Исследование разностных схем методом дифференциального приближения на ЭВМ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ II МЕХАНИКИ

На праиах рукописи УДК 517.949:519.688 НАСИРОВ Шухрат Хаснмудинович

Исследование разностных схем методом дифференциального приближения на ЭВМ

01.01.07— вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени .кандидата физико-математических наук

Свердловск— 1991

Работа выполнена в Вычислительном центре СО АН СССР в городе Красноярске.

Научный руководитель:

член-корреспондент АН СССР доктор физико-математических наук Ю. И. Шокнн

Официальные ониоьенты:

доктор физико-математнчес-кнх наук 10. Е. Еояринцсв;

кандидат физико-математических наук С. II. Мартюшок

Ведущая организация:

Институт теоретической и прикладной механики СО АН СССР.

Защита диссертации состоится « » НИИ го-

да в /¿""часов на заседании Специализированного совета

К 002.07.01 по присуждению ученой степени кандидата наук при Институте математики и механики УрО АН СССР (город Свердловск, ул. С. Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО АН СССР.

Автореферат разослан « _ 1991 года

Ученый секретарь специализированного совета кандидат фнзнко-математнческих наук В. Д. Скарин

I. ОБЩАЯ ХАРАКГЕРйОКШ РАБОТЫ

Актуальность темы. Метод дифференциального приближения хорошо известен как способ построения, исследования и классификации разностных схем, аппроксимирующих уравнения гиперболического типа. Однако получение дифференциальных приближений (д.п.), особенно в нелинейном случав, связано с большим объемом аналитических преобразований над громоздкими выражения;™. Автоматизация построения д.п. для достаточно широкого класса разностных схем существенно погашает эффективность исследования разностных схем этим методом. К числу актуальных задач также относится разработка матшнноориентирозанных алгоритмов исследования разностных схем на основе д.п. Создание комплекса программ, реализующих эти алгоритмы, освобождает исследователя от проведения громоздка выкладок, связанных с получением д.п. и исследованием на их основе ряда свойств разностных схем.

Цель работы. При выполнении данной работы ставились следующие задачи:

- разработать алгоритмы автоматического построения д.п. разностных схем, в том числе неявных (как одношаговых, так и многошаговых), аппроксимирующих системы нелинейных уравнений гиперболического типа;

- разработать мадшюориентировзнЕые алгоритмы исследования разностных схем на основе д.п.;

- создать комплексы программ исследования разностных схем методом дифференциального приближения.

Методика исследований. В диссертации используются общие понятия теории разностных схем, метод дифференциального приближения, теория матриц, метод квадратичных форм. В процессе создания комплексов программ использовались принципы модульного программирования.

Научная новизна. В диссертации сформулирована единая форма записи достаточно широкого класса разностных схем для уравнений гиперболического типа. Разработаны алгоритмы автоматического построения д.п. разностных схем из этого класса для систем нелинейных гиперболических уравнений в

частных производных.. Построен аналитико-численный метод нахождения на ЭВМ необходимых условий устойчивости разностных схем, аппроксимирующих линейное многомернее уравнение переноса. В ряде случаев найденные необходимые условия являлись и достаточными. Разработан алгоритм приведения нелинейных уравнений произвольного порядка к дивергентному виду. На основе предложенных и известных алгоритмов и методов созданы комплексы программ DUTAPPH и АИРС для исследования методом дифференциального' приближения разностных схем. Комплекс программ DÍFPAPPR предназначен-для случая линейного уравнения переноса произвольной размерности, комплекс программ MÍPC - для случая системы нелинейных уравнений гиперболического типа. Комплексы программ имеют достаточно удобный входной язык РС для описания разностной схемы, аппроксимируемых уравнений, а также ряд других входных данных.

Практическая ценность работы. Разработанные алгоритмы позволяют исследовать на ЭВМ такие свойства разностной схемы как аппроксимация, устойчивость, консервативность, получить аналитические формулы для дисперсии и диссипации в терминах д.п., привести полученные на ЭВМ д.п. к более компактному виду. Они применимы к достаточно широкому классу разностных схем. Созданные комплексы програш освобождают вычислителя от проведения громоздких символьных выкладок, 'связанных с построением д.п. и исследованием разностных схем. Они таюе могут быть использованы для построения и классификации разностных схем.

Предкомпилятор со входного языка РС, позволяющий, в частности, записать разностную схему через операторы сдвига и их наиболее употребительные комбинации з векторной или покомпонентной форме, может быть применен для генерации програш расчета необходимых величин по заданной разностной схеме.

Реализация и внедрение. Результата работы реализованы в виде комплексов программ DIFFAPFR и АИРС на языке Паскаль -SOCO, ворсил 2.1, тестирование которых проведено на КС ЭВМ -I0SI в операционной системе ОС ЕС. Комплекс программ DIíSAPPR состоит из головной программы и 7G процедур с общзм объемом около 2740 операторов. Комплекс программ AííFC

состоит ез головной программы, 153 процедур и содержит около 5400 операторов.

Комплексы программ ОПТАРРН и АИРС переданы в ФАЛ ВЦ СО АН СССР (г.Красноярск), внедрены в научно-исследовательскую работу лаборатории математического моделирования в проблеме охраны окрукающей среды Института математики АН Киргизской ССР (г.Фрунзе), научно-исследовательскую работу кафедры вычислительной, математики, ИВЦ Кемеровского государственного университета (г.Кемерово). Комплексы программ находят практическое использование при проведении научно-исследовательских работ, в учебном процессе при чтении специальных курсов по численным методам л при выполнении хоздоговорных работ. Акты, подтверждающие внедрение результатов работы, приведены в документах.

Связь с планом научно-исследовательских -работ Института Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ ВЦ СО АН СССР (г.Красноярск) по теме: "Разработка и исследование эффективных вычислительных методов репенкя задач математической физики". Номер гос. регистрации 0185.0 060372

Апробация работы. Основные результаты неоднократно дскладавелись и обсуждались на расширенном семинаре "Проблемы математического и численного моделирования" ВЦ- СО АН СССР (г.Красноярск, рук. член-корп. ЫокинЮ.И.), на объединенном семинаре "Численный анализ" отдела вычислительной математики ВЦ СО АН СССР, кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Крас.ГУ, кафедры прикладной математики и механики Крас.ГУ (г.Красноярск, рук. член-корр. Еокик Ю.И.), на семинаре отдела математической геофизики ИМ АН Кирг.ССР (г.Фрунзе, рук. член-корр. АН Кирг.ССР Кочергин В.Н.), на научных семинарах КММ УрО АН СССР (г.Свердловск), кафедры вычислительной математики Кггог.ГУ (г.Фрунзе). Отдельные результаты работы докладывались на конкурсах-конференциях молодых ученых ВЦ СО АН СССР (г.Красноярск,1984г.; 1986г.; 1988г.),на 17 Всесоюзной школе "Методы вычислительной математики" (г.Новосибирск,1985г.), ва Всесоюзной конференции "Математическое моделирование задач газодинамики и пути повышения эффективности энергетических установок"

(Новосибирск,I9S6r.), на III Всесоюзном совещании по интервальной математике (г.Красноярск,1586г.), на Всесоюзных школах-семинарах по комплексам программ математической физики (с.Шушенское,1986г.; г.Абакан,1988г.; г.Ростоз-на-Дону, 1990г.), на XVIII и XX Региональных молодежных школах-конференциях (г.Свердловск,1987г., 1989г.), на Школах молодых ученых по численным методам механики сплошной: среда (с. Шушенское,1987г.; г.Абакан,1989г.), на XXI Всесоюзной школе по автоматизации научных исследований (г.Чолпон-Ата,1987г. ), на XIII научно-технической конференции молодых ученых и специалистов ЩАМ (г.Москва,1989г. ), на VI Сибирской школе "Вычислительная математика. Теория и практика" (г.Новосибирск, 1989г. ) . Некоторые результаты диссертации, доложенные на конкурсе молодых ученых ВЦ СО АН СССР, а также на школе молодых ученых по ЧММСС были отмеченыпризовыми местами.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 81 наименованиясеми приложений, иллюстрируется 16 рисунками и 12 таблицами. Объем основной части работы - 117 стр. машинописного текста. Общий объем - 259 стр.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы и результатов, пос-вяценных использованию ЭВМ для исследования разностных схем. Приводятся краткое содержание диссертации, описываются основные результаты диссертации и их связь с работами других авторов.

Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена решению задач, возникащих при переходе к автоматизации построения д.п. Даются понятия Г-форма и П-формы дифференциального представления, а г акте первого (второго и т.д.) д.п. разностной схемы. Определяется класс разностных схем, подлежащих изучению с помощью ЭВМ. Он содержит как сдношаговые, гак и многошаговые разностные схемы, в том числе и неявные. Дается единая форма записи изучаемого класса разностных'

схем, которые характеризуются тем, что сии на каждом шаге лрэдставнш в виде некоторых полиномов. Зто вытекает естественным образом из способов построения разностных аппрокспиз-цпй для различных систем уравнений гштетзбо.пггеского таттз. Таким образом, изучаются хэ разностные схемы и только те, которые на кагщом саге предстаьимы в виде полинома (I):

ка)

г-^ (I) а) > V = 0 ; I = 1.....5

Ь=/

Я)

а с Е?*1(1>

Л

Г <

'Г-1

1=1 Пг1 в=1 д-1

где множества, состояние из любых элементов

соответственно множества всех основных функций и независимых переменных и множества векторов сдвигов, причем элементы в ; и г^+,<ч;могут повторяться; Т^ - оператор сдвига в 3-напрзвлекии; г, /1- (е = 1,...,5) - шаги сетки, ад (ч = I,...

£3) - параметры и константы, пЩ, -

целые числа (пределы изменения индексов следуют из (I)), р(х1г} * 0. Разностную схему, записанную в форме (I), назовем схемой, приведенной к Т-виду. Приведение к Т-виду осуществляется путем разложения некоторых вспомогательных величин в ряды конкретной длины, подстановки выражений, замены разностных операторов через операторы сдвига, рас-скрытия скобок, приведения подобных и ряд других операций.

Т-вид является очень удобным для внутреннего представления разностной схемы и составления программ, реализирующих алгоритмы построения Г- и П-форм д.п. Основная идея в

построению! д.п. изложена в монографии Ю.И. Шскина, H.H. Яненко';. В диссертации рассматриваются алгоритмы построения Г- и П-форм д.п. с точки зрения их усовершенствования и реализации на ЭВМ. Так, для построения П-формы д.п. приводится оптимальный порядок исключения необходимых производных. Построенные алгоритмы учитывают уравнения состояния, заданные в виде произвольной функциональной зависимости от термодинамических функций. Для реализации этих алгоритмов потребовалось "научить" ЭВМ выполнять такие операции как:

- разложение функций (в том числе и сложных, зависящих от других функций) в ряды Тейлора по нескольким переменным;

- прозерка на эквивалентность двух и более выражений;

- приведение подобных;

- сортировка членов выражений по определенным характеристикам ;

- алгебраические операции над выражениями и дробями;

- формальное дифференцирование до требуемого порядка по любым переменным нелинейных уравнений, имеющих в общем случае вид (2):

1(11?1П fi 1 •

1=1 Па з=» q=f '

•ПП П [ Т".....

t = r г=о г t...+r = ft dt °дх/...дх 8 J

О в 1 3

и ряд других.

Далее дается обоснование выбора языка Паскаль для решения поставленной задачи, показывается каким образом были использованы некоторые возможности языка Паскаль при создании комплексов программ ШУАРРЙ и АИРС, а также пре¿компилятора со входного языка PC. В частности, конструировались как линейные односвязные, так и специальные списки

';Шокия Ю.И., Яненкэ H.H. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. - Новосибирск: Наука, 1985. - 364 с. ^

весьма сложной структуры, состоящие из линейных двухсвязных и трехсвягных списков. Все элементы списков создаются динамически и уничтожаются по мере необходимости.

Вторая глава посвящена исследовании с помощью ЭВМ таких свойств разностной схемы как аппроксимация, устойчивость, консервативность, а также получению аналитических формул на ЭВМ для дисперсии и диссипации в терминах д.п. Излагается аналитико-численный метод нахождения нэ ЗБМ необходимых условий устойчивости разностных схем, аппроксимирующих многомерное уравнение переноса:

ди л тг „ зи

т

У ^ Ш = 0 ' = сопзг и = О)

Суть метода заключается в следующем. При исследовании методом дифференциального приближения разностной схемы из рассматриваемого класса схем получается необходимое условие устойчивости в виде (4):

Р(Е,,-...6в) = X И)12 Сг1...г/,1 • <4>

;?+...+г8 = гЩ+г

где Ш - целая часть числа к; С, , - коэффициенты д.п.

соответствующего порядка, умноженные на хЛ? £в(а =

1,...,5) -переменные Фурье. Число к обычно равно порядку аппроксимации. Для схем первого порядка аппроксимации Р(Ет,...,5в) есть ни что иное, как квадратичная форма. Она неотрицательна тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы, составленной из коэффициентов Сг } , неотрицательны. Для разностных схем повышенного порядка аппроксимации идея метода излагается для случая двух пространственных переменных. Условие (4) сводится к условиям (5):

_ о _

ГР,(г) = Ъ022ш + Ъ{г2п-'

* ... + Ь2т »о, (Ь 0 > о; ;

Р2(г) = Ъ^г2* + + ... + Ь0 » 0, (Ь 2)г> 0) ;

■т.е. задача о нахождении необходимых условий устойчивости сводится к тому, чтобы выяснить, при каких условиях на Ь( (1=0,...,2л) многочлены четных степеней Р((г) и ?2(г) неотрицательны. Здесь Ь{- ненулевые коэффициенты полинома Р(|,,С2). Алгоритм нахсвдения этих условий основан на двух теоремах из алгебры и -теории матриц (теорема о число различных действительных корней многочлена и теорема Дксби о сигнатуре квадратичной формы), из которых следует, что положительность полинома Р?(2) означает, что число постоянств знака совпадает с числом перемен знака в последовательности:

I, 50, Б,

5о

Зг 32

.....В

2п-1

50 3, ..

32 ' , (6)

5>2т-1

где (Р. = 0,...,4а - 2) - суммы Ньютона, вычисляемые по следующим рекуррентным формулам:

= 2я ,

= . * < 2«? (7)

где а{ = (-1){Ь4/Ь0 , ( = 1,...,2т .

Таким образом, получается набор систем неравенств, зависящих от Ъ{ = , з = 1,2. Так как т, Л

входят в Ь{ как правило в комбинациях а, = та^/.^, то полученные соотношения опсеяеляют в плоскости а.,а„ область,

* I ^

которой должны принадлежать с(,о2, чтобы необходимое условие (4) было выполнено. Далее, с помкцью программ графического комплекса ВЕКТОР эта область изображается в плоскости о ,а .

- 1С -

Повторив, в случае 5 (Я > 2) пространственных, переменных, соответствующее число раз данный алгоритм можно получить

условия устойчивости в виде соотношений на сг(,___,аз. Данный

алгоритм реализозан в комплексе программ БГРРАРРН.

Далее описызаегся получение аналитических формул на ЭВМ для дисперсии и диссипации разностных схем, ашроксимирунзяих уравнение (3), а также способ вычисления порядка аппроксимации. 3 формулы для дисперсии и диссипации е зависимости от порядка аппроксимации разностной схемы входят коэффициенты д.п. того или иного порядка.

В следующем параграфе списывается алгоритм приведения на ЭВМ нелинейных уравнений произвольного порядка к дивергентному виду. В одномерном случае задача о нахождении дивергентной записи выглядит так. Пусть дан многочлен ?

относительно функций и} = ^(х), J = 1.....и их

производных в виде конечного ряда:

где а пробегает некоторый набор натуральных чисел; поделке числа (в том числе я нуль), Да действительные числа, QJ - наибольший порядок производных от и^ в выражении ?. Требуется выяснить, существует ли многочлен О вида

такой, что Р = дй/дх, и в случав существования в найти его. Алгоритм нахождения 0 основан на дзух леммах. В первой перечисляются условия, которым должен удовлетворять Р, чтобы существовало а. Ео второй лемме устанавливается соответствие между членами выражений ? и С, что поззоляет разбить данную задачу на ряд независимых подзадач одинакового типа. Показано, что если с помощью алгоритма не удается построить

(8)

(9)

дивергентную запись, то последняя не существует. Данный алгоритм применяется при проверке необходимого условия консервативности разностной схемы, требующего дивергентность п.д.п., а также для более компактной записи д.п. Эти алгоритмы реализованы в комплексе программ АИРС.

В многомерном случав требуется найти выражения Ge (s =

I,...,S) такие, что F = ^ ôG /дх . Если существует диверген-

e=i е е

тная запись выражения F, то при некоторых услошях она не единственна. Описывается алгоритм, с помощью которого npiî некоторых ограничениях на F строится один из видов дивергентной записи. Приводятся величины, характеризующие количество различных видов дивергентной записи, которые можно построить с помощью алгоритма. Процесс построения выражений Gq мокно представить в виде дерева. Число таких деревьев равно 5!.

В третьей главе описывается комплекс программ DIFFAFPR для исследования разностных схем, аппроксимирующих уравнение переноса (3). Комплекс программ после анализа на ошибки исходной информации, записанной на входном языке, приводит разностную схему к Т - виду, строит требуемые д.п., определяет порядок аппроксимации, необходимые условия устойчивости, получает формулы для дисперсии и диссипации, а также ряд других характеристик разностной схемы. Взаимосвязь толовной программы комплекса программ и его 76 процедур дается в виде таблиц. С помощью комплекса программ был исследован ряд раз-костных схем, как одношаговых двухслойных и многослойных, так и многошаговых схем метода дробных шагов, в том числе и неявных. Приводятся примеры исследованных с помощью DIFFAÎPR разностных схем. Результаты сравниваются со свойствами, приведенными в других работах. В частности, для некоторых разностных схем были получены более точные необходимые, а в ряде случаев - и достаточные условия устойчивости. Приводятся рисунки с областями устойчивости некоторых исследованных разностных схем.

В четвертой главе даэтся описание комплекса программ ¿ИРС для исследования разностных схем, аппроксимирующих систему уравнений гиперболического типа. Комплекс программ

АИРС имеет достаточно удобный входной язык PC для записи исходной информации, з том числе, разностной схемы и системы уравнений в векторной или покомпонентной форме. Запись весьма близка по смыслу и написанию к символике, принятой в литературе яо численным методам. АИРС проводит анализ на ошибка исходной информации, приводит разностную схему к Т-виду, строит требуемые д.п., определяет порядок аппроксимации, прозеряет необходимое условие консервативности, записывает д.п. з более компактном виде. Комплекс программ АИРС состоит из головной программы и 153 процедур, взаимосвязь которых дается в виде таблиц. Приводятся примеры исследованных с помощью АИРС разностных схем, таких как схема leap-frog, неявной схемы типа предиктор-корректор с параметром, схемы Мак-Ксрмака, Лакеа, Балакина третьего порядка аппроксимации и другие, которые аппроксимируют а) уравнение переноса, б) систему уравнений акустики, в) систему уравнений нелинейной мелкой вода с постоянным иди переменным дном, г) систему уравнений для сферически симметрического течения газа, д) полную систему уравнений газовой динамики с учетом уравнений состояния.

В приложениях диссертации приведены таблицы, рисунки, дополнение к многомерному алгоритму приведения нелинейного уравнения произвольного порядка к дивергентному виду, некоторые результаты, полученные с помощью комплексов программ DIFiAPPR и АИРС, синтаксис входных языков для этих комплексов программ, список диагностических сообщений, а также пример записи исходной информации для АИРС на входном языке PC.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Сформулирована единая форма записи (Т - вид) класса разностных ехзм, подлежащих изучению на ЭВМ. В этот класс входят как одношаговые двухслойные и многослойные схемы, так и многошаговые схемы метода дробных шагов, в том числе я неявные.

2. Разработаны алгоритмы автоматического построения д.п. разностных схем из изучаемого класса схем.

аппроксимирующих в общем случае систему нелинейных многомерных уравнений гиперболического типа, в том числе, систему уравнений газовой, динамики. Алгоритмы учитывают уравнения состояния, заданные в виде произвольной Функциональной зависимости от тзрдшамических функций.

3. Разработан аналитико-численный метод нахождения на ЭВМ необходимых условий устойчивости разностных схем, аппроксимирующих многомерное уравнение переноса с постоянными когффгшентами.

4. Разработан алгоритм приведения на ЭВМ нелинейных уравнений произвольного порядка к дивергентному виду. Данный алгоритм применяется для проверки необходимого условия консервативности разностной схемы, а также для более компактной записи полученных на ЭВМ д.п.

5. Создан комплекс программ РЛТДРРН для исследования методом дифференциального приближения разностных схем, аппроксимирующих линейное уравнение переноса произвольной размерности с постоянными коэффициентами. Комплекс программ после анализа исходной информации на ошибки приводит разностную схему к Т - виду, строит д.п., определяет порядок аппроксимации и необходимые условия устойчивости, получает аналитические формулы для дисперсии и диссипации в терминах д.п., а также исследует ряд других характеристик разностной схемы.

6. Создан комплекс программ АМРС для исследования разностных схем, аппроксимирующих систему нелинейных уравнений гиперболического типа. Комплекс программ имеет достаточно удобный входной язык РС, позволяющий, в частности, записать разностную схему и систему уравнений в векторной или покомпонентной форме. Запись на входном языке весьма близка по смыслу и написанию к символике, принятой в литературе по численным методам. Комплекс программ после анализа не ошибки исходной информации приводит разностную схему к Т - виду, строит д.п., определяет порядок аппроксимации, проверяет необходимое условие консервативности, записывает д.п. в более компактном виде.

Автор выражает искреннюю признательность и благодарен научному руководителю и инициатору данной работы чл.-корр.

АН СССР Шокину Ю.И. за постановку задачи, постоянное Внимание и поддержку, а таете к.ф.-м.н. Федотовой З.И. за постоянную помощь в работе.

4. РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Насиров 21.X. Автоматизация построения дифференциальных приближений разностных схем: Препринт HZ, ч.2. - Красноярск, 1985, с.12-14, - В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

2. Нэслров 21.X. Комплекс програг.м для построения дифференциальных приближений разностных схем. - Дбп. в ВИНИТИ, .«3265 - В86. Деп. - 273 с.

3. Насирсв Ш.Х., Федотова З.И. Вычисление дифференциальных приближений разностных схем газовой динамики с помощью ЭВМ. - В кн.: Численный анализ и пакеты прикладных программ. - Красноярск, 1986, с. 127-135.

4. Насиров Ш.Х. Вычисление дифференциальных приближений на ЭВМ и применение их к исследованию устойчивости. - В кн.: Тез. докл. XVIII Регион, школы-конференции молодых ученых. Свердловск, 1987, с. 34-35.

5. Насиров Ш.Х» Зходной язык для комплекса программ исследования разностных схем. - В кн.: Численные методы механики сплошной среда. Тез. докл. I Школы молодых ученых. Шушенское, 1987, 4.2, С. 74-75.

6. Насиров Ш.Х. Вычисление ка ЗВМ дифференциальных приближений разностных схем.: Препринт >82. - Красноярск, 1987, с. II—14. - В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

7. Насиров Ш.Х. Использование языка Паскаль для программного обеспечения вычисления дифференциальных приближений - В кн.: Диалоговые системы в задачах управления. Новосибирск, 1987, с. 98-103.

8. Федотова З.И., Насиров Ш.Х. Об автоматизированном подходе к исследованию устойчивости разностных схем.- В кн.: Численный анализ и задачи интерпретации экспериментов. Красноярск, 1987, с. 146-155.

9. Федотова З.И., НзсироЕ Ш.Х. Об автоматизации исследования разностных схем газовой динамики.- в кн.: Гэз. докл. XXI Всесоюз. школы по автоматизации научных исследований.

Фрунзе, 1987, с. 140.

10. Fedotova Z.I., Naclrov Sh.fi. On computer-aided approach to Investigation of difference schemes of gas dynamics - In.: XVIII Symposium on Advanced proble:ns and methods In Fluid mechanics, Mragowo, Poland, 6 - 11 September, 1987, p. 188 - 189.

11. Насиров Ш.Х., Федотова З.К. Комплекс программ исследования разностных схем. - В кн.: Комплексы программ математической физики и архитектура ЭВМ. Красноярск, 1988. - с. 243-253.

12. Насиров Ш.Х. 00 автоматизации приведения одного класса многочленов к дивергентному виду. - В кн.: Численные метода механики сплошной среда. Тез. докл. II Школы молодых ученых. Абакан, 1989, ч.1, с. 145-14Б.

13. Насиров Ш.Х. Об одном алгоритме приведения нелинейных уравнений к дивергентному виду с помощью ЭВМ. - В кн.: Проблемы теоретической и прикладной математики. Тез. докл. XX Регион, школы-конференции молодых ученых. Свердловск, 1989, с. 31.

14. Насиров Ш.Х. Реализация входного языка разностных схем на Паскале. - В кн.: Диалоговые системы в задачах управления. Новосибирск, 1989, с. 102-107.

15. Насиров Ш.Х. Приведение нелинейных уравнений произвольного порядка к дивергентному виду с помощью ЭВМ.- В нн.: Вычислительные проблемы механики. Красноярск, 1989, с. 137 -I4S.

16. Насиров Ш.Х., Федотова З.И. Входной язык PC: Прегк ринт J63.- Красноярск, 1989,- 48 е.- В надзаг.: ВЦ СО АН CCS?-'.