Групповой анализ конечно-разностных уравнений. Теоретико-групповые методы исследования и построения конечно-разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ им. М. В. КЕЛДЫША РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ДОРОДНИЦЫН Владимир Анатольевич

УДК 517.958+519.63

ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Теоретико-групповые методы исследования и построения конечно-разностных уравнений

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

01.01.03 - математическая физика

Москва - 1992

Работа выполнена в Ордена Ленина Институте прикладной математики ии. М. В. Келдыша Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты:

С. Н. Павловский - член-корреспондент РАН:

доктор физико-математических наук, профессор.

А. В. Гулин - доктор физико-

математических наук, профессор,

Н. X. Ибрагимов - доктор физико-

математических наук, профессор.

Ведущая организация - Институт гидродинамики

им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Защита состоится <_> _ 1992 г. в час.

на заседании специализированного Совета Д002. 40. 03 при Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М. В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан <_> _ 1992 г.

Ученый секретарь ✓

специализированного Совета ( ;' /; (' ■

доктор физ. -мат. наук, профессор ^ . - Леванов Е. И.

' % ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящей работе проводится даптация идей и методов группового анализа к исследованию :онечно-разносгных уравнений, разностных функционалов и >азностных сеток.

Известно, что некоторая произвольная система

[ифференциальных уравнений может быть аппроксимирована (с данным горядком) с помощьо неограниченного количества разностных схем. [оэтому при конечно-разностном моделировании всегда стоит вопрос ><5 отборе схем, предпочтительных с какой-либо стороны. В качестве критериев отбора все чаще выступают фундаментальные физические принципы, присутствующие в исходной модели, - такие, сак выполнение законов сохранения, вариационные принципы и т. д.. 5 связи с этим большое значение приобретают качественные :оображения при построении численных алгоритмов, позволяющие зносить "физическое содержание" изучаемого объекта в численный «етод исследования его математической модели. Такой взгляд тривел к созданию методов построения консервативных и полностью консервативных разностных схем , к интегро-интерполяционному юдходу, к вариационным методам построения схем и другим методам, характерным для работ школы А. А. Самарского.

Инвариантность дифференциальных уравнений относительно непрерывной группы преобразований является, безусловно, фундаментальным свойством этих моделей и отражает однородность и изотропность пространства-времени, справедливость принципа Галилея и др. свойств симметрии физических моделей, интуитивно (или на основании эксперимента) закладываемых их создателями. Поэтому адекватное отражение свойства симметрии в конечно-разностной модели, наследующей симметрию исходной дифференциальной модели, представляется важной задачей теории разностных схем и может служить тем критерием отбора, о котором говорилось вше.

Впервые теория непрерывных групп преобразований была сформулирована С.Ли при развитии им общих методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие группового анализа дифференциальных уравнений и систематическое изучение структуры множества их решений, - фактически второе рождение группового анализа, - связано с • работами Л. В. Овсянникова и его научной школы. В настоящее время групповой

анализ представляет собой общепризнанный метод описания непрерывных симметрия дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений математической физики.

Привлекательность теоретико-группового подхода к созданию и исследованию разностных схем заключается в том, что групповой анализ обладает мощными инфинитезимальными критериями инвариантности многообразий. Это проявляется в том, что задача нахождения (или исследования) непрерывной группы преобразований сводится к решению (исследованию) линейной системы уравнений, вне зависимости от линейности или нелинейности исходной модели.

Знание группы преобразований, допускаемой данной математической моделью, дает значительную информацию о множестве ее решений. Чем шире допускаемая группа, тем больше представляется возможностей для ее применения. Поскольку структура допускаемой группы коррелирована с алгебраической структурой множества всех решений данной системы, постольку представляется важным сохранить всю симметрию исходной непрерывной модели в ее конечно-разностном аналоге.

Впервые на возможность привлечения групповых соображений к исследованию разностных схем обратили внимание Н. Н. Яненко и Ю. И. Шокин , которые предложили использовать для этих целей первое дифференциальное приближение (ПДП) разностных схем. ПДП разностных схем представляет собой дифференциальные уравнения, занимающие промежуточное положение (в смысле аппроксимации) между исходной дифференциальной моделью и ее конечно-разностным аналогом. ПДП несет в себе определенную информацию о разностной схеме , и, будучи дифференциальными уравнениями, вполне пригодно для классического группового анализа. При таком подходе производится отбор тех разностных схем, ПДП которых допускает ту же группу, что и исходная непрерывная модель.

Многие авторы развивали подходы к групповым свойствам разностных схем, основанные на анализе дифференциально-разностных уравнений. Во всех перечисленных подходах рассматриваются локализованные объекты. Заметим, что эти локализованные различными путями объекты занимают промежуточное положение между разностными схемами и исходными дифференциальными уравнениями в смысле аппроксимации. Это положение позволяет судить о близости их решений к решению разностных уравнений, общности некоторых качественных

характеристик решений, однако вопрос о близости их групповых свойств при таком подходе остается открытым.

В настоящей работе делается анализ групповых свойств непосредственно конечно-разностных обьектов - разностных уравнений, сеток и сеточных функционалов.

Целью работы является разработка теории групп преобразований конечно-разностных переменных и ее применение для построения конечно-разностных моделей, полностью наследующих симметрию исходной дифференциальной модели и имеющих соответствующие инвариантные решения и законы сохранения.

Научная новизна В диссертации заложены основы нового научного направления - группового анализа конечно-разностных уравнений. Получены следующие новые результаты:

1. Выделен комплект математических объектов, необходимый для

описания непрерывных симметрий конечно-разностных уравнений:

пространство 2 последовательностей независимых переменных и

зависимых переменных, проложенных на все порядки производных;

точечные группы преобразований, продолженные в пространство 2;

одна неточечная группа - нетривиальная группа Ли-Беклунда

(группа Тейлора), необходимая для описания конечно-разностных

переменных и уравнений в 2. Введены операторы дискретного сдвига

и дифференцирования, позволяющие ввести в рассмотрение

конечно-разностные переменные или образуемое ими пространство Т..

ь

2.Введено понятие групп преобразований в сеточном

пространстве 2; выделен класс преобразований, сохраняющих смысл и

первой разностной производной. Показано, что эти группы преобразований сохраняют смысл разностных производных любого порядка и реализуются в 2 в виде групп Ли-Беклунда.

3. Сформулировано понятие инвариантно-равномерных разностных сеток и инвариантных неравномерных сеток. Получен критерий инвариантности для обоих классов сеток и построены примеры.

4. Изучены структурные свойства алгебры Ли инфините-зимальных операторов в сеточном пространстве. В частности, получено конечно-разностное представление группы Тейлора.

5. Получены необходимые и достаточные условия инвариантности разностных уравнений, рассматриваемых вместе с разностной сеткой. Рассмотрены примеры инвариантных разностных схем.

6.Предложен эффективный способ построения конечно-

разностной модели, наследующей все непрерывные симметрии исходной дифференциальной и аппроксимирующей ее с данным порядком, - метод конечно-разностных инвариантов.

7.Приведены примеры применения методики построения инвариантных разностных уравнений и их инвариантных решений.

8. Получены операторные тождества, - дискретные аналоги тождества Э. Нетер, - связывающие операторы группы, вариационные производные и дивергентное дифференцирование.

9. Получено конечно-разностное представление оператора Эйлера на различных разностных сетках. Показано, что вариация сеточного функционала приводит в общем случае не к уравнениям Эйлера, а к некоторым новым уравнениям, названным уравнениями квазиэкстремалей.

10. Доказан разностный аналог теоремы Нетер и построены примеры его применения для построения консервативных разностных уравнений.

Практическая ценность работы состоит в разработке основ теории групп преобразований конечно-разностных переменных, которая конструктивно применяется для построения разностных схем, обладающих той же симметрией, что и исходная дифференциальная модель, для построения инвариантных решений и законов сохранения разностных уравнений. Полученные результаты могут быть использованы для исследования численных моделей, описывающих различные физические, механические, биологические и пр. процессы.

Аппробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на многих конференциях и семинарах; в частности, на:

-Научной конференция Московского Физико-Технического Института (Долгопрудный, 1985);

-Всесоюзной школе молодых ученых "Вычислительные методы и математическое моделирование" (Красноярск, 1986);

-Всесоюзных семинарах (коллоквиумах) "Современный групповой анализ" (Ленинград, 1987; Баку, 1988);

-Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Одесса, 1987);

-Международном симпозиуме "Симметрия структур" (Будапешт, 1989);

-Национальной летней школе по прикладной математике

(Варна. 1989, 1990);

-Международной конференции "Математическое моделирование и прикладная математики" (IMACS' 90), (Москва, 1990);

-Международном семинаре "Современный групповой анализ" (Уфа, 1991);

-Международном Конгрессе по Вычислительной и прикладной натематихе (Дублин, 1991).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах.

Структура и обьем работа. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и спяста литературы. Общий обьем работы составляет 175 страниц, включая 8 таблиц и 5 рисунков. Список литературы содержит 86 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ по исследуемой теме и современное ее состояние. Обосновывается актуальность рассматриваемой проблемы и излагаются основные результаты диссертации.

В работе показано, что аппарата классических локальных групп Ли точечных преобразований в конечномерных пространствах недостаточно для описания преобразований конечно-разностных переменных, поскольку необходимо научиться исчислять отрезки кривых и куски поверхностей, чему эквивалентно описание разностных переменных и сеток.

Показано, что для описания преобразований конечно-разностных переменных достаточно иметь следующий комплект обьектов: бесконечномерное пространство 2 последовательностей независимых переменных и зависимых переменных, продолженных на производные любого порядка; локальные группы Ли точечных преобразований, продолженные в 2; одну неточечную группу, названную группой Тейлора (§2 Гл. I), поскольку ее действие на точку гладкой поверхности представляет собой формальное разложение в степенные ряды Тейлора.

Конечно-разностные операторы, в отличие от дифференциальных, задаются на конечном наборе точек (на разностном шаблоне) из счетного числа всех точек разностной гетки, на которых интересуются решением задачи. Такая аелокальность операторов (с физической точки зрения

присутствие в задаче характерных размерных масштабов) приводит к наличие специфических свойств разностных операторов, отсутствующих в локальной дифференциальной модели. Это проявляется, в частности, в наличие "правого" и "левого" дифференцирования и соответствующих сдвигов, в существовании равномерных и неравномерных сеток, в специфике разностного правила Лейбница. Эта специфика приводит к возникновению своеобразного исчисления бесконечно малых преобразований конечно-разностных переменных. Этому исчислению конечно-разностной алгебре - посвящена Глава I.

При изложении материала предполагается, что основные сведения из классического группового анализа известны , так хе как и сведения из теории разностных схем . Использовались обозначения, характерные как для группового анализа , так и принятые в теории разностных схем .

В § 1 вводится пространство формальных степенных рядов, а также операции над ними. Алгебра формальных степенных рядов давно используется в математике для описания алгебраических свойств объектов. При описании функциональных свойств изучаемогс объекта используется аналитический аппарат - пространстве аналитических функций, целых функций, соответствующие нормы I т. д. Аппарат формальных степенных рядов и аппарат локально-аналитических функций имеет область пересечения (где ош тождественны) - это, очевидно, случай сходимости степенных рядо] (или представление функций рядами). Классический группово! анализ С. Ли лежит на стыке алгебры и анализа и использует об; упомянутых выше подхода. В настоящей работе нас интересуют, 1 основном, алгебраические свойства изучаемых объектов и потом; для нас будет достаточна алгебра формальных степенных рядов.

В алгебре формальных степенных рядов с локально аналитическими коэффициентами:

^(г,а) = £А*(г) а\ 1 = 1,2..........(1

к=0

выделяется подмножество рядов со специальным виде коэффициентов, что обеспечивает корректное введение суперпозици рядов (1). Суперпозиция таких рядов эквивалентна преобразовав г1" = гЧг'.Ь) = Г'Шг.а),Ь) = ^(г.Са+Ь)), 1=1,2,... ,

i пространстве последовательностей формальных степенных рядов 2: f1(г,а),f2(2,а),...,fs(z,a)...). Эти преобразования образуют >днопараметрическуо группу и могут описываться (как и в слассическом случае С. Ли) касательными полями или инфини -гезимальными операторами:

z1*«fl(z,a)=eaX(zl) з j xts)(z1), 1=1,2,..., (2)

s = 0 '

-де X - инфинитезимальный оператор (генератор) группы:

x = £i(Z)a_ i=1>2..... €i(z) = äf^a) f

3z 'a=0 эткуда A» (z) = g-jXtk'(zl), k=0,l,...; 1=1,2.....

Таким образом, для формальной однопараметрической группы G} зуществует, как и в классическом случае Ли, взаимно-однозначная связь {^1(z)> » Gj.

В §2 рассматривается частный случай такой группы, группа Тейлора, которая генерируется оператором полного дифференцирования:

D = k ♦"i3üt»2gui*... ♦u.niü/"- - '3)

С помощью группы Тейлора вводятся операторы дискретного

СО . .3 4

сдвига S = 2 оГ О3 и дифференцирования D = ± ( S - 1)

±h s=0 S- ±h ±h

(§2 Гл. I), а затем - конечно-разностные производные в виде

специальных степенных рядов (непрерывное представление

разностных производных):

и. = IKu), h +h

u = D D(u), h -h+h

u „ = D D Diu), h +h -h +h

В многомерном случае вводится п коммутирующих групп Тейлора

вида (3) и, соответственно, 2п операторов сдвига и 2п операторов

дискретного дифференцирования. Это позволяет ввести в

рассмотрение частные разностные производные.

Введенные операторы S , D и конечно-разностные . ih ih производные позволяют рассматривать разностные уравнения в

сеточном пространстве Z, содержащем независимые и зависимые

h

ю

переменные и все конечно-разностные производные, а такхе шаги разностной сетки.

Действие некоторой формальной однопараметрической группы с оператором

Х^Эх^Эй'^Эй'ЕГ Эй' <4>

8=1 8 1-1 Ь .1

П

в подпространстве независимых переменных посвящен § 3.

Группа преобразований может исказить разностную сетку (т.е. пропорции разностного шаблона), в частности, равномерную. Поскольку равномерная сетка является самым распространенным способом дискретизации пространства независимых переменных, поэтому прежде всего был выделен класс преобразований, сохраняющих равномерность сетки. Полученное в § 3 (п.1) условие дает критерий инвариантной равномерности сетки.

Теорема. Для того, чтобы при преобразованиях группы С. сетка и

ь

41 «

оставалась равномерной, т. е. Ь+ = необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке г € 2 выполнялось сл^^ующее условие:

й 2)) = 0. (5)

Сетки, удовлетворяющие критерию (5), названы инвариантно-равномерными.

Этому критерию удовлетворяют наиболее распространенные в математической физике симметрии : сдвиги, растяжения, вращения, преобразования Лоренца и т. д. Критерий инвариантной равномерности делит группы преобразований на два класса: первый класс сохраняет равномерность сетки, второй ее нарушает. Для второго класса преобразований предложено строить инвариантные неравномерные сетки с помощью инвариантов соответствующей группы, приведены примеры. Таким образом, группа преобразований, допускаемая исходной - дифференциальной моделью, вносит определенную симметрию в разностную сетку ее дискретной модели.

Требование инвариантной равномерности сетки при рассмотрении совместно с некоторым инвариантным разностным уравнением может быть только ослаблено; приведен пример такого ослабления. Для неравномерных сеток показано, что их инвариантность достаточна для того, чтобы были инвариантны пропорции разностного шаблона (§3 п. 2). В п. 3 §3 показывается,

что для инвариантной неравномерной сетки существует система координат, в которой она равномерна. В заключении параграфа выписаны критерии инвариантности для равномерных и неравномерных сеток в многомерном случае.

Следующий шаг - это выяснение требований (§4) на группы преобразований, при которых происходит сохранение смысла конечно-разностных производных.

Первая разностная производная сохраняет свой смысл, если равенство

и,11 = Б(и) - и (6)

ь +ь

является инвариантным многообразием группы . По аналогии с группами касательных преобразований (6) названо условием дискретного касания I порядка.

Установлено два существенных факта. Во-первых, требование сохранения смысла первой разностной производной приводит к формулам групп Ли-Беклунда в "непрерывном" пространстве 2.

Теорема. Пусть С1 - формальная однопараметрическая группа с оператором (4). Пусть в каждой точке 2 уравнение (6) представляет собой инвариантное многообразие С1. Тогда для координат оператора (4) справедлива следующая цепочка соотношений:

С3= Л3( тКу ♦ ?из+1, 3=1,2.....

т. е. формулы групп Ли-Беклунда.

Таким образом, среди всех однопараметрических групп выделен класс, сохраняющих первую разностную производную или все непрерывные производные. Этот факт дает также нелокальную интерпретацию групп Ли-Беклунда, которые преобразуют окрестность гладкой поверхности в аналогичную окрестность.

Во-вторых, установлено, что требование сохранения смысла первой разностной производной достаточно для сохранения смысла конечно-разностных производных любого порядка.

В §4 также получены формулы продолжения для оператора группы на разностные производные для различных разностных сеток.

В §§ 5 и 6 Гл. I рассмотрены некоторые структурные свойства

групп преобразований в сеточных пространствах. Показывается, что

группа Тейлора представляется в сеточном пространстве 2 с

ь

помощью группы, образуемой формальными рядами Ньютона. Оператор этой группы (группы Ньютона) с помощью специального умножения на произвольную функцию образует идеал в алгебре Ли всех операторов Ли-Беклунда на равномерной сетке. Это обстоятельство позволяет перейти к фактор-алгебре операторов, представители которой имеют простой и удобный вид. Факторизованные операторы группы используются в дальнейшем для построения одного частного варианта теоремы Нетер в сеточном пространстве (Гл. III, §7).

В заключении Гл. I рассмотрены формулы разностного интегрирования (§7) и замены переменных (§8), используемые при изучении групповых свойств конечно-разностных уравнений в Гл. II.

Глава II посвящена применению аппарата групп преобразований в пространстве конечно-разностных переменных, разработанного в Главе I, к исследованию инвариантности конечно-разностных уравнений или систем. К конечно-разностным уравнениям предъявляется требование, чтобы они допускали ту же группу, что и исходные дифференциальные уравнения, - т. е. группу, действующую в сеточном пространстве, но изоморфную исходной.

В §1 Гл. II получен критерий инвариантности некоторой произвольной системы разностных уравнений, рассматриваемой совместно с уравнениями, задающими разностную сетку. Этот критерий инвариантности эквивалентен некоторой переопределенной линейной системе разностных уравнений для коэффициентов оператора группы.

Группа преобразований, допускаемая системой конечно-разностных уравнений, аппроксимирующей данную дифференциальную с некоторым порядком, может иметь размерность, отличную от размерности группы исходной модели.

В § 2 Гл. II изложен метод, позволяющий строить разностные уравнения (аппроксимирующие с данным порядком исходную систему), допускающие группу преобразований той же размерности, что и исходная группа. Эта группа подобна исходной группе в подпространстве независимых и зависимых переменных, но продолжается на сеточные производные по специальным разностным формулам , полученным в Гл. I.

Этот метод назван методом конечно-разностных инвариантов.

Пусть задана система дифференциальных уравнений

$Аг) =0, а = 1.....в, (7)

Л .

(А - пространство локально-аналитических функций от конечного числа переменных из 2), которая допускает известную группу преобразований Сг.

Нам нужно построить систему разностных уравнений

Га(г) = 0, а = 1.....и, (8)

га е А ' заданную на разностной сетке:

12^(11*,г) =0, р = 1.....п (9)

допускающую ту же группу С в 7., т. е. изоморфную ей С Л -

г ь ь

пространство локально-аналитических функций от конечного числа

переменных из 2).

ь

Поскольку система уравнений (7) допускает группу Ср, то построив полный набор т функционально независимых дифференциальных инвариантов порядка к: (лЧг), Л2(г),...,Лт(г)), Лае А, систему (7) можно записать в инвариантном представлении:

Фа (Л гСг).Л г(г).....Л Т(г)) =0, а = 1.....п. (10)

Группа С , представленная в 2, имеет (т+п) функционально

Г ь

независимых конечно-разностных инвариантов:

11(г),12(2).....I т+п(г);

1а(г)е А. (11)

ь

Следующим шагом является формирование набора т инвариантов, обладающих необходимым свойством аппроксимации - т.е. для каждого инварианта 1а, представленного в 2 с помощью группы Тейлора,

справедливо: 1а(г) = Ла(г) + 0(Ь*), а = 1.....т; 1=1.....п.

Заключительным шагом является*запись разностных уравнений

*а (11 (г), 12Сг).....I т(2)) = О,

«р (11(г), 12(г).....I г*п(г>) = 0, (12)

где 0 - инвариантное представление конечно-разностной сетки (т.е. разностные инварианты (11) подставляются в инвариантную запись дифференциальной системы (10) вместо дифференциальных инвариантов). Выбор функций определяется лишь потребностями

конкретного численного алгоритма.

Поскольку функции Фа(1г,12....... 1т) предполагаются

локально-аналитическими по своим аргументам, то из аппроксимации дифференциальных инвариантов разностными следует, что разностные уравнения (12) моделируют соответствующие дифференциальные с к-ым порядком аппроксимации.

Построенная таким образом система разностных уравнений (12) допускает группу Сг в полном объеме.

Пример. Рассмотрим уравнение теплопереноса с учетом релаксации теплового потока (с частным видом коэффициента теплопроводности):

тп и.. + и. = к„и и (13)

О И I 0 х хх

где к0> т0 - положительные константы.

Уравнение (13) допускает группу преобразований С5, определяемую

операторами:

у - д у-З. у - 3 А1 " ЭГ ' л2 " Эх ' лз " Эй •

_!: Л

X = Р Т° 2- - I е Т° + I Р Т° 2- • (14)

Эй т0е Эй, + Т2е Вй„» (14)

Х5 = * Эх * зи ^ ♦ 3Ч « ♦ 2их ^ ♦ Зи„ дш ♦ ихх ^ ;

1х И хх

Легко убедиться, что все пять операторов удовлетворяют

критерию инвариантной равномерности, поэтому можно использовать

прямоугольную сетку ши , равномерную по каждому направлению с г ь

шагами т и Ь.

В пространстве И, х, и, и(., их> и^ , и ) полный набор инвариантов пятипараметрической группы (14) состоит из двух инвариантов, которые можно выбрать в таком, например, виде: .и. и

I - Д Ч * t . т _ хх МК1

Л и 3/2 ' " 1/2 • (10'

X X

Дифференциальные инварианты (15) позволяют представить уравнение (13) в инвариантной форме:

= к0 32 , (16)

или

+ и. и

О Ь _ ^ :

и 3/2 0 и1'2 '

х х

В пространстве Ъ операторы группы С представляются

следующими операторами:

V _ 3 . у— у — 3

£1 " ЗГ • ?г ~ Ш ' Сз ~ Эй

л п п

и+т) Т

Т Т

= е Т° Эй • Ч''0"1)^

) т

(£+Т) т

* 1 е" Т° Г1 - е V ¡¡р. ; (17)

ти

*5= * Ш + Зи к * 2«х Зй + Зи- + Ч к* % Эй, Ь Ь ь ь т Т1 т Т1

Ь ,хх

п I

В пространстве (х, 1, и, и., и-, и , и-, и.г, и т, Ь)

ть т1 ьх т" ь**

группа (17) имеет полный набор из 6 инвариантов. Однако нам

достаточно выбрать лишь два конечно-разностных инварианта,

шпроксимирующих (15) с порядком 0(г2+ Л2).

Можно показать, что конечно-разностные формы второго

юрядка:

т

«5 [1 - е Т°]]} , (18)

I,= и - (к и + I и- Г1/2 ,

2 .XX ¿. . X С. , X

п п п

шляются инвариантами всех операторов (17) и аппроксимируют 11, ¿2 с порядком 0(т2+ (12):

^ = + 0(х2+ Ь2),

12 = +■ ОСЬ2). (19)

Подставив их в инвариантное представление (16) дифференциального уравнения (13) вместо получим инвариантное уравнение:

I, = к012, (20)

эквивалентное разностной схеме:

^Ж1"]} 'ММ'1'-')}-

= к„ и - (X и + I и- ). (21)

о ьхх 2 ьх 2 ьх

Конечно-разностное уравнение (21) допускает все пять операторов

(17) и аппроксимирует дифференциальное уравнение (13) с порядком

0(т2+ Ь2) на равномерной сетке и х и>.

X ь

В §3 Гл. II перечисляются рассматриваемые модели в

пространстве 2 "непрерывных" переменных и в пространстве 2

ь

конечно-разностных переменных. Рассматривается соотношение этих

моделей и получено многообразие, необходимое для замыкания

такого соотношения, - дискретное представление дифференциального

уравнения ("точная разностная схема"). Если разностная модель

допускает группу, подобную группе исходной дифференциальной

модели, то все четыре рассматриваемые модели допускают

по-существу одну и ту же группу преобразований и имеют

соответственно одинаковые групповые свойства.

В §3 рассмотрены также приближенные модели:

дифференциальные приближения разностных схем в 2 и

конечно-разностные приближения дифференциальных уравнений в

сеточном пространстве 2.

ь

В §4 Гл. II рассматриваются инвариантные решения разностных

уравнений. Если система разностных уравнений вместе с разностной

сеткой допускает некоторую г-параметрическую группу

преобразований, то у нее потенциально существуют решения,

инвариантные относительно любой подгруппы допускаемой группы.

Требования, необходимые для существования таких решений,

включают в себя аналогичные требования исходной дифференциальной

модели, а так же некоторые дополнительные, - специфически

разностные. Эти требования связаны с неточечным

("многоточечным") отображением: исходный разностный шаблон в 2

ь

должен отображаться на разностный шаблон в пространстве

инвариантов. Рассмотрены примеры построения инвариантных решений инвариантной разностной схемы для уравнения нелинейной теплопроводности.

В Главе III рассматриваются разностные вариационные задачи и строится разностный аналог теоремы Э. Нетер.

Известная теорема Нетер устанавливает связь между инвариантностью вариационного функционала и консервативностью соответствующих дифференциальных уравнений Эйлера, т. е. выполнением законов сохранения на их решениях.

Разностные вариационные задачи имеют свою специфику и, вообще говоря, существенно отличаются от непрерывного варианта.

В §1 Гл. III рассмотрен оператор Эйлера в "непрерывном" пространстве 2:

fu = iü+ S <-1>8Л3< ш (22)

S = 1 3

Предполагается, что он применяется к функциям вида 2(x,u,u ),

h

заданным на равномерной сетке и. Тогда, как показано в §1 Гл.

h

III, операторный ряд (22) можно записать в Z в следующем

h

компактном виде:

85 е 8585,]. (23)

—п , 1

, п . . .s-1

где D = J у- D3 - оператор разностного дифференцирования

-h s—1 s'

влево.

В случае неравномерной сетки оператор Эйлера записывается следующим образом:

fr-fc -Pity-

n

где h+ и h" - правый и левый шаг сетки в данной точке.

В многомерном случае и когда лагранжиан зависит и от

"левых" разностных производных: £ = JE(xl,u, и . ,и-), оператор

h1 h1

Эйлера будет выглядеть так:

1 П 1 п

где D -разностное дифференцирование по i-ому направлению, а h* ih

h~ - соответствующие шаги сетки, i=l,2.....

Пример. Рассмотрим на сетке о х и, равномерной по каждому

1 2 т h

направлению х = t, х = х, с шагани, соответственно, т и h,

лагранжиан:

t

9 - в ЧкО „3 _ ТС „Z _ Т0 „2 у.

Z ~ в Т Jx 1 Jt 1 Jt '

где kQ, Tg - некоторые положительные константы.

Тогда формула (25) дает следующее разностное уравнение Эйлера:

ч*. ♦МИ1-*"1]}

= kn u - (i- u + i u- ),

О .XX L . x e. .x

П П П

т.е. инвариантное уравнение (21), которое выше было получено другим способом - методом конечно-разностных инвариантов.

В §2 (Гл. III) рассматриваются сеточные функционалы, заданные на некоторой разностной сетке (равномерной или неравномерной) и определяемые сеточной функцией Лагранжа, зависящей от 1ш разностных производных:

L = Y. ^<x,u,u1) h+ , (26)

П h

h

h+ = #>(z), если сетка равномерна, то p(z) = h". В многомерном случае функционал:

L = Y £<х1,и,и,) hX--h+ . (26*)

, I \ с. П

п h h

рассматривается вместе с прямоугольной сеткой:

h* = (г), 1=1,2,... ,п. Если сетка равномерна по k-ому направлению, то (Pk(z) = h- .

Дается определение инвариантности сеточного функционала (рассматриваемого совместно с разностной сеткой) относительно однопараметрической группы. Показывается, что инвариантность сеточного функционала эквивалентна тому, что элементарное

(разностное) действие является инвариантом группы на той же сетке.

Получен критерий инвариантности сеточного функционала относительно однопараметрической группы.

Теорема. Для того, чтобы сеточный функционал (26) был инвариантен на равномерной сетке относительно однопараметрической группы с оператором (4), необходимо и достаточно выполнение следующих равенств:

€ ш + * СШ7,) ~и1 ш + I =0' (27) +ь И1 Ь+=?(г)

Э (?) - £ - х(<р). = 0 .

Если сетка равномерна, то в (27) <р(г) = Ь".

В многомерном случае ситуация аналогична, для прямоугольных сеток = ^(2), критерий инвариантности

соответствующего функционала выглядит так:

ХШ + £ й.^1) , = О,

Б (£») - - Х( » ), =0, 3=1,2..........(27*)

В §3 рассматриваются уравнения Эйлера инвариантного

функционала. Установлен следующий существенный факт:

инвариантность функционала не ведет автоматически к

инвариантности экстремальных уравнений Эйлера. Получено

необходимое и достаточное условие инвариантности уравнений

Эйлера инвариантного функционала.

Для инвариантности уравнения Эйлера функционала (26) на

равномерной сетке а> необходимо и достаточно, чтобы на их ь

решениях выполнялось следующее условие:

£ + и — + и- - В{£) ) = 0, (28)

и Эх ь Эи и11 Зи -ь ь

О 0 (?) = 0. -ь +ь

Достаточно широкие классы преобразований и функционалов не удовлетворяют условиям (28). Это значит, что преобразования группы могут, не меняя разностного функционала, преобразовать

уравнения Эйлера в некоторое другое многообразие.

В §3 Гл. III получено уравнение, на решениях которого достигается постоянство значений функционала при преобразованиях группы:

-п П .1 -п .1

h п

Уравнение (2S) названо квазиэкстремальным, а любые его решения -квазиэкстремалями. Специфика разностной вариационной задачи заключается в том, что уравнения для квазиэкстремалей одного и того же инвариантного функционала для различных групп будут иметь, вообще говоря, различный вид.

Пример. Рассмотрим нелинейное разностное уравнение

u^ = и2, (30)

h а

и оператор переноса X = д^ . Вариационный функционал с функцией Лагранка:

X = 1 u3+ \ и2, (31)

h

в качестве уравнения Эйлера имеет (30). Однако варьирование вдоль орбиты группы с оператором X дает для (31) следующее уравнение для квазиэкстремалей:

2 UI 2 v v2 v

uii a u + u U * U U * " . где u = S(u). (32)

h11 "l "I 3 -h

n П

Таким образом, в разностных вариационных задачах инвариантность сеточных функционалов не приводит, вообще говоря, к инвариантности уравнений Эйлера. Множество решений, на котором достигается стационарность сеточного функционала, зависит от направления варьирования (от орбиты группы) и удовлетворяет уравнениям квазиэкстремалей. Поэтому при разностном моделировании в общем случае нельзя сохранить группу исходной модели, разностное уравнение, допускающее эту группу (и аппроксимирующее данное дифференциальное уравнение), и соответствующий инвариантный функционал. Однако, если из этой триады выбрать лишь два пункта, то можно построить удовлетворительную конструкцию, вполне аналогичную теореме Э. Нетер.

В §4 Гл. III вводится новое требование на сеточные функционалы, которое приводит к инвариантности уравнений Эйлера.

Сеточный функционал (26*), удовлетворяющий на инвариантно-равномерной сетке условию:

+ " Ц + ••• - ПИВ1) = 0, (33)

п

где В1 (2) - некоторые функции из А, 1, J = 1,2... , будем

ь

называть квазиинвариантным.

Теорема. Пусть сеточный функционал (26) удовлетворяет

требованию квазиинвариантности (33) на инвариантной сетке и .

ь

Тогда уравнения Эйлера на той же сетке допускают оператор:

П

(34)

В §5 дано определение закона сохранения в дивергентной форме для конечно-разностных уравнений на различных разностных сетках.

В §6 Гл. III выведены операторные тождества, позволяющие

связать инвариантность сеточных функционалов с консервативностью

квазиэкстремалей. Доказывается теорема, характеризующая

специфику разностных вариационных задач и не имеющая

непрерывного аналога.

Теорема. Пусть разностное уравнение (или система)

F(z) = 0, (35)

заданно на сетке и : h

£2(z,h) = 0, (36)

где £2, F е А.

h

Пусть решения уравнения (35) на сетке (36) являются квазиэкстремалями функционала (26 ), связанными с координатами £,7) оператора (34) группы С . Тогда инвариантность функционала (26 ) на квазиэкстремалях (35)-(36) является необходимым и достаточным условием консервативности (35)-(36):

l VVi =

1 +h ' (35,36 )

где А. = 51 S + (т) - ur - u.) S.f^ ). 1 -h 1 h1 J -h flu,

h1

„ »(-h,)""1 B u = S -i- Я («)•

Пример. Рассмотрим на равномерной сетке и функционал с £ =

h

= 0.5 u, + eu, который, очевидно, инвариантен относительно h

X = и в качестве уравнения Эйлера имеет следующее разностное

уравнение второго порядка: "'

Этот функционал в качестве квазиэкстремального уравнения (29) имеет следующее:

«11 =eU [ к ЬрНхГ (37)

h h1 h1

Указанная теорема дает для квазиэкстремалей следующий закон

сохранения:

D (0.5 uf - eu) , = 0.

+h h1 '(37)

Это эквивалентно существованию I интеграла:

u^ - 2еи = С0, CQ = const, h

откуда получаем точное решение уравнения (37):

u = u ± h/ 2eu + С0 .

В §7 Гл. 111 рассматривается частный случай дискретного аналога теоремы Э. Нетер - случай одномерной инвариантно-равномерной сетки. С использованием факторизованных операторов группы доказывается утверждение, позволяющее строить законы сохранения для уравнений Эйлера инвариантного вариационного функционала. Плотности таких законов сохранения получаются в виде формальных степенных рядов.

Восьмой параграф Гл. III содержит основной результат для инвариантных вариационных задач в сеточных пространствах -разностный аналог теоремы Нетер.

Основой этой теоремы служит операторное тождество, которое,

например, для двумерных прямоугольных сеток выглядит следующим образом:

(т, - - S2U- >j»f «■ DAп - - C8Ug>|jf ♦

+h h h "1 П

+ D_(t> - ^Ut - + DA B^z)) + DA B2(z)) s

+hz h1 hZ +hl +

= i-n ch, c2„ ua£ -1 n ta£ 1 - -2 n fajf n +

1 П n

+ Dj( B1(z) + (n - C1^ - fuj Sj(ij|[ )) + (38)

П -h ¡.1 n

+ 0,1 В2(г) + (т) - ^ит - $ги5 ) БаЩ )), В1(г)) е А.

ь1 ь"5 -ь* 0"2 11

п

Если двумерная сетка равномерна, то 11* = Ь* = ; для двумерных неравномерных сеток операторы Э , 0- являются

+Н1

"локальными" и,вообще говоря, некоммутативными:

0 5. = ( ^ ) П «=1 2 -ь Ь* -ь • 1

Теорема. Пусть разностное уравнение (или система):

Г(г) = 0, (39)

задано на разностной сетке и

ь

Жг.Ь) = 0. (40)

Пусть (39) являются уравнениями Эйлера функционала (26) на сетке (40) и задают многообразие, инвариантное относительно группы С1 с оператором (34). Тогда квазиинвариантность функционала (26) с

некоторыми функциями В1 (г) € А • на решениях экстремального

ь

уравнения (39) на сетке (40) является необходимым и достаточным условием консервативности (39) на (40) с вектором

А1 = вЧг) * (V ~ - ¡ГЦ) Б^Ш ), 1=1,2. (41)

Ь Ь -Ь .1

п

Пример. Рассмотрим конечно-разностное волновое уравнение

ЦП " «21 = О- (42)

П п

на равномерной по обоим направлениям сетке ш х и с шагами т и Ь.

X ь

Воспользуемся предыдущей теоремой для построения законов сохранения для (42), соответствующих следующей группе преобразований:

я я

= - перенос по времени, = Эх ~ перенос по

Я я

пространственной переменной, - преобразования

Лоренца. Все три оператора сохраняют равномерность разностной сетки.

В качестве функции Лагранха возьмем

£ = * и! - I и* (43)

с ъг * ь1

Легко убедиться, что уравнение (42) является уравнением Эйлера разностного функционала с функцией Лагранха (43) и допускает операторы Х1> Х2, Х3. Нетерово тождество для всех трех операторов мы запишем в следующем виде:

^а ГО + У^зЬЛ^а'го/ + А<»£(2)> Е

♦ П . 1 +П .2 + П +П

п П

го -.¡1'Й,» \£»<й1,}+ (44>

Ь Ь

* •• Ь- ..... Ь"

а = 1,2,3.

э! и2

Перечислим т?а, В£, соответствующие операторам Х^ Х2, Х3-а = 1:

а = 2:

'Г

П п

= О,

= К5/^" №

а = 3:

V "»а"

п п

В2 = »1

П П П ~П П

В2 = 0.

V Ч(У ^ " "'¡У

ь ь ь ь

В3 = " и + У«!» - ¡¡ьУ«'.

л П П -П П П "л

В^ = -хи.и7 + (х + Ыи, БЛи,) + и, Б, (и). 3 ьЧ1 ь2 ь -ь1

Легко проверить, что во всех трех случаях левая часть равенства

(44) тождественно обращается в нуль. Из ■квазиинвариантности

функционала следует выполнение следующих законов сохранения на

решениях уравнения (42):

х = 1:

В,(и| + и_ Б.Си )) + В_(-и=(и1+ ит)), = О,

+ Ь 1» Ь -1» 11 Ь1 Ъ 1(42)

% = 2:

0.(-и-(и + и=)> + 0,(и| + и, Б (и )) , = О,

+Ь Ь Ь Ь 4-11 ЪГ Ь -Ь Ь 442) X = 3:

0.(хи| + (х+Ы и_ БЛи,) + ит(и,+ и=) + Б,(и)и.) +

+Ь1 ь1 Ь -|1 И Ь1 ЬГ п -п 11

+ 0,(-1и| - и+т)и, Э_(и,) - хи5(и,+ и-) - Б,(и)и ). = 0.

+ ЬГ Ь1-!»2 ь1 Ь2 Ь Ь1 -ь2 И 442)

¡аметим, что во всех трех случаях использована одна и та же функция Лагранжа (43). Однако условия квазиинвариантности функционала в этих случаях различны, поскольку различны векторы

Заметим также, что эта теорема дает еще один способ юстроения инвариантных разностных уравнений с помощью :вазиинвариантных сеточных функционалов и оператора Эйлера на юответствующей разностной сетке.

ЗАКЛОЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертации. . Заложены основы аппарата группового анализа конечно-разностных уравнений. Разработано специфически разностное исчисление бесконечно-малых преобразований конечно-разностных переменных. В этом математическом аппарате используются два

сорта переменных : непрерывные - для описания непрерывных групп преобразований и разностные - для описания конечно-разностных форм, уравнений и функционалов.

2. Введено понятие групп преобразований в сеточном пространстве; показано, что группы преобразований в пространстве формальных степенных рядов эквивалентны параллельной структуре - алгебре Ли инфинитезимальных операторов. Изучены структурные свойства алгебры Ли инфинитезимальных операторов в сеточном пространстве. В частности, получено конечно-разностное представление группы Тейлора, реализующееся в виде рядов Ньютона.

3. Введено понятие "дискретного касания" первого порядка, сохранение которого при преобразованиях означает сохранение смысла первой разностной производной. Получено необходимое и достаточное условие сохранения дискретного касания I порядка, выделяющее определенный класс преобразований. Показано, что эти группы преобразований сохраняют смысл разностных производных любого порядка и реализуются в непрерывном пространстве в виде групп Ли-Беклунда.

4. Сформулировано понятие инвариантно-равномерных разностных сеток и инвариантных неравномерных сеток. Получен критерий инвариантности для обоих классов сеток. Приведены примеры построения инвариантных сеток.

5. Получен критерий инвариантности конечно-разностных уравнений совместно с разностной сеткой по отношению к непрерывной группе преобразований. Рассмотрены примеры его применения.

6. Предложен конструктивный способ построения разностной модели, аппроксимирующей (с данным порядком) данную дифференциальную модель, и наследующей все ее непрерывные симметрии, - метод конечно-разностных инвариантов. Построены многочисленные примеры использования такого алгоритма.

7. Построены примеры инвариантных разностных уравнений, сохраняющих все симметрии исходной дифференциальной модели и имеющих соответствующие инвариантные разностные решения. Выявлены дополнительные необходимые условия существование инвариантных разностных решений.

8. Указан способ построения инвариантной "точной разностной схемы", т. е. представления исходной дифференциальной модели I сеточном пространстве. Показано соотношение четырех моделей -

исходной дифференциальной, ее дискретного представления, конечно-разностной и ее непрерывного представления, - в произведении непрерывного пространства и сеточного. Указаны формулы перехода и рассмотрен простой пример, когда все четыре модели допускают одну и ту же группу (в разных представлениях).

9. Построены представления оператора Эйлера в сеточных пространствах различной размерности на равномерных и неравномерных разностных сетках.

10. Получены необходимые и достаточные условия инвариантности сеточного функционала совместно с разностной сеткой.

11. Построен критерий инвариантности разностного уравнения Эйлера инвариантного сеточного функционала. Выведено новое уравнение - уравнение квазиэкстремалей, на решениях которого достигается стационарность действия при "наклонном" варьировании, - т. е. при пребразованиях группы, меняющих независимые переменные.

12. Получен дискретный аналог тождества Нетер, связывающий операторы группы, вариационное и дивергентное дифференцирования на различных разностных сетках.

13. На основе дискретного варианта тождества Нетер получена теорема (не имеющая непрерывного аналога), дающая небходимые и достаточные условия консервативности квазиэкстремальных уравнений вариационного сеточного функционала. Построены примеры ее применения.

14. Доказан разностный аналог теоремы Нетер и построены примеры его применения для построения консервативных разностных уравнений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Дородницын В. А. Группа Тейлора и преобразования, сохраняющие разностные производные. - М., Препринт ИПМат. - N 67, 1987, 31с.

2. Дородницын В. А. Группа Ньютона и коммутационные свойства операторов Ли-Беклунда в сеточных пространствах. -М., Препринт ИПМат. - N 175, 1988, 26 с.

3. Дородницын В. А. Группы преобразований в сеточных пространствах. -"Современные проблемы математики. Новейшие

2В

достижения. Том 34 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)", М., 1989, с. 149-190.

4. Дородницын В. А. Группы преобразований в пространстве конечно- разностных переменных. - Сб. лекций XV Национальной летней школы приложений математики в технике. Варна, Болгария, 1989, с. 24-32.

5. V.Dorodnitsyn. The Symmetry of Finite-Difference Equations. "Symmetry of Structure", Interdisciplinary Symmetry Simposia. Budapest, Hungary, p.97, 1989.

6. V.Dorodnitsyn. Some steps towards the group analysis of finite-difference equations. "Mathematical modelling and applied mathematics". International IMACS Conference,

1990, Moscow p.135.

7. V.Dorodnitsyn. Group analysis of finite-difference equations. • 13-th IMACS World Congress on computation and Applied Mathenatics. 1991, Dublin, Ireland, p.373.

8. V.A.Dorodnltsyn. Transformation groups in mesh spaces. Jour, of Sov. Math., v.41, N5, 1991, p. 1490-1517, Plenum Publ. Corporation.

9. Дородницын В. А. Инвариантные вариационные задачи и консервативность разностных схем. М., Препринт ИПМат. N 121,

1991, 28 с.

В.А. Дородницын' Групповой анализ конечно - разностных уравнений. Теоретике - групповые методы исследования и построения конечно - разностных уравнений*. Специальность - 01,01.03 - математическая физика.

Подписано в печать ОЗ.ОЗ.Э2г. Заказ N° 59. Тираж 100 йкз.

Отпечатано на ротапринтах в Институте прикладной математики