Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости по двум мерам функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1 П:

Ульяновский Государственный университет

На правах рукописи

СЕДОВА Наталья Олеговна

МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДВУМ МЕРАМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА.

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.м.н., проф. А.С. Андреев

Ульяновск - 1999

Оглавление

Введение 4

I. К задаче об устойчивости по двум мерам неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 15

1. Основные понятия и вспомогательные утверждения...... 15

1.1. Определения устойчивости....... ......... 15

1.2. Функции Ляпунова..................... 17

2. Основные предположения. Предельная система......... 19

3. Исследование (/го, /^-устойчивости неавтономной системы

при предположении ограниченности решений.......... 25

3.1. Взаимосвязь (/¿о, /г)-устойчивости неавтономной системы и предельных к ней систем............ 25

3.2. Метод предельных систем в сочетании с прямым методом Ляпунова....................... 29

4. Исследование (/¿о, /^-устойчивости неавтономной системы без предположения ограниченности решений............ 42

4.1. Задача о локализации предельного множества решения неавтономной системы.................. 42

4.2. Об асимптотической (/¿о, /^-устойчивости и неустойчивости системы (Б).................... 46

4.3. Случай автономной системы............... 52

II. К задаче об устойчивости нулевого решения неавтономных функционально-дифференциальных уравнений 54

1. Исследование устойчивости нулевого решения системы уравнений с конечным запаздыванием................. 54

1.1. Основные определения, предположения и вспомогательные утверждения................... 54

1.2. Теорема о локализации положительного предельного множества .......... ............... 59

1.3. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости ........................... 62

2. Исследование устойчивости нулевого решения уравнений с бесконечным запаздыванием................... 81

2.1. Основные определения, предположения и вспомогательные утверждения................... 81

2.2. Теорема о локализации положительного предельного множества ......................... 87

2.3. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости ........................... 89

2.4. Обобщение теорем о притяжении, асимптотической устойчивости и неустойчивости............. 97

IIIK задаче об устойчивости по двум мерам неавтономной системы функционально-дифференциальных уравнений 107

1. Основные понятия и предположения ............................107

2. Исследование (/¿о, /^-устойчивости систем с конечным запаздыванием ............................................................108

2.1. Функции Ляпунова и основные теоремы................109

2.2. Исследование (До, /^-устойчивости системы (SF) . . . 112

3. Исследование (/го, /^-устойчивости систем с бесконечным запаздыванием ........................................................121

3.1. Пары Ляпунова-Разумихина и основные теоремы . . . 121

3.2. Исследование (/¿о, /г)-устойчивости системы (SI) .... 124 Заключение 128 Библиографический список использованной литературы 130

Введение.

Исследование устойчивости идеальных процессов, установление возможности создания реального процесса с требуемыми свойствами является важнейшей практической задачей. Среди различных определений устойчивости наиболее общим, математически корректным и соответствующим физическому представлению об устойчивости и потере устойчивости признан подход гениального русского математика А.М.Ляпунова.

Ляпуновым были заложены основы теории двух методов исследования устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Эффективность так называемого прямого метода Ляпунова связана с тем, что использование введённых Ляпуновым вспомогательных функций позволяет исследовать устойчивость и неустойчивость, не находя самих решений уравнения, а используя свойства некоторых вспомогательных функций и их производных вдоль решений. Большую роль в становлении метода функций Ляпунова сыграли работы Н.Г.Четаева и его учеников (см. [25], [52] и др.)

В настоящее время сфера применения функций Ляпунова не ограничивается задачами классической теории устойчивости. Идеи прямого метода используются для решения задач управления и стабилизации движения, при исследовании систем, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом и уравнениями с частными производными, разностными и стохастическими уравнениями и др. За сто лет теория устойчивости была развита во многих направлениях, и по сей день она остаётся объектом исследований многих учёных. Актуальность этой области науки определяется как необходимостью развития математического аппарата теории устойчивости, так и широкими её приложениями к анализу разнообразных динамических свойств нелинейных систем самой различной природы и формы описания.

При определении з^стойчивости прежде всего необходимо ввести меру отклонения возмущённого состояния от невозмущённого для каждого момента времени £ Е [¿о5+оо). В попытке разработать единый подход к ис-

следованию устойчивости решений дифференциальных уравнений возникло понятие устойчивости в терминах двух различных мер. В качестве меры отклонения, вообще говоря, принимается любой вещественный неотрицательный функционал, нижняя граница которого равна нулю в каждый момент времени на некотором множестве допустимых состояний процесса. Такой подход был предложен А.А.Мовчаном [29], [30] для изучения свойств систем с распределёнными параметрами, им же были сформулированы и доказаны основные теоремы типа теорем Ляпунова. Дальнейшее развитие это направление получило в работах В.В.Румянцева, Т.К.Сиразетдинова и других учёных. Например, Г.К.Пожарицкий изучал устойчивость положения равновесия и стационарных движений твёрдого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость [33], а затем значительные результаты для этой и других механических задач были получены В.В.Румянцевым (см., например, [31], [32]). Различные технические задачи, связанные с изучением устойчивости систем с распределёнными параметрами, рассмотрены Т.К.Сиразетдиновым [49]. В дальнейшем теория устойчивости в терминах двух мер получила развитие в целом ряде работ отечественных и зарубежных учёных. Подробное изложение многих результатов содержится в монографии А.А.Шестакова [53]. Важным частным случаем устойчивости по двум мерам является устойчивость относительно части переменных. Систематическое изложение результатов, полученных при исследовании этого вида устойчивости для обыкновенных дифференциальных уравнений, дано в монографии В.В.Румянцева и А.С.Озиранера [42]. Среди последних работ в этом направлении следует отметить статьи [83], [84], в которых исследовалась устойчивость по двум мерам решений обыкновенных дифференциальных уравнений, а также [86] для уравнений с конечным запаздыванием.

Дифференциальные уравнения с запаздыванием (последействием) были впервые введены в классических трудах В.Вольтерра [10], [И]. Ими описываются разнообразные процессы в природе и технике. Основным свойством этого математического объекта является зависимость изменения состояния в каждый момент времени от предыстории процесса. Широкие

возможности применения таких уравнений в качестве математических моделей самых разнообразных процессов определили интерес и значительное развитие теории функционально-дифференциальных уравнений за последние полвека. История развития и современное состояние этой теории для случая конечного (ограниченного) запаздывания достаточно полно изложены в работах [19], [21], [56],[65], и наиболее полным описанием считается монография [50].

Для уравнений с неограниченным запаздыванием основной сложностью в построении теории оказался выбор подходящего пространства начальных функций (названного «фазовым пространством»). От этого выбора существенно зависели даже результаты существования и единственности решений. После того, как попытки построения теории уравнений с неограниченным запаздыванием были предприняты для большого количества фазовых пространств, назрела необходимость аксиоматического подхода к этой проблеме. Другими словами, следовало определить ряд аксиом, касающихся фазового пространства и правой части уравнения, таких, что любое конкретное пространство и функционал, удовлетворяющие этим аксиомам, автоматически обладали бы определёнными свойствами, в частности, удовлетворяли бы условиям существования и единственности решений. Такие аксиомы для конечномерных систем были предложены в работе [75], и в дальнейшем использовались (нередко с незначительными изменениями) во многих исследованиях, в том числе при изучении устойчивости и предельных свойств решений таких уравнений (см., например, [71], [76], [81], [89], [96] и др.)

Проблема распространения прямого метода Ляпунова на задачи устойчивости систем с запаздыванием возникла в 50-х годах нашего столетия и все эти годы исследовалась достаточно активно. Истоками этих исследований можно считать статьи [20], [37], в которых были сформулированы два подхода к этой проблеме.

Один из них основан на идее обобщения метода Ляпунова путём использования знакоопределённых функционалов, определённых на отрезках

интегральных линий. Эти функционалы являются естественным обобщением конечномерных функций Ляпунова с точки зрения функциональной трактовки решений уравнений с запаздыванием, для которых фазовое пространство является бесконечномерным. Дальнейшее развитие это направление получило в работах [15]-[20], [54], [55], [64]-[66], [68] и мн. др. Были доказаны теоремы об обратимости. Таким образом, данный метод можно считать теоретически обоснованным и в некотором смысле завершённым, но с другой стороны, построение функционалов для конкретных примеров, а также исследование их знакоопределённости зачастую превращается в достаточно трудную задачу.

Стремление сохранить знакоопределённые функции в качестве меры возмущений привело к другому пути построения теории устойчивости систем с последействием. При этом формальное перенесение формулировок теорем типа Ляпунова на случай функционально-дифференциальных уравнений оказалось невозможным, и конструктивные результаты в этом направлении были получены, как правило, на основе введённых Б.С.Разумихиным условий относительно производной функции Ляпунова (см. [37]). В связи с этим конечномерные функции, используемые при исследовании устойчивости решений уравнений с запаздыванием, получили в литературе название функций Ляпунова-Разумихина. Этот метод, хотя и был поначалу встречен скептически, со временем привлек внимание многих учёных, как отечественных [34]-[39], так и зарубежных [63], [70], [72], [73] и др., и был развит и обобщён для применения к исследованию неустойчивости [34], [35], для функционально-дифференциальных уравнений с бесконечным запаздыванием [72] и уравнений типа Вольтерра [69], [94], а также для задач о локализации положительного предельного множества ограниченного решения уравнения с запаздыванием [70], [72], [78]. Более того, идеи ослабления условий на производную, аналогичные условиям Разумихина, стали применяться также в теории функционалов (см., например, [81], [96]).

Эффективность метода функций Ляпунова в исследовании свойств нелинейных систем, с одной стороны, и трудности построения в конкретной

задаче функции (или функционала) Ляпунова определили интенсивное развитие теории в направлении ослабления условий, налагаемых на функцию Ляпунова и её производную.

Наиболее известным результатом такого рода для обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема Барбашина-Красовского [9] об асимптотической устойчивости нулевого решения автономной системы при условии существования знакоопределённой функции Ляпунова со знакопостоянной вдоль решений производной. Это теорема была обобщена Н.Н.Красовским на случай периодической системы [21], а Ж.П.Ла-Саллем были получены результаты о притяжении решений автономных и периодических систем и сформулирован так называемый принцип инвариантности [23].

В поиске подобного свойства для неавтономных непериодических систем возник так называемый метод предельных систем, который позволил представить неавтономную систему как динамическую систему в расширенном фазовом пространстве [91] и исследовать асимптотические свойства её решений. В зависимости от того, какая топология вводится в функциональном пространстве, содержащем сдвиги правой части системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определяются классы неавтономных систем, представляемых в соответствующем фазовом пространстве как динамические системы. Наиболее общий класс таких систем, для которых предельными являются также системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определяется топологической динамикой, построенной в работе [59]. В работах [60], [61] рассматривается задача об исследовании связи свойств устойчивости и предельного поведения решений исходной и предельных систем. Однако для исследования притяжения решений, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы более эффективным методом оказывается исследование свойств предельных систем при условии существования функции Ляпунова со знакопостоянной производной. Результаты такого рода, в том числе для устойчивости по части переменных, получены А.С.Андреевым и изложены

в работах [4], [5] и др.

Аналогичная методика применима и к исследованию свойств решений функционально-дифференциальных систем. Если правая часть неавтономной системы с запаздыванием удовлетворяет условиям предкомпактности в открыто-компактной топологии [91], то для неё могут быть построены предельные системы и сформулирован принцип квазиинвариантности положительного предельного множества (см. [3], [78]). Связь свойств устойчивости для исходной и предельной систем изучена как для конечного [3], так и для бесконечного запаздывания [76], [88] и др. Кроме того, предположение существования функционалов Ляпунова со знакопостоянной вдоль решений системы производной позволяет доказать теоремы о локализации положительного предельного множества ограниченного решения, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения, аналогичные соответствующим теоремам для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [3], [8]).

В 1983 году Haddock и Terjeki [70] использовали технику Ляпунова-Разумихина для локализации положительного предельного множества решения автономного функционально-дифференциального уравнения с конечным запаздыванием и вывода принципа инвариантности. В 1990 г. теми же авторами аналогичные результаты были получены для автономных уравнений с бесконечным запаздыванием [72]. Благодаря использованию понятий предкомпактности и предельных уравнений становится возможным решить эту задачу для неавтономного случая, а также доказать теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономного функционально-дифференциального уравнения при условии существования функции Ляпунова, производная которой удовлетворяет условиям типа Разумихина (то есть знакопостоянна на некотором подмножестве фазового пространства). Кроме того, для изучения различных свойств систем, описываемых как обыкновенными, так и функционально-дифференциальными уравнениями, могут оказаться полезными определения устойчивости в терминах двух мер и теоремы о достаточных условиях

такой устойчивости, которые используют свойства предельных систем и конечномерные функции Ляпунова и обобщают соответствующие результаты (как известные, так и полученные в данной работе) об устойчивости состояния равновесия системы.

Целью настоящей работы является:

• обоснование новых методов исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по двум мерам для неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе использования функций Ляпунова со знакопостоянной производной;

• обоснование новых методов исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным и бесконечным запаздыванием на основе использования конечномерных функций Ляпунова;

• обоснование аналогичных методов исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по двум мерам для неавтономной системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

В первой главе исследуются задачи об асимптотической устойчивости, в том числе равномерной и равномерной по начальным данным, и неустойчивости в терминах двух мер для предкомпактной неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений при условии существования функции Ляпунова со знакопостоянной производной.

Первый раздел посвящён определениям: меры отклонения,