентов с неоднородными условиями переопределения// Вычислительные технологии, т. 8, часть 4. Новосибирск. 2003. С. 92-102.

72. Баранов С. Н., Белов Ю. Я. О задаче идентификации нескольких коэффициентов с неоднородными условиями переопределения // Дальневосточный математический журн. Т. 5. -№1. - Владивосток,2004. С. 30 - 40.