Обобщенные решения интегро-дифференциальных уравнений высоких порядков в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На праваоі чпописи

ОРЛОВ СЕРГЕЙ СЕРГЕЕВИЧ

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученей степени кандидата физико-математических наук

5 ДЕК 2013

00554174»

ИРКУТСК - 2013

005541748

Работа выполнена в Институте математики, экономики и информатики ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет» (Министерство образования и науки Российской Федерации)

доктор физико-математических наук, профессор

Фалалеев Михаил Валентинович

доктор физико-математических наук, доцент

Казаков Александр Леонидович, ИДСТУ СО РАН, главный науч. сотр.

доктор физико-математических наук, профессор

Кадченко Сергей Иванович,

МаГУ, зав. кафедрой;

Челябинский государственный университет (г. Челябинск)

Защита состоится 26 декабря 2013 г. в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 в Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук (ИДСТУ СО РАН) по адресу: 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке и на официальном сайте www.idstu.irk.ru ИДСТУ СО РАН.

Автореферат разослан 25 ноября 2013 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н.

Т. В. Груздева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов существования и единственности решений начальных задач для линейных интегро-дифферен-циальных уравнений Вольтерра типа свертки в банаховых пространствах.

Актуальность темы. Отличительной особенностью изучаемых в работе интегро-дифференциальных уравнений является их нерегулярность (сингулярность, вырождение), которая проявляется в наличии необратимого оператора при старшей производной. Для таких объектов неприменимы теоремы, справедливые в регулярных случаях. Не допускают прямого распространения и методы исследования вырожденных линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Это порождает необходимость разработки аппарата, который, во-первых, позволил бы работать именно с интегро-дифференциаль-иыми уравнениями, во-вторых, был согласован с уже известными идеями, развитыми для вырожденных дифференциальных уравнений. С другой стороны, уравнение в абстрактных пространствах зачастую является краткой операторной записью какой-либо содержательной задачи математической физики или даже целого ряда задач. Неразрешенные относительно старшей производной по времени линейные интегро-дифференциальные уравнения в частных производных (в иной терминологии уравнения соболевского типа) возникают в математической теории термовязкоупругости1, гидродинамике2, физике плазмы3 и многих других областях. Системы линейных обыкновенных илтегро-диффереп-циальных уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов при производной широко используются, например, в электротехнике4. Тем самым, помимо исключительно теоретического интереса, рассматриваемые задачи актуальны с точки зрения приложений.

Интерес к вырожденным дифференциально-операторным уравнениям проявляется с середины прошлого века, им посвящена обширная библиография. Наиболее известными в этой области являются работы Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Синицына и М. В. Фалалеева5, Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова6, Ю. Е. Бояринцева7, В. Ф. Чистякова и А. А. Щегловой8, В. К. Иванова,

1Cavalcanti М. М., Domingos Cavalcanti V. N., Ferreira J. Existence and Uniform Decay for a Non-Linear ViscoelHStic Equation with Strong Damping // Malli. Metli. Appl. Sei. 2001. Vol. 24. P. 1043-1053.

2Огколков А. П. Начально-краевые ладачи для уравнений движений жидкостей Кельвина-Фойг-га и Ол-дройта // Труды МИАН СССР. 1988. Т. 179. С. 126-164.

3Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников и др. М.: Физматлит, 2007. 736 с.

■•Ушаков Е. И. Статическая устойчивость электрических систем. Новосибирск: Наука, 1988. 273 с.

5Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov [et al.]. Boston; London; Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002. 548 p.

"Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003. 216 p.

7Бояринцев Ю. E. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференцпальгшх уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. 160 с.

8Чистяков В. Ф., Щеглова А. А. Избранные главы теории алгебро-диффереициальных систем. Новосибирск: Наука, 2003. 320 с.

И. В. Мельниковой и А. И. Филинкова9, A. Favini и A. Yagi10, И. С. Егорова, С, Т. Пяткова и С. В. Попова11, R. Showalter12, А. И. Кожанова13, Г. В. Деми-денко и С. В. Успенского14, С. Г. Крейна и Н. И. Чернышева15 и многих других. В этих работах большое внимание уделяется сингулярным дифференциальным уравнениям и существенно меньшее интегро-дифференциальным. Начальные задачи для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений в разных постановках изучались А. Favini, A. Lorenzi и H. Tanabe16, С. Lizama и R. Ponce17, S. Q. Bu и G. Cai18, В. E. Федоровым и О. А. Стахеевой19, Н. А. Сидоровым, М. В. Фалалеевым. Аналитические и численные методы решения систем обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной разработаны М. В. Булатовым и Е. В. Чистяковой20. В упомянутых работах изучаются преимущественно уравнения первого, реже второго порядков. Однако, для приложений требуются также и более высокие порядки дифференциальных частей. Таким уравнениям и посвящена данная работа.

Отметим, что во всех известных работах авторы указывали на неразрешимость в общем случае начальных задач для вырожденных интегро-дифференциальных уравнений, т. е. для существования гладкого решения требуется согласование входных данных задачи: операторных коэффициентов, ядра интегральной части, свободной функции и начальных данных Коши. Тем самым, первичной проблемой в этих исследованиях является описание множества входных данных, при которых имеет место такая разрешимость. В работах21,22 уста-

9Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995. 384 с.

I0Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. New York; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker Inc., 1999. 313 p.

11 Егоров И. E., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассическяе дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000. 336 с.

12Showalter R. Е. The Sobolcv equations I (II) / R. E. Showalter /'/ Appl. Anal. 1975. V. 5: .Yi 1. P. 15-22 (V. 5, № 2. P. 81-99).

13Кожанов A. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1990. 130 с.

14Демнденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы уравнений, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998. 438 с.

15Крейн С. Г., Чернышев Н. И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1979. 18 с. (Препринт № 4)

1(îFavini A., Lorenzi A., Tanabe H. Singular Integro-Differential Equations of Parabolic Type // Adv. Diff. Eqs. 2002. Vol. 7. P. 769-798.

"Ponce R. Bounded Solutions to Evolution Equations in Banach Spaces // Ph. D. Mathematics. The University of Santiago, Chile (USACH). Santiago, 2011. 87 p.

18Bu S. Q., Cai G. Solutions of second order degenerate integro-differential equations in vector-valued function spaces // Sei. China Math. 2013. Vol. 56, № 5. P. 1059-1072.

19Федоров В. E., Стахеева О. А, О локальной разрешимости линейных эволюционных уравнений с памятью // Вестник ЮУрГУ. Математическое моделирование и программирование. 2008. Вып. 2, № 27. С. 104-109.

20Булатов М. В., Чистякова Е. В. Об одном семействе вырожденных интегро-дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2011. Т. 51, № 9. С. 1665-1673.

21Сидоров Н. А., Фалалеев М. В. Обобщенные решения дифференциального уравнения с фредгольмовым оператором при производной // Диффереиц. уравнения. 1987. Т. 23, № 4. С. 726-728.

"Сидоров Н. А., Фалалеев М. В. Обобщенные решения вырожденных дифференциальных и интегральных уравнений в банаховых пространствах // Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Новосибирск: Наука, 1988. С. 308-318.

новлеио, что для существования обобщенного решения дополнительных ограничений уже не требуется, и в результате был сформирован следующий подход: построить решение рассматриваемой задачи в классе распределений, а затем выявить условия, при которых оно окажется классическим. Построение обобщенного решения возможно двумя способами. Одним из них является метод покомпонентного восстановления регулярной и сингулярной составляющих. Но при таком подходе единственность фактически имеет место лишь в "зауженном" классе распределений, определяемом видом самого решения. Этого недостатка лишен другой способ, разработанный М. В. Фалалеевым. Основным инструментом предложенного метода является фундаментальная оператор-функция, соответствующая вырожденному дифференциальному оператору в банаховых пространствах — аналог классического понятия фундаментального решения (функции влияния). Обобщенное решение начальной задачи восстаг навливается как свертка фундаментальной оператор-функции с правой частью уравнения, причем доказательство существования и единственности не требует громоздких выкладок. Знание фундаментальной оператор-функции позволяет записать в замкнутой форме единственное обобщенное решение, принадлежащее классу распределений с ограниченным слева носителем, а уже затем легко определить условия существования и явный вид классического решения, не прибегая к его непосредственному построению. Таким образом, вопрос однозначной разрешимости начальных задач в классах распределений и функций конечной гладкости удается изучать комплексно.

Цель работы — исследование однозначной разрешимости начальных задач для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений высоких порядков в классах распределений и функций конечной гладкости.

Объектами исследования являются начальные задачи для линейных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, а также допускающие редукцию к ним начально-краевые задачи, которые возникают в математической теории термовязкоу пру гости.

Методы исследования. В работе используются аналитические и функциональные методы теории интегральных и дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, методы теории линейных эллиптических операторов.

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в том, что для широких классов вырожденных линейных интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах построены фундаментальные оператор-функции. На этой основе получены достаточные условия однозначной разрешимости начальных задач в классах распределений и функций конечной гладкости, а также явные формулы для восстановления самих решений. Дифференциальные части рассматриваемых абстрактных интегро-дифференциальных уравнений имеют произвольный порядок Ж, в отличие от большого числа работ, посвященных уравнениям первого порядка.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена строгостью доказательств, в которых используются широко известные результаты теории дифференциальных и интегральных уравнений, функционального анализа. Все основные утверждения проиллюстрированы примерами.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертационной работе результаты, полученные ранее М. В. Фалалеевым для интегро-дифференциальных уравнений первого порядка, распространены на общий случай уравнений произвольного порядка N. Доказанные теоремы согласуются со случаем, когда интегральная часть обнуляется. С этой точки зрения они являются обобщением полученных ранее аналогичных результатов для дифференциальных уравнений высокого порядка. Также в работе исследован вопрос существования и единственности решений начально-краевых задач математической теории тер-мовязкоупругости с указанием явных формул решений. Рассмотрены задачи о движении вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта, о колебаниях вязко- и термоупругих пластин, о вязкоупруго-динамическом состоянии среды и др.

Материалы диссертации могут быть использованы при разработке спецкурсов для студентов-математиков, а также при написании курсовых и квалификационных дипломных работ, магистерских и кандидатских диссертаций.

Диссертационное исследование выполнялось в рамках следующих программ:

- Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы», тема № 1.1706.2011;

- Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», госконтракты № П696 и № 14.В37.21.0365.

Работа поддержана грантами для аспирантов и молодых сотрудников ИГУ № 091-08-104 и тема № 113-11-000. В 2011 году автор был удостоен именной стипендии губернатора Иркутской области (распоряжение Губернатора Иркутской области № 111-р от 22.12.2011).

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В диссертации рассмотрены интегро-дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с необратимым оператором при старшей производной. Исследованы вопросы существования и единственности обобщенных и классических решений начальных задач для таких уравнений, а также получены явные формулы самих решений. Абстрактные результаты применены к исследованию начально-краевых задач, возникающих в математической теории термовязкоу пру гости. Тем самым, область исследования соответствует пункту 8 «Теория дифференциально-операторных уравнений» паспорта специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.

Апробация. Изложенные в работе результаты были представлены на 30 научных мероприятиях, из них 10 международных конференций: Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, 2006, Ростов-на-Дону; IX Международная Четаевская конференция «Аналитическая механи-

ка, устойчивость и управление движением», 2007, Иркутск; 3-я Международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященная 85-летию Л. Д. Кудрявцева, 2008, Москва; Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященная 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего, 2009, Москва; Международный Российско-Абхазский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», 2009, Нальчик; VI Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2009, Томск; Международная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященная памяти академика А. А. Самарского, 2009, Москва; Молодежная международная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач», 2009, Новосибирск; III Молодежная международная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач», 2011; 3-я Сибирская школа молодых ученых по применению математических методов и информационных технологий в рамках в XXVI Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», 2013, Иркутск, Ангарск.

Результаты диссертационных исследований докладывались на исследовательском семинаре отделения нелинейных динамических систем и дифференциальных уравнений ИДСТУ СО РАН под руководством А. А. Щегловой и регулярно на исследовательском семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений ИМЭИ ИГУ под руководством Н. А. Сидорова.

Публикации и личный вклад автора. Материалы диссертационного исследования опубликованы в 33 работах, среди которых 20 статей, из них 9 в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов диссертаций [1-9]. Результаты второй главы опубликованы в работах [1, 4, 7, 9], третьей — [2, 3], четвертой — [2-6, 8].

Все результаты, выносимые на защиту, получены автором лично и не нарушают авторских прав других лиц. В работах [1-6] М. В. Фалалееву принадлежат постановки исследуемых задач, в [5] А. В. Красником исследовано вырожденное дифференциального уравнения четвертого порядка специального вида и соответствующая ему начально-краевая задача физики плазмы.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 190 страницах, состоит из введения, четырех глав и списка литературы, который содержит 143 библиографических наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована цель диссертационного исследования, обоснована его актуальность, представлен обзор литературы в области изучаемой

проблематики, приведены краткое содержание диссертации и ее основные результаты.

Первая глава носит преимущественно вспомогательный характер. Здесь изложены сведения о жордановых наборах фредгольмовых и нетеровых операторов, псевдообращении линейных операторов, а также введены некоторые понятия теории обобщенных функций в банаховых пространствах. П. 1.1 посвящен обобщенной жордановой структуре фредгольмовых операторов.

Пусть Ei, Е2 — вещественные банаховы пространства, В — замкнутый линейный оператор, действующий из Ei в Е2, причем D(B) = Е\. Будем предполагать, что В фредгольмов, т. е. R(B) — R(B) и dim N(B) = dim N(B") < +00. Обозначим n = dimiV(S), {(/?г}"=1 - базис в N(B), - базис в N(B'),

hiYi l=1 С El, j С E2 — соответствующие им биортогональные системы элементов, Т. е. {<Pi, 7j) = (Zi, tjjj) = dij, i, j = 1, . . . , Tl.

Введем проекторы P : Ei N(B), Q : E% span {гг}"=1 и ограниченный оператор Г : Е2 D(B) (оператор Треногина-Шмидта), действующие по формулам

п п / п

^ = £<-> 7i)Vi, Q = X>, Фг)*, Г = В-1=[В + ^2(; fi)Zi »=1 i=l \ i=l

Справедливы следующие равенства

Tzi = щ, r*7i = ■фи i = 1,... ,п, ТВ = Ix - Р, ВТ = 12 - Q.

Здесь и далее Ii, I2 — тождественные операторы в пространствах Ei и Определение 1. Обобщенной жордановой цепочкой базисного элемента <Pi € N(B) относительно оператор-функции 3(t) (^(t)-жордановой цепочкой) называется конечный набор элементов ipf\ ..., С Е\, удовлетво-

ряющих уравнениям

В<рФ = 0, В<р?+1) = к(щ), k = l,...,Pi-l,

которые, в соответствии с альтернативой Фредгольма, разрешимы, если выполнены условия (lk(<Pi), ipj) =0, j = 1,... ,п, k — 1,... ,pi - 1. Здесь введено

обозначение 1к{щ) = £ Число pi е N принято называть длиной

9=1

3"(г)-жордановой цепочки. Справедливы формулы

= ГШ), k = l,...,Pi-l.

Условие обрыва цепочки присоединенных элементов на р,-м шаге состоит в том, что не все числа (l^foi), ipj), j = I,...,п равны нулю, т. е. в неразрешимости относительно <-pf'+l) уравнения B(flPi+1) = lPi(<Pi).

Построив для каждого <¿>¿ G Лг(й) свою Эг(^)-жорданову цепочку, получим систему элементов i = 1,..., п, к = 1,... ,p¿| С Еи называемую обоб-

щенным жордановым набором фредгольмова оператора В относительно оператор-функции 1(t) (3(t)-жордановым набором фредгольмова оператора В). Определение 2. Жорданов набор относительно оператор-функции J(t) называется ПОЛНЫМ, если выполнено условие det ¡|{^(</>г), =1 n ф- 0.

В п. 1.2 оператор В предполагается нетеровым, т. е. таким, что R(В) = R(B), a dim N(B) и dim N(B*) конечны, но не совпадают. Пусть п = dimAr(B), m = dim N(B'). Число х = п — т называется индексом нетерова оператора В. Далее обозначим - базис в N(B), - базис в N(B*). Наряду с

этими вводится в рассмотрение еще одна система элементов

vf = (B+A)k~l ¿ = 1, А > 2, чР = <ри

где А — замкнутый линейный оператор из Е\ в Е2. D{A) = Ei, а В+ — псевдообратный оператор23 нетерова оператора В.

Определение 3. Пусть элементы ^ удовлетворяют уравнениям B<p\k+1^ = Aip\h\ i = 1,... ,п, к = 1,... ,Pi — 1,

и неравенствам причем

rangIn k=i т = min(n,m) = I.

В этом случае говорят, что вектора ipf\ i = 1,... ,п, к = 1,... ,p¿, образуют полный А-жордапов набор нетерова оператора В.

Элементы теории распределений в банаховых пространствах изложены в п. 1.3. Пусть Е — вещественное банахово пространство, Е* — сопряженное к нему банахово пространство.

Определение 4. Обобщенной функцией (распределением) f(t) со значениями в банаховом пространстве Е называется всякий линейный непрерывный функционал (f,s(t)), заданный на К(Е*). Здесь под К(Е*) понимается так называемое пространство основных функций, к которому относятся все финитные бесконечно дифференцируемые функции s(t) со значениями в Е*. Множество обобщенных функций со значениями в Е обозначим К'{Е). Определение 5. Говорят, что последовательность {/„} с К'{Е) сходится к / е К'(Е), если (fn,s(t)) (f,s(t)) V s(t) е К(Е*).

Определение 6. Пусть %(1) — сильно непрерывная оператор-функция класса С°°(R) со значениями в С{ЕЪЕ2)> причем 3C*(í) 6 С{Е%,Е1) существует почти

a3Nashcd М. Z. Generalized Inverses and Applications. New York; San Francisco; London: Academic Press 1976. 1055 p.

при всех t 6 R, h(t) & 3', тогда произведение X(t)h(t.) (формальное выражение) назовем обобщенной оператор-функцией.

Определение 7. Сверткой обобщенной оператор-функции 0C(t,)h(t), где h(t) £ и распределения f(t) S K'+(Ei) называется обобщенная функция X(t)h(t) * f(t) € К'+(Е2), определяемая равенством

(X(t)h(t) * f(t), s(t)) = (h(t), (/(r), 0C(t)s(t + г))) V s(t) G К(Щ).

Корректность этого определения гарантируется ограниченностью слева носителей функций h{t) 6 и f(t) G K'+(Ei) и доказывается по схеме, аналогичной применяемой при доказательстве существования свертки в алгебре

Отдельный пункт 1.4 посвящен понятию фундаментальной оператор-функции интегро-дифференциального оператора, которое занимает центральное место в работе. Линейному интегро-дифференциальному оператору вида

CN(u(t)) = BviN\t) - AN.^N~l\t)

t

- Aiu'(t) - A0u(t) - J k(t - s)u(s)ds о

поставим в соответствие следующую обобщенную оператор-функцию £jv(S(t)) = BÔ{N\t) - AN^N^\t) - ... - Ai6\t) - AoS{t) - k(t)6(t).

Здесь В, ..., Ai, Aq, k(t) — линейные операторы, действующие из Е\ в

Е2, свойства которых будем уточнять отдельно в каждом конкретном случае. Определение 8. Фундаментальной оператор-функцией интегро-дифферен-циалыюго оператора X,v(d(i)) назовем обобщенную оператор-функцию удовлетворяющую равенствам

SN(t) * £N(6(t)) * v(t) = v(t) V v(t) g K'+{Ek),

£N(S(t)) * SN{t) * w{t) = w(t) V w{t) e K'+{E2).

Смысл этой конструкции состоит в следующем: если известна фундаментальная оператор-функция £n(î) интегро-дифференциального оператора £jv(<5(i)), то, в силу второго равенства, сверточное уравнение вида

&N{ô{t)) * u(t) = /(£),

где f(t) £ К'+{Е2), имеет своим решением обобщенную функцию

u{t) = £„(t) * f(t) е K'+iEt),

причем это решение единственно. Действительно, если существует v{t) £ K'+(Ei) такая, что v(t) ф u(t) и Z^(S(t)) * v(t.) = f(t), то, с учетом первого равенства из определения фундаментальной оператор-функции, получим

v{t) = SN(t) * LN(ô{t)) * v(t) = £N{t) * f(t) = u(t),

противоречие, доказывающее единственность решения = £дг(£) * /(¿) исходного сверточного уравнения в классе Л"' (Е^).

Далее описана техника исследования с помощью конструкции фундаментальной оператор-функции задачи Коши

£*(«(*)) = /(0. "(0) = «о, «'(0) = «1, • ■ •, «(ЛГ-1)(0) - Илг-! (1)

в условиях непрерывной обратимости оператора В.

Во второй главе изложены результаты исследования начальной задачи для специального класса иптегро-дифференциальных уравнений вида

г

Ви^(1) = Аи{1) + Jg{t- 8)Аи(з)с18 + /(4), (2)

о

с начальными условиями

и(0) = щ, «'(0) = «!,..., «^-^(О) = (3)

где д{£) : К+ —> К — числовая функция, В, А — линейные операторы. Задача Коши (2), (3) принимает вид сверточного уравнения

- А5{1) - Ад(Ь)в{€)) * «(«) = №6(Ь)+

+ Вим^5{£) + Вим.26'(1) + ... + Вщб^Ц) +

единственным решением (обобщенным решением задачи Коши (2), (3)) которого является распределение

й(0 = £лг(0 * (/(¿Ж0 + Вгхлг-1Й(0 + Виц-26?(Ь) + .. .+

если известен вид €ц{Ь) — фундаментальной оператор-функции интегро-диф-ференциального оператора — А6(1) - Ад(1)в({). В пп. 2.1-2.5 такой вид

получен в условиях фредгольмовости (п. 2.1) и нетеровости (п. 2.2) оператора В, а также спектральной, секториальной и радиальной ограниченности операторного пучка (пп. 2.3-2.5 соответственно). Далее введем используемые всюду в главе 2 обозначения для функций

g(t) = f(t)e(t) + BuN^ô(t) + • ■ ■ + Buxô{N-l\t) + Вщ5^-1\Ь), p(t) = u0 + uit-i-----h un-r.

tN-1

(N — 1)! '

и функциональной последовательности, заданной рекуррентной формулой t t hk(t) = hk-i{t) + Jr(t - s)h/t-i(s)ds, ho(t) = f(t) + Apit) + Jg{t - s)Ap{s)ds, о 0

где r(t.) — резольвента ядра (—g(t)).

Теорема 1. Пусть В, А — замкнутые линейные операторы из Ех в E-¿, причем D{B) = D{A) = Ей D(B) С D(A), ядро g(t) :l+4l непрерывная функция, оператор В фредголъмое и имеет полный А-жорданов набор, тогда интегро-дифференциальный оператор Bó'N\t) - Aó(t) - Ag(t)9(t) имеет на классе K'+(E¡2) фундаментальную оператор-функцию вида

+00 +kN-1

fk-. -

ш=г ^т+этт*-1 * {ш_іувшлг)к-\і2 - <зь

Е

«'=1

Pi Pi-k+1 fc=i j=і

где Г — оператор Треногина-Шмидтпа, Q = 2 Й ('> V^) ^¿Р<+1 ^

1=1 }=1 \ '

\ г = 1,... ,п, j = 1,..., /л | — полный А-жорданов набор оператора В,

г = 1,..., п, j = 1,... — полный А*-жорданов набор оператора В*, под к-ой степенью обобщенной функции (5{t) -f g(t)9(t)) є понимается ее повторная k-кратная свертка, т. е.

т+gmmk=im+amt))*-y*m+9mt)),

к раз

причем {6{t) + 5(f)0(O)° = <*(*)•

Фундаментальная оператор-функция имеет следующий эквивалентный вид:

¿Ш = * (I2i(i) + MN(t)0(t))(l2 - Q)-

-Е i=l

p¡ p.-fc+l ¿=1 i=l

где Afjv(i) — резольвента ядра ЛГ ^^гут + J ^^ g(s)ds^j.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда задача Коши (2), (S) имеет единственное обобщенное решение, и, если

g(t) Є C{p-VN(t > 0), /(і) Є > 0; Е2), р = шах Рі,

і—1,...,п

то оно имеет вид t.

и

(t)

P(t) + J ((jV-l)!lr(l2 ~ +

n

і і-в

О О

п Рі Рі-к+1

-ЕЕ Е «м-

і=1 /г—1 І=1

гс РІ (к-І)ЛГ

-ЕЕ Е Е (лГ^со),^)^3-^^).

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и

д{і) Є > 0), /(і) Є СрМ{і > 0; Е2), р = шах ри

тогда, если

9 = 1,. £ = 1,...,р;, = 1,...,Р£ -к + 1, г = 1,... ,п,

то задача Коши (2), (3) умеет единственное классическое решение вида

В п. 2.2 рассмотрен случай, когда В нетеров, который, в свою очередь, подразделяется еще на два: отрицательного (п < т) и положительного (п > т) индекса х оператора В. При х < 0 оператор-функция того же вида, что и в теореме 1, является фундаментальной для В5^\ь)—А5(1;)—Ад(1)9(1), но не на всем классе К'+(Е2), а на его специальном подклассе. Этот факт естественным образом отражается на существовании как обобщенного, так и классического решений задачи Коши, которое теперь имеет место при выполнении дополнительных условий на правую часть и начальные данные, причем эти ограничения имеют нелокальный характер. При % > 0 обобщенная оператор-функция но уже с трР =0, г = т + 1,... ,п и произвольными функционалами г — т. + 1,...,п, у = 1,... ,рг удовлетворяет только второму равенству из определения 8 фундаментальной оператор-функции, "ответственному" за существование обобщенного решения. Первое равенство из этого определения не

о

І І-3

+ / / {І (ЛГ-1Г 1гМ^(г)(І2 ~

¿=1 ¿=1 у=1

выполняется. Свойством единственности построенные ии обобщенное, ни классическое решения не обладают, потому как содержат свободные параметры и произвольные функции.

В пп. 2.3-2.5 начальная задача (2), (3) изучается с точки зрения теории полугрупп операторов с ядрами Г. А. Свиридюка. Рассмотрены случаи относительной спектральной, секториальной и радиальной ограниченности оператора А относительно В (в этих предположениях размерность ядра оператора В или длины Л-жордановых цепочек могут быть бесконечными). Ограничимся здесь изложением результатов п. 2.3.

В начале приводится оригинальная терминология. Пусть В е £{Е\. ¿У, А € С1{Е\, Е'г). Здесь С1{Е\,Е2) — множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в банаховом пространстве Е\ и действующих в банахово пространство Е2- В-резольвентным множеством оператора А называется множество рв(А) — {/л е С : (цВ — Л)""1 6 £(Ь'г, £1)}. а оператор-функции (рВ - А)-1, В.Я(А) = (цВ - А)'1 В и Ь^{А) = В{цВ - А)'1 - соответственно В-резольеентой, правой В-резолъвептой и левой В-резолъвентой оператора А. Определение 9. Оператор А называется спектрально ограниченным относительно оператора В (или (В, сг)-ограниченным), если 3 а > 0 такое, что {ре С: > а} С рв(А).

Пусть С = {д 6 С : |/х| = г > а}, тогда пара операторов Р = ¿/ Я>ЛА)С1'1> Я = Ь*{Л)(]'1

С с

являются проекторами в Еу и Ёг соответственно, порождают разложения этих пространств в прямые суммы

Е1 = Е° ® Е\ = Ы{Р) ® Я{Р), Е2 = Е° ф Е\ = ЩЯ) © Д(д).

Действия операторов В и А расщепляются, причем Ао Е° —> Е®, В\ : Е\ —> Е\ непрерывно обратимы, Ах : Е\ —У Е\ ограничен. Если Эре {0} и N такое, что (Ад1В0)р ф 01( но (Лц 1/?о)р+1 = ©1) то бесконечно удаленная точка является несущественно особой точкой (либо устранимой особой точкой при р — 0, либо полюсом порядка р 6 М) В-резольвенты оператора А. В этом случае (В, (т)-ограниченный оператор А называется (В, р)-ограниченным. Теорема 4. Пусть В, А — линейные операторы, причем В € С(Ех, £7), А е С1(Ех, Е2), ядро д(1) : К — непрерывная функция, оператор В

необратим и А спектрально ограничен относительно В, тогда интегро-диф-ференциалъный оператор Вб^Ць) — Ад{€) — Ад{1)9{1) имеет на классе К'+(Е2) фундаментальную оператор-функцию вида

£„{г) = ВГ1 ^{АгВ^-Ът + дт*))*-1 * (ш _

4-оо

■ J2(AlBo)qAöl(h - Q)6^N\t) * (ö(t) + r(t)e(t))q+1,

q=0

здесь r(t) — резольвента ядра (—g(t)), степени обобщенных функций понимаются в смысле операции свертки (см. теорему 2.1.1).

Если в теореме 4 дополнительно предположить, что оо — несущественно особая точка точка B-резольвенты оператора А, то

fkN-1

sN{t)=ßr1 Yl^^Qm+9mt))k-1 *

- ¿(А^'Во)M0-1(I2 - Q)ö^(t) * (5(t) + r(t)e(t)y+1. <t=о

Эта обобщенная оператор-функция имеет следующий эквивалентный вид:

= * (W)+Рмшт-

- ¿(Ло'ВоГАоНЬ - Q)5W(t) * (i(i) + r(t)e(t))9+1,

q=О

где PN(t) — резольвента ядра АіВ^1 +1 %*-"!)!* 9 {s)dsj.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4 иоо является несущественно особой точкой B-резольвенты оператора А, тогда задача Коши (2), (3) имеет единственное обобщенное решение, и, если

g{t) є CpN(t > 0), /(і) є CN(t > 0; Е2),

то оно имеет вид t

ü(t) =

f (t- s^-1

p(t) + J (Лг-1)! B?Qho(S)ds +

о

i t-s

Я(Ь - s - t\n~1

(N - 1)! B^WQh0(s)dTds-

о 0

p

z

<7=0

»w-EEWViw^ii),

j=l ?=0

где и,._1Ы = ±(AolB0)kA^(h ~ Q)h(^1}(0), j = 1,..., N, q = 0,... ,p. fc=0

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 6, оо является несущественно особой точкой В-резольвенты оператора А и

g(t) е C^N(t > 0), f(t) g cW{t > 0; Е2),

тогда, если

Щ-Щ =0, j = l,...,N, q = 0,...,p, то задача Коши (2), (3) имеет единственное классическое решение вида

u(t) =p(t) 4- / ^ BilQho{s)ds+

о

t t-s p

+ // {t 7N11)1 'B^PNWQhoWrds -¿(Ло1 ВоУА-0\Ь -(<), 0 0 9=°

г<?е используются обозначения теоремы 5.

Третья глава посвящена исследованию однозначной разрешимости начальной задачи

¿n(«W) = /(«), "(0) - Uo, u'(0) = til, ... , U^CO) = (1)

при условии фредгольмовости оператора В.

Теорема 7. Пусть В, An-i, ■ • ■, А\, Aq — замкнутые линейные операторы из Ei в Е2, k[t) — однопараметрическое семейство класса C°°(t > 0) операторов с аналогичными свойствами и областью определения D(k), не зависящей от t, причем

N N

D(B) = pi D{Ak-{) П D{k) = Eu D{B) С fj D(Ak-i) П D(k),

k= 1 fc=l

к{і) сильно непрерывна на 0{к), а оператор В фредгольмов и имеет полный обобщенный жорданов набор относительно оператор-функции

tN-2 tN-1 г (t- чї^"1

W) = ^-i + + ■ • ■ + + A0W-^ + J {-W^iWk(s)ds,

о

тогда интегро-дифференциальный оператор Ln {5 {t)) имеет на классе К'+{Е2) фундаментальную оператор-функцию вида

t

■N-1

= * (l2J(i) + RN{t)e{t)) * (I2i(i) + NN{t)0{t)) * G(t),

здесь Г - оператор Треногина-Шмидта, Rx(t) и NN(t) - резольвенты ядер

п , ,

5Fjv(£)r и 00) соответственно, функция G(t) задается спедую-

¿=1

щим образом:

G{t) = (12 - g)i(i)-¿¿(-, ф?) г^-Щ, ! = 1 j = 1

?; = 1,..., n, j = 1,...,рг| полный обобщенный 3*м{{)-жорданов набор оператора В*.

Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда задача Коши (1-4-1) имеет единственное обобщенное решение вида u(t) = £(i) * g(t).

Простой анализ формулы й(t) = £(t) * g(t) в условиях теоремы 7 указывает на то, что это распределение представляет собой сумму регулярной и сингулярной составляющих. С помощью метода покомпонентного их восстановления показано, что обобщенное решеиие задачи Коши (1) имеет вид:

п Pi-Npt-N+1-j

й(«) = s(t)*т = vmt)+ЕЕ Е ^Iu^-^fw-^t),

¿=i j=i k=i

где функция v{t) в случае £ CPi~j+1(t > 0), i = 1,... ,n, j =

принадлежит классу C(i > 0; £i) nC"(i > 0; Ei), удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению

п Pi-Npi-N+l-j

£N(v(t)) = m + E E E [fc^v-ii*0-1^)^,

t=l ji=l 4=1

и начальным условиям

n pt-JV+j

««-«(о) = и,.! + E E * [fc+jv-jiv^. j = i.• ■ •.ЛГ-

Коэффициенты Q |j] 6 R, г = 1,... ,n, J = 1,... ,pit определяются единственным образом по формулам

pi-j+i

« W = " Е (^"^(О), , г = 1,... ,„, j = 1,... fc=i

здесь /i(t) = /(<) - £jv(p(i)), p(i) = wo + tirf + ■ • • + UN_IJ^JJ.

Обнаружена связь между построенным обобщенным и классическим решениями, которая позволила сформулировать следующий результат. Теорема 9. Пусть выполнены условия теоремы 7 и

(/(i), #)eO"-i+I(<> 0), г = 1,...,п, j = l,...)Pi>

тогда, если

£ = 0, » = 1, . . . , П, 3 = 1, • ■ ■ ,Рг,

к=1

то задача Коши (1) имеет единственное классическое решение.

Приложениям полученных абстрактных результатов посвящена заключительная четвертая глава. Здесь рассмотрены задачи, возникающие в математической теории термовязкоупругости. Всего приведено семь начально-краевых задач: о движении вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта, поперечных колебаниях пластины с памятью, вязкоупруго-динамическом состоянии среды, поперечных колебаниях диссипативной пластины, продольных колебаниях упругого стержня с учетом инерции, колебаниях термоупругой пластины, колебаниях термоупругой пластины в нестационарном тепловом поле, — для каждой из которых сформулированы четыре утверждения об условиях существования и единственности обобщенного и классического решений в регулярном и сингулярном случаях. Получены также формулы для построения этих решений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Доказаны теоремы о виде фундаментальной оператор-функции интегро-дифференциального оператора специального вида в банаховых пространствах в условиях фредгольмовости и нетеровости главной части, а также спектральной, секториалыюй и радиальной ограниченности операторного пучка. В этих предположениях получены условия существования и единственности обобщенного и классического решений начальной задачи для соответствующего вырожденного интегро-дифференциального уравнения в банаховых пространствах;

2. Построена фундаментальная оператор-функция интегро-дифференциального оператора высокого порядка с фредгольмовым операторным коэффициентом при старшей производной. На этой основе доказана однозначная разрешимость соответствующей задачи Коши в классах распределений и функций конечной гладкости;

3. Получены условия однозначной разрешимости и формулы решений начально-краевых задач о движении вязкоупругой жидкости, колебаниях пластины с памятью, упругого стержня с учетом инерции, термоупругой пластины в нестационарном тепловом поле.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

|1| Фачалеев М. В., Орлов С. С. Обобщенные решения вырожденных интег-ро-диффереициальных уравнений в банаховых пространствах и их приложения // Труды института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 4. С. 280-297.

[2] Фалалеев М. В., Орлов С. С. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы высоких порядков в банаховых пространствах и их приложения /V Известия вузов. Математика. 2011. № 11. С. 68-79.

|3| Фалалеев М. В., Орлов С. С. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах и их приложения в математической теории упругости // Изв. ИГУ. Математика. 2011. Т. 4, 1. С. 118-134.

[4] Фалалеев М. В., Орлов С. С. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения // Вестник ЮУрГУ. Математическое моделирование и программирование. 2011. Вып. 7, № 4. С. 100-110.

[5] Фалалеев М. В., Красннк А. В., Орлов С. С. Вырожденные дифференциальные уравнения высоких порядков специального вида в банаховых пространствах и их приложения // Сибирский журнал индустриальной математики. 2010. Т. 13, № 3. С. 126-139.

[6| Фалалеев М. В., Орлов С. С. Задача Копш-Дирнхле для уравнения колебаний термоупругой плластины // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. Т. 26, № 2. С. 138-143.

[7] Орлов С. С. О разрешимости интегро-дифференциальных уравнений Воль-терра с фредгольмовым оператором в главной части // Изв. ИГУ. Математика. 2012. Т. 5, № 3. С. 73-93.

[8) Орлов С. С. Начально-краевые задачи для неклассических уравнений математической теории упругости // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. Т. 29, № 1. С. 21-29. г

[9| Орлов С. С. Вырожденное интегро-дифференциальное уравнение в банаховых пространствах и его приложения // Изв. ИГУ. Математика. 2010. Т. 3, № 1. С. 54-60.

Редакш Ю1ШО- издательс ки й отдел ФГБУН Института динамики систем и теории управления СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, д. 134

Подписано к печати 22.11.2013 Формат бумаги 60x84 1/16, объем 1,2 п.л. Заказ 7. Тираж 130 -жз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет» Министерство образования и науки Российской Федерации

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Орлов Сергей Сергеевич

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор М. В. Фалалеев

ИРКУТСК — 2013

Оглавление

Введение 4

1 Основные понятия 43

1.1 Обобщенная жорданова структура фредгольмовых операторов ............................... 43

1.2 Псевдообращение и жордановы наборы нетеровых операторов ............................... 47

1.3 Обобщенные функции со значениями в банаховых пространствах ............................... 51

1.4 Фундаментальная оператор-функция интегро-дифференциального оператора в банаховых пространствах и ее применение 55

2 Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах 66

2.1 Случай фредгольмова оператора в главной части..... 68

2.2 Случай нетерова оператора в главной части ........ 88

2.3 Случай спектральной ограниченности операторного пучка 110

2.4 Случай секториальной ограниченности операторного пучка 124

2.5 Случай радиальной ограниченности операторного пучка . 129

3 Интегро-дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с фредгольмовым оператором при старшей

производной 134

3.1 Фундаментальная оператор-функция вырожденного интегро- дифференциального оператора .........135

3.2 Обобщенное и классическое решения вырожденного интег-ро-дифференциального уравнения в фредгольмовым оператором при старшей производной..............141

4 Приложения 148

4.1 Движение вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта . . . 150

4.2 Поперечные колебания пластины с памятью........153

4.3 Вязкоу пру го-динамическое состояние среды ........155

4.4 Поперечные колебания диссипативной пластины......157

4.5 Продольные колебания упругого стержня с учетом инерции 160

4.6 Колебания термоупругой пластины .............162

4.7 Колебания термоупругой пластины в нестационарном тепловом поле ...........................164

Литература 167

Введение

Представляемая работа посвящена исследованию вопросов существования и единственности решений начальных задач для линейных интег-ро-дифференциальных уравнений Вольтерра типа свертки в банаховых пространствах. Специфика подобных объектов проявляется в их двойственной природе. Неизвестная функция входит в дифференциальное выражение и, вместе с тем, фигурирует под знаком интеграла. Возникновение интегрального слагаемого в уравнении связано с необходимостью учитывать зависимость мгновенных значений характеристик описываемого объекта от их соответствующих предыдущих значений, т. е. влияние на текущее состояние системы ее предыстории. В современной литературе подобные технические и природные системы называют системами с последействием, наследственностью или динамической памятью. Математическое описание законов функционирования таких объектов было предложено В. Вольтерра (в серии статей 1909 года) на основе интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, которые впоследствии были названы его именем, и остается актуальным в настоящее время.

Отличительной особенностью изучаемых в работе интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах является их нерегулярность (сингулярность, вырождение), которая состоит в наличии необратимого оператора при старшей производной. Для таких объектов неприменимы теоремы, которые справедливы в регулярных случаях. Не допускают прямого распространения и методы исследования вырожденных линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Это порождает необходимость разработки аппарата, который, во-

первых, позволил бы работать именно с интегро-дифференциальными уравнениями, во-вторых, был согласован с уже известными идеями, развитыми для вырожденных дифференциальных уравнений. С другой стороны, уравнение в абстрактных пространствах зачастую является краткой операторной записью какой-либо содержательной задачи математической физики или даже целого ряда задач. Неразрешенные относительно старшей производной по времени линейные интегро-дифференциальные уравнения в частных производных (в иной терминологии уравнения соболевского типа) возникают в математической теории термовязкоупру-гости [101,104,129,137], гидродинамике [35,56], физике плазмы [42] и многих других областях. Системы линейных обыкновенных интегро-диффе-ренциальных уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов при производной широко используются, например, в электротехнике [72,109]. Тем самым, помимо исключительно теоретического интереса, рассматриваемые задачи актуальны с точки зрения приложений.

Тематике интегро-дифференциальных уравнений посвящена обширная библиография. Подробный обзор достижений в этой области до 1962 года представлен M. М. Вайнбергом в статье [11]. Не ставя перед собой задачи охватить целый отдел современной математической науки, приведем некоторые работы, касающиеся интегро-дифференциальных уравнений в абстрактных пространствах.

На необходимость рассмотрения операторных уравнений Вольтерра впервые указал академик M. М. Лаврентьев в своем докладе [39] на Международном конгрессе математиков в Ницце в 1970 году. Эти уравнения нашли широкое применение в теории обратных и некорректных задач математической физики и интегральной геометрии. Некоторые результаты исследований в этих областях изложены в монографии [40], в которой также рассмотрена задача Коши

t

7 />

—u(t) = Bu(t) + / A(t, r)u(r)dT + f(t), «(0) = 0,

0

где u(t) G С ([О, Т], U) — неизвестная функция, U — гильбертово пространство, A(t, т) — непрерывное по совокупности переменных ограниченное семейство линейных непрерывных операторов с областями определения и значений в U, В — замкнутый (необязательно ограниченный) оператор, удовлетворяющий условию В*В — ВВ* > 0. При этих предположениях доказана единственность решения рассматриваемой задачи и его непрерывная зависимость от правой части f(t). Аналогичные задачи в банаховых и гильбертовых пространствах с начальным условием ■и(О) = щ и ядром A(t, т) = A(t—T) при различных предположениях изучались в работах К. В. Hannsgen [120], R. К. Miller и R. L. Wheeler [128], G. Chen и R. С. Grimmer [105], G. Da Prato и M. Iannelli [107], W. Arendt и H. Kellermann [97].

В статье R. С. Grimmer [117] исследована начальная задача

t

x'(t) = A(t)x(t) + J B(t, s)x(s)ds + /(i), t > 0,

о

ж(о) = xq e x,

где X — банахово пространство, A(t), B(t, s) — замкнутые линейные операторы с областями определения, не зависящими от переменных tus, причем D(A) = X и D(B) С D(A), функция / : R+ X сильно непрерывна. Исходная задача сведена к эквивалентному интегральному уравнению Вольтерра второго рода, решение которого строится с помощью операторной резольвенты. В качестве приложения полученных результатов проведено исследование системы интегро-дифференциальных уравнений сверточного типа в частных производных, которые в современной литературе [18,133] носят названия уравнений Гуртина-Пипкина по фамилиям авторов статьи [119]. Аналогичная задача изучалась в гильбертовом пространстве G. Da Prato и M. Iannelli [108], когда A(t) при каждом значении t > 0 является инфинитиземальным генератором сильно непрерывной полугруппы операторов, а интегральная часть имеет специальный сверточный вид. На основе "энергетического равенства" доказа-

ны существование и единственность сильного и классического решений соответствующей начальной задачи.

В работах M. G. Crandall, S.-O. Londen и J. A. Nohel [106], а также V. Barbu и М. A. Malik [100] исследован специальный класс интегро-

дифференциальных уравнений вида

t t u'(t) + Bu(t) + J a(t - s)Au(s)ds + J b(t - s)u(s)ds = f(t), t > 0, о о

где A — линейный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н, В — нелинейный монотонный оператор, a(t) и b(t) — скалярные функции. Получены условия существования и единственности решения начальной задачи, изучено его поведение при t —> -foo. Используется идея редукции к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Абстрактные результаты иллюстрируются примерами начально-краевых задач о тепловых потоках наследственного типа. Задача Коши вида

( t u"(t) = Au(t) + J B(t - s)u(s)ds + f(t) для t e [0, T], 0

k u(0) = x и u'(0) = y,

с замкнутым линейным оператором А, область определения которого не обязательно плотна в банаховом пространстве X, и сильно измеримым семейством ограниченных операторов B(t), действующих из D(A) в X, изучена в работах Н. Ока [131,132]. Получены достаточные условия существования и единственности слабого и классического решений задачи на основе ее редукции к сверточному интегральному уравнению Вольтерра второго рода. С помощью доказанных теорем решены две содержательные начально-краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений в частных производных.

В серии работ Н. Д. Коиачевского [1,33-35] объектами исследований выступают интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра

~............... и*

с1и С

^ = А0и{1) + у *)Аки(з)(18 + /(*), п(0)

*=1о

<Ри (И2

т „

+ Л0м(*) + X) / 3)АМз)(1з = /(*), гг(0) = и0, м'(0) = и1,

Л=10

в произвольном банаховом пространстве £, где Ло, Л1,..., Лт — линейные, вообще говоря, неограниченные операторы, действующие в £, з) — оператор-функции со значениями в С(£). Также в гильбертовом пространстве "Н рассматривается начальная задача

А% + {Р + + Ви{1) + ^ / = Я*)'

/с=1 0

«¿(0) = и'(0) = и\

с самосопряженными операторами В, F и б. Оператор Л, называемый оператором кинетической энергии, предполагается тождественным, т. е. соответствующее интегро-дифференциальное уравнение является разрешенным относительно старшей производной. Средствами теории полугрупп операторов, операторных косинус- и синус-функций и теории операторных (М — Д/")-функций, примененных к соответствующим "укороченным" уравнениям (все з) = О), исходные начальные задачи сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода, а затем при определенных условиях доказывается существование и единственность их решений. Абстрактные результаты иллюстрируются на многочисленных примерах задач гидродинамики.

В работах В. В. Власова, Н. А. Раутиан и А. С. Шамаева [17,18] доказана корректная разрешимость начальных задач

ь

с1У

+ J к(г - з)а2у(з)с1з = д(г), г > о,

^(+0) = фо)

и

% + + / ~ 8)а2<8)Лз = /(*)>% > °>

/

о

и(Щ = <¿>0, м(1)(+0) = ¥>1.

в пространстве типа Соболева Ж^ВЦ., Ап) с весом. Здесь А — самосопряженный положительный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве Н и имеющий компактный обратный, скалярная функция К{{) представляет собой ряд из экспонент, сходящийся при 1 — 0. Исследован спектр соответствующих интегро-дифференциальных операторов Вольтерра сверточного типа. На этой основе изучен вопрос существования, единственности и гладкости решений начально-краевых задач для уравнений Гуртина-Пипкина [119], которые отражают релаксационный закон распространения волн и являются реализациями рассматриваемых начальных задач.

Обратные задачи для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра типа свертки исследовались в совместных работах профессоров А. И. Прилепко и А. Ьогепг1 [125,126]. В работе [126] доказана однозначная разрешимость задачи идентификации функции и : [0 , Т] —> X и элемента г Е удовлетворяющих абстрактному интегро-дифференциальному уравнению

о

+ / Н0{г - з)и^з 4- Е(1)г + /(¿), о < г < т,

о

начальному

14(0) = 1р0,

и дополнительному

Ф(и) = 1р1

условиям, где X и Z — банаховы пространства, А — замкнутый линейный оператор, Л, Но, Е и Ф — ограниченные линейные операторы. В современной литературе такие задачи называтся задачами "прогноз-управление", а дополнительные условия — данными переопределения или наблюдения [58,81,135].

Другим обратным задачам — задачам восстановления памяти (функциональной части ядра сверточного линейного интегро-дифференциального уравнения) посвящены работы A. JI. Бухгейма, Н. И. Калиткиной, В. Б. Кардакова [8-10]. В частности, в [9] рассматриваются задачи

t

щ — Аи = J h(t - r)Bu{r)dT + /(¿), t E [0, T],

о

и

t

Utt — Au = J h(t - r)Bu{r)dr + f(t), t e [0, T], о

u(0) = u0, u'(0) = mi, Ф [u(t)] - <p(t),

где щ, u\ — заданные элементы банахова пространства X, / : [0, Т] —> X — известная функция, В — замкнутый линейный оператор с плотной в X областью определения, <р : [0, Т\ —> R — заданная функция, Ф Е X* — известный функционал. Оператор А таков, что D(A) = X, и является непрерывно обратимым, кроме того, предполагается инфинитиземаль-ным генератором сильно непрерывной полугруппы (в первой задаче), порождающим оператором семейства косинус-функций (во второй задаче). Требуется определить пару функций и : [0, Т] —> X, h : [0, Т] —> К. Эти обратные задачи решаются на основе редукции к системам нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода, к которым затем применяются методы Ньютона и последовательных приближений (с доказательством их глобальной сходимости).

Исследованию уравнения

t

(Bu(t))' = Au(t) + f(t,u(t), J k(t,s,u(s))ds),te (0, a] ,

о

с нелокальными условиями

u(0) + g(tu ¿2, • • •, tp, u(ti), u{t2), •.., u{tp)) = Щ,

посвящены работы международного коллектива авторов, возглавляемого профессором К. Balachandran [99]. Здесь / : / х X х X —>• У, к : I х I х X —У X и д : 1р х Хр X — заданные отображения, X, Y — банаховы пространства, I = [0, а], 0 < ¿i < ¿2 • • • < tp < а, А и Л — замкнутые линейные операторы из X в У, причем -D(-B) С -О(Л). В предположении непрерывной обратимости оператора В на основе классической теории полугрупп операторов и принципа Шаудера доказывается существование решения рассматриваемой задачи. В статье [98] изучен вопрос управляемости. Последние достижения коллектива в исследовании абстрактных интегро-дифференциальных уравнений см. в [138].

Почти во всех приведенных работах полученные результаты иллюстрируются примерами содержательных начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, которые являются реализациями исходных абстрактных объектов. Однако, в ряде случаев исследование таких начально-краевые задач осуществляется методами, не использующими редукцию к абстрактным операторным аналогам. Сюда следует отнести работы М. Е. Gurtin и А. С. Pipkin [119], М. Е. Lord [124], А. С. Калашников [31], F. Bloom [102], Н. И. Шкиль, А. Н. Вороной и В. Н. Лейфура [95], А. А. Ильюшин и Б. Е. Победря [30], в том числе, по численным методам [57], D. Guidetti [118]; по обратным задачам М. Grasselli, С. И. Кабанихин и A. Lorenzi [116,122], A. JI. Бух-гейм, Н. И. Калинина и В. Б. Кардаков [10], J. Janno [121]; по вопросам управляемости Н. Gao, Р. Lei и В. Zhang [115], L. Pandolfi [133] и многие другие.

В упоминаемых до сих пор работах отечественных и зарубежных авторов рассматривались абстрактные интегро-дифференциальные, когда операторный коэффициент при старшей производной дифференциальной части является тождественным либо непрерывно обратимым оператором. Для исследования таких случаев доступны методы теории полугрупп операторов, теории интегральных уравнений, спектрального анализа линейных операторов, энергетических оценок (для уравнений в частных производных) и многие другие. При этом существование и единственность решений начальных задач в разных классах функций имеет место при очень естественных ограничениях ее входных данныхг. начальных условий Коши, свободной функции, операторных коэффициентов и ядра интегральной части. Ситуация существенно усложняется, когда в главной части абстрактного уравнения или уравнения в частных производных появляется необратимый оператор, и оно становится не разрешенным относительно старшей производной. Тогда для однозначной разрешимости начальных задач требуются более жесткие ограничения.

Интерес к вырожденным (в иной терминологии сингулярным или соболевского типа) дифференциально-операторным уравнениям проявляется с середины прошлого века, им посвящена обширная библиография. Наиболее известными в этой области являются работы Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Синицына и М. В. Фалалеева [127], Г. А. Свири-дюка и В. Е. Федорова [143], Ю. Е. Бояринцева [3,4], В. Ф. Чистякова и А. А. Щегловой [91], В. К. Иванова, И. В. Мельниковой и А. И. Фи-линкова [29], A. Favini и A. Yagi [112], И. С. Егорова, С. Т. Пяткова и С. В. Попова [25,136], X. Гаевского, К. Грегера и К. Захариаса [20], Н. О. Fattorini [111], R. Showalter [141,142], А. И. Кожанова [32,123], Г. В. Демиденко и С. В. Успенского [24], С. Г. Крейна и Н. И. Чернышева [37], Ю. М. Далецкого и М. Г. Крейна [23] и др. Последними по времени и наиболее важными для приложений основ общей теории вырожденных интегро-дифференциальных уравнений являются, на взгляд автора, ре-

зультаты, изложенные в монографиях А. Г. Свешникова, С. А. Габова, М. О. Корпусова, А. Б. Алышша, Ю. Д. Плетнера [19,42,60]. Во всех приведенных работах большое внимание уделяется сингулярным дифференциальным уравнениям и существенно меньшее интегро-дифференциальным. Далее более подробно рассмотрим те работы, в которых изучаются именно интегро-дифференциальные уравнения с вырождениями в абстрактных пространствах.

Класс уравнений вида

t

MDtu(t) + Luit) = J Ht- s)L1u(s)ds + /(¿), 0 < t < r,

о

где L, Li, M — замкнутые линейные опера