Единственность и регуляризация операторных уравнений Вольтерра в шкале банаховых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Примеры неединственности решения для интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода.

§ 1.1. Пример неединственности для ядра, удовлетворяющего условию Гёльдера.

§ 2.1. Неединственность решения, не удовлетворяющего условию

Гёльдера.

§ 3.1. Пример неединственности решения для ядра с модулем непрерывности по х между к и кЫН.

§ 4.1. Примеры неединственности решения, двойственные для теоремы единственности решения интегрального уравнения 2-го рода.

§ 5.1 О неединственности решения в математических моделях физических и химических прбцёссбв.

Глава 2. Регуляризация операторных уравнений Вольтерра 1-го рода в шкале банаховых пространств.

§ 1.2. Регуляризация линейных операторных уравнений Вольтерра 1го рода.

§ 2.2. Регуляризация нелинейных операторных уравнений Вольтерра

1-го рода.

Глава 3. Регуляризация операторных уравнений Вольтерра 2-го рода в шкале банаховых пространств.

§ 1.3. Регуляризация уравнений при помощи семейства аппроксимирующих операторов.

§ 2.3. Логарифмическая выпуклость нормы как функции от 5 для областей специального вида.

§ 3.3 Регуляризация обратной задачи для уравнения теплопроводности.

Диссертационная работа посвящена исследованию единственности и регуляризации операторных уравнений Вольтерра в шкале банаховых пространств.

Отмеченные вопросы относятся к теории некорректных задач математической физики и анализа, основы которой были заложены работами А. Н. Тихонова [48 — 51], М. М. Лаврентьева [29 — 33], В. К. Иванова [24, 25], и их учеников.

Единственность решения интегральных и операторных уравнений Вольтерра изучалась М. М. Лаврентьевым [29, 29], А. Л. Бухгеймом [12 — 14, 16], А. Асановым [8, 9], А. С. Апарциным [5, 6], и другими авторами [2], [27], [36], [46].

Регуляризация интегральных и операторных уравнений Вольтерра 1-го рода исследовалась М. М. Лаврентьевым [29, 30, 31], А. С Апарциным [3 — 6], А. Б. Бакушинским [7], В. К. Ивановым, В. В. Васиным и В. П. Тананой [24, 25], Н. А. Магницким [34], А. Н. Тихоновым [48 — 52] и другими авторами [1, 9, 19, 21, 35, 37, 44, 46, 47, 53].

В работах М. М. Лаврентьева [30] и А. Л. Бухгейма [15, 16] изучалась регуляризация операторных уравнений Вольтерра 2-го рода с неограниченным оператором.

В диссертационной работе проведено исследование по актуальной и современной тематике. Работа лежит в русле работ, проводимых признанными научными школами по теории некорректных задач и их приложениям. В настоящей диссертации применены и развиты методы решения некорректных задач математической физики и анализа.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. В преамбуле каждой из глав дополнительно приводится краткий обзор результатов по тематике главы, даются ссылки на литературу. Нумерация формул ведется по главам, в каждой главе сквозная. Работа исполнена в формате текстового редактора \Уогс1-97 и занимает 88 страниц машинописного (распечатанного принтером) текста. Имеется электронный оригинал работы. Библиография содержит 73 названия.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе приведены примеры неединственности для линейного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода. Примеры построены явно, т. е. непосредственно подобрано решение уравнения — функция не равная тождественно нулю, и ядро интегрального уравнения К(х, /) ? также не равное тождественно нулю, такие что x р^СмМО^ = о

1.0)

Приведенные примеры являются контрпримерами к теоремам единственности, доказанными А. Л. Бухгеймом и А. Асановым. Кроме того, построена бесконечная серия примеров неединственности для уравнения (1.0), таких, что решения удовлетворяет условию Гёльдера, а модули непрерывности для ядра 0)(И) таковы, что интеграл г (¡¡1 о является сходящимся при достаточно малом £ , тогда как в классической теореме Осгуда о единственности для уравнения 2-го рода [43], и в теоремах единственности А. Л. Бухгейма [12, 14, 16], он является расходящимся. Таким образом, вопрос о единственности решения для задачи Коши для обыкновенноного дифференциального уравнения [43] решен полностью, что доказывает построенная в диссертации серия контрпримеров.

Практическим следствием примеров неединственности является интерпретация вычисленных в работе модулей непрерывности. Из сравнения модулей непрерывности операторной функции (ядра) и сигнала (решения) следует, что в том случае, когда локальное нарастание интенсивности сигнала намного превосходит локальную разрешающую способность измерительной аппаратуры, мы можем иметь нулевой отклик на ненулевой сигнал. Эти результаты были использованы для понимания результатов экспериментов при исследовании химических реакций в твердом теле.

Алгоритмы регуляризации, изученные в диссертационной работе, применялись для численных расчетов задач физической и химической кинетики.

Полученные в работе оценки сходимости для нелинейных операторных уравнений Вольтерра в шкале банаховых пространств и оценки логарифмической выпуклости для шкал аналитических функций имеют самостоятельное теоретическое значение и могут применяться для доказательства теорем существования и единственности для операторных уравнений.

1. Альбер Я. И. Непрерывная регуляризация линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве. // Мат. заметки, 1968, т. 4, № 25, с. 500 — 509.

2. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978.

3. Апарцин А. С. Дискретизационные методы регуляризации некоторых интегральных уравнений I рода. // Методы численного анализа и оптимизации. — Новосибирск: Наука, 1987, с. 263 — 297.

4. Апарцин А. С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода. Теория и численные методы. Новосибирск: Наука, 1999.

5. Апарцин А. С. Теоремы существования и единственности решений уравнений Вольтерра I рода, связанных с идентификацией нелинейных динамических систем (скалярный случай). — Иркутск: — Препринт № 9. СЭИ СО РАН, 1995. 30 с.

6. Апарцин А. С. Теоремы существования и единственно сти решений уравнений Вольтерра I рода, связанных с идентификацией нелинейных динамических систем (векторный случай). — Иркутск: — Препринт № 8. СЭИ СО РАН, 1996. 57 с.

7. Апарцин А. С., Бакушинский А. Б. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода методом квадратурных сумм. // Дифференциальные и интегральные уравнения, вып. 1, 1972, Иркутск, с. 120 — 128.

8. Асанов А. О единственности решения систем уравнений Вольтерра первого рода типа свертки. // Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики. Новосибирск, 1978, с. 26 — 34.

9. Асанов А. Регуляризация и единственность решения линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: 1980. с. 207 — 214.

10. Безнощенко Н. Я. Об определении коэффициента в параболическом уравнении. // Дифференциальные уравнения, 1974, т. X, № 1, с. 24 — 35.

11. Безнощенко Н. Я., Прилепко А.И. Обратные задачи для уравнений параболического типа // Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1977,с. 51 — 63.

12. Бухгейм А. Л. Нелинейные операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств. — Новосибирск, 1981. Препринт № 280 ВЦ СО АН СССР, 21 с.

13. Бухгейм А. Л. Об одном классе операторных уравнений Вольтерра I рода. // Функциональный анализ и его приложения, 1972, т. 6, вып. 1, с. 1 — 9.

14. Бухгейм А. Л. Операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств. // Доклады АН СССР, 1978, т. 242, № 2, с. 272 — 275.

15. Бухгейм А. Л. Специальные операторные уравнения в шкале банаховых пространств и их приложения. — Новосибирск, 1980, препринт № 253 ВЦ СО АН СССР, 22 с.

16. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

17. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.

18. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

19. Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. Об одном регуряризирующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором. // ЖВМ и МФ, 1972, т. 12, № 6, с. 1592 — 1594.

20. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы, т. 1. Общая теория. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

21. Денисов А. М. О приближенном решении уравнения Вольтерра 1-го рода. // ЖВМ и МФ, 1975, т. 15, № 5, с. 1053 — 1056.

22. Димитров В. И. Простая кинетика. Новосибирск: Наука, 1982.

23. Заикин Н. П. Системы полной математической обработки результатов спектрометрических экспериментов. Автореф. дисс. докт. физ.-мат. наук, М., ОИЯИ, 1977, 32 с.

24. Иванов В. К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач. // Сиб. мат. журнал, 1966, т. 7, № 3, с. 543 — 553.

25. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

26. Кнорре Д. Г., Крылова Л. Ф., Музыкантов В. С. Физическая химия. — 2-е изд., исправл. и дополн. — М.: Высшая школа, 1990.

27. Костин В. И., Хайдуков В. Г., Чеверда В. А. г-решения уравнения первого рода с компактным оператором в гильбертовых пространствах: существование и устойчивость. // Доклады РАН, 1997, т. 355, № 3, с. 308 — 312.

28. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

29. Лаврентьев М. М. Обратные задачи и специальные операторные уравнения первого рода. // Международный конгресс математиков в Ницце. М.: Наука, 1972. с. 130 — 136.

30. Лаврентьев М. М. О регуляризации операторных уравнений типа Вольтерра. // Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1977. с. 199 — 205.

31. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: изд-во НГУ, 1973.

32. Лаврентьев М. М., Краева А. Г., Бухгейм А. Л. Обратные задачи химической кинетики. Новосибирск, 1980. Препринт № 234 ВЦ СО АН СССР 18 с.

33. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

34. Магницкий Н. А. Об одном методе регуляризации уравнений Вольтерра I рода. // ЖВМ и МФ. 1975, т. 15, № 5. с. 1317 — 1323.

35. Марчук Г. И., Васильев В. Г. О приближенном решении операторных уравнений первого рода. // Доклады АН СССР, 1970, т. 195, № 4, с. 773 — 775.

36. Мацнев JI. Б. Об одном вольтерровом операторе. // Дифференциальные уравнения и теория функций. Вып. 1, Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1977, с. 65 — 69.

37. Музылёв Н. В. Об алгоритме упрощенной регуляризации. // ЖВМ и МФ, 1975, т. 15, № 3, с. 772 —775.

38. Мюнтц М. Г. Интегральные уравнения. Часть 1. Линейные уравнения Вольтерра. М.—Л.: ОНТИ, 1934.

39. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.

40. Овсянников Л. В. Аналитические группы. Новосибирск, Изд-во НГУ, 1972.

41. Овсянников Л. В. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств. // Доклады АН СССР, 1971, т. 200 № 4, с. 789 — 782.

42. Овсянников Л. В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств. // Доклады АН СССР, 1965, т. 163 № 4, с. 819 — 822.

43. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

44. Сергеев В. О. Регуляризация уравнений Вольтерра I рода // Докл. АН СССР, 1971. т. 197, № 3, с. 531 — 534.

45. Система автоматической обработки фотоядерных реакций. Научный отчет № 138-T3 (445), М.: МГУ, 1970, 80 с.

46. Сражидинов А. О единственности решения уравнения Вольтерра первого рода. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе, 1979, с. 177 — 189.

47. Сражидинов А. О регуляризации линейных и нелинейных уравнений Вольтерра первого рода. // Изв. АН Кирг. ССР, 1980, № 5, с. 3 — 11.

48. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. // Доклады АН СССР, 1963, т. 151, № 3, с. 501 — 504.

49. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

50. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В. и др Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация, М.: Наука, 1983.

51. Тихонов А. Н., Морозов В. А. Методы регуляризации некорректно поставленных задач. // Вычислительные методы и программирование, вып. 35, МГУ, 1981, с 3 —34.

52. Трутников В. Н. Оценка погрешности решения, полученного с помощью нелинейного регуляризирующего алгоритма. // ЖВМ и МФ, 1983, т. 2, № 1, с. 227 — 231.

53. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967.

54. Чащин О.Н. Примеры неединственности для уравнения Вольтерра 1-го рода. // Препринт № 47. ИТПМ СОАН СССР", Новосибирск, 1981. с. 41 — 42.

55. Чащин О. Н. Регуляризация операторных уравнений Вольтерра 1-го рода в шкале банаховых пространств. // Приближенные методы решения и вопросы корректности обратных задач. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР. 1981 с. 132 — 144.

56. Чащин О. Н. Регуляризация операторных уравнений Вольтерра 2-го рода в шкале Банаховых пространств. // Неклассические проблемы математической физики, Новосибирск, 1981. с. 155 — 167.

57. Чащин О. Н. О приближенном решении операторного уравнения 1-го рода. // К предстоящей научно-практической конференции "Молодые ученые Кузбасса в 10-й пятилетке", посвященной XXVI съезду КПСС, часть 1. Кемерово, 1981. с. 58 — 59.

58. Чащин О. Н. О монотонном итерационном методе. // Молодые ученые и специалисты Кузбасса в X пятилетке. Кемерово: Издательство Кемеровского университета, 1981, с. 6-9.

59. Чащин О. Н. Конечно-разностная регуляризация операторных уравнений типа Вольтерра. // Неклассические задачи уравнений математической физики. Новосибирск, 1982. с. 162 — 164.

60. Чащин О. Н. Об одной обратной задаче физической кинетики. // Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Новосибирск, 1983, Всесоюзная школа-семинар по теории некорректных задач. Самарканд, 1983. с. 230.

61. Чащин О. Н. Монотонный итерационный метод решения уравнений. // Материалы международной конференции "Выпускник НГУ и научно-технический прогресс. 40 лет НГУ". Часть 1. Новосибирск, 1999. с. 27 — 28.

62. Чащин О. Н. Математическая модель определения оптической плотности атмосферы. // Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ—2000), посвященный памяти М. А. Лаврентьева. Часть III. Новосибирск, 2000. с. 141 — 142.

63. Чащин О. Н. Регуляризация нелинейных операторных уравнений Вольтерра 1-го рода в шкале банаховых пространств. — Новосибирск: Изд-во НГУ. Препринт № 15. 2001. 16 с.

64. Чащин О. Н. О единственности решения уравнений Вольтерра 1-го рода. — Новосибирск: Изд-во НГУ. Препринт № 14. 2001. 24 с.

65. Эмануэль Н. М., Кнорре Д. Г. Курс химической кинетики. — 4-е изд., перераб. и дополн. — М.: Высшая школа, 1984.

66. Baonendi М. S., Conlaonic С. Remarks on the abstract form of nonlinear Cauchy — Kovalevsky theorems. // Comm. in partial diff. equations. 1977, vol. 2, № 11, p. 1151 — 1162.

67. Lavrent'ev M. M., Zerkal S. M., Trofimov О. E. Computer Modelling in Tomography and Ill-Posed Problems. VSP, 2001.

68. Lavrent'ev M. M., Two Integral Geometry Problems of Volterra Type on a Plane // Applied and Industrial Mathematics, Venice-2, 1998, p. 109 — 134.

69. Nagumo M. Über das Anfangswertproblem partieller Differentialgleichungen. // Japan Jörn. Math., 1941, vol. 18, s. 41 — 47.

70. Nishida Т. A note on a theorem of Nirenberg. // Jörn. Diff. Geom., 1977, vol. 12, № 4, p. 624 — 633.

71. Treves J. F. An abstract nonlinear Cauchy—Kovalevska theorem. // Trans. Amer. Math. Soc., 1970, v. 150, p. 72 — 92.

72. Чащин О. Н. О единственности решения уравнений Вольтерра 1-го рода. — Новосибирск: Изд-во НГУ. Препринт № 14. 2001. 24 с.

73. Эмануэль Н. М., Кнорре Д. Г. Курс химической кинетики. — 4-е изд., перераб. и дополн. — М.: Высшая школа, 1984.

74. Baonendi М. S., Conlaonic С. Remarks on the abstract form of nonlinear Cauchy -— Kovalevsky theorems. // Comm. in partial diff. equations. 1977, vol. 2, № 11, p. 1151 — 1162

75. Lavrenf ev M. M., Zerkal S. M., Trofimov О. E. Computer Modelling in Tomography and Ill-Posed Problems. VSP, 2001.

76. Lavrent'ev M. M., Two Integral Geometry Problems of Volterra Type on a Plane // Applied and Industrial Mathematics, Venice-2, 1998, p. 109 — 134.

77. Nagumo M. Über das Anfangswertproblem partieller Differentialgleichungen. // Japan Jörn. Math., 1941, vol. 18, s. 41 — 47.

78. Nishida Т. A note on a theorem of Nirenberg. // Jörn. Diff. Geom., 1977, vol. 12, № 4, p. 624 — 633.

79. Treves J. F. An abstract nonlinear Cauchy—Kovalevska theorem. // Trans. Amer. Math. Soc., 1970, v. 150, p. 72 — 92.