Исследование устойчивости движений неавтономных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕАВТОНОМНЫХ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ .:.

§1.1. Основные подходы к проблеме исследования устойчивости существенно нелинейных систем

§1.2. Достаточные условия устойчивости сложных систем

§1.3. Исследование нелинейных систем с неограниченными возмущениями

§1.4. Анализ устойчивости двух взаимодействующих подсистем.

§1.5. Исследование области притяжения нулевого решения

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

§2.1. Условия устойчивости положения равновесия уравнения Льенара при нестационарных возмущениях

§2.2. Влияние неограниченных возмущений на асимптотическое поведение решений колебательных систем

§2.3. Критерии устойчивости по неавтономному нелинейному приближению

§2.4. Исследование устойчивости связанных нелинейных осцилляторов

§2.5. Условия диссипативности векторного уравнения

Льенара

В широком классе случаев исследование различных реальных процессов сводится к анализу математических моделей, описываемых системами дифференциальных уравнений, как правило, нелинейными. Таким образом, вопрос о качественных свойствах подобных систем представляется важным при моделировании сложных явлений, прогнозировании хода их развития, управлении ими.

Первоначально аппарат теории дифференциальных уравнений применялся к изучению физических и технологических процессов (см, например, [5, 10, 27, 28, 29, 47, 48, 50]). В дальнейшем сфера использования дифференциальных уравнений значительно расширилась и охватила химию, экономику, экологию, биологию и многие другие области человеческой деятельности [6, 8, 12, 35, 36, 45, 51, 61].

При описании изучаемых объектов часто бывает удобным, а иногда и вообще единственно возможным, использование, так называемого, асимптотического моделирования [35]. Любые исследования имеют дело с моделями реальных процессов. Это значит, что уравнения, оказывающиеся в нашем распоряжении, дают лишь приближенное описание интересующих нас явлений. Мы практически всегда "упрощаем задачу", отбрасывая те или иные слагаемые и понижая порядок систем. Возможность такого упрощения обычно обосновывается малостью каких-то параметров. Однако не всякую малую величину можно отбросить, не искажая смысла задачи. Поэтому важно овладеть методами, позволяющими установить зависимость решений от параметров задачи и, особенно, исследовать асимптотическое поведение решений при малых значениях этих параметров. Важность асимптотических методов значительно возросла в последнее время в связи с развитием вычислительной техники.

На работу любой управляемой или неуправляемой системы всегда действует множество внешних возмущающих факторов. В связи с этим, особое место занимает проблема устойчивости, ибо на практике могут осуществляться лишь устойчивые в том или ином смысле режимы функционирования систем. Если же расчет показывает, что интересующий нас процесс не является таковым, то для его реализации требуется вводить специальные стабилизирующие управления.

Геометрические исследования А.Пуанкаре [43] кривых, задаваемых дифференциальными уравнениями, знаменитая работа А.М.Ляпунова [30], посвященная проблемам устойчивости движения, и исследования Г.Д.Биркгофапо динамическим системам заложили основы теории нелинейных дифференциальных уравнений.

В последующие годы появился целый ряд работ, посвященных теории устойчивости [7, 18, 26, 31, 49]. В основе большинства исследований лежат два метода, разработанные Ляпуновым, так называемые первый и второй.

Первый метод заключается в том, что каким-то образом строятся решения систем дифференциальных уравнений (как правило, в виде рядов) или их оценки; и по ним судят об устойчивости систем.

Однако для большинства задач, как правило, оказывается более эффективным применение второго метода Ляпунова. Он сводится к построению специальных функций, обладающих определенными свойствами (функций Ляпунова).

Значение второго метода далеко не ограничивается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова позволяет решить целый комплекс прикладных задач для конкретной системы: оценку отклонения переходных процессов относительно установившегося режима и времени окончания переходного процесса, оценку качества регулирования [7, 19, 49]. Можно исследовать область при

-б — тяжения [7], проанализировать влияние постоянно действующих возмущений [26, 31], решить проблему существования или отсутствия периодических решений [15, 17, 42, 44, 59]. Функции Ляпунова широко используются и в теории оптимального управления [7, 15, 17, 42].

Решение описанных выше задач значительно усложняется, если рассматриваемая система является нестационарной.

Ляпуновым были определены условия, при выполнении которых вопрос об устойчивости определяется видом линейных членов уравнений. Между тем, способы линеаризации систем дифференциальных уравнений со временем оказывались все менее подходящими для исследования постоянно расширяющегося круга практических задач. Например, это ярко проявляется при изучении колебательных процессов [21, 44, 46, 47].

В таких сомнительных (критических) случаях часто приходится рассматривать системы дифференциальных уравнений, у которых разложение правых частей в ряды по степеням искомых функций вообще не содержит линейных членов.

Ляпунов предложил общий метод изучения критических случаев. Большой вклад в данную теорию внесли И.Г.Малкин, Г.В.Каменков, Н.Н.Красовский, В.И.Зубов и многие другие ученые [11, 18, 22, 26, 31, 60].

В работах [18, 23, 26] получены критерии устойчивости по однородному первому приближению, найдены условия диссипативно-сти таких систем. В дальнейшем В.И.Зубовым было предложено в качестве систем нелинейного приближения использовать обобщенно-однородные системы [19]. Подобные системы возникают при моделировании многих реальных процессов [24]. Было доказано, что асимптотические свойства решений таких систем не меняются при воздействии возмущений, порядок которых больше порядка главных частей систем.

Основная сложность использования второго метода Ляпунова заключается в проблеме построения функций Ляпунова. К сожалению, общих методов их построения не существует. Данная задача становится особенно трудной, если рассматриваемая система имеет большой порядок. Однако часто исследуемую систему можно представить как систему, описывающую взаимодействие нескольких, более простых подсистем (блоков). Для исследования устойчивости таких сложных (многосвязных) систем Р.Беллманом [55] и В.М.Матросовым [34] был предложен метод векторных функций Ляпунова. В дальнейшем подобные методы получили широкое развитие в работах [13, 14, 32, 54, 57].

Однако большинство исследований для таких систем проведено в случае, когда подсистемы линейны или экспоненциально устойчивы.

Главной задачей настоящего диссертационного исследования является расширения круга нелинейных систем, для которых удается получить критерии устойчивости движений. Основным аппаратом исследования служит второй метод Ляпунова.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Получены новые критерии устойчивости сложных систем, состоящих из -существенно нелинейных блоков с нелинейными и нестационарными связями.

2. Уточнены известные условия устойчивости по обобщенно-однородному первому приближению. В частности, показано, что асимптотическая устойчивость нулевого решения может сохраняться и в случае, когда порядок действующих возмущений меньше порядка главных частей системы.

3. Предложен метод исследования устойчивости нелинейных систем, находящихся под воздействием неограниченных возмущений.

4. Проведен анализ устойчивости положения равновесия широкого класса нелинейных моделей механических систем.

5. Получены новые условия диссипативности для ряда нелинейных нестационарных систем.

Таким образом, в диссертации разработаны методы исследования асимптотического поведения существенно нелинейных моделей, возникающих в различных прикладных задачах.

-84 —

Предложенные методы позволяют проанализировать устойчивость программных режимов управляемых и неуправляемых систем, что повышает надежность их работы. Полученные результаты можно использовать для построения управлений, стабилизирующих рассматриваемые системы, с учетом неопределенности в задании математических моделей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию аналитических и качественных методов исследования движений нелинейных динамических систем, подвергающихся влиянию внешних возмущающих воздействий.

Главное внимание уделено проблеме анализа устойчивости систем неавтономных дифференциальных уравнений в критических по Ляпунову случаях. С помощью разработанных методик и алгоритмов в работе получены новые условия устойчивости для широкого класса нелинейных систем.

1. Александров А.Ю. К вопросу об устойчивости по нелинейному приближению // Сибирский мат. журнал. 1997. Т. 38. № 6. С. 1203-1210.

2. Александров А.Ю. Об одном методе построения функций Ляпунова для нелинейных неавтономных систем // Изв. вузов. Математика. 1998. № 1. С. 3-10.

3. Александров А.Ю. Об устойчивости векторного уравнения Льенара с нестационарными возмущениями // Сибирский мат. журнал. 1999. Т. 40. № 5. С. 977-986.

4. Андреев А.Ф. Исследование поведения интегральных кривых одной системы двух дифференциальных уравнений в окрестности особой точки // Вестник ЛГУ. 1955. № 8. С. 43 65.

5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916 с.

6. Артамонов А.Г., Володин В.М., Авдеев В.Г. Математическое моделирование и оптимизация плазмохимических процессов. М.: Химия, 1989. 224 с.

7. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

8. Беллман Р. М атематические методы в медицине. М.: Мир, 1987. 200 с.

9. Биркгоф Г.Д. Динамические системы. М.; Л.: Гостехиздат, 1941. 320 с.

10. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. 400 с.

11. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984. 320 с.

12. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

13. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 336 с.

14. Груйич JI.T., Мартынюк А.А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев: Наукова думка, 1984. 308 с.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

16. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 344 с.

17. Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 416 с.

18. Зубов В.И. Методы A.M. Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1957. 241 с.

19. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, 1974. 335 с.

20. Зыков А.А. Теория конечных графов. Новосибирск: Наука, 1969. 543 с.

21. Игнатьев А.О. Об устойчивости положения равновесия колебательных систем с переменными коэффициентами // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46. № 1. С. 167-168.

22. Каменков Г.В. Избранные труды. Т. 1. М.: Наука, 1971. 260 с.

23. Каневский А.Я., Рейзинь Л.Э. Построение однородных функций Ляпунова-Красовского // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 2. С. 251-260.

24. Козлов В.В. Тензорные инварианты квазиоднородных систем дифференциальных уравнений и асимптотический метод Ковалевской Ляпунова // Математические заметки. 1992. Т. 51. № 2. С. 46-52.

25. Косов А.А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 10. С. 1432-1434.

26. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.

27. Лагранж Ж. Аналитическая механика. В 2-х т. М.; Л.: ОНТИ, 1938. Т. 1. 348 е.; 1950. Т. 2. 440 с.

28. Ленерт Б. Динамика заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1967. 351 с.

29. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

30. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: ОНТИ, 1935. 386 с.

31. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Госте-хиздат, 1952. 432 с.

32. Мартынюк А.А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наукова думка, 1975. 352 с.

33. Матросов И.В. Оценка решений в критических случаях теории устойчивости // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 6. С. 745-754.

34. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А.А. Воронова и В.М. Матросова. М.: Наука, 1987. 312 с.

35. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. 488 с.

36. Островский Г.М., Волин Ю.М. Моделирование сложных химико-технологических схем. М.: Химия, 1975. 311 с.

37. Платонов А.В. Об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды XXIX научной конференции. СПб.: НИИ Химии СПб-ГУ, 1998. С. 75-79.

38. Платонов А.В. Исследование устойчивости решений сложных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды XXX научной конференции. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1999. С. 150-154.

39. Платонов А.В. Исследование устойчивости решений нелинейных систем с неограниченными возмущениями // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 12. С. 1707-1708.

40. Платонов А.В. Об устойчивости положения равновесия уравнения Льенара с переменными коэффициентами // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXI научной конференции. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2000. С. 101-104.

41. Платонов А.В. Об устойчивости многосвязных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXII научной конференции. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2001. С. 89-91.

42. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964. 368 с.

43. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. ОГИЗ. 1947. 392 с.

44. Рейссиг Р., Сансоне Р., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974. 320 с.

45. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

46. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических систем. Киев: Наукова думка, 1989. 208 с.

47. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1953. 256 с.

48. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968. 432 с.

49. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 208 с.

50. Эйлер Л. Основы динамики точки. М.; Л.: ОНТИ, 1938. 500 с.

51. Эрроусмит Д.К., Плейс К.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986. 243 с.

52. Aleksandrov A.Yu., Platonov A.Y. On the stability of stationary operating modes of the technological processes. Abstracts of the Int.

53. Symposium "HYPOTHESIS-99". Jule 5-8, 1999. St.Petersburg, Russia, p. 4.

54. Aleksandrov A.Yu., Platonov A.V. On the stability of nonau-tonomous large-scale systems. Proc. of the Int. Conference "Control of Oscillations and Chaos (COC 2000)". Jule 5-7, 2000. St.Petersburg, Russia, p. 113-114.

55. Bailey F.N. The application of Lyapunov's second method to interconnected systems // Journ. Soc. Industr. and Appl. Math. Ser. A, Control. 1965. V. 3. № 3. P. 443-462.

56. Bellman R. Vector Lyapunov functions // Journ. Soc. Industr. and Appl. Math. Ser. A, Control. 1962. V. 1. № 1. P. 32-34.

57. Coleman C. Growth and decay estimates near non-elementary points // Canad. J. Math. 1970. V. 22. № 6. P. 1156-1167.

58. Habets P., Reiffer K. Classification of stability-like concepts and their study using vector Lyapunov functions // J. Math. Anal. 43. 1973.

59. Platonov A.V. Investigation of stability of nonlinear nonstationary systems. Abstracts of the fifth Intern. Workshop "Beam Dynamics & Optimization". June 29-July 3, 1998. St.-Petersburg, Russia, p. 26.

60. Rouche N., Mawhin J. Ordinary differential equations: stability and periodic solutions. Boston, etc.: Pitman, 1980. 260 p.

61. Salvador! L. On the stability of equilibrium in critical cases // Mec-canica. 1967. V. 2. № 2. P. 82-94.

62. Siljak D.D. Large-scale dynamic systems: stability and structure. New York: North Holland, 1978. 416 p.

63. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. Tokyo: The Math. Soc. of Japan, 1966. 223 p.