Аналитические представления и устойчивость решений линейных систем функционально-разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Кукушкина Евгения Викторовна

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Уральского государственного университета им. A.M. Горького

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Долгий Ю.Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кипнис М.М.

доктор физико-математических наук, профессор Максимов В.И.

Ведущая организация:

Удмуртский государственный университет

Защита состоится "__ 2004 года в _$1ч. _$?мин.

на заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу:

620083, г.Екатеринбург, пр.Ленина, 51, комн.248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Автореферат разослан " ZD 11 tiOJlfi/bfL- 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интерес к разностным уравнениям с дискретным аргументом стимулируется вопросами математического моделирования в различных областях естествознания и проблемами теоретического обоснования вычислительных алгоритмов. Фундаментальные основы теории этих уравнений изложены в монографиях А.О. Гельфонда, А. Халаная и Д. Векслера, Д.И. Мартынюка, И.В. Гайшуна, A.M. Самарского. Исследования разностных уравнений с дискретным аргументом продолжаются и в наши дни. Развитие теории разностных уравнений с непрерывным аргументом стимулируется потребностями математического моделирования и проблемами, связанными с нахождением решений функциональных уравнений, которые возникают в ходе изучения различных математических объектов. Исследования разностных уравнений установили их тесную связь с дифференциально-разностными уравнениями. Основные положения теории этих уравнений изложены в монографиях Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной, Р. Беллмана и К.Л. Кука, В.Б. Колмановского и В.Р. Носова, Н.Н. Красовского, А.Д. Мышкиса, Дж. Хейла, Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина, С.Н. Шиманова. Поэтому терминология и методология исследования последних уравнений была использована для разностных уравнений. Наиболее изученным объектом являются разностные уравнения с постоянными отклонениями аргументов. Им посвящены работы А.Б. Антоневича, М.Г. Близорукова, М.М. Кипниса, В.Г. Курбатова, А.А. Миролюбова, Г.П. Пелюха, Е.Ю. Романенко, М.А. Солдатова, А.Н. Шарковского, J.M. Ferreira и других авторов. Для данного класса систем получены условия существования решений разной степени гладкости, найдены представления общего решения линейной неоднородной системы и разработаны методы исследования устойчивости. Разностные уравнения с переменными отклонениями аргументов называют также функциональными уравнениями. Проблема существования и представления решений для них является достаточно сложной. Она изучалась в работах Л.П. Кучко, В.В. Митюшева, Г.П. Пелюха, М. Kuczma и других. Разностные уравнения с распределенными отклонениями аргументов изучены плохо. В настоящей работе мы называем их функционально-разностными по аналогии с функционально-дифференциальными уравнениями. Такие объекты привлекали внимание исследователей в ходе изучения математических моделей, описываемых интегральными уравнениями Вольтерры и

функционально-дифференциальными

типа.

В работах J. Hale и D. Henry установлена связь линейных стационарных функционально-разностных уравнений с теорией сильно непрерывных полугрупп и доказано утверждение, позволяющее делать заключение об устойчивости нулевого решения на основе анализа расположения корней характеристического уравнения.

Объектом исследования настоящей работы является линейная система функционально-разностных уравнений.

Цель работы. Предложить методы построения общего решения линейной системы функционально-разностных уравнений в стационарном и нестационарном случаях. Полученные результаты использовать при исследовании устойчивости рассматриваемых систем.

Методы исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория разностных и функционально-дифференциальных уравнений, функциональный анализ и теория устойчивости движения. При нахождении аналитического представления общего решения системы функционально-разностных уравнений основным является результат о виде линейного непрерывного оператора в пространстве непрерывных функций. При исследовании устойчивости решений основными являются понятия эволюционного оператора и оператора монодромии.

Научная новизна. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми и позволяют находить решения начальной задачи Коши для систем функционально-разностных уравнений, а также устанавливать условия устойчивости решений этих уравнений. На защиту выносятся следующие результаты:

1) установлены условия существования и единственности непрерывных решений начальной задачи Коши для стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений;

2) получены аналитические представления общих решений стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений;

3) разработаны методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общих решений;

4) в функциональном пространстве состояний введены понятия эволюционного оператора, оператора монодромии и доказаны общие утверждения об устойчивости решений функционально-разностных систем;

5) найдены условия устойчивости решений для некоторых классов функционально-разностных систем.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы

для исследования конкретных функционально-разностных уравнений, в том числе на устойчивость, и дальнейшего развития теории функционально -разностных уравнений, а также в качестве лекций специального курса.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались и докладывались на 4-й международной конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки "(Самара, 2003); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения -ХШ"(2002), "Понтрягинские чтения - XIV"(2003), "Понтрягинские чтения - XV" (2004); XXVI конференции молодых ученых математико-механического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. (Москва, 2004); Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач "(Екатеринбург, 2004); семинаре кафедры теоретической механики математико-механического факультета УрГУ им. АМ.Горького (Екатеринбург, 1998-2004).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах [1]-[9].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 92 наименования, общий объем - 112 страниц печатного текста.

Во введении сделан краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснована актуальность исследуемой проблемы и изложены основные результаты данной работы.

Глава 1 посвящена изучению линейных систем стационарных функционально-разностных уравнений

где х : К —)■ К", Л € С (К, К"), матричная функция г/ имеет ограниченную вариацию на [—г, 0], 7/(0) = 77 (-0) = 0.

В настоящей главе описаны основные идеи и методы, используемые при построении общего решения линейной неоднородной системы функционально-разностных уравнений в стационарном варианте. При реализации их в нестационарном варианте в главе 2 технические построения усложняются и суть этих идей и методов становится менее прозрачной. Стационарность позволяет также описать дополнительные свойства решений функционально-разностных уравнений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

В параграфе 1.1 доказана теорема о существовании и единственности решения начальной задачи Коши для системы (1). Метод доказательства традиционен для эволюционных систем. Он использует принцип сжатых отображений и вольтерровость по А.Н. Тихонову оператора, определяющего правую часть системы (1). Наличие условия согласования требует специального преобразования исходной системы.

В стационарном случае можно получить большую гладкость решений при Л 6 С([0,+оо),К"), (р £ Ст([-Г,0],К"), если наложить следующие условия согласования

Предложение 1.1. Пусть h u <р -т-разнепрерывнодифференцируемые функции, выполнены условия согласования (2), матричная функция Г) имеет ограниченную вариацию на [-г,0] и щ (0) = Т} (—0) = 0. Тогда существует единственноет-раз непрерывно дифференцируемое решение системы (1).

В параграфе 1.2 получено представление решений стационарных функционально-разностных уравнений. При нахождении этого представления используется вид линейного непрерывного функционала в пространстве непрерывных функций.

В параграфе 1.3 получены уравнения для нахождения функций 5 и Т, определяющих представление общего решения линейных стационарных уравнений. При нахождении функций 5 и Т, путем подстановки представления решения в уравнение (1), в ходе вычисления появляются интегралы Лебега-Стилтьеса, что значительно осложняет техническую сторону проблемы. В работе предлагается при нахождении 5 и Т использовать системы с гладкими к и решения с гладкими ¡р. Это позволяет проводить вычисления, используя интегралы Римана-Стилтьеса.

В главе 2 исследуются линейные системы нестационарных функционально-разностных уравнений

где х : К -»■ К"; Л 6 С (К,К"); матричная функция •) при каждом фиксированном £ € К имеет ограниченную вариацию на отрезке [-г,0], V (?,0)= 0.

Для указанной системы изучается начальная задача Коши в пространстве непрерывных функций. Пусть начальный момент и начальная

'О

(3)

функция (р € С ([¿о - г, ¿о] > К"). Функция х £С ([¿о — г, +оо), К") является решением начальной задачи Коши, если для нее равенство (3) выполняется тождественно на полуоси (¿о»+оо) и х (4) = <р (£) при £ £ [¿о — г, ¿о]

Для существования непрерывного решения начальной задачи Коши необходимо, чтобы выполнялось условие согласования

¥>(*о) = У + + (4)

Условие (4) при заданной функции к накладывает ограничения на выбор начальной функции

В параграфе 2.1 доказана теорема об условиях существования и единственности решения начальной задачи Коши для системы (3).

Теорема 2.1. Пусть к € € ([¿0, +оо) ,КП), <р € С([*0 - г,«0] ,К.П), выполнено условие согласования (4) и

1) функция г) ограничена на любом отрезке числовой оси,

2)отображение 4 —^ I/ (4, —г) непрерывноначисловойоси,

3) длялюбого Т С Котображение t —> Г}{Ь,8 — 4) ¿8 непрерывно на любом отрезке числовой оси,

4) уаг Г] (4, г) -> 0 при Д —>• О равномерно по t на любом конечном *е[-Д,0]

отрезке числовой оси.

Тогда начальная задача Коши для системы (3) имеет единственное непрерывноерешение.

Приведены примеры, в которых показана существенность требований теоремы 2.1 относительно зависимости от

В параграфе 2.2 получено представление решения начальной задачи Коши для системы нестационарных функционально-разностных уравнений (3).

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда непрерывное решение начальной задачи Коши системы (3) допускает представление

«(*) = Р № («» ¿о) V (а) + £ (*, 5) А (5) + (V (4, <о) + /„) <р (40), (5)

[¿о_ г! *о]; 5" (4, в) = 0 при 4 < в; при любом г > 4о выполняются неравенства вир ^ шт^ ^Г (4,5,4о) < оо, вир даг^э (4, в) < оо, при любом

Т > £о и любом 0 < г' < Г функции 5 5) ¿в и Т в, ¿о) (¿в непрерывны по t на полуинтервале [¿о, оо); V (¿о, ¿о) = О и функция V (¿, ¿о)

В параграфе 2.3 получены уравнения для нахождения функций Т и К При выполнении условий теоремы 2.1 функция 5 является решением уравнения

ЗМ^У^М)^ Я (¿ + 0,5) ¿5-4, t>T,

с начальным условием 5 т) = О при £ < т. Установлена связь между функциями 5 и V:

и между функциями 5 и Т:

Получены уравнения для функции Т из представления (5):

Изменение порядка дифференцирования и интегрирования в формулах для нахождения 5 и Т обосновано в следующих случаях:

1) Г) - абсолютно непрерывная функция аргумента

2) - ступенчатая функция аргумента с конечным числом точек разрыва;

3) представима в виде суммы абсолютно непрерывной и ступенчатой функций.

Условия корректной продолжимости решения системы однородных функционально-разностных уравнений на всю числовую ось изучаются в параграфе 2.4.

В параграфе 2.5 устанавливается связь системы функционально-разностных уравнений с системой функционально--дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов.

Утверждение 2.10. Пусть почти при всех s, t G ® существует

drift,s-t) fdn{t,s-t) дц(t,z) . dj)(t,z) производная -—- (--- = ——— --

измеримая и локально ограниченная по совокупности аргументов в

области R X К., а также существует матрица (I„ + i)(t,—r)) .. Тогда

решение начальной задачи Коши x(t,t<jy(p), t > Ц — г, системы (3) при

h =0 с абсолютно непрерывной начальной функцией <р, для которой

выполняется условие согласования (4), является локально абсолютно

непрерывной функцией нО^ц — г, +оо) и удовлетворяет при t > to системе

дифференциальныхуравненийнейтрального типа

Глава 3 посвящена исследованию устойчивости систем функционально-разностных уравнений. В параграфе 3.1 рассматривается стационарная система функционально-разностных уравнений (1) при h = 0. Она порождает сильно непрерывную полугруппу операторов Определен инфинитезимальный оператор данной полугруппы операторов и его спектр.

Теорема1. Если функция г] не имеет сингулярной части, то для экспоненциальной устойчивости системы (1) при h = 0 по отношению к возмущениям из С необходимо и достаточно, чтобы существовало8 >0, для которого корни характеристического уравнения det ^ di) (if) —1„ j = 0 лежали вобласти {A: Re A < —5, A € C}

00 00 -]£Ль¥>(-гц) + W 0 < rk < r, < 00 и A ~

k=1 k=1

интегрируемая по Лебегу функция на [-г, 0].

'Henry D. Linear autonomous neutral functional differential equations // J. Diff Eq. 1974. V.15. N 1. P.106-128.

В этой теореме накладываются ограничения на функцию Г). Если отказаться от этих ограничений, то можно доказать аналогичную теорему для возмущений начальных функций из множества D [A2].

Для систем функционально-разностных уравнений, приведенных в конце параграфа, найдены области устойчивости. При построении областей устойчивости использовался метод Д-разбиения, а при компьютерной реализации этого метода - пакет Maple.

Параграф 3.2 посвящен исследованию устойчивости нестационарных систем функционально--разностных уравнений (3) при h = 0.

В качестве элемента решения будем рассматривать его отрезок o.Vto) = x(t + & € [-г, 0], t > t0. Этот элемент xt 6

Q ([-r, 0], Rn) = {x,: xt 6 С ([-г, 0], 1"), xt (0) = /_°г <kn (t, 4) xt (tf)}.

Его можно рассматривать как образ элемента при некотором

отображении:

№ ¿0, <pto) = (T (t, t0) (pt0) (j?) , tfe [-r, 0], t > t0,

где

Теорема 3.5. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Для устойчивости системы (3) при h = 0 необходимо и достаточно, чтобы

sup||T(f,t0)|| <оо.

t>to

Для асимптотической устойчивости системы (3) при h = 0 необходимо и достаточно, чтобы lim ||T(i, ¿о)|| = 0.

Для экспоненциальнойустойчивости системы (3) при h =0 необходимо и достаточно, чтобы существовали положительные числа Ки а, такие что ЦТ (t, t0) И < Ке-а^\ t > t0.

Теорема 3.6. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и существует

такое t1 > t0, что sup var 77 < 1. Тогда система (3) при h = 0

t>tj öe[-r,0] экспоненциальноустоичива.

В параграфе 3.3 исследуется устойчивость периодических

нестационарных систем функционально-разностных уравнений, когда

- -периодическая функция по первому аргументу с периодом

Эволюционные операторы таких систем обладают свойством:

Т (i + пи, t0) = Т (t, f0) Т (<о + ш, *о). * >

где п - целое положительное число. Оператор монодромии U (to) = Т (f0 + w, i0) : Q„ ([-г, 0] Д") ->• Сю ([-Л 0], К") является ограниченным.

Представление оператора и (X) задается формулой

Теорема 3.8. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Периодическая система (3) при к = 0 экспоненциально устойчива, если радиус спектра операторамонодромиименьше единицы.

Исследованы некоторые классы периодических систем функционально -разностных уравнений. Для системы

аг(«) = В(«)®(*-т),

гдех € М", В - ш-периодическаяматрица, элементыкоторойявляются непрерывными функциями, <1е1;.В(<) ^ 0, ( 6 8, т = ^ где т - натуральное число, найдены спектральное и регулярное множества оператора монодромии. Указаны необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения. Для скалярного уравнения

где Ь - ш-периодическая функция с непрерывной производной, ф О, = t — т^), 4 € К, т - непрерывная о> -периодическая функция, 0 < т (X) < и и имеет непрерывную производную т (X) < 1 при 0 < X < ш, т(0) = о>, т (+0) < 0, т (-0) > 0, построен оператор монодромии, а для него - спектральное и резольвентное множества. Для экспоненциальной устойчивости этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы Рассмотрена система

х(*) = в(*МЧ')). (6)

х € К", В - непрерывная и -периодическаяматричнаяфункция^ В ({) ф 0 при 4 £ [0,ш], =4 —т^), Т-абсолютно непрерывная -периодическая функция с почти всюду ограниченной производной, 0 < < ш, г(£) < 1.

Для произвольного начального момента ^ указано представление оператора монодромии

= («И), *е(Л(*о) ,*«,],

где

я

_ Г В 0?)... В (*)), * 6 [Л (*о), ¿о),

В (д)... В {Ь,^ (#)),#€ [00,к],

и 1?о = Л(_т+1) (to) -W, т - некоторое натуральное число, hlfk - целое число) - к-я итерация функции h. Пусть существует такое действительное число t, что U® (т?0) = ^о- Предполагается, что собственные числа матрицы Q (i?o) = D (t?o) D (и (t?o)) имеют различные модули. Занумеруем их в порядке возрастания модулей, то есть |pi| < ... < \рп\. С помощью методики работы2 доказано утверждение.

Утверждение 3.3. Пусть В - непрерывная ш-периодическаяматричная функция, det В (f) ф 0 при t € [0, ш], h(t) = t — Т (t), т - абсолютно непрерывная и-периодическая функция с почти всюду ограниченной производной)0 < т (í) < w, f(í) < 1, «(2) (j?o) = t?o, #0 = ft(~m+1) (to) ~ и>. Тогдазначения р € С: |р*| < |р| < \рМ\, 1 < k < п, \р\ < \pi\, ]р| > \рп\ являются регулярными точками оператора U. Значения р £ С: \р\ = \рк\, р ф pk, 1 < fc < п, являются точками остаточного спектра оператора U.

Для экспоненциальной устойчивости системы (6) необходимо и достаточно, чтобы

В параграфе 3.4 исследуется устойчивость динамических процессов в математической модели производства товаров, предложенной в работе3. Модель описывается системой уравнений

т № = а (т> ') у (т)т (т) dr> (7)

Значение m(t) определяет в момент времени t скорость изменения количества новых продуктов; a (t) - некий временной порог: все продукты, созданные ранее этого порога, в момент t не используются, а созданные после этого срока, используются на 100%; y(t) - распределительная функция; p(t) - количество функционирующих продуктов в момент времени t Коэффициент а (т, t) характеризует скорость создания новых продуктов в момент t в расчете на единицу этих продуктов для момента т. В системе (7) у, р, а - заданные непрерывные неотрицательные функции в областях К и R X ¡R соответственно.

Под решением системы (7) понимается совокупность непрерывных функций т и а, определенных на полуинтервале [ío — г, +оо), r > 0, и удовлетворяющих системе (7) при t > to. На начальном множестве [to — r, to]

2Долгий Ю.Ф. Свойства оператора монодромии периодической системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Изв.вузов. Математика. 1988. N 9. С.23-30.

3Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983.

функции m и а задаются специальным образом. Предполагается также, что для любого решения удовлетворяются условия m (t) > 0, г > f — a (t) >0 при i € [io - г, +оо).

Пусть задано некоторое непрерьшное решение mo(t),ao[t), t € [io — г, +оо) системы (7). Предполагаем, что ^nf mo (t) > 0, ao(t) = t —

r0 (t), где inf To (i) > 0, sup To (i) < г. При изучении устойчивости этого

t>*0-r i>to-r

решения используется система линейного приближения для возмущенного движения

(8)

(9)

Система (8), (9) может быть описана в форме (3) при Л = 0, если положить х = (т, о)^, т?п г) = ¿Т+^И5>0 У (5) ~ а (а» (0 > 0 У (°о (0)] ~то (*) <

Здесь выполнены условия теоремы о существовании и единственности решения начальной задачи Коши. Уравнение (8) можно рассматривать независимо от уравнения (9). Для решения системы (8), (9) имеет место неравенство

|5(«)1 <

sup |m(f)|, i><o.

Ы то(*)г><о-г

£>ео~Г

Тогда из устойчивости, асимптотической или экспоненциальной устойчивости уравнения (8) по отношению к возмущениям из пространства С([-г,0],К) следует соответствующая устойчивость системы (8), (9) по отношению к возмущениям из пространства С ([—Г, 0], К2). Поэтому в дальнейшем рассматривается задача устойчивости для уравнения (8). Утверждение 3.4. Пусть задано некоторое непрерывное решение

Тогда уравнение (8) экспоненциально устойчиво по отношению к возмущениям начальных функций из пространства С([—Г,0],К), если

существует Т > для которого &

.............is < 1.

..............

sup f [a (a, t) y(s)-a(t- t0 (t) ,t)y(t-T0 (t))] ds t>T Jt-Tnlt)

Далее рассматривается стационарная модель, когда у (t) — у0 = const, p(t) =Ро — canst, а (т, t) — а (т -t), -оо < т < t < +00, a(s) = с*о - сад

S < 0, ao, ai > 0. Характеристическое уравнение стационарной модели имеет вид

Найдены области устойчивости, при построении которых использовался метод Д-разбиения, а при компьютерной реализации этого метода - пакет Maple.

Рассмотрена периодическая модель, когда a(r,í) = р = const > 0,

p(t) = ро = const > 0, t € К, у - непрерывная положительная

r-периодическая функция, тождественно не равная постоянной. Система

Ро

уравнений (7) имеет решение mo (t) = —, flo (t) = t — r, t E К.

г

Получен следующий результат: ненулевое число р € С является собственным числом оператора монодромии уравнения (8) тогда и только тогда, когда число z = р~1 ф 1 является собственным числом краевой задачи

где

Пусть Ф (fi,z,p), д 6 [—Г, 0], - фундаментальная матрица системы (10), Ф (—г, z, р) = I2, z G С, р > 0, Ii - единичная матрица. Характеристическое уравнение краевой задачи (10) имеет вид

где A(z,p) = (wi(0,*,jO + Pb(M./*))/2, =

1? € [—О], z (z С, р > 0. Значения параметра р., при которых корни характеристического уравнения (И) пересекают единичную окружность, определяются из уравнения

Теорема 3.13. Пусть наименьший положительный корень р = pt уравнения (12) простой. Тогда при 0 < р < р* уравнение (8) экспоненциально устойчиво по отношению к возмущениям из пространства С[-Г,0], а при р > р„неустойчиво.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кукушкина Е.В. Существование решения линейной системы функционально-разностных уравнений // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения - XIII". Воронеж. 2002. С.90.

2. Долгий Ю.Ф., Кукушкина Е.В. Представления решений стационарных функционально-разностных уравнений // Изв. Уральск. ун-та. 2002. N 22. Вып.4. С.62-80.

3. Долгий Ю.Ф., Кукушкина Е.В. Общий вид решения нестационарной системы функционально-разностных уравнений // Изв. вузов. Математика. 2003. N 7. С.27-34.

4. Кукушкина Е.В. Существование и единственность решения линейной системы функционально-разностных уравнений // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения - XIV'. Воронеж. 2003. С.71-72.

5. Кукушкина Е.В., Долгий Ю.Ф. Представления решений нестационарных функционально-разностных уравнений // Актуальные проблемы соврем, науки. Естеств. науки. Математика. Труды 4-й международной конф. молодых ученых и студентов. Самара. 2003. С.46-48.

6. Кукушкина Е.В. Общий вид решения нестационарной системы функционально-разностных уравнений // Дифф. уравнения и процессы управления. 2004. N 2. С. 1-34.

7. Кукушкина Е.В. О продолжимости решений системы функционально-разностных уравнений // XXVI Конференция молодых ученых мат.-мех. ф-та МГУ им.М.В.Ломоносова. Тез. докл. Москва. 2004. С.68.

8. Кукушкина Е.В. Устойчивость стационарных систем функционально-разностных уравнений // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всероссийской конференции. Екатеринбург. 2004. С. 182-183.

9. Кукушкина Е.В. Об устойчивости периодических систем функционально-разностных уравнений // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения - XV". Воронеж. 2004. С.126.

»25457

Подписано в печать 16.11.04. Формат 60x80 1/16.

Бумага типографская. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ N _1_9__. Печать офсетная. Екатеринбург, ул. Мамина-Сибиряка, 137, копицентр "Копирус"

ВВЕДЕНИЕ.3 *

Глава 1. СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1.1. Начальная задача Коши для функционально-разностных уравнений

1.2. Представления решений стационарных функционально-разностных уравнений.

1.3. Уравнения для функций S и Т.

Глава 2. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1. Условия существования и единственности решений начальной задачи Коши.

2.2. Общий вид решений нестационарных функционально-разностных уравнений.

2.3. Методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общего решения

2.4. Продолжимость решений функционально-разностных уравнений на всю числовую ось.

2.5. Связь функционально-разностных уравнений с функционально-дифференциальными уравнениями.

Глава 3. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

3.1. Стационарные системы функционально-разностных уравнений

3.2. Нестационарные системы функционально-разностных уравнений

3.3. Периодические системы функционально-разностных уравнений

3.4. Устойчивость динамических процессов в математической модели производства товаров.

Актуальность. Исследования разностных уравнений с дискретным аргументом имеют большую историю и продолжаются в наши дни [3], [12], [33], [71], [73], [75], [76], [80], [83]. Интерес к ним стимулируется вопросами математического моделирования в различных областях естествознания и проблемами теоретического обоснования вычислительных алгоритмов. Фундаментальные основы теории этих уравнений изложены в монографиях А.О. Гельфонда [16], А. Халаная и Д. Векслера [63], Д.И. Мартынюка [43], И.В. Гайшуна [15], A.M. Самарского [56]. Развитие теории разностных уравнений с непрерывным аргументом стимулируется потребностями математического моделирования и проблемами, связанными с нахождением решений функциональных уравнений, которые появляются в ходе изучения различных математических объектов. Исследования разностных уравнений установили их тесную связь с дифференциально-разностными уравнениями. Поэтому терминология и методология исследования последних уравнений, изложенная в монографиях [1], [7], [35], [36], [47], [64], [68], [69], может быть использована для разностных уравнений. Наиболее изученным объектом оказались разностные уравнения с постоянными отклонениями аргументов [2], [9]—[11], [27], [35], [41], [44], [45], [50]-[52], [58], [62], [66], [72], [74], [81], [82]. Для данного класса систем получены условия существования решений разной степени гладкости, найдены представления общего решения линейной неоднородной системы и разработаны методы исследования устойчивости. Разностные уравнения с переменными отклонениями аргументов называют также функциональными уравнениями. Проблема существования и представления решений для них является достаточно сложной. Она изучалась в работах [4], [6], [20], [28], [38], [39], [46], [49], [53]-[55], [57], [78], [79]. Спектральные свойства операторов, порождаемых функциональными уравнениями, исследовались, прежде всего, в связи с изучением функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа [1], [8], [29], [40]. Разностные уравнения с распределенными отклонениями аргументов изучены плохо. В настоящей работе мы называем их функционально-разностными по аналогии с функционально-дифференциальными уравнениями. Такие объекты привлекали внимание исследователей в ходе изучения математических моделей, описываемых интегральными уравнениями Вольтерры [14], [59] и функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа [5], [64], [67], [77]. Установлена связь линейных стационарных функционально-разностных уравнений [64], [77] с теорией сильно непрерывных полугрупп. Также для этих уравнений доказано утверждение, позволяющее делать заключение об устойчивости нулевого решения на основе анализа расположения корней характеристического уравнения [64], [77]. Объектом исследования настоящей работы является линейная система функционально-разностных уравнений.

Цель работы. Предложить методы построения общего решения линейной системы функционально-разностных уравнений в стационарном и нестационарном случаях. Полученные результаты использовать при исследовании устойчивости рассматриваемых систем.

Научная новизна. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми и позволяют находить решения начальной задачи Коши для систем функционально-разностных уравнений, а также устанавливать условия устойчивости решений этих уравнений. На защиту выносятся следующие результаты:

1) Установлены условия существования и единственности непрерывных решений начальной задачи Коши для стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений.

2) Получены аналитические представления общих решений стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений.

3) Разработаны методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общих решений.

4) В функциональном пространстве состояний введены понятия эволюционного оператора, оператора монодромии и доказаны общие утверждения об устойчивости решений функционально-разностных систем.

5) Найдены условия устойчивости решений для некоторых классов функционально-разностных систем.

Методы исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория разностных и функционально-дифференциальных уравнений, функциональный анализ и теория устойчивости движения. При нахождении аналитического представления общего решения системы функционально-разностных уравнений основным является результат о виде линейного непрерывного оператора в пространстве непрерывных функций. При исследовании устойчивости решений основными являются понятия эволюционного оператора и оператора монодромии.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для исследования конкретных функционально-разностных уравнений, в том числе на устойчивость, и дальнейшего развития теории функционально-разностных уравнений, а также в качестве лекций специального курса.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались и докладывались на:

4-й международной конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки "(Самара, 2003);

Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения

XIII"(2002), "Понтрягинские чтения - XIV"(2003), "Понтрягинские чтения -XV" (2004);

XXVI конференции молодых ученых математико-механического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2004);

Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач "(Екатеринбург, 2004); семинаре кафедры теоретической механики математико-механического факультета УрГУ им. A.M. Горького (Екатеринбург, 1998-2004).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах [84]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 92 наименования, общий объем -112 страниц печатного текста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

- условия существования и единственности непрерывных решений начальной задачи Коши для стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений;

- аналитические представления общих решений стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений; методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общих решений;

- понятия эволюционного оператора и оператора монодромии в функциональном пространстве состояний, общие утверждения об устойчивости решений функционально-разностных систем;

- условия устойчивости решений для некоторых классов функционально-разностных систем.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

2. Айдын К., Булгаков А.Я., Демиденко Г.В. Асимптотическая устойчивость решений возмущенных линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Сиб. матем. журнал. 2002. Т.43, N 3. С. 493-507.

3. Анашкин О.В. Функции Ляпунова в теории устойчивости нелинейных разностных уравнений с запаздыванием. // Дифференц. уравнения. 2002. Т.38, N 7. С.976-978.

4. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения: Операторный подход. Минск: Университетское, 1988.

5. Антоневич А.Б., Галкин Н.Б. О гомотопической классификации сингулярных интегро-функциональных операторов со сдвигом // Изв. вузов. Математика. 1986. N.2. С.9-14.

6. Ацел Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными. М., 2003.

7. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

8. Березанский Л.М. Линейное функционально-дифференциальное уравнение. Непрерывная зависимость от параметра // Дифференц. уравнения. 1984. Т.20, N.4. С.562-570.

9. Близорукое М.Г. К вопросу о построении решений линейных разностных систем с непрерывным временем // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32, N 1. С.127-128.

10. Близорукое М.Г., Кукушкина Е.В. О групповых свойствах семейства решений системы разностных уравнений с непрерывным временем. // Деп. ВИНИТИ. 1999. N 2370-В99. 11с.

11. Близорукое М.Г., Куликова М.А. О качественном поведении решений системы линейных разностных уравнений вблизи особой точки. // Деп. ВИНИТИ. 1996. N 384-В96. 13с.

12. Быков О.В. Осцилляция решений операторно-разностных уравнений с конечной разностью первого порядка. М., 1985.

13. Быкова Т.С., Тонкое E.J1. Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Дифференц. уравнения. 2003. Т.39, N 6. С.731-737.

14. Винокуров В.Р. Некоторые вопросы теории устойчивости систем интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1969. N 6. С.24-34.

15. Гайшун И.В. Системы с дискретным временем. Минск, 2001.

16. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1972.

17. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983.

18. Громова П.С., Зверкин A.M. О тригонометрических рядах, суммой которых является непрерывная и неограниченная на числовой оси функция решение уравнения с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1968. Т.4, N 10. С.1774-1784.

19. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Мир, 1962.

20. Дарбинян Л.С. Решения некоторых функционально-разностных уравнений в классе аналитических функций и их применение //Уч. записки Ереванского ун-та. Естественные науки. 1982. N 3. С. 13-19.

21. Дейч С. Модели нервной системы. М.: Мир, 1970.

22. Долгий Ю.Ф. Автоматическое регулирование. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1987.

23. Долгий Ю.Ф. О спектральных свойствах оператора внутренней суперпозиции // Изв. вузов. Математика. 1988. N 11. С.65-66.

24. Долгий Ю.Ф. Свойства оператора монодромии периодической системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Изв.вузов. Математика. 1988. N 9. С.23-30.

25. Долгий Ю.Ф. Устойчивость одного уравнения нейтрального типа с переменным запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1985. Т.21, N 9. С. 1480-1489.

26. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодиоческой системы нейтрального типа с постоянным запаздыванием. // Устойчивость и нелинейные колебания. 1983. С.35-46.

27. Долгий Ю.Ф., Леонтьева Т.В. Устойчивость разностных систем с непрерывным временем // Деп. ВИНИТИ 06.07.84. УрГУ. Екатеринбург. N 4765-84.16с.

28. Драхлин М.Е. Об одном линейном функциональном уравнении // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь. 1985. С.91-111.

29. Драхлин М.Е. Оператор внутренней суперпозиции в простанствах суммируемых функций // Изв. вузов. Математика. 1986. N 5. С. 18-24.

30. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик JI.C., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

31. Зверкин A.M. Общие решения линейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Науч. докл. высшей школы сер. физ.-мат. науки. 1959. N 1. С.30-37.

32. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

33. Каретный О.Я., Кипнис М.М. Периодические режимы работы широтно-импульсных систем управления // Автомат, и телемех. 1987. N 11. С.46-54.

34. Клемент Ф., Хейманс X., Антенент С., К. ван Дуин, Б. де Пахтер. Однопараметрические полугруппы. М.: Мир, 1992.

35. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

36. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959.

37. Крейн М.Г. О характеристической функции А(Х) линейной канонической системы дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами // Прикл. математика и механика. 1957. Т.21, вып.З. С.320-328.

38. Кучко Л.П. Функциональные уравнения с вырожденным преобразованием аргумента // Вест. Харьковского ун-та. 1987. N 298. С.98-101.

39. Кучко Л.П. О существовании и единственности решений многомерных функциональных уравнений // ДАН СССР. 1987. Т.297, N 4. С.788-790.

40. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1990.

41. Лышова А.Д. Разностные уравнения в некоторых пространствах аналитических функций // Сб. науч. тр. Балт. гос. акад. рыбал. флота. 2002. N 53. С.22-24.

42. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2000.

43. Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972.

44. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981.

45. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения. М.: Наука, 1986.

46. Митюшев В.В. О линейном функциональном уравнении в классе аналитических функций // Вест. Белорусского ун-та. 1985. Cep.l. N 1. С.44-47.

47. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

48. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1950.

49. Никитин В.Г. Однозначная разрешимость функционального уравнения u(t) — аи(оЛ) = f{t) в пространстве периодических функций // Исследование по прикладной математике. Казань. 1984. N 11. С. 96-109.

50. Пастур П.А. Оценки снизу показателя Ляпунова некоторых конечно-разностных уравнений с квазипериодическими коэффициентами / / Операторы в функцион. пр-вах и вопросы теории функций. Киев. 1987. С.3-12.

51. Пелюх Г.П. Общее решение систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // ДАН Украины. 1994. N 1. С.16-21.

52. Пелюх Г.П. Общее решение систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // Укр. матем. журнал. 2000. Т.52, N 7. С.936-953.

53. Пелюх Г.П. О представлении непрерывных решений систем нелинейных функциональных уравнений // Ин-т мат. АН УССР. Препринт. 1985. N 26. 28с.

54. Пелюх Г.П. Представление непрерывных решений систем нелинейных функциональных уравнений // ДАН УССР. 1986. А. N 3. С.18-21.

55. Петухов В.К. Инвариантность и функциональные уравнения // Ин-т теор. и экспер. физики. Препринт. М., 1979. N 92.

56. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

57. Самко С.Г., Умархаджиев С.М. Об одном функциональном уравнении с бесконечной группой сдвигов // Матем. анализ и его прил. Грозный. 1984. С. 11-14.

58. Середкин В.Н. Об устойчивости систем линейных разностных уравнений с отклоняющимся аргументом // Межв. сб. науч. тр. Пенз. полит, ин-та. 1987. N 8. С.66-68.

59. Смолин Ю.Н. Некоторые ворпросы теории функционально-дифференциальных моделей. Магнитогорск: МаГУ, 2003.

60. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применении к некоторым задачам математической физики // Бюллетень МГУ. Сек.А. 1938. T.l, N 8. С. 1-25.

61. Тонков E.JI. Показатели Ляпунова и Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Вестник Удмуртского ун-та. 2001. N 3. С.13-30.

62. Тураев Х.О. О структуре нерерывных решений систем линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Краевые задачи для дифф. уравн. смешан, типов. Ин-т матем. АН УзССР. Ташкент. 1991. С.193-194.

63. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971.

64. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир,1984.

65. Хилле Э, Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М., 1962.

66. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.А., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев, 1986.

67. Шаталов Ю.С., Пучков Н.П., Дмитриев О.С. Уточненное функционально-интегральное уравнение для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь.1985. С. 80-91.

68. Шиманов С.Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами и запаздыванием. Свердловск: УрГУ, 1983.

69. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. М.: Наука, 1971.

70. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

71. Agarwal R., Ahbbrandt C.B., Hartin P.A. Discrete linear hamiltonian systems: a survey // Dyn. Syst. and Appl. 1999. V.8. N 3-4. P.307-333.

72. Braaksma B.L.J., Faber B.F., Immink G.K. Summation of formal solutions of a class of linear difference equations. // Pasif. J. Math. 2000. 195. N 1. P.35-65.

73. Dosty 0., Histscher R. Linear hamiltonian difference systems: transformations recessive solutions, generalized reciprocity // Dyn. Syst. and Appl. 1999. V.8. N 3-4. P.401-420.

74. Ferreira Jose M. On the stability and oscillatory behavior of a retarted functional equation. // Providence: Amer. Math. Soc. 2002. P. 143-150.

75. Halanay A., Rasvan V. Stability and boundary value problems for discrete time linear hamiltonian systems // Dyn. Syst. and Appl. 1999. V.8. N 3-4. P.439-459.

76. Hanh W. Theorie und Anwendung der directen Methode von Ljapunov. Berlin: Springer Verlag, 1958, 142p.

77. Henry D. Linear autonomous neutral functional differential equations //J. Diff. Eq. 1974. V.15. N 1. P.106-128.

78. Kuczma M. Functional equations in a single variable. Warszawa, PWN, 1968, 383p.

79. Liu Xinhe. Analitic solutions of systems of functional equations // Appl. Math. J.Chin.Univ. B. 2003. V.18. N 2. P.129-137.

80. Perron O. Uber stabilitat und asimptotishes rehalfer der losunger eines systems endlicher differenseng-leichungen. J.Rein Angew. Math, 1929.

81. Qian Lin, Jiang Xing-guo. The explicit representation of general solution of linear defference equation with constant coefficients. J.YangZhou Univ.Natur. Sci.Ed. 2002. 5. N 4. P.12-15.

82. Romanenko E. Attractors of continuous difference equations // Comput. and Math. Appl. 1998. V.36. N 10-12. P.377-390.

83. Sanderfur J.T. Discrete Dynamical System. Theory and Applications. Clarendou Press. Oxford, 1990, 445p.

84. Кукушкина E.B. Существование решения линейной системы функционально-разностных уравнений // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XIIIй. Воронеж. 2002. С.90.

85. Долгий Ю.Ф., Кукушкина Е.В. Представления решений стационарных функционально-разностных уравнений // Изв. Уральск, ун-та. 2002. N 22. Вып.4. С.62-80.

86. Долгий Ю.Ф., Кукушкина Е.В. Общий вид решения нестационарной системы функционально-разностных уравнений // Изв. вузов. Математика. 2003. N 7. С.27-34.

87. Кукушкина Е.В. Существование и единственность решения линейной системы функционально-разностных уравнений // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XIV". Воронеж. 2003. С.71-72.

88. Кукушкина Е.В., Долгий Ю.Ф. Представления решений нестационарных функционально-разностных уравнений // Актуальные проблемы соврем, науки. Естеств. науки. Математика. Труды 4-й международной конф. молодых ученых и студентов. Самара. 2003. С.46-48.

89. Кукушкина Е.В. Общий вид решения нестационарной системы функционально-разностных уравнений // Дифференц. уравнения и процессы управления. 2004. N 2. С. 1-34.

90. Кукушкина Е.В. О продолжимости решений системы функционально-разностных уравнений // XXVI Конференция молодых ученых мат.-мех. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова. Тез. докл. Москва. 2004. С.68.

91. Кукушкина Е.В. Устойчивость стационарных систем функционально-разностных уравнений // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всероссийской конференции. Екатеринбург. 2004. С.182-183.

92. Кукушкина Е.В. Об устойчивости периодических систем функционально-разностных уравнений // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XV". Воронеж. 2004. С.126.