Lp-значные случайные меры и стохастические уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Па правах рукописи

ЛЕБЕДЕВ Владимир Александрович

¿"-ЗНАЧНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ МЕРЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Специальность 01 01 05 Теория вероятное! ей и математическая с гати с гика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой счепени доктора физико-математических наук

Москва - 2007

□ОЗОВВ546

003066546

Работа выполнена в Московском государственном университете им М В Ломоносова.

Официальные оппоненты.

доктор физико-математических наук, профессор Григелионис Бронюс Игно (Литва),

доктор физико-математических наук Гущин Александр Александрович,

доктор .физико-математических наук Павлов Игорь Викторович.

Ведущая организация.

Центральный экономико-математический институт РАН

Защита состоится 18 октября 2007 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 002 022 01 в Математическом институте Российской академии наук им В А Стеклова по адресу. Москва, 119991, ул Губкина, дом 8, 9-й этаж, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института РАН им В. А Стеклова.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Ватутин В, А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. За всю вторую половину XX века получила большое развитие теория мартингалов и основанного на ней стохастического интегрирования Первое систематическое изложение основ теории мартингалов проведено еще Дубом и Мейером в 50-е-60-е годы Она в значительной мере базируется на т н общей теории случайных процессов, основными объектами которой являются фильтрации (потоки сг-алгебр), моменты остановки и связанные с ними понятия и основы которой были заложены в те же годы Дубом, Чжуном и Мейером и в дальнейшем развиты группой страсбургских математиков, в частности, Деллашери Сама же теория мартингалов получила свое дальнейшее развитие в 60-е-70-е годы в работах Деллашери, Куниты, Ватанабэ и других математиков С другой стороны, стохастический интеграл по винеров-скому процессу был введён еще в 40-е-50-е годы Винером и Ито (последним — и по пуассоновской мере), и дальнейшее развитие теория стохастического интегрирования по мартингалам и мартин-гальным случайным мерам получила в 70-е годы в работах упомянутых выше математиков, а также Жакода, Ширяева и других В качестве одной из наиболее общих ведущих систем для стохастического интегрирования, к которой может быть сведено подавляющее большинство рассмотренных ранее частных случаев стохастических интегралов, Бихтелер и Жакод [1] ввели понятие сг-конеч-ной Х^-значной случайной меры В этой Статье не только приведены основополагающие результаты для теории таких мер, но также продемонстрирована возможность сведения к этому понятию большинства известных случаев стохастического интегрирования, как конечномерных, так и бесконечномерных

На этой основе развивалась и теория стохастических дифференциальных уравнений как уравнений с приращениями стохастических интегралов на бесконечно малых промежутках времени Такие уравнения со стохастическими интегралами по винеровско-му процессу и пуассоновской мере изучались еще Ито в 50-е годы В дальнейшем теория стохастических дифференциальных уравнений развивалась в разных направлениях Во-первых, стали рассматриваться решения таких уравнений не только сильные, допускающие построение на исходном стохастическом базисе, но

и, начиная со Скорохода [43], слабые, требующие использования с сохранением соответствующего вероятностного смысла другого стохастического базиса, что в достаточно широком классе случаев сводится к расширению исходного стохастического базиса Во-вторых, можно рассматривать уравнения, коэффициенты которых зависят в каждый момент времени не только от левого предела (или просто значения в непрерывном случае) траектории решающего процесса, но и от прошлых значений этой траектории, начиная с Ито и Нисио [9] и других работ 60-х годов. В-третьих, широко рассматривались уравнения, включающие все более общие стохастические интегралы, как, например, в работах Жако да и Мемэна [6] и [7] и автора [15-17], [25] и [30]

В свете вышеизложенного представляется актуальным дальнейшее развитие заложенной Вихтелером и Жакодом теории Ьр-значных случайных мер с результатами, дающими важные выводы в применении к частным случаям таких мер, что представляет собой новое для отечественной науки направление научных исследований В этом развитии, в свою очередь, представляются приоритетными те его аспекты, на основе которых строится теория стохастических дифференциальных уравнений с такими мерами

Цель работы. Основными целями диссертации являются 1) определение понятия продолжения Ьр-значной случайной меры на более широкий стохастический базис и изучение его основных свойств, что важно для построения слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с такими мерами; 2) получение для стохастических дифференциальных уравнений общих достаточных условий существования слабого решения, отсутствия взрыва слабого решения уравнения, для которого условия существования выполнены в каждой ограниченной по фазовой траектории области, и потраекторной единственности слабого решения, из которой, в свою очередь, вытекает существование сильного решения Общая методика исследования. В диссертации используются главным образом классические методы теории мартингалов, а при построении слабых решений стохастических дифференциальных уравнений — также методы теории слабой сходимости вероятностных мер на метрических пространствах и, в частности, на пространстве Скорохода саё^ (непрерывных справа и имеющих

пределы слева) функций

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора В частности, впервые предложен систематический подход к изучению стохастических дифференциальных уравнений с 1Азначными случайными мерами.

Основные результаты диссертации. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем

1 На стохастическом базисе (П,?, для £2-значной случайной меры в смысле Бихтелера и Жакода на х х Е, V ® £) с = [0, оо[, предсказуемой сг-алгеброй V на С1 х М+ и измеримым пространством (Е,£) в случае сепарабельной сг-алгебры £ доказано существование ортогонального мартингального разложения, в этом же случае для Ь°-значной меры — существование минимальной доминирующей конечной неотрицательной меры, а также продемонстрирована возможность нредлокального сведения Ь°-значной случайной меры к I/2-значной. Все это находит широкое применение в доказательстве последующих результатов

2 Для целочисленной случайной меры ¡л, ее дуальной предсказуемой проекции и и их разности ц — и охарактеризовано пространство Ь° и на этой основе расширены классические определения стохастических интегралов по этим мерам, что придает теории стохастического интегрирования по этим мерам законченный вид аналогично интегрированию по конечномерным семимартин-галам

3 Дано определение продолжения Х^-значной случайной меры на более широкий стохастический базис, доказаны единственность такого продолжения, его существование в случае хорошего относительно данной меры расширения стохастического базиса, что является одной из основных целей диссертации, а в общем случае охарактеризованы свойства продолжений £°-значных случайных мер, порождаемых мерами /х, V и /г — V

4 Для процесса стохастического интеграла по 1Р-значной случайной мере с подынтегральной функцией, измеримым образом зависящей от параметра, доказывается его измеримость по параметру и устанавливается аналог теоремы Фубини для интегрирования стохастического интеграла по этому параметру, что находит

применение, например, при изучении стохастических уравнений типа Вольтерра с такими мерами

5 Для последовательности случайных процессов с cadlag траекториями, заданных на едином вероятностном пространстве, определено свойство плотного мажорирования скачков, выполнение которого позволяет ослабить условия существования слабого решения стохастического дифференциального уравнения, и установлены для него необходимые и достаточные условия

6 Для стохастического дифференциального уравнения с Lp-значной случайной мерой получены достаточные условия существования его слабого решения и для последнего — условия отсутствия взрыва и потраекторной единственности Все это также является одной из основных целей диссертации

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер Ее результаты могут быть применены как для получения более частных результатов с £р-значными случайными мерами конкретного вида, так и для построения универсальных моделей целого ряда приложений теории мартингалов и стохастических дифференциальных уравнений (финансовой математики, динамических систем со случайными возмущениями и т п )

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах в Московском университете и МИРАН, на международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике (1977, 1981, 1985, 1989 гг), III (Ташкент, 1975 г) и IV (Тбилиси, 1982 г) советско-японских симпозиумах по теории вероятностей и математической статистике, I всемирном конгрессе Общества математической статистики и теории вероятностей им Бернулли (Ташкент, 1986 г), Международной конференции по асимптотическим методам в теории вероятностей и математической статистике в Санкт-Петербурге (1998 г), II (Вильнюс, 1978 г) и IV (Прейла, 1987 г ) всесоюзных школах-семинарах по теории случайных процессов, Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам (Абрау-Дюрсо, 1994 г , Туапсе, 1996 г , Уфа, 1997 г , Самара, 1999 г, Сочи, 2000 г), конференциях молодых ученых МГУ в первой половине 80-х годов, многократных Ломоносовских чтениях в МГУ

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [10]—[40] из списка литературы в конце автореферата

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы Общий объем диссертации — 288 страниц, в списке литературы — 89 названий

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулиров'а-на ее цель и определена научная новизна, теоретическая и практическая ценность работы. Кратко изложены основные результаты диссертации

Содержание главы 1. В ней излагаются классические основы т н общей теории случайных процессов вместе с теорией мартингалов и стохастического интегрирования, находящие применение в дальнейшем изложении

§ 1 1 посвящен вопросам, относящимся к основам общей теории случайных процессов, задаваемых на стохастическом базисе (fi,

Р), и содержит также элементарные сведения о мартингалах и случайных мерах В ней собственными результатами являются теоремы 1 1 7 и 118, представляющие собой следствия теоремы 1 1 6 о сечениях предсказуемых стохастических интервалов В частности, теорема 118 утверждает существование для любого J-предсказуемого cadlag процесса X со значениями в сепарабель-ном метрическом пространстве Е такого ^-согласованного (с пополнением фильтрации $ = (J7t)tgB+ по вероятностной мере Р) и выходящего из нуля процесса L со строго возрастающими к оо и непрерывными Р-п н траекториями, что множество скачков процесса Y — X{L~l) лежит в объединении графиков неслучайных двоично-рациональных моментов, и находит применение в главе 3 для получения условий относительной компактности и плотного мажорирования скачков

В § 1 2 дается унифицированное изложение основ теории проекций измеримых случайных процессов на сг-алгебры на ПхК+, порождаемые предсказуемой а- алгеброй V и некоторым множеством стохастических интервалов, и дуальных проекций случайных мер на эти сг-алгебры В этом изложении теоремы 1 2 1-1 2 3 и 1 2 5

являются обобщениями соответствующих классических результатов для V и опциональной cr-алгебры О Именно, согласно теореме 12 1, для любого ограниченного снизу измеримого случайного процесса X и сг-алгебры КнаЙх R+, лорождаемой V и стохастическими интервалами вида [Г, оо| для некоторого семейства моментов остановки Г, существует единственный с точностью до Р-неотличимости %-измеримый процесс rX такой, что

ЕХт1{т<оо} = ЕгХт1{т<оо}

для всякого 71-хорошего момента остановки Т (те такого, что [Г, оо|€ 1Z), называемый проекцией процесса X на cr-алгебру 7Z Согласно теореме 1 2 2, в условиях предыдущей теоремы справедливо соотношение

ГХТ1{Т<оо} = Е(ХГ1{Т<оо}|^Г,г),

если Т — 7?--хороший момент остановки, где Ft,г — ст-алгебра на П, порождаемая значениями 7?.-измеримых процессов У в момент Т (те случайными величинами Уг1{т<оо}) Согласно теореме 12 3, проекции всевозможных ^-согласованных типов отличаются только на не более чем счетных объединениях графиков соответствующих ^-моментов остановки Наконец, теорема 12 5 утверждает существование и единственность с точностью до Р-неотличимости для любой TZ® В(Е)-а-кот1ечяоШ (т е для которой мера Долеан Mj с

M^(dw х ds х du) = [х(и>, ds х du) P(dw)

допускает cr-конечное сужение на cr-алгебру Л, 0 В{Е)) случайной меры ¡j. на (R+ х Е,В(К+) <8> 13(E)) с сепарабельным метрическим пространств-ом Е, универсально измеримым в своем пополнении, такой К-измеримой (т.е. с ^-измеримыми процессами интегралов W*ff для 7?.®й(£')-измеримых функций W на ОхМ+ х Е) случайной меры /цг, что сужения мер Mj и на а-алгебру Ц® В(Е) совпадают, и случайная мера fir называется дуальной К-измеримой проекцией случайной меры ¡л Далее, предложение 12 6 облегчает формулировку условий существования стохастических интегралов по компенсированным целочисленным случайным мерам Именно, для этого, добавляя к Е дополнительный элемент, можно добиться

того, чтобы

и(ш,{Ь}хЕ) = (1)

где .7 = {(и), 1) {¿} х Е) > 0} Приведен контрпример 12 8, показывающий, что не всякая сг-алгебра на П х Ж+, промежуточная между V и О, может быть порождена стохастическими интервалами Эта общая теория применяется к сг-алгебрам порождаемым V и целочисленной случайной мерой ¡1, и теорема 1 2.9 характеризует (1-хорошие моменты остановки Т (те со стохастическими интервалами |Г, оо|, измеримыми относительно сг-алгебры 71), что в свою очередь находит применение в главе 2 к характеризации хороших относительно р расширений стохастического базиса

В § 1 3 дается определение семимартингала, излагаются более специальные свойства мартингалов, включая целый ряд мартин-гальных неравенств, даются определения стохастических интегралов по семимартингалам и компенсированным целочисленным случайным мерам С использованием случайных мер в предложениях 1 3 14-1 3 15 даются следствия из этих мартингальных неравенств, выражаемые в предсказуемых терминах, а предложение 1.3.16 дает экспоненциальные неравенства гронуолловского типа, обобщающие результат Метивье [41] и находящие применение в главе 4 к функционалам ляпуновского типа от решений стохастических дифференциальных уравнений.

Содержание главы 2. В этой главе с использованием результатов предыдущей главы развивается теория ст-конечных ¿р-знач-ных случайных мер в смысле Бихтелера и Жакода

В § 2 1 излагаются основные свойства ст-конечных £р~значных случайных мер на (12 х М+ х Е,Т ® £) для р ^ 0 с некоторым измеримым пространством (Е,£) В нем, в частности, для сг-конечной £р-значной случайной меры в выделяются классы интегрируемых по в V ® ¿-измеримых функций на П х х Е Именно, Ь1,р(0) определяется как пространство функций, абсолютно интегрируемых по в в том смысле, что если <р € Ь1,р(в), то для любой последовательности (<рп)пеы V ® ¿-измеримых функций на О х х Е такой, что |</>п( ^ |<р| и !-рп —' 0 поточечно, выполнено <.рп € Ь1,р{в) и (уп) 0 в для всех t <£ М+, где вь{фп) — значение

меры в в момент I на функции <рп Если ср € £1,р(0), то существует семимартингал ср х в такой, что ср х 04 = в^ср) Р-п н для каждого

t £ M+, называемый процессом стохастического интеграла функции ip по мере 9 Относительно квазинормы

оо

- Е ^"i1 Л SUP ИМ»)

\ФКМ

Llp(9) является полным F-пространством Очевидно, всякая ст-конечная Ьр-значная случайная мера в является Ь^-значной мерой для любого q, 0 < q < р, причем L1,p(#) с Ll'q(6) Далее вводятся множества Lp(9) таких V ® ¿-измеримых функций на Cl х К+ х Е, что К(р 6 L1,p(9) для некоторого строго положительного предсказуемого процесса К, и LP {в) таких элементов из L%{9), что 1 /К £ Ll,p{Ktp х 0), т е процесс 1 /К стохастически интегрируем по семимартингалу Kip х в как конечной 1<р-значной случайной мере на (П х М+, V) (или, в частности, просто по семимартингалу Kip х б1 для у = 0) Тогда для ip £ LP (9) также определён процесс стохастического интеграла ip х 9 функции <р по мере 0 как ip х 9 = (1/К) (Kip х 9)t не зависящий от выбора К Очевидно, L1,p(9) С Lp(9) и ¿р(0) С L4(9) для 0

Кроме известных результатов из статьи Бихтелера и Жакода [1], в этом параграфе содержится и целый ряд собственных результатов Так, теорема 2 1 18 утверждает, главным образом, что если {Е,£) — лузинское пространство с борелевской сг-алгеброй, а 9

— <х-конечная ЛУ-значная случайная мера на (П х К+ с некоторым р ^ 2, то существуют последовательности ограниченных семимартингалов Хг и ¿2-значных случайных мер 0W такие, что X1

— предсказуемый возрастающий процесс, Хг для г ^ 2 — взаимно ортогональные мартингалы, для каждых <р € L2(9) и г ^ 1 процесс ip х 0W принадлежит устойчивому пространству, порождаемому Хг, и

оо 1=1

причем ряд сходится безусловно в S2 (пространстве Н2 квадратично интегрируемых мартингалов до каждого конечного момента), и в терминах этого разложения устанавливаются критерии принадлежности V <8> ¿--измеримой функции на Q х R+ х Е множествам Щ{9) и L1,p(9). Предложение 2 1 19 устанавливает в несколько

более широком случае, когда просто сг-алгебра £ сепарабельна, существование для сг-конечной £°-значной (и, в частности, Ьр~знач-ной для некоторого р > 0) случайной меры в минимальной доминирующей неотрицательной конечной меры /л на (ОхЖ+ *.Е,Т® £), т е такой, что если <рп (р в Ь1'°{6), то (рп —> <р по мере /¿, а если (р = 0 ц-п в на О х х Е, то ¡¡/Нь1 р^ = 0 Это позволяет, в частности, распространить теорему 2 1 18 и другие результаты, сформулированные для случая лузинского пространства Е (с борелев-ской сг-алгеброй £) на более широкий случай сепарабельного метрического пространства, универсально измеримого в своем дополнении, ибо всякая сг-конечная мера на борелевской а-алгебре такого пространства сосредоточена на некотором сг-компактном подмножестве Предложение 2 1 21 характеризует топологические свойства пространства Ь1,р{6) для ¿р-значной случайной меры в относительно сходимости по этой минимальной доминирующей мере С использованием предложения 2.1 19 даются теорема 2 1 22 и следствие 2 1 23, уточняющие соответственно теорему 2 1 7 и следствие 2 1 8 о замене вероятностной меры по отношению к Ь°-знач-ной случайной мере В частности, следствие 2 1 23 утверждает, что если в — сг-конечная £р-значная случайная мера для некоторого р, 0 ^ р < 2, (Е, £) — сепарабельное метрическое пространство, универсально измеримое в своем пополнении, с борелевской ст-алгеброй, а (р Е Ъг'р{в, Р), то существует вероятностная мера О, которая эквивалентна Р и такова, что производная Радона-Никодима X = ограничена, 1/£ £ Р), в является 1/2-значной случайной мерой относительно и <р е Ь1,2(в, С^) Наконец, теорема 2 1 26 показывает, что всякую сг-коне-чную 1/°-значную случайную меру можно рассматривать как Ь2-значную случайную меру при предлокализации надлежащей последовательностью моментов остановки

В § 2 2 теория предыдущего параграфа применяется к £р-знач-ным случайным мерам, порождаемым семимартингалами и целочисленными случайными мерами Согласно приведенной в статье Бихтелера и Жакода теореме Деллашери-Мокободского-Вихтеле-ра, играющей важную роль в теории £р-значных случайных мер, имеется взаимно однозначное соответствие между множествами конечных ¿"-значных случайных мер на (О х Ш.+ ,'Р) и определяемых с

точностью до Р-неотличимости семимартингалов, задаваемое формулой

вь(Н) = Н Хг

для всякого ограниченного предсказуемого процесса Н при каждом £ 6 М+ При этом теорема 2 2 1 дает критерий того, что эта мера является конечной Ьр-значной случайной мерой для некоторого р^ 1, а следствие 2 2 2 — сг-конечной 1/р-значной случайной мерой Теорема 2 2.4 утверждает, что если семимартингал X порождает сг-конечную Ьр-значную случайную меру, то Ь1ф{Х) — ЬР(Х) (что очевидно для р — 0), для этого, в свою очередь, необходимо и достаточно, чтобы предсказуемый процесс Н был стохастически интегрируем по X как семимартингалу и процесс стохастического интеграла Н X порождал конечную Ьр-значную случайную меру на (П х М+) Р), и в случае р ^ 1 дает для принадлежности к этому пространству предсказуемого процесса критерий в терминах хара-ктеризации семимартингала X по следствию 2 2 2 Теорема 2 2 5 характеризует пространства Ь1'Р{Х) и ЬР(Х) для р = 0 и р ^ 1 в случае п-мерного семимартингала X, те для Е = {1, ,п} Подобная характеризация возможна и для Е = К, т е. стохастического интегрирования по последовательности семимартингалов, и в этом параграфе более подробно, чем в примере 4 § 2-е из статьи Вихтелера и Жакода, демонстрируется возможность сведения к нему сепарабельного банаховозначного стохастического интегрирования

В этом же параграфе изучаются также целочисленная случайная мера ¡х на х Е, ЩМ+) <%>В(Е)) с сепарабельным метрическим пространством Е, универсально измеримым в своем пополнении, ее дуальная предсказуемая проекция и и их разность /л — и, рассматриваемые естественным образом как ст-конечные Х^-значные (для любого р ^ 0) случайные меры на (О х М+ х Е,Т> 0 £) с £ - В(Е) Здесь теорема 2 2 6 характеризует пространства Ь1,р для мер /х и и, а теорема 2 2 7 — для меры ц — ь>, ш соответствующие интегралы совпадают с классическими Если эти и вышеприведенные результаты § 2 2 являются более или менее непосредственными следствиями общих результатов об £р-значных случайных мерах в применении к семимартингалам и целочисленным случайным мерам, то далее приводится также ряд более оригинальных результа-

тов Такова прежде всего теорема 2 2 9, дающая характеризацию пространства Ь1} для мер ц, и и их разности ¡л — у, что естественно для наиболее широкого определения стохастических интегралов по эт.им мерам Согласно теореме 2 2 9, пространство Ь° для каждой из этих случайных мер состоит из тех V €> В(Е)~измеримых функций на О х М+ х Е. коиторые допускают интеграл по ней, даваемый определением 2 2 8 в терминах классических интегралов по этим мерам и называемый соответственно стохастическим интегралом по /и, и или ц—ь> как семимартингальноЙ случайной мере, с которым и совпадает соответствующий процесс стохастического интеграла на Далее, если

= 1ОхЕ Д,

те является сужением меры /2. на предсказуемое множество скачков J, то предложение 2 2 10 дает характеризацию процесса стохастического интеграла по ¡л? как семимартингальноЙ случайной мере в виде Р-п н безусловной суммы по вероятности его скачков в предсказуемые моменты, графики которых исчерпывают множество J, и тем самым он совпадает с интегралом, определенным в статье Гальчука [2]. Теорема 2 2 11 характеризует пространство Ьр для мер /1, V и ¡л — V. При этом аналогично случаю одномерного семимартингала в теореме 2 2 4 пространство Ьр для каждой из этих мер состоит из тех функций к 6 Ь°, для которых процесс соответствующего стохастического интеграла порождает конечную £р-значную случайную меру на (Г2 х К+, Р) Далее, если ц — мера скачков семимартингала, то в терминах стохастического интеграла по как семимартингальноЙ случайной мере естественным образом модифицируется (предложение 2.2 12) каноническое разложение семимартингала из предложения 1 3 13 Кроме того, теоремы 2213и2214 дают соответственно необходимое и достаточное условие для того, чтобы целочисленная случайная мера порождалась скачками некоторого семимартингала, и характеризацию стохастического интеграла по семимартингалу в терминах его канонического разложения из предложения 2.2 12 и, в частности, стохастических интегралов по разным составляющим меры его скачков В этих терминах формуле замены переменных для семимартингалов из теоремы 13 11 может быть придан более удобный вид (теорема 2 2 17)

В § 2 3 определяются понятия, связанные с расширением вероятностных пространств и фильтраций, и излагаются относящиеся к ним основные результаты В частности, расширение (О, Т, Р) с фильтрацией 5 — (^)4еЕ+ стохастического базиса (П, Т, Р) (легко сводимое к случаю единого вероятностного пространства (П, Т. Р)) называется хорошим относительно заданной на (Г). Т, Р) сг-конечнои -значной случайной меры в, если для всякой функции «у? € Ь°(в) семимартингал <р х в является семимартингалом на (П, Т, Р) с тем же триплетом предсказуемых характеристик, что и на (О, Т, Р),- и очень хорошим, если всякий мартингал на Р) является мартингалом на (О, Т, 3, Р) Предложение 2 3 2, восходящее в основном к Жакоду и Мемэну [7], утверждает, что расширение (О, Т, Зг, Р) стохастического базиса (П, 3", Р) тогда и только тогда является очень хорошим, когда для любого 4 € М+ сг-алгебры Ть и Ты- — У3еш+ ^ условно независимы относительно сг-алгебры Т^ Аналогичным образом п-мерный семимартингал на (Л, Т, Р) называется хорошим относительно расширения (П, !Р, Р), если он является семимартингалом на этом расширении с тем же триплетом предсказуемых характеристик, что и на исходном стохастическом базисе Теорена 2 3 4 дает характеризацию множеств семи-мартингалов, хороших относительно расширения стохастического базиса Именно, она утверждает, что если имеется некоторое линейное множество Н таких одномерных семимартингалов, то хорошим относительно этого расширения (П,^*, Р) будет всякий ¿-мерный семимартингал X на Р), который измерим от-

носительно сг-алгебры 71 на Г2хЕ+, порождаемой и Н, и для которого непрерывные З-мартингальные части (Хк)с при к = 1, , с1 принадлежат замыканию в топологии Эмери линейного пространства, порождаемого процессами стохастических интегралов вида Н Ус для У £ Н Для данного Н будем обозначать через Н множество одномерных семимартингалов, удовлетворяющих заключению этой теоремы Оно, очевидно, линейно, содержит % и замкнуто в топологии Эмери семимартингалов на (П,^, Р) Отмечается, однако, что множество всех семимартингалов, хороших относительно данного расширения, вообще говоря, нелинейно и что для него заключение теоремы 2.3.4 несправедливо Очевидно, Н является устойчивым пространством семимартингалов, подмножество

квадратично интегрируемых вплоть до бесконечности мартингалов из Н имеет ортогональное дополнение, и предложение 2 3 7 устанавливает структуру проекций такого мартингала на Й и его ортогональное дополнение, а следствие 2.3 8 обобщает этот результат на произвольный локальный мартингал. Теорема 2 3 9 позволяет, при некоторой локализации, выбрать замену вероятностной меры в теореме 2 1 22 и следствии 2 1 23, делающую всякую LP-значную случайную меру L2 -значной, хорошим относительно расширения стохастического базиса образом Именно, если в следствии 2 1 23 Zoo = dQ/dP и

Z = (E(Z00|^rí))teK+,

то, беря вместо мартингала Z его мультипликативную проекцию на Н (т е умноженную на Zq экспоненту проекции на Н локального мартингала Y = (1 /ZJ) Z), получаем, что справедливо заключение следствия 2 1 23, но в сужении на множества вида |0,тп| х Е для некоторой локализующей последовательности (тп)п€и моментов остановки Наконец, теорема 2 3 11 позволяет свести наши построения достаточно разумным образом к сужению вероятностного пространства (О,/-,Р) с сепарабельной ст-алгеброй Q С !F на Í2 (т е так, что (Í2, Т, Р) является очень хорошим расширением стохастического базиса (О, J7, <3,Р) с © = (Q П

В § 2 4 используются результаты предыдущего параграфа для изучения поведения £р-значных случайных мер при замене фильтрации. Это важно для построения слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с такими мерами, и определения 2 4 1 дают ключевое для такого построения понятие продолжения ¿"-значной случайной меры на более широкий стохастический базис. Именно, если для стохастического базиса Р) имеется расширение (Í2, J-, 3, Р) и заданы две сг-конечные £р-знач-ные случайные меры вив соответственно на (О х К+ х Е, ® £) и(ПхЕ+х E,V($) <8> £), то мера в называется продолжением меры в на (Ü х х Е, если существует строго положительная V{d) ® ¿-измеримая функция V на х R+ х Е, принадлежащая одновременно L1,p(0) и Ь1,р(в) и такая, что для всякой V($) ® £-измеримой функции у)наПх1+х£с \¡p\ ^ V выполнено равенство

<Р X в = <р X в

с точностью до Р-неотличимости Если для заданной меры 9 такая мера в существует, то будем говорить, что 9 допускает продолжение на (Í2 х R+ х Е, V{3) ® £) как cr-конечная Ьр-значная случайная мера, и, обратно, если для заданной меры 9 существует строго положительная Р{3) ® ¿'-измеримая функция V на Í2 х R+ х Е, принадлежащая Ь1,р(9; 3) и такая, что для всякой V(3) <8> ^-измеримой функции <р на Ü х К+ х Е с \<р\ < V и любого t е 1+ значение 0t((p) является ^-измеримым, то мера в допускает сужение на (Í2 х Е+ х E,V{3)®£) Теорема 2 4 3 доказывает единственность такого продолжения, если оно существует {подобно тому, как семимартин-гал и целочисленная случайная мера при расширении фильтрации сохраняют свой однозначный смысл) Теорема 2 4.4 устанавливает существование такого продолжения при расширении стохастического базиса, хорошем относительно данной 1/р-значной случайной меры, а следствие 2,4 7 — более сильные свойства этого продолжения при очень хорошем расширении стохастического базиса Именно, в этом случае V{3) ® ¿^-измеримая функция ip на ü xJR+ х Е тогда и только тогда принадлежит 3) (соответст-

венно 1^(9,3)), когда она принадлежит Ь1'р(в,3) (соответственно ¿Р(6>, 3)), и процессы стохастического интеграла (р х в на 3 и $ в обоих случаях совпадают (в силу однозначности продолжения меры 9 по теореме 2 4 3 мы его отождествляем с самой мерой в)

В случае, когда (О, !F, 3, Р) не является хорошим относительно 9 расширением стохастического базиса (Í2, 3, Р), ситуация значительно сложнее В частности, приводится контрпример 2 4 66, показывающий, что функция ip может принадлежать одновременно L°(9, 3) (и даже L1,0{9,3)} и L°(9,3), но процессы стохастического интеграла <р х 9 на 3 и § будут различны Для конечных £, те конечномерных семимартингалов, согласно Жакоду [5] утверждается, что если функция <р является Р (5) -измеримой и принадлежит (0,5), то она принадлежит £°(0, и процессы стохастического интеграла <р х 9 на 3 и 3 совпадают На этом основано частичное решение проблемы в случае мер ¡л, v и ц — v, даваемое теоремами 2.4 8 и 2 4.10 Эти теоремы характеризуют свойства продолжения Ь°-значных случайных мер, порождаемых мерами д, v vl [í — и, ш утверждают, в частности, следующее.

1) Имеет место равенство

(ЯЗО ® В{Е)) П t°(u, J?) = ¿°(i/, ff)

(х е ЯЗО О £>(£0-измеримая функция тогда и только тогда принадлежит Sr), когда она принадлежит ¿0(V¡ 30), причем стохастические интегралы по г/ относительно совпадают

2) На пересечении Ь°{ц, Л L0(ц, £) стохастические интегралы по д относительно # и £ совпадают, и для h £ ("Р(5)®В(В))П1/0(д, 30 мы имеем h 6 L°(/i, 5) тогда и только тогда, когда существует строго положительный ^-предсказуемый процесс К такой, что

ВД^ки e^V.ff).

где í> — дуальная ^-предсказуемая проекция случайной меры ¡j,

3) Справедливо включение

® В{Е)) П - С ¿°()u - i/.J),

и если для /г, принадлежащей левой части включения, существует строго положительный ^-предсказуемый процесс К такой, что (при допущении (1))

где ht{u>) = fE htlU(u>) i/(u, {t} х (¿ti), то стохастические интегралы h* (fi — и) относительно 3 и J совпадают

4) Для того, чтобы i> — и, необходимо и достаточно, чтобы V была ^-предсказуема, в этом случае имеют место равенства

(ЯЗ) ® ВД) п ¿°0* - 30 = - «л 5),

и стохастические интегралы по /л и ¡i — г/ соответственно, определенные относительно 5 и совпадают

Возникает вопрос об универсальности выполнения необходимых и достаточных условий пунктов 2) и 3) Для пункта 3) вопрос о существовании контрпримеров остается открытым, а для пункта 2) теорема 2 4 11 дает целую систему контрпримеров Именно, для семимартингала X с независимыми приращениями и 1() = О и меры его скачков ц, устанавливается необходимое и достаточное условие, чтобы он допускал представление

Х = и*!л

для и(ш,Ь,и) = и на некотором расширении исходного стохастического базиса со стохастическим интегралом по ц как семимар-тингальной случайной мере, и при этом условии он не всегда допускает такое представление на исходном стохастическом базисе

В §2.5 даются результаты об измеримом характере зависимости стохастических интегралов по ет-конечным Ьр-значным случайным мерам от параметра при измеримости по параметру подынтегральной функции и амалоги теоремы Фубини для интегрирования по этому параметру, что может, например, использоваться при изучении стохастических уравнений типа Вольтерра Прежде всего, если в — ег-конечная Ьр-значная случайная мера, то теорема 2 5 1 устанавливает измеримость по параметру стохастического интеграла от подынтегральной функции, сечения которой принадлежат Ь1,р(в) Именно, она утверждает, что если (X, X) — измеримое пространство, в котором принимает значения параметр, а Я — такая V ® £ <8> Д'-измеримая функция на £1хШ+ х Е х X, что каждое ее ж-сечение Нх принадлежит Ь1,0(б), то существует О (Неизмеримая функция У такая, что каждое ее ж-сечение Ух является версией процесса стохастического интеграла Нх х в Теорема 2 5 4 утверждает то же для сечений, принадлежащих 1Р{в), причем если для р > 0 функцию У можно выбрать О <Э -^-измеримой, то для р = 0 -— лишь О®^"-измеримой, где Ха — аналитическое расширение сг-алгебры X, в силу более сложного топологического строения пространства Ь1'°(в) относительно сходимости по Минимальной доминирующей мере согласно предложению 2 1 21 Теорема 2 5.5 дает аналог теоремы Фубини для интегрирования стохастического интеграла по параметру в условиях теоремы 2 5 1 для ст-конечной

Ьр-значной случайной меры в с р > 1 Именно, если р — <г-конечная положительная мера на (X, X), для р-почти всех х € X выполнено Нх € I1 р{6) и для любого Ь € М+

где Н^Н^ р{в) = вирШФ)\\Р) (сужение квазинормы для про-

странства 1ЛР(0) на отрезок [0,г]), то #р = /хНхр{йх) € Ьм(0), процесс У — /х Vхр((1х) хорошо определен Р-п н для всех £ е К+ и является версией процесса Нр х в Следствие 2 5 7 распространяет этот результат на случай общего р предлокализацией в силу теоремы 2 1 26 Это, в свою очередь, применяется к сг-конечным Ьр-значным случайным мерам, порождаемым семимартингалами В частности, теорема 2 5.9 является уточнением теоремы 5.44 из книги Жакода [4], доказательство которой содержит пробелы, а формулировка допускает контрпримеры как в 2 5 11

Содержание главы 3. В ней излагаются наиболее общие свойства слабой и слабо-сильной сходимости вероятностных мер на метрических пространствах и основы ее применения к семи-мартингалам, которые понадобятся для построения слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с ¿р-значными случайными мерами

Сами общие свойства слабой и слабо-сильной сходимости излагаются в §3 1, и его основным результатом, полученным автором, является теорема 3.1 5, связывающая теорему Скорохода-Блэквелла-Дубинса о представлении множества всех вероятностных мер на данном метрическом пространстве с их слабо-сильной сходимостью и в дальнейшем применяемая для построения слабых решений стохастических дифференциальных уравнений.

Напомним, что для измеримого пространства и метри-

ческого пространства 5 слабо-сильной топологией на множестве М(0х5) вероятностных мер на (О х 5, ^<88(3)) называется слабейшая топология, делающая непрерывными отображения

\ШМ

из M(fl х S) в R для ограниченных F ®B(S)-измеримых функций д на fix S, все ш-сечения которых для и <£ fi непрерывны на S Если (SI, Т, Р) — вероятностное пространство, a S — сепарабельное метрическое пространство, то В(М(S*))®^-измеримое (со слабой топологией на множестве M(S) вероятностных мер на (S,B(S))) отображение р M(S) xfin+S называется представлением пространства M(S), если для каждой меры m € М(5) и данной функции р ее m-сечение рт имеет распределение m (относительно вероятности Р на (fi,.F)), и представление р называется непрерывным в точке т, если функция р{ ,ш) непрерывна Р-п н в т В частности, если сг-алгебра Т на Г2 сепарабельна, г) — случайный элемент компактного метрического пространства X, порождающий а- алгебру Т, Мп{Х х S) — подмножество вероятностных мер из М(Х х S), маргинальные распределения которых на X совпадают с распределением случайного элемента г), а само метрическое пространство S сепарабельно и универсально измеримо в своем пополнении, то теорема 3 15 утверждает, что относительные слабая и слабо-сильная топологии на Мп{Х х S) совпадают, на вероятностном пространстве Р) = ([0,1],В([0,1]),А) с лебеговой мерой Л множество Mrj(X х S) имеет представление р, которое всюду непрерывно, и если теперь (/ип)п€М — последовательность мер из Мп(Х х S), сходящаяся к мере и имеется последовательность {Рт)тпещ множеств из B{X)®B{S) такая, что каждое ж-сечение Fmx для х е X замкнуто в5и hmm_>00 p.n{Fm) = 1 равномерно по п € N, то

Р- lim д{р{цп)) = g{p(ji*>))

п—>оо

для любой 0(Х)®й(5)-измеримой функции д на XxS со значениями в сепарабельном метрическом пространстве Z, сужение которой на Fm непрерывно по у 6 S для каждого га € N

§ 3 2 сам по себе не носит вероятностного характера, и в нем описываются основные свойства пространдтва cadlag функций D(Y) на Ж+ со значениями в польском пространстве Y Оно наделяется метризуемой топологией Скорохода (J\-топологией), для которой характеризуются сходимость, компактные множества и борелев-ская (Т-алгебра Из собственных результатов выделим теорему 3 2 7, характеризующую множества, компактные в локально равно-

мерной топологии (UL- топологии) на пространстве D(Y), и предложение 3 2 11 о сходимости в топологии Скорохода суперпозиции cadlag функций Именно, теорема 3 2 7 утверждает, что множество А С D(Y) имеет компактное замыкание в UL-топологии тогда и только тогда, когда оно имеет компактное замыкание в топологии Скорохода и существует такая функция к, мажорантная для скачков (т е неотрицательная функция на М+, выходящая из нуля и такая, что для любого а > 0 множество {t <Е М+ k(t) > а} дискретно), что для любой функции х € А и любого t £ выполнено неравенство

p{x(t),x(t-))^k{t),

где р — метрика на Y Предложение 3 2 11 утверждает, что если (б'п) — последовательность выходящих из нуля неубывающих функций из й(Ш+), (уп) — последовательность функций из D(Y), сходящиеся в топологии Скорохода соответственно к функциям s и у, и, кроме того, функция s строго возрастает и такова, что для всех тех t, где функция s имеет скачки, функция у непрерывна в точках вида s(í) и s(t—), то последовательность (yn(sn)) сходится в топологии Скорохода на D(Y) к y(s)

В § 3 3 рассматривается применение теории § 3 1 к пространству D(Y) с топологией Скорохода Здесь, в частности, получаются достаточные условия относительной компактности семейства распределений на нем семимартингалов Подобные условия получены независимо, с одной стороны, автором в работах [10], [11] и [13], с другой стороны, Жакодом, Мемэном и Метивье в [8] и ряде предшествующих работ конца 70-х — начала 80-х годов, а также Гихманом и Скороходом в их книге [3] В настоящей диссертации максимально использованы собственные методы и получены результаты в виде, достаточном для их применения к последовательным приближениям слабого решения стохастического дифференциального уравнения, что будет делаться в главе 4 Именно, определим для d-мерного семимартингала X с триплетом предсказуемых характеристик (B,C,v) и функции ip на вогнутой, линейным образом выходящей из нуля при х — 0 и возрастающей к оо при х —> оо, возрастающий процесс

SV(X) = V{B) + Tr(C) + ч?{\и\) * г/,

где У( ) — вариация век гор-функции, а Тг — след матрицы (легко видеть, что для всякого семимартингала X существует такая функция <р, что процесс конечен Р-п н при всех { € 1+) Тогда теорема 3 3 5 утверждает, что если X^ = Х1^ ■+ Х2(-п\ где .Х1^) и х— ¿-мерные семимартингалы, выходящие из нуля, на едином стохастическом базисе (П,^, 3,Р), причем при фиксированной <р последовательность распределений процессов Б^Х1^) на О(К) относительно компактна и все ее предельные элементы сосредоточены на множестве непрерывных функций С(М), а также существует выходящий из нуля ^-предсказуемый возрастающий процесс 5, сильно мажорирующий (те в смысле порождаемой его приращениями случайной меры) процесс в^Х2^) для каждого п е 14, то последовательность распределений процессов X^ на В(Жё) относительно компактна Из этой теоремы вытекает следствие 3 3 6, утверждающее, что если существует выходящий из нуля предсказуемый возрастающий процесс 3, сильно мажорирующий процесс для каждого п 6 М, то последовательность распределений процессов Х(п) на Р(Е'г) относительно компактна

§ 3.4 посвящен введению нового для изучения последовательностей случайных процессов с траекториями из пространства О (У) понятия плотного мажорирования скачков и установлению для него необходимых и достаточных условий Именно, если имеется последовательность (Хп)Пбк сас!1а§ процессов со значениями в польском пространстве У на едином вероятностном пространстве (Г2, Р), то будем говорить, что (Хп) допускает плотное мажорирование скачков, если для любого е > 0 существует такой процесс 7е, мажорантный для скачков (тес таекториями, мажорантными для скачков), что для каждого п е N выполнено неравенство

Р(Ш 6 К+ Р(Х?_, ХП < 7?) > 1 - е

Использование этого понятия важно для построения слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с коэффициентами, непрерывными по фазовой траектории лишь в 11Ь-топологии, более сильной, чем топология Скорохода, и является частным случаем подхода Микулявичюса [42] к обобщению понятия слабо-сильной топологии на несепарабельные пространства

(здесь на пространство I)(У) с (/¿-топологией) Последнее обстоятельство хорошо проясняется необходимым и достаточным условием плотного мажорирования скачков для последовательности процессов с траекториями из 1)(У) вместе с плотностью (и, в силу теоремы Прохорова, относительной компактностью) семейства их распределений для ^-топологии, даваемое теоремой 3.4 2 Именно, для того, чтобы последовательность (Х")п€р} случайных процессов на (О, Т, Р) с траекториями из О (У) имела плотное семейство распределений для ^-топологии и вместе с тем допускала плотное мажорирование скачков, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой непрерывный строго возрастающий к оо процесс 5 с 5о = 0, для которого последовательность процессов

= хп{в-1)

имела бы плотное семейство распределений для [/¿-топологии.

Критерий, даваемый теоремой 3 4 2, однако, труден для практической проверки, так как фигурирующую в нём случайную замену времени нельзя, вообще говоря, выбрать согласованной с фильтрацией, порождаемой исходной последовательностью Теорема же 3 4 4 дает необходимое и достаточное условие плотного мажорирования скачков в терминах меры скачков ц (и ее дуальной предсказуемой проекции у) исходной последовательности, рассматриваемой как процесс со значениями в где само У предполагается банаховым пространством (что в силу теоремы Банаха-Мазура не ограничивает общности) Она утверждает, что для того, чтобы последовательность (.ЛГТ1)п€ц случайных процессов на стохастическом базисе (П, Т, Р) с траекториями из £>(У) допускала плотное мажорирование скачков, необходимо и достаточно, чтобы существовала такал строго возрастающая к оо функция на К+ с <¿>(0) — 0 и для каждого п е N — такая последовательность (г$)лгем 5-моментов остановки, что эти последовательности возрастают к оо равномерно по п € N в смысле сходимости по вероятности и последовательность функций ^9?(|ип|)1|0,тп]) ^ равномерно М*-

интегрируема на £2 х Е+ х Е для каждого N е К, где | | есть норма в У, ип для та £ N — координатные отображения из в У, а V — дуальная ^-предсказуемая проекция меры скачков процесса X = (X1, X2, ) со значениями в Ум В свою очередь,

теорема 3 4 6 для последовательностей процессов, доминируемых предсказуемыми процессами как в теореме 3 3 5, сводит условие предыдущей теоремы к аналогичному условию с мерой = ц — (или ее дуальной предсказуемой проекцией Vе) Из нее выводится следствие 3 4 9, условие которого носит лишь достаточный характер, но легче проверяется в условиях существования слабого решения стохастического дифференциального уравнения

Содержание главы 4. Она с использованием результатов предыдущих глав представляет предложенный впервые систематический подход к изучению стохастических дифференциальных уравнений с 1Азначными случайными мерами

В § 4 1 определяются понятия сильного и слабого решения стохастического дифференциального уравнения и доказываются наиболее общие результаты, связанные с этими понятиями Именно, на стохастическом базисе Р) рассматривается уравнение

вида

X = N + к(Х) х в, (2)

где N есть заданный К^-значный ^-прогрессивно измеримый процесс, играющий роль начального условия, в — сг-конечная £р-знач-ная случайная мера на ($"2х1К+ хЕ, Р-п н не нагружающая

множество {0}х.Е, а К — надлежащим образом измеримая ¿-мерная вектор-функция на О х й х х Е с множеством О, всех Ж^-значных функций на Е+, предсказуемая на исходном стохастическом базисе и предсказуемым образом зависящая от фазовой траектории из (I Для этого уравнения предложение 4 1.9 устанавливает эквивалентность двух подходов к определению слабого решения, связанных соответственно с заданием решающего процесса на расширении исходного стохастического базиса (П, Т, Р) и решающей меры Предложение же 4 1 12 устанавливает эквивалентность ряда свойств решающей меры, порождаемой ^-сильным решением, т.е решающим процессом на исходном стохастическом базисе (может быть, пополненном по вероятностной мере Р)

В § 4 2 доказывается существование слабого решения стохастического дифференциального уравнения (2) в случае ограниченного коэффициента к Здесь и далее предполагается, что (Е,£) — сепарабельное метрическое пространство, универсально измеримое в своем пополнении, с его борелевскоЙ сг-алгеброй Теорема

4 2 1 утверждает существование очень хорошей (т е для которой каноническое расширение стохастического базиса является очень хорошим) решающей меры уравнения (2) для Ь2-значной случайной меры в в терминах ее разложения в соответствии с теоремой 2 118 Ее формулировка содержит три достаточных условия, из которых условие 1 обеспечивает существование стохастического интеграла в правой части уравнения (2) и выражает ограниченность по фазовой переменной й £ й некоторых интегралов от коэффициента Н, возникающих из разложения меры в, условие 2 выражает непрерывность этих интегралов и некоторых рядов из них по ш в иЬ-топологии на О, а условие 3 — равномерную интегрируемость по некоторой мере одного из таких рядов по ш на ^-компактных подмножествах из й, обеспечивающую плотное мажорирование скачков для последовательности приближений к слабому решению уравнения (2) Теорема 4 2 13 утверждает то же для общего случая Ь°-значной случайной меры 9 с ее предлокальным сведением к Ь2-значной случайной мере

В § 4 3 даются понятия решающего процесса и решающей меры (слабого решения) стохастического дифференциального уравнения (2) до момента взрыва, доказывается существование такого слабого решения этого уравнения с локально ограниченным коэффициентом к и изучаются для него условия отсутствия взрыва Здесь и далее рассматривается уравнение (2) с N = 0, к чему оно легко сводится как в доказательстве теоремы 4 2 1, так что решающий процесс уравнения (2) является семимартингалом на любом расширении исходного стохастического базиса, на котором он определен Для этого случая теорема 4.3 3 устанавливает существование очень хорошего слабого решения до момента взрыва у уравнения, для которого условия теоремы 4.2 1 или 4.2 13 выполнены в каждой области, равномерно ограниченной по фазовой переменной Теорема 4 3 5 дает достаточное условие отсутствия взрыва в терминах функции Ляпунова для уравнения с Ь2 -значной случайной мерой в как в теореме 4 2 1 Именно, пусть в этом случае В — ^-предсказуемый возрастающий процесс, для которого мера Доле-ан Мд доминирует маргинальное распределение на (П х Р(30) минимальной доминирующей конечной меры для в, а Ьв,х,ь — оператор, отображающий при каждом множество дважды непре-

рывно дифференцируемых функций V на в множество функций на такой, что для любого решающего процесс X до мо-

мента взрыва на некотором хорошем относительно в расширении исходного стохастического базиса процесс

V(Xt) - F(0) - f LB,x,sV(Xs) dB, Jo

является локальным мартингалом на этом расширении до момента выхода, процесса X из любой ограниченной области в Rd Тогда теорема 4 3 5 утверждает, что если существуют хорошая относительно в решающая мера уравнения (2) до момента взрыва и неотрицательная дважды непрерывно дифференцируемая функция V на Rd, такая, что

lim inf V(y) — оо

r-+ ОО \y\^r

и Мд-п в на П х R+ при всех х G D(Rd)

LB,x,tV ^ bt sup V(a;s)

о ^s<t

для некоторого неотрицательного ^-предсказуемого процесса 6, для которого bsdBs < оо (Р-п н для всех t € ®+), то решающая мера не имеет взрыва. Наконец, теорема 4 3 7 сводит случай £°-значной случайной меры к предыдущей теореме предлокализацией

В § 4 4 устанавливается связь между потраекторной единственностью слабого решения стохастического дифференциального уравнения (2) и существованием его ^-сильного решения, а также изучаются для него условия потраекторной единственности Мы говорим, что уравнение (2) обладает свойством очень сильной (соответственно сильной или слабой) потраекторной единственности, если оно имеет с точностью до Р-неотличимости не более одного решающего процесса на любом (соответственно любом хорошем относительно в или любом очень хорошем) расширении исходного стохастического базиса Тогда предложение 4.4.2 связывает по-траекторную единственность с понятием 5-сильного решения, следуя в основном Жакоду и Мемэну [7] в обобщение принципа Ямады и Ватанабэ [44] Из него следует, в частности, что если уравнение

(2) имеет очень хорошую решающую меру и обладает свойством слабой потраекторной единственности, то это уравнение имеет единственное (с точностью до Р-неотличимости) 5-сильное решение Предложение же 4 4 3 связывает потраекторную единственность с понятием вполне сильного решения, т е решающего процесса на как угодно узком полном стохастическом базисе, относительно которого уравнение (2) сохраняет свой смысл Суть этого предложения состоит в том, что если решающая мера уравнения (2) получается как в условиях теорем 4 2 1, 4 2 13 или 4 3.3 (до момента взрыва) в виде предела в слабо-сильной топологии вполне сильных решающих мер (т е порождаемых вполне сильными решениями) для последовательных приближений к уравнению (2), то она является очень хорошей решающей мерой, а получаемое в условиях предложения 4 4 2 единственное 5-сильное решение является вполне сильным решением Далее, теорема 4 4.6 даёт достаточное условие потраекторной единственности в терминах последовательности локальных функций Ляпунова для уравнения с Ь2-значной случайной мерой как в теореме 4 2 1 Именно, пусть в этом случае аналогично теореме 4.3 5 Ьв,х,у,г — оператор, отображающий при каждом ш € О множество дважды непрерывно дифференцируемых функций V на М<г х в множество функций на Б(Ш<1) х Р(М<г), такой, что для любых двух решающих процессов X и У на некотором хорошем относительно в расширении исходного стохастического базиса процесс

У{ХиУг) - У(0,0) - ГЬв,х,„,.аУ(Х3>У3)ёВе Jo

является локальным мартингалом на этом расширении. Тогда теорема 4 4 6 утверждает, что если существует последовательность функций !/(„) на х с У(п)(х, х) = О, неотрицательных, дважды непрерывно дифференцируемых по (х, у) и таких, что

1) У(оо) = Пт ш£ У(п) > 0 при х Фу,

к ' п—»оо 4 '

МЦ-П в на О х Ж+ для всех (х, у) € х £>(М<*) при 0 < а < *

2) ЬттГ

Ьв,х,улУ(п)-Ъг вир У(п)(х$,уя) О

<0,

а также при всех п £ N

3) LB,xy,tV(n)-bt sup Vrn)(xs,ys) < ct

для некоторых неотрицательных ^-предсказуемых процессов Ь и с, для которых f0(bs + cs)dBs < оо (Р-п н для каждого t е ®f), то уравнение (2) обладает свойством сильной потраекторной единственности (хотя бы до момента взрыва) Наконец, теорема 4 4 9 сводит случай L0-значной случайной меры к предыдущей теореме предлокализацией

В заключение пользуюсь случаем поблагодарить моего дорогого учителя профессора Альберта Николаевича Ширяева за ценные советы при доработке диссертации и ее подготовке к защите

Список литературы

1 Bichteler К , Jacod J Random measures and stochastic integration — Lect Notes Control Inform Sci, 1983, v 49, p 1-18

2 Гальчук Л И О формуле замены переменных — Матем заметки, 1978, т 26, №4, с 633-641

3 Гихман И И , Скороход А В Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения — Киев Наукова думка, 1982, 612 с

4 Jacod J Calcul stochastique et problèmes de martingales — Lect Notes Math , 1979, v 714, 540 p

5 Jacod J Intégrales stochastiques par rapport à une semimartmgale vectorielle et changements de filtration — Lect Notes Math , 1980, v 784, p 171-191

6 Jacod J , Mémm J Existence of weak solutions for stochastic differential equations with driving semimartingales. — Stochastics, 1980, v 4, №1, p 23-38

7 Jacod J., Mémm J Weak and strong solutions of stochastic differential equations existence and stability — Lect Notes Math., 1981, v 851, p 169-212

8 Jacod J , Mémin J , Métivier M On tightness and stopping times — Stoch Processes and Appl., 1983, v 4, №2, p 100-146

9 Ито К , Нисио M Стандартные решения стохастического дифференциального уравнения. — Математика (сб. переводов), 1967, т 11, №5, с 117-175

10 Лебедев, В А Условие слабой компактности для семимартин-галов — ДАН СССР, 1980, т 254, № 1, с 36-39

11 Лебедев В А Об относительной компактности семейств распределений семимартингалов. — Теория вероятн и ее при-мен , 1981, т 26, в 1, с 143-151

12 Лебедев В А О потраекторной единственности решения стохастического уравнения — Третья международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике (тезисы докладов), т II Вильнюс, 1981, с. 7-8

13 Лебедев В А. О слабой компактности семейств распределений семимартингалов общего вида — Теория вероятн и ее при-мен., 1982, т 27, в 1, с 15-23.

14 Lebedev V A On the non-explosion for a solution of a stochastic equation — IV USSR-Japan symposium on probability theory and mathematical statistics (abstracts of communications), v II Tbilisi Metsniereba, 1982, p. 62-63

15. Lebedev V A On the existence of weak solutions for stochastic differential equations with driving martingales and random measures — Stochastics, 1983, v 9, № 1-2, p 37-76

16 Lebedev V A On non-explosion for the solution of a stochastic differential equation — Stochastics, 1984, v 11, №3-4, p 301-314

17 Лебедев В А О единственности решения стохастического дифференциального уравнения с ведущими мартингалом и случайной мерой — Теория вероятн. и её примен., 1985, т 30, в 1, с 152-156

18 Lebedev V A On mfimte-dimensional stochastic integrals — Statistics and Control of Stochastic Processes, Trans Ser Math Eng , Stek-lov Seminar 1984 New York Optimization Software, 1985, p 277-304

19. Лебедев В А Условия плотного мажорирования скачков для последовательностей случайных процессов — В сб Теория вероятностей, теория случайных процессов и функциональный анализ М изд-во МГУ, 1985, с 32-35

20 Лебедев В А О последовательностях случайных процессов с плотным мажорированием скачков. — Теория вероятн и ее примен , 1986, т 31, в.З, с.602-605

21 Лебедев В А. Продолжение Ьр-значных случайных мер — Первый Всемирный конгресс общества математической статистики и теории вероятностей им Бернулли (тезисы), т II М Наука, 1986, с 734

22 Лебедев В А. Стохастические интегралы по семимартингаль-ным случайным мерам, — В сб. Статистика и управление случайными процессами М Наука, 1989, с. 112-114

23 Лебедев В А Стохастическое интегрирование по семимартин-гальным случайным мерам — Теория вероятн и ее примен , 1989, т. 34, в 4, с. 792-794

24. Lebedev V A Stochastic integrals with respect to semimartingale mear sures and change of the filtration — Probability Theory and Mathematical Statistics (Proceedings of the Fifth Vilnius Conference), v II. Vilnius Mokslas, 1990, p. 70-78

25 Лебедев В А Об отсутствии взрыва и потраекторной единственности для решения стохастического дифференциального уравнения с коэффициентами, зависящими от прошлого

— Известия ВУЗов Математика, 1990, № 12, с 44-55.

26 Лебедев В А Измеримость стохастического интеграла по параметру — Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам геометрии и анализа (тезисы докладов) М ТВП, 1994, с 66-67

27 Лебедев В А Теорема Фубини для зависящих от параметра стохастических интегралов по 1/°-значным случайным мерам

— Теория вероятн и ее примен , 1995, т 40, в 2, с 313-323.

28 Лебедев В А Поведение случайных мер при замене фильтрации — Теория вероятн и ее примен , 1995, т. 40, в 4, с 754-763

29 Лебедев В А Ьр-значные случайные меры и хорошие расширения стохастического базиса — Вторая Всероссийская школа-коллоквиум но стохастическим методам (тезисы докладов) М ТВП, 1995, с 87-88

30 Лебедев В А. Мартингалы, сходимость вероятностных мер и стохастические уравнения — М изд-во МАИ, 1996, 348 с

31 Лебедев В А Устойчивые пространства семинартингалов и хорошие расширения стохастического базиса. — Третья Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (тезисы докладов) М ТВП, 1996, с 102-103

32 Лебедев В А Устойчивые пространства семинартингалов и замена вероятностной меры — Обозрение прикл. и пром математики, 1997, т 4, №3, с 272-273

33 Лебедев В А £°-значные случайные меры и стохастические дифференциальные уравнения — Обозрение прикл и пром математики, 1999, т 6, №1, с 168-169

34 Лебедев В А Об отсутствии взрыва и потраекторной единственности для решений стохастических дифференциальных уравнений с £2-значными случайными мерами — Обозрение прикл и пром математики, 2000, т 7, №2, с 505-507

35 Лебедев В А £р-значные случайные меры и хорошие расширения стохастического базиса — Теория вероятн и ее при-

мен , 2001, т 46, в 3, с 563-572

36 Lebedev V A On the existence of weak solutions for stochastic differential equations with driving L2-valued measures — Asymptotic Methods m Probability and Statistics with Applications (Proceedings of the International Conference Dedicated to the 50th Anniversary of the Chair of Probability and Statistics m St Petersburg University) Boston а о , Birkhauser, 2001, p 133-142

37 Лебедев В А Об одном контрпримере, связанном с заменой фильтрации по отношению к целочисленным случайным мерам

— Обозрение прикл и пром математики, 2001, т. 8, №2, с 786-787

38 Лебедев В А Об условиях отсутствия взрыва и потраектор-ной единственности для решений стохастических дифференциальных уравнений с £°-значными случайными мерами - Вестник МГУ (сер Мат Мех ), 2002, № 2, с 7-15

39 Лебедев В А Процессы с независимыми приращениями и расширение фильтрации — Обозрение прикл и пром математики, 2002, т 9, № 1, с 125-126

40 Лебедев В А О существовании слабых решений для стохастических дифференциальных уравнений с ведущими Ь°-значными мерами — Теория вероятн и ее примен , 2002, т. 47, в 4, с 672-685 (см также письмо в редахцию — Теория вероятн и ее примен , 2003, т 48, в 4, с 840-841)

41 Métivier M Une "lemme de Gronwall" "stochastique" et application à un theorème de stabilité pour équations différentielles stochastiques

— С R Acad Sci Pans, ser A, 1979, v 289, №4, p 287-290

42 Микулявичюс P О слабой сходимости мер — Литовский матем сб , 1985, т 25, №1, с 110-116

43 Скороход А В Исследования по теории случайных процессов

— Киев, изд-во КГУ, 1961, 216 с

44 Yamada Т , Watanabe S On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations — J Math Kyoto Umv , 1971, v 11, № 1, p 155-167, 1971, v 11, №3, p 553-563

Зак 3682 Тираж 100 экз Отпечатано в типографии Издательства МАИ «МАИ», Волоколамское ш , д 4, Москва, А-80, ГСП-3 125993

Введение

Глава 1. Мартингалы и стохастические интегралы

§1.1. Фильтрации, мартингалы и случайные меры

§ 1.2. Проекции случайных процессов и мер на сг-алгебры, порождаемые стохастическими интервалами

§1.3. Семимартингалы и стохастические интегралы

Глава 2. а-конечные £р-значные случайные меры

§2.1. Основные свойства 1/р-значных случайных мер

§2.2. 1Азначные случайные меры, порождаемые семимар-тингалами и целочисленными случайными мерами

§ 2.3. Расширение фильтрации и связанные с ним понятия

§2.4. Поведение £р-значных случайных мер при замене фильтрации

§2.5. Зависимость стохастических интегралов по £р-знач-ным случайным мерам от параметра

Глава 3. Некоторые свойства слабой и слабо-сильной сходимости вероятностных мер

§3.1. Слабо-сильная сходимость вероятностных мер и применение к ней теоремы Скорохода

§3.2. Пространство Скорохода и его основные свойства

§3.3. Критерии относительной компактности семейств распределений на пространстве Скорохода

§ 3.4. Плотное мажорирование скачков для последовательности случайных процессов

Глава 4. Стохастические дифференциальные уравнения с £р-значными случайными мерами

§4.1. Сильные и слабые решения стохастических дифференциальных уравнений

§4.2. Существование слабого решения стохастического дифференциального уравнения с 1/р-значной случайной мерой

§4.3. Условия отсутствия взрыва решения стохастического дифференциального уравнения с £р-значной случайной мерой

§4.4. Условия потраекторной единственности решения стохастического дифференциального уравнения с ¿Азначной случайной мерой

За всю вторую половину XX века получила большое развитие теория мартингалов и основанного на ней стохастического интегрирования. Первое систематическое изложение основ теории мартингалов проведено ещё Дубом и Мейером в 50-е-60-е годы. Она в значительной мере базируется на т.н. общей теории случайных процессов, основными объектами которой являются фильтрации (потоки сг-алгебр), моменты остановки и связанные с ними понятия и основы которой были заложены в те же годы Дубом, Чжуном и Мейером и в дальнейшем развиты группой страсбург-ских математиков, в частности, Деллашери. Сама же теория мартингалов получила своё дальнейшее развитие в б0-е-70-е годы в работах Деллашери, Куниты, Ватанабэ и других математиков. С другой стороны, стохастический интеграл по винеровскому процессу был введён ещё в 40-е-50-е годы Винером и Ито (последним — и по пуассоновской мере), и дальнейшее развитие теория стохастического интегрирования по мартингалам и мартингальным случайным мерам получила в 70-е годы в работах упомянутых выше математиков, а также Жакода, Ширяева и других. В качестве одной из наиболее общих ведущих систем для стохастического интегрирования, к которой может быть сведено подавляющее большинство рассмотренных ранее частных случаев стохастических интегралов, Бихтелер и Жакод [7] ввели понятие сг-конечной 2/р-значной случайной меры. В этой статье не только приведены основополагающие результаты для теории таких мер, но также продемонстрирована возможность сведения к этому понятию большинства известных случаев стохастического интегрирования, как конечномерных, так и бесконечномерных.

На этой основе развивалась и теория стохастических дифференциальных уравнений как уравнений с приращениями стохастических интегралов на бесконечно малых промежутках времени. Такие уравнения со стохастическими интегралами по винеровскому процессу и пуассоновской мере изучались ещё Ито в 50-е годы. В дальнейшем теория стохастических дифференциальных уравнений развивалась в разных направлениях. Во-первых, стали рассматриваться решения таких уравнений не только сильные, допускающие построение на исходном стохастическом базисе, но и, начиная со Скорохода [79], слабые, требующие использования с сохранением соответствующего вероятностного смысла другого стохастического базиса, что в достаточно широком классе случаев сводится к расширению исходного стохастического базиса. Во-вторых, можно рассматривать уравнения, коэффициенты которых зависят в каждый момент времени не только от левого предела (или просто значения в непрерывном случае) траектории решающего процесса, но и от прошлых значений этой траектории, начиная с Ито и Нисио [89] и других работ 60-х годов. В-третьих, широко рассматривались уравнения, включающие всё более общие стохастические интегралы, как, например, в работах Жако да и Мемэна [21-22] и автора [35-37], [45] и [50].

В свете вышеизложенного представляется актуальным дальнейшее развитие заложенной Бихтелером и Жакодом теории Ьр-значных случайных мер с результатами, дающими важные выводы в применении к частным случаям таких мер, что представляет собой новое для отечественной науки направление научных исследований. В этом развитии, в свою очередь, представляются приоритетными те его аспекты, на основе которых строится теория стохастических дифференциальных уравнений с такими мерами.

Основными целями диссертации являются: 1) определение понятия продолжения Ьр-значной случайной меры на более широкий стохастический базис и изучение его основных свойств, что важно для построения слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с такими мерами; 2) получение для стохастических дифференциальных уравнений общих достаточных условий существования слабого решения, отсутствия взрыва слабого решения уравнения, для которого условия существования выполнены в каждой ограниченной по фазовой траектории области, и потраекторной единственности слабого решения, из которой, в свою очередь, вытекает существование сильного решения.

В диссертации используются главным образом классические методы теории мартингалов, а при построении слабых решений стохастических дифференциальных уравнений — также методы теории слабой сходимости вероятностных мер на метрических пространствах и, в частности, на пространстве Скорохода сас!^ непрерывных справа и имеющих пределы слева) функций.

Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. В частности, впервые предложен систематический подход к изучению стохастических дифференциальных уравнений с ¿р-значными случайными мерами.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1. На стохастическом базисе (П,^7, Р) для Ь2-значной случайной меры в смысле Бихтелера и Жакода на (О х К.+ с!+= [0, оо[, предсказуемой ст-алгеброй V на О х и измеримым пространством (Е, Е) в случае сепарабельной сг-алгебры £ доказано существование ортогонального мартингального разложения, в этом же случае для £°-значной меры — существование минимальной доминирующей конечной неотрицательной меры, а также продемонстрирована возможность предлокального сведения Ь°-значной случайной меры к £2-значной. Всё это находит широкое применение в доказательстве последующих результатов. '

2. Для целочисленной случайной меры её дуальной предсказуемой проекции и и их разности /л — г/ охарактеризовано пространство Ь° и на этой основе расширены классические определения стохастических интегралов по этим мерам, что придаёт теории стохастического интегрирования по этим мерам законченный вид аналогично интегрированию по конечномерным семимартин-галам.

3. Дано определение продолжения £р-значной случайной меры на более широкий стохастический базис, доказаны единственность такого продолжения, его существование в случае хорошего относительно данной меры расширения стохастического базиса, что является одной из основных целей диссертации, а в общем случае охарактеризованы свойства продолжений £°-значных случайных мер, порождаемых мерами V и ¡л — и.

4. Для процесса стохастического интеграла по ХАзначной случайной мере с подынтегральной функцией, измеримым образом зависящей от параметра, доказывается его измеримость по параметру и устанавливается аналог теоремы Фубини для интегрирования стохастического интеграла по этому параметру, что находит применение, например, при изучении стохастических уравнений типа Вольтерра с такими мерами.

5. Для последовательности случайных процессов с сас!^ траекториями, заданных на едином вероятностном пространстве, определено свойство плотного мажорирования скачков, выполнение которого позволяет ослабить условия существования слабого решения стохастического дифференциального уравнения, и установлены для него необходимые и достаточные условия.

6. Для стохастического дифференциального уравнения с Ьр-значной случайной мерой получены достаточные условия существования его слабого решения и для последнего — условия отсутствия взрыва и потраекторной единственности. Всё это также является одной из основных целей диссертации.

Работа имеет теоретический характер. Её результаты могут быть применены как для получения более частных результатов с 1Лзначными случайными мерами конкретного вида, так и для построения универсальных моделей целого ряда приложений теории мартингалов и стохастических дифференциальных уравнений (финансовой математики, динамических систем со случайными возмущениями и т.п.).

Диссертация состоит из введения и четырёх глав, разделённых на параграфы. Нумерация параграфов двойная, первая цифра указывает главу. Нумерация утверждений (теорем, определений и т.п.) сплошная и тройная, первые две цифры указывают параграф, а формул — четверная, первые три цифры указывают утверждение, к которому относится формула. Номера формул, относящихся к введению, состоят из цифры 0 и порядкового номера. Общий объём диссертации — 288 страниц. Список литературы включает 89 наименований.

1. А л ь д у с (Aldous D.). Stopping times and tightness. — Ann. Prob., 1978, v. 6, №2, p. 335-340.

2. Банах, Мазур (Banach S., Mazur S.). Zur Theorie der linearen Dimension. — Studia Math., 1933, v. 4, p. 100-112.

3. Б a p л о у (Barlow M. Т.). One-dimensional stochastic differential equations with no strong solution. — J. London Math. Soc., 1982, ser.2, v. 26, №2, p. 335-347.

4. Б а ф и к о (Bafico R.). Una estensione del teorema di Skorokhod. — Boll. Un. Mat. Ital., 1979, ser.2, v.26, №2, p. 134-153.

5. БиллингслиП. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977, 352 с.

6. Бихтелер (Bichteler К.). Stochastic integration and Lp-theory of semimartingales. — Ann. Probab., 1981, v. 9, № 1, p. 46-89.

7. Бихтелер, Жакод (Bichteler К., Jacod J.). Random measures and stochastic integration. — Lect. Notes Control Inform. Sci., 1983, v.49, p. 1-18.

8. Блэквелл, Дубине (Blackwell D., Dubins L.E.). An extension of Skorokhod's almost sure representation theorem. — Proc. Amer. Math. Soc., 1983, v. 89, №4, p. 691-692.

9. ВарадарайнС. Меры на топологических пространствах. — Матем. сб., 1961, т. 55, № 1, с. 35-100.

10. ГальчукЛ.И. О формуле замены переменных. — Матем. заметки, 1978, т. 26, №4, с. 633-641.

11. ГальчукЛ.И. Семимартингалы от процессов с независимыми приращениями и расширения фильтрации. — Теория вероятн. и её примен., 1993, т. 38, в. 3, с. 491-502.

12. ГирсановИ.В. Пример неединственности решения стохастического уравнения К, Ито. — Теория вероятн. и её примен., 1962, т. 7, в. 3, с. 336-341.

13. ГихманИ. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1982, 612 с.

14. ГригелионисБ. И., Лебедев В. А. Новые критерии относительной компактности последовательностей вероятностных мер. — Успехи матем. наук, 1982, т. 37, в. 6, с. 29-37.

15. ДеллашериК. Ёмкости и случайные процессы. — М.: Мир, 1975, 192 с.

16. Деллашери, Мейер (Dellacherie С., Meyer P. A.). Probabilities and potential, vv. A-B. — Amsterdam: North-Holland, 1978-82, 200+464 p.

17. Деллашери, Стрикер (Dellacherie С., Strieker С.). Changements de temps et intégrales stochastiques. — Lect. Notes Math., 1977, v. 581, p. 365-375.

18. Дзандзотто (Zanzotto P.A.). Soluzioni deboli per equazioni stocastiche del tipo di Skorokhod. — Boll. Un. Mat. Ital., 1985, ser. 6, v.4-B, №1, p. 75-111.

19. Жакод (Jacod J.). Calcul stochastique et problèmes de martingales. — Lect. Notes Math., 1979, v.714, 540 p.

20. Жакод (Jacod J.). Intégrales stochastiques par rapport à une semi-martingale vectorielle et changements de filtration. — Lect. Notes Math., 1980, v. 784, p. 171-191.

21. Жакод, Мемэн (Jacod J., Mémin J.). Existence of weak solutions for stochastic differential equations with driving semimartingales. — Stochastics, 1980, v. 4, № 1, p. 23-38.

22. Жакод, Мемэн (Jacod J., Mémin J.). Weak and strong solutions of stochastic differential equations: existence and stability. — Lect. Notes Math., 1981, v. 851, p. 169-212.

23. Жакод, Мемэн, Метивье (Jacod J., Mémin J., Métivier M.). On tightness and stopping times. — Stoch. Processes and Appl., 1983, v.4, №2, p. 100-146.

24. Жакод Ж., Ш и p я e в A. H. Предельные теоремы для случайных процессов, тт. 1-2. — М.: Физматлит, 1994, 544+368 с.

25. И о p (Yor M.). Quelques interactions entre mesures vectorielles et intégrales stochastiques. — Lect. Notes Math., 1979, v. 713, p.264-285.

26. Каллианпур, Стрибел (Kallianpur G., Striebel C.). Stochastic differential equations occurring in the situation of continuous parameter stochastic processes. — Теория вероятн. и её примен., 1969, т. 14, в. 4, с. 597-622.

27. К о м а ц у (Komatsu Т.). Markov processes associated with certain integro-differential operators. — Osaka J. Math., 1973, v. 10, №2,p. 289-319.

28. К о н в e й (Conway Е. D.). Differential equations with discontinuous drift. — Trans. Amer. Math. Soc., 1971, v. 157, № 1, p. 235-245.

29. КуратовскийК. Топология, тт. 1-2. M.: Мир, 1966-69, 596+624 с.

30. Лебедев В. А. Условие слабой компактности для семи-мартингалов. — ДАН СССР, 1980, т. 254, №1, с. 36-39.

31. Лебедев В.А. Об относительной компактности семейств распределений семимартингалов. — Теория вероятн. и её при-мен., 1981, т. 26, в. 1, с. 143-151.

32. Л е б е д е в В. А. О потраекторной единственности решения стохастического уравнения. — Третья международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике (тезисы докладов), т. II. Вильнюс, 1981, с. 7-8.

33. Л е б е д е в В. А. О слабой компактности семейств распределений семимартингалов общего вида. — Теория вероятн. и её примен., 1982, т. 27, в. 1, с. 15-23.

34. Лебедев (Lebedev V. A.). On the non-explosion for a solution of a stochastic equation. — IV USSR-Japan symposium on probability theory and mathematical statistics (abstracts of communications), v. II. Tbilisi: Metsniereba, 1982, p. 62-63.

35. Лебедев (Lebedev V. A.). On the existence of weak solutions for stochastic differential equations with driving martingales and random measures. — Stochastics, 1983, v. 9, W1-2, p. 37-76.

36. Лебедев (Lebedev V. A.). On non-explosion for the solution of a stochastic differential equation. — Stochastics, 1984, v. 11, №3-4, p.301-314.

37. Лебедев B.A. О единственности решения стохастического дифференциального уравнения с ведущими мартингалом и случайной мерой. — Теория вероятн. и её примен., 1985, т. 30, в. 1, с. 152-156.

38. Лебедев (Lebedev V. A.). On infinite-dimensional stochastic integrals. — Statistics and Control of Stochastic Processes, Trans. Ser. Math. Eng., Steklov Seminar 1984. New York: Optimization Software, 1985, p. 277-304.

39. Лебедев B.A. Условия плотного мажорирования скачков для последовательностей случайных процессов. — В сб.: Теория вероятностей, теория случайных процессов и функциональный анализ. М.: изд-во МГУ, 1985, с. 32-35.

40. Лебедев В.А. О последовательностях случайных процессов с плотным мажорированием скачков. — Теория вероятн. и её примен., 1986, т. 31, в.З, с. 602-605.

41. Лебедев В. А. Продолжение Ьр-значных случайных мер.Первый Всемирный конгресс общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли (тезисы), т. II. М.: Наука, 1986, с. 734.

42. Лебедев В.А. Стохастические интегралы по семимартин-гальным случайным мерам. — В сб.: Статистика и управление случайными процессами. М.: Наука, 1989, с. 112-114.

43. Лебедев В.А. Стохастическое интегрирование по семи-мартингальным случайным мерам. — Теория вероятн. и её примен., 1989, т. 34, в. 4, с. 792-794.

44. Лебедев (Lebedev V. A.). Stochastic integrals with respect to semimartingale measures and change of the filtration. — Probability Theory and Mathematical Statistics (Proceedings of the Fifth Vilnius Conference), v. II. Vilnius: Mokslas, 1990, p. 70-78.

45. Лебедев В.А. Об отсутствии взрыва и потраекторной единственности для решения стохастического дифференциального уравнения с коэффициентами, зависящими от прошлого.Известия ВУЗов. Математика, 1990, №12, с. 44-55.

46. Лебедев В.А. Измеримость стохастического интеграла по параметру. — Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам геометрии и анализа (тезисы докладов). М.: ТВП, 1994, с. 66-67.

47. Л е б е д е в В. А. Теорема Фубини для зависящих от параметра стохастических интегралов по £°-значным случайным мерам. — Теория вероятн. и её примен., 1995, т. 40, в. 2, с. 313323.

48. Лебедев В.А. Поведение случайных мер при замене фильтрации. — Теория вероятн. и её примен., 1995, т. 40, в. 4, с. 754-763.

49. Л е б е д е в В. А. 1/р-значные случайные меры и хорошие расширения стохастического базиса. — Вторая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (тезисы докладов). М.: ТВП, 1995, с. 87-88.

50. Лебедев В. А. Мартингалы, сходимость вероятностных мер и стохастические уравнения. — М.: изд-во МАИ, 1996, 348 с.

51. Л е б е д е в В. А. Устойчивые пространства семинартингалов и хорошие расширения стохастического базиса. — Третья Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (тезисы докладов). М.: ТВП, 1996, с. 102-103.

52. Лебедев В. А. Устойчивые пространства семинартингалов и замена вероятностной меры. — Обозрение прикл. и пром. математики, 1997, т. 4, №3, с. 272-273.

53. Лебедев В. А. Ь°-значные случайные меры и стохастические дифференциальные уравнения. — Обозрение прикл. и пром. математики, 1999, т. 6, № 1, с. 168-169.

54. Лебедев В.А. Об отсутствии взрыва и потраекторной единственности для решений стохастических дифференциальных уравнений с £2-значными случайными мерами. — Обозрение прикл. и пром. математики, 2000, т. 7, № 2, с. 505-507.

55. Л е б е д е в В. А. £р-значные случайные меры и хорошие расширения стохастического базиса. — Теория вероятн. и её при-мен., 2001, т. 46, в.З, с. 563-572.

56. Лебедев В.А. Об одном контрпримере, связанном с заменой фильтрации по отношению к целочисленным случайным мерам. — Обозрение прикл. и пром. математики, 2001, т. 8, №2, с. 786-787.

57. Л е б е д е в В. А. Об условиях отсутствия взрыва и потраекторной единственности для решений стохастических дифференциальных уравнений с Ь°-значными случайными мерами. —-Вестник МГУ (сер. Мат.Мех.), 2002, №2, с. 7-15.

58. Л е б е д е в В. А. Процессы с независимыми приращениями и расширение фильтрации. — Обозрение прикл. и пром. математики, 2002, т. 9, № 1, с. 125-126.

59. JI е-К а м JI. Сходимость по распределению случайных процессов. — Математика (сб. переводов), 1960, т.4, №1, с. 107— 142.

60. Ленгляр, Лепэнгль, Прателли (Lenglart Е., Lépingle D., Pratelli M.). Présentation unifiée de certaines inégalités de la théorie des martingales. — Lect. Notes Math., 1980, v. 784, p. 26-48.

61. Линдвалл (Lindvall T.). Weak convergence of probability measures and random functions in the function space £)0, oo. — J. Appl. Probab., 1973, v. 10, № 2, p. 109-121.

62. Липцер P. Ш., Ширяев A. H. Теория мартингалов. — M.: Наука, 1986, 512 с.

63. Лось, Марчевский (Los J., Marczewski Е.). Extensions of measure. — Fund. Math., 1949, v. 36, p. 267-276.

64. Майкл (Michael E.). Continuous selection in Banach space. — Studia Math., Ser. Specjalna, 1963, № 1, p. 75-76.

65. Марчевский (Marczewski(Szpilrajn) E.). The characteristic function of a sequence of sets and some of its applications. — Fund. Math., 1938, v. 31, p. 207-223.

66. M e й e p П. А. Вероятность и потенциалы. — M.: Мир, 1973, 328 с.

67. M е й e р (Meyer P. A.). Un cours sur les intégrales stochastiques. — Lect. Notes Math., 1976, v. 511, p. 245-400.

68. Метивье (Métivier M.). Une "lemme de Gronwall" "stochastique" et application à un theorème de stabilité pour équations différentielles stochastiques. — C. R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 1979, v.289, №4, p. 287-290.

69. Метивье (Métivier M.). Semimartingales. — Berlin a.o.: De Gruyter, 1982, 288 p.

70. МикулявичюсР. О слабой сходимости мер. — Литовский матем. сб., 1985, т. 25, № 1, с. 110-116.

71. Окабэ, Симидзу (Okabe Y., Shimizu A.). On the pathwiseuniqueness of solutions of stochastic differential equations. — J. Math. Kyoto Univ., 1975, v. 15, №2, p. 455-466.

72. Прайс (Preiss D.). Metric space in which Prohorov's theorem is not valid. — Z. Wahrsch. und verw. Geb., 1973, v. 27, № 2, p. 109-116.

73. Проттер (Protter P.). Volterra equations driven by semimartin-gales. — Ann. Probab., 1985, v. 13, №2, p. 514-530.

74. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. — Теория вероятн. и её примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177-238.

75. Сильвестров Д. С. Предельные теоремы для сложных случайных функций. — Киев: Вища школа, 1974, 320 с.

76. СкороходА.В. Предельные теоремы для случайных процессов. — Теория вероятн. и её примен., 1956, т. 1, в. 3, с. 289319.

77. СкороходА. В. Исследования по теории случайных процессов. — Киев: изд-во КГУ, 1961, 216 с.

78. Стоун (Stone С.). Weak convergence of stochastic processes defined on a semiinfinite time interval. — Proc. Amer. Math. Soc., 1963, v. 14, №5, p. 694-696.

79. Стрикер (Strieker C.). Quasimartingales, martingales locales, semimartingales et filtration. — Z. Wahrsch. und verw. Geb., 1977, v. 39, №1, p. 55-63.

80. С т p у к Д. В., В а р а д а н С. Р. С. Диффузионные процессы с непрерывными коэффициентами. — Математика (сб. переводов), 1971, т. 15, № 6, с. 66-113; 1972, т. 16, № 1, с. 100-142.

81. Струк, Варадан (Stroock D. W., Varadhan S. R. S.). Multidimensional diffusion processes. — Berlin a.o.: Springer-Verlag, 1979, 340 p.

82. Хасьминский P. 3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. — М.: Наука, 1969, 368 с.

83. Цирельсон B.C. Один пример стохастического дифференциального уравнения, не имеющего сильного решения. — Теория вероятн. и её примен., 1975, т. 20, в. 2, с. 427-430.

84. Эллиотт Р. Стохастический анализ и его приложения. — М.: Мир, 1986, 352 с.

85. Эмери (Eméry M.). Une topologie sur l'espace des semimartingales. — Lect. Notes Math., 1979, v.721, p. 260-280.

86. Ямада, Ватанабэ (Yamada T., Watanabe S.). On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations. — J. Math. Kyoto Univ., 1971, v. 11, № 1, p. 155-167; 1971, v. 11, №3, p. 553-563.

87. ИтоК, НисиоМ. Стандартные решения стохастического дифференциального уравнения. — Математика (сб. переводов), 1967, т. 11, №5, с. 117-175.