Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений

Аксенов, Николай Александрович

Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Аксенов, Николай Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Орел МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений"

Аксёнов Николай Александрович

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОРЯДКА И ТИПА ОПЕРАТОРА В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ К ИССЛЕДОВАНИЮ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 4 [,:др 2911

Москва — 2011

4841158

Работа выполнена на кафедре геометрии и методики преподавания математики физико-математического факультета Орловского государственного университета.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук,

доцент C.B. Панюшкин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.Ф. Сухинин доктор физико-математических наук, профессор A.B. Латышев

Ведущая организация: Московский энергетический институт

(технический университет)

Защита диссертации состоится 29 марта 2011 г. в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан "4Jü >ЛЯ. 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совет: кандидат физико-математических нау^< доцент

Л.Е. Ростовский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена одному из применений теории порядка н типа оператора в локально выпуклых пространствах — исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений. Начала этой теории были заложены В.П. Громовым и получили дальнейшее обобщение в работах С.Н. Мишина. Чуть позже порядки и типы некоторых операторов, действующих в различных пространствах аналитических функций, были найдены C.B. Панюшкиным.

Ранее теория порядка и типа оператора была положена в основу решения ряда задач современного функционального анализа. К их числу, в частности, относятся: задача о представлении функций комплексных переменных рядами по собственным функциям линейного оператора; задача о разложении векторов локально выпуклого пространства в обобщённый ряд Тейлора; задача о полноте систем значений голоморфных вектор-функций; изучение характеристик роста целых векторнозначных функций; исследование подпространств локально выпуклого пространства, инвариантных относительно оператора конечных порядка и типа; исследование решений операторных уравнений и др.

В настоящей диссертации разработаны методы исследования решений широкого круга аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, поставленных в произвольном локально выпуклом пространстве, опирающиеся на теорию порядка и типа оператора. Необходимость таких методов обусловлена следующими соображениями.

Во-первых, ввиду специфики своей постановки, задачи для дифференциально-операторных уравнений традиционно исследуются методами функционального анализа. Так, на первом этапе своего становления (в банаховых пространствах) теория дифференциально-операторных уравнений оказалась неразрывно связанной с теорией полугрупп, первое применение которой к дифференциально-операторным уравнениям восходит к фундаментальным работам К. Иосиды и Э. Хилле. В настоящее время наряду с теорией полугрупп существуют также методы спектральной теории операторов и теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов, в совокупности позволившие придать теории дифференциально-операторных уравнений в нормированных пространствах глубокое и всестороннее развитие.

вания уравнений или их систем достаточно сложной конструкции. Это, ^

в свою очередь, объясняется проблематичностью, а порой и невозможностью прямого перенесения уже существующих методов с нормированных пространств на ненормированные. Известные сейчас результаты относятся, преимущественно, к уравнениям первого порядка в классе вектор-функций действительного аргумента и освещены в трудах В.М. Мил-лионщикова, К. Иосиды, А.Н. Годунова, Я.В. Радыно, С.Г. Лобанова, С.А. Шкарина; для дифференциально-операторных уравнений соболевского типа — в работах В.Е. Фёдорова. В комплексном же случае такие задачи стали рассматриваться лишь в последнее десятилетие.

Наиболее близкими в этом смысле являются работы В.П. Громова, С.Н. Мишина, C.B. Панюшкина. Ими разработаны методы исследования комплексной задачи Коши в локально выпуклых пространствах для одного дифференциально-операторного уравнения, опирающиеся на понятия порядка и типа линейного оператора, а также порядка и типа фиксированного вектора относительно линейного оператора.

Однако методы исследования аналитической задачи Коши для систем дифференциально-операторных уравнений, краевых задач для дифференциально-операторных уравнений с комплексными аргументами, а также аналитической задачи Коши для некоторых разновидностей дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах разработаны не были, что и обусловливает актуальность настоящей работы.

Цель работы — разработка основанных на применении теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах методов исследования полученных в явном виде решений различных аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, включающая:

1) описание посредством операторных характеристик вектора классов элементов локально выпуклого пространства, для которых поставленные задачи однозначно разрешимы в классе аналитических векторнозначных функций;

2) выявление взаимосвязи между определяющими указанные классы элементов пространства условиями и видом области аналитичности решения рассматриваемой задачи;

3) описание посредством внутренних характеристик оператора (порядка и типа) классов операторов, для которых имеет место непрерывная зависимость решений от элементов локально выпуклого пространства.

Методы исследования:. В работе широко используются методы современного функционального анализа — теория порядка и типа линейного оператора, теория локально выпуклых пространств, теория аналитических векторнозначных функций, а также методы комплексного анализа,

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, строго доказанными, имеют теоретический характер. В работе впервые (в том числе на основе теории порядка и типа оператора) в локально выпуклых пространствах разработаны методы исследования решений аналитической задачи Коши для систем дифференциально-операторных уравнений и аналитических краевых задач для дифференциально-операторных уравнений; получили дальнейшее обобщение и развитие методы исследования решений аналитической задачи Коши для некоторых разновидностей дифференциально-операторных уравнений.

Теоретическая значимость. Предложенные в диссертации методы позволяют исследовать решения разнообразных аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, изучаемых в произвольном локально выпуклом пространстве. Используемый в работе подход является универсальным, так как может быть применим к исследованию ряда других задач функционального анализа, решения которых представляются аналитическими векторнозначными функциями, порождёнными оператором конечного порядка.

Результаты работы дополняют теорию дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах, теорию аналитической задачи Коши (теорию Коши-Ковалевской) в различных пространствах достаточно общей природы, а также теорию аналитических вектор-позначных функций, порожденных оператором конечного порядка.

Практическая значимость. Результаты выполненного исследования могут применяться в решении как в нормированных, так и в ненормированных пространствах различных аналитических задач, поставленных для уравнений в частных производных, интегро-дифференциальных уравнений, уравнений с отклоняющимся аргументом, уравнений смешанного типа, уравнений свёртки, уравнений бесконечного порядка и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (2009 г.), посвященной 70-летию ректора МГУ, академика В.А. Садовничего, г. Москва; на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (2010 г.), г. Воронеж; на Международном Российско-Болгарском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (2010 г.), г. Нальчик; на научном семинаре лаборатории теории функций и функционального анализа в 2007-2010 гг., г. Орёл, ОГУ (руководители — к.ф.-м.н., доцент C.B. Па-шошкин, к.ф.-м.н., доцент С.Н. Мишин); на научном семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН в 2010 г., г. Москва (руково-

дитель — д.ф.-м.н., профессор A.B. Арутюнов); на научном семинаре по теории операторов в МГУ им. М.В. Ломоносова в 2010 г., г. Москва (руководитель — д.ф.-м.н., профессор A.A. Шкаликов); на научном семинаре МЭИ в 2010 г., г. Москва (руководители — д.ф.-м.н., профессор Ю.А. Ду-бинский, д.ф.-м.н., профессор A.A. Амосов).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1]-[16], второму автору работ [14], [15] принадлежат только постановки задач. Работы [3[-[5[, [12], [13j, [15], [IG] соответствуют перечню ведущих научных журналов и изданий ВАК РФ.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. В рамках теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах разработаны методы исследования решений поставленных для дифференциально-операторных уравнений и их систем аналитических задач. Показано, что такие решения суть аналитические векторнозначные функции, порождённые оператором конечного порядка, и представимые функциональными векторнозначными рядами, содержащими степени этого оператора.

2. В терминах характеристик фиксированного вектора относительно действующего в локально выпуклом пространстве линейного оператора определены классы элементов пространства, для которых рассмотренные задачи однозначно разрешимы, а сами решения сильно сходятся к аналитическим векторнозначным функциям.

3. Установлена взаимосвязь условий, описывающих указанные классы элементов пространства, с видом области аналитичности векторнозначной функции, определяющей решение задачи.

4. В терминах порядка и типа линейного оператора выделены классы тех операторов, действующих в локально выпуклом пространстве, для которых решения задач определены на всём пространстве и непрерывно зависят от его элементов.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, и библиографического списка, содержащего 116 наименований. Объём работы составляет 153 страницы. Всего в работе рассмотрено 10 модельных задач (4 в первой главе, 4 во второй главе и 2 в третьей главе), на примере которых продемонстрировано применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к изучаемой в диссертации проблеме.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, приведён краткий обзор наиболее важных публикаций, смежных с темой исследования, и анализ основных результатов диссертации.

Всюду далее под ßv{x) и ар(я:) будем соответственно понимать операторный р -порядок н операторный р -тип вектора х относительно оператора А; под ß(x) и а(х) — соответственно операторный порядок и операторный тип вектора :г относительно оператора А; под ß(A) и а(А) — соответственно порядок и тип оператора А.

Глава I посвящена задаче Коши для дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка.

Пусть Н ~ произвольное счётно-полное локально выпуклое пространство, топология которого определяется мультинормой {|| • ||р},р £ V, и пусть А — линейный оператор с областью определения D(Ä) С Я. Оператор А не обязан быть непрерывным, но замкнут.

Определение 1.1. Пусть D(A") — область определения оператора

А", Л«,(Л) = П D(AV) — множество векторов пространства Н, нако-</>0

торые оператор А действует бесконечно много раз. Вектор х £ D^A) назовём вектором класса Hfj'a[ß,oo),ß € К, если ßp(x) < ß,Vp, либо ßp(x) = ß, Vp, но тогда а (ж) < оо.

Определение 1.2. Оператор А называется оператором, класса a),ß £ R. й > 0, если он имеет в пространстве Н порядок ß{A) < ß, либо ß(A) = ß, но тогда его тип а(А) < а.

В §1.1 рассматривается задача Коши для "однородного" уравнения в обобщённых производных Гельфонда-Леонтьева. Пусть дано уравнение

^AWj-'uiz) = О, т € N, (1)

3=0

в котором Dkf, к € Ши {0} — оператор обобщённого дифференцирования Гельфонда-Леонтьева, модифицированный В.П. Громовым на случай век-

оо

торнозначных функций: D^u(z) = J2 'fJ^~xn+kZn,k > 1, D'j = Е, где хп € Н — коэффициенты голоморфной в круге \z\ < R, R < оо вектор-

оо

функции u(z) = Yh хп~\ а ап — коэффициенты целой скалярной функ-

п=О

со

ции f(z) = anZn, а-п 0, Vn, ао = 1, имеющей нормальные порядок

Tt—О

роста p(f) = р и тип роста ст(/) = сг, причём lim п~р = (стер)?.

п—*оо

Уравнение (1) будем называть "однородным". Однородность здесь заключается не в привычном отсутствии правой части (хотя это и имеет место), а понимается в том смысле, что левая часть уравнения (1) является однородной функцией операторов А и Df.

Отметим, что уравнения с оператором обобщённого дифференцирования рассматривались в различных направлениях. В работах А.О. Гель-фонда, А.Ф. Леонтьева, Ю.Ф. Коробейника, Ю.Н. Фролова, Т.И. Демченко изучались уравнения бесконечного порядка в различных пространствах аналитических скалярных функций; в пространствах аналитических век-торнозначных функций исследование уравнений в обобщённых производных (как конечного, так и бесконечного порядка) проводилось В.П. Громовым.

Ставится

Задача Коши. Найти вектор-фг^кцию «(г), удовлетворяющую уравнению (1) и начальным условиям

Я/«(г)|г=0 = хк, хк е И^А), 0 < к < т - 1. (2)

Пусть оператор А1 , 1 < I < т — 1 имеет обратный оператор А и пусть х1 € 1т А1,1 < I < т — 1.

Основным результатом §1.1 являются

Теорема 1.2. Ухк е /р, оо), 0 < к < т - 1 задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение, являющееся голоморфной в окрестности нуля вектор-функцией и{г) со значениями в пространстве Н.

Теорема 1.3. Пусть обратные операторы А~1, 1 < I < т. — 1 определены на всём пространстве Н и пусть А — оператор класса Щ]Л'',а'Д'[1/р,оо). Тогда решение задачи Коши (1)-(2) непрерывно зависит от начальных данных.

§1.2 посвящён задаче Коши для уравнения в частных производных с операторным коэффициентом.

Рассмотрим модификацию классической задачи Коши, перенося её постановку на случай вектор-функции двух независимых переменных. Следуя одной из работ Ю.Ф. Коробейника, будем задавать начальные условия по одному из аргументов. Вполне очевидно, что начальными значениями при таком подходе становятся вектор-функции от одной переменной.

В этом направлении отметим также работы Я.В. Радыно и М.В. Фа-лалеева, в которых в действительном случае в локально выпуклом и банаховом пространствах соответственно для дифференциально-операторных уравнений в частных производных изучалось решение задачи Гурса.

Для уравнения

и£»>{хг ,ъ)= Аи{г\, г2), т 6 N. (3)

в котором А : Н —> Н — линейный непрерывный оператор, л2) — векторнозначная функция двух независимых комплексных переменных, ставится

Задача Кошн по зх : найти решение u(z¡,z2) уравнения (3) такое, что

и^{а,г2) = дк{г2), 0 < к < т - 1, а £ С. (4)

Здесь дк{^2), 0 < к < т — 1 — вектор-функции, голоморфные в круге 1*2 - Ь\ < Л2, Ь € с, Во < СО, дк{г2) = £ - Ь)8, € Я.

Установлена следующая

Теорема 1.4. Пусть /1 ~ оператор класса Тогда за-

дача Коши (3)-(4) имеет единственное решение, являющееся голоморфной в окрестности точки (а,Ь) вектор-функцией и(г 1,2:2) двух комплексных переменных со значениями в пространстве Н.

Пусть ТСц, — пространство всех векториозначных функций, аналитических в круге ¡¿2 — Ц < ]{■>, со значениями в Н с топологией равномерной сходимости на компактах: ||/||Р,Г2 = тах Н/С-^Ир, / 6

|га-Ь|<Г2<Й2

Тогда справедлива

Теорема 1.5. Пусть А — оператор класса

^(Л ЫА,

[т, оо). Тогда

решение задачи Коши (3)-(4) непрерывно зависит от начальных данных 9к{~2) (е смысле топологии пространства )■

В §1.3 рассматривается задача Коши для интегро-дифференциально-операторного уравнения.

В вещественном случае решение задачи Коши для интегро-дифференциально-операторных уравнений в банаховом пространстве изучалось М.В. Фалалеевым н С.С. Орловым.

Для интегро-дифференциально-операторного уравнения

и<т> {г) = А/ 5 € N и {0} (5)

ставится

Задача Коши. Найти векторнозначиую функцию и(г), удовлетворяющую уравнению (5) и начальным условиям

и(к)(а)=хк, Хк € £>оо(Л), 0 < к < т — 1, а € <С. (6)

Установлены Теорема 1.6. Ухк е

'[т + 3 + 1, оо), 0 < к < т — 1 задача Коши (5)-(6) имеет единственное решение, являющееся голоморфной в окрестности точки г — а вектор-функцией и{г) со значениями в пространстве Н.

Теорема 1.7. Пусть А — оператор класса

[т + й 4-1, оо).

Тогда решение задачи Коши (5)-(6) непрерывно зависит отп начальных данных.

В §1.4 рассматривается абстрактная задача Коши с неклассическими начальными условиями.

Для уравнения

и(т\г) = Аи(г), гаеМ (7)

ставится

Задача Коши. Найти векторнозначпую функцию и{г), удовлетворяющую уравнению (7) и начальным условиям

и{кЛ(а) = х,, 1 <]< в, и(ти+кт\а) = хг, в + 1 < г < тп. (8)

Здесь Х},ХТ € Д00(Л), 1<з'<8, 8 + 1<г<т,оеС;0<(:;<т-1, 1 < 3 < 5, Щ < V1 < з < я - 1; 0 < кт < тп - 1, в + 1 < г < тп, причём 1 < 1Т < 1Т+1, в + 1<т<-т — 1. Если для некоторых (или всех) г выполняется равенство 1Т = 1т+1, то кт < /сг+1, а если для некоторых (всех) т имеем 1Т < 1т+\, то кт ф кт+ъ Отметим дополнительно, что кг ф к^

Пусть оператор А1г, в + 1 < т < тп имеет обратный оператор А 1т, и пусть хТ € 1т А1т, з + 1 < г < тп.

Справедливы

Теорема 1.8. Ух^,хТ € #.ц'а[т, со), 1 < j < в, в + I < т < т задача Коши (7)-(8) имеет единственное решение, являющееся голоморфной в окрестности точки г = а вектор-функцией и(г) со значениями в пространстве Н.

Теорема 1.9. Пусть обратные операторы А~1'+1, А~1в+2,..., А~1т определены на всём пространстве Н и пусть А — оператор класса Тогда решение задачи Коши (7)-(8) непрерывно зависит от начальных данных.

В главе II изучаются краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядка. В соответствии с предложенным Ю. А. Дубинским подходом, исследование этих задач проводится с точки зрения аналитического продолжения решений краевых задач вещественной математической физики, постановки которых переносятся на уравнения с операторными коэффициентами.

Пусть Н — произвольное счётно-полное локально выпуклое пространство, топология которого определяется мультинормой {|| • |[Р},р 6 V, и пусть А — линейный непрерывный оператор с областью определения 1)(А) С Я.

Определение 2.1. Пусть И {А") — область определения оператора А", Поо(А) = р) С(А") — множество векторов пространства Н, на ко-

!У>0

торые оператор А действует бесконечно много раз. Вектор х € Д»(А)

- и -

называется вектором класса [0. q), ä. > 0, если ßp{x) < 0, Vp, либо

ßp(x) = 0, ap{x) < ä, Vp.

§2.1 посвящен краевым задачам для уравнения первого порядка. В действительном случае в нормированных пространствах эта тематика развивалась в трудах A.A. Дезина, В.В. Левчука, И.В. Мельниковой, А.Г. Кудрявцева, В.К. Иванова, А.И. Фнлинкова, В.И. Горбачук, М.Л. Горба-чука, A.B. Князюка, З.И. Исмаилова и др.

Пусть дано уравнение

U'(z)=LÜ(Z)AU(Z). (9)

Уравнение (9) будем называть уравнением со смешанным оператором. Этот оператор представляет собой произведение некоторой скалярной функции lj(z), однозначной и аналитической в односвязной области V (случай V = С не исключается), на линейный непрерывный оператор, не зависящий от переменной дифференцирования.

Фактически, уравнение (9) — аналог уравнения u'(z) = A(z)u(z) с оператором A{z) = üj(z)A, область определения которого не зависит от г (так как оператор-функция A(z) = ш{г)А должна быть определена при различных значениях г на одних и тех же элементах пространства, в котором действует оператор А ).

В действительном случае уравнения первого порядка с переменным оператором изучались Т. Като, Г. Танабе, Ж.-Л. Лионсом, С.Г. Крейном, Ф.Е. Ломовцевым, М.В. Фалалеевым и др.

В пункте 1 §2.1 рассматривается краевая задача для уравнения первого порядка со смешанным оператором.

Задача. Найти вектпорнозначную функцию u(z), удовлетворяющую уравнению (9) и краевому условию

ци(а) — и{Ь) = Хо, (10)

где :r0 S А» (Л), цеС\ {0}, а, ЪеТ>, причём f w(£)<f£ Ф 0.

Пусть А'1 — оператор, левый обратный к оператору А, однозначно

определён на векторе fi(z) = J w(£)d£.

Доказаны

Теорема 2.1. Краевая задача (9)-(10) имеет единственное решение. Оно является векторнозначной функцией u(z) со значениями в пространстве Н, аналитической в области Т>, в зависимости от значения параметра ß в краевом условии (10): Vxо £ Ец'ар[0, | 1пд|/|Г2(£>)|), если Цф1, и Vzo е Е^'аг[0,2ж/\П(Ь)\), если ¿1=1.

Теорема 2.2. Пусть при ц = 1 оператор А принадлежит классу <(Л)'а(АЧ0,27г/|ОД|), а при /л ф 1 - классу ^(Да(А)[0,11п/*|/|П(Ь)|). Потребуем также для краевой задачи (9)-(10) с ц = 1, чтобы левый обратный оператор Л-1 был однозначно определён и ограничен на всём пространстве Н. Тогда решение задачи (9)-(10) непрерывно зависит от краевого значения хо.

В пункте 2 §2.1 рассматривается третья краевая задача для уравнения первого порядка со смешанным оператором в классе регулярных операторов.

Понятие регулярного оператора, действующего в локально выпуклом пространстве, было введено Я.В. Радыно. В терминах порядка и типа линейного непрерывного оператора регулярность оператора А означает, что он принадлежит классу [О, оо). Уравнение, содержащее именно

такие операторы, рассмотрим далее.

Пусть дано уравнение (9), в котором А : Н —> Я — регулярный оператор.

Ставится

Задача. Найти решение и{г) уравнения (9), удовлетворяющее краевому условию третьего рода

и'(а)-1ли(а)=х0, х0 е И^А), р 6 С \ {0}, а е V, ш(а) ф 0. (11)

Доказаны

Теорема 2.3. Пусть является регулярной точкой опера-

тора А. Тогда краевая задача (9), (11) имеет единственное решение Ужо € |/х/ш(а)|). Оно является векторнозначной функцией и(г)

со значениями в пространстве Н, аналитической в области V.

Теорема 2.4. Пусть А — оператор класса ||и/ш(а)|). То-

гда решение задачи (9), (И) непрерывно зависит от краевого значения х0.

В §2.2 изучаются краевые задачи для уравнений второго порядка.

В пункте 1 §2.2 рассматриваются краевые задачи для неполного уравнения второго порядка.

Для уравнения

и" (г) = Аи(г) (12)

ставится

Задача. Найти векторнозначную функцию и(г), удовлетворяющую уравнению (12) и краевым условиям

пи'(а) -Ь т2и{а) = хг, >1*/(Ь) + /^и(Ь) = х2, (13)

где а,Ь, 71,т2)//1,р2 £ С, а ф Ь, |п| + \т2\ Ф 0, \ц\\ + \р2\ Ф 0, хих2 е 6 Ц„(Л).

При различных значениях входящих параметров краевые условия (13) включают в себя многие граничные задачи, такие, как задача Дирихле, различные задачи Неймана, задачи с граничными условиями третьего рода.

В действительном случае в нормированных пространствах краевые задачи для неполных уравнений второго порядка изучались В. А. Треноги-ным, С.Г. Крейном, A.A. Дезиным, В.И. Горбачук, M.JI. Горбачуком, A.B. Князюком, И.В. Мельниковой, А.Г. Кудрявцевым, А.Ю. Фрейбергом, В.К. Ивановым, А.И. Филинковым и др.

Обозначим

7i = ß2 - Mirf V2 - ß2T{1T2{b - а), 72 = /л + ß2(b - а).

Доказаны

Теорема 2.5. Краевая задача (12)-(13) имеет единственное решение. Оно является целой вектор-функцией u(z) со значениями в пространстве Н в зависимости от значений параметров в краевых условиях (13): \/хъх2 е 5§"ap[Ü,/?i), если n ф 0,71 ф 0, и Мхх,х2 е i?2),

если ti = 0,72 ф 0.

Теорема 2.6. Пусть при Ф 0, 71 Ф 0 оператор А принадлежит классу ^'^[О.ДО, а при п = 0,72 Ф 0 - классу ЩА)'"{Л)[0,Д2). Тогда решение задачи (12)-(13) непрерывно зависит от краевых значений xi, 1 = 1,2.

Числа Ri, По, фигурирующие в теоремах 2.5 и 2.G, — соответственно радиусы сходимости разложений в степенные ряды скалярных функций

oh, (С) = _,_UjZI_,_

В пункте 2 §2.2 рассматриваются краевые задачи для полного "однородного" уравнения второго порядка.

Для уравнения

u"(z) + Au'(z) + A2u(z) = 0 (14)

ставится

Задача. Найти векторнозначную функцию u{z), удовлетворяющую уравнению (14) и краевым условиям (13).

Отметим, что краевые задачи для различных аналогов уравнения (14) в вещественном случае в нормированных пространствах исследовались в работах Ю.А. Дубинского, Ю.Н. Валицкого, И. Е. Егорова, Б.И. Кнюха, И.П. Фишмана, И.В. Мельниковой, А.И. Филинкова и др.

Доказаны

Теорема 2.7. Краевая задача (14), (13) имеет единственное решение. Оно является целой вектор-функцией u(z) со значениями в пространстве Н в зависимости от значений параметров в краевых условиях (13): Vacara £ Н§"а"[0, Rt), если п ф 0,7i Ф 0, и Чхъх2 G -^[0,Д2), еоги Ti = 0,72 Ф 0.

Теорема 2.8. Пусть при ti Ф О, 71 ф 0 оператор А принадлежат классу ^Ä)MÄ)[0,Ri), а при п = О, Ъ ф 0 - классу ,Д2).

Тогда решение задачи (13), (14) непрерывно зависит от краевых значений xh 1 = 1,2.

Числа 7х, 72, фигурирующие в теоремах 2.7 и 2.8, определены ранее, а Ri и Л2 — соответственно радиусы сходимости разложений в степенные ряды скалярных функций

МО = ((/¿2 - rfV^je cos (f (6 - «,)£) +

+ + ^fo + Tf VO* - ^rf V2M2) sin (f (6 - а^))"*,

iMO = Ъ&(Ь~а)Ш (/Alíeos (f (6 - e)í) +

+ 2^) sin (f (6 - fl)e))_1.

Глава III посвящена задаче Коши для систем дифференциально-операторных уравнений.

Задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений в вещественном случае в нормированных пространствах исследовалась в работах Я. Якубова, А. Фавини, В.М. Брук, В.А. Крыс.ько, М.В. Фалалее-ва, О.В. Коробовой; она применялась O.A. Дудиком при решении задачи о малых колебаниях плоского маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкосью, Д.О. Цветковым — при решении задачи о малых движениях стратифицированной жидкости, а С.Я. Якубовым -при изучении кратной полноты для системы операторных пучков и эллиптических краевых задач. В комплексном случае задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений (с псевдодифференциальными операторами) рассматривалась Ж. Jlepe, Л. Гордингом, Т. Котаке. Обширная библиография имеется в посвященной этой проблематике монографии Ю.А. Дубинского.

Пусть Н — произвольное счётно-полное локально выпуклое пространство, топология которого определяется мультинормой {|| • \\,,},)> € V, и пусть А = (Л1, А2, • • •, Ai) — семейство линейных непрерывных, перестановочных друг с другом операторов АТ : Н —> Я, 1 < г < I.

В §3.1 рассматривается задача Коши для системы уравнений первого порядка со смешанными операторами. Для системы

£u(zi,Z2,...,zl) = ipr(zT)ATu(zuZ2,...,zl), 1 < т < I, (15)

в которой tpT(zT)\ 1 < т < I — скалярные функции одной комплексной переменной, однозначные и аналитические в односвязных областях Т>т (каждая в своей), ставится

Задача Коши. Найти решение u(zi, z-2, ■ ■ •, zi) системы уравнений (15), удовлетворяющее начальному условию

u(aua2,-..,al)=Xa, х0 £ Н, аТ €Т>Т, 1 < т < I. (16)

Доказаны

Теорема 3.1. Пусть операторы Лт g 4(A)'n(A)[l,oo), 1 < т < i. Тогда задача Коши (15)-(16) имеет единственное решение Ухо 6 if, являющееся аналитической в некоторой области пространства С1 вектор-функцией u(zi,z2,...,zi) I комплексных переменных со значениями в пространстве Н.

Теорема 3.2. Пусть операторы АТ 6 К§А)'а(Л)[1, оо), 1 < т < I. Тогда решение задачи Коши (15)-(16) непрерывно зависит от начального значения xq.

В §3.2 рассматривается задача Коши для системы уравнений произвольного порядка с переменными коэффициентами. Для системы

pmr(ß;)u{z1,Z2,...,zt) = ATu{z1,Z2,...,zi), 1<т<1,тТеП, (17) где

Рm-r (sf;) = Щ?7 + Ч-----1- Qr,)nT-l(^r)gf7 + ЯттЛгт),

Qt\{zt), ... ,Ят,тт-1{гт),Яттт{гт) ~~ целые скалярные функции, ставится Задача Коши. Найти решение u(zi,z2,-..,zi) системы (17), удовлетворяющее начальным условиям

и(0,0,..., 0) — щ0, ¿и( 0,0,...,0)=vrk, (18)

где voo, t'Tk £ Н, 1 < k < mr — 1, 1 < т < l. Доказаны

Теорема 3.3. Пусть операторы АТ £ оо), 1 < т < I.

Тогда задача Коши (17)-(18) имеет единственное решение для любых векторов voo, vTk € Н, 1 < к < тТ — 1, 1 < т < I. Оно является голоморфной

в окрестности нуля векторнозначной функцией u(zi,z2,..., z{) I комплексных переменных со значениями в пространстве Н.

Теорема 3.4. Пусть операторы АТ G , оо), 1 < т < I.

Тогда решение задачи Коши (17)-(18) непрерывно зависит от начальных данных Vqq,vTk, 1 < k < тТ — 1, 1 < т < I.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность и признательность научному руководителю Сергею Владимировичу Панюшки-ну за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Аксёнов H.A. Об одном обобщении задачи Коши для линейного дифференциально-операторного уравнения первого порядка // Современная математика и проблемы математического образования; материалы Всероссийской заочной научно-практической конференции. Орёл: ОГУ, 2009. С. 29-35.

2. Аксёнов H.A. Об одном аналоге задачи Дирихле для линейного дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Современные проблемы математики, механики п их приложений: материалы Международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ, академика В.А. Садовничего. М.: Изд-во "Университетская книга", 2009. С.15.

3. Аксёнов H.A. Абстрактная задача Коши для дифференциально-операторного уравнения произвольного порядка с начальными условиями, имеющими однозначное соотношение с порядком уравнения // Учёные записки Орловского государственного университета. Серия "Естественные, технические и медицинские науки". 2009. № 2 (32). С. 5-11.

4. Аксёнов H.A. Задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений первого порядка со смешанными операторами // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2009. № 4 (44). С. 176-178.

5. Аксёнов H.A. Двухточечная задача Дирихле для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в локально выпуклом пространстве / / Вестник. РУДН. Серия "Математика. Информатика. Физика". 2010. № 1. С. 46-58.

6. Аксёнов H.A. Аналитическая краевая задача со смешанным оператором // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2010. Выпуск 7. С. 94-113.

7. Аксёнов H.A. О некоторых задачах Коши в локально выпуклых пространствах // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2010. Выпуск 7. С. 114-142.

8. Аксёнов H.A. Третья краевая задача для абстрактного дифференциальнох'о уравнения первого порядка с регулярным оператором // Вестник науки. Орёл: ОГУ, 2010. Выпуск 9. С. 19-23.

9. Аксёнов H.A. Теорема устойчивости абстрактной задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка // Вестник науки. Орёл: ОГУ, 2010. Выпуск 9. С. 23 25.

10. Аксёнов H.A. Задача Коши для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка в частных производных //В мире научных открытий. 2010. № 4 (10). Часть 4. С. 20-22.

11. Аксёнов H.A. Аналитическая краевая задача с неоднородным условием третьим рода для дифференциально-операторного уравнения первого порядка // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XXI". Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2010. С. 17-18.

12. А ксёпов H. А. Об одной задаче Коши для линейного однородного дифференциально-операторного уравнения первого порядка со смешанным оператором // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 3 (1). С. 154-159.

13. Аксёнов H.A. Абстрактная задача Коши для уравнения высокого порядка с производными в начальных условиях, порядки которых неоднозначно соотносятся с порядком уравнения // Учёные записки Орловского государственного университета. Серия "Естественные, технические и медицинские науки". 2010. № 2 (36) С. 5-10.

14. Аксёнов H.A., Панюшкин C.B. Двухточечная задача Дирихле для полного "однородного" дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики: материалы Международного Российско-Болгарского симпозиума. Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2010. С. 8 9.

15. Аксёнов H.A., Панюшкин C.B. Задача Коши для "однородного" дифференциально-операторного уравнения высокого порядка // Учёные записки Орловского государственного университета. Серия "Естественные, технические и медицинские науки". 2010. № 2 (36) С. 11-16.

16. Аксёнов H.A. Краевая задача для диффереициально-оиераторного уравнения первого порядка в локально выпуклом пространстве // Известия вузов. Математика. 2011. № 2. С. 3-15.

Аксёнов Николай Александрович

Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений

Аннотация

Рассматривается применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений. В терминах операторных характеристик вектора построены классы элементов пространства, для которых задачи являются однозначно разрешимыми; для каждого решения установлен вид области аналитичности. В терминах порядка и типа оператора описаны классы операторов, для которых решения определены и устойчивы на всём пространстве.

Aksyonov Nikolay А.

Application of the theory of order and type of operator in locally convex spaces to the study of analytical problems for differential-operator equations

Abstract

The application of the theory of order and type of operator in locally convex spaces to the study of analytical problems for differential-operator equations is considered. In terms of operator characteristics of vector class of elements of the space, for which problems are uniquely solvable are constructed; for each solution forms of area of analyticity are established. In terms of the order and type of the operator classes of operators for which solutions are defined and stable on the whole space are described.

Подписало ii печать 10.02.2011г. Формат 60x80 1/16 Печать на ризографе. Бумага офсетная. Гарнитура Times Объём 1 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 26

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе редакционuo-издатсльского отдела ГОУ ВПО "Орловский государственный университет"

302026, г. Орёл, ул. Комсомольская, 95. тел. (4862)74-45-08

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Аксенов, Николай Александрович

Введение.

I. Задача Коши для дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка

§1.1. Задача Коши для "однородного" уравнения в обобщённых производных Гельфонда-Леонтьева.

§1.2. Задача Коши для уравнения в частных производных с операторным коэффициентом.

§1.3. Задача Коши для интегро-дифференциально-операторного уравнения.

§1.4. Абстрактная задача Коши с неклассическими начальными условиями.

II. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядка

§2.1. Краевые задачи для уравнения первого порядка.

1. Краевая задача для уравнения первого порядка со смешанным оператором.

2. Третья краевая задача для уравнения первого порядка со смешанным оператором в классе регулярных операторов.

§2.2. Краевые задачи для уравнений второго порядка.

1. Краевые задачи для неполного уравнения второго порядка.

2. Краевые задачи для полного "однородного" уравнения второго порядка.

III. Задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений

§3.1. Задача Коши для системы уравнений первого порядка со смешанными операторами.

§3.2. Задача Коши для системы уравнений произвольного порядка с переменными коэффициентами.

Введение диссертация по математике, на тему "Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений"

Актуальность темы. Работа посвящена одному из применений теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах — исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений. Начала этой теории были заложены В.П. Громовым в работе [27] и получили дальнейшее обобщение в работах С.Н. Мишина [71]-[73]. Чуть позже порядки и типы некоторых операторов, действующих в различных пространствах аналитических функций, были найдены C.B. Панюшкипым [78]-[80]. Основные результаты, относящиеся к общей теории порядка и типа оператора, приведены в монографии [35].

Ранее теория порядка и типа оператора была положена в основу решения ряда задач современного функционального анализа. К их числу, в частности, относятся: задача о представлении функций комплексных переменных рядами по собственным функциям линейного оператора [27]; задача о разложении векторов локально выпуклого пространства в обобщённый ряд Тейлора [28]; задача о полноте систем значений голоморфных вектор-функций [29], [89]; изучение характеристик роста целых векторнозначных функций [30], [31]; исследование подпространств локально выпуклого пространства, инвариантных относительно оператора конечных порядка и типа [90]; исследование решений операторных уравнений [31], [35] и др.

Во-первых, ввиду специфики своей постановки, задачи для дифференциально-операторных уравнений традиционно исследуются методами функционального анализа. Так, на первом этапе своего становления (в банаховых пространствах) теория дифференциально-операторных уравнений оказалась неразрывно связанной с теорией полугрупп, первое применение которой к дифференциально-операторным уравнениям восходит к фундаментальным работам К. Иосиды [115] и Э. Хилле [111]. В настоящее время наряду с теорией полугрупп существуют также методы спектральной теории операторов и теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов, в совокупности позволившие придать теории дифференциально-операторных уравнений в нормированных пространствах глубокое и всестороннее развитие.

Во-вторых, теория дифференциально-операторных уравнений в ненормированных (локально выпуклых) пространствах является значительно менее развитой. Отчасти этому способствует отсутствие в таких пространствах единых (как, например, теория полугрупп) приёмов исследования уравнений или их систем достаточно сложной конструкции. Это, в свою очередь, объясняется проблематичностью, а порой и невозможностью прямого перенесения уже существующих методов с нормированных пространств на ненормированные. Известные сейчас результаты относятся, преимущественно, к уравнениям первого порядка в классе вектор-функций действительного аргумента и освещены в трудах В.М. Миллионщикова [69], [70], К. Иосиды [116], А.Н. Годунова [24], Я.В. Радыно [85], [86], С.Г. Лобанова [62], С.А. Шкарина [108]; для дифференциально-операторных уравнений соболевского типа — в работах В.Е. Фёдорова [98]-[101]. В комплексном же случае такие задачи стали рассматриваться лишь в последнее десятилетие.

Наиболее близкими в этом смысле являются работы В.П. Громова [31]-[34], С.Н. Мишина [74], [75], В.П. Громова, С.Н. Мишина, С.В. Панюшкина [35]. Ими разработаны методы исследования комплексной задачи Коши в локально выпуклых пространствах для одного дифференциально-операторного уравнения, опирающиеся на понятия порядка и типа линейного оператора, а также порядка и типа фиксированного вектора относительно линейного оператора.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка основанных на применении теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах методов исследования полученных в явном виде решений различных аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, включающая:

Методы исследования. В работе широко используются методы современного функционального анализа — теория порядка и типа линейного оператора, теория локально выпуклых пространств, теория аналитических векторнозначных функций, а также методы комплексного анализа.

Результаты работы дополняют теорию дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах, теорию аналитической задачи Коши (теорию Коши-Ковалевской) в различных пространствах достаточно общей природы, а также теорию аналитических векторнозначных функций, порождённых оператором конечного порядка.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (2009 г.), посвягцённой 70-летию ректора МГУ, академика В.А. Са-довничего, г. Москва; на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (2010 г.), г. Воронеж; на Международном Российско-Болгарском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (2010 г.), г. Нальчик; на научном семинаре лаборатории теории функций и функционального анализа в 2007-2010 гг., г. Орёл, ОГУ (руководители — к.ф.-м.н., доцент C.B. Панюшкин, к.ф.-м.н., доцент С.Н. Мишин); на научном семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН в 2010 г., г. Москва (руководитель — д.ф.-м.п., профессор A.B. Арутюнов); на научном семинаре по теории операторов в МГУ им. М.В. Ломоносова в 2010 г., г. Москва (руководитель — д.ф.-м.н., профессор A.A. Шкаликов); на научном семинаре МЭИ в 2010 г., г. Москва (руководители — д.ф.-м.н., профессор Ю.А. Дубинский, д.ф.-м.н., профессор A.A. Амосов).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[16], второму автору работ [14], [15] принадлежат только постановки задач. Работы [3]-[5], [12], [13], [15], [16] соответствуют перечню ведущих научных журналов и изданий ВАК РФ.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. В рамках теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах разработаны методы исследования решений поставленных для дифференциально-операторных уравнений и их систем аналитических задач. Показано, что такие решения суть аналитические век-торпозначиые функции, порождённые оператором конечного порядка, и представимые функциональными векторнозначными рядами, содержащими степени этого оператора.

3. Установлена взаимосвязь условий, описывающих указанные классы элементов пространства, с видом области аналитичности вектор-нозначной функции, определяющей решение задачи.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Аксенов, Николай Александрович, Орел

1. Аксёнов H.A. Задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений первого порядка со смешанными операторами // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2009. № 4 (44). С. 176-178.

2. Аксёнов H.A. Двухточечная задача Дирихле для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в локально выпуклом пространстве // Вестник РУДН. Серия "Математика. Информатика. Физика". 2010. № 1. С. 46-58.

3. Аксёнов H.A. Аналитическая краевая задача со смешанным оператором // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2010. Выпуск 7. С. 94-113.

4. Аксёнов H.A. О некоторых задачах Коши в локально выпуклых пространствах //, Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2010. Выпуск 7. С. 114-142.

5. Аксёнов H.A. Третья краевая задача для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка с регулярным оператором // Вестник науки. Орёл: ОГУ,'2010. Выпуск 9. С. 19-23.

6. Аксёнов H.A. Теорема устойчивости абстрактной задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка // Вестник науки. Орёл: ОГУ, 2010. Выпуск 9. С. 23-25.

7. Аксёнов H.A. Задача Коши для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка в частных производных //В мире научных открытий. 2010. № 4 (10). Часть 4. С. 20-22.

8. Аксёнов H.A. Об одной задаче Коши для линейного однородного дифференциально-операторного уравнения первого порядка со смешанным оператором // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 3 (1). С. 154-159.

9. Аксёнов H.A. Краевая задача для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в локально выпуклом пространстве // Известия вузов. Математика. 2011. № 2. С. 3-15.

10. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике: для инженеров и уч-ся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.

11. Брук В.М., Крысъко В.А. О существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа // Известия вузов. Математика. 2003. № 10 (497). С. 3-8.

12. Валицкий Ю.Н. О корректности многоточечной задачи для дифференциального уравнения с операторными коэффициентами // ДАН СССР. 1986. Т. 286. № 5. С. 1041-1043.

13. Валицкий Ю.Н. Корректность многоточечной задачи для уравнения с операторными коэффициентами // Сибирский математический журнал. 1988. Т. 29. № 4. С. 44-53.

14. Валицкий Ю.Н. Корректность задачи для дифференциального уравнения при заданных значениях функции и её производных в нескольких точках // Сибирский математический журнал. 1996. Т. 37. № 2. С. 251-258.

15. Валицкий Ю.Н. Корректность многоточечной задачи в гильбертовом пространстве с заданными разрывами функции и её производных // Сибирский математический журнал. 1997. Т. 38. № 3. С. 504-509.

16. Гелъфонд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Математический сборник. 1951. Т. 29 (71). № 3. С. 477-500.

17. Годунов А.Н. О линейных дифференциальных уравнениях в локально выпуклых пространствах // Вестник МГУ. 1974. № 5. С. 31-39.

18. Горбачук В. И., Горбачу к M.JI. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. Киев: Наукова думка, 1984. 284 с.

19. Горбачук В.И., Князюк A.B. Граничные значения решений дифференциально-операторных уравнений // УМН. 1989. Т. 44. Выпуск 3 (267). С. 55-91.

20. Громов В.П. Порядок и тип линейного оператора и разложение в ряд по собственным функциям // ДАН СССР. 1986. Т. 228. № 1. С. 27-31.

21. Громов В.П. Аналоги разложения Тейлора // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 3. С. 801-808.

22. Громов В. П. О полноте значений голоморфной вектор-функции в пространстве Фреше // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 1999. Выпуск 1. С. 24-37.

23. Громов В.П. Целые векторнозначные функции со значением в локально выпуклом пространстве и их применение // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2003. Выпуск 4. С. 4-24.

24. Громов В.П. Операторный метод решения линейных уравнений // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2002. Выпуск 3. С. 4-36.

25. Громов В. П. Аналитические решения дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах // ДАН РФ. 2004. Т. 394. № 3. С. 305-307.

26. Громов В. П. Операторный метод решения задачи Коши дифференциально-операторных уравнений с переменными коэффициентами // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2006. Выпуск 6. С. 4-18.

27. Громов В.П. Задача Коши для уравнений в свёртках в пространствах аналитических векторнозначных функций // Математические заметки. 2007. Т. 82. Выпуск 2. С. 190-200.

28. Громов В.П., Мишин С.Н., Панюшкин C.B. Операторы конечного порядка и дифференциально-операторные уравнения. Монография. Орёл: ОГУ, 2009. 430 с.

29. Дезин A.A. Операторы с первой производной по "времени" и нелокальные граничные условия // ИАН СССР. 1967. Т. 31. Выпуск 1. С. 61-86.

30. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980. 208 с.

31. Демченко Т. И. Исследование разрешимости уравнений бесконечного порядка в обобщённых производных Гельфонда-Леонтьева в некотором классе целых функций // Литовский математический сборник. 1967. Т. 7. № 4. С. 611-618.

32. Демченко Т.Н. О разрешимости одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка в обобщённых производных // Известия вузов. Математика. 1973. № 8. С. 35-42.

33. Доюрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

34. Дубинский Ю.А. Об одной абстрактной теореме и её приложениях к краевым задачам для пеклассических уравнений // Математический сборник. 1969. Т. 19 (121). № 1 (5). С. 91-117.

35. Дубинский Ю.А. Краевые задачи для некоторых классов дифференциально-операторных уравнений высокого порядка // ДАН СССР. 1971. Т. 196. № 1. С. 32-35.

36. Дубинский Ю.А. Задача Коши в комплексной области. М.: Изд-во МЭИ, 1996. 180 с.

37. Дубинский Ю.А. Об аналитических "краевых" задачах на плоскости // УМН. 1997. Т. 52. Выпуск 3 (315). С. 53-104.

38. Дудик O.A. Малые колебания плоского маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью // Труды ИПММ HAH Украины. 2008. Т. 16. С. 67-79.

39. Егоров И.Е. О нелокальной краевой задаче для дифференциально-операторного уравнения смешанного типа // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, 2002. С. 69-72.

40. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995. 176 с.

41. Исмаилов З.И. О разрешимости одного класса дифференциальных операторов первого порядка // Труды ИММ АН Азербайджана. Т. 6 (14). 1997. С. 83-89.

42. Кнюх В. И. О представлении и граничных значениях решений однородного дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Украинский математический журнал. 1986. Т. 38. № 1. С. 101-104.

43. Князюк A.B. Задача Дирихле для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Украинский математический журнал. 1985. Т. 37. № 2. С. 256-260.

44. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы экспонент и задача Коши для уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // ИАН РФ. 1997. Т. 61. № 3. С. 91-132.

45. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе уравнений бесконечного порядка в обобщённых производных // Литовский математический сборник. 1964. Т. 4. № 4. С. 497-515.

46. Коробейник Ю.Ф. Об уравнениях бесконечного порядка в обобщённых производных // Сибирский математический журнал. 1964. Т. 5. № 6. С. 1259-1281.

47. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений с нетеровым оператором при производной в банаховых пространствах // Известия Иркутского государственного университета. Серия "Математика". 2007. Т. 1. № 1. С. 132-140.

48. Коробова О.В. Матричные фундаментальные оператор-функции вырожденных операторио-дифференциальных систем. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 2009. 154 с.

49. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

50. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. 432 с."

51. Левчук В.В. Граничные задачи для для дифференциально-операторных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Киев, 1984. 113 с.

52. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1981. 320 с.

53. Лере Ж., Гординг Л., Котаке Т. Задача Коши. М.: Мир, 1967.

54. Ле Хай Хой. Векторнозначные функции и дифференциальные операторы бесконечного порядка. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1981. 54 с.

55. Лобанов С.Г. О разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Вестник МГУ. 1980. № 2. С. 3-7.

56. Ломовцев Ф.Е. Абстрактные эволюционные дифференциальные уравнения с разрывными операторными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 7. С. 1132-1141.

57. Ломовцев Ф.Е. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения гладких и разрывных операторных коэффициентов. Дисс. докт. физ.-мат. наук. Минск, 2003. 162 с.

58. Мельникова И.В., Кудрявцев А.Г. Краевая задача для уравнения первого порядка в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. 1985. № 3. С. 1-5.

59. Мельникова И.В., Кудрявцев А.Г. О корректности задачи Дирихле для уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. 1986. № 8. С. 46-52.

60. Мельникова И.В., Фрейберг А.Ю. Корректность общих краевых задач для уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Сибирский математический журнал, Новосибирск. 1987. 18 с. Деп. в ВИНИТИ, № 7973-87.

61. Мельникова И.В., Филинков А.И. О классификации по краевым задачам полного уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. 1990. № 6. С. 39-45.

62. Миллионщиков В.М. К теории дифференциальных уравнений ^ = /(а;,^) в локально выпуклых пространствах // ДАН СССР. 1960. Т. 131. № 3. С. 510-513.

63. Миллионщиков В.М. К теории дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Математический сборник. 1962. Т. 57 (99). № 4. С. 385-406.

64. Мишин С.Н. О порядке и типе оператора // ДАН РФ. 2001. Т. 381. № 3. С. 309-312.

65. Мишин С.Н. Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Орёл, 2002. 116 с.

66. Мишин С.Н. Порядок и тип оператора и последовательности операторов, действующих в локально выпуклых пространствах // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2002. Выпуск 3. С. 47-99.

67. Мишин С.Н. Дифференциально-операторные уравнения в локально выпуклых пространствах // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2006. Выпуск 6. С. 46-61.

68. Мишин С.Н. Дифференциально-операторные уравнения вида (Р — AYu{t) — f(t) // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2010. Выпуск 7. С. 55-66.

69. Орлов С. С. Непрерывные решения вырожденного интегро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховых пространствах // Известия Иркутского государственного университета. Се- . рия "Математика". 2009. Т. 1. № 1. С. 328-332.

70. Панюшкин C.B. О норме одного оператора // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2003. Выпуск 4. С. 82-84.

71. Панюшкин C.B. Обобщённое преобразование Фурье и его примене-* ние к нахождению порядков и типов операторов // "Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2003. Выпуск 4. С. 47-70.

72. Панюшкин C.B. Обобщённое преобразование Фурье пространства, сопряженного к локально выпуклому // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2006. Выпуск 6. С. 67-90.

73. Панюшкин C.B. Обобщённое преобразование Фурье и его применения // Математические заметки. 2006. Т. 79. Выпуск 4. С. 581596.

74. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977. 444 с.

75. Прудников А.П., Врычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. В 3 т. Т. 1. Элементарные функции. М.: Физматлит, 2003. 632 с.

76. Прудников А.П., Врычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. В 3 т. Т. 2. Специальные функции. М.: Физматлит, 2003. 664 с.

77. Радыно Я.В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах I. Регулярные операторы и их свойства // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 8. С. 1402-1410.

78. Радыно Я.В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах II. Свойства решений // Дифференциальные уравнения. 1977. ,Т. 13. № 9. С. 1615-1624.

79. Радыно Я. В. Линейные уравнения и борнология. Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1982. 200 с.

80. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. 357 с.

81. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

82. Соломатин О.Д. О полноте систем обобщённых экспонент в пространстве Фреше // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2002. Выпуск 3. С. 37-46.

83. Соломатин О.Д. К вопросу об инвариантных подпространствах локально выпуклых пространств // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3. № 3. С. 937-946.

84. Треногин В.А. Краевые задачи для абстрактных эллиптических уравнений // ДАН СССР. 1966. Т. 170. № 5. С. 1026-1031.

85. Фаге М.К. Операторно-аналитические функции одной действительной переменной // Труды Московского математического общества. 1958. Т. 7. С. 227-268.

86. Фалалеев М.В. Задача Коши для вырожденных интегро-диф-ференциальных уравнений в банаховых пространствах // Вестник Челябинского университета. Серия "Математика. Механика. Информатика". 1999. № 2 (1). С. 126-136.

87. Фалалеев М.В. Теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференцпальных операторов в банаховых пространствах. Дисс. докт. физ.-мат. наук. Иркутск, 2008. 238 с.

88. Фалалеев М.В. Обобщённые решения нестационарных вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Известия Иркутского государственного университета. Серия "Математика". 2007. Т. 1. № 1. С. 322-329.

89. Фалалеев М.В., Коробова О. В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах // Сибирскийматематический журнал. 2008. Т. 49. № 4. С. 916-927.

90. Фалалеев М.В., Коробова О.В. Обобщённое решение системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах // Вестник Иркутского регионального отделения Академии наук Высшей школы России. Иркутск, 2008. С. 180-186.

91. Фёдоров В.Е. Теорема Иосиды и разрешающие группы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Вестник Челябинского университета. Серия "Математика. Механика. Информатика". 2003. №3. С. 197-214.

92. Фёдоров В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Математический сборник. 2004. Т. 195. № 8. С. 131-160.

93. Фёдоров В.Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 5. С. 702-712.

94. Фёдоров В.Е. Обобщение теоремы Хилле-Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46. № 2. С. 426-448.

95. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Том II. СПб.: Изд-во "Лань", 1997. 800 с.

96. Фишман И.П. О граничных значениях решений дифференциально-операторных уравнений // Украинский математический журнал. 1985. Т. 37. № 3. С. 388-393.

97. Фролов Ю.Н. О неоднородных уравнениях бесконечного порядка в обобщённых производных // Вестник МГУ. 1960. № 4. С. 3-13.

98. Фролов Ю.Н. О решениях уравнения бесконечного порядка в обобщённых производных // Труды МИАН СССР. 1961. Т. 64. С. 294315.

99. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Физматгиз, 1962. 420 с.

100. Цветков Д.О. Малые движения вязкой стратифицированной жидкости // Динамические системы. 2007. Выпуск 22. С. 73-82.

101. Шкарин С.А. Несколько результатов о разрешимости обыкновенных линейных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Математический сборник. 1990. Т. 181. № 9. С. 1183-1195.

102. Якубов С. Я. Кратная полнота для системы операторных пучков и эллиптических краевых задач // Математический сборник. 1990. Т. 181. № 1. С. 95-113.

103. Favini A., Yakubov Ya. A system of differential-operator equations of different orders in Hilbert, spaces // Mediterranean journal of mathematics. 2007. V. 4. P. 163-177.

104. Hille E. On the differentiability of semi-group operators // Acta Scient. Math. Szeged. 1950. V. 12. P. 19-24.

105. Kato T. Integration of the equation of evolution in a Banach space // J. Math. Soc. Japan. 1953. V. 5. P. 208-234.

106. Kato T., Tanabe H. On the abstract evolution equation // Osaka Math. J. 1962. V. 14. P. 107-133.

107. Lions J.-L. Equations différentielles opérationnelles et problèmes aux limites. Springer. 1961. 292 p.

108. Yosida K. On the differentiability and the representation of one-parameter semi-group of operators //J. Math. Soc. Japan. 1948. V. 1. № 1. P. 15-21.

109. Yosida K. Time dependent evolution equations in locally convex space 11 Math. Ann. 1965. V. 162. № 1. P. 83-86.