Операторные уравнения и циклические элементы линейного оператора в локально выпуклых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

мишстерство образования* российской федерации

РОСШСШ'ГОСУДДРСТШННШ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ '"" " иы. А.И. ГЕРЦЕНА'" ' '

На правах рукописи

НАНЧУЕВ Лдра Нагометович

ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЦИКЛИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ '

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического университета

Научный руководитель -доктор физико-математических каук, профессор В.П. ГРОМОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор H.A. ШИРОКОВ доктор физико-математических наук, профессор И.И. БАВРИН

Ведущая организация - Московский государственный университет, кафедра математического анализа.

Защита состоится " 2.9" С&НТ. 1993г. в " Li « часов на заседании диссертационного Совета К 113.05.14 по присуждению учёной степени кандидата наук в РГПУ им.А.И.Герцене <191186, 'г.Санкт-Петербург, наб.р.Мойки,48, корп.1, ауд.йОЗ).

С диссертадией можно ознакомиться в библиотеке РП1У им.А.И.Герцена.

Автореферат разослан "ü" Лгчсгл, 1993г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

. кандидат физико-математических О г\

наук Ч^ЛЛи^ Е.Ю.ЯШИНА

•« ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Операторные уравнения являются естественный и широким обобщением линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, с целой характеристической функцией, теория которых, как известно, разработана в трудах Д.Полиа, Е.Ва-лирона, А.О.Гельфонда, А.ФДеонтьева и других математиков первой половины 20-го века.

В настоящее время это направленна является одним из активно развивающихся. В его разработке принимают активное участив такие известные математики, как Напалков В.В., Коробейник D.i., Краеич-ков-Терновский И.2>., Громов В.П., Радыно Я.В. и другие.

Исследование циклических элементов линейного оператора восходит к классической аппроксимационной теореме К.Вейерштрасса

(последовательность

полна в пространстве ССО>,ЬЗ > и к'-работам А.И.Маркушевича, который изучал условия полноты в пространствах аналитических

функций последовательных производных(оператор А= ).

В.П.Громов и В.А.Казьмин впервые описали тесную связь циклических элементов с линейными операторными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Настоящая работа посвящена исследовании операторных уравнений с целой характеристической функцией и (тесно связанных с рассматриваемыми операторами) циклических элементов линейного ограниченного оператора, в полном локально выпуклом пространстве (ЛВЛ) над полем комплексных чисел.

Цель работы. I. Исследование структуры решений однородного операторного уравнения

с целой характеристической функцией

н.= 0

в полных ЛВИ.

2. Описание условий существования оператора вида:

П/.= 0

в полных ЛШ.

3. Изучение свойств циклических элементов линейного ограниченного оператора, действующего в полном ЛШ.

4. Изучение свойств экспоненциальных векторов в их тесной связи с решениями операторных уравнений и циклическими элементами.

Методы исследования. Широко и систематически используются методы функционального и комплексного анализа, теории голоморфных векторнозначных функций, методы теории ЛВП. В основе методов исследования лежит, аппарат линейных операторов. В частности широкое применение находят понятия порядка и типа линейного оператора, действующего в произвольном ЛШ. -

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты: I. Исследована структура решений однородного операторного уравнения бесконечного порядка в ЛВП довольно общей природы, с целой характеристической функцией.

Z. Описаны условия существования оператора бесконечного порядка Е ЛШ.

3. Изучены циклические элементы линейного ограниченного опера-

тора в полной ЛШ, в частности доказан критерий описывающий циклические элементы ограниченного оператора.

4. Исследованы свойства экспоненциальных векторов линейного оператора и установлена их тесная связь с решениями операторных уравнений и циклическими элементами.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты, полученные в работе, носят теоретический характер и могут быть использованы в общей теории линейных операторов, в теории обобщённых уравнений в свёртках и в теории аппроксимаций в ЛВП.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: >

на конференции по теории функций посещённой памяти чд.-корр. АН СССР А.Ф.Леонтьева (г.Нижний Новгород, 1991г.);

на научно-исследовательском семинаре кафедры математического анализа Московского педагогического университета под руководством профессора Громова В.П.;

Р

на научном семинаре кафедра математического анализа Московского государственного университета под руководством профессора Казьмина Ю.А.;

на традиционных "Герценовских чтениях" в РГПУ им.А.И.Герцена в секции профессора Одинца В.П. (г.Санкт-Летербург, 1993г.);

на 5-ом Всероссийском семикире по теории функций (г.Сыктывкар, 1993г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4-х работах, список которых приведён в конце автореферата.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения и двух глав. Библиография содержит 78 наименований. Объём диссертации - 82 страницы машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий исторический обзор задач, решаемых в диссертации. Определены цели работы и приводятся основные результаты.

Основные функциональные пространства, в которых решаются поставленные в работе задачи, относятся к классу ЛВП. Этими пространствами являются следующие:

1) Ц - полное, отделимое ЛВП над полем комплексных чисел, топология которого задаётся бесконечной системой полунорм:-! |1')1р1 •

- линейно упорядоченное множество), разделяющих точки пространства ) .

2) - пространство векторов, операторные порядки которых и типы 4 сС .

-3) Н(,С.) - пространство всех целых функций, топология которого задаётся системой норм:

И Г (Л Р

4) П Х^3"/ - пространство функций, аналитических в односвяз-ной области & , с топологией равномерной сходимости на компактах. Эта топология задаётся нормами:

Отметим, что Н С^/^З. И (С.) и

- представляют

собой полные метризуегше пространства, т.е. пространства Фреше.

Первая глава посвящена изучению структуры решений однородного операторного уравнения

а,

и, = 0 - б -

где Г\ - лилейный оператор, действующий в ЛШ И » а

НягО

- целая скалярная (функция, называемая характеристической функцией оператора ^ (А.) .

В разработке теории операторного уравнения (I), в самом общем случае, когда А - произвольный линейный оператор, действующий в ЛВП, существенную роль играют такие характеристики оператора, как порядок и тип. Впервые оти понятия были введены в работах В.П.Громова и применялись им для изучения операторных уравнений, в задачах разложения в ряд по собственным функциям линейного оператора и в других задачах.

Пусть Н - полное ЛВП над полем комплексных чисел, с топологией определяемой бесконечной системой полунормЛр^ ,, разделяющей точки .пространства. А - линейный ограниченный оператор действующий в

В §1.1 носящем вводный характер, кратко излагаются основные положения теории целых векторнозначных функций в Л.ВП, вводятся характеристики её роста р - порядок, р - тип, порядок и тип.

Содержание §1.2 составляют понятия порядка и типа линейного непрерывного оператора, а также понятия порядка и типа вектора. Этл характеристики описывают асимптотическое поведение функций || А 1яо)Яр , ггри IX—. Здесь, в частности, доказывается теорема о связи операторного порядка и типа (относительно оператора дифференцирования) целой функции с её порядком и типом роста.

ТЕОРЕМА. 1.2.1. Если |- целая функция порядка роста и типа О" < оо , то её операторные порядок и тип вычисляются по следующим формулам: [} - ^ - ; <Ц|)е = (<5~ • ^

о

Материалы параграфов 1.1 и 1.2 снабжены достаточным количеством примеров.

Пространство векторов конечного операторного порядка и типа, обозначаемое через . является одним из основных ЛВП,

используемых в работе. Построению пространства Не» И изучению его алгебраической и топологической структуры посвящён §1.3.

Отметим, что аналогичные пространства вводились и широко испо-льаовалиоь в работах Я.В.Радьмо.

Пусть - линейный ограниченный оператор, действующий

в банаховом пространстве Н •

Для фиксированных чисел <А-> О , ^> 0 определим банахово Пространство:

И^П1 , .ри.

13 нормой н ^ 1\АЧ*.

Далее вводится пространство:

Элементами этого цространства являются векторы, порядок которых меньше Ь , или равен К , а тип

Наделённое топологией проективного предела банаховых пространств » непрерывно вложенных друг в друга:

является пространством %>еазе^

Устанавливается инвариантность пространства ,сС1 относительно оператора А , показывается, что линейный оператор" действущий в \4 - непрерывен.

Через-А. = £ ^« обозначим множество целых скалярных

функций одного комплексного переменного, тип которых при порядка

Р=4, меньше величины .

В параграфе 1.4 в НСр,с13. изучаются условия существования оператора вида:

с целой характеристической функцией

И=гО

В этом параграфе доказаны .

ТЕОРЕМА 1.4.1. Каждая функци? ^е £ ^ > порождает

линейный непрерывный оператор (2) определённый на пространстве Ни{¡>><¿11 и со значениями в пространстве Ц .

ТЕОРЕМА 1.4.2. Каждая функция С^р > "^е1) п0Р0ЖДает оператор . °°, .

к=о

определённый на пространстве Н Ср>,о(-1 и переводящий его в . Этот оператор является линейным и непрерывным. Теоремы 1.4.1 и 1.4.2 имеют достаточно общий характер и содержат в себе как. частные случаи некоторые известные результаты полученные А.О.Гельфондом, А.Ф.Леонтьевым, Ю.Ф.Коробейником и . другими спраьедливые для оператора дифференцирования и оператора обобщённого дифференцирования Гельфонда-Леонтьева.

Параграф 1.5 является центральным в главе I. Здесь проводится исследование решений однородного операторного уравнения (I) в пространстве

Структуру решений такого уравнения описывает ТЕОРЕМА 1.5.1. Каждое решение ЭС.«=

Нсц уравнения (I) с характеристической функцией $ ^ Г ^а \ , представляется

р а <Леа/

В виде: _|

2— ЧЦ^Л;), (3)

где ИДзчХ!) - корневой вектор оператора ил , соответствующий собственному числу Х^ , являющемуся нулём функции ^ (к) , а ^Хп,-00 - последовательность положительных чисел зависящих только от характеристической функции уравнения (I).

В основе доказательства этого факта лежит следующая конструкция, впервые применённая А.Ф.Леонтьевым и развитая для ДВП В.П.Громовым. те

Пусть ^(к) — ^/^.СиА £ А. « Рассмотрим функции

п"л=0

При фиксированном к С , она принадлежит -/\ . Поэтому согласно теоремы 1.4.1, на пространстве ^СР»»^! определён линейный

непрерывный оператор ^

УДалХ^-Хс^-АЧх).^ (4,

п-,к=0

Роль функции (4) раскрывает следующая ТЕОРЕМА 1.5.2. Пусть вектор ЭСеНср>,о13 удовлетворяет уравнению ^А)(зс):= О ; А . Тогда имеет место формула:

где

и на окружности ^^У'нет нулей функции^ (4);1 - целое число.

Для .случая когда известна собственная функция -^(Х) « оператора А, • определяемая условием:

чис; ин*

имеет место центральная в §1:6

ТЕОРЕМА 1.6.1, Пусть оператор А. имеет целую собственную вектор-функцию ^ , (со значениями в пространстве Ц ). Тогда в условиях теоремы 1.5,1, в пространстве

» каждое

решение уравнения (I)» с характеристической функцией Рд^

представляется в виде:

где <1}К - постоянные числа, {.ХД.- нули характеристической функции, - кратность нуля , а ► с>© - последовательность положительных чисел, зависящих только от характеристической функции уравнения.

Исследованию операторного уравнения вида (I) в полном ЛВП Ц для случая оператора А конечного порядка и конечного типа, посвящен параграф 1.7. , . * '

Пусть - полное ДВП над шлем комплексных чисел с топологией определяемой бесконечной системой полунорм: ^ !

А - линейный ограниченный оператор» действующий в , имеющий конечный порядок Ом тип с1,<.®о . Это в частности означает, что:

0

Ve>o; Vp; 3c(fit)>0;

Определение порядка' Й ttflra оператора А. и свойства пространства Hi* ,<L1 показывают, что если оператор А - линейный, . имеюйдай порядок ф 0, оо и тип 6- <~ <х> , то в качестве пространства VI Cp>»ct/] можно рассмотреть пространство .

Основными результатами §1.7 являются следующие теоремы.

ТЕ0РШ Uä.- Пусть Н - полное ЛВП, с бесконечной системой полунорм: • Цр^ , , определяющей топологию в ;

А - линейный ох^заяиЧенный оператор, действующий в , имеющий порядок ^>0 и тип cL-c ОО . Тогда каждое решение Ц уравнения (I) I с целой характеристической функцией д ^ I 7р, > ■—1

А " ScLZTI

аппроксимируется Корневыми векторами оператора п. .

Для случая, когда известна собственная функция0^ оператора А « из теоремы 1.7Л вытекает

ТЕОРЕМА 1.7.2, Если в условиях теоремы 1.7.1, - собствен

нал вектор-функция оператора А « го кавдое решение Сравнения (X),

с целой характеристической функцией ^ & ^ j *

имеет вид: Vn.j-1

- постоянные числа, - (нуди яецэакггэдистической функ-

ции, ^ • _ кратность нуля Х^ , а ^^-».«Р - |П$с/1едавательносд£ положительных чисел, зависящих только от характеристической функции.

Теорема 1.7.2, содержит в себе как частные случаи некоторые известные результаты А.О.Гельфонда, А.Ф.Леонтьева, Ю.Ф.Коробейника, Ю.Н.Фролова о решениях линейных дифференциальных уравнений

вида: '

со

ч-_-о 0

и, —П '

И-

(8)

& -

где сЦ^ - оператор обобщённого дифференцирования Гельфонда-Леон-тьева. В частности содержатся следующие результаты:

1. (Гельфонд А.О.): Каждое целое решение уравнения (7), с целой характеристической функцией экспоненциального типа представляется в виде: »«•,)-А

= ¿а«

случай: ( А ~ Н=.Н(<Ф Г«М-^ ф М = ^ >•

2. (Гельфонд А.О., Леонтьев А.Ф.): Каждое целое решение уравнения (8), с целой характеристической функцией представляется в виде: ЧГ^'К . .

где ^ - целая функция порядка р>О , порождающая оператор . В этом случае: ; Ц^ЖСЪ ^ ?М4М-

- 13 - '

Изучению циклических элементов линейного ограниченного оператора, а также экспоненциальных векторов и их свойств посвящена вторая глава. Она тесно примыкает к первой главе и является естественным её продолжением.

В разработку и развитие этих вопросов внесли весомый вклад

A.О.Гельфонд, А.Ф.Леонтьев, А.И.Ыаркушевич, И.И.Ибрагимов,

B.П.Громов, Ю.А.Казьмин и другие. В их работах изучались задачи полноты систем аналитических функций, в частности, полноты систем производных. Во многих случаях изучение вопросов полноты связывалось с линейными дифференциальными уравнениями бесконечного порядка, а также и с уравнениями свёртки. Были установлены критерии полноты систем производных аналитической функции.

В основе метода решаемых в этой главе задач, также как и в первой главе лежат понятия порядка и типа оператора А. и вектора 5С.<Е И относительно оператора.

Пусть Ц - полное ЛВЛ над полем комплексных чисел, топология которого задаётся системой норм: "^Н'Ир^ • Р ^ ^ ; А - линейный ограниченный оператор, действующий в , имеющий конечный порядок оо . Рассмотрим функцию: оо ^

где

- Гамма-функция.

При фиксированном Х.1Е , имеющем конечный тип(*.)<-^о , при порядке Р> ; функция Т^ С А-хЗ - определена в круге: \к/| < (¿^¿^ и представляет собой сильно-голоморфную вектор-функцию со значениями в И .

В частности, если А— "Ф— и М^ИС^)» то

Функции (9) называем обобщённым сдвигом вектора ОС. S на шаг lv , порождённым оператором А •

В §11.1 доказана следующая теорема о связи условий полноты

систем обобщённых сдвигов "(,Tvv»X А ) ^ и £ А (х)^.

ТЕОРЕМА II.1.1. Пусть А ~ линейный ограниченный оператор, действующий в Ц , имеет порядок > О . Вектор 2С Ц имеет тип <Цзь)<.оо при порядке ^ »{.Vt*.^, - множество

единственности для функции Т^^^ ♦ Тогда системы

ÎTvJ>.*ll » [Ш\

полны или неполны в И одновременно.

Эта теорема обобщает на ЛВП классический результат А.И.Ыарку-шевича и Ю.А.Иазьмина, о связи полноты обычных сдвигов и производных аналитической функции. ' Вектор

ХеЦ называется циклическим элементом оператора А в H • если замыкание в Ц линейной оболочки системы векторов

{jCt"3^) ] ; = .совпадает с Ц , т.е.

11ш>н.

Если для некоторой подпоследовательности справедливо

равенство

I

то X. назовём переполненным циклическим элементом оператора А

. Н.

Основным результатом §11.2 является следующий критерий переполненного циклического элемента.

ТЕОРЕМА 11.2.1. Пусть А. - линейный ограниченный оператор, действующий в |-| , порядка р>> О и пусть вектор эсеЦ имеет конечный тип оС (сс)<оо , при порядке р> . Для того, чтобы

необходимо и достаточно, чтобы вектор X € не являлся реше-

нием никакого уравнения вида:

еЩА-,*]}=<ад., ин*

где ф(к) - функция аналитическая в. окрестности нуля и ф> (Ь)=

Когда рассматривается вся система А. (эс)^» без

цроцусков, то

и из теоремы 11.2.1 вытекает

ПРЕДИОЖЕНИЕ 11.2.1. Для того, чтобы вектор X конечного типа <Л(х), при порядке О, оо , был циклическим элементом оператора А. в \г! » необходимо и достаточно, чтобы он не являлся решением никакого уравнения вида:

ЦТ.ГЫЬО^еИ*

В этих утверждениях в качестве частных случаев содержатся результаты о циклических элементах оператора дифференцирования и оператора обобщённого дифференцирования Гельфонда-Л^онтьева в пространствах аналитических функций.

В §11.3 вводятся и изучаются экспоненциальные векторы ограниченного оператора.

Пусть А - линейный ограниченный оператор действующий в Н \ при фиксированном р , элемент ЭС.£ удовлетворяет неравенству:

II А" ( II с (ос, р). е

гдеС(зс.;р)> О , >0 _ постоянные. Обозначим ^(■х)—^!^.

Определение. Если для каждого р , \^(эс.)<<жэ , то вектор ОС назовём экспоненциальным вектором оператора А .

Обозначим множество верх экспоненциальных векторов через £хрд(Н). Целую вэкторнозначную функцию ^ (\) со значениями в И ♦ Удовлетворяющую условию (5) назовём собственной функцией оператора А. Имеем: ^

И. --0 .

причём ряд сходится абсолютно в Н , Ул<=. С .

Пусть оператор А имеет порядок О, оо и тип < 00 .

В этом случае, как известно, функция имеет порядокр,

порядок » 'то тап • Положим, что р—-1-;

если же

(Г'— —и » Р • э,гого случая Громовым В.П.

показано, что если система ,4 ОС** - полная, то она является базисом пространства П , причем

где ряд (Ю) сходится абсолютно. В этих условиях нами доказана

ТЕОРЕМА 11.3.1, Для того, чтобы ЗС. был экспоненциальным вектором, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

а о

где

Следующее утверждение устанавливает связь экспоненциальных векторов с ранениями операторных уравнений.

ТЕОРЕМА 11.3.2. Пусть X £ и является решением

операторного уравнения (I), с характеристической функцией

где - нули функции ^ соответственно кратности .

Эта теорема обобщает известные результаты А.Ф.Леонтьева, И.ФДохина, Ю.Ф.Коробейника, и является обобщением классических теорем Лиувилля.

В исследовании задач §11.3 центральная роль принадлежит сле^ ющим леммам:

ЛЕММА 11.3.1. В выше рассматриваемых условиях каждый экспоне циальный вектор представляется в виде:

оо

ГД9 ^ " " РЯД СХ0ДЯЦИЙСЯ^Три|\|>^0(з:) _А

. ЛЕЩА 11.3.2. Пусть <$>(\)

- функция аналитическая в кольце содержащем окружность |\\= X, и

¿..¿МФОНио.

Тогда ф (\) - целая функция.

Связь экспоненциальных векторов и циклических элементов обнаруживает следующая .

ТЕОРЕМА' II.3.3. Пусть /\ - линейный ограниченный оператор конечного порядка фО/ю и типа oL^^o , и (\) - его собственная функция, целая, порядка типа б"—. Каждый экспо-

J р а.е.

ненциальный вектор, не являющийся нильпогентным или конечной линейной комбинацией векторов: ^-(Х) J ^ J • • • i есть циклический элемент оператора Д. в Ц .

В заключение автор выражает искреннюю признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Громову В.П. за руководство работой и постоянное внимание.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Иаычуев A.M. Операторы бесконечного порядка в локально выпуклом пространстве // Сб. научн. трудов: Много марн. комплексн. анализ и его приложения. / МОПИ им.Н.К.Крупской, - М.: _ 199I. - Деп. в ВИНИТИ 29.12.1991. - С.122-128. - ИИ899-В91. Деп.

2. Мамчуев A.M. О решениях операторного уравнения в локально выпуклом пространстве // Сб. научн. трудов: Избр. пробл. многомерн. комплексн. анализа. / Моск. пед. ун-т. М.: - 1992. - Деп. в ВИНИТИ 15.12.1992. - С.88-104. - »3544-В92. Деп.

3. Мамчуев A.M. Некоторые свойства экспоненциальных векторов // В научн. сборнике: Вопросы аппроксимации в комплексных областях. Нижний Новгород, Нижегородский госун-т, - 1992. - С.39-44. " ■

4. Мамчуев A.M. 0 циклических элементах в локально выпуклом пространстве // Тезисы докладов 5 Всероссийского семинара. Теория функций. Сыктывкар, Сык. госун-т, - 1993. - С.36.