Разностные методы решения операторных уравнений Вольтерра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

^ р?

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ комитет росийской федерации ^ ^ по высшему образованию

I ^

новосибирский ордена трудового красного знамени государственный университет

На правах рукописи УДК 517.916: 517.949

сыздыков серик оразович

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА

01,01.07 - вычислительная математика Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск -1995

Диссертация выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бухгейм А.Л. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Казахский государственный университет

на заседании специализированного совета К. 063. 98. 04 в Новосибирском государственном университете по адресу. 630090, г. Новосибирск-90, ул. Пирогова 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан 199^ г.

Ученый секретарь совета

профессор Яхно В.Г.

кандидат физико-математических наук,

доцент Бектемесов М.А.

Защита состоится

часов

д. ф. -м. н.

В. В. Шелухин

общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию разностного аналога операторного уравнения Вольтерра. Известно, что широкий круг прикладных задач, например задач« геофизики, сводятся к уравнениям Вольтерра 2-го рода с операторным ядром. В связи с этим возникает проблема численного решения такого типа задач с применением ЭВМ, что и обуславливает актуальность темы.

Цель работы. Целью данной работы является построение и исследование разностной схемы - аналога операторного уравнения Вольтерра 2-го рода с неограниченным операторным ядром и оценка сложности операторных уравнений Вольтерра.

Методика исследован к я. В диссертации используется метод шкал банаховых пространств, развитый в работах Л.В. Овсянникова, Д. Нисиды, М. Бауенди и др. Применительно к операторным уравнениям Вольтерра этот метод впервые был использован А. Л. Бухгеймом. При оценке сложности автор следовал подходу, разработанному в трудах К. И. Бабенко, Д. Трауба, X. Вожьнякои-ского.

Научная ¡1 о в и з н а . Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Для разностного аналога операторного уравнения Вольтерра были доказаны теоремы существования, единственности и сходимости в линейном н нелинейном случаях. Получена двусторонняя оценка сложности операторных уравнений Вольтерра.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при численном решении операторных уравнений вольтерровского типа.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены и обсуждены на 5-й школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1990), 23-й региональной школе-

конференции молодых ученых (Екатеринбург, 1992), Всесоюзной конференции по некорректным задачам, посвященной 60-летию академика Лаврентьева М.М. ( Новосибирск, 1992 ), семинаре "Численные методы решения обратных задач" кафедры "Математические методы геофизики" ( Новосибирск, 1991).

Публикации: Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5].

Объем работы. Диссертация изложена на 106 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 47 наименований.

В предлагаемой диссертации рассматривается операторное уравнение Вольтерра 2-го рода с операторным Ядром, действующим в шкале банахавых пространств. Решается задача построения разностной схемы - аналога этого уравнения, исследуется вопрос сходимости решения построенной разностной схемы к решению исходного уравнения, оценивается сложность операторных уравнений Вольтерра. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Во введении даны основные определения и раскрыта структура диссертации.

Первая глава посвящена построению разностного аналога уравнения

где ;тво операторов действующих

в шкале банаховых пространств Х-^Х; , 1-((2)б1.

В §1 рассмотрен линейный случай. Доказаны теоремы существования и сходимости.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

в котором оператор А имеет вид

• • ■ г

(2)

ТЕОРЕМА 1.1. • Р(7"-У"\

Пусть при любых Л",I, и£С/>1/01Л1/ для оператора Д, {£(имеет место оценка

с некоторой постоянной С>0 , и функция / £ ¿р /2^,Х^)■Тогда если выполнено условие

сеТ<^(з-у'), (4)

разностная схема

и/ = [1и1+/; , /<?//; (5)

имеет единственное решение в пространстве 1р(1сХ') и справедлива оценка устойчивости

« сЛЛ(„ , (б>

где постоянная С±> О не зависит от и^, Т и/.

здесь , (Га);

Мхе

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть выполнены условия:

1) аппроксимации операторов и функции :

«Л*; <7>

2) априорной гладкости решения :

/ЩИМЧ,. < м,; и

ИН^ариШ,, 4 /1; но

где М1)М3 > 0 - некоторые константы

. Тогда имеет место

следующая оценка сходимости

9

Ци-ЫР,АМШ+Т + Л, (И)

где постоянная

Во втором параграфе рассмотрен нелинейный случай.

ТЕОРЕМА 1.3. , \ 7*

Пусть для любых и, У ( Сичс-о ) Лз), S <S , любого ^ £ £с выполнена оценка

. ж4 - « ^г/ТкмЛ- > (12)

и функция

/е С(Г.Ж) .Тогда

Г* /7"» КМ

1) решение разностной схемы (5) единственно в шаре ¿¡¿■¡¿С1л!1) .$•>О; * „

2) если

ШЧНСЖ'Х) для некоторого J то

существует число (2> О такое, что доя любого S'< У разностная схема (5) имеет решение Ц. £ С1?(2*¡Х*>) , где /К - наибольшее целое число не превосходящее по величине (ZfS-S')/Z~,

ТЕОРЕМА 1.4. *

Пусть для любых СС, Си№с ¿Л;), 3 '<1, /V 20 справедлива оценка (12). Пусть , кроме того CCT<S-J', и для любого 16(0,1] выполнены условия:

1) аппроксимации оператора/ и правой части правой части :

/Луг, кг, (РМ - # Мус, кг, ит){к у,?13>

2) априорной гладкости решения

ищцмль < и ; 05)

о«

где ¡-гХг > 0 - постоянные, 1(0,1). Тогда имеет место следующая оценка сходимости

к-Яч< /.М'+г+л п (П)

при I =ЬтахЦ Т(^ш}> •

Третий параграф посвящен исследованию разностного аналога обратной кинематической задачи сейсмики в двумерной постановке. Доказано существование единственного решения полученной разностной схемы, как частного случая разностной схемы исследованной во втором параграфе.

Во второй главе получены теоремы существования для нелинейного операторного уравнения Вольтерра и его дискретного аналога и получена оценка дднны интервала на котором имеет место существование и единственность решения.

ТЕОРЕМА 2. 1.

П усть

1) feCЩT];Xs) и ИИсШЛ) > постоянная//,>0 ;

2) существует производная и для любых 0<1'<14 / и любых и,1НШТ];Х,) таких, что Ци ~Ят1Ш, ¡¡У < Л выполнены оценки

^МШ! ШШИ, 4 ; (18)

т/ШЛ т,иШт 'Мъ жЩ, < сМ!\У ; (19)

аг ц о

константы ЯЛ/Лл ;

3)существуют постоянные Мг, Мз ^ 0 такие, что для любого 0<S<1 справедливы неравенства

зирйшж^т^; <2о>

ИТ

ИТ о

Тогда существует число CL'ifO/T), такое, что уравнение (1) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение LL при t<df{-J) принимащее значения в Лу и удовлетворяющее условию

SUP Hll(t)-f(0)Us<R. (22)

i<at<-s)

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть:

»нт:х1;

2) для операторов Аь и и для любых {¿¡Р^Х* таких, что и,1? С [¿{¿"'¡Х^) выполнены оценки

¡Фщгл^ьт** (2з)

<24>

где О < < I 4 / / С/, Сг > О -постоянные;

3) существуют константы Мл > 0 такие, что для < 3 <С У имеет место

« т^ ; (25)

ИТ1Л (/К ^ШагТ'-Х) < ' <26>

Тогда существует число

такое, что разностная схема (5) имеет единственное решение и при уУ/Т', Q.fí-S)/Г-i < А/'< <&(1~ } А/ ' - целое положительное число. Это решение принимает значения в пространстве и удовлетворяет условию

Третья глава посвящена оценке сложности решения операторных равнений Вольтерра и состоит из двух параграфов.

В §1 приведены определения и основные понятия используемые дальнейшем.

В §2 получены оценки сверху и снизу для сложности операторных равнений Вольтерра.

ЕОРЕМА 3.1.

Если для предтабличного поперечника &„(1.Л1г(0, Г;'Хг), О,Т}Х;)) траведлива оценка

$л\лт;ч аг',

о

/У'\< х< С//'1 , (28)

те ^ - предтабличный поперечник Бабенко,

Величина Ен показывает какую минимальную погрешность ожно получить на классе, выполнив № элементарных операций.

В заключении автор выражает благодарность научному у'ководителю профессору Бухгейму А. Л. за постановку задачи и эстоянное внимание к работе.