Анализ устойчивости некоторых классов нелинейных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Комаров Андрей Александрович

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена на кафедре теории управления факультета прикладной математики - процессов управления Санкт - Петербургского государственного университета

Научный руководитель: Заслуженный работник ВШ РФ,

доктор физико — математических наук, профессор Жабко Алексей Петрович.

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор Веремей Евгений Игоревич.

диссертационного совета К - 212.232. 07 по защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Санкт- Петербургском государственном университете по адресу:

199004, Санкт-Петербург, Васильевский Остров, 10-я линия, домЗЗ,ауд._

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А. М. Горького, Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9

кандидат технических наук Сумачев Сергей Александрович

Ведущая организация:

Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева

Защита состоится « »

2004 г. в_часов на заседании

Автореферат разослан « »-..

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико - математически* наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований, проводимых в диссертации, обоснованна важной ролью нелинейных систем дифференциальных уравнений в построении математических моделей управляемых процессов. Такие задачи возникают при управлении различными экономическими, механическими, электроэнергетическими системами, а также при управлении технологическими процессами. Дальнейшее развитие методов исследования устойчивости нелинейных систем может способствовать решению многих задач управления динамическими объектами, созданию алгоритмического и программного обеспечения. Одним из основных подходов для анализа устойчивости нелинейных систем самой различной природы и формы описания является метод векторных функций- Ляпунова, который, позволяет свести исходную задачу к анализу устойчивости некоторых специальных классов нелинейных систем меньшего порядка. Значительный вклад в развитие этой области составляют результаты Н. Г. Четаева, Н. Н. Красовского, В. И. Зубова, Р. Беллмана,

B.М. Матросова и др. Трудности, связанные с построением функций Ляпунова и анализом динамических свойств, определяют актуальность дальнейшего развития метода и получения на его основе новых критериев устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений. Несмотря на ослабление общих требований к векторной функции Ляпунова, большинство теорем о динамических свойствах предполагают наличие условий Важевского для её производной в силу исследуемых уравнений. Такие ограничения соответственно переносятся на систему сравнения и выражаются в терминах ее правой; части, создавая дополнительные сложности для поиска, векторной функции Ляпунова. Важное направление составляют подходы, основанные на свойствах дифференциальных неравенств, применяющие функции Ляпунова совместно с производными высших порядков. В определенных случаях это может привести к системам сравнения, допускающим отсутствие таких ограничений. Различные направления этого подхода развиваются в работах Е.В.Воскресенского, А. С. Землякова. Несмотря на наличие единого подхода к построению доказательств теорем сравнения, получение теорем о динамических свойствах при помощи векторных функций Ляпунова остается нетривиальной задачей, требующей дополнительных творческих усилий. Значительный вклад в этой области составляют результаты

C. Н. Васильева, В. В. Румянцева, Р. И. Козлова. Наиболее трудными

остаются задачи, связанные с разработкой способов построения векторных функций Ляпунова и систем сравнения, которые удается решить лишь для частных случаев и для отдельных классов систем. В связи с этим, развитие метода векторных функций Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных систем, его алгоритмизация и приложение к исследованию конкретных систем управления остается одной, из наиболее востребованных и сложных задач.

Цель работы. Целью диссертационной работы является проведение: исследований, направленных на развитие математической теории метода векторных функций Ляпунова и построения на её основе новых критериев для анализа динамических свойств нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методика; исследований. Проведенные исследования опираются на< результаты Р. Беллмана, В. М. Матросова: по использованию векторных функций, Ляпунова для анализа устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Применяются результаты исследований С. А.Чаплыгина в области. теории дифференциальных неравенств и результаты В. ИЗубова по исследованию систем автоматического регулирования..

Научная новизна. В работе предлагаются модификации подхода С. А. Чаплыгина для построения оценок решений линейных дифференциальных' уравнений > ш уравнений в частных производных типа Лапласа. Получены новые критерии устойчивости, основанные на уравнении Ляпунова* высокого порядка и позволяющие избежать ограничений квазимонотонности для уравнений сравнения. Предложен двухэтапный метод, основанный на последовательном применении векторных и скалярных функций Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Выполнена модификация метода Беллмана - Бейли для исследования устойчивости сложных динамических систем с различными типами взаимосвязей между подсистемами.

Научная и практическая ценность работы заключается в конструктивности полученных результатов. Предложенные методы анализа устойчивости позволяют не применять условия Важевского к системам сравнения. Такой подход, применительно к теории сравнения, позволяет доказать новые теоремы об устойчивости. Модификации метода Беллмана - Бейли позволяют исследовать устойчивость сложных: динамических" систем с различными типами взаимосвязей между уравнениями. Совместное применение скалярных и векторных функций Ляпунова представляет новый способ анализа устойчивости. Результаты

исследования неравенств типа С. А. Чаплыгина оказались применимы к важным классам дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

. На защиту выносятся следующие положения:

1. Развитие метода С. А. Чаплыгина для построения оценок решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных типа Лапласа.

2. Достаточные критерии устойчивости систем- обыкновенных дифференциальных уравнений, применяющие производные функций Ляпунова высших порядков.

3. Двухэтапный метод, основанный на последовательном применении скалярных и векторных функций Ляпунова, для исследования устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

4. Модификации метода Беллмана — Бейли для исследования устойчивости сложных динамических систем с различными типами взаимосвязей.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы обсуждались на семинарах кафедры теории управления факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ и представлялись на конференциях:

• XXXIV научной конференции «Процессы управления и устойчивость» г. Санкт-Петербург, 2003 г.

• межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» г. Самара, 2003 г.

• международной математической конференции «Еругинские чтения IX» г. Витебск, Белоруссия, 2003 г.

• международной математической конференции «Еругинские чтения VIII» г. Брест, Белоруссия, 2002 г.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 6-и печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения по диссертации в целом и библиографического списка из 99 наименований. Общий объем работы 114 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даегся обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор литературы по ее тематике, приводится общая1 формализованная постановка исследуемых задач и сформулированы полученные результаты.

В первой главе проводятся исследования, направленные на развитие теории дифференциальных неравенств типа С. А. Чаплыгина. Основной задачей исследований является модификация способов построения оценок для решений линейных дифференциальных уравнений и нахождение критериев их продолжимости. Рассматривается неоднородное линейное дифференциальное уравнение порядка к с переменными коэффициентами

/*> - p(t) -У*-1' - Pl(t)-/k-2) - ... - РьЛУу = <7(0 , (1.1)

где

есть ограниченные, непрерывные и непрерывно дифференцируемые на некотором. промежутке, содержащем точку t, функции. Пусть в начальный момент

Следуя подходу С. А. Чаплыгина, строятся непрерывные, ограниченные, дифференцируемые и определенные на некотором общем интервале^О,, наборы^ф}^

Рассмотрим непрерывные и к раз непрерывно дифференцируемые в £2 функции и . Пусть функция является решением задачи Коши для уравнения (1.1) с начальными данными:

Ж) = Уо, УП%) = Уо(\ УГЧ'о) = Jo(2\ У"»«,) =

Введем обозначения:

Теорема 1.1. Предположим, что выполнены следующие условия

1. Система функций (1.2) остается ограниченной и непрерывной на некотором общем интервале:

2. Существует непрерывная и к раз непрерывно дифференцируемая функция , такая что:

(О

С)

Уо

(*-1)

3.

- р(*) ... - р^ЦУг - 9(1) <0.

Точка - (м0,м0(1),...,н0(*_1)) е Як является решением сждующ.

линейной системы условий:

(4-1)

-(О"о + Ро)-иок 2> -(°"01 + />01)'"о" " - - -(°ок-2 +Рок-г)-ио

а-з)

"о1 2> _(°о +°о + Ро)'ио

(к-2)

- + + Ан-З ) ' "0 ^ 0

'к-1

10 _ _ (О

(О

Щ" = V - У о

Тогда, функция г(1) на рассматриваемом интервале £2 будет нижней границей решения уравнения (1.1)..

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение порядка к с постоянными коэффициентами

Теорема 1.2. Предположим, что выполнены следующие условия 1. Существует непрерывная и к _раз непрерывно дифференцируемая на интервале £1 = [ , °о ) функция , такая что:

^о Ь .Уо, 2,

Уо

(О

С*-1> < (4-1)

•>2о — Уо >

Л1-2)

р, " - ... - рк_х -2 < 0 .

2. Характеристический полином, соответствующий уравнению (1.3) имеет только вещественные корни Яг 6 й .

Тогда, функция г(() будет нижней границей решения у(() уравнения (1.3) на рассматриваемом полубесконечном интервале Л .

Найденные результаты исследований позволяют определить класс дифференциальных неравенств, для которых соответствующие уравнения сравнения не требуют свойств квазимонотонности, характерных для метода векторных функций Ляпунова. Такой подход, применительно к теории сравнения, позволяет строить новые критерии для исследования динамических свойств систем дифференциальных уравнений. Также рассматриваются приложения результатов к дифференциальным уравнениям в частных производных. Рассмотрим в некоторой области Л уравнение в частных производных, которому удовлетворяет искомая функция

эу

дх2

эу

ау2

эу

dzz

- р-<р = О,

(1.3)

где

p{x,y,z)t 0, £2е Яг.

Теорема 1.3. Предположим, что в области £2е R1 существует функция цг, удовлетворяющая вместе с решением (р уравнения (1.3) следующим свойствам:

1. Функции \¡r и <р являются ограниченными, непрерывными и дважды непрерывно дифференцируемыми в области £2 по своим аргументам.

2. На границе S области £2 с нормалью п функции у и <р удовлетворяют неравенству:

эу

dz2

- p-v

0.

'р уравнения (1.3)

3. Выполнено нелавенство:

эу эу Эх2 + э/

Тогда, функция iff будет нижней оценкой решения для внутренних точек области Л.

Применяя доказанную теорему, можно ослабить требования относительно граничных условий и расширить класс допустимых функций.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью производных функций Ляпунова высших порядков. Рассматривается применение дифференциального уравнения Ляпунова высокого порядка к исследованию задач устойчивости.

Найдены критерии устойчивости, не требующие граничений квазимонотонности для применяемых уравнений сравнения. Проведено сравнение полученных результатов с известными подходами. Рассматривается следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений:

Предположим, что система (2.1) имеет нулевое решение и функции определены, непрерывны и удовлетворяютусловиям Липшица по х в области

Применяя дифференциальное уравнение Ляпунова высокого порядка можно определить уравнения сравнения, не требующие условий квазимонотонности.

Теорема 2.1. Пусть существует определенно положительная функция У{х,1), обладающая в области Г следующими свойствами:

1. Функция имеет производные в силу уравнений (2 1) до порядка к включительно, причем:

V<и - рМ-У™ - Р1(0-г«-2) - ... - р^.у < о,

где коэффициенты р1 ф определены и непрерывны для всех

2. Нулевое решение уравнения:

ут - рЛО-у™ - - ... - = 0 (7.3)

устойчиво (асимптотическиустойчиво) относительно у, у ,..., у(к-1

3. Существуют решения У,, у2, у^.1 уравнения (2.3), обладающие для всех свойством:

где есть вронскиан порядка

Тогда нулевое решение системы (2.1) устойчиво (асимптотически устойчиво).

Если при этом функции допускают бесконечно малый высший предел и нулевое решение уравнения (2.3) равномерно устойчиво (равномерно асимптотически устойчиво), тогда нулевое решение уравнения (2.1) будет равномерно устойчивый (равномерно асимптотически устойчивым).

В третьей главе диссертации разрабатывается двухэтапный метод, последовательно использующий скалярные и векторные функции Ляпунова для анализа устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим векторную функцию Ляпунова:

Г((,х) = ( Г, (/,*), У2((,х),..., Ук(1,х) )'.

Предположим, что производная функции в силу уравнений (2.1)

представляется в виде:

dV dt

(2.1)

= ®(f,F) + W(t,x), Ф(*,0) = О.

Предположим, что система

I "

(3.1)

определенно

имеет устойчивое нулевое решение и существует положительная функция V(t,y) , производная которой в силу уравнений (3.1) имеет вид

(3.2)

Теорема 3.1. Пусть система дифференциальных уравнений (3.1) устойчива по Ляпунову и выполнены условия:

1. Существует определенно положительная функция V(t,y), удовлетворяющая равенству (3.2).

2.Функция V'(¡,х)-У(1,х) является определенно положительной и следующаяразность неотрицательна:

"э тго,х))~

W(t,V(t,x)) -

эк

■W(t,x).

(3.3)

Тогда нулевое решение системы (3.1) устойчиво по Ляпунову. Если функция (3.3) определенно положительна, то устойчивость нулевого решения системы (3.1) будет асимптотической.

Рассматриваются способы построения устойчивых возмущений правых частей системы (2.1) и проводится аналитическое исследование их структуры.

Для системы (2.1) с возмущениями в виде непрерывной векторной функции:

Л-

(3.4)

строятся, условия на правые части, при которых имеет место устойчивость нулевого решения.

Предполагается, что система (3.4) удовлетворяет некоторым условиям существования и единственности. Пусть для,системы (3.4) выполнены рассматриваемые выше условия относительно полной производной векторной функции Ляпунова;

Рассмотрим вектор Щ^), ортогональный градиенту функции

V(t, У). Таким образом:

( jV(i,jc>, VF<i,F) ) s 0.

Теорема 3.2. Пусть система дифференциальных уравнений (3.1) устойчива по Ляпунову и выполнены условия:

1. Существует определенно положительная функция V(t,y), удовлетворяющая равенству (3.2).

2. Вектор возмущения F(t,x) в системеуравнений(3.4) удовлетворяет условию:

4\(*>х)

= p(t,x)-N(t,x) +

VVk-F(x,t)

qk(t,x)

3. Функция У*^,х)-УЦ,х) является определенно положительной и следующая разность неотрицательна:

ЩиУ) - (ЧУ(1,У),С](1,Х) + 1¥(1,Х)). (3.5)

Тогда, нулевое решение системы (3.4) устойчиво по Ляпунову. Если разность (3.5) определенно положительна, то устойчивость нулевого решения системы (3.4) будет асимптотической.

Приведенные рассуждения не требуют условий квазимонотонности и дополнительных условий относительно полной производной векторной функции, вычисленной в силу уравнений исследуемой системы.

Четвертая глава посвящена разработке модификаций метода Беллмана- Бейли для анализа устойчивости сложных динамических систем. Рассматриваются системы дифференциальных уравнений с выполненным процессом декомпозиции. Для изолированных подсистем предлагается применять функции Ляпунова, удовлетворяющие совместно с градиентом и своими производными оценкам высокого порядка, позволяющим учитывать некоторый класс нелинейных и нестационарных возмущений. Исследуется многосвязная система дифференциальных уравнений с нелинейными взаимосвязями между подсистемами:

(4.1)

где

1=1Д,*,е Д"', =п,

/=1

х = (*! ,хг ,...,хк У = (х1,х2,...,х"У е К".

Полученные в результате декомпозиции функции

характеризуют взаимосвязь между подсистемами:

^ = ад*,)-

(4.2)

Пусть

У,} = «ир||(7,.;(/,х)||.

с,*)

Для каждой изолированной подсистемы (4.2) предположим существование непрерывной и непрерывно дифференцируемой функции , удовлетворяющей оценкам

где

(4.3)

Рассмотренные функции предполагаются известными для каждой из подсистем и принимаются в качестве компонент векторной

функции Ляпунова.

причем

Теорема 4.1. Пусть для каждой изолированной подсистемы (4.2) существует функция Ляпунова у'(1,х,), удовлетворяющая оценкам (4.3), а матрицы характеризующие взаимосвязь между

подсистемам таковы, что матрица Р:

имеет собственные значения с отрицательными веи^ественными частями. Тогда нулевое решение системы (4.1) асимптотически устойчиво.

Теорема 4.2. Пусть для каждой изолированной подсистемы (4.2) существует функция Ляпунова V1 удовлетворяющая оценкам

(4.3), а матрицы взаимосвязей С^((,х) таковы, что матрица Р:

имеет собственные значения с отрицательными вещественными частями. Тогда нулевое решение системы (4.1) асимптотически устойчиво.

В заключен ии приведен краткий обзор проделанной работы, сформулированы основные результаты и намечены пути дальнейших исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ»

1. Развиты методы построения оценок для решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Модифицированы методы построения интегральных оценок для уравнений в частных производных типа Лапласа.

2. Найдены критерии устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием производных функции Ляпунова высших порядков. Построен класс уравнений сравнения, не требующих свойства квазимонотонности.

3. Получены модификации некоторых подходов для исследования равномерной асимптотической устойчивости линейных не стационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, применяющие метод Н. Г. Четаева исследования устойчивости неустановившихся движений.

4. Предложен двухэтапный метод применения скалярных и векторных функций Ляпунова для анализа устойчивости. Аналитически описана структура устойчивых возмущений.

5. Найдены модификации метода Беллмана - Бейли для анализа устойчивости сложных динамических систем с различными типами взаимосвязей. Предложено обобщение алгебраических неравенств, применяемых для построения систем сравнения.

6. На практическом примере системы обыкновенных дифференциальных уравнений проведено сравнение разработанных методов с некоторыми известными подходами, подтверждающее работоспособность и эффективность найденных способов анализа устойчивости.

Публикации по теме диссертации:

Х.Жабко АЛ., Комаров А.А. Развитие метода векторных функций Ляпунова для анализа устойчивости // Еругинские чтения - IX: Тез. докл. международ, матем. конф.- Витебск: УО «ВГУ им. Машерова», 2003.- С. 103-104.

2. Комаров А.А. Использование дифференциального уравнения Ляпунова высокого порядка для исследования устойчивости // Процессы управления и устойчивость: Тр. 34-й науч. конф.- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003.- С. 186-188.

3. Комаров А.А. Пример исследования устойчивости методом векторных функций Ляпунова // Процессы управления и устойчивость: Тр. 34-й науч. конф.- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003.- С. 189-191.

4. Комаров А.А. Продолжимость теоремы С. А. Чаплыгина для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. 13-ой межвуз. конф.- Самара: СамГТУ, 2003- С.92.

5. Комаров А.А. Обобщение метода С. А. Чаплыгина для оценки решений линейных дифференциальных уравнений 7/ Материалы 14-й межвуз. науч.-техн. конф. "Военная радиоэлектроника: опыт использования и проблемы подготовки специалистов", посвящ. 70-летию образования ВМИРЭ им. А.С.Попова.- СПб.: ВМИРЭ им. А.С.Попова, 2003.

в. Комаров А.А. Построение скользящего режима для одной системы обыкновенных дифференциальных, уравнений// Еругинские чтения -VIII: Тез. докл. международ, матем. конф. - Брест: БГУ, 2002;

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 04.02.2004 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 3121. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

i - 35 95

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований

Общая формализованная постановка исследуемых задач

Обзор публикаций по теме исследований

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ С. А. ЧАПЛЫГИНА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОЦЕНОК

1.1. Построения интегральных оценок для линейных дифференциальных уравнений.

1.2. Исследование продолжимости оценок С. А. Чаплыгина для однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

1.3. Развитие теоремы сравнения для уравнений в частных производных типа Лапласа.

ГЛАВА 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЯПУНОВА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ.

2.1. Развитие теорем об устойчивости движения методом векторных функций Ляпунова.

2.2. Применение дифференциального уравнения Ляпунова высокого порядка к исследованию задач устойчивости

2.3. Развитие методов анализа равномерной асимптотической устойчивости линейных нестационарных систем.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ДЛЯ АНАЛИЗА

УСТОЙЧИВОСТИ.

3.1. Двухэтапный метод применения скалярных и векторных функций Ляпунова для анализа устойчивости

3.2. Исследование структуры устойчивых возмущений методом векторных функций Ляпунова

3.3. Применение векторных функций Ляпунова для исследования устойчивости одного класса уравнений.

ГЛАВА 4. МОДИФИКАЦИЯ СИСТЕМ СРАВНЕНИЯ В

МЕТОДЕ БЕЛЛМАНА - БЕЙЛИ С ПОМОЩЬЮ

ОЦЕНОК ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

4.1. Способ Бейли построения векторной функции

Ляпунова и системы сравнения.

4.2. Исследование алгебраических неравенств метода Беллмана - Бейли.

4.3. Модификация систем сравнения с помощью оценок высокого порядка.

4.4. Сравнение модифицированного алгоритма нахождения системы сравнения с классическими результатами

Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований.

В настоящее время, для исследования математических моделей управляемых процессов широко применяются нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи такого рода возникают при управлении механическими, электроэнергетическими, экономическими системами, а также при управлении технологическими процессами [7,8,9,12,17]. Дальнейшее развитие методов исследования устойчивости нелинейных систем может способствовать решению многих задач управления динамическими объектами, созданию алгоритмического и программного обеспечения. Одним из основных подходов для анализа устойчивости нелинейных систем самой различной природы и формы описания является метод векторных функций Ляпунова. Трудности, связанные с построением функций Ляпунова и анализом динамических свойств, определяют актуальность дальнейшего развития метода и получения на его основе новых критериев устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений. В современных исследованиях метод векторных функций Ляпунова охватывает большое количество практических приложений.

Для заданных математических моделей исследование динамических свойств методом векторных функций Ляпунова содержит этапы получения вспомогательных теорем, называемых теоремами сравнения, вывода теорем о динамических свойствах, построения векторной функции Ляпунова и соответствующей ей системы сравнения, проверки условий теоремы и получения соответствующих количественных оценок. Несмотря на наличие единого подхода к построению доказательств теорем сравнения, получение теорем о динамических свойствах при помощи 4 векторных функций Ляпунова остается нетривиальной задачей, требующей дополнительных творческих усилий. Наиболее трудными остаются задачи, связанные с разработкой способов построения векторных функций Ляпунова и систем сравнения, которые удается решить лишь для частных случаев и для отдельных классов систем. В связи с этим, нахождение практических способов решения прикладных задач на основе метода векторных функций Ляпунова, их алгоритмизации, эффективной программной реализации на вычислительных машинах и приложения к конкретным системам управления остается одной из наиболее востребованных и сложных задач. Одним из важных направлений метода векторных функций Ляпунова является исследование математических моделей управляемых процессов. Во многих случаях это приводит к анализу устойчивости стационарных режимов сложных динамических систем. Такие системы имеют составную структуру и представляют собой объединение нескольких более простых подсистем, взаимосвязанных между собой. Характерной чертой сложных систем является многоразмерность, т.е. высокая размерность описывающих эти объекты систем уравнений. Многоразмерность приводит к трудностям как аналитическим, так и вычислительным, и вынуждает искать специальные пути, позволяющие понизить размерность на отдельных этапах исследования. Основным методом анализа устойчивости сложных систем является прямой метод Ляпунова. Главная трудность, связанная с применением этого метода, заключается в проблеме нахождения функций Ляпунова. Данная задача становится особенно сложной, если рассматриваемая система имеет высокий порядок. Поэтому для исследования устойчивости многосвязных систем применяется метод декомпозиции [10], позволяющий из исходных уравнений выделить изолированные подсистемы меньшей размерности. Такой подход упрощает построение скалярных функций Ляпунова для каждой изолированной подсистемы и может оказаться более эффективным для исследования устойчивости. Для применения описанного подхода Р. Беллманом и В. М. Матросовым был предложен метод векторных функций Ляпунова [6, 11], который получил глубокое развитие в трудах А. А. Воронова, А. А Мартынюка, Д. Д. Шильяка, С. Лила, Л. Т. Груйича, Ф. Бейли, В. Лакшмикантама и многих других авторов [5,7,9-12,17]. Необходимо отметить, что методы и алгоритмы анализа устойчивости этих систем существенно усложняются в случае нелинейных и нестационарных уравнений для подсистем и связей между ними. Вопрос построения векторной функции Ляпунова для таких систем оказывается наиболее сложным и при этом дополнительные условия монотонности, предъявляемые к правым частям системы сравнения затрудняют его применение. В этой области проведены исследования лишь для некоторых классов систем дифференциальных уравнений [4,13].

Несмотря на ослабление общих требований к векторной функции Ляпунова, большинство теорем о динамических свойствах предполагают наличие дифференциальных условий применительно к ее компонентам. Полная производная векторной функции Ляпунова в силу уравнений исследуемой системы должна удовлетворять системе дифференциальных неравенств, обладающей свойством квазимонотонности. Такие ограничения соответственно переносятся на систему сравнения и выражаются в терминах ее правой части, создавая дополнительные сложности для поиска векторной функции Ляпунова.

Отмеченные трудности классического метода векторных функций, связанные с построением функционалов Ляпунова и анализом динамических свойств систем дифференциальных уравнений, определяют актуальность дальнейшего развития классических подходов метода векторных функций Ляпунова для построения на их основе новых способов качественного исследования и нахождения количественных оценок, характеризующих динамику системы. К важным направлениям развития метода векторных функций Ляпунова следует отнести подходы, применяющие для исследования динамических свойств функции Ляпунова совместно с ее производными высших порядков. В определенных случаях это может привести к системам сравнения, правые части которых не требуют условий квазимонотонности. Значительный интерес представляет анализ разнообразных классов дифференциальных и интегральных неравенств, составляющих основу теории сравнения и метода векторных функций Ляпунова. В основу метода сравнения положено сопоставление поведения решений дифференциальных неравенств с поведением соответствующих решений уравнений сравнения, имеющих общие начальные данные. Решения системы сравнения образуют верхние или соответственно нижние оценки для решений исследуемого дифференциального неравенства, в зависимости от его знака. Следуя В. М. Матросову [7], это можно рассматривать как обобщение понятия математической модели. В общепринятом смысле математическая модель функционирует подобно системе, которую она моделирует, тогда как решения уравнения сравнения хотя и приближенно соответствуют решениям исходного уравнения, но в любой момент времени остаются по одну сторону от них, позволяя анализировать динамические свойства и строить количественные оценки. Таким образом, можно говорить об односторонней модели, которая оправдала свою значимость во многих прикладных исследованиях. С помощью метода сравнения, обобщенного на случай векторных дифференциальных неравенств, получен ряд критериев устойчивости сложных систем.

В связи с отмеченными трудностями применения, учитывая теоретическую и практическую значимость рассматриваемого подхода, целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математической теории метода векторных функций Ляпунова и построения на её основе новых критериев для исследования динамических свойств систем дифференциальных уравнений.

Целью работы также является исследование некоторых классов дифференциальных неравенств, изучаются вопросы о продолжимости соответствующих интегральных оценок. Важным результатом работы является модификация критериев устойчивости сложных систем. При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:

• модификациям способа построения оценок для решений линейных дифференциальных уравнений, позволяющих с помощью выбора начальных данных упростить их нахождение и расширить класс допустимых функций;

• нахождению критерия продолжимости интегральных оценок для однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, основанного на структуре решений соответствующих характеристических уравнений;

• исследованию граничных условий для построения оценок решений уравнения в частных производных типа Лапласа, позволяющему применять более широкий класс функций и модифицировать классические результаты;

• построению критериев устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, применяющих уравнение Ляпунова высокого порядка и позволяющих избежать условий квазимонотонности уравнений сравнения;

• двухэтапному применению скалярных и векторных функций Ляпунова для исследования устойчивости и анализа структуры устойчивых возмущений;

• модификациям метода Беллмана - Бейли для исследования свойств устойчивости сложных систем различных классов, основанным на применении оценок высокого порядка для компонент векторной функции Ляпунова;

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения по диссертации в целом и списка литературы, состоящего из 99 публикаций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Теоретическая и практическая значимость метода векторных функций Ляпунова определяет актуальность исследований, проводимых в диссертационной работе. Основное внимание уделяется преодолению трудностей, связанных с построением дифференциальных неравенств и соответствующих систем сравнения, обладающих менее жесткими ограничениями. Предлагается дальнейшее развитие метода векторных функций Ляпунова и построение новых способов исследования устойчивости для некоторых классов нелинейных систем.

Преимуществом известных результатов метода векторных функций Ляпунова является ослабление общих требований к рассматриваемой векторной функции. Однако большинство теорем о динамических свойствах предполагают наличие дифференциальных условий относительно ее компонент. Полная производная векторной функции Ляпунова в силу уравнений исследуемой системы должна удовлетворять системе дифференциальных неравенств, обладающей свойством квазимонотонности. Такие ограничения соответственно переносятся на систему сравнения и выражаются в терминах ее правой части, создавая дополнительные сложности для поиска векторной функции Ляпунова. Часть проведенных в работе исследований, направлена на развитие теории дифференциальных неравенств типа С. А. Чаплыгина применительно к методу сравнения. В результате, получены модификации способов построения оценок для решений линейных дифференциальных уравнений и найдены критерии их продолжимости. Определен класс дифференциальных неравенств, для которых соответствующие уравнения сравнения не требуют свойств квазимонотонности, характерных для классического метода векторных функций Ляпунова. Построены критерии устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений, применяющие производные функции Ляпунова высоких порядков.

Применяя найденные критерии, выполнено исследование свойства равномерной асимптотической устойчивости для нестационарных систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Разработанные методы анализа устойчивости позволили модифицировать некоторые результаты.

В проведенных исследованиях предлагается новый метод для анализа устойчивости решений систем дифференциальных уравнений, основанный на двухэтапном применении скалярных и векторных функций Ляпунова. Разработаны критерии устойчивости, не применяющие метод сравнения и условия квазимонотонности, что позволяет ослабить требования к производной векторной функции Ляпунова по сравнению с некоторыми подходами метода векторных функций. Определена структура устойчивых возмущений для правой части системы и выполнен анализ устойчивости достаточно широкого класса систем дифференциальных уравнений.

Важным результатом, представленных в работе исследований, являются модификации критериев устойчивости сложных систем. Предложено дальнейшее развитие метода Беллмана - Бейли для исследования устойчивости систем дифференциальных уравнений с выполненным процессом декомпозиции. Рассматривается построение систем сравнения для векторных функций Ляпунова, удовлетворяющих оценкам высокого порядка и позволяющих учитывать некоторый класс нелинейных и нестационарных возмущений. Выполнено исследование алгебраических, неравенств, основанных на свойствах однородных функций. Для производных векторных функций Ляпунова построены новые оценки, позволяющие модифицировать некоторые результаты метода Беллмана - Бейли. Найдены критерии устойчивости для различных классов взаимосвязей между уравнениями подсистем. Проводится сравнение полученных модификаций метода с некоторыми подходами, подтверждающее эффективность найденных критериев.

Таким образом, в результате выполненных исследований появляются новые возможности, для исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода сравнения и векторных функций Ляпунова. Найденные критерии анализа устойчивости позволяют применять дифференциальные неравенства, не требующие выполнения условий квазимонотонности и ослабить ограничения на правые части соответствующих систем сравнения. Разработанные методы оправдывают свою практическую эффективность, обеспечивая возможность применять функции Ляпунова не удовлетворяющие классическим теоремам. Предлагаемые модификации способа Беллмана - Бейли дополняют ряд критериев для анализа устойчивости сложных динамических систем, и в тех случаях, когда некоторые известные методы не применимы, позволяют судить об устойчивости. Двухэтапный метод применения скалярных и векторных функций Ляпунова представляет новый способ исследования устойчивости. Результаты исследований неравенств типа С. А. Чаплыгина г оказались применимы к важным классам дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Системы сравнения, применяющие дифференциальные неравенства для построения нижних интегральных оценок, могут оказаться полезными для исследования неустойчивости. Наиболее актуальными задачами в дальнейшем развитии и в приложениях метода является построение векторных функций Ляпунова и систем сравнения для анализа свойств огличных от устойчивости, приложение к исследованию систем дифференциальных уравнений с частными производными, созданию алгоритмического и программного обеспечения.

1. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения.- М.; J1.: Гостехиздат. 1950.-471 с.

2. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.- М.: Наука, 1979.-336 с.

3. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений.- М.; JI.: Гостехиздат, 1950. — 102 с.

4. А. Косое A.A. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференц. уравнения.- 1997.- Т 33 № 10.- С. 1432 1434

5. Мартынюк A.A., Лакишикантам В., Лиила С. Устойчивость движения: Метод интегральных неравенств. Киев: Наукова думка, 1989. 272 с.

6. Матросов В.М. К теории устойчивости движения // Прикл. математика и механика. 1962. Т. 26. № 6.- С. 992 1000.

7. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. A.A. Воронова и В.М. Матросова.- М.: Наука, 1987. 312 с.

8. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов / Веремей Е.И., Корчанов В.М., Коровкин М.В, Погожее С.В.- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002.- 370 с.

9. Bailey F.N. The application of Lyapunov's second method to interconnected systems//Journ. Soc. Industr. and Appl. Math. Ser. A, Control. 1965. Vol. 3, № 3. p. 443 -462.

10. Bellman R. Vector Lyapunov functions // SI AM J. Contr., Ser. A.- 1962.- № 1.- P. 32-34.

11. Siljak D.D. Large-scale dynamic systems: stability and structure.- New York: North Holland, 1978. 416 p.

12. Ачексаидров А.Ю., Платонов А.В. Устойчивость движений сложных систем.- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 79 с.

13. А. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе сложных систем с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика.- 1973.-№1.- С. 5-22.

14. МартышокА.А., Гутовски Р. Интегральные неравенства и устойчивость движения. Киев.: Наукова думка, 1979. 272 с.

15. Варбаииш Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

16. Груйич JI. Т., Мартынюк А.А., Риббеис-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев: Наукова думка, 1984. 308 с.19 .Зубов В.И. Методы A.M. Ляпунова и их применение- Изд-во ЛГУ, 1957.-241 с.

17. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования.-Судпромгиз. 1959.

18. Каменков Г.В. Избранные труды. Т.1. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика М.:- Наука. 1971.- 258 с.

19. Машин И.Г. Теория устойчивости движения.- М.: Наука, 1966.

20. Персидский К.П. Избранные труды: В 2 т.- Алма-Ата: Наука. 1976.

21. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова М.: Наука, 1970.- 240 с.

22. Красовский Н.Н Некоторые задачи теории устойчивости- М.: Физматгиз, 1959.

23. La Salle J.P. The extent of asymptotic stability // Proc. Nat. Acad. Sci. USA.- 1960.- Vol. 46, № 3.- p. 363 365

24. Jla Сачь Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова М.: Мир, 1964.- 168 с.

25. Массера Х.Л. Contributions to stability theory // Annals of Math Vol. 64, No. l.-p. 182-206.

26. ПлиссВ.А. Нелокальные проблемы теории колебаний M.; JI.: Наука, 1964.

27. RoucheN., Mawhin W. Equations différentielles ordinaires. Vol. 2. Stabilité et solutions periodigue.- Paris: Masson et cic. 1973.

28. Yoshizawa T. Stability theory by Lyapunov's second method // Tokyo Math. Soc. Japan.- 1966-223 p.

29. BhatiaN., SzegoG. Dynamical svstems: stability theory and applications-Berlin; Heidelberg; New York: Springer Verl. 1967.

30. Лурье A.M. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования.- M.; JT.: ГИТТЛ, 1951.

31. ЛетоеA.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.- М.: Гостехиздат, 1955.-312 с.

32. Меркни Д.Р. Гироскопические системы,- М.: ГИТТЛ, 1956

33. Аизермаи М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем М.: Изд-во АН СССР. 1963- 140 с.

34. Зубов В.И. Лекции по теории управления.- М.: Наука, 1975.

35. Зубов В.И. Динамика управляемых систем,- М.: Высшая школа, 1982.

36. ЖабкоА/7., Харитонов BJI. Методы линейной алгебры в задачах управления.- СПб.: СПбГУ, 1993- 320 с.

37. ГелигАХ., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия-М.: Наука, 1978.

38. Красовскии А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование.-М.: Наука, 1973.

39. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами.-Казань: КАИ, 1971.

40. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами.- М.: Наука, 1977.4в. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математического управления.- J1.: ЛГУ, 1981.

41. Wazewski T. Systèmes des equations et des inégalités differetielles ordinaires aux deuxiemes members monotones et leurs applications, Ann. de la Soc. Pol. de Math.- 1950.- Vol.23

42. Воскресенский П.В. Методы сравнения в нелинейном анализе.-Саранск: Изд-во Сарат. ун-та. Саран, фил., 1990 224 с.

43. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений-М.: Наука, 1966.-331 с.

44. Мачедов Я.Д. Односторонние оценки в условиях исследования решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.- Баку: Элм, 1971.

45. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем-Л.: Машиностроение, 1975 200 с.

46. Хеш Дж. Теория функционально дифференциальных уравнений - М.: Мир, 1984.

47. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова. Общая механика. 1975.- Т.2.- М.: ВИНИТИ, с. 53 -112.

48. Матросов В.М. Об устойчивости движения // Прикл. математика и механика.- 1962 Т. 26, № 5.- С. 885 - 895.

49. Куицевич В.М., Чеховой АЗ. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией.- Киев: Техника, 1970.

50. Матросов В.М. К теории устойчивости движения II // Тр. Казан, авиац. ин-та. Математика и механика 1963- Вып. 80.- С. 22 - 33.

51. Lakshmikantham V. Vector Lyapunov function and conditional stability // J. Math. Appl- 1965.- № 2.- p. 368 377.

52. Матросов B.M. Развитие метода функций Ляпунова в теории устойчивости // Тр. II Всесоюз. съезда по теор. и приклад, механике. Т. 1-М.: Наука, 1964.-С. 112-125.

53. Матросов В.М. Об устойчивости множеств неизолированных положений равновесия неавтономных систем // Тр. Казан, авиац. ин-та. Математика и механика.- 1965. Вып. 89. - С. 20 - 32.

54. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости // Механика в СССР за 50 лет. Т. 7 М.: Наука, 1968 - С. 7 - 66.

55. Lakshmikantham V., Leela S. Differential and integral inequalities Vol. I, II. New York; - London: Academic Press, 1969.

56. Hartman F. The existence and stability of stationary points // Duke Math. J.-1966.-Vol. 33, № 2.- p. 281 290.

57. Егоров F.A. К исследованию устойчивости интегральных многообразий // Тр. Казан, авиац. ин-та. Математика и механика-1968 Т. 107.- С. 31 -33.

58. Peifer К., Rouche N. Lyapunov's second method applied to partial stability // J. de Mecanique 1969.- № 8 - P. 323 - 324.

59. Матросов В.М. Принцип сравнения с вектор функцией Ляпунова I, II // Дифферент уравнения.-l968.- Т. 4, № 8.- С. 1374 - 1386; № 10.- С. 1739 - 1752.

60. Матросов В.М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова, III, IV //Диффсренц. уравнения.- 1969.-Т. 5, № 7.- С. 1171 1185; № п.- С. 2129-2143.

61. Deo S.G. On Vector Lyapunov functions // Proc. Amer. Math. Soc.- 1971.-Vol.29, № 3.- P. 575-580.

62. Lakshmikantham V., Leela S. Global results and stability of motion // Proc. Cambridge Philos. Soc.- 1971.- Vol.70, № i. p. 95 Ю2.

63. Xameami JI. О применении дифференциальных неравенств к теории устойчивости // Вестн. МГУ. Математика и механика 1975.- № 3.- С. 83 -89.

64. Матросов В.М., Васильев С.Н. Принцип сравнения для автоматического вывода теорем I, II // Известия АН СССР. Техническая кибернетика 1978 - № 2.- С. 60 - 69; № 4. - С. 40-49.

65. Москачеико A.M. Достаточные условия совместной оптимальности систем // Доклады АН СССР.- 1977.- Т. 232, № 3. С. 524 - 527.

66. Москачеико A.M. Методы нелинейных отображений в оптимальном управлении-Новосибирск: Наука, 1983

67. Васильев С.Н. Метод векторных функций Ляпунова в задачах многокритериального выбора // Метод функций Ляпунова и его приложения,- Новосибирск: Наука.- 1984.- С. 34 48.

68. СабаевЕ.Ф. Системы сравнения для нелинейных дифференциальных уравнений и их приложения в динамике реакторов.- М.: Атомиздат, 1980.

69. Мартынюк A.A. Практическая устойчивость движения-Киев: Наукова думка, 1983.

70. Habels P., Peiffer К. Classification of stability like concepts and their study using vector Lyapunov functions // J. Math. Anal. Appl 1973.- Vol. 43.- P. 537 - 570.

71. Habels P., Peiffer K. Attractive concepts and vector Lyapunov functions // Zag. Dran. Nielin.- 1973.- V. 16.- P. 35 52.

72. Матросов B.M. Метод сравнения в динамике систем I // Дифференц. урввнения- 1974.- Т. 11, № 3.- С. 403 417.

73. Матросов В.М. Метод сравнения в динамике систем II // Дифференц. урввнения.- 1975.-Т. 10, №9.-С. 1547- 1559.

74. Васшьев С.Н. Метод сравнения в анализе систем III, IV // Дифференц. урввнения.- 1982.-Т. 18, №2.-С. 197-205; №6.-С. 938-947.

75. Козлов Р.И Применение вектор функции Ляпунова для исследования точности гироскопической стабилизации космического аппарата // Прямой метод в теории устойчивости и его приложения - Новосибирск: Наука, 1980.-С. 129- 152.

76. Мартыиюк А.А., Оболенский А.Ю. Об устойчивости автономных систем Важевского. // Дифференц. урввнения.- 1980.- Т. 16, № 8.- С. 1392 1407.

77. Земляков А.С. О способах построения вектор-функции для нелинейных систем и получение некоторых оценок // Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. Т. 2.- Казань, 1976.- С. 145 -163.

78. Пионтковский А.А., Рутковская Л.Д. Исследование некоторых задач теории устойчивости с помощью метода векторных функций Ляпунова. // Автоматика и телемеханика.- 1967 № 10 - С. 23 - 31.

79. Aoki М. Control of large scale dynamic system by aggregation // IEEE Trans. Automat. Control - 1968 - Vol. 13, № 3.- p. 246 - 253.

80. Siljak D.D. Stability of large-scale systems under structural perturbations // IEEE Trans. Syst. Math and Cybern.- 1973 Vol. 2, № 2.- P. 657 - 663; Vol. 3,№4.-P. 415-417.

81. Siljak D.D. Large-scale dynamic systems: stability and structure: New York: North-Holland.- 1978.-416 p.

82. Жабко А.П., Комаров A.A. Развитие метода векторных функций Ляпунова для анализа устойчивости // Еругинские чтения IX: Тез. докл. международ, матем. конф,- Витебск: УО «ВГУ им. Машерова», 2003.- С. 103-104.

83. Комаров A.A. Использование дифференциального уравнения Ляпунова высокого порядка для исследования устойчивости // Процессы управления и устойчивость: Тр. 34-й науч. конф.- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003 С. 186-188.

84. Комаров A.A. Пример исследования устойчивости методом векторных функций Ляпунова // Процессы управления и устойчивость: Тр. 34-й науч. конф.- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003.- С. 189-191.

85. Комаров A.A. Продолжимость теоремы С. А. Чаплыгина для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. 13-ой межвуз. конф.- Самара: СамГТУ, 2003- С.92.