К теории операторных уравнений с линейными и нелинейными неразложимыми операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

СЕМИЛЕТОВ Владимир Андреевич

К ТЕОРИИ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЛИНЕЙНЫМИ И НЕЛИНЕЙНЫМИ НЕРАЗЛОЖИМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

01.01.01. — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2004

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук профессор Стеценко В.Я.

доктор физико-математических наук профессор Мухамадиев Э.М., кандидат физико-математических наук доцент Барковский Ю.С.

Воронежский государственный университет

Защита состоится «17» февраля 2004г. в 16^° часов на заседании диссертационного совета К212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: 344006, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «16» января 2004г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К212.208.06 кандидат физико-математических наук

Кряквин В.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Значительное число задач анализа, алгебры, теории интегральных уравнений можно представить с единых позиций с помощью линейного или нелинейного операторного уравнения вида

с оператором Л(д:), действующим в том или ином банаховом пространстве Е. При этом для таких уравнений возникают весьма специфические задачи. Одной из них является довольно распространенная задача о существовании у уравнения (1) решения х=х' , обладающего свойством неотрицательности: х >0. Такого рода задачи, вообще говоря, присущи задачам экономики, для которых экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения. Поэтому при рассмотрении подобных задач предполагается наличие в пространстве дополнительной структуры -конуса К, с помощью которого в пространстве Е вводится полуупорядоченность: для некоторых пар векторов определено отношение

, если , являющееся аналогом обычного скалярного нера-

венства: . От свойств конуса в пространстве и от вида оператора А , действующего в этом пространстве, зависит существование решения х* у уравнения (1), а также способы, с помощью которых можно построить приближения к этому решению.

Основной интерес в работе приобретают уравнения с так называемыми неразложимыми операторами. Отметим, что неразложимые операторы впервые были введены в работах В.Я. Стеценко в плане развития и обобщения результатов М.А. Красносельского, посвященных уравнениям с и0 положительными операторами. Уравнения с щ -положительными операторами обладают рядом важных свойств, в частности, для них было установлено существование и единственность положительного решения, сходимость метода последовательных приближений к этому решению и т.д. Впоследствии в работах В.Я. Стеценко было замечено, что многое свойства щ -положительных операторов имеют место и для существенно более широкого класса операторов, получивших название неразложимых. Поводом для выделения класса неразложимых операторов также послужила теория неразложимых матриц, построенная в работах Фробениуса, которую развил М.А. Красносельский на случай абстрактных уравнений.

После построения теории неразложимых операторов естественным представляется следующий шаг - попытка распространения основных

I рос. национальная]

ЬИБЛНОТеХА . £

1

свойств неразложимых операторов на более широкий класс операторов, который в данной диссертации получил название м0 -неразложимых операторов. Класс и0 -неразложимых операторов содержит в качестве правильной части неразложимые операторы и обладает основными свойствами таких операторов.

Исходя из ранних работ П. С. Урысона по нелинейным интегральным операторам и теории линейных щ -положительных операторов, М.А Красносельский и его ученики (Л.А. Ладыженский, И .А. Бахтин и другие) построили содержательную теорию для некоторых классов нелинейных положительных операторов, действующих в полуупорядоченном банаховом пространстве. Особенно глубоко была развита теория Щ -вогнутых операторов. Вместе с тем существуют достаточно широкие классы операторов (в работе соответствующий класс получил название нелинейных неразложимых операторов), которые не относятся к классу нелинейных вогнутых операторов, но которые тем не менее обладают основными свойствами этих операторов.

В осмыслении и решении ряда задач общей теории систем, теории управления, механики, прикладной математики и т. д. важную роль играет монотонность соответствий между данными и результатами, позитивность и монотонность линейных и нелинейных отображений. Математические модели подобных объектов во многих ситуациях приводят к уравнениям с операторами в пространствах, полуупорядоченных некоторым конусом. Это, в частности, объясняет широкое применение теории операторов и конусов.

Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операторов, являются, во-первых, вопросы качественного характера и, во-вторых, вопросы, касающиеся приближенных методов решения операторных уравнений. В настоящей работе исследуется лишь некоторая их часть. Например, такие вопросы, как: обобщение известного понятия неразложимости на более широкий класс операторов ( -неразложимые, неразложимые нелинейные операторы), оценки позитивного спектра линейного неразложимого оператора, сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов, построение приближений к решению операторного уравнения (1) в случае, когда спектральный радиус линейного оператора А не обязательно меньше единицы, и др.

Исследование указанных вопросов представляется актуальной задачей не только теоретического, но и большого практического значения. Диссертационная работа продолжает исследования в области теории

операторных уравнений, проведенные М.Г. Крейном, М.А. Красносельским, И.А. Бахтиным, В.Я. Стеценко, Т.А. Костенко и др.

Цель работы - обобщение класса линейных неразложимых и нелинейных и0 -вогнутых операторов на более широкий класс операторов с сохранением основных свойств соответствующих операторов; развитие теории линейных неразложимых операторов на нелинейные операторы; получение новых оценок позитивного спектра неразложимого оператора; сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов; приближенное решение операторных уравнений вида (1) в случаях, когда спектральный радиус Р(А) лилейного оператора А не обязательно меньше единицы.

Методические основы исследования. В работе используются идеи и методы классического функционального анализа и теории положительных операторов, действующих в полуупорядоченных пространствах.

Научная новизна. Результаты работы представляют собой развитие теории линейных и нелинейных операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах. Так, например, в работе введен новый класс линейных операторов, который в качестве своей правильной части содержит линейные неразложимые операторы. В диссертации развиваются некоторые результаты теории линейных неразложимых операторов на нелинейные операторы (нелинейные интегральные операторы и нелинейные абстрактные операторы), изучеиы свойства соответствующих операторов. Получены новые оценки (как снизу, так и сверху) для спектрального радиуса р(л) линейного неразложимого оператора. Предложены методы решения операторных уравнений вида (1) в случаях, когда у вполне непрерывного оператора А несколько или все собственные значения по модулю больше единицы.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность заключается в обобщении теории линейных неразложимых операторов на нелинейные неразложимые операторы; введении новых классов операторов и доказательстве их свойств; получении новых оценок спектрального радиуса р(л) оператора^ путем сравнения со спектральным радиусом другого оператора В, исходя из информации об их поведении на некотором элементе конуса К; разработке новых методов решения уравнения (1).

Практическая ценность работы заключается в возможности применения результатов исследования при анализе и решении конкретных задач математики (конечные и бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, дифференциальные и интегральные уравнения и их системы), математической экономики, биологии, экологии и других задач, сводящихся к операторным уравнениям вида (1). Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и при подготовке учебных пособий.

Достоверность исследований вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г. Воронеж, 2003), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002), на международной летней школе молодых ученых «Итерационные методы и матричные вычисления» (г. Ростов-на-Дону, 2002), на региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики» (г. Ставрополь, 2002), на 46 научно-методической конференции преподавателей и студентов «XXI век - век образования» (г. Ставрополь, 2001) и неоднократно на семинарах кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета (руководитель - профессор В.Я. Стеценко).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ [1-8]. Часть результатов диссертации получена автором совместно с научным руководителем профессором В.Я. Стеценко и его ученицей, к.ф.-м.н. Т.А. Костенко, при этом В Л. Стеценко и Т.А Костенко в соответствующих результатах принадлежат постановка задач и общие рекомендации относительно метода их решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих утверждений.

Структура-диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка использованной литературы. Общий объем диссертации - 119 страниц. Список использованной литературы содержит 91 наименование.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность д.ф.-м.н., проф. В.Я. Стеценко и к.ф.-м.н. Т.А. Костенко за постановку задач и общие рекомендации к их выполнению, обсуждение полученных результатов, оказанную помощь и поддержку при работе над диссертацией.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Приведем обзор содержания работы параллельно с кратким обзором некоторых известных результатов, непосредственно связанных с рассматриваемым кругом вопросов.

В диссертации используется терминология функционального анализа и, в частности, теории полуупорядоченных пространств. Прежде чем перейти к обзору основных результатов, приведем некоторые определения.

Будем рассматривать банахово пространство Е, полуупорядоченное конусом К, и оператор А произвольной природы, действующий в Е.

Выпуклое множество К сЕ называется конусом, если вместе с каждой своей точкой х оно содержит луч, проходящий через х, и если из

х,—х € К вытекает, что х = в (лучом, проходящим через точку х е Е х Ф д, называется совокупность точек tx (i > О) ).

Конус К, содержащий внутренние элементы, называется телесным. Если любой элемент X пространства Е может быть представлен в виде х = и — v {и, v е К), то конус ^называется воспроизводящим. Конус Кшаы-вается нормальным, если из неравенства следует, что

где М - const - константа нормальности, не зависящая ни от х, ни от у .

Множество К* функционалов сопряженного пространства Е*, принимающих неотрицательные значения на элементах конуса К с Е, называется сопряженной полугруппой. Для того чтобы полугруппа К* была конусом, приходится налагать дополнительные условия на конус К.

Будем говорить, что х0е К cz Е является квазивнутренним элементом, и

обозначать , если выполняется неравенство

Положительный линейный оператор А назовем неразложимым, если для любого х >в из неравенства х£аАх (а >0) следует, что х» 9.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное по норме пространства Е множество в компактное множество.

Те значения Л , при которых уравнение

где А - рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор (А — /)-1 ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений Л , не являющихся регулярными, называется спектром оператора А и обозначается <т(/4) . Спектральным радиусом р{А) оператора А называется число, определенное формулой р{А) = sup[A| (Л е с(/4)).

Если уравнение Ах = Ах при д а н н о ъ1и м е е т решение, отличное от тривиального, то Я называется собственным значением оператора А, а нетривиальное решение этого уравнения называется собственным вектором, отвечающим этому собственному значению. При этом собственное значение называется позитивным, если , и отвечающий ему соб-

ственный вектор х принадлежит конусу К.

Знак x"i. у означает, что (х—у) <£ К .

Во введении дана постановка основных задач диссертации, показана их актуальность, изложено краткое содержание работы и сформулированы основные результаты.

В теории матриц с вещественными элементами важное место занимают матрицы с неотрицательными.элементами. Эти матрицы находят существенное применение в теории вероятностей при изучении цепей Маркова (стохастические матрицы), в теории малых колебаний упругих систем (осцил-ляционные матрицы). При этом особое место среди матриц с неотрицательными элементами занимают неотрицательные неразложимые матрицы. В теории операторов, действующих в банаховом пространстве, полуупорядоченном конусом К, свойствами, близкими к свойствам неразложимых неотрицательных матриц конечного порядка, обладают линейные и0 -положительные операторы, которые были выделены и изучены М.А. Красносельским. В дальнейшем ВЛ. Стеценко обобщил понятие неразложимости на абстрактный оператор, действующий в банаховом пространстве.

Вместе с тем существуют достаточно широкие классы операторов (линейных и нелинейных), которые не относятся к классам линейных положительных операторов, неразложимых операторов и нелинейных -вогнутых операторов, но которые тем не менее обладают основными свойствами линейных и0 -положительных операторов, неразложимых операторов и нелинейных -вогнутых операторов соответственно.

В первой главе вводятся вышеупомянутые классы линейных и нелинейных операторов и изучаются их основные свойства. Такие классы операторов называются, соответственно, классами и0 -неразложимых линейных положительных операторов и неразложимых нелинейных операторов. Своим названием эти классы обязаны, главным образом, тому, что они получаются в результате естественного обобщения определения неразложимости линейного оператора.

В §1 приведены известные факты теории неразложимых матриц и неразложимых интегральных операторов, а также для них сформулированы и доказаны некоторые теоремы.

Во втором параграфе вводится определение -неразложимого оператора, которое является аналогом неразложимости для линейных операторов, оставляющих инвариантным произвольный конус (телесность К не предполагается).

Определение 2.2. Оператор А, действующий в полуупорядоченном конусом К пространстве Е, назовем и0 -неразложимым оператором

( м0-фиксированный элемент конуса К ), если из соотношений

вытекает, что

а(х)Лх<х, х<р{х)Ах {хьК,х*6\а,Р> 0) 8

Показано, что каждый неразложимый оператор является и0-неразложимым. Установлены некоторые полезные свойства и0-неразложимых операторов, выраженные в следующих теоремах.

Теорема 2.3. Каждый и0 -положительный линейный оператор является и0 -неразложимым оператором.

Теорема 2.4. Пусть <р0еК, <р0 - собственный вектор а0-

неразложимого положительного оттепятопя А :

А<р0=2ъ<р0.

Тогда из соотношения

вытекает, что Л = Лц, у/ = .

Теорема 2.5. Пусть , (рй - собственный вектор и0 -неразложимого

положительного оператора А :

Пусть конус К телесен, щ - внутренний элемент конуса К. Тогда Л0 является простым собственным значением оператора А , причем = р(л).

Переход от линейных неразложимых операторов, которыми ранее ограничивалась теория неразложимых операторов, к нелинейным неразложимым операторам является весьма существенным. Первые шаги в построении теории нелинейных неразложимых операторов предприняты, по видимому, впервые в данной работе. Полученные на этом пути результаты изложены в §3 и §4.

В §3 вводится понятие неразложимого нелинейного оператора и понятие вогнутого неразложимого интегрального оператора, причем показывается, что класс неразложимых вогнутых интегральных операторов не является частью класса -вогнутых интегральных операторов в смысле определения М.А. Красносельского. Тем не менее из результатов §4 следует, что такие интегральные операторы обладают основными свойствами и0 -вогнутых интегральных операторов. Пусть А - нелинейный интегральный оператор

определенный в некотором пространстве функций #>(/) (или на некотором множестве функций), где ; е П , С2 - ограниченное замкнутое множество конечномерного пространства.

Определение 3.1. Оператор А с непрерывной по совокупности переменных кеО), неотрицательной в области определения функцией будем называть неразложимым оператором в смысле определения 3.1, если для каждого разбиения множества О на два непересекающихся непустых множества

а = и рпс = 0

найдется хотя бы одна точка -Рхб такая, что для всякого <>0

к(ЛЛа)>0.

Это понятие является прямым обобщением понятия неразложимости линейного интегрального оператора, и в случаях, когда функция.

линейна относительно, и, это понятие переходит в определение неразложимости линейного интегрального оператора.

Определение 3.2. Пусть Щ1.^,и)>0 в области своего определения. Нелинейный интегральный оператор (2), определенный в некотором функциональном пространстве, будем называть неразложимым оператором в смысле определения 3.2, если для любого разбиения сегмента [а, Ь]:

[а, 6] = ^ и (Г, (1^=0, те$Рг > 0) можно указать такую точку ^ е^ и такое множество й с , тезС > 0, что для каждого а >О

0 (теС).

Получены результаты, которые сформулированы в виде теорем и сопровождаются доказательствами, являющиеся непосредственным развитием известных результатов В.Я. Стеценко на класс нелинейных неразложимых интегральных операторов.

Теорема 3.1: Пусть интегральный оператор (2) неразложим в смысле определения 3.1, тогда для всякой непрерывной на множестве О неотрицательной и не равной тождественно нулю функции $?(/) из неравенства

а

где некоторое число,следует, что

Аналогичная теорема имеет место для интегрального оператора (2), неразложимого в смысле определения 3.2.

Определение 3.3. Интегральный оператор (2), действующий в пространстве непрерывных функций или ограниченных измеримых функций с конусом К неотрицательных функций, будем называть вогнутым оператором, если для каждого х, являющегося внутренним элементом конуса, справедливо неравенство

А(1х)>1Ах (0<*<1).

Определение 3.4. Вогнутый оператор, являющийся одновременно неразложимым оператором (в смысле определений 3.1 или 3.2), будем называть неразложимым вогнутым интегральным оператором.

Показано, что существуют неразложимые вогнутые интегральные операторы, действующие либо в пространстве либо в пространстве , не являющиеся вогнутыми в смысле определения М.А. Красносельского.

Однако для неразложимых вогнутых интегральных операторов имеют место основные факты теории вогнутых операторов. Это следует из результатов §4 после соответствующего обобщения понятия неразложимости вогнутого оператора.

Определение 4.1. Положительный оператор А, определенный в Е или, по крайней мере, на К и действующий в Е, будем называть неразложимым оператором, если из неравенств

х > аАх, х> 0, а > О

следует, что х - внутренний элемент конуса К.

Определение 4.2. Положительный оператор А, определенный в Е или, по крайней мере, на К и действующий в Е, будем называть вогнутым, если для Уд:> О

А((х)>(Ах (0</<1). (3)

Вогнутый оператор, являющийся одновременно неразложимым оператором, будем называть неразложимым вогнутым оператором.

Отметим, что рассмотренные в §3 неразложимые вогнутые интегральные операторы являются частным случаем неразложимых вогнутых операторов.

Вогнутый оператор А называется сильно вогнутым, если условие (3) заменено более жестким ограничением: для каждого /0 е (0,1)

А{10х)~г:{\ + Т])10Ах.

В §4 показано, что неразложимые сильно вогнутые операторы обладают основными свойствами -вогнутых операторов.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 4.1. Пусть оператор А неразложим, вогнут и монотонен. Пусть ненулевые положительные решения уравнения

Ах = Ях, (4)

соответствующие различным значениям Л1 и Л2 параметра Л :

Ах, = Л, X/ (/' = 1,2). Тогда из неравенства следует

Теорема 4.3. Если оператор А неразложим в смысле определения 4.1, монотонен и сильно вогнут, то уравнение (4) ни при каком значении параметра не имеет двух различных ненулевых решений в конусе К пространства Е.

Для уравнений с неразложимыми вогнутыми операторами имеет место важный результат о сходимости метода последовательных приближений.

Теорема 4.4 {Основная теорема о сходимости последовательных приближений). Пусть оператор А неразложим, вогнут, монотонен и уравнение х = Ах имеет в К С.Е единственное ненулевое решение х*. Пусть выполняется одно из двух следующих условий:

а) К - правильный конус, операторАепрерывен;

б) конус К нормален, оператор А вполне непрерывен.

Тогда последовательные приближения хп = Ахп_\ (п = 1,2,...) сходятся по норме пространства при любом

Сходимость последовательных приближений будет также иметь место и в том случае, если в теореме 4.4 заменить предположение о полной непрерывности оператора А условием сильной вогнутости этого оператора.

Далее рассматривается вопрос о существовании континуума собственных векторов. Следуя М.А. Красносельскому, будем говорить, что положительные собственные векторы оператора А образуют непрерывную ветвь длины г, если множество М всех собственных векторов, лежащих в К, имеет непустое пересечение с границей Г каждого открытого множества, содержащего элемент в, и содержащегося вместе со своим замыканием в шаре [х]<г . Если у оператора А есть собственные векторы, принадлежащие К на границе Г "любой ограниченной области, содержащей 0, то говорят, что эти собственные векторы образуют непрерывную ветвь бесконечной длины.

Теорема 4.6. Пусть оператор А вполне непрерывен, монотонен, неразложим и вогнут. Пусть оператор А переводит внутреннюю часть телесного конуса К в себя. Тогда:

1) оператор А имеет континуум собственных векторов, и эти собственные векторы образуют непрерывную ветвь бесконечной длины;

2) позитивный спектр оператора К образует интервал Л = {Лх, Хд ) Если дополнительно известно, что оператор А является сильно вогнутым, то абстрактная функция х = х(л) однозначная, непрерывная в каждой точке интервала (Л^уАр) убывает при возрастании Л . При этом jim |х(я| = 0, Дгп |*(Л| = оо.

В теории линейных положительных операторных уравнений важную роль играют результаты, позволяющие оценивать спектральный радиус линейного положительного оператора. Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса К посвящена достаточно обширная литература. Речь идет о том, что из неравенства вида

Аи0 2аи0, [u0 g (- £)], где и0 - фиксированный элемент из Е, вытекает оценка снизу

р{А)>а

для спектрального радиуса линейного положительного оператора

А, а из неравенства вида

Аи0</3и0 (5)

(при некоторых дополнительных предположениях-относительно элемента и0 > в и конуса Кили оператора^) вытекает оценка сверху для р(А) вида

р{л)<Р. (6)

Для этого достаточно, например, чтобы конус К был телесным и нормальным и чтобы «о был внутренним элементом конуса К Заметим, что без соответствующих дополнительных предположений утверждать о наличии оценки сверху типа (6), очевидно, нельзя. В отличие от оценки р{л) сверху, оценка р(А) снизу верна при единственном предположении о том, что -u0 g К .

Поставим вопрос существенно шире: что можно сказать в том случае, когда вместо условия (5) нам известно условие вида

Au0<Bu0, (7)

где В - некоторый линейный оператор, действующий в пространстве Е7 По аналогии с упомянутой оценкой вида (6) естественно спросить: не следует ли из условия (7) оценка вида

р{а)<р{в)1

При положительном ответе на этот вопрос получаем возможность иметь, как следствия, ранее установленные результаты об оценке сверху спектральных радиусов линейных положительных операторов по информа-

ции о поведении операторов А и В на фиксированном элементе конуса К. Исследованию таких вопросов посвящена вторая глава. В частности, получены следующие результаты.

Теорема 5.1. Пусть конус К - телесен и нормален, и0 - внутренний элемент конуса К. А и В - линейные положительные операторы, действующие в Е, причем они коммутируют, т.е.

ВА = АВ.

Пусть хотя бы на одном фиксированном элементе и0 конуса К выполняется неравенство

Ащ < Вип.

тогда для спектральных радиусов операторов спра-

ведпиво следующее неравенство:

р{А)<р{в)

В теории Крейна М.Г. и Красносельского М.А. важное место занимают теоремы о существовании общих собственных векторов у коммутирующей совокупности линейных операторов. В теореме 5.2 приведен достаточно общий результат, полученный в этом направлении.

Теорема 5.2. Пусть А и В - линейные положительные операторы, действующие в пространстве Е, причем они коммутируют, т.е. АВ = ВА. Пусть оператор А неразложим, тогда операторы А и В имеют общий собственный вектор.

Важным моментом в теореме 5.2 является то, что телесность конуса не предполагается. В более ранних результатах Стеценко В.Я. условие телесности конуса являлось существенным предположением.

Известным является результат: при некоторых дополнительных предположениях, например конус ^является нормальным и воспроизводящим, для двух положительных операторов А и В из неравенства А<В (т.е. Чх&К: Ах^Вх) следует, что р(А) й р(В). Однако интересным является вопрос о справедливости последнего результата, в случае когда неравенство А < В выполняется не для всех элементов конуса К.

В §5 особое внимание уделяется вопросу о сравнении спектральных радиусов двух коммутирующих операторов А и В по минимальной информации об операторах, в частности о поведении этих операторов на некотором фиксированном элементе конуса.

Теорема 5.5. Пусть А и В - линейные положительные операторы, действующие в пространстве Е, причем они коммутируют, т.е. АВ = ВА, и пусть оператор А - неразложим и хотя бы на одном фиксированном элементе конуса выполнено неравенство

Аи0 £Ви0,(Аи0 *Ви0).

Пусть выполнено одно из условий:

1) А вполне непрерывен, ио -' квазивнутренний элемент К;

2) конус К телесный и нормальный, и0 - внутренний элемент К;

3) оператор А uQ -ограничен сверху, конус К воспроизводящий и нормальный;

4) оператор А хй -ограничен сверху, конус К воспроизводящий и нормальный, «о - квазивнутренний элемент К;

5) оператор А допускает представление

А=В+С,

где В - вполне непрерывен, [С| < у, конус К воспроизводящий и нормальный, и0 - квазивнутренний элемент К; существует такой элемент z0 (~г0 йК),что Az0 >р:0.

Тогда справедливо строгое неравенство р(А) < р{&) • В §6 предлагается развитие результатов Костенко Т.А. по оценке спектрального радиуса p(Á) линейного положительного оператора А, исходя из сравнения значения линейной комбинации степеней некоторого оператора В на фиксированном ненулевом элементе м0 конуса К со значением некоторой степени этого оператора А на элементе и0 . Доказаны, например, следующие результаты.

Теорема 6.2. Пусть К воспроизводящий и нормальный конус, А и В линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. АВ = ВА. Пусть А - неразложим и для некоторого и0 > 0 выполняется неравенство

Ати0 <а0и0 + alBu0 +... + akBku0,

где . Тогда

1р(А) < tfa0+alP{B)+... + akpk(B). р(в) верна о ц тогда

Теорема 6.8. Пусть К телесный и нормальный конус, операторы А и В коммутируют, А - неразложимый оператор и для некоторого внутреннего элемента w0 > 0 конуса К при Д > О выполняется неравенство

то для каждого ненулевого

и при всех справедливо

Получены утверждения (в виде следствий и замечаний), позволяющие улучшать оценку спектрального радиуса линейного оператора Л.

В §7 приведены. оценки позитивного спектра неразложимого положительного оператора. Полученные оценки являются развитием результатов М.Г. Крейна, МА Красносельского, В.Я. Стеценко, А.Р. Есаяна, Т. Сабирова, Костенко Т.А. Сформулируем некоторые из доказываемых в этом параграфе утверждений.

В частности, доказана теорема, являющаяся развитием теоремы А.Р. Есаяна: пусть оператор А /ограничен снизу, причем р0 и Я0 таковы, что А^/^Лц/. Тогда для любого х > 0 при 0 < X < выполняется соотношение Ах&Ях, а га Ах<Ч§Я^х (х > 0) следует, чюх = с/, АРа/ = Я^/ (с - сот!).

Теорема 7.4. Пусть положительный оператор А такой, что некоторая его степень Ар - неразложимый оператор, причем

Ар

для некоторого элемента

Ах £ Ях,

а из неравенства _

Ах < х (х>в)

следует, что

Теорема 7.4 доказана в иных предположениях по сравнению с известной теоремой А.Р. Есаяна, а именно: вместо предположения и0-ограниченности снизу оператора А предполагается, что некоторая степень оператора А является неразложимым оператором. Различны также и утверждения этих двух теорем: в теореме А.Р. Есаяна из неравенства

лишь в том случае, когда оператор А является / -ограниченным снизу. В теореме 7.4 соответствующее утверждение вытекает, каким бы ни был элемент

Результаты восьмого параграфа позволяют оценивать собственные значения линейных операторов В, имеющих отрицательную миноранту (- А) И положительную неразложимую мажоранту А на основе информации о поведении оператора А на одном фиксированном элементе телесного конуса К. Другими словами, предполагается, что оператор В удовлетворяет неравенствам

-А<В< А, (8)

где А - линейный положительный оператор. Соотношение (8) означают, что Ухе К имеют место неравенства

-Ах ¿Вх£Ах.

Теорема 8.1. Пусть операторы А и В удовлетворяют условию (8), причем А и А1 - неразложимые операторы. Пусть для некоторого w > О выполняется неравенство

Aw < vv (Aw Ф w),

где

Тогда модуль любого собственного значения оператора В не превосходит 1. Если Я является вещественным собственным значением оператора которому соответствует собственный вектор

Теорема 8.1 является развитием известных результатов М.Г. Крейна, М.А. Красносельского, В.Я. Стеценко и А.Р. Есаяна.

Третья глава диссертации посвящена нахождению приближенных решений операторных уравнений второго рода (1), а именно:

в случае когда спектральный радиус линейного оператора больше единицы.

Здесь х - неизвестный элемент банахова пространства Е, А- линейный оператор, действующий в пространстве E,f- заданный элемент пространства Е.

Известно, что при решении операторных уравнений второго рода (1) обычный метод последовательных приближений

сходится при некоторых весьма существенных дополнительных условиях (в частности, для этого достаточно, чтобы спектральный радиус р(А) оператора А удовлетворял условиюДЛ) < 1). В этом случае метод (9) сходится к единственному решению уравнения (1) со скоростью геометрической профессии

где С —const, <7<а. Величина q может быть сколь угодно близкой к (при стремлении постоянная С, вообще говоря, неограниченно

возрастает). Если р(А) > 1 метод (9), в общем случае, не является сходящимся.

Ввиду удобства метода (9) последовательных приближений для решения уравнения (1) возникает естественное желание использовать его аналоги в случае, когда в уравнении (1) р(А) > 1. Т.е. преобразовать это уравнение так, чтобы, с одной стороны, получить эквивалентное (1) уравнение

y = By + g, (10)

а с другой стороны, чтобы для оператора В выполнялось неравенство

р(А)<1, (И)

которое позволило бы для решения уравнения (10) использовать метод последовательных приближений.

Заметим, что при выполнении условия (11) метод последовательных приближений обладает рядом важных достоинств, в частности, в этом случае при использовании метода последовательных приближений с погрешностями округлений на каждом шаге ошибки округления не накапливаются. Это означает, что если на каждом шаге в методе последовательных приближений соответствующее уравнение решать с точностью е > О, то независимо от числа шагов можно гарантировать близость приближенного решения к точному решению порядка

х'-фс,

1

1 -р{А)

где - константа, зависящая от

§9 посвящен описанию метода преобразований уравнения (1) таким образом, чтобы уменьшить спектральный радиус входящего в уравнение оператора. Заметим, что соответствующие преобразования не лишены смысла и в том случае, когда р(А) < 1, т.к. это дает возможность перейти от одного уравнения к другому эквивалентному с меньшим значением спектрального радиуса, что позволяет увеличить скорость сходимости итерационного метода решения исходного уравнения.

В начале параграфа рассматривается метод решения операторного уравнения (1) в случае, когда у оператора А только одно собственное значение, по модулю большее единицы. Предполагается, что А - вполне непрерывный оператор. Будем считать X]* и /]*: Ах{ = р(А)х' и Л*/|* = р[А)1\ • Предложенный метод был описан в работе Стеценко В.Я. и Костенко Т.А.1 и заключается в следующем:

1) нормируем векторы ЛГ|* и 1[ условием /,* (дГ|*) = 1.

2) по оператору А строим оператор В согласно формуле

Вх = Ах-\11(х)х1,

где При этом явный вид оператора В может быть найден по виду

оператора А и виду векторов . Спектр оператора В расположен внутри

круга радиуса 1 с центром в начале координат. Это, в частности, позволяет решать уравнение (10) методом последовательных приближений

1 Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2002. - т.42, №6.-С.780-783.

при любом начальном приближении уй>0. Связь между решениями уравнения (1) и уравнения (10) выражается формулой

где - решение уравнения - вектор, коллине-

арный собственному вектору оператора А.

Это означает, что для решения уравнения (1) с правой частью /и с оператором А нужно решить уравнение х = Вх + / , в результате найдем

вектор и к полученному вектору прибавить - собственный

вектор оператора А, а с - некоторый скалярный множитель.

Для нахождения множителя с подставим выражение (12) в уравнение х = Ах+f . В результате получим одно линейное уравнение с одним скалярным неизвестным. Это позволяет определить значение с, после чего остается подставить найденное значение в (12), чтобы получитьрешение ха уравнения (1).

Здесь известный результат дополнен тем, что выведена явная формула для нахождения скалярного множителя с: с = ^^ и произведена оценка близости полученного приближенного решения уравнения (1) ХА к точному решению хА : -хА\<ух+\с\-уу+ ||уя ||-1 с - с | (черта сверху означает приближенное значение соответствующего элемента),

где Ух, Уу: ||*в -хв\йуж, || ув -ув \\йГу.

В работе предложено развитие изложенного метода на случай приближенного решения уравнения (1) с линейным оператором, у которого хотя бы одно собственное значение по модулю меньше единицы. Пусть теперь выполняются неравенства

р(л) = |л1|>|я2|>...>|я,|>1>к+1|>...

Будем считать, что собственные значения Л, (/ = 1,2,...) оператора А и отвечающие им собственные вектора оператора А и собственные функционалы /,* сопряженного оператора А* известны с достаточной степенью точности. Нормируем х* и I' условием /*[х*)=1 (/ = 1,2,...).

Рассмотрен случай, когда у оператора только два собственных значения по модулю больших, либо равны единице (к = 2), произвольный случай рассматривается аналогично. Для уравнения (10) вводится в рассмотрение оператор

Вх = Ах - Д]/|*(х)д:|* - А^г > который обладает следующими свойствами:

1) х1 и х2 являются собственными векторами оператора В, отвечающими собственному значению, равному нулю.

2) Оператор В оставляет инвариантным подпространство £]:

¿^М'СуМ V 1'2{у) = о).

У) Лемма 9.1. Пусть В - вполне непрерывный оператор. Тогда спектр ст(,б) оператора В связан со спектром сг(а) оператора А формулой

Установлена связь между решениями (1) и (10)

ХА = Ув+с121+с2г2'

где - это решение уравнения (10) при £ = /,

=(/-2?)~,х]*-решение уравнения (10) £ = г2 = (1 - В)'1 хотение уравнения (10) при g - х 2, коэфф и втаи<е шт ы ((в случае, когда

Я2Г2(Л

X l*{f)

^ и Jç ¿1) находятся по формулам: Cj = ——-, С2 = -

1 — Л2

В общем случае значения ув, Cj, Zj, с2, z2, при вычислениях находятся приближенно, поэтому произведена оценка близости найденного приближенного решения уравнения хА к точному решению хА уравнения (1):

Если у оператора А нет отличных от нуля собственных значений, по модулю меньших единицы, то в результате предложенных преобразований мы придем к квазинильпотентному оператору с нулевым спектральным радиусом, для которого сходимость метода последовательных приближений будет сверхбыстрой.

Метод, предложенный в §9, применим для широкого класса операторов, но является довольно трудоемким, поэтому актуален вопрос об отыскании, пусть и для более узкого класса операторов, итерационных последовательностей, которые сходились бы к решению уравнения (1) и строились бы непосредственно по виду оператора А. Один из методов построения такой последовательности предлагается в §10. Здесь вводится новый класс операторов Ф(/?,1) , г »0, составленный из совокупности операторов А, спектр сг(л) которых локализован во м н о |i£eИ >cl, & д}, и для этого класса операторов доказана следующая теорема

Теорема 10.1.Пусть ЛеФС/7,1). Пусть X: 2(' =

\Х-\

Пусть коэффициент удовлетворяет условию:

Тогда итерационная последовательность

хп+1 = 0 - Го К + У О [Ахп + /)

при любом начальном приближении х0 сходится к решению х* уравнения

На защиту выносятся следующие основные положения:

1) обобщение класса линейных неразложимых операторов на линейные и0 -неразложимые;

2) развитие теории линейных неразложимых операторов на нелинейные операторы;

3) новые оценки спектрального радиуса линейного неразложимого оператора;

4) сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов;

5) развитие метода Стеценко В.Я., Костенко Т.А. решения операторных уравнений второго р с х = Ах + /, случае, когда спектральный радиус линейного оператора А больше единицы.

1. Семилетов В А и0 -неразложимые операторы//Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. - Воронеж: ВГУ, 2003. - С.225-226.

2. Семилетов В А. Новые оценки спектрального радиуса положительного оператора// Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Труды участников. - Ростов-на-Дону. 5-11.092002. - С.154-155.

3. Семилетов В.А О неразложимых матрицах и неразложимых интегральных операторах// Теоретические и прикладные проблемы современной физики. Материалы региональной научной конференции. - Ставрополь, 2002. - С.273-280.

4. Семилетов В.А Об одном итерационном методе решения операторных уравнений второго рода вида // Международная летняя школа молодых ученых «Итерационные методы и матричные вычис-

Основные результаты опубликованы в работах:

ления». Лекции приглашенных лекторов и тезисы докладов молодых ученых.- Ростов-на-Дону: РГУ, 2002. - С.488-492.

5. Семилетов В.А., Костенко ТА, Стеценко В.Я. О решении операторных уравнений второго рода вида х = Ах + / в случае, когда спектральный

радиус оператора А больше 1/ Ставропольский государственный университет, Ставрополь. - 2003. Деп. в ВИНИТИ. 04.08.2003 №1521-В2003. - 24с.

6. Стеценко В.Я., Семилетов В.А. Неразложимые нелинейные операторы// Вестник Ставропольского государственного университета. -Ставрополь, 2003. - №34. - С. 12-16.

7. Стеценко В.Я., Семилетов В .А Об одном методе преобразования линейных операторных уравнений уменьшающих значение спектрального радиуса// «XXI век - век образования». Материалы 46 научно методической конференции преподавателей и студентов. Проблемы физико-математических наук. - Ставрополь, 2001. - С.29-32'

8. Стеценко В.Я., Семилетов В.А. Сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов// Ученые записки физико-математического факультета Ставропольского государственного университета. - Ставрополь: СГУ, 2002. - С.90-96.

Изд. лицхерия ИД №05975 от 03.10.2001 Подписано в печать 09.01.2004

Формат 60x84 1/16 Усл.печ.л. 1,34 Уч.-изд.л. 0,91

Бумага офсетная Тираж 100 экз. Заказ 291

Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственного университета. 355009, Ставрополь, ул.Пушкина, 1.

* • - б 9 9

РНБ Русский фонд

2004-4 24386

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Неразложимые операторы.

§ 1. Неразложимые матрицы и неразложимые интегральные операторы.

§2. и0-неразложимые операторы.

§3. Неразложимые нелинейные интегральные операторы.

§4. Неразложимые абстрактные нелинейные операторы.

• ГЛАВА II. Новые оценки спектрального радиуса линейного неразложимого оператора.

§5. Сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов.

§6. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора.

§7. Оценка позитивного спектра неразложимого положительного опера

• тора.

§8. Оценка собственных значений оператора, не являющегося положительным.

ГЛАВА III. Приближенное решение операторных уравнений второго рода.

§9. О решении операторных уравнений второго рода вида х = Ах+/ в случае, когда спектральный радиус оператора а больше 1.

• §10. Об одном итерационном методе решения операторного уравнения видах = Лх+/.

Значительное число задач анализа, алгебры, теории интегральных уравнений можно представить с единых позиций с помощью линейного или нелинейного операторного уравнения вида х = А(х) + / (0.1) с оператором л(х), действующим в том или ином банаховом пространстве Е. При этом для таких уравнений возникают весьма специфические задачи. Одной из них является довольно распространенная задача о существовании у уравнения (0.1) решения х=х*, обладающего свойством неотрицательности: х>в. Такого рода задачи, вообще говоря, присущи задачам экономики, для которых экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения. Поэтому при рассмотрении подобных задач предполагается наличие в пространстве дополнительной структуры - конуса AT, с помощью которого в пространстве Е вводится полуупорядоченность: для некоторых пар векторов х,уеЕ определено отношение х>у, если являющееся аналогом обычного скалярного неравенства: х>у. От свойств конуса в пространстве Е и от вида оператора А, действующего в этом пространстве, зависит существование решения х* у уравнения (0.1), а также способы, с помощью которых можно построить приближения к этому решению.

Основной интерес в работе приобретают уравнения с так называемыми неразложимыми операторами. Отметим, что неразложимые операторы впервые были введены в работах В.Я. Стеценко ([83], [77], [75], [71]) в плане развития и обобщения результатов М.А. Красносельского, посвященных уравнениям с и0 -положительными операторами [44]. Уравнения с и0-положительными операторами обладают рядом важных свойств, в частности, для них было установлено существование и единственность положительного решения, сходимость метода последовательных приближений к этому решению и т.д. Впоследствии в работах В.Я. Стеценко было замечено, что многие свойства и0 -положительных операторов имеют место и для существенно более широкого класса операторов, получивших название неразложимых. Поводом для выделения неразложимых операторов также послужила теория неразложимых матриц, построенная в работах Фробениуса, которую развил М.А. Красносельского на случай абстрактных уравнений.

После построения теории неразложимых операторов, естественным представляется следующий шаг — попытка распространения основных свойств неразложимых операторов на более широкий класс операторов, который в данной диссертации получил название и0 -неразложимых операторов. Класс и0 -неразложимых операторов содержит, в качестве правильной части, неразложимые операторы и обладает основными свойствами таких операторов.

Исходя из ранних работ П.С. Урысона [89] по нелинейным интегральным операторам и теории линейных щ -положительных операторов, М.А.

Красносельский и его ученики (JI.A. Ладыженский, И.А. Бахтин и другие) построили содержательную теорию для некоторых классов нелинейных положительных операторов, действующих в полуупорядоченном банаховом пространстве. Особенно глубоко была развита теория и0 -вогнутых операторов ([2], [44], [45]). Вместе с тем существуют достаточно широкие классы операторов, которые не относятся к классу нелинейных и0 -вогнутых операторов, но которые тем не менее обладают основными свойствами этих операторов.

В осмыслении и решении ряда задач общей теории систем, теории управления, механики, прикладной математики и т. д. важную роль играет монотонность соответствий между данными и результатами, позитивность и монотонность линейных и нелинейных отображений. Математические модели подобных объектов во многих ситуациях приводят к уравнениям с операторами в пространствах, полуупорядоченных некоторым конусом. Это, в частности, объясняет широкое применение теории операторов и конусов.

Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операторов, являются, во-первых, вопросы качественного характера и, во-вторых, вопросы, касающиеся приближенных методов решения операторных уравнений. В настоящей работе исследуется лишь некоторая их часть. Например, такие вопросы, как: обобщение известного понятия неразложимости на более широкий класс операторов (м0-неразложимые, неразложимые нелинейные операторы), оценки позитивного спектра линейного неразложимого оператора, сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов, построение приближений к решению операторного уравнения (0.1) в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы, и др.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы. Для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы в нем. В диссертации для целостности изложения приведен ряд известных результатов, которые сопровождаются ссылками.

1. Бахвалов Н., Жидков Н, Кобельков Г. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний. - 2000 - 624с.

2. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис. д-ра физ.-мат. наук. Ленинград, 1967. 320с.

3. Бахтин И.А., Есаян А.Р. Об оценке точечного спектра// Доклады АН Тадж. ССР.- 1965 -т.8. №5.

4. Бахтин И.А., Красносельский М.А. К теории уравнений с вогнутыми операторами// Доклады АН СССР. 1958. - т.123. №1.

5. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами// Сиб. мат. журн. — 1961. — т.2. №3.

6. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности линейных положительных операторов// Сиб. мат. журн. 1962. - Т.З. №1. -С. 157-160.

7. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. -М.: Мир, 1968.-270с.

8. Боголюбов Н.Н., Крейн С.Г. О позитивных вполне непрерывных операторах// Труды института математики АН СССР. — 1948 — Т.9, №1 -С.3-95.

9. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000. - 266с.Ю.Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. - 399с.

10. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967 — 415с.

11. Вулих Б.З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах: Учебное пособие. Калинин: Издательство калининского университета, 1978. - 84с.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М: Наука, 1966. - 576с.Н.Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М: Гостехиздат, М. 1950.

13. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: И.Л., 1962.-895с.

14. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. — М.: И.Л., 1966.- 1064с.

15. Денисенко Т.И., Стеценко В.Я. Элементы математической экономики. -Ставрополь, СГУ, 2000. 170с.

16. Дудкин Л.М., Ершов Э.Б. Межотраслевой баланс и материальные балансы отдельных продуктов// Плановое хозяйство. 1965. - №5. - С. 59-63.

17. Есаян А.Р. Применение теории конусов к оценке спектра неположительных операторов: Дис. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1964.- 104с.

18. Есаян А.Р., Мухтаров С.Н., Стеценко В.Я. О положительных решениях уравнений второго рода с подлинейным оператором// Доклады АН Тадж. ССР.-1965.- т.8, №1.

19. Есаян А.Р., Сабиров Т. О несовместности некоторых соотношений полуупорядоченности// Доклады АН Тадж. ССР. 1963. - Т.6, №4. - С.8-12.

20. Есаян А.Р., Сабиров Т. Об ограниченных сверху и ограниченных снизу линейных положительных операторах// Труды семинара по функциональному анализу. Воронеж, 1963. - Вып.7.

21. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц// Доклады АН СССР. 1964. - т. 157, №2.

22. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 742с.

23. Канторович Л.В., Вулих Б.З. Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684с.

24. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949, -708с.

25. Колатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.-447с.

26. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. М.: Наука, 1968. - 503с.

27. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. - 543с.

28. Костенко Т.А. Несовместные неравенства/ Ставропольский государственный университет, Ставрополь, 1998. 19с. -Деп. в ВИНИТИ 23.01.98 №166-В98.

29. Костенко Т.А. О разрешимости операторных уравнений второго рода с линейными и нелинейными операторами// «Университетская наука -региону». Материалы XLIII научно-методической конференции. -Ставрополь: СГУ, 1998. С.111-122.

30. Костенко Т.А. Об одном новом способе оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора АН «Университетская наука -региону». Материалы XLII научно-методической конференции. — Ставрополь: СГУ, 1997. -С.52-54.

31. Костенко Т.А. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора// Понтрягинские чтения -IX. Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ, 1998.-С. 107.

32. Костенко Т.А. Стеценко В.Я. Априорные оценки решения операторного уравнения второго рода по известной невязке// «Университетская наука -региону». Материалы XLIII научно-методической конференции — Ставрополь: СГУ, 1998. С. 111-134.

33. Костенко Т.А., Стеценко В.Я. Новые оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора// Понтрягинские чтения -VIII. Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ, 1997. - С.78.

34. Костенко Т.А., Стеценко В.Я. Об одном новом способе оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора А / Ставропольский государственный университет, Ставрополь — 1997. — 24с. — Деп. в ВИНИТИ 21.03.97 №854-В97.

35. Костенко Т.А., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений второго рода// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. - т.42, №6. - С.780-783.

36. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. -М.: Физматгиз, 1962. 394с.

37. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейныхинтегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.-372с.

38. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.-456 с.

39. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975. 511с.

40. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные нелинейные системы: Метод положительных операторов. — М.: Наука, 1985.-256 с.

41. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. Замечания о методе Зейделя// Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1969. — т.9, № 1. — С.177-182.

42. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха// УМН. 1948. - №3. Вып.1. -С.3-95.

43. Куркалова Л.А. Неразложимые модели Неймана и Леонтьева: Дис. канд. физ.-мат. наук. Душанбе, 1990. - 131с.

44. Лифшиц Е.А. К теории полуупорядоченных банаховых пространств// Функциональный анализ и его приложения. 1969. - Т.З, №1. — С.91-92.

45. Лифшиц Е.А. Об использовании спектрального радиуса// Динамика неоднородных систем. Материалы семинара. М.: Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований, 1983. - С.252-254.

46. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.-520с.

47. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 232с.

48. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. — 179с.

49. Мухтаров С.Н., Стеценко В.Я. О некоторых свойствах уравнений с неразложимыми линейными операторами// Доклады АН Тадж. ССР. — 1965. — т.8, №2.

50. Мухтаров С.Н., Стеценко В.Я. О несовместности некоторых соотношений полуупорядоченности// Доклады АН Тадж. ССР. 1963. - Т.6, №4. - С.8-12.

51. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. — М.: Мир, 1972.-518с.

52. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применение. -М.: И.Л., 1960. 170с.

53. Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова. — М.: Гостехиздат, 1948.

54. Семилетов В.А. и0-неразложимые операторы// Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. -Воронеж: ВГУ, 2003. С.225-226.

55. Семилетов В.А. Новые оценки спектрального радиуса положительного оператора// Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Труды участников. Ростов-на-Дону. 5-11.09.2002.С.154-155.

56. Семилетов В.А. О некоторых методах решения уравнения второго рода вида x = Ax+f с оператором А, у которого собственные значения по модулю больше, чем 1// Вестник Ставропольского института им. Чурсина.- 2002. вып. 1. - С. 144-151.

57. Семилетов В.А. О неразложимых матрицах и неразложимых интегральных операторах// Теоретические и прикладные проблемы современной физики. Материалы региональной научной конференции. Ставрополь, 2002. -С.273-280.

58. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дис. д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. -307с.

59. Стеценко В.Я. О щ положительности линейного оператора// Доклады АН Тадж. ССР. -т.5, №4. - 1962.

60. Стеценко В.Я. О банаховых пространствах с двумя конусами: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Ленинград, 1962. - 109с.

61. Стеценко В.Я. О свойстве избирательной монотонности решения модели Леонтьева-Форда// Известия АН Тадж. ССР, №3. 1990. - С.3-8.

62. Стеценко В.Я. О спектральных свойствах неразложимых операторов// Доклады АН СССР, 1968. Т. 178, №3. - С.552 -554.

63. Стеценко В.Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов// Доклады АН СССР. 1968. - Т. 178, №3. - С. 1021-1024.

64. Стеценко В.Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора// УМН. 1967. - Т.22, Вып.3(135). - С.242-244.

65. Стеценко В.Я. Об одном способе оценки спектра линейного оператора// УМН. 1964. - Т. 19, Вып.2, С. 199-200.

66. Стеценко В.Я. Об оценке спектра некоторых классов линейных операторов// Доклады АН СССР. 1964. -Т.157, №5. - С.1054-1057.

67. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. — Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998. 168с.

68. Стеценко В.Я., Костенко Т.А. Квалифицированные двусторонние оценки для спектрального радиуса линейного положительного оператора/ Ставропольский государственный университет, Ставрополь. 1997. — 13с. -Деп. в ВИНИТИ 14.11.97 №3321 -В97.

69. Стеценко В.Я., Мухтаров С.Н. Несовместные неравенства для неразложимых операторов// Доклады АН. Тадж. ССР. 1965. - т.8, №4.

70. Стеценко В.Я., Семилетов В.А. Неразложимые нелинейные операторы// Вестник Ставропольского государственного университета. Ставрополь, 2003. -№34. - С. 12-16

71. Стеценко В.Я., Семилетов В.А. Сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов// Ученые записки физико-математическогофакультета Ставропольского государственного университета. — Ставрополь: СГУ, 2002. С.90-96.

72. Стеценко В.Я., Срожиддинов Х.М., Есаян А.Р. Сравнение спектральных радиусов двух операторов// Доклады АН Тадж. ССР. 1976. - т. XIX, №11. -С.10-13.

73. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.-564с.

74. Урысон П.С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений// Труды по топологии и другим областям математики. — M.-JL: Гостехиздат, 1951.т.1. — С.45-77.

75. Фадцеев Д.К., Фадцеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- М.: Физматгиз, 1960. 656с.

76. Хатсон В.К., Пим Дж.С. Приложения функционального анализа и теории операторов. -М: Мир, 1983.-431с.