Исследование оценок и асимптотической устойчивости решений некоторых классов систем дифференциальных и разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

1. Исследование оценок решений одного класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Двухсторонние оценки решений одного класса систем дифференциальных уравнений.

2. Условия асимптотической устойчивости состояния равновесия одной экологической системы

2. Исследование оценок и асимптотической устойчивости решений некоторых классов систем разностных уравнений

1Д Т «» и и Условия асимптотическои устойчивости решении полуприводимых систем разностных уравнений.

2. Оценки решений систем линейных и нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве, содержащем конус

3. О поведении характеристики решения системы разностных уравнений со стационарной линейной частью и скалярной нелинейностью

Актуальность темы. В настоящее время в работах по устойчивости решений дифференциальных уравнений параллельно с классическими первым и вторым методами Ляпунова разви ваются исследования по абсолютной устойчивости, устойчивости в больших системах, появились новые методы такие, как метод поворотов, аксиоматический метод, метод инноров. Среди работ, посвященных изучению этих вопросов, отметим книги Н.Н.Красовского [34], Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского ([6],[43]), И.Г.Малкина [37], Б.Ф.Былова, Р.Э.Винограда, Д.М.Гробмана и В.В.Немыцкого [7], Б.П.Демидовича [20], Ж.Массера и Ж.Шеффера [39], Ю.Л.Далецкого и М.Г.Крейна [19], Ф. Хартмана [54], М.А.Красносельского и П.П.Забрейко [26], В.А.Якубовича [57], А.А.Воронова (обзор) [8], Н.Руша, П.Абетса и М.Лалуа [46], В.М.Матросова ((обзор) [40], [41]), Э.Джури (обзор) [23], А.Ф.Филиппова [51], В.В.Филиппова [52], статьи В.М.Миллионщикова [42], Н.А.Изо-бова [30] и др.

Современный этап развития теории устойчивости решений разностных уравнений связан с развитием классических идей в гильбертовом и банаховом пространствах, при этом параллельно применяются как методы, разработанные в теории устойчивости решений диф-фе ренциальных уравнений, так и собственные методы исследования. Исследования в области теории устойчивости решений разностных уравнений нашли отражение в работах W.Hahna [59], Р.Беллмана и К.Кука [1], Я.В.Быкова и В.Г.Линенко [5], А.Д.Горбунова [17], В.А.Якубовича ([55],[56]), А.Халаная и Д.Векслера [53], В.Б.Демидовича ([21], [22]), А.А.Мартынюка [38], В.Е.Слюсарчука ([48],[49],[50]), Л.Д. Замковой ([27], [28]), А.М.Родионова [45], В.Б.Колмановского ([31],[32]), А.В.Ласунского ([35], [36]), И.В.Гайшуна ([10],[11]) и др.

Диссертационная работа относится к исследованию задач, связанных с применением первого метода исследования задач об устойчивости и изучением асимптотических свойств решений дифференциальных и разностных уравнений.

Цель работы.

Цель исследования состоит в следующем: изучить асимптотику поведения решений некоторого класса систем нелинейных дифференциальных уравнений и их приложение к задачам математической биологии; найти оценки и получить достаточные условия асимптотической устойчивости решений систем линейных и нелинейных разностных уравнений.

Методы исследования. При получении результатов диссертационной работы были использованы следующие методы: теории обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений, связанные с идеями А.М.Ляпунова об устойчивости, а именно: оценки решений, приводимость систем; функциональных пространств с конусами, операторными уравнениями и неравенствами; непрерывного и дискретного операционных исчислений.

Научная новизна. В диссертации получены новые результаты, относящиеся к получению оценок и нахождению достаточных уеловий асимптотической устойчивости решений нелинейных дифференциальных, а также линейных и нелинейных разностных уравнений и их приложений.

Получены следующие результаты: доказаны теоремы о покоординатной оценке решений нелинейных систем дифференциальных уравнений со стационарной главной частью; установлены достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия одной экологической системы; приведены необходимые и достаточные условия полуприводимости линейных систем разностных уравнений; даны достаточные условия асимптотической устойчивости решений линейных систем разностных уравнений с коммутирующими матрицами; найдено решение матричного разностного уравнения с двумя последовательностями коммутирующих матриц, получены достаточные условия асимптотической устойчивости решения; доказаны теоремы об оценках решений линейных и нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве с конусом; установлены новые условия асимптотической устойчивости решений разностных уравнений со стационарной линейной частью и скалярной нелинейностью.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В.Золотова, г.Владивосток, (1999 и 2000 гг.), а также на семинарах "Дифференциальные уравнения" при ХГТУ, "Численные методы" ВЦ ДВО РАН (рук. д.ф.-м.н., член-корр РАН Смагин С.И.) .

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, которые отражают ее основное содержание.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на 5 параграфов, и списка литературы из 59 наименований. Общий объем диссертации составляет 83 страницы машинописного текста. Нумерация приводимых во введении теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.

1. Беллман Р.,Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. - М.: Мир, 1967. - 548 с.

2. Бидерман В.И. Оценки решений дифференциальных уравнений и устойчивость экологических систем.//Деп.ВИНИТИ. 16.07.91.-№3037 - В91.

3. Бидерман В.И. О некоторых условиях устойчивости для разностных уравнений.//Дальневосточн.мат.сб. 1999. - Вып.8. - С.39-48.

4. Бидерман В.И. Об оценке решений разностных уравнений со стационарной линейной частью и скалярной нелинейностью.// Даль-невосточн.мат.ж. 2000. - Т.1. - №1. - С.8-15.

5. Быков Я.В., Линенко В.Г. О некоторых вопросах качественной теории систем разностных уравнений. Фрунзе: Илим, 1968. -137 с.

6. Боголюбов Н.Н.,Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503 с.

7. Былов Б.Ф.,Виноград Р.Э. и др. Теория показателей Ляпунова. -М.: Наука, 1966.- 576 с.

8. Воронов А.А. Современное состояние и проблемы теории устой-чивости.//АиТ. 1982. - №5. - С.5-28.

9. Вульпе И.М. Об одной теореме Еругина. //Дифференц.уравнения. 1972. - Т.8. №12. - С.2156-2162.

10. Гайшун И.В. Устойчивость дискретных сепарабельных уравнений Вольтерра.//Дифференц.уравнения. 1996. - Т.32. №6. -С.739-747.

11. Гайшун И.В. Линейные дискретные уравнения с изменяющейся структурой.//Дифференц.уравнения. 2000. - Т.36. №11. -С.1544-1549.

12. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. - 375 с.

13. Гиль М.И. Двухсторонние оценки решений нелинейных дифференциальных уравнений одного класса. //Дифференц.уравнения.- 1985. Т.21. №5. - С.891-894.

14. Гиль М.И. Метод операторных функций в теории дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990. - 160 с.

15. Гиль М.И. Об условиях диссипативности и существования предельных циклов дифференциальных уравнений с ведущей линейной частью. //Дифференц.уравнения. 1987. - Т.23 №4. С.712-714.

16. Гиль М.И. Об определении области устойчивости системы хищник-жертва.// Журнал общей биологии. 1985. №3. - С.396-399.

17. Горбунов А.Д. Разностные уравнения и разностные методы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.- М.: Изд-во МГУ, 1967. С.18-113.

18. Грэхем Р.,Кнут Д.,Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 1998. - 703 с.

19. Далецкий Ю.Л.,Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.- 536 с.

20. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:Наука, 1967. - 472 с.

21. Демидович В.Б. Об асимптотическом поведении решений конечно- разностных уравнений.1//Дифференц.уравнения,- 1974. Т.10. №12. - С.2267-2278.

22. Демидович В.Б. Об асимптотическом поведении решений конечно- разностных уравнений.И//Дифференц.уравнения,- 1975. Т.Н. №6. - С.1091-1107.

23. Джури Э.И. Теория инноров и ее применение. //АиТ. 1976. № 1.- С.12-60.

24. Жуков В.П. О достаточных и необходимых условиях асимптотической устойчивости нелинейных динамических систем. //АиТ. 1994. №3. - С.24-36.

25. Жуков В.П. О достаточных и необходимых условиях асимптотической устойчивости неавтономных нелинейных динамических систем. //АиТ. 1995. №9. - С.29-48.

26. П.П.Забрейко, Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 511 с.

27. Замковая JI.Д. К методу "замораживания" для дискретных систем. //Дифференц.уравнения. 1980. - Т.16. №4. - С.697-704.

28. Замковая Л.Д. Оценки показателей экспоненциального роста решений некоторых систем.//Дифференц.уравнения. 1988. - Т.24. №11. - С.2008-2010.

29. Иванов В.А. и др. Математические основы теории автоматического регулирования. М.: Высш.шк., 1971. - 808 с.

30. Изобов Н.А. (библ.обзор) //Дифференц.уравнения. 2000. - Т.36. №1. - С.3-11.

31. Колмановский В.В.,Родионов A.M. Об устойчивости некоторых дискретных процессов Вольтерра.//АиТ. 1995. - №2. - С.3-12.

32. Колмановский В.Б. Об устойчивости по вероятности систем Лот-ки-Вольтерра.//Дифференц.уравнения. 1996. - №11. - С.1480-1487.

33. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. - 396 с.

34. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.- 211 с.

35. Ласунский А.В. Оценки роста решений линейных систем разностных уравнений через коэффициенты и их приложение к вопросам устойчивости.//Дифференц.уравнения. 1995. - Т.31. №11. -С.1930-1931.

36. Ласунский А.В. К теории устойчивости линейных систем разностных уравнений.//Дифференц.уравнения. 1998. - Т.34. №4.- С.567-569.

37. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.- 532 с.

38. Мартынюк И.Д. Лекции по качественной теории разностных уравнений.- Киев: Наукова думка, 1972. 248 с.

39. Массера Х.Л.,Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. - 456 с.

40. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе сложных систем с распределенными параметрами:(обзор) //АиТ.- 1973. №1. - С.3-28.

41. Матросов В.М.,Анапольский Л.Ю.,Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980. -481 с.

42. В.М.Миллионщиков (библ.обзор) //Дифференц.уравнения. -1999. Т.35. №10. - С.1299-1312.

43. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971. - 440 с.

44. Рисс Ф.,Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.:Мир, 1979. - 587 с.

45. Родионов A.M. Некоторые модификации теорем второго метода Ляпунова для дискретных уравнений. //АиТ. 1992. - № 9. - С.86-93.

46. Руш Н.,Абетс П.,Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. - 300 с.

47. Самойленко А.М.,Кривошеев С.А.,Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. М.: Высш.шк. - 1989.- 383 с.

48. Слюсарчук В.Е. Дополнение II в кн. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972.С.197-224.

49. Слюсарчук В.Е. Нелинейные разностные уравнения с асимптотически устойчивыми решениями. //Укр.мат.ж. 1997. - 49, №7. -С.970-980.

50. Слюсарчук В.Е. Существенно неустойчивые решения разностных уравнений в банаховом пространстве. //Дифференц.уравнения. -1999. Т.36. №7. - С.982-989.

51. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. -224 с.

52. Филиппов В.В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1993. - 334 с.

53. Халанай А.,Векслер Д. Качественная теория импульсных систем.- М.:Мир,1971.- 309 с.

54. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1970. 720 с.

55. Якубович В.А. Абсолютная устойчивость импульсных системс несколькими нелинейными и линейными нестационарными бло-ками.1 //АиТ. 1967. - №12. - С.59-72.

56. Якубович В.А. Абсолютная устойчивость импульсных системu u vс несколькими нелинеиными и линеиными нестационарными бло-ками.П //АиТ. 1968. - №2. - С.81-101.

57. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости.В кн.Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука, 1975. - С.74-180.

58. Biderman V.I. On some Estimates for Solutions to Difference Equations in a Banach Space.// Мат.Заметки ЯГУ. 2000. - T.7. №1. - С.77-87.

59. Hahn W. Uber die Anwendung der Methode von Ljapunov auf Differenzengleichungen. //Math.Annalen. 1958.- Bd.136. №5. - S.430-441.POCCL'U-КЛЯ rOCyj\r-P Vj\" БШШО'Ш://C^ c> * - оъ