Устойчивость решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Общая теория стохастических функционально-дифференциальных уравнений

§1.1. Предварительные сведения и объект исследования

§1.2. Существование и единственность решения задачи Коши

§1.3. Представление решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений

§1.4. Многочлены со случайными коэффициентами и жорданова форма случайных матриц

Глава 2. Устойчивость решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений

§2.1. Устойчивость и разрешимость задачи Коши

§2.2. " ^-преобразование" для линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений

§2.3. Экспоненциальная р-устойчивость функционально-дифференциальных уравнений Ито

§2.4. р-устойчивость с весом и операторы, удовлетворяющие Д-условию

§2.5. Устойчивость с вероятностью единица линейных систем со случайными матрицами

Глава 3. Задача о накоплении возмущений для линейных стохастических функционально—дифференциальных уравнений

§3.1. Допустимость пар пространств

§3.2. Устойчивость по начальной функции решений линейных стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

§3.3. Достаточные условия устойчивости некоторых уравнений

Глава 4. Устойчивость по части переменных решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений

§4.1. Устойчивость по части переменных и разрешимость задачи Ко-ши

§4.2. Изучение устойчивости по части переменных решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений У/преобразованием

§4.3. р-устойчивость по части переменных с весом

Глава 5. Задача о накоплении возмущений по части переменных для линейных стохастических функционально—дифференциальных уравнений

§5.1. Допустимость пар пространств по части переменных

§5.2. Устойчивость по части переменных решений по начальной функции для линейных стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

§5.3. Достаточные условия устойчивости по части переменных некоторых уравнений

Глава 6. Устойчивость решений нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений

§6.1. Устойчивость решений по первому приближению

§6.2. Устойчивость по части переменных по первому приближению

§6.3. Достаточные условия устойчивости и устойчивости по части переменных решений некоторых нелинейных уравнений

Диссертация посвящена изучению некоторых вопросов теории функционально-дифференциального уравнения по семимартингалу вида йх{г) = {Ух){^г{1)^> о, (1) где V : Вп —>■ Ьп(.£) — вольтерров (см. определение на с. 20) оператор.

Если {Ух) {г) = {Ух) (*) + /(*), где У : Бп — А^-линейный см. определение на с. 20), вольтерров оператор, / 6 Ьп{2), то уравнение (1) называют линейным функционально-дифференциальным уравнением по семимартингалу. В этом случае уравнение (1) называют линейным однородным, если / = 0.

Заметим, что частными случаями уравнения (1) являются, например, функционально-дифференциальные уравнения Ито и их гибриды, функционально-дифференциальные уравнения в мерах, а также другие стохастические функционально-дифференциальные уравнения с последействием,

К уравнению (1) сводятся обыкновенные дифференциальные уравнения по семимартингалу, дифференциальные уравнения по семимартингалу с запаздывающим аргументом, интегро-дифференциальные уравнения по семимартингалу.

В диссертационной работе расмотрены следующие основные вопросы: разрешимость задачи Коши для уравнения (1), представление для решения линейного уравнения (1), устойчивость и устойчивость по части переменных решений для уравнения (1) по начальным данным, а также допустимость и допустимость по части переменных некоторых пар пространств для линейного уравнения (1). Как частный случай допустимости, допустимости по части переменных пар пространств изучена устойчивость, устойчивость по части переменных по начальной функции тривиального решения для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. Получены достаточные условия устойчивости и устойчивости по части переменных решений некоторых уравнений в терминах параметров исследуемых уравнений.

Отметим, что в теории функционально-дифференциальных уравнений вопросам устойчивости решений нелинейных уравнений, а также вопросам представления решений и основанных на этих представлениях теоремам об устойчивости решений линейных уравнений посвящено немало работ различных авторов (см., например, [1-3, 8, 9, 12, 13, 51-64, 67-70, 73, 76-83, 91-97, 99-101, 103-123, 125-127, 129, 130, 132]). В них, в основном, используются идеи и методы, восходящие к классическим работам А.М.Ляпунова, в которых заложены основы метода вспомогательных функций (функций Ляпунова). Методы построения функций Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо разработаны. Применение же метода функций Ляпунова или функционалов Ляпунова-Красовского для функционально-дифференциальных уравнений, как нам кажется, оправдывает себя только в случае нелинейных уравнений. Для линейных функционально-дифференциальных уравнений в детерминированном случае в настоящее время задачи устойчивости эффективно исследованы с помощью " Ж-метода" (метода вспомогательных или " модельных" уравнений) [1-3, 9, 51, 99]. Это направление берет свое начало в работах Е.А.Бар-башина [8], Х.Массера, Х.Шеффера [76] и характеризуется тем, что свойство устойчивости определяется принадлежностью решений специальным функциональным пространствам.

Первой работой по устойчивости решений уравнений вида (1) является известная статья И.Я.Каца и Н.Н.Красовского [54]. В последующем теория стохастической устойчивости таких уравнений интенсивно развивалась. Отметим лишь работы некоторых авторов: Г.Н.Миль-штейн [78-81], Г.Дж.Кушнер [67, 126, 127], В.Б.Колмановский [5561], В.Р.Носов [58-61], Р.З.Хасьминский [100, 101], К.Н.Хусаинов [82], Е.Ф.Царьков [104-114], Л.Е. Шайхет [115-118] и др. Здесь следует выделить два основных направления: метод стохастических функций Ляпунова [52-56, 58-64, 69, 74-79, 81, 82, 94-97,100,101,103-127, 131, 132] и метод моментов [57, 59, 68, 70, 80, 101]. Оба эти метода в применении к линейным стохастическим уравнениям с последействием наталкиваются на ряд принципиальных и технических трудностей. Первый метод часто требует решения сложных уравнений в баноховых пространствах, второй приложим лишь в специальных случаях к специальным классам уравнений с запаздыванием. Кроме того, все авторы, упомянутые выше рассматривали, преимущественно, уравнения Ито.

В настоящей работе Ж-метод распространяется на линейное функционально-дифференциальное уравнение вида (1). Как и в детерминированном случае метод основан на конструировании вспомогательного модельного уравнения с заданными асимптотическими свойствами решений. Во многих случаях этот метод позволяет обходить некоторые трудности, которые могут возникнуть при применении выше указанных методов. Кроме того, с помощью И^-метода можно получать признаки устойчивости решений стохастических линейных уравнений в терминах параметров этих уравнений, а также изучать устойчивость решений новых классов таких уравнений (например, уравнений по се-мимартингалу, а также уравнений с неограниченным запаздыванием). Подчеркнем, что И^-метод позволяет формулировать необходимые и достаточные признаки устойчивости решений.

Перейдем к краткому обзору основных результатов диссертационной работы.

Первая глава посвящена вопросам общей теории уравнения (1). В параграфе 1.1 приведены предварительные сведения, необходимые в дальнейшем и описан объект исследования. Во втором параграфе этой главы рассмотрен вопрос существования и единственности регулярного решения задачи Коши для уравнения (1). Вопросам существования и единственности решения задачи Коши для стохастических уравнений посвящено много работ. Достаточно полный их список приведен в монографиях [18, 58, 87, 111] и в работах [84-86, 89, 90, 128, 131, 134]. Основное ограничение на оператор V — наличие у него так называемого "функционального контрактора", которое обобщает понятие "интегрального контрактора", введенное для оператора Немыцкого в [128, 134] и являющееся обобщением условия Липщица. Результаты параграфа 1.2 (теорема 1.2.1) существенно дополняют работу [134]. Как следствие получены условия разрешимости задачи Коши для линейных уравнений вида (1).

В параграфе 1.3 рассмотрен вопрос о представлении для решения линейного уравнения (1) (доказательство формулы типа формула Коши). Это представление играет центральную роль в задачах устойчивости, а также в теории квазилинейных уравнений. В детерминированном случае этот вопрос изучался в [4-7], а в случае линейных дифференциальных уравнеений Ито без последействия — в [92, 93, 131]. Нами получена общая формула представления для решения линейного уравнения

1) при естественных ограничениях на оператор V (лемма 1.3.1). Здесь же уточняется вид общей формулы представления решения для некоторых классов линейных уравнений вида (1): линейных функционально-дифференциальных уравнений Ито с аддитивными шумами (теорема 1.3.1) и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений Ито (теорема 1.3.2). Специфика этих уравнений определяется тем, что для них "оператор Коши" оказывается "интегральным". Отметим, что в работах [92, 93, 131] "формула Коши" для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений Ито была доказана при более ограничительных условиях. Особое внимание в параграфе уделено выводу уравнений для " матриц Коши". Результаты этого параграфа использованы при изучении вопросов устойчивости решений уравнения (1) в следующих главах.

При исследовании на устойчивость решений дифференциальных систем со случайными коэффициентами возникает необходимость изучения вопроса приводимости к жордановой форме случайных матриц. Некоторые случайные матрицы, приводимые к жордановой форме, рассмотрены в [14]. Вопрос приводимости к жордановой форме случайных матриц связан с их спектральной теорией. А спектральная теория случайных матриц, в свою очередь, тесно связана с различными вопросами многочленов и рациональных дробей со случайными коэффициентами. Поэтому в параграфе 1.4 изучаются многочлены и рациоанльные дроби со случайными коэффициентами и приводимость к жордановой форме случайных матриц. Доказана теорема 1.4.9 о приводимости к жордановой форме произвольной случайной матрицы.

Во второй главе рассматриваются вопросы общей теории устойчивости тривиального решения линейного однородного уравнения (1) по начальным данным. Как уже отмечалось ранее, исследование проведено с помощью И^-метода.

В первом параграфе введены некоторые понятия, сформулированы определения основных типов устойчивости решений по начальным данным для линейного уравнения (1). Далее доказано, что каждый из этих типов устойчивости эквивалентен принадлежности решений однородного уравнения, соответствующего линейному уравнению (1) специальному функциональному пространству (теорема 2.1.1). Причем, каждому виду устойчивости соответствует некоторое, вполне определенное, пространство случайных процессов.

В параграфе 2.2 описано " Ж-преобразование" линейного уравнения (1). Оно однозначно определяется "модельным" уравнением (под модельным уравнением понимается более простое уравнение с известными асимптотическими свойствами решений). В результате получается некоторое уравнение, эквивалентное исходному. Далее остается показать его разрешимость в соответствующем функциональном пространстве, откуда и будет следовать определенная устойчивость решений исследуемого уравнения. Доказано утверждение (теорема 2.2.1), при помощи которого можно эффективно проверять искомую разрешимость.

В параграфе 2.3 отдельно рассмотрена экспоненциальная ^-устойчивость решений линейного функционально-дифференциального уравнения Ито. Она оказывается эквивалентной принадлежности решений линейного однородного функционально-дифференциального уравнения Ито функциональному пространству с экспоненциальным весом (лемма 2.3.1). Здесь получено, в некотором смысле, распространение классической теоремы Боля-Перрона [99] на линейное функционально-дифференциальное уравнение Ито (теорема 2.3.1). Основной результат параграфа состоит в том, что экспоненциальная р-устойчивость тривиального решения линейного однородного функционально-дифференциального уравнения Ито следует из его ^-устойчивости при некоторых дополнительных предположениях (" А-условий") на оператор У, встречающий в уравнении (теорема 2.3.1). В детерминированном случае подобное утверждение сформулировано в [1, 2].

В следующем параграфе изучена принадлежность решений линейного однородного уравнения (1) функциональному пространству с весом. При различных значениях веса из принадлежности решений линейного однородного уравнения (1) функциоанльному пространству с весом будет следовать р-устойчивость, асимптотическая р-устойчивость и экспоненциальная р-устойчивость решений линейного уравнения (1). Выяснены условия на оператор V (А-условие), которые обеспечивают р-устойчивость с весом (в частности, асимптотическая р-устойчивость), если арггогг известна только р-устойчивость (теорема 2.4.1) (распространение классической теоремы Боля-Перрона на линейное уравнение (1)). Здесь же исследованы операторы, удовлетворяющие А-условию, а также подробно изучена асимптортическая р-устойчивость решений для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. Получены достаточные условия асимптотической р-устойчивости решений упомянутых уравнений в терминах параметров этих уравнений.

В последнем параграфе изучена устойчивость с вероятностью единица решений линейных систем со случайными матрицами. На основе результатов параграфа 1.4 выявлены необходимые и достаточные условия устойчивости, асимптотической и экспоненциальной устойчивости с вероятностью единица решений исследуемой системы (теоремы 2.5.1-2.5.3).

Глава 3 посвящена задаче о накоплении возмущений для линейного уравнения (1), а также задаче об устойчивости по начальной функции тривиального решения линейного дифференциального уравнения по семимартингалу с запаздывающим аргументом. В этой главе для линейных функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу приводятся эффективные (в терминах параметров исследуемых уравнений) достаточные условия устойчивости по начальным данным. Кроме того, получены достаточные условия устойчивости по начальной функции тривиального решения некоторых линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом (сосредоточенным и распределенным).

В параграфе 3.1 рассмотрены вопросы допустимости некоторых пар функциональных пространств для линейного уравнения (1). Для стохастических уравнений подобные вопросы, по-видимому, ранее не рассматривались, хотя в детерминированной теории устойчивости они играют важную роль [1, 2, 76, 99]. Например, допустимость пар пространств оказывается тесно связанной с проблемами устойчивости по начальной функции для линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. В настоящей работе допустимость пар пространств также изучается с помощью И^-метода. Отметим, что почти все утверждения этого параграфа имеют аналоги в главе 2.

В следующем параграфе теория допустимости пар пространств применяется для изучения устойчивости по начальной функции тривиального решения линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. Такие уравнения записываются в виде линейного уравнения (1). При этом начальная функция (процесс) будет входить в правую часть этого уравнения. Тогда устойчивость по начальной функции будет следовать из допустимости некоторых пар пространств для соответствующего линейного уравнения (1) (лемма 3.2.1). В дальнейшем с помощью результатов параграфа 3.1 изучается устойчивость по начальной функции тривиального решения для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом (теоремы 3.2.1-3.2.3).

В заключительном параграфе приводятся конкретные достаточные условия устойчивости решений по начальным данным для некоторых линейных уравнений вида (1), а также достаточные условия устойчивости тривиального решения по начальной функции для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. Сначала рассматривается более общее уравнение и условия устойчивости тривиального решения этого уравнения сформулированы в терминах существования положительного числа, для которого выполняется некоторое неравенство. В дальнейшем проверяется существование такого числа для конкретных классов уравнений (скалярных и векторных). Получены достаточные условия устойчивости тривиального решения по начальной функции исследуемых уравнений в терминах их параметров. В заключении параграфа рассматривается система дифференциальных уравнений Ито с распределенным запаздыванием и скалярное дифференциальное уравнение Ито с распределенным запаздыванием.

В четвертой главе исследованы вопросы общей теории устойчивости решений по части переменных для линейного уравнения (1). Вопросам устойчивости решений по части переменных детерминированных функционально-дифференциальных уравнений посвящены многие исследования [51, 83, 91]. В них, в основном, упомянутые вопросы изучаются с помощью аппарата функций Ляпунова и функционалов Ляпунова-Красовского. В данной главе с помощью И^-метода изучены вопросы устойчивости решений по части переменных для линейного уравнения (1), по нашему мнению, не рассматривавшиеся ранее.

В первом параграфе введены некоторые понятия, сформулированы определения основных типов устойчивости по части переменных решений линейного уравнения (1). Далее доказано, что каждый из этих типов устойчивости эквивалентен принадлежности векторов, составленных из компонентов, относительно которых изучается устойчивость решений линейного однородного уравнения (1) специальному функциональному пространству (теорема 4.1.1). Причем, каждому виду устойчивости соответствует вполне определенное пространство случайных процессов.

В параграфе 4.2 описано И^-преобразование уравнения для компонентов, относительно которых изучается устойчивость, полученная из линейного уравнения (1). Оно также однозначно определяется модельным уравнением, асимптотические свойства решений которого известны. В результате получается некоторое уравнение, эквивалентное исходному. Далее остается показать его разрешимость в соответствующем функциональном пространстве, откуда и будет следовать определенная устойчивость решений исследуемого уравнения. Доказано утверждение (теорема 4.2.1), при помощи которого можно эффективно проверять искомую разрешимость.

В последнем параграфе изучена принадлежность векторов, составленных из компонентов решений линейного однородрого уравнения (1) функциональному пространству с весом. При различных значениях веса из принадлежности векторов, составленных из компонентов решений линейного однородного уравнения (1) функциональному пространству с весом следует р-устойчивость, асимптотическя р-устойчивость, экспоненциальная р-устойчивость по части переменных решений линейного уравнения (1). Выяснены условия на операторы, определяемые по оператору V для линейного уравнения (1), которые автоматически обеспечивают р-устойчивость с весом по части переменных (в частности, асимптотическая р-устойчивость по части переменных), если арггогг известна только р-устойчивость по части переменных (теоремы 4.3.2, 4.3.3). В заключении этого параграфа подробна изучена асимптотическая ^устойчивость по части переменных решений для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. Получены достаточные условия асимптотической р-устойчивости по части переменных решений выше упомянутых уравнений в терминах параметров этих уравнений.

В пятой главе изучены вопросы допустимости некоторых пар пространств по части переменных для линейного уравнения (1). Эти вопросы играют значительную роль в теории устойчивости по части переменных дя линейного уравнения (1). В ней для линейных уравнений вида (1) приводятся эффективные (в терминах параметров исследуемых уравнений) достаточные условия устойчивости решений по части переменных по начальным данным. Кроме того, получены достаточные условаия устойчивости тривиального решения по начальной функции по части переменных для некоторых линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом (сосредоточенным и рапределенным).

В параграфе 5.1. рассмотрены вопросы допустимости некоторых пар пространств по части переменных для линейного уравнения (1). Они даже для детерминированных линейных функционально-дифференциальных уравнений, по нашему мнению, ранее не рассматривались. Эти вопросы тесно связаны с различными вопросами теории устойчивости по части переменных решений для линейных уравнений вида (1). В частности, допустимость пар пространств по части переменных тесно связана с проблемами устойчивости по начальной функции по части переменных тривиального решения для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. В этом параграфе допустимость пар пространств по части переменных для линейного уравнения (1) изучена с помощью И^-метода. Отметим, что изученные в параграфе 5.1 пары пространств соответствуют, как показано в следующем параграфе, основным типам устойчивости по части переменных по начальной функции тривиального решения линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом.

В следующем параграфе, как отмечалось выше, теория допустимости пар пространств по части переменных для линейного уравнения (1) применяется для изучения устойчивости по части переменных тривиального решения линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. Для этого такие уравнения записываются в виде (1). При этом начальная функция (процесс) будет входить в правую часть этого уравнения. Тогда устойчивость тривиального решения по начальной функции по части переменных будет следовать из допустимости некоторых пар пространств по части переменных для соответствующего уравнения (1) (лемма 5.2.1). В дальнейшем с помощью результатов параграфа 5.1 изучается устойчивость по начальной функции по части переменных тривиального решения для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом (теоремы 5.2.3 — 5.2.6).

В заключительном параграфе приводятся достаточные условия устойчивости по части переменных по начальным данным решений для некоторых линейных уравнений вида (1), а также достаточные условия устойчивости по начальной функции по части переменных тривиального решения для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. В начале рассматривается общая линейная система дифференциальных уравнений по семимартингалу с сосредоточенным запаздыванием. Условия устойчивости тривиального решения по части переменных по начальной функции этой системы сформулированы в терминах существования положительного числа, для которого выполняется некоторое неравенство. В дальнейшем проверяется существование такого числа для конкретных классов уравнений. Условия устойчивости сформулированы в терминах параметров этих уравнений. В заключении этого параграфа рассматривается система двух скалярных дифференциальных уравнений Ито с распределенным запаздыванием и система дифференциальных уравнений Ито с распределенным запаздыванием.

Шестая глава посвящена вопросам устойчивости решений нелинейного уравнения (1). В параграфе 6.1 изучена устойчивость тривиального решения для нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу. Для этого изучается более общий вид устойчивости уравнения (1), из которого следует устойчивость тривиального решения соответствующего нелинейного уравнения. При этом использованы идеи и результаты предыдущих глав. Распространена известная теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению на случай функционально-дифференциальных уравнений по семимартиргалу. Для детерминированных функционально-дифференциальных уравнений этот вопрос изучался аналогично в [3]. Доказана теорема о сохранении устойчивости тривиального решения при возмущении линейного функционально-дифференциального уравнения (теорема 6.1.1). В этой теореме получены ограничения на возмущения, при выполнении которых сохраняется устойчивость тривиального решения возмущенного уравнения.

В следующем параграфе рассмотрен вопрос устойчивости по части переменных тривиального решения нелинейных функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу по первому приближению. Этот вопрос изучается по аналогии с вопросом устойчивости тривиального решения для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу, рассмотренному в параграфе 6.1. Выяснены условия на возмущения линейного функционально-дифференциального уравнения, при выполнении которых сохраняется устойчивость по части переменных тривиального решения для возмущенного функционально-дифференциального уравнения по семимартингалу.

В заключительном параграфе на основе результатов параграфов 6.1 и 6.2 получены достаточные условия устойчивости и устойчивости по части переменных тривиального решения некоторых нелинейных функционально-дифференциальных уравнений Ито. Условия устойчивости получены в терминах параметров исследуемых уравнений. Рассмотрены скалярные и векторные дифференциальные уравнения Ито с " максимумом", а также векторное дифференциальное уравнение Ито с распределенным запаздыванием.

Апробирование работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на VI и VII Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Иркутск, 1986; Юрмала, 1989), на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе, 1987), на Уральских региональных конференциях " Функционально-дифференциальные уравнения" (Уфа, 1986, 1989; Челябинск, 1987; Пермь, 1988), на Северо-Кавказских региональных конференциях " Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Махачкала, 1986, 1988, 1998), на Пермском (1986-1998) семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям, на заседании Республиканского семинара "Вероятностные методы кибернетики" (Рига, 1988), на научном семинаре кафедры вычислительной математики Уральского государственного университета им. А.М.Горького (Екатеринбург, 1989), на семинаре А.И.Скорохода в Институте математики АН УССР (Киев, 1989), на конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям (Русе, Болгария, 1989), на научной конференции "Разрывные динамические системы" (Ивано-Франковск, 1990), в научной школе-семинаре "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов" (Киев, 1990), в научной школе по конструктивной теории функций и ее приложениям (Махачкала, 1994), в Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастических методам геометрии и анализа (Абрау-Дюрсо, 1994; Йошкар-Ола, 1995; Туапсе, 1996), на Международной конференции по теории приближения (Махачкала, 1998), на Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования" (Москва, 1998), на научном семинаре кафедры высшей математики Московского института электронники и математики (Москва, 1998), на научном семинаре профессора А.Я.Каца в Уральской государственной академии путей сообщения (Екатеринбург, 1998), на научном семинаре "Качественная теории дифференциальных уравнений" кафедры дифференциальных уравнений Московского государственного университета им. М.Ламоносова (Москва, 1998).

1. Азбелев H.B. Устойчивость линейных систем с последействием //Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сборник научных трудов. — Новосибирск: Наука, 1988. — С.65-72.

2. Азбелев Н.В., Березанский JI.M., Симонов П.М., Чистяков A.B. Устойчивость линейных систем с последействием 1 //Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 28. — N 5. — С. 745-754.

3. Азбелев Н.В., Ермолаев М.Б., Симонов П.М. К вопросу об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений по первому приближению //Изв. вузов. Сер. Математика. — 1995. — N 10. — С. 3-9.

4. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом //Дифференц. уравнения. — 1982. ■— Т. 28. — N 12. — С. 2027-2050.

5. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функциоанльно-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 280 с.

6. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения //Дифференц. уравнения. — 1978. — Т. 24. — N 5. — С. 771-797.

7. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактные функционально-дифференциальные уравнения / / Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. /Перм. политехи, ин-т. — Пермь, 1987. — С. 3-11.

8. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 223 с.

9. Березанский Л.М. Развитие И^-метода Н.В.Азбелева в задачах устойчивости решений линейных функционально-дифференциальных уравнений //Дифференц. уравнения. — 1986. — Т. 22. — N 5. — С. 739-750.

10. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. — М.: Наука, 1981. — 445 с.

11. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1975. — 316 с.

12. Воротников В.И. Об устойчивости и стабилизации движения относительно части переменных для линейных систем с запаздыванием //Автоматика и телемеханика. — 1980. — N 8. — С. 36-47.

13. Ву Туан. Об устойчивости по первому приближению относительно части переменных для линейных систем с запаздыванием //Прикл. математика и механика. — 1980. — Т. 44. — Вып. 2. — С. 211-220.

14. Гирко B.JT. Спектральная теория случайных матриц. — М.: Наука, 1988. — 375 с.

15. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. — М.: Наука, 1971. — Т. 1. — 664 с.

16. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. — М.: Наука, 1973. — Т. 2. — 639 с.

17. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. — М.: Наука, 1975. — Т. 3. — 496 с.

18. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1982. — 611 с.

19. Демидович Р.З. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.

20. Кадиев Р.И. К вопросу о стохастических функционально-дифференциальных уравнениях //Первая Сев.-Кавказская регион. конф. "Функц.-дифференц. уравнения и их приложения": Тез. докл. Махачкала, 28-30 мая 1986 г. — Махачкала, 1986. — С. 91-92.

21. Кадиев Р.И. Существование и единственность решений уравнений Ито с последействием //VI Всесоюзная конференция "Качественная теория дифференциальных уравнений": Тез. докл. Иркутск, 1-3 июля 1986. — Иркутск, 1986. — С. 82-83.

22. Кадиев Р.И. Разрешимость задачи Коши для стохастических функционально-дифференциальных уравнений //Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. /Перм. политехи, ин-т. — Пермь, 1987. — С. 75-83.

23. Кадиев Р.И. Линейные стохастические функционально-дифференциальные уравнения Ито /Перм. политехи, ин-т. — Пермь, 1987. — 25 с. — Деп. в ВИНИТИ 16.04.87, N 2664-И87.

24. Кадиев Р.И. Линейные стохастические функционально-дифференциальные уравнения Ито на полуоси //Всесозн. конф. по теории и прил. функц.-дифференц. уравнений: Тез. докл. Душанбе, 28-30 сертября 1987 г. — Душанбе, 1987. — С. 137-138.

25. Кадиев Р.И. Признаки устойчивости линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений Ито //111 Уральская регион, конф. "Функ.-дифференц. уравнения и их прил.": Тез. докл. Пермь, 1-5 февраля 1988 г. — Пермь, 1988. — С. 115.

26. Кадиев Р.И. Устойчивость решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений Ито //Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. — Пермь, 1988. — С. 55-60.

27. Кадиев Р.И. Устойчивость линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений Ито // Перм. политехи, ин-т. — Пермь, 1988. — 46 с. — Деп. в ВИНИТИ 4.05.88, N 3665-В88.

28. Кадиев Р.И. Устойчивость тривиального решения нелинейных функционально-дифференциальных уравнений Ито // Всесо-юзн. конф. " Качественная теория дифференциальных уравнений" : Тез. докл. Юрмола, 4-6 апреля 1989 г. — Рига, 1989. — С.54.

29. Кадиев Р.И. Устойчивость тривиального решения нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. /Перм. политехи, ин-т. — Пермь, 1989. — С. 61-67.

30. Кадиев Р.И.Б Поносов А.В. Stochastic functional-differential equations: reducibility and stabilitu //Четвертая конференция по дифференциальным уравнениям и их приложениям: Тез. докл. Русе, Болгария, 16-23 мая 1989 г. — Русе, 1989. — С. 44.

31. Кадиев Р.И. Устойчивость по части переменных линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений Ито //Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. /Перм. политехи, ин-т. — Пермь, 1990 — С. 121-127.

32. Кадиев Р.И. Признаки устойчивости линейных систем Ито с запаздывающим аргументом //Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. научно-тематический сб. /Дагестанский гос. унт. — Махачкала, 1990 — С. 56-61.

33. Кадиев Р.И., Поносов А.В. Устойчивость линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений при постоянно действующих возмущениях //Дифференц. уравнения. — 1992. — Т.28. — N 2. — С. 198-207.

34. Кадиев Р.И. Достаточные условия устойчивости стохастических систем с последействием //Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30. — N 4. — С. 555-564.

35. Кадиев Р.И. Допустимость пар пространситв по части переменных для линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений //Изв. вузов. Математика. — 1994. — N 5. — С. 13-22.

36. Кадиев Р.И. Существование и единственность решения задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений по се-мимартингалу //Изв. вузов. Математика. — 1995. — N 10. — С. 35-40.

37. Кадиев Р.И. Устойчивости по части переменных одной системы двух линейных уравнений Ито //Вестник Дагестанского гос. ун. — Махачкала, 1996. — С.92-96.

38. Кадиев Р.И. Достаточные условия устойчивости стохастических систем //Дифференц. уравнения. — 1997. — Т. 33. — N 3. — С. 423-424.

39. Кадиев Р.И. Достаточные условия устойчивости стохастических систем //Дифференц. уравнения. — Деп. в ВИНИТИ от 30.07.96 г., N 2569-Б96.

40. Кадиев Р.И. Устойчивость с вероятностью единица линейных дифференциальных систем со случайными матрицами //Вестник Дагестанского гос. ун. — Махачкала, 1997. — С. 423-424.

41. Кадиев Р.И. К вопросу об устойчивости стохастических функционально-дифференциальных уравнений по первому приближению //Изв. вузов. Математика. — 1999. — N 10. — С. 3-8.

42. Кадиев Р.И. Асимптотическая устойчивость по части переменных дифференциальных систем Ито с запаздывающимся аргументом //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. — 1999. — N 2. — С. 3-8.

43. Кадиев Р.И. Достаточные условия устойчивости по части переменных линейных стохастических систем последействием //Изв. вузов. Математика.— 2000. — N 6. — С. 75-79.

44. Кадиев Р.И. Устойчивость линейных дифференциальных систем со случайными матрицами, многочлены со случайными коэффициентами и жорданова форма случайных матриц //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. — 2000. — N 1. — С. 8-16.

45. Кадиев Р.И. Асимптотическая устойчивость дифференциальных систем Ито с запаздывающим аргументом //Дифференц. уравнения. — 2000. — Т. 24. — N 2. — С. 163-167.

46. Кантарович JI.B., Акилов Г.П. Фукциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.

47. Карнишин С.Г. Устойчивость по части переменных решений линейного функционально-дифференциального уравнения //Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Свердловск, 1987. — 121 с.

48. Кац И.Я. Об устойчивости в целом стохастических систем //Прикл. матем. и мех. — 1964. — Т. 28. — N 2. — С. 366-372.

49. Кац И.Я. Об устойчивости по первому приближению систем со случайным запаздыванием //Прикл. матем. и мех. — 1967. — Т. 31. — N 3. — С. 447-452.

50. Кац И.Я., Красовский H.H. Об устойчивости систем со случайными параметрами //Прикл. матем. и мех. — 1960. — Т. 24. — N 5. — С. 809-823.

51. Колмановский В.Б. Об устойчивости стохастических систем с последействием //Проб, передачи информации. — 1969. — Т. 5. — Вып. 4. — С. 59-67.

52. Колмановский В.Б. Об устойчивости некоторых стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом //Теория вероятностей и математическая статистика. — Киев: Наукова думка, 1970. — Вып. 2. — С. 111-120.

53. Колмановский В.Б. О равенствах, определяющих вторые моменты решений стохастических дифференциальных уравнений с последействием //Укр. матем. журн. — 1975. — Т. 27. — N 1. — С. 94-97.

54. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

55. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Стохастичкая устойчивость и управление. Учебное пособие. — М.: Изд-во МИЭМ, 1982. — 83 с.

56. Колмановский В.Б., Шайхет JI.E. Устойчивость стохастических систем с последействием //Автоматика и телемеханика. — 1993. — N 7. — С. 66-85.

57. Колмановский В.Б., Шайхет JT.E. Метод построения функционалов Ляпунова для стохастических дифференциальных уравнений нейтрального типа //Дифференц. уравнения. — 1995.— Т. 31. — N 11. — С. 1851-1857.

58. Короневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебрические критерия. — Киев: Наукова думка, 1989. — 40 с.

59. Короневский Д.Г., Коломиец В.Г. Некоторые вопросы теории устойчивости нелинейных колебаний квазилинейных систем со случайным запаздыванием //Математическая физика. — Киев: Наукова думка, 1967. — Вып. 3. — С. 97-113.

60. Красовский H.H. Некоторые задачи устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959. — 211 с.

61. Крейн С.Г. и др. Фукциональный анализ Изд. 2-ое. — М.: Наука, 1972. — 544 с.

62. Кушнер Г.Дж. Стохастическая устойчивость и управление. — М.: Мир, 1969. — 200 с.

63. Левит М.В. Алгебрический критерий стохастической устойчивости линейных систем с параметрическими воздействиями коррелированных белых шумов //Прикл. математика и механика. — 1972. — Т. 36. — N 3. — С. 546-551.

64. Левит М.В. Устойчивость линейных многомерных стохастических систем с белым шумом //Автоматика и телемеханика. — 1977. — N 10. — С. 38-50.

65. Левит М.В., Якубович В.А. Алгебрический критерий стохастической устойчивости линейных систем с параметрическими воздействиями типа белых шумов //Прикл. математика и механика. — 1972. — Т. 36, N 1. — С. 142-148.

66. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.

67. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. — М.: Наука, 1986. — 512 с.

68. Луценко A.B., Стадников Л.В. О частичной устойчивости по первому приближению //Дифференц. уравнения. — 1973. — Т. 9. — N 8. — С. 1530-1533.

69. Маккин Г. Стохастические интегралы. — М.: Мир, 1972. — 184 с.

70. Максимов В.П. Линейное функционально-дифференциальное уравнение //Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Томбов, 1974. — 120 с.

71. Массера X., Шефер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. — М.: Мир, 1970. — 456 с.

72. Мельников А.И. Об ограниченных в среднеквадратическом решениях одного класса стохастических дифференциальных систем //Вопросы устойчивости интегр. многообразий в уравнениях мат.физики. — Киев: Изд-во ин-та математики, 1987. — С. 44-48.

73. Мильштейн Г.Н. Об устойчивости линейных систем находящихся под воздействием марковской цепи //Дифференц. уравнения. — 1970. — Т. 6. — N 4. — С. 1982-1993.

74. Мильштейн Г.Н. Линейные функции Ляпунова для уравнения с положительными решениями и среднеквадратическая устойчивость //Докл АН СССР. — 1972. — Т. 26. — N 4. — С. 734-744.

75. Мильштейн Г.Н. Квадратичные функционалы Ляпунова и вторые моменты для стохастических систем с последействием //Теор. вероятн. и ее примен. — 1981. — Т. 26. — N 4. — С. 734-744.

76. Мильштейн Г.Н., Репин Ю.М. О среднеквадратической устойчивости стохастических дифференциальных уравнений //Прикл. матем. и мех. — 1967. — Т. 31. — Вып. 3. — С. 508-510.

77. Нечаева И.Г., Хусаинов Д.Я. Устойчивость равномерная по запаздыванию, решений стохастических систем с одным отклонением аргумента //Дифференц. уравнения. —-1995. — Т. 31. — N 12. — С. 2085-2087.

78. Озиранер A.C. Об устойчивости движения по линейному приближению //Прикл. матем. и мех. — 1977. — Т. 41. — Вып. 3. — С. 413-421.

79. Поносов A.B. Метод неподвижной точки в теории стохастических дифференциальных уравнений //Докл. АН СССР. —■ 1988. — Т. 299. — N3. — С. 562-565.

80. Поносов A.B. Теорема шаудеровского типа для локально определенных операторов //Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. /Перм. политехи, ин-т. — Пермь, 1988. — С. 40-50.

81. Поносов A.B. Свойство стохастической полной непрерывности операторов, связанных с винеровским процессом //Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч. тр. /Перм. ун-т. — Пермь, 1988. — С. 148-154.

82. Пугачев B.C., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные системы. — М.: Наука, 1985. — 559 с.

83. Рахматуллина Л.Ф. Об определении решения уравнения с отклоняющим аргументом //Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. /Перм. политехи, ин-т. — Пермь, 1985.С. 13-19.

84. Родкина А.Е. Об одном доказательстве разрешимости нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений //Глобал. анал. и нелинейн. уравнения. — Воронеж, 1988. — С. 127-133.

85. Родкина А.Е. О стохастических функционально-дифференциальных уравнениях по семимартингалу //Диф-ференц. уравнения. — 1989. — Т.25. — N 10 .— С. 1716-1721.

86. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. — М.: Наука, 1987. — 256 с.

87. Садовяк A.M., Царьков Е.Ф. Аналог формулы Коши для стохастических дифференциальных уравнений //Теор. вероятн. и ее примен. — 1973. — Т. 28. — Вып. 2. — С. 415-416.

88. Садовяк A.M., Царьков Е.Ф. Матрица Коши систем стохастических дифференциальных уравнений //Математический анализ и теория вероятностей. — Киев: Наукова думка, 1978. — С. 150154.

89. Свердан М.Л., Царьков Е.Ф. О линейных разностных уравнениях со случайными коэффициентами //Изв. вузов. Математика. — 1972. — Т 5. — С. 80-83.

90. Свердан М.Л., Ясинский Л.И. Об устойчивости стохастических функционально-дифференциальных систем //Асимптотические методы нелинейной механики, — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1979. — С.117-127.

91. Слюсорчук В.Е., Царьков Е.Ф., Ясинский Л.И. Об устойчивости решений дифференциально-функциональных уравнений со случайными возмущениями параметров //Укр. мат. журнал. -— 1973.Т. 24. — N 3. — С.409-415.

92. Сопронюк Ф.А., Царьков Е.Ф. Об устойчивости линейных стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием //ДАН УССР.— Сер. А. — 1973. — 3. — С.347-350.

93. Треногин В.А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 494 с.

94. Тышкевич В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. — К.: Наукова думка, 1981. — 76 с.

95. Хасьминский Р.З. Предельная теорема для решения дифференциальных уравнений со случайной правой частью //Теория вероятностей и ее применения. — 1966. — Т. 11. — N 3. — С. 444-462.

96. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. — М.: Наука, 1969. — 367 с.

97. Хатсон В., Пим Дж.С. Приложение функционального анализа. — М.: Мир, 1983. — 432 с.

98. Хижняк В.Н., Царьков Е.Ф. Устойчивость в среднем квадратичном тривиального решения линейных дифференциально-функциональных уравнений //Вопр. динамики и прочности. — Рига: Зинате, 1972. — Вып. 22. — С. 65-72.

99. Царьков Е.Ф. Об устойчивости линейных стохастических дифференциальных уравнений 2-го порядка с запаздыванием //Латв. мат. ежегодник. — Рига: Зинате, 1969. — Вып. 4. — С. 369-387.

100. Царьков Е.Ф. Асимптотическая устойчивость решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений //Приближенные методы исследования нелинейных систем. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976. — С. 221-232.

101. Царьков Е.Ф. Об устойчивости решений линейных стохастических дифференциальных уравнений //Топологические пространства и отбражения в них. — Рига: Латв. гос. ун-т, 1976. — С. 76-87.

102. Царьков Е.Ф. Асимптотическая экспоненциальная устойчивость в среднем квадратичном тривиального решения стохастических функционально-дифференциальных уравнений //Теор. вероятн. и ее применения. — 1976. — Т. 21. — N 4. — С. 871-875.

103. Царьков Е.Ф. Экспоненциальная р-устойчивость тривиального решения стохастических дифференциально-функциональных уравнений //Теор. вероятн. и ее применениия. — 1978. — Т. 23. — N 2. — С. 433-448.

104. Царьков Е.Ф. Устойчивость по первому приближению тривиального решения стохастических функционально-дифференциальных уравнений //Мат. заметки. — 1978. — Т. 23. — N 5. — С. 733-738.

105. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения систем с последействием //Дис. . докт. физ.-мат. наук — Рига, 1981. — 326с.

106. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференционально-функциональных уравнений. — Рига: Зинате, 1989. — 421с.

107. Царьков Е.Ф., Янсон В.А. О построении функции Ляпунова для линейных стохастических дифференциальных систем с периодическими коэффициентами //Проб, соврем, теории периодич. движений /Ижевский механический ин-т. — Ижевск, 1981. — С. 1324.

108. Царьков Е.Ф., Янсон В.А. О построении функции Ляпунова для линейных стохастических дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами //ДАН УССР. — 1982. — N 3. — С. 19-21.

109. Царьков Е.Ф., Ясинский В.К. Об устойчивости тривиального решения линейных стохастических систем //Укр. мат. журн. — 1970. — N 5. — С. 699-701.

110. Шайхет Л.Е. Устойчивость линейных стохастических дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве //Теория случайных процессов. — Киев: Наукова думка, 1975. — Вып. 3. — С. 131-134.

111. Шайхет J1.E. Устойчивость по первому приближению стохастических систем с последействием //Прикл. мат. и механика. — 1976.Т. 40. — N 6. — С. 116-121.

112. Шайхет Л.Е. Об уравнениях, определяющих моменты решений линейных стохастических дифференциальных уравнений с последействием //Теория случайных процессов. — Киев: Наукова думка, 1978. — Вып. 6. — С. 120-123.

113. Шайхет Л.Е. Асимптотическая устойчивость линейных стохастических дифференциальных уравнений нейтрального типа //Мат. заметки. — 1992. — Т. 52. — N 2. — С. 144-147.

114. Шаров В.Ф. Устойчивость и стабилизация стохастических систем по отношению к части переменных / /Автоматика и телемеханика. — 1978. — N 11. — С. 63-71.

115. Ясинский Л.И. Устойчивость в среднеквадратичном тривиального решения линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами //Укр. мат. журнал. — 1981. — Т. 33. — N 4. — С. 482-488.

116. Draundenberry I.E., Wre S.H. Frequency domain stability eriterion stochfstic sustems //Intern. J. Sustems Sci. — 1971. — Vol. 4. — N 1. — P. 345-347.

117. Chang M.N., Ladde G.S., Liu P.T. Stability of stochfstic functional differential equations //J. Math. Phys. — 1974. — Vol. 15. — N 9P. 1474-1478.

118. Haussman U.G. Asymptotic stability of the linear Ito equation in infmitte demension //J. Math. Anal. a. Appl. — 1978. — Vol. 65. — P. 219-235.

119. Jacod J. Integrales stochastiques par rapport a une semimartingale vectorille et changements de filtration //Lect. Notes Math. — 1980.Vol. 784. — P. 161-172.

120. Kushner H.J. On the stability of stochastic dynamical systems //Proc. Nat. Acad. Sci. — 1965. — Vol. 53. — P. 8-12.

121. Kushner H.J. On the stability of processes defined by stochastic difference-differential equations //J. Differential Equations. — 1972.Vol. 4. — P. 424-443.

122. Kushner H.J. Stability and existence of diffusions with discontinuous or rapidly gronong drift terms //J. Differential Equations. — 1972.Vol. 11.— P. 156-168.

123. Kuo H-H. On integral contractors //J. Integr. Equat. — 1979. — Vol. 1. — N 1 — P. 35-46.

124. Parthasarathy A., Evam-Iwanowski On the ulmost sure stability of linear stochastic sustems //SIAM J. Appl. Vath. — 1978. — Vol. 34.N 4. — P. 643-656.

125. Savaaragi Y., Naramizo, Kikusshi H. Mean square stability of a class of closed-loop stochastic sustems //Dull. ISEME. — 1970. — Vol. 31. — N 66. — P. 1419-1425.

126. Rangqufn Wu Stochastic differential equations. — Research Notes in Math. — Pitman publ. //Boston, London, Melbourne, 1985. — 150P

127. Vrkoc I. The exponential stability and periodik solutions of Ito stochastic equations //J. Vath. Kuoto Univer. — 1971. — Vol 11.N 1. — P. 155-167.

128. Wagner D.H. A survey of measurable selection theorems. SIAM J. Control Optim. — 1977. — N 15. — P. 859-903.

129. Zang B.G., Padgett W.J. The existence and uniqueness of soiutions to stochastic differential-difference equations //Stochastic Anal, and Appl. — 1984. — Vol. 2. — N 3. — P. 335-345.