Разностные операторы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

00504«*»

На правах рукописи

Афанасьева Татьяна Николаевна

Разностные операторы. Допустимость пар пространств

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о и

Воронеж — 2012

005045229

Работа выполнена в Кубанском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Цалюк Зиновий Борисович, Кубанский государственный университет зав. кафедрой дифференциальных и интегральных уравнений Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сапронов Юрий Иванович, Воронежский государственный университет профессор кафедры математического моделирования,

доктор физико-математических наук, доцент Авсянкин Олег Геннадиевич, Южный федеральный университет профессор кафедры дифференциальных и интегральных уравнений

Ведущая организация: Дагестанский государственный университет

Защита состоится 19 июня 2012 г. в 15 час. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан « » мая 2012 г. Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физ.-мат. наук, профессор Ю.Б.Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию допустимости различных пар пространств относительно линейных и нелинейных разностных уравнений. Такие уравнения являются дискретным аналогом интегральных уравнений Вольтерра.

Теория интегральных уравнений Вольтерра за последние десятилетия превратилась в хорошо развитую и далеко продвинутую теорию. В противоположность этому их дискретные аналоги изучены достаточно слабо, хотя, особенно с развитием численных методов, такие аналоги приобретают все большее значение ( А. Д. Эпплби. И. Гуори и Д. Рейнолдс. К. Кьюевас и Пинто, С. Илайди, С. Мукарами, Е. Камияма и др.).

Изучаемые в диссертации разностные уравнения являются естественным обобщением дискретных уравнений, ядра которых зависят от разности аргументов п-к . Глубокие результаты по теории таких уравнений были получены в работах Ф. Д. Гахова и Ю. И. Черского, Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко, И. Б. Симо-ненко, В. Б. Дыбина и С. Б. Джиргаловой, Я. М. Ерусалимского, И. Л. Ойнас и других.

В данной диссертации исследуются асимптотические свойства решений разностных уравнений в пространстве ¿оо ограниченных последовательностей векторов. Основная задача — выяснить свойства решения в зависимости от свойств свободного члена, а именно, получить условия, при которых решение обладает определенным свойством, если свободный член принадлежит некоторому классу F . Другими словами, требуется указать условия, при которых решение уравнения принадлежит некоторому множеству X , если свободный член лежит в F , т. е. условия допустимости пар пространств (F, X) ( í1 Д с 1ж ) относительно разностного уравнения Т{х) = /.

Подобные исследования ранее не проводились и потому представляются актуальной задачей.

Цели работы. Исследовать допустимость пар пространств относительно разностных уравнений.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты работы:

— критерии допустимости различных пар пространств относительно линейных разностных операторов;

— связь допустимости пар пространств и устойчивости;

— критерий допустимости пары (X, X) ( X С loa ) относительно линейных разностных уравнений с устойчивыми положительными ядрами;

— в случае устойчивых ядер, не являющихся знакопостоянными, критерии допустимости пар («о. Qo ) и (Со , Со) относительно линейных разностных уравнений;

— допустимость различных пар подпространств относительно нелинейного разностного уравнения общего вида и уравнения типа Вольтерра - Гаммерштейна.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы математического и функционального анализа, методы теории разностных уравнений, а также методы теории интегральных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для теории разностных уравнений и теории допустимости пар пространств.

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» ( Воронеж, 2001 г.); на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2001 г.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XIII» (Воронеж, 2002 г.); на VI и IX Казанских международных летних школах-конференциях «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2003 и 2009 г.г.); на II международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007 г.); на международной конференции «X Белорусская математическая конференция» (Минск, 2008 г.); на IV и V международных научных конференциях «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения» (Махачкала, 2009 и 2011 г.г.); на

Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные вопросы» (Воронеж, 2011 г.).

С докладами о результатах диссертации автор выступал на международных научных конференциях «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» в Южном федеральном университете (Ростов-на-Дону, 2011 и 2012 г.г.), а также многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Кубанского госуниверситета (руководитель — доктор физ. - мат. наук, проф. 3. Б. Цалюк).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[16]. Из совместных опубликованных работ [1,4] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1]-[3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ми-нобрнауки РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 10 параграфов. Объем работы — 120 страниц. Библиография содержит 130 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Ца-люку З.Б. за постановку задач, поддержку и внимание к работе.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследования, содержатся предварительные сведения, изложены основные результаты.

п—1

Предварительные сведения. Положим ^ ад. = 0 .

к=п

Рассмотрим нелинейное разностное уравнение

п-1

хп = ^ К(п, к, хь) + £п , п > 0, (1)

к=о

где К(п, к, х) € Ст, 0 < к < п - 1 , х € Ст , {п е Ст , хпеСт.

Если К(п, к, х) = Ank-x. , Апк С Стхт , то (1) — линейное разностноеуравнение.

Пусть Т — действующий из U в V оператор и X , F — подпространства U и V соответственно.

Определение 1 Пара (F, X) называется допустимой относительно уравнения Т(х) = / , если при любом f £ F это уравнение имеет решение х 6 X.

Определение 2 Пара (X , F) называется допустимой относительно оператора Т , если любой элемент из пространства X он переводит в элемент пространства F , т. е. Т(Х) С F.

Определение 3 Тривиальное решение ( при f„ = 0 ) уравнения (1), называется устойчивым, если для любого е > О существует такое 5 > 0 , что из f Е loo , ||/||/„ < 5 следует Zoo И \\x\\l^<£.

Определение 4 Тривиальное решение ( при fn = 0 ) уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и из lim f„ = О следует lim хп = О.

71—>00 П—>00

В первой главе рассматривается линейное разностное уравнение

п-1

Xn = £ Апкхк + in , п > 0, (2)

fc=0

в пространстве Zoo ограниченных последовательностей векторов. Исследуются вопросы допустимости различных пар пространств относительно уравнения (2) и соответствующего линейного разностного оператора.

При любом / = {fn} уравнение (2) имеет единственное ре-

п-1

шение, представимое в виде xn = fra + J] ^пА п > 0 , где

к=О

R — резольвента ядра А , которая определяется как решение

п-1

уравнения Rnk = Ank + J2 Rni-^ik ) 0<fc<7l-l,(§ 1.1).

i=k+1

Обозначим через R — разностный оператор, порожденный резольвентой R ядра j\ .

Так как х = f + Rf , то каждый критерий допустимости пары (X, F) , X С F , относительно оператора приводит к

сформулироваенному в терминах резольвенты критерию допустимости этой пары относительно уравнения (2). Но резольвента, в общем виде, может быть найдена лишь в редких случаях, поэтому интерес представдяют критерии, сформулированные в терминах ядра.

Отметим, что для некоторых подпространств X пространства loo из допустимости пары (X , X) относительно уравнения (2) следует его устойчивость. Естественным образом возникает задача описания подпространств, для которых это справедливо. Так как допустимость пары (X , ) относительно уравнения (2) равносильна допустимости этой пары для оператора R , то необходимо описать такие подпространства X С loo , что из допустимости относительно разностного оператора пары (X , loo ) следует допустимость пары (loo, loo) ■ Решение поставленной задачи приведено в § 1.2. Оно дает возможность, в частности, при решении вопроса о существовании ограниченных решений уравнения (2) воспользоваться более узким, чем , «пробным» множеством свободных членов / . Такие подпространства обладают так называемым свойством (L).

Определение 1.2.3 N-срезкой х = (х0, ...,xjv-i, ...) называется вектор xN = (хо,.... хд'_1; 0,...).

Определение 1.2.4 Будем говорить, что замкнутое подпространство X С loo обладает свойством (L), если существует такое положительное число г , что для любого натурального N единичный шар множества N срезок векторов из X содержит шар радиуса г пространства N срезок векторов из /ос •

Фигурирующее в определении число г < 1 . Пример подпространства X = {х е loo ■ ||хп||дт < cípn , п > 0} , где inf <pn = г

п> О

и г £ (0, 1 ] , показывает, что радиус г шара пространства N--срезок векторов из о , который содержится в единичном шаре множества N срезок векторов из X , может принимать любые значения из (0,1].

Теорема 1.2.1 Если замкнутое подпространство X с loo обладает свойством (L) и пара (X, loo ) допустима относи-

тпелъно оператора А , то

71— 1

М = sup£ ||j4nfc||ßmxm < 00. (3)

fc=О

Обратно, если для любого оператора А , для которого пара (X, Zoo ) допустима, выполняется условие (3), то X обладает свойством (L).

Изучается асимптотическое поведение решений уравнения на бесконечности. Следовательно, нас интересуют свойства последовательностей векторов при п —> ос . Естественным образом возникают основные подпространства пространства , а именно,

Qo = {х € loo ■ 3 lim xn} , со = {х е loo ■ Hm xn = 0} .

71—>00 П—К50

Заметим, что подпространства сад и со обладают свойством (L) с числом г = 1.

Пусть D — некоторое подпространство . Обозначим через П(£)) — множество таких последовательностей т х т -матриц Ап , каждая последовательность одноименных столбцов которых лежит в D.

Теорема 1.2.3. Пусть D — замкнутое подпространство loo ■ Пара (со, D) допустима относительно оператора А тогда и только тогда, когда выполнены условие (3) и при любом N> О

{AnN}™=0e 11(D). (4)

Теорема 1.2.4 Пусть D — замкнутое подпространство loo ■ Пара (ао, D) допустима относительно оператора А

тогда и только тогда, когда выполнены условия (3), (4) и {$>»*} en(ö)-

U=0 ) п=о

При изучении вопросов допустимости различных пар пространств относительно разностных уравнений допустимость оказывается тесно связанной с устойчивостью уравнения. Действительно, из определения линейного обратного оператора непосредственно следует, что уравнение (2) устойчиво тогда и только тогда, когда оператор (I - Л)-1 действует из в и

является непрерывным, и уравнение (2) асимптотически устойчиво, если (I — А)-1 непрерывно действует из в и (I-А)-1 (со) С со.

Основные результаты § 1.3 характеризуют устойчивость через свойства резольвенты R ядра А линейного уравнения.

В § 1.4 для неотрицательного устойчивого ядра найдено решение задачи получения эффективного критерия допустимости пары (X, X) ( X — замкнутое подпространство ) относительно уравнения (2).

Справедлива следующая важная

Теорема 1.4.1 Пусть Ank > 0 при 0 < к < n —1 , ядро А устойчиво, X — залгкнутое подпространство . Для допустимости пары (X , X) относительно линейного разностного уравнения (2) необходимо и достаточно, чтобы эта пара была допустима относительно линейного разностного оператора А .

Другими словами, чтобы при / = {fn}^L0 б X peiuenue уравнения х = € X необходимо и достаточно, чтобы

А(Х)сХ.

Получен критерий устойчивости уравнения (2), выраженный через само ядро А уравнения.

Теорема 1.4.2 Пусть Апк > 0 при 0 < к < п - 1 . Тогда

1. Для устойчивости ядра А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (3) и при некотором I , I > 2 ,

__71— i

спектр матргщы Bt = lim^oc £ (Al)nk , М = {(¿/)nfc}~fc=0

k=N

l-moe итерированное ядро, лежал в круге единичного радиуса.

2. Если ядро А устойчиво, то при любом I , I >2 , спектр

71— 1

матрицы C¡ = !imn—оо (^l)nk лежит в единичном круге.

k—N

Естественным образом возникает вопрос: а не будет ли спра-

ведлив аналог теоремы 1.4.1 и для неположительных ядер. Как оказалось, для подпространств ао и со указанное утверждение справедливо и в случае устойчивого ядра, не являющегося знакопостоянным (§ 1.5).

Теорема 1.5.2 (Теорема 1.5.1 ) Пусть ядро А удовлетворяет условию (3) и пара (loo, loo) допустима относительно уравнения (2).

Пара (ао, «о) ( (со- со) ) допустима относительно уравнения (2) тогда и только тогда, когда она допустима для оператора А.

Во второй главе рассматриваются нелинейное разностное уравнение

п-1

хп = k,xk) + f„, п> 0, (1)

¿=0

где К(пД,х) е Ст , х € Ст , fn е Ст в пространстве Ico ограниченных последовательностей векторов. Исследуются вопросы допустимости различных пар пространств относительно уравнения (1).

В § 2.1 рассматривается уравнение (1) с ядром

К(п, к, х) = Ап%х + К\ (п. к, х),

К(та, к, О) = 0.

Теорема 2.1.1 Пусть ядро А устойчиво и выполнено условие

^ п—1

lim-supY^ sup ||Ki(n, fc,x)||c"» = 0. (5)

П>l¡^||x||Cm<£

Тогда тривиальное решение уравнения (1) устойчиво.

Теорема 2.1.2 Пусть А асимптотически устойчиво, выполнено условие (5) и пара (со, со) допустима относительно оператора К\ . Тогда тривиальное решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.

В § 2.2 представлены условия допустимости пары (X , X ) относительно уравнения (1) при наличии оценки ядра К . В случае линейной оценки имеет место следующая теорема.

Для х = (ж1,..., ж"1) € Rm обозначим |х| = (Jar1.... \хт\). Теорема 2.2.1 Пусть X ( X — замкнутое подпространство loo ) обладает свойством (L) и пара (X, X) допустгша относительно оператора К . Пусть

|К(га, к, х) - К (га, к, у)| < Апк |х - у |, 0 < к < п - 1,

и ядро А устойчиво. Тогда пара (X , X) допустима относительно уравнения (1).

При наличии нелинейной оценки ядра К справедлива следующая

Теорема 2.2.2 Пусть пара (X, X) допустима относительно оператора К и существует такая непрерывная неубывающая по третьему аргументу неотрицательная функция uj(n, к, т) , что

||К(п, к, х) - К (га, к, у)||с- < ш{п, к, ||х - у ||с-), 0 < к < га - 1, и

71-1

sup ^ ш(га, к,т) <т. к=о

Тогда пара (X , X ) допустима относительно уравнения (1).

Это следствие обобщенного принципа сжимающих отображений М. А. Красносельского.

В § 2.3 рассматривается нелинейное разностное уравнение типа Вольтерра — Гаммерштейна

Т1— 1

хп = ^ГЛпкЫ + <р(к,х/с))+Гп, тг> 0, (6)

к=О

где Апк е Cmxm , <р{к,х) е Cm , х 6 Ст и fn е Ст . Уравнение (6) преобразуется к более простому виду

Tí— 1

Х„ +({1 + R)f)n, П> 0.

к=О

где R — резольвента ядра А.

Справедливы следующие утверждения (§ 2.5). Пусть а — некоторое число из интервала (1, ос) . Обозначим через У77 — замкнутое подпространство ограниченных последовательностей векторов, для которых существует такое число а е [а, оо) , что ||х„||с- < , п > 0 , т. е.

с

У-а = {х £ /оо : За : а > а > 1 : ||хп||о> < , , п > 0} .

[п +

Теорема 2.5.2 Пусть ЦК^Цс-т*™ < -, »1 > а > 1 ,

(п +1) 1

ОС

||уэ(п,х)||Ст < ап||х||Ст + Ьп\\х\\1(^£ , Р > 0 , < ос и

к=О

ос

Ь[; < оо. Тогда пара (У5-, ^г) допустима относительно

к=О

уравнения (6).

Следующая теорема является дискретным аналогом соответствующей теоремы об экспоненциальной устойчивости решений интегрального уравнения Вольтерра.

Обозначим через ^ — линейное подпространство ограниченных последовательностей векторов, для которых при некотором 5 , 0 < <у < 1 . выполняются неравенства Цх-пЦс"1 < сдп , п > 0 , т. е.

-Р1 = {х £ ¿оо : ||хп||(7ш

< сдп , 0 < д < 1, п > 0} . Теорема 2.5.3 Пусть ЦЫ^Цс™*"» < с^, где 0 < < 1 ,

ос

\\ч>{п, х)11с- < ап||х||с» +ь„||х||^ , /3 > 0 , < оо ,

к=о

ос

Ьк < оо . Тогда пара (.Р, Р) допустима относительно

к=О

уравнения, (6).

Список публикаций по теме диссертации

1. Афанасьева, Т. Н. Допустимость пар пространств относительно линейных разностных операторов и уравнений / Т. Н.

Афанасьева, 3. Б. Цалюк // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2010.

- № 2. - С. 12-20.

2. Афанасьева, Т. Н. Допустимость нар пространств относительно нелинейных разностных операторов и уравнений / Т. Н. Афанасьева // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2011. - № 1. - С. 8-12.

3. Афанасьева, Т. Н. Допустимость пар пространств относительно нелинейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2011. - № 2. - С. 5-9.

4. Афанасьева, Т.Н. О допустимости некоторых пар пространств для разностного уравнения Вольтерра и об устойчивости его решений / Т. Н. Афанасьева, И. Л. Ойнас // КубГУ. -Краснодар. - 2000. - 18 с. - Ден. в ВИНИТИ 19.01.00, №94-В00.

5. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости и допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных уравнений с неотрицательными ядрами / Т. Н. Афтнасьева // Материалы Воронежской весен, матем. шк. «Современные методы в теории краевых задач». - Воронеж: ВГУ. - 2001. - С. 11-12.

6. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости и допустимости пары (со, Со) для линейных разностных уравнений / Т.Н. Афанасьева // Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики». - Казань: Казанский госуниверситет. - 2001. - С. 25-26.

7. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы Воронежской весен, матем. шк. «Понтря-гинские чтения - XIII». - Воронеж: ВГУ. - 2002. - С. 8.

8. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости но первому приближению / Т. Н. Афанасьева // Материалы VI Казанской международной летн. шк.-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». - Казань: Казанский госуниверситет.

- 2003. - С. 9.

9. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости линейных разностных уравнений с неотрицательными ядрами / Т. Н. Афанасьева // Материалы II международной научной конференции «Современ-

ные проблемы прикладной математики и математического моделирования». - Воронеж: ВГУ. - 2007. - С. 21-22.

10. Афанасьева, Т.Н. О допустимости некоторых пар пространств относительно линейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы X Белорусской матем. конференции. - Минск: БГУ. - 2008. - С. 49.

11. Афанасьева, Т.Н. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных операторов / Т. Н. Афанасьева // Материалы IX Казанской международной летн. шк.-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». — Казань: Казанский госуниверситет. — 2009. - С. 21-

12. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных операторов. / Т. Н. Афанасьева // КубГУ. - Краснодар. - 2009. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 31.08.09, №555-В09.

13. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости и допустимости пар (со, Со) и (аа, «о) для линейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы IV международной научной конференции «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения». - Махачкала: ДГУ. - 2009. - С. 69-71.

14. Афанасьева, Т. Н. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для нелинейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы Воронежской зимн. матем. шк. «Современные методы теории функций и смежные вопросы». - Воронеж: ВГУ. - 2011. - С. 27-28.

15. Афанасьева, Т.Н. О допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных операторов и уравнений / Т.Н. Афанасьева // Материалы международного научного семинара «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения». - Ростов-на-Дону: ЮФУ. - 2011. - С. 4-5.

16. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых нар пространств для нелинейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы V международной научной конференции «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения». - Махачкала: ДГУ. - 2011. - С. 57-58.

23.

Работы [1] — [3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

и

Научное издание

Афанасьева Татьяна Николаевна

Разностные операторы. Допустимость пар пространств

Автореферат

Бумага тип. № 2. Печать трафаретная. Формат 60х841/1б. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ № 993.

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, Центр "Универсервис", тел. 21-99-551

61 12-1/1072

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

на правах рукописи

Афанасьева Татьяна Николаевна

РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ДОПУСТИМОСТЬ ПАР ПРОСТРАНСТВ

Специальность 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Цалюк З.Б.

Краснодар - 2012

Оглавление

Список обозначений 3

Введение 5

ГЛАВА 1. Допустимость пар пространств относительно линейных разностных операторов и уравнений 25

§ 1.1 Резольвента и решение линейного разностного уравнения . . 26 § 1.2 Допустимость пар пространств относительно линейных разностных операторов....................... 29

§ 1.3 Устойчивость линейных разностных уравнений........ 42

§ 1.4 Устойчивость линейных разностных уравнений с неотрицательными ядрами......................... 47

§ 1.5 Допустимость пар пространств относительно линейных разностных уравнений........................ 64

ГЛАВА 2. Допустимость пар пространств относительно нелинейных разностных операторов и уравнений 71

§ 2.1 Об устойчивости по первому приближению.......... 72

§ 2.2 Допустимость пары (X , X) относительно нелинейных разностных уравнений........................ 78

§ 2.3 Допустимость пары (X , X) относительно нелинейного

разностного уравнения типа Вольтерра-Гаммерштейна ... 88 § 2.4 Резольвента линейного разностного уравнения с вырожденным ядром ............................ 93

§ 2.5 Допустимость некоторых пар пространств относительно нелинейного разностного уравнения типа Вольтерра-Гаммерштейна .......................... 98

Литература

108

Список обозначений

N - множество натуральных чисел; Z+ - множество неотрицательных целых чисел; В. — множество действительных чисел; С — множество комплексных чисел;

Ят — пространство т-мерных действительных векторов х —

||а:||дт = тах 1 <т

Ст — пространство т-мерных комплексных векторов х — (х\,х2,---, хт),

||ж||ст = тах

I™ — пространство т-мерных комплексных векторов х = (хх, Х2, •••, хт),

т

7=1

№ — пространство т-мерных комплексных векторов х = (х\,х2,хт),

\х\№

\

£

з=i

Лтхт — пространство действительных т х m-матриц А = },

ЦЛЦдтхт = SUP ||АС||. ||®11<1

Стхт — пространство комплексных т х m-матриц А = {а^},

ЦЛЦстхт = SUP ||Аг||.

Nl<i

loo ~ пространство ограниченных последовательностей m-мерных комплексных векторов с нормой

||ж|| = sup ||xn||c"n-п> о

ао — подпространство I^ последовательностей, имеющих конечный предел при п —> оо.

со — подпространство последовательностей, имеющих нулевой предел при п —> оо.

¿1 — подпространство I^ последовательностей с нормой

00

N1 = ^2\\хп\\с™-

к=О

¿2 — подпространство последовательностей с нормой

\

оо

£

к=0

\х.

п\\ст'

Введение

I. Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию допустимости различных пар пространств относительно линейных и нелинейных разностных уравнений. Такие уравнения являются дискретным аналогом интегральных уравнений Вольтерра.

Теория интегральных уравнений Вольтерра за последние десятилетия превратилась в хорошо развитую и далеко продвинутую теорию. В противоположность этому их дискретные аналоги изучены достаточно слабо, хотя, особенно с развитием численных методов, такие аналоги приобретают все большее значение, например, в работах А. Д. Эпплби, И. Гуори и Д. Рейнолдса, К. Кьюеваса и Пинто, С. Илайди, С. Мукарами, Е. Ками-ямы и других [1, б, 8, 12-15, 17-21].

Изучение разностных уравнений берет начало от рубежа XVII -XVIII столетий и связано с работами Эйлера и Лагранжа, посвященными исследованию так называемых рекуррентных рядов и решению некоторых задач теории вероятностей. В дальнейшем разностные уравнения встречались при численном решении алгебраических и трансцендентных уравнений, при решении некоторых задач комбинаторного анализа, теории чисел и т. д. Что касается качественной теории таких систем, упомянем результаты Пуанкаре и Перрона, полученные в конце XIX и начале XX века. Кроме того, теория конечных разностей имеет большое значение и для конструктивной теории функций действительного и комплексного переменного. Исторически основные линии развития теории конечных разностей в действительной области были определены работами Л. Эйлера, П. Л. Чебышева, А. А. Маркова [58], Д. Селиванова [86], Н. Е. Нерлунда, С. Н. Берштейна [28]. Изложение некоторых вопросов, относящихся к проблематике конечных разностей для комплексного переменного с приложениями как в самой теории функций, так и в теории чисел дано в книге А. О. Гельфонда [37], а затем несколько позднее в книге Л. Бранда [2]. Однако систематическое изучение разностных уравнений началось лишь в последние десятилетия прошлого века, в связи с новыми запросами технических

наук.

Отметим, что теорию устойчивости дискретных систем впервые систематически изложил В. Хан [17]. Изучению устойчивости разностных схем посвящено значительное количество работ, в которых предлагаются различные определения устойчивости, используются различные математические средства и получены многочисленные результаты, например, в книгах В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова [81], Р. Рихтмайера и К. Мор-тона [80], С. К. Годунова и В. С. Рябенького [38], А. А. Самарского [82-85], А. А. Самарского и А. В. Гулина [39], А. Халаная и Д. Векслера [97], Д. И. Мартынюка [61].

Разностные уравнения применяются при численном решении дифференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей [81]. Исследованию многих задач математической физики конечноразностными методами были посвящены работы Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова, которые основное внимание уделяли установлению оценок погрешности решений при переходе от дифференциальных уравнений к разностным. Работы Л. А. Люстерника, И. Г. Петровского, М. В. Келдыша, С. Л. Соболева, Н. Н. Меймана, О. А. Олейник, О. А. Ладыженской, Л.В.Потаповой и др. [59, 72, 57, 74, 31, 32] посвящены изучению различных свойств решений эллиптических и параболических систем дифференциальных уравнений.

Вопросы оптимальных процессов в дискретных системах затрагиваются в [35, 36, 75, 114], применения неравенств при исследовании решений разностных уравнений [64, 88-90, 108], применения дискретного преобразования Лапласа [33, 41, 112, 66], исследования особых точек разностных уравнений [67-71] и т. д.

Разностные операторы являются объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях 3. Нитецки, П. Халмоша, Ю. Д. Латушкина и А. М. Степина и многих других. Спектральные свойства разностных операторов исследовались А. Б. Антоневичем, Э. М. Мухамадиевым и Б. Н. Садовским, И. С. Фроловым [95, 96], В. Г. Курбатовым [53-56], М. С. Бичегкуевым [30]. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривались в работах Ю. Ф. Коробейника, А. А. Миролюбова и М. А. Солдатова, Н. К.

Никольского, В. Д. Степанова и А. Л. Шилдса.

Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банаховом пространстве рассматривали С. Коффман и X. Шеффер, делая упор на связь дихотомии и допустимости. В работах В. Е. Слюсарчука и Д. Хенри разностные операторы исследовались в пространстве ограниченных двусторонних последовательностей векторов из банахова пространства.

В последние годы разностные уравнения довольно широко используются в математике, так как они, с одной стороны могут являться естественной математической моделью для описания дискретных процессов (например, в комбинаторике), дискретных динамических систем, а также для математического моделирования импульсных систем, систем, в состав которых входят цифровые вычислительные устройства ( например, системы автоматического регулирования ) и т. д., а с другой стороны, они являются дискретным приближением непрерывных систем. Так, например, в работах Ф. Брауэра и К. Кастильо - Чавеса [3], Е. Бравермана [4], М. Л. Кастро, А. Л. Сильвы и Д. А. Р. Юсто [5], Ф. Чена, Ю. Е. Франке и А. А. Якубы [10] разностные уравнения используются в качестве моделей динамики популяций, а Р. Континьо, Б. Фернандес и Р. Лима [7] применяют их для моделирования в генетике. В статье В. А. А. Янсена и А. Л. Ллойда [18] динамика экологической системы также описывается системой разностных уравнений. Во многих предметных областях, особенно связанных с природой и человеком — геофизике, лесном деле, биологии, медицине, строительной механике, экономике, психологии, социологии и т. д. разностные уравнения также находят применения, например, в работах О. Н. Новоселова [65], П. В. Конюховского и А. С. Налетовой [51], А. Ю. Александрова и А. П. Жабко [24] и других.

Изучаемые в диссертации разностные уравнения являются естественным обобщением дискретных уравнений, ядра которых зависят от разности аргументов п — к . Глубокие результаты по теории таких уравнений были получены в работах Ф. Д. Гахова и Ю. И. Черского [34], Н. К. Кара-петянца, С. Г. Самко [47, 48], И. Б. Симоненко [87], В. Б. Дыбина и С. Б. Джиргаловой [42-44], Я. М. Ерусалимского [45], И. Л. Ойнас [66] и других.

В данной диссертации исследуются асимптотические свойства реше-

ний разностных уравнений в пространстве ограниченных последовательностей векторов. Основная задача — выяснить свойства решения в зависимости от свойств свободного члена, а именно, получить условия, при которых решение обладает определенным свойством, если свободный член принадлежит некоторому классу F . Другими словами, требуется указать условия, при которых решение уравнения принадлежит некоторому множеству X , если свободный член лежит в F , т. е. условия допустимости пар пространств (F, X) , ( F, X С loo ) относительно разностного уравнения Т(х) = / .

Подобные исследования ранее не проводились и потому представляются актуальной задачей.

Цели работы. Исследовать допустимость пар пространств относительно разностных уравнений.

Научная новизна. Все полученные в данной диссертационной работе результаты являются новыми.

В качестве основных можно выделить следующие:

— критерии допустимости различных пар пространств относительно линейных разностных операторов;

— связь допустимости и устойчивости ( асимптотической устойчивости );

— критерий допустимости пары (X, X) , ( X С loo ) относительно линейных разностных уравнений с устойчивыми положительными ядрами;

— в случае устойчивых ядер, не являющихся знакопостоянными, критерии допустимости пар (ао, ао) , ( cq , со) относительно линейных разностных уравнений;

— устойчивость и асимптотическая устойчивость тривиального решения нелинейного разностного уравнения с выделенной линейной частью;

— допустимость различных пар подпространств относительно нелинейного разностного уравнения общего вида и уравнения типа Вольтерра - Гаммерштейна.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы математического и функционального анализа, методы теории разностных уравнений, а также методы теории интегральных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты работы позволяют построить более полную теорию разностных уравнений, а также теорию допустимости пар пространств. Полученные в работе результаты могут быть использованы для изучения различных математических моделей, описываемых такого рода уравнениями, а также других задачах прикладного характера. При этом с точки зрения приложений, интерес представляют ограниченные решения и решения, имеющие определенный рост ( например, экспоненциальный ).

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» ( Воронеж, 2001 г.); на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2001 г.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XIII» (Воронеж, 2002 г.); на VI и IX Казанских международных летних школах-конференциях «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2003 и 2009 г.г.); на II международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007 г.); на международной конференции «X Белорусская математическая конференция» (Минск, 2008 г.); на IV и V международных научных конференциях «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения» (Махачкала, 2009 и 2011 г.г.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные вопросы» (Воронеж, 2011 г.).

С докладами о результатах диссертации автор выступал на международных научных семинарах «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» в Южном федеральном университете (Ростов-на-Дону, 2011 и 2012 г.г.), а также многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Кубанского госуниверситета (руководитель — доктор физ. - мат. наук, проф. 3. Б. Цалюк).

Публикации. Все основные результаты данной диссертации опуб-

ликованы в работах [115] — [130], из которых 3 работы [125, 128, 129] являются публикациями в журнале из официального перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ для опубликования. В совместной с З.Б. Цалюком статье [125] З.Б. Цалюку принадлежит постановка задачи и указание методов исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов. Работа [115] выполнена в нераздельном соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 10 параграфов, и библиографического списка, включающего список использованной литературы и список работ соискателя. Объем работы — 119 страниц. Список использованных источников и список работ соискателя содержат 114 и 16 наименований соответственно.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Цалюку З.Б. за постановку задач, поддержку и внимание к работе.

II. Предварительные сведения. Приведем ряд определений и понятий, необходимых нам в дальнейшем изложении.

Всюду далее, положим

п-1 к=п

Рассмотрим нелинейное разностное уравнение

71— 1

xn = ^K(nAxfc) + fn, n>0, (1)

к=0

где К(п, к, х) е Ст, 0 < к < п - 1 , х £ Ст и f„ € Ст - заданные последовательности, а xn Е Ст — искомая последовательность.

Функция К = {К(п, к, х)}^.=0 называется ядром уравнения (1), а последовательность / = {fn}^0 — его свободным членом.

Определение 1 Решением уравнения (1) называется последовательность векторов х = {xn}^L0 , хп € Ст , удовлетворяющая этому уравнению.

Уравнение (1) можно изучать в различных функциональных пространствах. Будем рассматривать уравнение (1) лишь в пространстве огра-

ниченных последовательностей векторов, т. е. в пространстве . В связи с этим всюду будет предполагаться, что / = {fn}^=o ^ ¿оо •

Пусть К : {(п, fe, х) : 0 < к < п - 1, х Е Ст} i—> Ст . Для любого Xk Е Ст и любых п Е N , к Е Z+ определена функция к i—► К(п, /г, Xfc) . Тогда для каждого x¿ Е Сш определено отображение

п-1

п i—> K(n, fe, х^) множества натуральных чисел 7V в Ст. fc=o _

Определение 2 Оператор /С , который каждой последовательности векторов х = {xn}~0 , xn Е Ст , ставит в соответствие последовательность комплексных векторов К(х) , определяемую равенством

(п-1 -ч оо

^K(n,fe,x¿) , (2)

А;=0 ^ п=:0

называется разностным оператором.

Функция К = {К(п, к, х)}^=0 называется ядром оператора К . В дальнейшем будут рассматриваться лишь такие операторы К , которые переводят X С loo в loo •

Если К : {(п, к, х) : 0 < fe < п - 1, х Е Ст} ■—> Ст является линейной функцией х , т. е. если

К(п, к, х) = АпЛх,

где Л : {(n, fe) : 0 < fe < п —1} i—> (jrnxm ^ то соответствующее уравнение (1) называется линейным разностным уравнением

Всюду ниже предполагается, что Ап]~ = 0 при к > п. Ядром линейного разностного уравнения

п-1

+ fn , П > 0 , (3)

к=О

принято называть матрицу А — {Ank}^k=0 ; Ank Е Стхт.

Если в уравнении / = {fn}^Lo = 0 , то уравнение (3) называется линейным однородным уравнением. В противном случае, уравнение называется линейным неоднородным.

Замечание 1 В ряде математических моделей возникают урав-

/H£/HZlfl

п

Xn = ^AnkXk+ln, п> о. к=0

Такого рода уравнения имеют решения только при условии обратимости матриц (1—Апп) , п > 0 . Если предположить, что матрицы (1—Апп) , п > 0 , обратимы, то выше указанные уравнения приводятся к виду

п-1

Х» = S + in , п > 0 ,

к—О

где Ank = (/ — ^n/fc j f« — — 1fn •

Определение 3 Разностный оператор, действующий из пространства последовательностей векторов из Ст в пространство последовательностей m-мерных комплексных векторов и определяемый равенством

(п-1 00

Ах = 1XI \ ^

{ к=о J п=0

называется линейным разностным оператором А.

Также как и в линейном уравнении ядром линейного оператора А принято называть матрицу А = , Ank € Стхт.

Всюду далее, положим

к

£ 4 = о.

г=/г+1

Если Р и Т — линейные разностные операторы с ядрами Р = {Рпк}щк=о и Т = {Тпк}™к=0 соответственно, то оператор Р + Т также является линейным разностным оператором и Р + Т = {Ргг£ + — его ядро.

Точно так же оператор аР , а € С1 , является линейным разностным о