Приближенные решения операторных уравнений с монотонными операторами в пространствах с двумя полуупорядоченностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Вопросы геометрии банаховых пространств с двумя полуупорядоченностями.

§1. Основные типы конусов.

1.1. Воспроизводящие и несплющенные конусы.

1.2. Миниэдральные конусы.

1.3. Сильно миниэдральные конусы.

1.4. Принцип Биркгофа неподвижной точки для полуупорядоченных пространств.

§2. Банахово пространство с двумя полуупорядоченностями.

2.1. /С-миниэдральные и сильно /Г-миниэдральные конусы.

2.2. Обобщение принципа Биркгофа для пространств с двумя конусами.

2.3. Признаки сильной/Г-миниэдральности конуса К0.

2.4. ^-воспроизводящие и .К--несплющенные конусы.

2.5. Свойство /С-несплющенности /("-воспроизводящих конусов.

2.6. if-нормальные конусы.

2.7. Принцип неподвижной точки для операторов сжатия, действующих в пространствах с двумя конусами.

2.8. Развитие критерия М.Г. Крейна нормальности конуса для случая пространств с двумя полуупорядоченностями.

2.9. Об одном новом критерии нормальности конуса.

Глава II. Существование положительных собственных векторов у положительных операторов.

§1. Равномерно положительные операторы.

§2. Критерий равномерной положительности оператора.

§3. Теоремы существования положительных собственных векторов у положительных операторов.

§4. Операторные уравнения с монотонно разложимыми операторами.

Двусторонние оценки решения.

4.1. Двусторонние оценки.

4.2. Монотонно разложимые операторы.

4.3. Построение монотонно сходящихся приближений к решению "по недостатку" и "по избытку".

4.4. Оценка эффекта ускорения сходимости построенных приближений.

4.5. Алгоритм выбора начальных приближений.

§5. Уточнение двусторонних оценок решения для операторных уравнений с wo-ограниченным снизу оператором.

§6. Признаки существования и положительности оператора, обратного к данному для пространств с нетелесным конусом.

Глава III. Операторные уравнения с дифференцируемыми операторами.

§1. Постановка задачи.

§2. Продуктивность модели Леонтьева.

§3. Проблема единственности положительного решения нелинейной мо дели Леонтьева.

§4. Модифицированный метод Ньютона для решения нелинейной модели

Леонтьева

Глава IV. Метод однопараметрического итеративного агрегирования для решения операторных уравнений.

§1. Описание метода однопараметрического итеративного агрегирования.

§2. Обсуждение метода однопараметрического итеративного агрегирования.

2.1. Применение метода однопараметрического итеративного агрегирования для приближенного решения линейных алгебраических уравнений.

2.2. Применение метода однопараметрического итеративного агрегирования для приближенного решения интегральных уравнений.

2.3. Применение метода однопараметрического итеративного агрегирования для приближенного решения нелинейных алгебраических уравнений.

Значительное число задач анализа, алгебры, теории интегральных уравнений можно представить с единых позиций в виде линейного или нелинейного операторного уравнения вида: x = A{x) + f (0.1) с оператором А(х), действующим в том или ином банаховом пространстве Е. При этом для таких уравнений возникают весьма специфические задачи. В качестве довольно распространенных задач такого типа, например, встречается задача о существовании у таких уравнений решения х = х*, обладающего свойством неотрицательности: х* >в. Такого рода задачи, вообще, специфичны в задачах экономики, для которых экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения (типичный пример - модель Леонтьева межотраслевого баланса). Поэтому при рассмотрении подобных задач предполагается наличие в пространстве дополнительной структуры-конуса К, с помощью которого в пространстве Е вводится полуупорядоченность: для некоторых пар векторов х, у еЕ определено отношение х>у, являющееся аналогом обычного скалярного неравенства: х>у если (х-у)еК. От свойств конуса в пространстве Е и оператора А, действующего в этом пространстве зависит существование решения х* у уравнения (0.1), а также способ, с помощью которого можно построить приближения к этому решению. Дальнейшее развитие теории полуупорядоченных пространств и ее приложений привело к обобщению этих понятий на пространства с двумя конусами. Настоящая работа продолжает исследования ряда авторов (Красносельский М.А., Стеценко В.Я. и др.) в этом направлении.

Во всей работе используется терминология функционального анализа и, в частности, теории полуупорядоченных пространств [11], [12], [15], [17], [22].

Диссертация состоит из введения и четырех глав. В ней принята двойная нумерация для утверждений и формул, включающая номер главы и порядковый номер утверждения или формулы.

Заключение.

Таким образом в диссертационной работе излагаются результаты, позволяющие исследовать вопросы существования, единственности положительного решения у операторного уравнения вида x=Ax+f в банаховом пространстве Е, в котором введены отношения порядка при помощи двух конусов Ко и К и предложены различные методы получения двусторонних приближений к искомому решению таких уравнений. Эти результаты на наш взгляд развивают и дополняют исследования различных авторов по соответствующей проблеме и находят приложения при изучении соответствующих классов интегральных уравнений, краевых задач математической экономики .

115

1. Karlin S. Positive operators. // J. Math. Mech. - 1955. - №8. - C. 907-938.

2. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис. д-ра физ.-мат. наук. JL, 1967. - 320 с.

3. Бахтин И.А. Об одном критерии нормальности конуса. // Тезисы семинара по функциональному анализу. Вып.6. Воронеж, Изд. ВГУ, 1958.

4. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. -М.: Мир, 1968.-270с.

5. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Физматгиз, 1967 - 415с.

6. Вулих Б.З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах: Учебное пособие. Калинин: Издательство калининского университета, 1978. - 84 с.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 576 с.

8. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Издательство иностранная литература, 1962. - 895с.

9. Есаян А.Р. Применение теории конусов к оценке спектра неположительных операторов: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1964. - 104 с.

10. Итеративное агрегирование и его применение в планировании. Под ред. Дуд-кина JT.M. М.: Экономика, 1979. - 328 с.

11. П.Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональные анализ в нормированных пространствах. М.: Наука, 1977. - 496 с.

12. Канторович JI.B., Вулих Б.З. Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

13. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.-M.-JL: Физматгиз, 1962. 708 с.

14. Н.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.\ Наука, 1981. - 544 с.

15. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. - 396 с.

16. Красносельский М.А. Правильные и вполне правильные конусы. // ДАН СССР,-1960. Т.135, № 2.116

17. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стецен-ко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.455 с.

18. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1965. 624с.

19. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные нелинейные системы. М.: Наука, 1985. - 256 с.

20. Костенко Т.А. О разрешимости операторных уравнений второго рода с линейными и нелинейными операторами.// Материалы XLIII научно-методической конференции «Университетская наука региону». - Ставрополь: Изд. СГУ, 1998.-С.111-122.

21. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха.// Успехи математических наук. 1948. - №3. Вып.1. - С. 3-95.

22. Лифшиц Е.А. К теории полуупорядоченных банаховых пространств.// Функциональный анализ и его приложения, 1969. Т.З, №1, С.91 - 92.

23. Леонтьев В.В., Форд Д. // Экономика и математические методы. 1972. - №3.

24. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.- 520 с.

25. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. - 179 с.

26. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972,- 518 с.

27. Островский А.Ю. О сходимости монотонных итерационных процессов. // Журнал вычислительной математики и математической физики-1977 Т. 17, № 1. - С.233-238.

28. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс. . д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. - 307 с.117

29. Стеценко В.Я. О банаховых пространствах с двумя конусами: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Ленинград, 1962. - 109 с.

30. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств и приближенные решения операторных уравнений: Учебное пособие. Ставрополь: Изд. СГУ, 1998. - 145 с.

31. Функциональный анализ. Под ред. Крейна С.Г. М.: Наука, 1972. - 544 с.

32. Кубекова Б. С. О свойстве Л"-несплющенности ^-воспроизводящих конусов.// Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В. Ефимова: Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 5-11.09.2000.-С.125-127.

33. Кубекова Б.С. Об уточнении оценок решения операторного уравнения в полуупорядоченном пространстве с и0-ограниченным снизу оператором. // Понтрягинские чтения -XI: Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 3-9.05.2000-С.95.

34. Кубекова Б.С. К вопросу о геометрии банаховых пространств с двумя полу-упорядоченностями.// Ставропольский государственный университет, Ставрополь. 2000. - 28с. Деп. в ВИНИТИ 14.07.2000 №1967 - В00.

35. Кубекова Б.С., Стеценко В.Я., Гробова Т.А. О методе однопараметрического итеративного агрегирования. // Восьмая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование»:Тезисы докладов,- Пущино. 31.01 .-5.02.2001,-С. 230.

36. Кубекова Б.С., Стеценко В.Я., Павлова М.Н. Об одном методе построения двусторонних приближений к решению операторного уравнения с монотонно