Операторные уравнения типа Вольтерра и обратные задачи восстановления памяти тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Глобальная сходимость метода Ньютона в обратных задачах восстановления памяти

§ 1. Постановка задач и основные результаты

§ 2. Редукция обратных задач к системам нелинейных уравнений Вольтерра

§ 3. Доказательтво основных результатов

Глава 2. Два метода в обратной задаче для интегродифференциального уравнения второго порядка

§ 1. Постановка задач и основные результаты

§ 2. Вывод операторных уравнений Вольтерра, эквивалентных поставленным задачам

§ 3. Доказательства основных результатов

Под обратными задачами для дифференциальных уравнений понимаются задачи определения коэффициентов, правых частей уравнений, начальных или граничных условий по некоторым заданным функционалам от решений прямых задач. Тематика обратных задач достаточно обширна (см., например, [2],[3],[20],[21].) Настоящая работа, как следует из названия, посвящена изучению только тех из них, которые можно определить как обратные задачи восстановления памяти, т. е. ядра сверточного интегрального оператора. Поясним, что имеется в виду.

Процессы с памятью. Как известно, многие материалы в той или иной степени обладают свойством эредитарности, т.е. волновые процессы, происходящие в них, зависят не только от состояния тела в данный момент времени, но и от предыстории процесса. Основы теории таких процессов были заложены в работах Больцмана и Вольтерра (см.[9] и библиографию в ней). В последнее время наблюдается повышенный интерес к задачам с памятью. С одной стороны, это вероятно объясняется появлением новых материалов, в значительной мере обладающих указанным свойством, а с другой стороны, повышением точности измерений, которое позволяет сравнивать достоверно результаты экспериментов и предсказание теории. В качестве физической иллюстрации рассмотрим пример наследственно-упругого стержня с плотностью р, совершающего продольные колебания под действием внешней силы Уравнения движения имеют вид 7

1)

Здесь х — координаты точки стержня, сг(ж, £) — напряжение, е(х, £)-деформация, Е{х)—мгновенный модуль упругости, /г(ж,£)—ядро релаксации. Последнее уравнение связывает деформацию и напряжение.Такая связь обуславливается предположением, что а зависит от е линейно и эта зависимость не меняется со временем, т.е. материал "не стареет"(см.[14],[18],[19]). Кроме того, исходя из физических соображений, обычно предполагают, что /¿(ж,£)—неотрицательная и невозра-стающая (по ¿) функция. Система (1) может быть переписана в виде одного уравнения р{х)ии - — (Е(х)их) + Е(х)к{х,г - т)их{х,т)в,т = ¡(х.г). (2)

В многомерном случае вместо производной по х появляются градиент и дивергенция.

В плане постановки обратных задач, уравнения, возникающие при рассмотрении процессов с памятью, довольно сложны. Поэтому с точки зрения качественного анализа естественно возникают более простые модели таких уравнений. Например, считая Е и р равными единице, а кх достаточно малым, получают следующее модельное уравнение: г оо ии~ихх+ / /г(ж,£ - т)ихх{х,т)йт = ¡(х^). (3) оо г

Если / h(x/t — т)f(x,т)dт = 0, можно "перенести" интегральный оо оператор на ии- Это становится возможным, т.к. оператор I — Н, действующий по формуле

I г) ¿т ОО имеет обратный оператор (/ — Н)~г аналогичного вида, а именно ОО с некоторой функцией к(х, ¿), которая определяется по (и наоборот). Действуя оператором (/ — Н)~1 на уравнение (3), получаем г ии~ихх+ ! к(х,г - т)итт(х,т) ¿т = /(¿М). (4)

Отметим, что уравнения (3),(4) носят модельный характер и тем более оправданы, чем меньше (илик{х^)) зависят от х.

Допуская некоторую вольность, мы будем называть уравнением с памятью любое интегродифференциальное уравнение с интегральным ь членом вида / к{Ь — т)Ву(х,т) ¿т, где В—некоторый линейный операа тор, а нижний предел интеграла может принимать как конечное, так и бесконечное значение. Ядро к в этом случае будем называть памятью (уравнения).

Обратные задачи восстановления памяти. Среди работ, посвященных определению памяти, входящей в гиперболическое или параболическое уравнение, отметим работы А. Лоренци, A.JI. Бухгейма, Д.К. Дур-диева. В работе А. Лоренци [27] рассматривалась абстрактная задача Коши для гиперболических и параболических уравнений с памятью. Например, в случае параболического уравнения требовалось найти функции u(t) и входящие в уравнение t u'(t) - Au(t) - j h(t- s)Bu(s) ds = f(t), 0 < t < T (5) о с начальным условием u(0) - u0 (6) по информации t

Wt)] +J = о (7) 0

Здесь А и ^-(возможно нелинейные) операторы в некотором Банаховом пространстве I, Ф и f —функционалы над X, u(t)- векторно-значная функция со значениями в X, а /г-вещественно-значная функция. Поставленная задача сводится к системе интегральных уравнений, после чего, применяя принцип сжимающих отображений, удается доказать единственность, существование в малом, а также получить оценки устойчивости. Локальный характер теоремы существования вызван тем, что получающиеся в процессе решения нелинейные уравнения Вольтерра не удовлетворяют условию Липшица. Однако, А.Л.Бухгейм в своей работе [23] заметил, что, поскольку нелинейность носит свер-точный характер, можно решать получающиеся уравнения Вольтерра в пространствах с экспоненциальным весом. Это позволило доказать глобальную разрешимость задачи (5)-(7). Метод А.Л.Бухгейма может быть распостранен и на гиперболические уравнения. Аналогичный подход на примере конкретных гиперболических уравнений был использован в работе Янно [26].

В работах Д.К. Дурдиева [10],[12] рассматривались задачи восстановления памяти, входящей в интегродифференциальное гиперболическое уравнение с дельта-функцией в правой части. причем в [12] оператор Ь тождественен оператору Лапласа, а в [10] представляет собой сумму оператора Лапласа и "младших" членов (содержащих производные первого порядка и саму функцию). Для этого уравнения ставилась задача Коши с нулевыми начальными условиями, а информацией служили значения в точке х — 0, наблюдаемые при всех £ > 0. Наличие дельта-функции в правой части позволяет свести задачу к интегродифференциальному уравнению и воспользоваться известной структурой фундаментального решения гиперболического уравнения. Для поставленной задачи Д.К. Дурдиевым доказана единственность и существование в малом, а также устойчивость. В другой своей работе [11] Дурдиев рассмотрел уже многомерную задачу нахождения памяти гиперболического уравнения, для которого ставилась начально-краевая задача с начальными и краевыми условиями специального вида. При некоторых дополнительных предположениях были доказаны локальная теорема существования, а также единственность и устойчивость в целом.

В [4] А.Л. Бухгейм и Г.В. Дятлов рассмотрели задачу нахождения памяти £) и поглощения и>(х) в интегродифференциальном уравнении о г ии — А^ + ш(х)щ + У к(х, £ — т)итг(ж, т) ¿т = 5(х — жо> о г е м, по рассеянной волне у(х,х о,£) = и(х,х о, — — измеренной при ж = ссо £^о, ¿>0, !Г2оПО = 0; здесь — фундаментальное решение волнового оператора. Применяя преобразование Фурье, они свели задачу к серии уравнений Рисса, и доказали теорему единственности для поставленной задачи.

Некоторые полезные сведения. Так как результаты работы существенным образом опираются на понятия корректности и равномерной корректности задач, а также на сведения из теории полугрупп и применение этой теории к решению операторных уравнений в Банаховых пространствах (стоит упомянуть в этой связи работы [13],[16],[22],[24],[25]) считаем необходимым воспроизвести здесь особо важные для понимания определения и теоремы, касающиеся этих вопросов.

Уравнения первого порядка. Полугруппы. Порождающий оператор.

Рассмотрим задачу Коши в банаховом пространстве X, где А—линейный оператор с плотной в пространстве X областью определения.

Определение 1. Функция гх(£) £ С1([0,оо],Х) называется решением задачи (9)—(10), если она удовлетворяет уравнению (9) при £ ^ 0 и начальному условию (10) при £ = 0.

Определение 2. Задача Коши (9)—(10) называется корректной на Х\ С X, где Х\ — X, если решение существует для любого щ £ Х1, оно единственно и устойчиво относительно изменения по £ Хх, т.е. для любого £ > 0 существует константа М, такая что выполняется неравенство и (г) = Аи(г), г ^ о, и( о) = ^о

9)

10)

Понятие корректности задач впервые было введено Ж. Адамаром (см.[1]).

Определение 3. Задача Коши называется равномерно корректной, если для любого Т > 0 устойчивость равномерна относительно ¿е[0;Т].

Определение 4. Однопараметрическое семейство ограниченных операторов V(í), t ^ 0 называется сильно непрерывной полугруппой, если:

A.V(t + h) = V(t)V(h), t,h> 0;

2.V(0) = /, где / тождественный оператор;

3.Оператор-функция F(£) сильно непрерывна по ¿ ^ 0.

Определение 5. Оператор

Au = V'(0)u = lim V(k] ~ 7ц,

4 у h определенный на тех «Gl, для которых этот предел существует, называется порождающим (производящим) оператором полугруппы V(í).

Свойства. Пусть V(t),t ^ 0 сильно непрерывная полугруппа с порождающим оператором Л. Тогда:

1.F(í),V(/i) коммутируют для всех £, h ^ 0;

2. Существуют М > 0, ß ^ 0, такие что \\V(t)\\ ^ Meí/?;

3-D(A) = X и оператор А замкнут.

4. Для любого « 6 имеет место равенство

V'(t)u = V(t)Au = AV(t)u.

Доказательства этих свойств можно найти в [13],[24].

Теорема 0.1. Пусть А замкнутый линейный оператор с плотной в пространстве X областью определения, тогда следующие утверждения эквивалентны:

1.Задача Коши (9)—(10) равномерно корректна на D(A);

2.Оператор А является порождающим оператором сильно непрерывной полугруппы V(í), такой что V'(0) = А. Решение задачи Коши при этом имеет вид: u(t) = V(t)u0, и0 Е D(A).

С доказательством этой теоремы можно познакомиться, например, в монографии [24].

Рассмотрим теперь задачу Коши для неоднородного уравнения u'{t) = Au(t) + f(t) (11) с начальным условием (10).

Определение 6. Задача Коши (11)—(10) называется равномерно корректной на Х\ если существует решение для любых щ Е Xi, / g Z, оно единственно и равномерно устойчиво по t Е [0,Т] относительно изменения щ Е Х\, f G Z.

Обозначим через Z\ подмножество функций f(t) из С([0, оо); X), таких что Af(t) <Е С([0, оо);X).

Теорема 0.2. Пусть А—замкнутый линейный оператор с плотной в пространстве X областью определения. Предположим, что задача Коши (9)—(10) равномерно коррректна на D(A), V(t) —полугруппа, порожденная оператором А. Тогда если щ Е D(A), g{t) Е Z\, то функция t u(t) = V(t)uQ + fv(t- r)/(r) dr, t 2 0 (12) 0 является решением задачи Коши (11)—(10). Обратно, если f(t) Е С([0,оо);Х) и u(t) является решением задачи Коши (11)-(10), то u(t) определяется по формуле (12). Доказательство этой теоремы есть в книге [13]. замечание. В монографии [24] показано, что (12) верна и в случае, когда щ Е О (А), а /(¿) непрерывно дифференцируема. Уравнения второго порядка. Косинус функции. Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения второго порядка в банаховом пространстве X, где А—линейный оператор с плотной в пространстве X областью определения О(А) = X.

Определение Т. Функция и(£) Е С2([0,оо);X) называется решением задачи Коши (13)—(14), если она удовлетворяет уравнению (13) при

Ь ^ 0 и начальным условиям (14) при £ = 0.

Определение 8. Задача Коши (13)—(14) называется (равномерно) корректной на Х\,Х2 С X, где Хх = Х2 = X, если решение существует для любых щ Е Хх, и\ £ Х2, единственно и (для любого Т > 0 равномерно по t Е [0, Т]) устойчиво относительно изменения ■¿¿о Е щ е Х2.

Определение 9. Однопараметрическое семейство ограниченных операторов С(£) называется сильно-непрерывным семейством косинус-функций, если:

2.С(0) = /, где I тождественный оператор; 3.оператор-функция С(£) сильно непрерывна по £ Е К. Определение 10. Оператор А — С"(0) называется производящим оператором семейства косинус-функций С(£).

Однопараметрическое семейство оператор-функций 5(£) определяется следующим образом: и"(Ь) = Аи(Ь), £ > 0 п(0) = -ио, '"'(О) = и1

13)

14)

1 .С(г + /г) + С(£ - К) = 2С(£)С(Ч; г о

Обозначим теперь Х\ = {и Е X : C(t)u Е С1(М)} и перечислим ниже свойства введенных оператор-функций, которые пригодятся нам в дальнейшем. Свойства.

1.C(t) = C(-t), ¿ЕМ;

2.C(t), S(t), C(h),S(h) коммутируют для всех t, h E M; 3.оператор-функция 5(í) сильно непрерывна по t E M; 4.S(t + h) + S(t -h) = 2S(t)C(h), t,hGR; b.S(t) = —S(—t), Í6t;

6.S(t + h) = S(t)C(h) + S{h)C{t), í, h E M;

7.существуют константы M > 0, ß ^ 0, такие что c(¿)||,||5(í)ke^|í|, íg1;

8.для любого u £ X имеем S{t)u Е

9.для любого uGli S(í)it Е £>(А), C"(£)u = AS(t)u;

10.D(Ä) = X, оператор А замкнут;

11. для любого i¿ Е D(Ä) имеем C(t)u Е -D(-A),

C"(t)u = AC(í)u = C(£)Au;

12.для любого и G Ji имеем 5(í)i¿ Е -0(^4), 5"(í)w = AS(í)u;

13. для любого u Е D(A) имеем S(t)u Е AS(t)u =

14.С(£ + /г) - C(t -h) = 2AS{t)S{h), t,he И Все эти свойства полностью доказаны в [13].

Теорема 0.3. Пусть А—замкнутый линейный оператор с плотной в пространстве X областью определения. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1.Задача Коши (13)—(14) равномерно корректна на Х\ = D(A), X2=D(A);

2.Оператор А является порождающим сильно непрерывного семейства косинус-функций C(t), таких что C"(t) = А.

При этом решение имеет вид u(t) = C{t)u0 + S{t)uu е D(Ä). (15)

Схема доказательства этой теоремы аналогична схеме доказательства теоремы 0.1.

Для неоднородного уравнения второго порядка u"(t) = Au(t) + f(t) (16) поставим задачу Коши с начальными данными (14).

Подмножество функций /(£) из С1(Ж;Х), таких что Af(t) Е C(R;X) обозначим Z2 и сформулируем теорему.

Теорема 0.4. Пусть А замкнутый линейный оператор с плотной в пространстве X областью определения. Предположим, что задача Коши (13)—(14) равномерно корректна на Х\ = D(A), Х2 = D{A). Тогда если £ D(A), f(t) 6 то функция t u(t) = C{t)uQ + S{t)m + J S(t - r)/(r) dr, t e E (17) 0 является решением задачи Коши (16),(14). Обратно, если f(t) G С(Ш,Х) и u(t) является решением задачи Коши (16),(14), то u(t) определяется формулой (17).

Доказательство этой теоремы также приведено в [13]. замечание. X. Фатторини в [24] показал, что (17) верна и в случае, когда щ,щ G D(A), а /(£) непрерывно дифференцируема при 0 < t ^ Т.

Обзор полученных результатов. Первая глава посвящена исследованию обратных задач восстановления памяти для абстрактных инте-гродифференциальных уравнений первого и второго порядков в банаховом пространстве. Метод доказательства, как и в [28], основан на редукции этих задач к нелинейным системам уравнений типа Воль-терра. Как уже было сказано, в работе [28] была доказана локальная разрешимость подобных задач, а в работе [23], доказана глобальная разрешимость подобных обратных задач для уравнений первого порядка на основе принципа сжатых отображений. В настоящей работе мы используем метод Ньютона и доказываем его глобальную сходимость. Этот подход позволяет строить эффективные численные методы решения таких задач. Отметим, что доказательство глобальной сходимости для абстрактных интегродифференциальных уравнений второго порядка впервые проведено в настоящей работе.

Основными результатами первой главы являются Теоремы 1.1-1.4. Результаты главы опубликованы в работах [5], [7], [8].

Что касается главы 2, там рассматривается задача восстановления памяти, входящей в интегродифференциальное уравнение с дельта функцией в правой части, которую решал в работе [12] Д.К. Дурди-ев. Им, как уже отмечено выше, доказано существование решения в "малом" и его устойчивость. Основным результатом главы является Теорема 2 о существовании решения обратной задачи в целом. Метод доказательства носит конструктивный характер и проведен как с применением классического метода сжимающих отображений, так и метода Ньютона, который позволяет получить более высокую скоорость сходимости к решению. Получены оценки устойчивости. Кроме того, было доказано существование и единственность решения прямой задачи (Теорема 1).Результаты этой главы нашли отражение в [6].

В заключение автор хочет выразить глубокую благодарность своему научному руководителю А.Л. Бухгейму за постановки задач и постоянное внимание к работе, В.Б. Кардакову за совместную работу над доказательством Теоремы 3 и обсуждение результатов, Г.В. Дятлову за полезные ссылки и техническую поддержку.

Кроме того, во время работы над диссертацией автор получал финансовую поддежку Международной Соросовской программы образования в области точных наук (грант а99-1150) и Российского фонда фундаментальных исследований (грант Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФФИ 96-15-96284), за что выражает им свою благодарность.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производным гиперболического типа. М.: Наука, 1978.

2. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

3. Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

4. Бухгейм А. Л., Дятлов Г. В. Единственность в одной обратной задаче определения памяти // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, №3. С. 526-533.

5. Бухгейм А. Л., Калинина Н. И. Глобальная сходимость метода Ньютона в обратных задачах восстановления памяти. // Сиб. мат. журн. 1997. V. 38, N.5. Р. 1018-1033.

6. Бухгейм А. Л., Калинина Н. И. Обратные задачи восстановления памяти // Тез. докл. 10-й Байкальской школы-сем. Методы оптимизации и их приложения Иркутск, авг. 1995 г. Иркутск,, 1995. С. 243-245.

7. Бухгейм А. Л., Калинина Н. И. Обратные задачи восстановления памяти // Докл. Акад Наук. 1997. V. 354, N. 6. Р. 727-729.

8. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

9. Дурдиев Д. К. К вопросу о корректности одной обратной задачи для гиперболического интегродифференциального уравнения // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, №3. С. 69-77.

10. Дурдиев Д. К. Многомерная обратная задача для уравнения с памятью // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, №3. С. 574-582.

11. Дурдиев Д. К. Обратная задача для трехмерного волнового уравнения в среде с памятью // Математический анализ и дискретная математика. Новосибирск: НГУ, 1989. Р. 19-26.

12. Б. К. Иванов, И. В. Мельникова, and А. И. Филинков. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. Москва: Наука, 1995.

13. Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976.

14. Краснов М. А. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975.

15. Крейн С. г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

16. М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

17. Локшин А. А., Суворова Ю. В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.

18. Работнов ДО. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. Наука: М., 1977.

19. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

20. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. М.: Наука, 1969.

21. Хилле. Э., Филлипс Р.С. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

22. A. L. Bukhgeim Inverse problems of memory reconstruction // J. Inv. Ill-Posed Problems. 1993. V. 1, N.3. P. 193-206.

23. Fattorini H. Second oder linear differential equations in Banach spaces. Amsterdam; New York: North-Holland, 1985.

24. Fattorini H. The Cauchy Problem. London, Amsterdam, Don Mills, Ontario, Sydney,Tokyo: Addison-Wesley Publishing Company, 1983.

25. Janno J. On an inverse problem for a model of radially wave propagation in the media with memory // Numerical Methods and Optimization. Tallinn: Eston. Acad. Sci., 1990. P. 4-19.