Положительные решения нелинейного уравнения с операторами, растягивающими конус тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



На правах рукописи

с"4._

ЛЕ СУАН ДАЙ

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРАМИ, РАСТЯГИВАЮЩИМИ КОНУС

01.01.01-математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2009

1 МЕН 2009

003487495

Работа выполнена в Воронежском государственном педагогическом

университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бахтин Иван Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Перов Анатолий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Ляхов Лев Николаевич

Ведущая организация: Ярославский государственный университет

Защита состоится 22 декабря 2009 года в 15 час. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ, математический факультет, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, /У^и)

доктор физико-математических наук, профессор ¡ГХ^/к^/ Гликлих Ю. Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В работах М. А. Красносельского1 и его учеников2 3 создана детальная теория исследования положительных решений нелинейных уравнений с вполне непрерывными операторами в банаховых пространствах с конусами, получены многочисленные применения в различных задачах современного анализа и естествознания.

Возникла задача о ее распространении на более широкие классы операторных уравнений и в частности на уравнения с операторами, не обладающими свойством компактности.

В диссертации без условия компактности оператора исследуются положительные решения нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и в случае, когда исследуемые операторы обладают свойством монотонной компактности.

Тема диссертации актуальна и представляет реальный научный интерес.

Цель работы

Развитие методов исследования положительных решений нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и в случае, когда исследуемые операторы обладают свойством монотонной компактности.

Методика исследования

В работе применяются конусные методы исследования положительных решений нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и в случае, когда исследуемые операторы обладают свойством монотонной компактности:

1) метод последовательных монотонных приближений в теории нелинейных уравнений с непрерывными «—выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне правильными конусами;

2) метод последовательных монотонных приближений в теории нелинейных уравнений с монотонно компактными операторами в банаховых пространствах с конусами;

3) общие методы функционального анализа и теории полуупорядоченных пространств.

'Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного аналиэа.-М.:Наука, 1975.-512С.

2Бахтии И. А. Метод монотонных приближений в теорий нелинейных уравнений с вполне непрерывными операторами // Функ-цяон. аналш.-Улъяновск: УГПИ, 1985.-Вып. 25.-е. 33-41.

"Красносельский М. А., Перов А. И., Поеолг.цкий А. И., Забрейко П. П. Векторные ноля на плоскости. Москва. Физматгиз. 19вЗ. 243 с.

Научная новизна работы

Развит метод монотонных приближений в теории нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами в вещественных банаховых пространствах с вполне правильными конусами и в случае, когда исследуемые операторы обладают свойством монотонной компактности.

1) получены разнообразные признаки существования положительных неподвижных точек, положительных собственных векторов непрерывных и—выпуклых операторов в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и положительных монотонно компактных операторов, растягивающих конус;

2) приведены условия совпадения позитивного спектра и—выпуклого оператора с некоторым интервалом;

3) доказаны теоремы единственности положительной неподвижной точки и положительного собственного вектора и—выпуклого оператора;

4) найдены условия монотонной и непрерывной зависимости положительного собственного вектора от соответствующего собственного значения на позитивном спектре и—выпуклого непрерывного оператора и и—выпуклого монотонно компактного оператора, обладающего свойством единственности;

5) исследовано поведение положительного собственного вектора в зависимости от соответствующего собственного значения на границе позитивного спектра •м-выпуклого оператора;

6) полученные результаты применены к исследованию структуры позитивного спектра и множества положительных собственных векторов интегральных «-выпуклых операторов, действующих в некоторых функциональных пространствах с конусами.

Практическая и теоретическая значимость работы

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых в Воронежском, Ярославском, Белгородском университетах, в НИИ проблем управления РАН, в Воронежском государственном педагогическом университете. Они могут также найти приложения в различных задачах современного анализа.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались в Воронежских зимних маг тематических школах (2008, 2009 гг.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения"(2007, 2008 гг.), на научном семинаре по функциональному анализу в Воронежском государственном педагогическом университете.

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора [1] — [6]. В совместных публикациях [1],[2],[5] соавтору принадлежит только постановка задач. Работы [1],[4] опубликованы в издании, соответствующем списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Структура и объем диссертации

Диссертация изложена на 133 страницах и состоит из введения, трех глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка цитируемой литературы, включающего 67 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Перейдем к изложению содержания диссертации. При этом мы сохраним нумерацию основного текста диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор исследований по ее тематике, изложены основные результаты, полученные в работе, а также сведения об апробации работы.

Первая глава состоит из трех параграфов. В ней исследуются положительные решения нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами, действующими в банаховых пространствах с вполне правильными конусами.

В частности, рассматриваются вопросы существования положительных неподвижных точек и положительных собственных векторов непрерывных и—выпуклых операторов, исследуются структура их позитивного спектра, множества положительных собственных векторов и зависимость положительных собственных векторов от соответствующих собственных значений на позитизном спектре оператора.

В §1 приводится ряд признаков существования положительных неподвижных точек непрерывных и—выпуклых операторов, действующих в вещественных банаховых пространствах с вполне правильными конусами.

В частности, доказана следующая теорема

Теорема 1.1. Пусть выполняются следующие условия:

1) в вещественном банаховом пространстве Е, kowjc К с Е вполне правилен;

2) и—выпуклый оператор А непрерывен;

3) существуют элементы xq > 0, j/q > 0 такие, что Ах о < хо, Ayo ^ уо;

4) для любого элемента х > 0, Ах < х существует элемент х' > х, такой, что Ах' ^ х'\

5) существует число R > 0, такое, что из х ^ xq. Ах ^ х следует ¡|a;|| < R.

Тогда существует элемент х» > хд, такой, что Ах, = х,.

Для «—выпуклых операторов, действующих в банаховых пространствах со специальным конусом Рутмана, справедлива теорема

Теорема 1.3. Пусть

1) выполняются условия 1)-3) теоремы 1.1;

2) для любого элемента х > 0, Лаг < х существует элемент х' € Kq(u), где Kq(u)—конус Рутмана, такой, что х' > х и Ах' < ж'.

Тогда существует элемент х» ^ хо такой, что Ах, = х,.

В §2 в вещественном банаховом пространстве с вполне правильным конусом приведены условия совпадения позитивного спектра непрерывного и—выпуклого оператора А с некоторым интервалом.

Сформулируем две такие теоремы

Теорема 1.7. Пусть выполняются следующие условия:

1) в вещественном банаховом пространстве Е, конус К вполне правилен;

2) и—выпуклый оператор А непрерывен на конусе К;

3) существуют элементы хо > 0, уо > 0, и число A<¡ > 0 такие, что Ах о < А0х0, Ау0 > Аоуо;

4) для любых элементов х' > 0, y¡ > 0 и числа А' > 0, таких, что Ая< Х'х', Ai/ > A'j/j существуют элемент х > х', такой, что Ах < Х'х и число R' > 0, такое, что из х > х' и Ах ^ Х'х следует ||ж|| < Л'.

Тогда позитивный спектр S+(A) оператора А совпадает с некоторым интервалом (ct(h0o) С (0, +оо), содержащим точку А0.

Теорема 1.13. Пусть

1) в банаховом пространстве Е, конус К С Е вполне правилен;

2) и-выпуклый оператор А непрерывен на конусе К;

8) линейный оператор Р, являющийся и—производной Фреше оператора А в нуле по конусу К :

lim --гр-П-— = °>

имеет в компоненте К (и) собственный вектор хр € К (и), соответствующий его положительному собственному числу Хр > 0 : Рхр = Архр\

4) для любых числа X' > Хр и элементов х' > 0, у* > 0 , таких, что Ах' < X'x',A¡/ > X'ij, существует элемент 0 <х < у', такой, что Ах ^ Х'х.

Тогда позитивный спектр 5|+(Л.) оператора А совпадает с некоторым интервалом (Ар, Д)) С (0,+оо), где Хр < 0о-

б

В §3 доказана теорема единственности положительной неподвижной точки и—выпуклого оператора А

Теорема 1.16. Пусть

1) оператор А(А0 — 0) является и—выпуклым на конусе К ;

2) для линейного оператора В оператор В — I положительно обратим: существует обратный положительный на конусе К оператор (В — /)-1;

3) для любых х, у € К из х < у следует ßu^ Ах ~ Ау + В(у — х) ^ аи, где а = а(х,у) >0,ß = ß(x,y) >0.

Тогда оператор А обладает свойством единственности.

В этом параграфе найдены условия непрерывной зависимости положительного собственного вектора от соответствующего собственного значения на позитивном спектре и—выпуклого непрерывного оператора. В частности, доказана

Теорема 1.17. Пусть

1) в вещественном банаховом пространстве Е, конус К вполне правилен;

2) и—выпуклый оператор А непрерывен на конусе К;

3) позитивный спектр S+(A) оператора А совпадает с некоторым интервалом (ao,ßo) С (0,+оо)(а0 < /?о);

4) при каждом X € (ao,ßo) оператор jA обладает свойством единственности;

5) на любом отрезке [а, Ь] С (ац, ßo)(a < b) функция х(Х) е К\0 : Az(A) = Хх(Х), ограничена по норме.

Тогда функция х = х(\) непрерывна на позитивном спектре оператора А.

В этом же параграфе исследовано поведение собственного вектора в зависимости от соответствующего собственного значения на границе позитивного спектра и—выпуклого непрерывного оператора.

Теорема 1.20. Пусть

1) в банаховом пространстве Е, конус К С Е вполне правилен;

2) и—выпуклый оператор А непрерывен на конусе К;

3) позитивный спектр 5+(Л) оператора А совпадает с некоторым интервалом (a0,ß0) С (0,+со);

4) при любом X € S+{A) оператор jA обладает свойством единственности;

5) функция х = х(\) > 0 : Ах(Х) = Ах(А)(А € S+(A)) монотонно возрастает в интервале {ао, До)-

Тогда справедливы равенства

lim х(Х) = 0, lim ||х(А)|| = +оо.

А-»а0 А-»Д>

Вторая глава состоит из трех параграфов. В ней исследуются положительные решения нелинейных уравнений с положительными монотонно компактными операторами, растягивающими конус К в банаховом пространстве Е.

Рассмотрены вопросы существования положительных неподвижных точек, положительных собственных векторов, структура позитивного спектра и множества положительных собственных векторов таких операторов.

В §1 приводятся теоремы существования ненулевых положительных неподвижных точек положительных монотонно компактных операторов, растягивающих конус в банаховом пространстве.

В частности, для h—монотонно компактных операторов доказана следующая теорема

Теорема 2.1. Пусть выполняются следующие условия:

1) в вещественном банаховом пространстве Е с конусом К, линейный оператор В — I положительно обратим;

2) оператор А h—монотонно компактен на конусном отрезке < х0, у0 >С Е (х0 < уо), причем Ах0 ^ х0, Ау0 > у0;

3) для любых элементов х, у е< Яо> у о > из х^у следует

Ау - Ах ^ В{у - х).

Тогда существует элемент х„ 6< х0) у0 >, такой, что Ах* = х,.

Для монотонно компактных операторов, имеет место

Теорема 2.2. Пусть выполняются следующие условия:

1) в вещественном банаховом пространстве Е с конусом К С Е, линейный оператор В — I положительно обратим,;

2) монотонно компактный оператор А задан на конусном отрезке < жо, уо >, где хо < уо, причем Ах0 ^ х0, Ауй > Уо;

3) для любых элементов х, у €< хо, уо > из х ^ у следует

Ау - Ах ^ В(у - ж);

4) операторы А, и В преобразуют отрезок < xq, уа> в ограниченное по норме множество.

Тогда существует элемент у„ £< Xq, у о >, такой, что Аут — у,.

В §2 приводятся признаки существования положительных собственных векторов монотонно компактных и—выпуклых операторов и исследуется структура их позитивного спектра.

В частности, доказана следующая теорема

Теорема 2.7. Пусть выполняются следующие условия:

1) в вею,ественном банаховом пространстве Е с конусом К С Е, линейный оператор В — I положительно обратим;

2) и—выпуклый оператор А Н—монотонно компактен;

3) существуют элементы 0 < хо < уо и число Ао > 0, такие, что Ах о < Л0х0, Ау0 > Лог/о;

4) из а;о ^ х ^ у < уо следует ¿^Ау - -I-Ах < В(у — х).

Тогда существует элемент х, 6< хо,Уо >, такой, что Ах» = Аох».

Если дополнительно известно, что для любых числа Л' > 0 и элементов 0 < х' < у', таких, что Ах' < Х'х', Ау' > Х'у', существует элемент г' €< х\ у' >, такой, что Ах' = Л'г', то позитивный спектр 5+(А) оператора А совпадает с некоторым интервалом (ао,А)) С (0, +ос)(ао < /?о).

В этом же параграфе исследуется граница позитивного спектра и—выпуклого оператора.

В частности, доказана следующая теорема

Теорема 2.13. Пусть выполняются следующие условия:

1) и—выпуклый оператор А монотонно компактен на конусе К С Е;

2) линейный оператор Р, являющийся и—производной Фреше оператора А в нуле по конусу К :

\\Ах — АО — Рх\\и

11П1 "-7Г-Г- = О,

]|х||-.0,2€* ||х||

имеет собственный вектор хр 6 К (и), ответчающий положительному собственному числу Хр > 0 : Рхр = Хрхр\

3) существует число До 6 (0, Хр), при котором оператор Р — АоI положительно обратим;

4) из 0 ^ х ^ у ^ ехр, где е > 0 какое-нибудь число, следует

т~Ау ~ т~Ах ^ Р(у - х);

Лр Лр Ао

5) операторы А и Р преобразуют любой конусной отрезок < 0, у > (у € К) в ограниченное по норме множество.

Тогда Хр < А(А £ 5+(Л)) и при некоторому > 0, интервал (Хр,Хр(1 + т]о)) С

3+(А).

В §3 исследуется вопрос о единственности положительной неподвижной точки монотонно компактного и—выпуклого оператора.

Теорема 2.17. Пусть выполняются следующие условия:

1) и—выпуклый оператор A h—монотонно компактен и и—монотонен на конусе К С Е;

2) существуют элементы 0 < хо < уо, такие, что Ах о < хо, Ауо > Уо;

3) линейный оператор В — I положительно обратим;

4) из хо < х ^ у < уо, следует

Ау-Ах^ В(у-х);

Тогда оператор А имеет на отрезке < xq, уо > единственную неподвижную точку х*: Ах* = х„.

В этом же параграфе для и—выпуклых монотонно компактных операторов, обладающих свойствами единственности и собственной разрешимости исследуются вопросы о монотонной и непрерывной зависимости положительного собственного вектора на позитивном спектре оператора и также вопрос о существовании непрерывных ветвей положительных собственных векторов этих операторов.

Теорема 2.20. Если h—монотонно компактный на конусе К и—выпуклый оператор А обладает свойствами собственной разрешимости и единственности на позитивном спектре S+(A) = (ao,ßo) С (0,+оо), то собственный вектор х = х(Х) 6 К (и) оператора А : Ах{А) = Ах(А) непрерывен по норме в интервале (ао,0о).

Если дополнительно известно, что оператор А монотонно непрерывен на конусе К, а числа оо ф 0,/Зо ф +оо, то

lim ||х(А)|| - 0, lim ||x(A)||„ = +оо.

А-»а0 А—>0о

Теорема 2.25. Пусть

1) и—выпуклый оператор А(А0 = 0) h—монотонно компактен на конусе К и обладает свойствами собственной разрешимости и единственности на своем позитивном спектре S"+(yl);

2) линейный оператор Р, являющийся и2—производной Фреше оператора А в нуле по конусу К :

.. || Ar — АО — Рх\\и lim --п—л-- О,

|И|„-.0,х€К'„ ||х||и

имеет собственный вектор хр € К(и), отвечающий положительном/у собственному числу Ар > 0 : Рхр = ХрХр;

ю

3) линейный оператор Q, являющийся асимптотической и2—производной оператора А по конусу К :

\\Ax~Qx\\u

lim -гг-тт-= О,

||*1|u-4oo,ietf„ IfIIu

имеет собственный вектор xq 6 К [и), отвечающий положительному собственному числу Xq > О : Qxq = XqXq\

Тогда позитивный спектр S+(.4) оператора А совпадает с интервалом (Ар, Xq). Функция х(Х) > О : Ах(Х) = Хх(Х) непрерывна на позитивном спектре 5+(Л) как по норме, так и по и—норме и монотонно возрастает в интервале (Ар, Xq). При этом выполняются равенства

lim ||*(А)||= lim ||а:(А)!|« = 0,

Л—»Ар А

lim ||ar(A)|| = lim ||г(А)||„ =+00.

Л—»Aq А—+AQ

В третей главе диссертации результаты предудыщих глав пременяются к исследованию структуры позитивного спектра и множества положительных собственных векторов интегральных и—выпуклых операторов, действующих в некоторых функциональных пространствах с конусами.

В §1 выделяются специальные классы линейных операторов В, действующих в банаховых пространствах с конусами, с положительно обратимыми операторами В — I. В частности, доказана следующая теорема

Теорема 3.1. Пусть в пространстве Rm с конусом К С Мт элементов х = (iti,...,хт) с неотрицательными координатами xi,...,xm оператор В задан матрицей В = j, элементы которой удовлетворяют неравенствам: Ьц > 1 (г = 1,... ,т), bij < 0 (г ф j). Тогда при выполнении любого из условий:

1) £ М < Ьи - 1 (i е Т/т); tfi

2) £ М < Ьц -1 (je 1~Füy, ¡я

оператор В — I положительно обратим.

В параграфе §2 приводятся условия заполнения позитивным спектром одного класса интегральных u-выпуклых операторов и исследуются свойства и структура множества положительных собственных векторов этих операторов. В частности, доказана следующая теорема

н

Теорема 3.3. Пусть

1) функции К(Ь, в) и /(£, и) определены и непрерывны соответственно на множествах <2 = [0,1] х [0,1] и V = [0,1] х [0, +оо);

2) существуют числа О < т < М, такие, что

3) частная производная /,'(£, и) функции /(£, к)(/(£, 0) = 0) непрерывна, положительна и возрастает по переменной и на множестве V;

4) в пространстве С[о,1] непрерывных на отрезке [0,1] функций с конусом К С С[0,1] неотрицательных на отрезке [0,1] функций, оператор

Ax(t) = / K(t,s)f(s,x(s))ds Jo

обладает свойством: если при некоторых Ао > 0 и Хо € К {и) (и = u(t) = l(i € [0,1])) Axq = А0х0, то при некотором ео > 0 оператор В — I, где

Bx(t) = J* K(t, s)f'u(s, xo(s)Ms)^

положительно обратим;

5) оператор (В — /)-1 существует и преобразует конус Кщр в конус К.

Тогда

а) оператор А является и—выпуклым;

6) его позитивный спектр S+(.A) совпадает, с некоторым инт.ервалом (ао, ßo) С (0,+оо)(а„ </?о);

в) множество W С KUiP\0 положительных собственных векторов оператора А образует непрерывную ветвь бесконечной длины, т.е. не пусто пересечение множества собственных векторов оператора А с границей Г каждого открытого ограниченного множества, содержащего нуль пространства Е;

г) выполняются равенства

lim . А = ссо = inf 5+(Л); . ||i||-»o,ieW

lim A = /?o = sup5+U);

HHoo.zew

д) существует возрастающая непрерывная по норме в интервале (а0, ßo) функция х = я(А) € W, такая, что Аж(А) = Ат(А)(А € S+(A));

е) существует лишь конечное число возрастающих непрерывных в интервале {<xo,ßo) функций xk(X)(к - 1,..., п) :

Ахк{А) = \хк(Х)(к = 1,..., n; А 6 (а0, ßo)),

принимающих попарно различные значения в каждой точке Л € 5+(Л), сумма

п

множеств значений которых |J E(x¡!) = W.

k-1

Если дополнительно известно, что для некоторых Ао £ S+(A) и хо € W : Axq = Ágxg существует линейный положительно обратимый оператор В — I, такой, что из jsxQ < х < у ^ р2хо следует

-^-Лг/ - -^-Лх < - х), Ао Ао

то оператор А обладает свойством единственности на своем позитивном спектре 5+(Л) и в интервале (qo.í?o) = ■5,+(-<4) существует единственная непрерывная возрастающая функция х — х(А) S Ku¡p\0, такая, что Лх(А) = Ах(А)(А € S+(A)).

В §3 исследуется структура позитивного спектра и множества положительных собственных векторов двух классов интегральных и—выпуклых операторов, действующих в некоторых функциональных пространствах с конусами, не обладающими свойством нормальности. В частности, в пространстве C^i] непрерывно-дифференцируемых на отрезке [0,1] функций х = x(t) с нормой

|Ы| = max |x(í)| + max |x'(í)| 1 te[o,i]' Wl te[0,1] Wl

и конусом К С CÍgjj неотрицательных на отрезке [0,1] функций х = x(í) > 0(í € [0,1]) рассмотрим интегральный оператор

y(t) = Ax(t) = f K(t,s)f(s,x(s))ds J о

и доказана следующая теорема

Теорема 3.5. Пусть выполняются следующие условия:

1) функция K(t,s) определена и непрерывна вместе со своей частной производной K't(t, s) в квадрате Q = [0,1] х [0,1] и существуют числа 0 < т < М < +оо, такие, что

m^K(t,s)^M (í,se [0,1]);

2) функция f(t, u)(f(t, 0) = 0) определена и непрерывна вместе со своей частной производной f'u{t,u) на множестве М = [0,1] х [0,+оо) и эта частная производная положительна и возрастает по переменной и на множестве М;

3) в пространстве С^'ц интегральный оператор

y{t) = Ax(t) = / K(t,s)f(s,x{s))ds J о

обладает свойством: если при некоторых Ло > 0 и xq б К (и) (и = u(t) = 1 (t s [0,1])) Ах о = Ложо, то при некотором £ц > 0 оператор В — I, где

Bx(t) = Ц^£к{гМ(8,х0(»))Ф)<ь,

положительно обратим;

4) оператор (В — /)-1 существует и преобразует конус Ки,р в конус К. Тогда

а) позитивный спектр S+(A) оператора А совпадает с некоторым интервалом (ao,j3o) с (0,+со)(о0 < ßoY,

б) множество W положительных собственных векторов оператора А образует в пространстве С^ц непрерывную ветвь бесконечной длины;

в) выполняются равенства

lim Л = an, lim Л = 0о;

||x|l-»0,zeW l|i||-oo,ieJV

г) существует возрастающая непрерывная в интервале (qo,/?q) функция х — ж(А) 6 W, такая, что Ас(А) = Ах(А)(А € (а<ь/?о));

д) существует лишь конечное число таких возрастающих непрерывных в интервале («о, ß0) функций х/с = Xk(X) £ W(k = 1,..., п), принимающих попарно различные значения в каждой точке А 6 S+{A), сумма множеств значений

п

которых (J Е{Xk) — W. к=1

Получена еще одна теорема такого типа в пространстве Vc[Q, 1] непрерывных функций с ограниченным изменением на отрезке [0,1] с конусом, не обладающим свойством нормальности.

Автор выражает глубокую благодарность своему начному руководителю проф. И. А. Бахтину за научное руководство и постоянное внимание к работе.

РАБОТА АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Jle Суан Дай. Существование неподвижных точек и—выпуклых операторов / И. А. Бахтин, Ле Суан Дай // Вестник Ижевского государственного технического университета - Раздел "Математика"- №3(43) июль-сентябрь 2009 года - с. 160-162.

[2] Ле Суан Дай. О неподвижных точках одного класса некомпактных выпуклых операторов / И. А. Бахтин, Ле Суан Дай //Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVIII". Воронеж: ВорГУ 2007. с. 37-38. •

[3J Ле Суан Дай. Существование положительных собственных векторов «-выпуклых операторов в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и структура их позитивного спектра / Ле Суан Дай // Деп. в ВИНИТИ 30.09.09, № 592-В2009. - 13 с.

[4] Ле Суан Дай. О неподвижных точках специальных классов монотонно компактных операторов / Ле Суан Дай //Вестник Ижевского государственного технического университета - Раздел "Математика"- №3(43) июль-сентябрь 2009 года - с. 158-159.

[5] Ле Суан Дай. Неподвижные точки монотонно компактных выпуклых операторов / И. А. Бахтин, Ле Суан Дай // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна- 2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ 2008. с. 17.

[6] Ле Суан Дай. Существование положительных собственных векторов монотонно компактных и—выпуклых операторов и структура их позитивного спектра / Ле Суан Дай //- Деп. в ВИНИТИ 30.09.09, № 595-В2009. - 35 с.

Работы [1], [4] опубликованы в издании, соотвествующем списку ВАК Р Ф для кандидатских диссертаций.

Научное издание

ЛЕ СУАН ДАЙ

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРАМИ, РАСТЯГИВАЮЩИМИ КОНУС

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 18.11.2009. Формат 60х84'/|6. Печать трафаретная. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 0,93. Заказ 316. Тираж 100 экз.

Воронежский госпедуниверситет. Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии университета. 394043, г. Воронеж, ул. Ленина, 86.

Введение.

Глава 1. Положительные решения нелинейных уравнений с выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне правильными конусами.

§ 1. Существование положительных неподвижных точек и—выпуклых операторов в банаховых пространствах с вполне правильными конусами.

§ 2. Существование положительных собственных векторов -«—выпуклых операторов в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и структура их позитивного спектра

§ 3. Свойства положительных собственных векторов и—выпуклых операторов и их непрерывные ветви.

Глава 2. Положительные решения нелинейных уравнений с положительными монотонно компактными операторами, растягивающими конус.

§ 1. Существование положительных неподвижных точек положительных монотонно компактных операторов, растягивающих конус.

§ 2. Существование положительных собственных векторов монотонно компактных и—выпуклых операторов и структура их позитивного спектра.

§ 3. Свойства положительных собственных векторов и—выпуклых монотонно компактных операторов на их позитивном спектре

В работах М. А. Красносельского [30, 35] и его учеников [5, 14, 16, 17, 18, 39] создана детальная теория исследования положительных решений нелинейных уравнений с вполне непрерывными операторами в банаховых пространствах с конусами, получены многочисленные применения в различных задачах современного анализа и естествознания.

Возникла задача о ее распространении на более широкие классы операторных уравнений и в частности на уравнения с операторами, не обладающими свойством компактности.

В диссертации без условия компактности оператора исследуются положительные решения нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и в случае, когда исследуемые операторы обладают свойством монотонной компактности. В частности, рассматриваются вопросы существования положительных неподвижных точек и положительных собственных векторов таких операторов, исследуется структура их позитивного спектра, множества положительных собственных векторов и зависимость положительных собственных векторов от соответствующих собственных значений на позитивном спектре оператора.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов и библиографического списка, включающего 67 наименований.

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию.-М: Наука, 1977.-368с.

2. Балуев А.Н. К абстрактной теории метода с.А.Чаплыгина // ДАН СССР. 1952. Т. 83. с.781-784.

3. Балуев А.Н. О методе С.А.Чаплыгина // Вестник ЛГУ.-1956, № 13.-с.27-42.

4. Бахтин И.А. Об одном классе уравнений с положительными операторами -Докл.АН СССР, 1957, т.117, №1, с. 3-16.

5. Бахтин И.А. О существовании собственных векторов у линейных положительных не вполне непрерывных операторов.-Мат.сб.,1964, т.64/106/, №1, с. 102-114.

6. Бахтин И.А. О положительных решениях нелинейных уравнений с вогнутыми операторами: Дис. . канд. физ. -мат. наук.- Воронеж,1958.-134с.

7. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис. . докт. физ.-мат. наук- Воронеж,1966.-408с.

8. Бахтин И.А. Теорема существования положительных собственных векторов для линейных положительных не вполне непрерывных операторов.-В сб.:Функ.анализ, Ульяновск,1981, с. 10-19.

9. Бахтин И.А. Теорема о неподвижных точках монотонных операторов-В сб.:Функ.анализ, Ульяновск,1982, вып. 18, с. 13-25.

10. Бахтин И.А. Неподвижные точки монотонных операторов в пространствах Банаха.-В сб.:Функ.анализ, Ульяновск,1983, вып. 20, с. 9-19.

11. Бахтин И.А. О существовании положительных собственных векторов линейных положительных монотонно компактных операторов.-В сб.:Функ.анализ, Ульяновск, 1984, вып. 22, с. 3-16.

12. Бахтин И.А. Существование неподвижных точек монотонно непрерывных операторов // Известия Воронежского педуниверситета- Математика, механика (сборник научных трудов), 1996, с. 8-15.

13. Бахтин И.А. Положительные решения нелинейных уравнений в окрестности старшей точки бифуркации.-Воронеж:ВГПИ,1983.-76с.

14. Бахтин И.А. Метод монотонных приближений в теории нелинейных уравнений с вполне непрерывными операторами / / Функцион. анализ-Ульяновск: УГПИ, 1985.-Вып. 25.-е. 33-41.

15. Бахтин И.А. Конусы в пространствах Банаха.-Воронеж:ВГПИ,1975-Ч.1-184с.

16. Бахтин И.А. Нелинейные уравнения с монотонными операторами.-Воронеж:ВГПИ,1988.-64с.

17. Бахтин И.А. Метод монотонных приближений в теории нелинейных уравнений. Воронеж:ВГПИ, 1989-80с.

18. Бахтин И.А. Топологические методы в теории нелинейных уравнений с положительными операторами, зависящими от параметра. Во-ронеж:ВГПИ, 1986-80с.

19. Бахтин И.А., Бахтина А. А. Конусы в пространствах Банаха-Воронеж:ВГПИ,1976.-Ч.2-135с.

20. Бахтин И.А., Красносельский М. А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сиб. мат. журн. -1961.-Т.2, № З.-с. 318-330.

21. Бахтин И.А., Красносельский М. А. К задаче о продольном изгибе стержня переменной жесткости // Докл. АН СССР,-1955.-Т.105, № 4-с. 621-624.

22. Вулих Б.З. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах.-Калинин: университет, 1977.-84с.

23. Вулих Б.З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах.-Калинин: университет, 1978.-84с.

24. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.-М: Физматгиз, 1961.-408с.

25. Галкина В.А., Якименко И.Л. Существование и положительность обратного оператора// Вестник, серия "Физико-химическая".-2003. -Ne 1(7). -с. 84-89.

26. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.-М: Наука, 1977.-742с.

27. Климов B.C. К вопросу о единственности неподвижной точки у выпуклого оператора // Тр. семинара по функц. анализу, Воронеж, №7, 1963

28. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М: Наука, 1976.-543с.

29. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.-М.: Гостехиздат, 1956.-392с.

30. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений.-М.: Физматгиз, 1962.-394с.

31. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. -М.: Физматгиз, 1966.-331с.

32. Красносельский М.А. Правильные и вполне правильные конусы // ДАН 135, №2, 1960.

33. Красносельский М.А. Неподвижные точки операторов, сжимающих или растягивающих конус // ДАН 135, №3, 1960.

34. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я. В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений.-М.:Наука, 1969.-456с.

35. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа.-М.:Наука, 1975.-512с.

36. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покорный Ю.В., Стеценко В.Я. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость нелинейных уравнений // Докл. АН Тажд. ССР.-1974.-Т.17, № 1.-е. 12-15.

37. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покорный Ю.В., Стеценко В.Я. О положительной обратимости линейных операторов // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений Ярославль, 1980.-е. 90-99.

38. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы.-М.: Наука, 1985.-256с.

39. Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости. Москва. Физматгиз. 1963. 248 с.

40. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха// Успехи мат. наук-1948. -Т. 3, № 1. -с. 3-95.

41. Ладыженский Л. А. Об одном классе нелинейных уравнений: Дис. .канд. физ. -мат. наук.- Казань, 1954.

42. Ле Тхи Тхиен Хыонг. Нелинейные уравнения с монотонными операторами: Дис. .канд. физ. -мат. наук.- Воронеж, 1985. 135 с.

43. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.-М.: Высшая школа, 1982.-272с.

44. Мухаммадиев Э.М., Покорный Ю.В. О положительных решениях нелинейных интегральных уравнений // Докл. АН Тажд. ССР. 1967. Т. 10, № 10. -с.7-10.

45. Немыцкий В.В. Некоторые вопросы структуры спектра нелинейных вполне непрерывных операторов // ДАН 80, №2, 1951.

46. Опойцев В.И. Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов // Тр. Моск. мат. об-ва. 1978. Т. 36. -с.237-273.

47. Перов А.И. О двух теоремах М.А. Красносельского // Докл. РАН-2005. Т.402, №1.-с.1-4.

48. Покорный Ю.В. О положительных и монотонных операторах // Проблемы математического анализа сложных систем. Воронеж: ВГУ,1967.- Вып. 1. -с. 58-63.

49. Покорный Ю.В. О некоторых условиях существования решений у нелинейных операторных уравнений в пространстве с конусом: Дис. . канд. физ.-мат. наук.- Воронеж, 1967. -85с.

50. Слугин С.Н. Приближенное решение операторных уравнений на основе метода С.А.Чаплыгина // Докл. АН СССР.-1955. Т.103, №4.-с.565-568.

51. Слугин С.Н. Применение метода чаплыгинского типа приближенного решения операторных уравнений // Докл. АН СССР.-1956. Т.110, №5.-с. 739-741.

52. Слугин С.Н. Видоизменение абстрактного метода Чаплыгина // Докл. АН СССР.-1958. Т. 120, №2.-с.256-258.

53. Слугин С.Н. К теории методов Ньютона и Чаплыгина // Докл. АН СССР.-1958. Т. 120, №3.-с.472-474.

54. Соболев C.JI. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике JL: ЛГУ, 1950. -256с.

55. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусами: Дис. . докт. физ.-мат. наук.- Воронеж,1968. -312с.

56. Стеценко В.Я. Признаки существования положительного решения у линейного операторного уравнения.-Докл,АН Тажд., ССР, 1979, Т.22, №2, с. 84-87.

57. Токарева Т.В. Положительные решения нелинейных уравнений с вогнутыми не вполне непрерывными операторами: Дис. . канд. физ.-мат. наук,- Воронеж, 1986. -135с.

58. Урысон П.С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений // Труды по топологии и другим областям математики, 1.-М-Л.:Гостехиздат.-1951, -с. 45-77.

59. Чыонг Суан Дык Ха. Положительные решения нелинейных уравнений с вогнутыми операторами в банаховых пространствах: Дис. . канд. физ.-мат. наук.- Воронеж, 1982. -128с.

60. Щувар Б.А., Бойцун С.А. О двусторонних приближениях к решениям уравнений с немонотонной правой частью // Вестн. Львов, политехи. ин-та.-1983, № 172. -с. 143-145.

61. Щувар Б.А., Копач М.И. Двусторонние процессы последовательных приближений к решениям уравнений с немонотонными правыми частям // Укр. мат. журн. -1983, -Т. 35., № 5. -с. 660-665.

62. Бахтин И. А., Ле Суан Дай. Существование неподвижных точек и-выпуклых операто-ров // Вестник Ижевского государственного технического университета Раздел "Математика №3(43) июль - сентябрь 2009 года - С. 160-162.

63. Jle Суан Дай. Существование положительных собственных векторов и-выпуклых операторов в банаховых пространствах с вполне правильными ко-нусами и структура их позитивного спектра // Деп. в ВИНИТИ 30.09.09, № 592-В2009. - 13 С.

64. Jle Суан Дай. О неподвижных точках специальных классов монотонно компактных операторов // Вестник Ижевского государственного технического университета Раздел "Математика №3(43) июль - сентябрь 2009 года - С. 158-159.

65. Бахтин И.A., Jle Суан Дай. Неподвижные точки монотонно компактных выпуклых операторов // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. С.17.

66. Jle Суан Дай. Существование положительных собственных векторов мо-нотонно компактных u-выпуклых операторов и структура их позитивного спектра // Деп. в ВИНИТИ 30.09.09, № 595-В2009. - 35 С.