Существование и единственность решений стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ .Ф.

§ 0.1 Постановка задачи, состояние исследуемых вопросов в литературе, краткое содержание результатов диссертации.

§ 0.2 Основные обозначения, определения, вспомогательные утверждения

ГЛАВА 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРА РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАШЕНИЙ ИТО-ВОЛЬТЕРРА; -ТЕОРИЯ.

§ 1.1 Существование и единственность решения.

§ 1.2 Существование и единственность локального решения

§ 1.3 Продолжимость локального решения.

§ 1.4 Непрерывная зависимость решений от параметра.

§ 1.5 Существование слабого решения.

ШВА 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРА РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО-ВОЛЬТЕРРА; £ -ТЕОРИЯ

§ 2.1 Решения с суммируемым вторым моментом

§ 2.2 Существование и единственность стохастически непрерывного решения.

§ 2.3 Решения с п.н. непрерывными траекториями.

§ 2.4 Непрерывная зависимость решения от параметра.

ГЛАВА 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЩЦИНСТВЕННОСТЪ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ 3.1 Существование и единственность решения.

§ 3.2 Многомерная теорема сравнения

§ 3.3 Уравнения с непрерывным сносом.

§ 3.4 Непрерывная зависимость решений стохастических дифференциальных уравнений с единичной диффузией от начальных условий

§ 3.5 Уравнения с одновременным вырождением ядер.

§ 0.1 Постановка задачи, состояние исследуемых вопросов в литературе, краткое содержание результатов диссертации.

Стохастические интегральные уравнения Ито-Вольтерра вида являются естественным обобщением стохастических дифференциальных уравнений типа К.Ито. Уравнения вида (0.1) также появляются при исследовании различных вопросов теории стохастических дифференциальных уравнений. Широкий класс стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и стохастических интегро-дифференциальных уравнений может быть сведен к стохастическим интегральным уравнениям Ито-Вольтерра, это сведение аналогично соответствующему сведению в теории детерминированных уравнений. С другой стороны, в последнее время появился ряд статей прикладного характера [1,7,40,43,46,54,58-60,633« в которых при построении математических моделей физических, технических, биологических и других явлений приходится пользоваться уравнениями вида (0.1). Таким образом, возникла необходимость построения общей теории таких уравнении. Хотелось, чтобы,по аналогии с детерминированной ситуацией, такая теория включала в себя (в соответствующих пределах) теорию стохастических дифференциальных уравнений типа К.Ито. Конечно, теория стохастических дифференциальных уравнений типа К.Ито заведомо окажется богаче теории стохастических интегральных уравнений Ито-Йольтерра, т.к. содержит результаты, специфические для дифференциальных уравнений. Например, в теории уравнений вида (0.1) нельзя пользоваться методами, основанными на независимости приращений решения, существенно ограничены возможности аналитических методов.

В теории стохастических дифференциальных уравнений наиболее глубоко разработаны вопросы существования и единственности решений (см.,напр., £2-4,б, 10,11,19,21,84,25,41,45,52,56,57,63-651), в теории стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра основными следует считать те же вопросы.

В первых работах по теории стохастических интегральных уравнений [40,48,58-60,62,63] ядро ЬсА:,^,*} нулевое. Решения здесь рассматриваются как непрерывные функции со значениями в различ1&х банаховых пространствах случайных величин, ядро Ac\,s,x} - как отображение при фиксированных Л? и s в соответствующем пространстве случайных величин. Основные методы исследования здесь - теоремы о неподвижных точках, основное условие существования и единственности решения - условие Липшица на отображение Результаты в этом направлении подытожены в [443.

Позднее Mawo^alv. h.H.V.^scVc* в "[543 и 1613, \А, в ][53Ц аналогичными методами исследовали общее уравнение (0.1).

Dawson <£>.\45], F&Tvnwg V.H. 1463, Ю.Л.Далецкий ВД рассматривали некоторые частные уравнения вида (0.1) в гильбертовом пространстве, они получались в результате преобразования стохастических дифференциальных уравнений с локально Липшицевыми по фазовой переменной ядрами вне точек их одновременного обращения в нуль. Как показывает пример И.В.Гирсанова \3\, такие уравнения могут иметь неединственное решение, факт существования решения таких уравнений следует из теоремы §3.5 диссертации.

А.Ю.Шевляков £39],ТАго 1, &91 исследовали вопросы существования и единственности решения линейного стохастического интегрального уравнения Ито-Вольтерра с интеграруемым вторым моментом.

Т"Ьо Т. [5°] и Т.Н.Кравец ]1б] показали, что для существова-вания и единственности решения уравнения (0.1) с почти наверное непрерывными траекториями достаточно, чтобы ядра и

6 удовлетворяли условию Липшица по первому и третьему аргументам. Позднее. А.М.Колодий £13,143 ослабил условие на модуль непрерывности ядер по первому аргументу. В доказательствах прямо или косвенно используется известная теорема А.Н.Колмогорова о непрерывности траекторий случайного процесса (см.,напр., ЦШ или ее обощения ][5,е.235],[22,с.139].

Стохастически непрерывные решения уравнения (0.1) с почти наверное суммируемыми с квадратом траекториями рассмотрены Т.Н. Кравец [153. Достаточные условия существования и единственности решений здесь весьма жесткие, например, ядра линейных уравнений им не удовлетворяют.

В "[18] Т.Н.Кравец рассмотрен вопрос о существовании слабого решения уравнения (0.1). Основное условие здесь - непрерывность детерминированных ядер Ac^j^j*) и и их частных производных по -Ъ первого порядка.

Следует отметить также статью йег^ет М, l\ \ zeR £42], посвященную изучению свойств решений линейных стохастических интегральных уравнений Йто-Вольтерра.

Диссертация посвящена вопросам существования, единственности и зависимости от параметра решений стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра. Хорошо известно, что в случае дифференцируемо сти ядер и по Ъ уравнение (0.1) может быть сведено к стохастическому дифференциальному уравнению без последействия, рассматривавшемуся И.Й.Гихманом и А.В.Скороходом в t.4,6] и другими. В диссертации условие дифференцируемо cm ядер по "fc, в каком бы то ни было вероятностном смысле или ему эквивалентное на ядра уравнения (0.1), нигде не накладывается.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. В первой главе рассмотрены непрерывные в среднем квадратическом решения уравнения (0.1), во второй - стохастически непрерывные решения и решения с почти наверное непрерывными траекториями, в третьей рассмотрен важный частный случай - стохастические дифференциальные уравнения типа К.Ито.

1. Аотапов И.О.,Белоцерковский С.М. .Качанов Б.О.Кочетков Ю.А. О системах интегро-дифференциальных уравнений, опшывающих неустановившееся движение жидкости в сплошной среде. -Дифференц. уравнения ,1982,18, JB9 ,с. 1628-1637.

2. Веретенников А.Ю. О сильных решениях и явных формулах для решений стохастических интегральных уравнений. Штем.сб., 1980,111(153)^3,с.434-452.

3. Гирсанов И.В. Пример неединственности решения стохастического интегрального уравнения К.Ито. Теория вероятностейи ее применения, 1962,7',1еЗ,с.336-342.

4. Гихман И.И., Скороход А.В.-' Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наук.думка, 1968. - 356с.

5. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. -М.: Наука, 1971. -T.I. 664с.

6. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. -М.: Наука, 1975. -Т.З. 496с.

7. Далецкий Ю.Л. О некоторых задачах, возникающих в генетике популяций и экологии. В кн.:. Математические методы в биологии. Киев: Наук.думка,1977,с.72-84.• ' 8. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. М.: Иностр. лит-ра, 1962. - T.I. - 895с.

8. Дьедонне Ж. Основы современного анализа,- М.:Мир,1964,318с.

9. Звонкин А.К. Преобразование фазового пространства диффузионного процесса, уничтожающее снос. Штем.сб. ,1974,93,М, с.129-149.

10. Звонкин А.К., Крылов Н.В. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений. В кн. .-Труды школы-семинара по теории случайных процессов (Друскининкай,26-30 ноября 1974).Вильнюс: Ин-т физики и математики АН ЛитССР,1975,ч.2,с.9-88.

11. Колмогоров А.Н., Фомин G.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука,1976. - 624с.

12. Кояодий A.M. О существовании и единственности решений некоторых стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра. -Донецк,1982. 22с. - Рукрпжь представлена Донецким ун-том. Деп.в ВИНИТИ 17 мая 1982г.,£2464-82.

13. Кравец Т.Н. О существовании решения стохастического интегрального уравнения типа Вольтерра. Теория случайных процессов, 1979,вып.7,с.57-62.

14. Кравец Т.Н. О существовании и единственности решения стохастического интегрального уравнения типа Вольтерра. Теория случайных процессов,1980,вып.8,с.83-91.

15. Кравец Т.Н. О слабых решениях стохастических интегральных уравнений типа Вольтерра. Теория случайных процессов, 1981,вып.9,с.55-60.

16. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в простраштвах суммируемых функций. М.: Наука,1966,500с.

17. Крылов Н.В., Розовский Б.Л. Об эволюционных стохастических уравнениях. В кн.: Современные проблемы математики (Итоги науки и техники), М.:ВИНИТИД979,Т.14,с .72-147.

18. Куратовский К. Топология. М. :Мир,19бб. -Т.1.- 594с.

19. Мельников А.В. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений с негладкими коэффициентами. Теория• вероятностей и ее применения,1979,24,JII,с.146-149.

20. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.:Мир, 1969. - 310с.

21. Рудин У. Основы математического анализа. М.:Мир, 1976.-319с.

22. Скороход А.В. Исследования по теории случайных процессов. -Киев: Изд-во Киевского ун-та,1961. 216с.

23. Скороход А.В. О существовании и единственности решений стохастических диффузионных уравнений. Сиб.матем.журнал, 1961,2,Ж,с.129-137.

24. Федоренко И.В. О существовании, единственности и непрерывной зависимости от параметра решений стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра. Изв.Сев.-Кавказок. науч.центра высш.школы,1981,М,с.35 -38.

25. Федоренко И.В. Существование непрерывного решения стохастического интегрального уравнения Ито-Вольтерра. Краснодар, 1981. - 14с. - Рукопись представлена Кубанским ун-том. Деп. ■ в ВИНИТИ 28 января 1981г.,Ж341-81.

26. Федоренко И.В. О существовании решений стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра.-В кн.сравнения на многообразиях (Новое в глобальном анализе;, Воронеж: ВГУД982,с.129-133.

27. Федоренко И.В. К вопросу о существовании сильного решений стохастического дифференциального уравнения типа К.Ито. -Теория вероятностей и ее применения,1984,29,JII,с.120-123.

28. Халмош П. Теория меры. М.: Иностр.лит-ра,1953. - 598с.

29. Харди Г., Литлвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. М.: Иностр. лит-ра,1948,473с.

30. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир,1970. - 720с.

31. Цалюк З.Б. О единственности решений уравнений Вольтерра. -Дифференциальные уравнения, 1969,5,1а2,с.228-239.

32. Цалюк З.Б. Функциональные неравенства Вольтерра. Изв.' высш.учебн.заведений. Математика, 1969,S3,с.86-95.

33. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра. В кн.: Математический анализ (Итоги науки и техники), М.!: ВИНИТИ, 1977,Т. 15 ,с .131-198.

34. Цалюк З.Б.' К вопросу о сходимости последовательных приближений. В кн.: Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, вып.7, М.: Изд-во Университета Дружбы народов, 1969,с.67-74.

35. Шевляков А.Ю. Об однш классе стохастических интегральных уравнений. Теория случайных процессов, 1979, вып.7,с.118-127.- 96

36. MdW*^ ^isWi^vrWd ^(Xf^vieWL bW^Us/Mc.Wt;

37. W., 9z^tvvows»\<\ V, Aw ex^Vemcc. -V^^ot^ ЪМ. аслЛ, ?o£.

38. UaiJiiviOiW S/T.^TsoWos С. P. t^eAevice ^во^^гчлпЛоуп ex^uA-b'ovi U^i^ojКаЛ*. я19*4,-v. Gb, p. Ml-MG.

39. TVo T, Ov» sVoetvas-Vic. iwV-e^evt

40. TAo "I. 0y\ u.vvic^aeYxe.ss o^sotukows fl^ sVoe^a^Vc. of51. 1Ло SW^ASAIC 9-coc, AcagL,, TOVjo , 1944, 2 0 , -5M .

41. ТА о V. 0Y\ Ov e^Q^cxc.Vvc УуАе^ъоХ -e^ua-Viovt k-. fW. JoL?avv AeacL, 134 6,22,

42. Vew;v\ M. Ovn Ov VoiAaitc*54. A,W.V.,TsoVos C.9. Om aвАюсА0^^^- сУч^й^ТА^. ЛлМA^&CAAVOYi AO «ЬуА^АИ^.- . VacA, yto^vеД apffc., 19K>V. 110^, 211-222.,

43. UiWefc Hovliwuw Vo^Aexu лчАорхЛ ^uA'oмA ?**.<. С*Ц., W. A. wi vt, 19 * 1, С g p,- 98

44. HCL\CC\O SX OYI или cyu£v\£<bs cJJ4 aWWVic0J. HAL, 9, 543-518.57. iVisio M, Or» e*i«Ae«ce. 4

45. РлД^еАА W.3./T<boWC.P. ev soL^ovt . c\ s^ociUsAie. IYA^^AC at^oAloVx. vv\

46. Pactc^A J.9Tso\cos C.P. Oy^ a sVocU<b\ic.bAtpftovie. -wlfic^.- 3. РгАЛ, Wi , 5 , y. 2.69-27S*.60. Pad ^eAA V, З.^Тьолр^СА-Viovi^ «Aoc^asAic. vvAfcjTftfc e^Aiovi*» . Ty^. 3. V^' Sc'i.,1^1

47. Sao /W.V.,TsoV.os c%9. cxisAreYiw 4 * 4AYI<£OYYI YI ^o ft- Viovt-^MeAt. peAut £еД sA©et\cjsV\c28 tiH. p. 99-109.

48. T^oW®, C.o* <x ■wowfcweA'c vvAe^t^d

49. ТъсЛьоъ C.p. S&ocWVic. \vA-e<^.a£- e^u^Mow v\t64. YatwU'T.of. *0£A*oyi«> ojf Ах^чЧ?

50. H«AHu VI^OVO W, 19*1, 15 5-1^.

51. V&Wmte Уа-^кМаЛ7. 0v\ -Vic wvmo^U^vi^sscf «ьойЛок* o^ е^иЛо^Л ,3. KM. UwW., , U, 55VSC3.66.oiwA \V> c^^WVioms, 3. Uw\v.si'S,