Исследование систем линейных и нелинейных интегральных и векторных уравнений (неравенств), связанных с моделью Леонтьева-Форда тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Сергеева Татьяна Сергеевна г Г Б О Л

~3 ш ш

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ (НЕРАВЕНСТВ), СВЯЗАННЫХ С МОДЕЛЬЮ ЛЕОНТЬЕВА-ФОРДА

Специальность 01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону, 2000

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Стецснко В.Я.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Грудский С.М., кандидат физико-математических наук, доцент Деундяк В.М.

Ведущая организация:

Воронежский государственный университет

Защита состоится ъСмгрелД 2000 года в /б часов на заседании диссертационного совета К 063.52.13 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу:

344090, Ростов-на-Дону, ул. Р.Зорге, 5. механико-математический факультет РГУ, ауд. 239

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г.Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148

Автореферат разослан <Л У » А+йр/ЪО- 2000 года.

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.52.13, канд. физико-математических наук, доцент

В.Д. Кряквин

О з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В приложениях теории операторов важную роль играет модель Леонтьева межотраслевого баланса. Пользуясь операторными обозначениями, эту модель можно записать в виде операторного уравнения

х=Ах+/, (1)

где А - неотрицательная их и матрица, хе __/?" - неизвестный элемент (валовый выпуск полезного продукта),/е_Л" - заданный элемент (вектор чистого выпуска полезного продукта). При этом экономический смысл имеют лишь такие решения модели (1) хе. И.", которые являются векторами с неотрицательными координатами при заданном неотрицательном векторе / Собственно теория модели Леонтьева в качестве важного составляющего элемента содержит условия, при выполнении которых модель (1) имеет и притом единственное неотрицательное решение. Понять, что в этой связи важную роль, играют методы, позволяющие найти это решение, либо получить сколь угодно точное приближение к искомому решению модели.

Модели Леонтьева посвящена обширная литература. Ясно, что модель Леонтьева укладывается в схему проблемы существования неотрицательного решения у операторного уравнения (1) с неотрицательным оператором Л и неотрицательным элементом/е_Е.

Теория Леонтьева получила дальнейшее развитие и обобщение, из которого мы в первую очередь упомянем о модели Леонтьева-Форда межотраслевого баланса, учитывающую экологический фактор, т.е. охватывающую проблему сохранения чистоты окружающей среды. Соответствующая модель, предложенная в работе Леонтьева и Форда, имела вид

X = А..Х + Ь. 1 А А 0

Здесьхе_/?" - валовый выпуск вектора полезного продуктах, - вектор вредных отходов, образующих в процессе производства векторах и подлежащих уничтожению. Система уравнений (2) - это система балансовых уравнений. Первое уравнение этой системы означает, что часть производимого вектора полезного продукта х затрачивается в самом производстве этого полезного продукта (соответствующие затраты равны вектору А^), А:гх- это вектор вредных отходов, выделяемых в окружающую

среду при производстве полезного продукта в объеме вектора х, Ь2 - остаточный уровень вредных отходов в окружающей среде после удаления из нее вектора у.

. Понятно, что при указанной постановке экономический смысл представляют лишь неотрицательные решения хе_К",уе_Ят при заданных неотрицательных векторах ¿>;е_Л", Ь2<г_Ят. Именно такая задача была поставлена в работе Леонтьева-Форда.

Однако более подробный анализ описанной ситуации подсказывает целесообразность рассмотрения следующей, более общей модели, состоящей из системы: одного уравнения и одного неравенства следующего вида

при этом для каждой из систем уравнений - неравенств рассматривается вопрос о существовании неотрицательного решения (х,у) соответствующей модели. Здесь Г/х.у), Р2(х,у) - соответствующие операторы затрат,*, у имеют тот же смысл, что и у модели Леонтьева-Форда, Ьг Ь2 - заданные неотрицательные векторы.

Понятно, что переход от системы уравнений (2) к системе уравнений-неравенств (3) (соответственно к системе (4)) приводит к неединственности существования решения (х,у) этой системы. Следуя очевидным экономическим соображениям, для модели (3) (соответственно (4)) мы вводим следующее определение решения этой модели.

Решением модели (3) (соответственно (4)) мы назовем всякий век-тор.х'е_/?", у'е х*>0, _у*>8, который определяется по формулам

где (х,у)е_П, здесь П - множество всех неотрицательных векторов, улов-

или более общей, по сравнению с ней, нелинейной модели

(х,у)Чп/{х,у}, (5)

летворяющих системе уравнений-неравенств (3) (соответственно системе неравенств (4)), а операция ш/берется по конусу неотрицательных векторов в конечномерном пространстве

Соответствующее развитие модели Леонтьева-Форда назовем обобщенной моделью Леонтьева-Форда, а таким образом определенное решение назовем обобщенным решением этой модели Леонтьева-Форда. Понятно, что постановка этой задачи представляет интерес, т.к. она напрямую связана с конкретной экономико-математической моделью, учитывающей экологическое состояние среды. С другой стороны, эта постановка фактически является новым вариантом одной из задач теории операторных уравнений. При этом в этой задаче возникают следующие вопросы: 1) когда модель (3) (соответственно (4)) при условии, что решение модели определяется в соответствии с формулой (5), имеет и притом единственное неотрицательное решение; 2) каковы общие свойства этой модели и ее решения; 3) какие алгоритмы можно предложить для фактического (приближенного) отыскания решения модели (3) (соответственно (4)); 4) какие оценки погрешности можно получить для этого приближенного решения; 5) представляет также интерес построения бесконечномерных аналогов приведенной модели. Эти аналоги имеют вид систем линейных и нелинейных интегральных и операторных уравнений-неравенств в соответствующем банаховом пространстве.

Таким образом, в работе обсуждаются задачи, связанные с исследованием систем интегральных и операторных уравнений-неравенств.

Цель работы - доказательство теорем существования и единственности положительного обобщенного решения у системы интегральных и операторных уравнений-неравенств, отыскание эффективных методов решения таких систем, получение оценок решения, исследование бесконечномерных аналогов обобщенной модели Леонтьева-Форда.

Методические основы исследования. В работе наряду с использованием классических методов функционального анализа, предлагаются некоторые развития этих методов для операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах.

Научная новизна. Она определяется, во-первых, новизной постановки описанных задач теории линейных и нелинейных операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах. Во-вторых, наряду с теорией межотраслевого баланса, учитывающего экологический фактор, определенный интерес представляет задача межотраслевого баланса, предусматривающего переработку вредных отходов с целью выде-

ления из них полезных компонент, а также задача, касающаяся исследования систем нелинейных интегральных уравнений-неравенств, как бесконечномерный аналог описанной модели Леонтьева-Форда.

Теоретическая и практическая ценность. Заключается в постановке задач нового типа в теории операторных уравнений и неравенств, разработке методов их решения с указанием возможных конкретных приложений при исследовании задач межотраслевого баланса, учитывающих экологический фактор.

Достоверность исследований вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на весенних математических школах «Понтрягинские чтения - VIII» (г. Воронеж 1997), на научно-методических конференциях Ставропольского государственного университета (1997,1998), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, РГУ 1998), на III Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск 1999), на симпозиуме «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (г. Воронеж 2000) и неоднократно на семинаре кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета (руководитель - профессор В.Я. Стеценко).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ [1-7]. Часть результатов диссертации получена автором совместно с научным руководителем профессором В.Я. Стеценко. При этом в соответствующих результатах Стеценко В.Я. принадлежат постановка задач и общие рекомендации относительно метода их решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка цитированной литературы из 58 наименований и занимает 93 страницы машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

При описании основного содержания диссертации мы будем использовать терминологию функционального анализа, теории полуупорядоченных пространств и теории положительных решений операторных уравнений.

Гл. I диссертации посвящена вопросу существования решения обобщенной линейной модели Леонтьева-Форда, его единственности, а также изучению свойств этого решения. Вопросы о существовании и единственности решения обобщенной модели Леонтьева-Форда исследуются в §1. Приведем лишь некоторые из результатов этого параграфа, сохраняя такую же нумерацию, как и в диссертации.

Теорема 1.1. Если множество П планов непустое, то вектор. (х',у'), определенный согласно (5), является элементам множества П планов задачи, причем это «наименьший» из всех планов.

Несомненный интерес приобретают методы описания решения модели (4) (это тем более важно, что само решение (х*,у*) определяется с помощью операции (5), не заданной «аналитически»). Остановимся более подробно на свойствах решения.

§2 посвящен изучению свойств решений обобщенной модели. Приведем некоторые результаты, полученные на этом пути.

Теорема 1.2. Пусть операторы А (7,7=1,2) монотонны (возрастают по (х,у)), /7^0 и модель Леонтьева х=А1Гх+/- продуктивная (т. е. для каждого заданного неотрш^ательного вектора / (чистый выпуск) эта модель шмет единственное неотрицательное решение х (валовый выпуск)).

Тогда на решении (5) выполняются соотношения:

Несколько неожиданным представляется утверждение следующей теоремы.

Теорема 1.3. Пусть Е=Я\ Е=Кт, К=Я", , т.е. Кр К2 -

конусы векторов с неотрицательными координатами. Если для некото-

рого /=/ для решения (х',у') второе соотношение в (6) выполняется со

знаком строгого неравенства, то У,о = 0.

Естественно возникает вопрос о том, когда множество П планов модели (4) непустое. На этот вопрос отвечает следующая теорема §4.

Теорема 1.4. Пусть р( А) < 1 > р(А ) ~ спектральный радиус оператора

^А,, А,,

А =

уЛ-21 А22 ^

в пространстве Rn+m. Тогда для любых значений ¿>; и Ь2:

b>Q, b>Q

множество планов П непустое.

В ряде монографий и работ рассматривается вопрос о получении векторных оценок для решения обобщенной модели Леонтьева-Форда. В §7 диссертации предлагаются новые результаты, полученные на этом пути.

Теорема 1.9. Пусть для последовательных приближений Zk_p, Zk,

Zk+p, где kup — фиксированные натуральные числа (к>р), выполняется неравенство:

zk+p-zk <}(zk -zk_p),

причем 0<у<1. Тогда для решения Z уравнения

z=Az+b (7)

справедлива оценка

Теорема 1.10. Пусть для последовательных приближений Zk_p, 1k,

2к+р, где к и р - фиксированные натуральные числа (к>р), выполняется неравенство:

где Ре (0:1). Тогда для решения "г* уравнения (7) справедлива оценка

Полученные оценки достаточно точны и их эффективность иллюстрируется примерами.

Гл. II диссертации посвящена изучению нелинейной модели Леонтьева-Форда с вогнутой нелинейностью. Систему (4) можно рассматривать как нелинейный вариант обобщенной модели Леонтьева-Форда, описывающей нелинейный межотраслевой баланс и учитывающей экологическое состояние внешней среды. Естественно, что свойства модели (4) во многом определяются свойствами операторов Р[х,у) (¡=1,2). В работе предполагается, что эти операторы неразложимые и вогнутые (эти свойства имеют естественный экономический смысл).

При изучении нелинейной модели Леонтьева-Форда возникает ряд вопросов, среди них основными являются вопросы существования, единственности решения, а также указания алгоритма, с помощью которого можно найти решение этой модели. Приведем некоторые полученные результаты.

Теорема 2.2. Пусть Р1(х,у)=ГП(х)+Р1/у), Я/0 ,(х',у')еПг Тогда при выполнении, по крайней мере, одного из условий:

а) конус К1 правилен, оператор непрерывен;

б) конус К/ нормален, оператор вполне непрерывен;

в) конус К нормален и миниэдрален, оператор компактен модель

у* >Р2(х\у )-Ъ2]

однозначно разрешима, причем первое соотношение модели выполняется со знакам равенства:

х=Рп(х) + Г12(у') + Ь, 1 у >Р2(х\у )-Ъ2 у

Терема 2.3. Если решение (х',у*) обобщенной модели Леонтьева-

Форда

х = Г1(х,у) + ЬЛ у>Р2(х,у)-Ъ2}

не является решением системы нелинейных уравнений

х = ^(х,у) + Ь11 У = Р2(х,у)-Ъ2у то для всех координат ¡0, для которых нарушается равенство, т.е. Л >^0(х\у')-ь2.

выполняется условие: У¡о = 0.

На пути отыскания алгоритма решения нелинейной модели Леонтьева-Форда с вогнутой нелинейностью получены следующие результаты.

Терема 2.5. Пусть уравнение Аг = ) с вогнутым монотон-

ным операторам Ф/ имеет в конусе К единственное ненулевое решение . Пусть выполнено одно из условий:

а) конус К правилен, оператор Ф] непрерывен;

б) конус К нормален, оператор Ф1 вполне непрерывен.

Тогда последовательные приближения

^(Ы)=Ф,(Гк)) (к=0,1,...)

сходятся к 1*, каково бы ни было начальное приближение г(0) » в. Определение. Оператор ), удовлетворяющий условиям:

1) оператор Ф(1:) монотонен и неразложим;

2) для каждого ¡0е (0;1) можно указать такое число Г)=Г) (г ,1()>0, что

называется сильно вогнутым оператором.

Терема 2.8. Пусть Р^х.у), Р2(х,у) - монотонные, сильно вогнутые неразложимые операторы, для которых выполнено одно из условий а), б) теоремы 2.5., а также следующие условия:

1°. Существует элемент у такой, что

в « у < у* >

2 \Р2(х,у)-Ъ2>у.

Тогда модель Леонтьева-Форда (8) при заданных ¿(>9, Ь>8 имеет единственное положительное решение.

Следующая теорема представляет вполне конструктивный алгоритм для решения нелинейной модели Леонтьева-Форда в том случае, когда решение обобщенной модели Леонтьева-Форда сводится к решению системы нелинейных уравнений (8).

Терема 2.9. Пусть дана система (8) с положительными и монотонными похиу операторами Р/х.у) и Р2(х,у), причем множество планов П=П(Ъ1,Ь1) этой задачи содержит хотя бы один план (х'.у'). Пусть

существует такой элемент у :

в «у <у\

что

Р2(х' ,у)-Ь2>у.

Тогда последовательность

Хм=Ъ(хк,Ук) + ЬЛ к = 0,1,2,...

Ук+,=1Г2(хк>Ук)-Ь2] х0=х',у0=у'

сходится к решению системы (8), при этом

Ъ < <х < <х <х <х и!----------ij —V

у <...<yt <...<у2 <у, <у„ если выполнено одно из двух условий теоремы 2.5.

В гл. III диссертации рассматриваются бесконечномерные аналоги обобщенной додели Леонтьева-Форда, их свойства, а также вопросы существования и нахождения решений обобщенной модели. Система неравенств

1

x(t) > ¡К, [t,s,x(s),y(s)}ls + f,(t)

о

у О) > \К2 [/, x(s), y(s)}is - f2 (t)

(9)

является естественным развитием модели Леонтьева-Форда на случай нелинейных интегральных уравнений. В §2 гл. III отдельно рассматривается случай системы (9), у которой функции Kt(t,s,u,v) линейно зависят от и и v. Получены следующие результаты.

Теорема 3.1. Пусть спектральный радиус p(Atl) интегрального опе-

1

ратора АПх(t) — jKu (t,S)х(S)ds в пространстве С[01]меньше 1, о

т.е.

P(AJ<L

Тогда на обобщенном решении {x'(t),y'(t)} соотношение

x(t)>\Кп(t,s)x(s)ds + \Kl2(t,s)y (s)ds + /,(t) о 0

выполняется со знаком равенства, т.е.

х0) = ]ки0,з)х*(*№+]к1:0,*)у-(*№+/10)

о о

Теорема 3.2. Во всех точках / £ [(9,/], в которых соотношение

у (1)> \к2,0, *)х* (1)<Ь + ] К22 0,8)у - л (I)

о о

выполняется со знаком строгого неравенства, имеет место равенство:.

у'(0=о.

Естественно желание выяснить условия, при которых множество планов /7задачи (1) непусто. На этом пути получены следующие результаты.

Теорема 3.3. Пусть спектральный радиус р( А) векторного интегрального оператора с неотрицательным ядром-матрицей

К( t,s) =

Kn(t,s) Kl2(t,s))

.(10)

K2l(t,s) K22( t, s) ^

в пространстве Сf0.,jxC¡o l] вектор функций ~z(t) = \x(t),y(t)\меньше единицы:

p(A)<i.

Тогда для любых заданных функций f¡(t)>0,fJ(t)>0 из С[0 tJ множество планов П этой задачи непустое.

В связи с тем, что решение обобщенной модели Леонтьева-Форда, даже в линейном случае является более сложной задачей по сравнению с отысканием решения модели Леонтьева x=Ax+f, в диссертации предлагается один эффективный метод решения задачи, базирующейся на утверждении теоремы 3.5. диссертации.

Теорема 3.5. Пусть спектральный радиус р( А) интегрального оператора с неотрицательной матрицей-ядром (10) в пространстве

С[0 ¡¡хС!0 ,] вектор-функций г(1) — { х(1), у(( )} меньше единицы, а свободные члены /;(У>0,/2(?)>0 системы

■ 1 х(1) = \кх, (л s)x(s)ds+1 Кп (г, з)у(х)с1х + /х ((),

• о о

1 1

у(() = \к2{ ((,+1К22 (/,з)у(*)с1.У - /2О)

(11)

удовлетворяют условиям I

о о

8(0 н \ к210, ($)& - \ к22 0,8)/2 - /2 О) > о

Тогда система интегральных уравнений (11) имеет единственное неотрицательное решение х=х'(0, у=у'(0-

Если к тому же %(()>0 ((е \0;1\), то это решение является решением обобщенной модели

/ м

о о

У* 0) >) к21 (¡г, (*)<ь+1к22 (л яум<ь - л 0)

(12)

Решение обобщенной модели (12) может быть получено методом последовательных приближений

xk+I(t)=\KII(t,s)xk(s)ds+\KI2(t,s)yk(s)ds+fl(t),

0 о

1 1

yk+l(t) = \K2l(t, s)xk(s)ds+\K22(t, s)yk (s)ds-f2(t)

(k=0,l,2,...)

при любам начальном приближении x0(s), y0(s).

Понятно, что большой интерес в связи с рассмотрением обобщенной модели Леонтьева-Форда представляют различные оценки решения этой модели, в том числе, так называемые векторные оценки. Для их получения используется обобщенная норма элемента пространства и соответственно обобщенная норма линейного оператора. Подчеркнем, что обобщенная норма |л:| элемента пространства - это элемент некоторого конуса, вообще говоря другого пространства (оно выбирается более простым по сравнению с исходным пространством Е), а обобщенная норма \А \ оператора А - это положительный оператор более простой структуры по сравнению с изучаемым оператором, позволяющая получить, как правило, более точные оценки решения по сравнению с использованием обычной нормы. В этой связи в §5 гл. III приводятся точные значения обобщенной нормы матричных операторов при различных способах обобщенной нормировки. В качестве примера вычисления обобщенной нормы приведем утверждение теоремы 3.8.

Теорема 3.8. Пусть Е=С/0— пространство всех непрерывных на отрезке [0,1] функций x(();t/)il tm - точки деления отрезка [0,1] на т частей:

0=(<t <...<( ,<t =1 О 1 m-I т

Пусть ядро К (t, s) интегрального оператора

I

Ax(t) = ^K(t,s)x(s)ds

о

непрерывно по совокупности переменных (t,s) в квадрате 0<t,s<l, а обобщенная норма элемента x(t)e вычисляется по формуле

\x(t)\ = f тах p(t)\x(t)\, тах p(t)\x(t)\,..., тах pf^x^ )

где р(1)еС101/и р(0>О.

Тогда \А\=(уи) (I)'=1,2.....т), где

'г

Ги=тах рО)\ (.М2.....„г;

Приведем еще один результат, указывающий точное значение обобщенной нормы с «весом» вполне непрерывного оператора, действующего в гильбертовом пространстве Н.

Пусть Н1, Нг, .... Нт- подпространства пространства Я: Н=Н1®Н2® ... ®Нт Р. - оператор ортогонального проектирования пространства Н в пространство Н. (/=1,2, ..., т)

т

Р Н=Н, У р =/.

I Г ' ' I

1=1

Введем в пространство Н обобщенную норму |х|_

(а = (а1,а2,...,ат)е Я"') по формуле

\А=(а,\\ррс\\,а2\\ррс\\, ...,ат\\рх\\) (а>0,а>0, ... , а>0).

Теорема 3.9. Пусть А - вполне непрерывный оператор, действующий в пространстве Н. Тогда для обобщенной нормы \А\ верна формула

лД/7 лДтГ

а1 °2 ап

лД21

а, а2

л/^Г

Я/ а2

где X - наибольшее собственное значение салюсопряженного положительно определенного оператора:

(РА Р/(РА Р) (и =1,2)

Далее в диссертации указываются применения обобщенной нормы для получения теорем существования и единственности положительного решения обобщенной модели Леонтьева-Форда.

Укажем одно из утверждений, получаемых на этом пути.

Следствие 3. Пусть для некоторой непрерывной функции р(1), принимающей на [0;1] положительные значения, собственные значения, по крайней мере, одной из двух матриц р(А), либо

р(А) =

тах p(t)\

'\\K(t,s)\

ds тах p(t)\

hc\ K(t,s)\

t P(s) 1, p(s)

ds

max p(t) [-—^ ' ^ ds

1 Ф)

max

Г, p(s)

по абсолютной величине меньше единицы | А.J < 7 (i=l,2). Тогда спектральный радиус р(А) интегрального оператора А удовлетворяет неравенству

p(A)<min{p[p(A)], р[р'(А)]}<1.

На этом же пути можно получить и более общие (более точные) результаты, если вводить обобщенную норму как элемент пространства R" (т>3).

В §10 гл. III приводятся также скалярные и векторные оценки решения обобщенной модели Леонтьева-Форда в линейном случае, для получения которых используются результаты §7 и §8 гл.1.

Теорема 3.10. Пусть для последовательных приближений zs+1 = Azs +b , (s=0,l,2,...)

где

А =

^ А21 А22 j

ъ =

( Ь1 -ъ,

причем р(А) < 1, выполнены для некоторых фиксированных натуральных кир неравенства

2к+р~2к к-А

'к+р где уе(0;1).

Тогда для решения 2* уравнения 1 — АН + Ъ справедлива оценка

*к+Р + ТГр ~ **Г -*к+Р+ (?к+Р - гк ).

Следствие. Имеют место следующие оценки решения г

Р

<тсщ ' 1

2к+р

+-

1-Р

{2к+р ~гк,

2к+р'

0=12)

в случае Е=Я" и

г <тс

II рсо

Р

2к+р ~2к'

р(0

Ч+Р +

где Ц Ц^ — «весовая» норма с вест р(1) в пространстве С101/:

10; I]'

Ууир(0 0<1<1

р(0>О,р(()еС1О:1Г

В заключительном § 11 приводятся результаты, позволяющие получить оценки нормы решения и векторные оценки решения обобщенной

модели Леонтьева-Форда (линейный случай). Основная идея получения таких оценок основана на том, что согласно полученным в диссертации результатам, решение обобщенной модели Леонтьева-Форда сводится к решению следующей модели Леонтьева-Форда

обобщенной задачи сводится практически к решению системы (VJ (xsR", yeRk), где Rk- подпространство пространства R"' размерности к, .меньшей, чем т. Соответствующее подпространство назовем координатным подпространством.

Поскольку мы обычно не имеем никакой априорной информации о том, какое это конкретное координатное подпространство, то для получения оценок для нормы решения системы (У ) мы можем использовать уже полученные оценки решения модели Леонтьева-Форда для семейства моделей (VQ), где ¿2 - всевозможные сужения вектора Ь2 на всевозможные координатные подпространства пространства Rm.

Аналогично можно сказать и про бесконечномерную модель Леонтьева-Форда.

где Ь'!, -вектор, полученный из вектора «обнулением» некоторых координат вектора Ь2, в силу чего решение системы

На защиту выносятся следующие основные положения:

1) построение обобщенной модели Леонтьева-Форда и ее анализ;

2) получение признаков разрешимости модели Леонтьева-Форда;

3) исследование бесконечномерных аналогов обобщенной модели Леонтьева-Форда;

4) разработка методов получения оценок решений системы интегральных уравнений-неравенств;

5) анализ нелинейной модели Леонтьева-Форда с вогнутой нелинейностью.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Сергеева Т.С. Оценки решений системы линейных интегральных уравнений //Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова: Тезисы доклада. - Ростов-на-Дону. 5-11.09.98. -С.120-121.

2. Сергеева Т.С. Об одном бесконечномерном аналоге нелинейной обобщенной модели Леонтьева-Форда // III Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии»: Сборник научных трудов,- Кисловодск. 1999. -Т. IV. -С. 81-83

3. Сергеева Т.С. Признаки разрешимости модели Леонтьева-Форда //Материалы XLIII научно-методической конференции «Университетская наука - региону». -Ставрополь: Изд. СГУ, 1998. -С.139-142.

4. Сергеева Т.С. Нелинейная модель Леонтьева-Форда с вогнутой нелинейностью // Материалы XLIII научно-методической конференции «Университетская наука - региону». -Ставрополь: Изд. СГУ, 1998. -С.137-139.

5. Стеценко В.Я., Сергеева Т.С. О некоторых свойствах полуупорядоченных пространств и развитие теоремы Биркгофа-Тарского // Материалы XLII научно-методической конференции «Университетская наука - региону». -Ставрополь: Изд. СГУ, 1997. -С.35-38.

6. Стеценко В.Я., Сергеева Т.С. Обобщенная модель Леонтьева-Фор-даИ Понтрягинские чтения - VIII: Тезисы докладов. - Воронеж, ВГУ, 1997.

7. Сергеева Т.С. Об одной системе линейных интегральных нера-венств//Воронежский зимний симпозиум «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» памяти М.А. Красносельского: Тезисы докладов. - Воронеж, ВГУ, 2000. -С.204.

-С.142.

Введение.

I. Модель Леонтьева-Форда. Обобщенная модель Леонтьева-Форда.

Существование решения и его оценки.

§1. Некоторые вспомогательные сведения из теории полуупорядоченных пространств и теории положительных операторов.

§2. Постановка задачи. Понятие решения модели Леонтьева-Форда.

§3. Экономический смысл модели Леонтьева-Форда.

§4. Свойства решения обобщенной модели (II).

§5. Необходимое и достаточное условие разрешимости обобщенной модели Леонтьева-Форда.

§6. Пример.

§7. Признаки разрешимости модели Леонтьева-Форда.

§8. Векторные оценки для решения обобщенной модели Леонтьева

Форда.

§9. Алгоритм уточнения векторных оценок решения модели Леонтьева-Форда.

§10. Активные оценки решения модели Леонтьева-Форда (линейный случай).

§ 11. Об одном развитии модели Леонтьева-Форда.

II. Нелинейная модель Леонтьева-Форда с вогнутой нелинейностью.

§1. Вогнутые операторы.

§2. Простейшие свойства неразложимых вогнутых операторов.

§3. Спектр вогнутого оператора.

§4. Обобщенная модель Леонтьева-Форда с монотонной нелинейностью в банаховом пространстве.

§5. Метод последовательных приближений.

§6. Основные свойства нелинейной модели.

§7. Фундаментальные свойства уравнений с сильно вогнутыми нелинейностями.

§8. Об одном конструктивном алгоритме решения нелинейной модели Леонтьева-Форда с вогнутой нелинейностью.

§9. Экономический смысл понятия вогнутости оператора «затрат».

III. Бесконечномерные аналоги обобщенной модели Леонтьева-Форда.

§1. Система нелинейных интегральных неравенств.

§2. Случай линейной системы интегральных неравенств. Основные свойства.

§3. Необходимой и достаточное условие разрешимости системы линейных интегральных уравнений.

§4. Обобщенная норма элементов банахова пространства.

§5. Вычисление обобщенной нормы с «весом» матричного оператора.

§6. Некоторые приложения обобщенной матричной нормы оператора.:.

§7. Вычисление обобщенной нормы с «весом» для интегрального оператора.

§8. Обобщенная норма с «весом» вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве.

§9. Некоторые приложения обобщенной нормы интегрального оператора.

§10. Скалярные и векторные оценки решения модели Леонтьева

Форда (линейный случай).

§11. Оценки нормы решения и векторные оценки решения обобщенной модели Леонтьева-Форда (линейный случай).

1. Диссертация посвящена линейной и нелинейной моделям Леонтьева-Форда межотраслевого баланса, учитывающей экологическое состояние среды и возможную переработку выделяемых в процессе производства в эту среду вредных отходов с целью понижения уровня их содержания до экологически допустимого уровня.

В общей постановке эта модель записывается в виде операторной системы неравенств: у>Е2(х,у)-Ь2) где Еи Е2 - нелинейные, монотонные по х,у (хеЕ], уеЕ2) операторы. При этом Е/ действует из Е]хЕ2 в Е1, а Е? действует из Е1хЕ2 в Е2, Е} и Е2 - банаховые пространства, полуупорядоченные конусами К{, К? соответственно, каждый из которых мы предполагаем сильно миниэдральным конусом. Во всей работе используется терминология функционального анализа и пространств Банаха, полуупорядоченных конусами Крейна (см [23], [24], [28], [30], [36]). Монотонность операторов I1) 0=1,2) понимается в том смысле, что из х}<х2, У1<У2 следует, что

Е1 (хьУ1)< Ег (х2,у2) (¡ = 1,2)

Элементы Ьь Ь2 - заданные элементы конусов К и К2 соответственно, элементы х,у - неизвестные элементы из Ки К2 соответственно. Пару элементов (х,у) е К] х К2, удовлетворяющую системе неравенств (0.1), будем называть планом задачи (0.1). Множество всех планов задачи будем обозначать через Я. Если множество планов задачи (0.1) непустое множество, то оно, как правило, содержит бесконечное множество элементов.

Положим х* = тД х},у* — т/{у}, (0.2) где точная нижняя грань в (0.2) вводится по всем (х,у) еП по конусам К1, К2. Вектор (х, у), определенный согласно (0.2), если он существует, назовем решением задачи (0.1).

2. Упомянутая выше обобщенная модель Леонтьева-Форда рассматривалась, в основном, для случая, когда Е] и Е2 - конечномерные пространства (Е1=К",Е2=Кт,К,,К2 - конусы векторов с неотрицательными координатами этих пространств). Именно в этом случае эта модель имеет содержательный экономический смысл. В частности, известная модель Леонтьева-Форда (см. [35]) совпадает со следующей системой линейных алгебраических уравнений:

Здесь х,Ь1 е Я", у,Ъ2 е Кт, причем 6/, Ъ2 - заданные неотрицательные векторы, а х,у - неизвестные неотрицательные векторы. смыслу изучаемой экономико-математической модели, в связи с чем мы, путем соответствующего обоснования предлагаем вместо модели (0.3) модель (0.1). Важно заметить, что если для модели (0.3) под решением модели понимается решение соответствующей системы (п+т) уравнений с (п+т) неизвестными (понятно, что экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения этой системы), то для модели (0.1) понятие решения приходится вводить путем описанной выше схемы.

3. Особый интерес представляет тот случай, когда операторы ^¡(х,у) и (х,у) являются линейными по лс,у. Этому случаю соответствуют следующая модель х>Аих+А12у+ЪЛ у > А21х+А22у-Ъ2\ х>6, у>6

Естественно, что в наиболее простом случае система неравенств (0.4) имеет вид системы уравнений: х = А„х+А13у + Ь, ] ^ у = А21х + А22у~Ь2\ которую можно записать в виде одного векторного уравнения вида:

0.3)

Однако, такая постановка не вполне соответствует содержательному г = А'г+Ь

0.6) где А - операторная матрица

А А Л

Ли л12

0.7)

Ь =(Ь1-Ь2), г=(х,у). В результате система (0.5) сводится к обычному операторному уравнению (0.6) с неотрицательной оператор-матрицей А и с «полуположительным» вектором Ь . В связи с этим модель (0.6) представляет «нетрадиционную» модель теории положительных операторных уравнений, т.к. в ней ставится вопрос о существовании неотрицательного решения 1 при условии, что свободный вектор Ь полуположителен. Напомним, что основные проблемы теории положительных операторов заключаются в изучении вопроса существования неотрицательного решения модели (0.6) при неотрицательном свободном члене Ъ .

Более существенный отход от традиционных задачах теории положительных операторных уравнений мы получим в том случае, когда будем рассматривать модель Леонтьева-Форда при дополнительном предположении о том, что в процессе подавления вредных отходов применяемая при этом технология позволяет выделять из вредных отходов положительные ингридиенты. В этом случае вместо модели (0.6) мы получим модель вида

0.8) где А, есть блочный оператор-матрица вида: а а - а

Л11 12 Л13 \^21 ^22 J

0.9) 4 где А и, А21, А 22, Ап, А13>0.

Модель (0.8), в отличии от модели (0.6), есть модель с полуположительным оператором А} и с полуположительным свободным вектором Ь . Понятно, что это еще сильнее осложняет проблему исследования существования неотрицательного решения у модели (0.8).

Именно таков круг рассматриваемых в диссертации задач.

4. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы.

Заключение

Таким образом, предлагаемая диссертационная работа посвящена модели Леонтьева-Форда межотраслевого баланса, учитывающего экологический фактор, а также возможности переработки (утилизации) вредных отходов, выделяемых в процессе производства в окружающую среду, с целью извлечения из них полезных ингридиентов. Во всех постановках возникает задача следующего вида: для данного операторного неравенства вида г >Ф(1) + Г, где Ф- не обязательно положительный оператор, а Г - заданный, не обязательно положительный элемент, выяснить возможность существования положительного решения при соответствующем обобщении понятия решения этой модели, указать способы построения достаточно близких приближений к этому решению и, в частности, получить векторные оценки этого решения.

На наш взгляд данная работа содержит ответы на эти вопросы. Таким образом, на защиту выносятся следующие основные положения:

1) построение обобщенно модели Леонтьева-Форда и ее анализ;

2) получение признаков разрешимости модели Леонтьева-Форда;

3) исследование бесконечномерных аналогов обобщенной модели Леонтьева-Форда;

4) разработка методов получения оценок решений системы интегральных уравнений-неравенств ;

5) анализ нелинейной модели Леонтьева-Форда с вогнутой нелинейностью.

1. Ando T. On fundamental propetries of a Banach space with a cone. //Pacific T. Math. 12.- 1962,-№4.-S. 1-12.

2. Bonsall F.F. Linear operators in complete positive cones. // Proc. London Math. Soc. 8. 1958. - S. 53-75.

3. Karlin S. Positive operators. // T. Math. Mech. 1955. - №8. - C. 907-938.

4. Thompson A.C. On certain centraction mappimgs in a partitally ordered vector space // Proc. Amer. Math. Soc. 14. 1963. - №3. - S.438-443.

5. Ахиезер Н.И., Глазмаи И.М. Теория нелинейных операторов в гильбертовом пространстве. // М.: Наука, 1966. 136 с.

6. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Л., 1967 . с.

7. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с равномерно вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. — 1963. Т.4, №2. - С.268-286.

8. Бахтин И.А. Об одном критерии нормальности конуса. // Тезисы семинара по функциональному анализу. Вып.6. Воронеж, 1958.

9. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. 1961. - Т.2, №3. С.313-530.

10. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности положительных операторов. // Сибирский математический журнал. 1962. - Т.З, №1. -С. 8-17.

11. Н.Беллман Р., Колаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.-270с.

12. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Наука, 1961.-407с.

13. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Физматгиз, 1967. - 415с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 576 с.

15. Есаян А.Р. Применение теории конусов к оценке спектра неположительных операторов: Дис. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1964. - 13 с.

16. Есаян А.Р. Стеценко В .Я. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц. // ДАН СССР. 1964. - Т.157.№2. - С. 12-19.

17. Есаян А.Р. Стеценко В.Я. О сходимости последовательных приближений для операторных уравнений второго рода. // ДАН Тадж.ССР, 7:2. 1964. - С.3-7.

18. Есаян А.Р. Стеценко В.Я. Срожиддинов Х.М. Об оценке погрешностей при приближенном решении линейных уравнений в пространстве с конусом. // ИАН Тадж.ССР, Отд. физ.-тех. н., 1967. С.3-17.

19. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. К вопросу о разрешимости уравнений второго рода // ИАН ТаджССР, Отд. физ.-тех.н. 1964. - №2. - С. 13-35.

20. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. Локализация спектра линейного оператора // Тезисы кр. науч. сообщений Междунар. конгресса математиков, секция 5. М., 1966. -С. 45-74.

21. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. О разрешимости уравнений второго рода // Тр. семинара по функциональному анализу. 1963. - *Г<>7. - Воронеж. - С. 36-41

22. Забрейко П.П., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. Об оценке спектрального радиуса линейных положительных операторов // Математические заметки. -1967.-Т.1, Вып. 4.-С. 5-12

23. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональные анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

24. Канторович Л.В., Вулих Б.З. Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

25. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.;Л.: Физматгиз, 1962. С. 907-938.

26. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.-421 с.

27. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М:. Наука, 1968. - 544 с.

28. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. - 396 с.

29. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М:. Гостехиздат, 1956. - 372 с.

30. Красносельский M.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. - 455 с.

31. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покорный В.В., Стеценко В.Я. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений.// ДАН Тадж.ССР. 1974. - T.XVII, №1. - С.12-15.

32. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные нелинейные системы. М.: Наука, 1985. - 256 с.

33. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. К теории уравнений с вогнутыми операторами. // Сибирский математический журнал. 1969. - т. 10, №3. - С.565-572.

34. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха.// Успехи математических наук. 1948. - №3. Вып. 1. - С. 3-95.

35. Леонтьев В.В., Форд Д. // Экономика и математические методы. 1972. - №3.

36. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.-520 с.

37. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. - 179 с.

38. Мухтаров С.Н., Стеценко В.Я. О некоторых свойствах уравнений с неразложимыми операторами // ДАН Тадж. ССР. Т.8, №2. - 1965. - С. 19-27.

39. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972. -518 с.

40. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения. -М.: ИЛ., 1960. 270 с.

41. Радченко В.В., Стеценко В.Я. Применение метода Ньютона-Канторовича для расчета нелинейного межотраслевого баланса. // Модели и методы экономических целенаправленных систем. Новосибирск, 1977. - С. 160-166.

42. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс. . д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. - 307 с.

43. Стеценко В.Я. Критерии неразложимости линейных операторов. // Успехи математических наук. 1966. - №21, Вып. 5(131): С* 265-267.

44. Стеценко В.Я. Нелинейная задача о собственных векторах // ДАН Таджикской ССР. 1973. - T.XVI, №4. - С.5-8.

45. Стеценко В.Л. О банаховых пространствах с двумя конусами // Л.: ЛГПИ, 1962. -7с.

46. Стеценко В.Я. О неизвестных точках нелинейных отображений. // Сибирский математический журнал. 1969. - Т. 10, №3. - С. 642-652.

47. Стеценко В.Я. Об одном итерационном методе отыскания спектрального радиуса линейных положительных операторов. // Матем. сб. 1965. - Т.67(109): 2. - С. 210-267.

48. Стеценко В.Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов // ДАН ССР. 1968. - Т. 178, №5 . - С. 1021-1024.

49. Стеценко В.Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора // Успехи математических наук. 1967. - Т. 22, Вып. 3(135). - С.242-244.

50. Стеценко В.Я. Теоремы устойчивости разностных уравнений в нормированном кольце // Методы моделирования и обработки информации . Новосибирск. -1976. - С.53-61.

51. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору линейных и нелинейных положительных операторов. Ставрополь: СтГТУ, 1993. - 26 с. - Деп. в ВИНИТИ, 1069-В-93.

52. Стеценко В.Я., Имомназаров Б. Об одном принципе неподвижной точки // ДАН Тадж. ССР. 1967. - Т. 10, №2. - С. 3-11.

53. Стеценко В.Я., Филин В.А. Признаки разрешимости нелинейной задачи на собственные значения и нелинейного резольвентного уравнения // ДАН Тадж. ССР. 1974. - Т. 17, №8. - С. 12-16.

54. Урысон П.С. Труды по топологии и другим областям математики. М.; Л.: ГИТТЛ, 1951.-Т. 1.-320 с.

55. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.; Л.: Физматгиз, 1963. - 612 с.

56. Шаабан М. Обобщенная норма интегральных операторов и матриц // Изв. АН Тадж. ССР. 1988. - Т. 108, №2. - С. 3-12.