Некоторые обратные задачи с данными Коши тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА 1. ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . Л

§1. Постановка задачи

§2. Теоремы существования и единственности

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА

ДЛЯ СИСТЕМЫ СОСТАВНОГО ТИПА

§1. Постановка задачи

§2. Теоремы существования и единственности

§3. Исследование поведения решения обратной задачи при t —»• +оо п.1. Ограниченность и стремление к нулю решения задачи при £ —» оо. п.2. Стационарная задача. п.З. Сходимость решения при £ —»• оо к решению стационарной задачи

§4. Одномерная обратная задача для параболического уравнения п.1. Постановка задачи. Теорема существования и единственности п.2. Вопросы стабилизации решения обратной задачи

ГЛАВА 3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ И НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВАРЕШЕНИЯ

§1. Постановка задачи

§2. Теоремы существования и единственности

§3. Свойства решения при t -ч- ос

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий по той или иной дополнительной информации о решениях уравнений.

Обратные задачи возникают во многих областях физики и производства. Фактически все инженерные задачи ставятся с целью: а) создания прибора, аппарата и т.п. с заранее заданными или заранее планируемыми характеристиками; б) оценки экспериментальных данных, получения тех или иных выводов по косвенным наблюдениям; в) разумной обработки данных, полученных в результате эксперимента.

Следовательно, теория и методика решения обратных задач составляет важное самостоятельное направление исследований в области дифференциальных уравнений в частных производных.

Из - за специфики обратных задач их математической " некорректности" - существенный прогресс в их постановке и решении стал возможен лишь в последний десятилетия в связи с развитием теории некорректных задач.

Принципы подхода к постановкам некорректных задач, естественные с точки зрения приложений, были впервые предложены А.Н. Тихоновым в работе [59]. Наиболее полно современное состояние теории некорректных задач и ее приложение к решению обратных задач отражено в монографиях [24], [31], [36], [61].

Обратная задача называется одномерной, если идентифицируемые коэффициенты или функция источника зависят только от одной переменной, в противном случае обратная задача - многомерная.

Первые результаты о разрешимости одномерных обратных задач принадлежат Г.Герглотцу [64] и Е.Вихерту [71]. Результаты, связанные с изучением многомерных обратных задач, были впервые получены Ю.М. Березанским в работе [18]. Дальнейшее исследование многомерных обратных задач проводились М.М. Лаврентьевым [32, 36], В.Г. Романовым [50, 53], Ю.Е. Аниконовым [1, 6], АД. Искендеровым [26, 28], М.В. Клибановым [29], А.И. При-лепко [39, 40], Н.Я. Безнощенко [8, 11] и другими.

Одномерные обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались, например, в [35].

Вопросы, рассматриваемые в диссертации, в основнм связаны с задачами идентификации входных данных параболических уравнений.

Краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной рассматривались в работах [19], [23], [57], [62], [63], [67], [69] и других.

Единственность решения обратной задачи для эволюционного кинетического уравнения в случае, когда функция источника зависит от всех независимых переменных, была доказана в [2].

В работе [30] рассматривались краевые обратные задачи, в которых неизвестным является коэффициент, зависящий от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и являющийся ядром некоторого дифференциального оператора первого порядка.

В работах [54, 56] исследовалась однозначная разрешимость обратных задач для параболических уравнений, когда искомый коэффициент или функция источника зависит от всех переменных и имеет вид /^)д(х) или /(¿) + д(х).

Обратным задачам для параболических уравнений с данными Коши посвящены работы [8, 11], [12, 16], [62]. В указанных работах разрешимость получена в предположении, что искомые коэффициенты не зависят от каких - либо переменных, входящих в уравнение. В работе [51] в случае данных Коши доказана теорема единственности для задачи определения функции источника, зависящего от всех переменных и имеющего специальный вид.

В диссертации получены следующие результаты.

1)Доказана однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения функции источника F(¿, х) параболического уравнения, которая зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и представима в виде F(¿, х) = /^)д(х).

2) Исследована корректность задачи идентификации функции источника для системы составного типа в предположении, что функ ция источника зависит только от временной переменной Исследованы вопросы стабилизация решения при £ —> оо.

3)Доказаны теоремы существования и единственности "в целом" для одномерной нелинейной обратной задачи в случае, когда неизвестен коэффициент а{1) при младшем члене параболического уравнения. Получены достаточные условия, при которых решение исследуемой задачи стремится к решению некоторой стационарной задачи при £ —> оо.

Все сформулированные выше задачи рассматривались в случае данных Коши. В основе исследования разрешимости рассматриваемых задач лежит метод, позволяющий с использованием преобразования Фурье, переходить от обратной задаче к прямой задаче для интегродифференцильного уравнения. Процедура сведения обратной задачи к прямой впервые предложена Ю.Е. Аниконовым. Далее такой подход к исследованию корректности обратных задач был развит в работах [4],[5], [6], [14], [15], [19], [62] и др.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и списка работ автора по теме диссертации.

1. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд. 1978.

2. Аниконов Ю.Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения// Матем.сборник. 1990. Т.181. N1. С.68 74.

3. Аниконов Ю.Е. Обратные задачи математической физики и биологии// ДАН СССР.1991. Т.318. N.6. С.1350 1354.

4. Аниконов Ю.Е. Псевдодифференциальные операторы и обратные задачи Новосибирск - 1986. (Препринт / АН СССР. Сиб. от-ние. Вычислительный центр, N671).

5. Аниконов Ю.Е., Белов Ю.Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1989. Т.306. N6. С.1289 1293.

6. Аниконов Ю.Е., Бубнов Б.А. Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1988. Т.298. N4. С.777 779.

7. Антонцев С.Н. , Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука. 1983.

8. Безнощенко Н.Я.0 задаче Когии для уравнения щ — Аи-\-иАи = / // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.21. N6. С.991-1000.

9. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при млад-щих членах в параболическом уравнении// СМЖ. 1975. Т.16. N 3. С.473 482.

10. Безнощенко Н.Я. Об определении коэфициента при младшем члене общего параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1976. Т.12. N.1. С.175 176.

11. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении// Дифференциальные уравнения. 1975. Т.П. N4. С.19 26.

12. Белов Ю.Я. Обратная задача для уравнения Бюргерса // ДАН СССР. 1992. Т.323. N3. С.385 388.

13. Белов Ю.Я. О растеплении одной обратной задачи для многомерного параболического уравнения // ДАН СССР. 1995. Т.345. N4. С.441 444.

14. Белов Ю.Я., Ахтамова С.С. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // ДАН СССР. 1991. Т.316. С.791 795.

15. Белов Ю.Я., Ермолаев A.C. Об одной обратной задаче идентификации коэффициентом многомерного параболического уравнения. В сб. "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", -■ Красноярск: КрасГУ. 1996. С. 16 27.

16. Белов Ю.Я., Саватеев Е.Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // ДАН СССР. 1991. Т.334. N5. С.800 804.

17. Белов Ю.Я., Яненко H.H. Влияние вязкости на гладкость решения в неполно параболических системах // Матем. заметки. 1971. Т.10. N1. С.93 - 99.

18. Березанский Ю.М. Об однозначности определения уравнения Шредингера// ДАН СССР. 1953. В.93. N4. С.591 594.

19. Бубнов Б.А. К вопросу оразрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений. Новосибирск -1989 (Препринт /АН СССР. Сиб. отд. Вычислительный центр. N87-714).

20. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Из - во физико - математической литературы. 1963.

21. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука. 1964.

22. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.: Наука. 1981.

23. Волков В.М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа// Дифференциальные уравнеия.1983. Т.19. N.12. С.2166 2169.

24. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: МГУ. 1979.

25. Исаков В.М. Одна обратная задача для параболического уравнения/ / Успехи матем. наук. 1982. Т.32. N2. С.108 109.

26. Искендеров А.Д. Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений// ДАН СССР. 1975. Т.225. N5. С.1005 1008.

27. Искендеров А.Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений// Дифференциальные уравнения. 1974. Т.10. N.5. С.890 898.

28. Искендеров А.Д., Тагиев Р.К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения// Дифференциальные уравнения.1983. Т.19. N.8. С.1324 1334.

29. Клибанов М.В. Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии// СМЖ. 1976. Т.17. N.3. С.564- 569.

30. Кожанов А.И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений. ~ Новосибирск, 1998 29с. (Препринт/ РАН Сиб. отд. Ин-т математики; N54).

31. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР. 1962.

32. Лаврентьев М.М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений// ДАН СССР. 1965. Т. 160. N1. С.32 -35.

33. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд. 1969.

34. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г. Теоремы единственности нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа// ДАН СССР.1973. Т.208. N3. С.531 532.

35. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд. 1982.

36. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа М.: Наука. 1980.

37. Новик О.Б. Задача Коши для системы уравнений в частных производных, содержащей гиперболический и параболический операторы // Журнал ВМ и МФ. 1969. Т.9. N1. С. 122 136.

38. Понтрягин J1.С.Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1982.

39. Прилепко А.И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики. Новосибирск: Наука. 1992. С.151 - 162.

40. Прилепко AM.Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения переноса) // Матем. заметки. 1973. Т.14,15.

41. Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением //Матем. сб. 1992. Т.183. N4. С.49-68.

42. Прилепко А.П., Костин А.Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении I// СМЖ. 1992. Т.ЗЗ. N3. С.146 155.

43. Прилепко А.И., Костин А.Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении II// СМЖ. 1993. Т.34. N5. С.147 162.

44. Прилепко А.П., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения в обратных задачах математической физики. 1// Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. N.1. С.119 -125.

45. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения в обратных задач математической физики. 311 Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. N.8. С.1343 1352.

46. Прилепко А.И., Соловьев В.В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении //Дифференциальные уравнения, 1987. Т23. N1. С.136 143.

47. Пяста С. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для систем дифференциальных уравнений смешанного типа// Журнал ВМ и МФ. 1969. Т.9. N4. С.884 893.

48. Рихтмайер Р. Звук и теплопроводность // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука. 1966. С.183 - 185.

49. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир. 1972. 418с.

50. Романов В.Г. К теоремам единственности одного класса обратных задач// ДАН СССР. 1972. Т.204. N.5. С.1075 1076.

51. Романов В.Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения// Матем. заметки. 1976. Т.19. В.4. С.595 600.

52. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ. 1973.

53. Романов В.Г. Теорема единственности и устойчивости для нелинейного операторного уравнения// ДАН СССР. 1972. Т.207. N.5. С.1051 1053.

54. Саватеев Е.Г. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений//ДАН. 1995. Т.340. N5. С.595 596.

55. Саватеев Е.Г. О задаче определения функции источника и коэффициента параболического уравнения//ДАН. 1995. Т.344. N5. С.597 598.

56. Саватеев Е.Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения// СМЖ. 1995. Т.36. N1. С.177 185.

57. Соловьев В.В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения// Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25. N9. С. 1577 1583.

58. Тихонов А.Н. О влиянии радиоактивного распада на температуру земной коры// Изв. АН СССР. Отд. математики и естественных наук. Серия география и геофизика. 1937. Т.З. С.431 460.

59. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач// ДАН СССР. 1943. Т.5. N39. С.195 198.

60. Тихонов А.Н. Об обратной задаче для нелинейного дифференциального уравнения// Журнал ВМ и МФ.1983. N1. Т.23. С.95101.

61. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979.

62. Belov Yu.Ya. Inverse problems for parabolic equations// J. Inv. Ill-Posed Problems. 1993. V.l. N4. P.283 305.

63. Cannon J.R. and Yanping Lin. Determination of a parameter p(t) in som,e quasi linear parabolic differential equations// J. Ill -Posed and Inverse Problems. 1988. V.4. N1. P.595 - 606.

64. Herglotz. G. Uber die Elastizita,t der Erde bei Borucksichtigung inter Variablen Dichte. Zeit schr. fur Math, und Phys. 1905. Bd52. N3. S.275 - 299.

65. Pilant M. and Rundell W. An inverse problem for nonlinear parabolic equation// Comm. in Partial Differntial Equation. 1986. V.ll. N4. P. 445 457.

66. Riganti R. and Savateev E. On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation// Rapporto Interno. 1991. N25. Politécnico di Torino. Torino.

67. Riganti R. and Savateev E. Solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Comm. in Partial Differntial Equation. 1994. V.19. N9&10. P. 1611 1628.

68. Riganti R. and Savateev E. Inverse problem for the nonlinear heat equation with final overdetermination // Rapporto Interno. 1995. N7. Politécnico di Torino. Torino.Список работ автора по теме диссертации

69. Шипина Т.Н. Об одной обратной задаче Коши для уравнения теплопроводностиТезисы докладов "Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики". Новосибирск. 12 15 сентября 1995г. С. 100.

70. Шипина Т.Н. Обратная задача Коши для параболического уравнения. В сб. "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", - Красноярск: КрасГУ. 1996. С. 253 -266.

71. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. О задаче идентификации функции источника для системы составного типа. Тезисы докладов конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". Москва. МГУ. 15 - 18 июня 1998г.

72. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. Об одной обратной задаче для системы составного типа. Тезисы докладов Третьего сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. Часть 1. - Новосибирск. 22 - 26 июня 1998г. С. 136.

73. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. О разрешимости и некоторых свойствах решения одной обратной задачи для системы составного типа. Тезисы докладов Международной конференции "Симметрия в естествознании". - Красноярск. Август 1998г. С.26.

74. Белов Ю.Я., Шипина Т.Н. Об одной задаче определения функции источника. Тезисы докладов Международной конференции "Обратные задачи математической физики". - Новосибирск. 21 -25 сентября 1998г. С. 18.

75. Belov Yu.Ya. and Shipina T.N. The problem of determining the source function for a system of composite type// J. Inv. Ill Posed Problems. 1998. V.6. N4. P.287 - 308.