Построение и анализ разностных схем на ЭВМ в символьном виде тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

1. Введение.

2. Глава I. АВТОМАТИЗАЦИЯ МЕТОДА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ

КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ

ОПЕРАТОРОВ НА ЭВМ.

§1. Общие определения и основные понятия.

§2. Некоторый способ задания шаблона.

§3. Приведение дифференциальных операторов к "простейшему" виду.

§4. Алгоритм для ЭВМ метода неопределенных коэффициентов.

§5. Примеры построения разностных аппроксимаций на ЭВМ.

§6. Результаты численного эксперимента.

3. Глава П. ПРИМЕНЕНИЕ СИМВОЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НА

ЭВМ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПРИЕЛИ

ГЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ.

§1. Основные понятия теории дифференциальных приближений разностных схем.

§2. Описание вычислительной схемы алгоритма получения дифференциальных приближений в случае одного уравнения.

§3. Некоторые особенности алгоритмов автоматизации получения п.д.п. в случае схем дробных шагов и систем уравнений.

4. Глава Ш. ПОЛУЧЕНИЕ И АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПРИ

БЛИЖЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ.

§1. Некоторые примеры автоматического получения дифференциальных приближений.

§2. Применение символьных преобразований на ЭВМ для получения п.д.п. двух разностных уравнений для решения задач теории упругости в скоростях и напряжениях.

§3. Численная методика определения границ области устойчивости разностных схем.

§4. Исследование с помощью п.д.п. одной разностной схемы для решения трехмерных нестационарных задач фильтрации двухфазной жидкости.

§5. Получение на ЭВМ п.д.п. разностных схем метода дробных шагов.

5. Глава 1У. РЕАЛИЗАЦИЯ НА ЭВМ АЛГОРИТМОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

НА СОВМЕСТНОСТЬ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

§1. Алгоритм 1.

§2. Алгоритм П.

§3. Некоторые особенности реализации алгоритмов на ЭВМ. III

§4. Общее описание комплекса программ.

§5. Описание входной и выходной информации. комплекса.

§6. Описание некоторых сосчитанных задач.

В настоящее время аналитические выкладки на ЭВМ нашли широкое применение в математике, физике и астрономии. Это обусловлено,прежде всего, значительным развитием вычислительной техники, а также разработкой новых нечисленных алгоритмов, наличием ряда алгоритмических языков программирования высокого уровня. К последним относятся, в частности, хорошо известные Фортран, Алгол, ПЛ/I и другие менее известные, но гораздо более пригодные для аналитических вычислений языки SN0&0L , ЛИСП, РЕФАЛ, SETL , PASCAL. , АНАЛИТИК и т.д. Сразу с появлением вычислительных машин были сделаны первые попытки использовать ЭВМ для работы с символьной информацией. Но слабость вычислительных машин ограничила применение аналитических выкладок на ЭВМ решением некоторых частных задач, и созданные в то время системы символьных вычислений не находили широкого применения.

Бурное развитие вычислительных машин сильно расширило сферы применения систем аналитических вычислений (CAB). Работы по применению аналитических вычислений на ЭВМ стали особенно актуальными в последнее время, когда сложность аналитических задач и трудность их решения достигли той границы, за которой использование ручного труда невозможно или слишком дорого. Созданные в последнее время системы аналитических вычислений находят все большее применение для решения широких классов задач физики и математики. Все существующие системы аналитических преобразований разделяют на три класса систем: универсальные, общего назначения и специализированные. Здесь мы очень коротко перечислим некоторые из этих систем, более подробное представление о различных видах CAB, об областях их применения, а также библиографию по данному вопросу можно надти в работах [1,20,61"].

К универсальным системам относятся, например, зарубежные Я&ЪиСЕ-З, MATLAb , MACS4MA , SCRATCHPAD , отечественная -АНАЛИТИК- 74. Системы MACS4M* , SCRATCHPAD являются наиболее мощными из существующих CAB и обладают подавляющим большинством аналитических операций, которые удалось реализовать на современных ЭВМ. Надо отметить, что большинство универсальных зарубежных CAB, таких как MACS4MA , SCRATCHPAD и др.,являются недоступными для их использования у нас в стране. К системам общего назначения относятся зарубежные - FORMIC , ALT RAN , SNMfcAL, отечественные - АВТО-АЕШИТИК, АЛЬКОР, САВАГ, АУМ. К специализированным CAB относятся зарубежные -SCHOONSCHIP, ASHMEDAI CLAM, САМАL , отечественные -Полиномиальный прораб, Полиномиальный Ассемблер, CAK-I, УПП, GRATos и др.

В данной работе рассматриваются две задачи, касающиеся применения аналитических выкладок на ЭВМ: а) построение и исследование разностных схем, б) исследование систем дифференциальных уравнений в частных производных на совместность.

Вопрос применения символьных преобразований на ЭВМ в теории разностных схем относится к нетрадиционным применениям символьных преобразований. По существу делаются лишь первые попытки автоматизации :при.*созданий-и использовании некоторых алгоритмов в теории разностных схем, в которых существуют громоздкие аналитические выкладки. Одной из основных задач теории разностных схем является задача о построении разностных аналогов дифференциальных уравнений. Существуют несколько подходов к решению данной задачи. К наиболее общим из них относятся [7,31,39,56,59]: а) метод разностных аппроксимаций, б) интегро-интерполяционный метод, в) метод неопределенных коэффициентов.

Однако они не используются в полной мере, потому, что как только возникает задача, связанная с большими аналитическими вычислениями, от них отказываются из-за трудностей,, ручной реализации, хотя конечный результат может быть компактным и удобным для пользования.

Процесс создания новых разностных схем и других численных алгоритмов нуждается в автоматизации, потому что задача создания схем высокого порядка точности, или создание модификаций существующих схем с повышением их порядка точности и другие задачи наталкиваются на большие символьные вычисления. Решение задачи автоматизации построения разностных схем было бы примером проведения аналогичной работы и в других областях численных методов. Ввиду сказанного, задача автоматизации символьных вычислений, связанных с исследованием и построением разностных схем, является актуальной задачей. Представленная работа показывает перспективность применения ЭВМ в этой области и в задаче исследования на совместность систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Теперь перейдем к обзору имеющегося в литературе небольшого количества работ, касающихся применения аналитических выкладок на ЭВМ для построения разностных уравнений. Отметим, что в литературе еще не сложилось какого-либо целостного взгляда на вопросы и проблемы применения аналитических выкладок на ЭВМ к задаче построения разностных уравнений [87}.

К одной из ранних попыток применения ЭВМ к вопросу о построении разностных уравнений относятся работы, касающиеся проблемы построения формул Рунге-Кутта высокого порядка [87]. Следующая работа [92] посвящена применению символьных преобразований на ЭВМ в методе неопределенных коэффициентов построения разностных операторов. Авторы на основе этого метода разработали получисленный алгоритм для получения семейства разностных аппроксимаций уравнения теплопроводности. Для облегчения больших вычислений, возникающих при использовании этого алгоритма, была применена система аналитических вычислений МкС&ЧМА . Авторы ограничились лишь элементарным применением данной CAB: они использовали ее только для решения системы линейных алгебраических уравнений, возникающей в этом алгоритме. В своих последующих работах [.82] авторы дали дальнейшее теоретическое усовершенствование предложенного ими алгоритма, ограничиваясь лишь упомянутым применением системы Mfc&SfiMK . В связи с этим заметим, что и само получение системы алгебраических уравнений также требует значительных усилий. Авторы, оставив проблему автоматизации этого процесса неразрешенной, ограничили возможность применения алгоритма в более общих случаях. Другой пример построения разностных уравнений с помощью ЭВМ изложен в работах [81,88]. Авторы строят конечно-разностные уравнения центрального типа для двухточечных граничных задач в случае обыкновенных дифференциальных уравнений с производными высокого порядка. Чтобы не сводить такие задачи к системам дифференциальных уравнений первого порядка, авторы используют CAB M^SVMb, которая автоматически составляет таблицы значений коэффициентов для приближений, требующих наименьшее число сеточных точек и ограничивающихся точностью десятого порядка. К одним из последних работ по данной тематике относятся [9,26,96}. В [96] описывается программа FIHFP , которая,используя систему , переводит нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных в линейное и строит конечно-разностные приближения. В работах £26,693 авторы разработали язык "BIS LAN , предназначенный для построения разностных схем дивергентного вида в символьной форме. Основой для построения разностных схем в этой работе служит метод опорных операторов [59^. Реализация языка ^lSLAN проводится на основе языка РЕФА1. Эта работа выполнена в ИПМ АН СССР.

В работе [65} описана структура и принципы работы автоматизированной системы построения и исследования разностных схем газовой динамики на основе метода дифференциального приближения.

В диссертации задача автоматизации построения разностных аналогов дифференциальных операторов методом неопределенных коэффициентов решена полностью для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами любого типа [ 9 ] . Одной из важных особенностей предлагаемого алгоритма для ЭВМ является возможность автоматического построения разностных уравнений на любых сеточных шаблонах. С этой целью был разработан некоторый общий способ задания для ЭВМ узлов шаблона как в регулярном, так и в нерегулярном случаях. В связи со сказанным отметим, что в упомянутой работе [92] также был предложен некоторый способ задания шаблона, но авторы ограничились лишь случаем построения двухслойных разностных схем для уравнения теплопроводности и вопрос об автоматизации этого способа затронут не был.

Следует отметить, что1ри реализации метода неопределенных коэффициентов зачастую получаются разностные схемы, зависящие от некоторых параметров. Как правило эти параметры можно выбирать из некоторых дополнительных условий, налагаемых на разностную схему. Например, из требования устойчивости, дивергент-нос ти, консервативности, монотонности и групповых свойств, простоты формул. Вопрос выбора параметров в диссертации не рассматривается, хотя можно отметить, что в работе [38"] описывается программа, которая исследование устойчивости разностных схем проводит автоматически. Эта программа была разработана в ИТПМ СО АН СССР и была присоединена к общему комплексу программ по построению и исследованию разностных схем, который рассматривается в диссертации.

Другим не менее важным применением символьных преобразований к теории разностных схем является автоматическое построение дифференциальных приближений разностных схем на ЭВМ. Получение различных дифференциальных приближений сопряжено с большими трудностями из-за громоздких вычислений при использовании этого метода. Поэтому автоматизация его существенно повышает эффективность исследования разностных схем этим методом.

Перечислим работы, посвященные вопросам автоматизации получения дифференциальных приближений с помощью символьных преобразований на ЭВМ. В работе [7б1 упоминается машинная система, использующая язык FORNIX для получения первых дифференциальных приближений (п.д.п.) разностных схем, аппроксимирующих скалярное линейное уравнение в частных производных. В [76] приведен анализ некоторых разностных схем для уравнения Ut+CUA=sO (о = const) с помощью п.д.п., полученных на ЭВМ. В [94] содержится очень краткое описание реализации еще одной системы машинного вычисления п.д.п. - системы AlTRAN. Согласно [94"], с помощью этой системы можно автоматически получать п.д.п. разностных схем для нелинейных систем в случае двух независимых переменных ж , "t . к сожалению, в [76,941 не содержатся сведения о машинных алгоритмах, о структуре программы, об организации символьных вычислений на ЭВМ. Кроме того, FORMIC И M-TRMA являются труднодоступными для пользователей у нас в стране.

В диссертации процесс получения дифференциальных приближений разностных схем также полностью автоматизируется [19*1. Этот метод реализуется в случае нелинейных дифференциальных уравнений с нефиксированным количеством независимых переменных и систем линейных уравнений в частных производных. Реализация этого метода была сделана у нас в стране впервые и совершенно независимо от приведенной работы [76].

Теперь остановимся на вопросе применения аналитических преобразований на ЭВМ в теории совместности систем дифференциальных уравнений в частных производных. Сначала коротко изложим историю вопроса. Теория совместности систем дифференциальных уравнений имеет много важных приложений. Одна из областей, где она нашла широкое применение, это дифференциальная геометрия [29,66}. Задача анализа на совместность возникает при поиске частично-инвариантных решений в групповом методе исследования частных решений систем дифференциальных уравнении [44]. Как обязательный элемент она присутствует и в методе дифференциальных связей [27,41,49,67,72].

Теория совместности отвечает на вопрос, имеет ли заданная система дифференциальных уравнений решение и каков произвол этого решения. Под произволом решения подразумевается произвол в выборе начальных данных в задаче Коши [66]. Существуют два алгоритма анализа на совместность, формулировка которых строго обоснована. Одним из них является алгоритм Картана, полное обоснование и полное изложение которого дано в [бб].

Другим является алгоритм, начальная формулировка которого дана Рикье, Жане,- Томасом и Риттом. Современное изложение его дано в работах Спенсера [90], Гольдсмита [781, Кураниши [83] и Поммаре [89]. Этот алгоритм назовем общим алгоритмом исследования систем дифференциальных уравнений в частных производных на совместность.

Трудоемкость аналитических выкладок при анализе на совместность конкретных систем дифференциальных уравнений, встречающихся в приложениях, вызывает необходимость применения для этой цели ЭВМ. В одной из самых ранних работ по аналитическим вычислениям [71], сообщается, что еще на ЭВМ "Стрела" работала программа, которая проводила некоторые отдельные выкладки, связанные с анализом на совместность. В дальнейшей работе была дана схема программы и выписаны формулы всех действий, которые должна проводить ЭВМ при анализе на совместность систем по Картану. В [3] сообщается о реализации на ЭВМ Алгоритма Картана в системе Авто-Аналитик [4]. Созданная программа считала задачи различного характера, но была не в состоянии конкурировать со специалистом,работающим "вручную" по величине решаемых задач. Несколько улучшенные характеристики имеет программа, описанная в работах [62,63].

Учитывая опыт 1редыдущих реализаций алгоритма Картана, в настоящей работе излагается впервые реализация общего алгоритма исследования на совместность. Созданный комплекс программ значительно превосходит по своим возможностям все предыдущие реализации. Лучшие возможности комплекса связаны не только со свойствами алгоритма, но также с реализацией автором некоторых приемов, которые использует математик, обладающий определенными навыками вычислений по указанному алгоритму. Следует отметить, что в обоих реализациях алгоритмов теории совместности [3,17,18] как идея, так и схема алгоритма для ЭВМ были предложены и разработаны В.П.Шапеевым. Ему также принадлежит идея моделирования в программе приемов математика-специалиста, что оказалось весьма эффективным принципом. Комплекс программ, включающий реализацию этих приемов, проводит анализ систем уравнений, для которого требуются значительные человеческие усилия. Например, трехмерные уравнения Навье-Стокса, система уравнений двойных волн в газовой динамике [46] и др. Теперь изложим краткое содержание диссертации.

В главе I рассматривается разработка единообразного формализованного алгоритма метода неопределенных коэффициентов для аппроксимации различных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на любых сеточных шаблонах с произвольным порядком и реализация этого алгоритма на ЭВМ с помощью языка символьных операций РЕФАЛ [6]. В § 2 дается некоторый общий способ задания узлов шаблона, позволяющий строить разностные аппроксимации для краевых задач. С этой целью было введено семейство параметров ol , с помощью которых легко описывать на ЭВМ как регулярные, так и нерегулярные сеточные шаблоны. § 4 посвящен описанию вычислительной схемы алгоритма, т.е. последовательности всех действий, которые испо^хняет ЭВМ в символьном виде при реализации алгоритма.

Хотя в настоящее время существует весьма обширная литература 'по построению и исследованию разностных аппроксимаций задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа (см., например, [8 , 28 , 57 , 14 , 39 , 42] и библиографические списки к ним), до сих пор не решена для указанных задач проблема построения разностных схем повышенного порядка точности в случае произвольной области с достаточно гладкой границей на неравномерной сетке. Это, прежде всего, связано с тем, что для построения разностных аналогов требуются большие выкладки, проведение которых вручную весьма затруднительно.

В § 5 приведены примеры автоматического построения коэффициентов разностных аппроксимаций задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа [12]. Рассмотрены все виды нерегулярных шаблонов в области с достаточно гладкой границей. Для них на ЭВМ получены новые разностные аппроксимации уравнения Лапласа в случае задачи Дирихле с порядком 0(1\), для которых выведены достаточные условия монотонности. Получена новая разностная аппроксимация условия Неймана на пятиточечном шаблоне порядка аппроксимации О О?), для которой также выведены условия монотонности. Приводится пример численного эксперимента решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Глава П посвящена применению символьных преобразований на ЭВМ для получения дифференциальных приближений разностных схем. В § I коротко изложены некоторые понятия, связанные с получением дифференциальных приближений разностных схем. В § 2 описана вычислительная схема полной автоматизации алгоритма получения дифференциальных приближений разностных уравнений как для линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений. В § 3 излагаются некоторые особенности алгоритмов автоматизации получения п.д.п. в случае схем метода дробных шагов и систем уравнений. Следует отметить, что автоматизация вычисления п.д.п. схем с дробными шагами для нелинейного уравнения является алгоритмически наиболее сложной, и соответствующий алгоритм реализован впервые.

В главе Ш изложены примеры автоматического получения п.д.п. и их последующего использования для исследования различных свойств разностных схем: устойчивости, диффузии и инвариантности. В §1 приводятся некоторые тестовые примеры, полученные на ЭВМ. Вычисленные автоматически п.д.п. сравниваются с известными в литературе. В §2 приводятся примеры применения ЭВМ для получения п.д.п. двух разностных уравнений для решения задач теории упругости в скоростях и напряжениях и проводится некоторый анализ. В §3 достаточно детально описывается аналитическо--численная методика анализа устойчивости и диффузии разностных схем и их п.д.п. для многомерных задач. Следует заметить, что число работ, посвященных численному исследованию устойчивости разностных схем, сравнительно невелико. Не претендуя на полный обзор этих работ, приведем некоторые из них [55,79,77], в которых в случае одного уравнения приведены количественные данные и графики, характеризующие устойчивость. Отличительной особенностью излагаемой в § 3 методики является то, что она разработана для исследования разностных схем, аппроксимирующих системы уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Методика продемонстрирована для двух разностных схем, аппроксимирующих систему двумерных уравнений акустики. Полученные области устойчивости для указанных схем как на основе п.д.п., так и на основе самих разностных схем, совпали с известными теоретическими результатами по исследованию устойчивости указанных схем.

В § 4 приводится пример исследования инвариантности относительно преобразования поворота с помощью п.д.п. одной разностной схемы для решения трехмерных нестационарных задач фильтрации двухфазной жидкости. Сделан вывод о том, что рассматриваемая схема неинвариантна; инвариантность достигается в частном случае постоянного вектора скорости фильтрации.

В § 5 изложены некоторые примеры, полученные на ЭВМ, п.д.п. ряда схем метода дробных шагов.

Результаты исследования этих систем на ЭВМ для случая к = 2 приведены в таблице.

Номера уравнений Характеры Картана <t Наличие соотношений Инволю-тивность

6 ег,= з 0 3 нет да

6, 7 6",= 2 = 0 2 нет да

6, 7, 8 5,= I б4= 0 I нет да

6, 7, 8, 9 <э< = 0 <5г= 0 0 нет да

6, 8, 9 I <эг= 0 I нет да

6, 10 2 о I нет да

6, 7, 10 I 6j,= 0 0 нет да е) Уравнения Навье-Стокса ■Ц - ч) ьи -v Си, VU ) = $ - 1 cjtaol "Р cUir и -О.

Из требования выполнения первого условия инволютивности возникло соотношение:

Система (II) находится не в инволюции. После присоединения к уравнениям (II) соотношения <12) полученная система стала в инволюции. Характеры Картана равны <э = 15, <э0— II,

4- 1 . А е3 = 6, <эд= о и т = 55,

2. Обратная задача.

При нахождении частных решений методом дифференциальных связей к системе уравнений, описывающей одномерное движение газа с плоскими волнами в лагранжевых переменных at га

1Y. iiL п (13)

Н ~ ^ej, Q> lat зс), присоединяются различные дифференциальные связи \50 J. На ЭВМ были досчитаны все варианты дифференциальных связей первого порядка. Полученные соотношения совпадают с опубликованными в [50] результатами. Например, после присоединения к системе (13) одной дифференциальной связи вида

Щ + М (p,v) С14) для того, чтобы система СТ35, (J4) была в инволюции, необходимо и достаточно выполнения соотношений

М-А

ЭЧ 11 Зр ър

Аналогичная работа проделана для системы уравнений, описывающей одномерное .движение газа в эйлеровых переменных.

Одним из этапов завершенности создания программы считаем полученные на ЭВМ уравнения двойных волн двумерной газовой динамики политропного газа (изэнтропическое течение). Предполагая зависимость скорости звука С от скорости Ve-Wl,^) в виде С-^&^ь) » имеем: для того, чтобы полученная система уравнений была в инволюции, необходимо и достаточно выполнения соотношения

- 1) + a (V - +0=о, где Ч^ = » Ч*. j = -^r-^j. • Это соотношение, полученное на ЭВМ, совпадает с результатами [4б] • На ЭВМ также исследовалась на совместность система уравнений трехмерной газовой динамики, с присоединенной к ней дифференциальной связью (tot of ^ = о, где S - энтропия, V - скорость, р - плотность газа,и уравнение состояния совершенного газа задано в виде P^kCs^ с произвольной функцией А С

Бело получено: = 5, б*г= 5, = 4, 6^= О, <Т = 27. Новых соотношений нет. Тем самым, полученная система находится в инволюции с характерами Картана = I, 2, 3, 4 и дифференциальный инвариант = ( tot v , ) = о . является дифференциальной связью первого порядка.

Эти две последние задачи являются наиболее объемными и требуют значительного труда математика, их удалось- сосчитать только тогда, когда в программу были заложены некоторые принципы, которма поль&^ет&я математик и которые были описаны в £ . Опишем теперь некоторые сосчитанные примеры решения ъи задач по алгоритму 2. Введем обозначения р• Следующие цримеры были взяты из [32] р,+ Х.рьЧ- «о, р, - Ра + аз^ос^рц.

2x5f^-bocfp5 = o

Результаты расчетов совпали с приведенными в [32] ответами. В первом примере возникает новое сравнение р5+ ^ р^=о, и произвол равен одной функции от одного аргумента. Во втором примере возникает уравнение pi+p2>-x1(p3+pif)=o» произвол равен одной функции от одного аргумента. В третьем примере возникают три новых уравнения, и система имеет только тривиальное решение. Все описанные ниже цримеры представляют собой случай решения обратной задачи.

В [51] при изучении вопроса о существовании промежуточного интеграла возникла система ctfi- Ьяг^о,

Ub C^e^-Cap + cHp^o. Функции a, Ь , с зависят от ас., ij ,2. . Вычисления показывают, что

Требование того, что система полная, дает соотношения на коэффициенты

Цц-аЬ-Сг.^0, аг=о. Добавим к исходной системе новое уравнение в виде L*(v)e m (aJ^a^E^QOVp^o,

0.^, Ьл » с1 зависят от ос. , у , "г. . Случай, когда [L^La,] линейно не зависит от Ьл , Lz , L5 является частным по отношению к данному. Получаем

U.Ul

0. Коммутанты [LZ L J] , [L^Lj имеют ненулевые коэффициенты только при 1Гр . Поэтому они линейно зависят от исходных уравнений. Т.е. расширенная система полная и при любых коэффициентах допускает однофункциональный произвол.

Рассмотрим систему, возникшую в [J54 ]

UOfO^p-^0 функции Q^, а22»а£, зависят от х^ , оса. После продолжения с помощью скобок Пуассона имеем новое уравнение

Если обозначить

Ll (Ч>) = о^^ + + +oL р+= о, то минор К* Цо . Для того, чтобы исходная система была полной, необходимо положить

С^и о ol1b ol^ oi 1S oil5- и — <^•24 "=• 0

4ь -Цм cL3s

Вычисления показывают, что первый оцределитель тождественно равен нулю. Второй и третий равны ЧОМ"^)» р> , соответственно, где

В итоге имеем одно соотношение на коэффициенты Cl^fa^-C^e) -= 0. Другой случай, когда Ц^, Lb независимы, приводит к двум соотношениям на коэффициенты, которые очень громоздкие. Но для работы с ними может быть использована ЭВМ. Рассмотрим систему уравнений t (W А л ЭЧ> \ \ ЭЧ> п ЭФ возникшую в [541 при изучении уравнений Мошка-Ампера. Функции » ^zit ^ » ( i. =s I, 2) зависят от х^ , х^ . Расчеты показывают, что L^ii'^j] ^ 0 при , и требование того, чтобы система допускала однофункциональный произвол в решении цриводит к одному соотношению, довольно-таки громоздкому.

Время счета всех приведенных в этом параграфе примеров было в пределах от 10 секунд до 10 минут на ЭВМ БЭСМ-6.

В заключении этой главы отметим, что с помощью описанного комплекса црограмм сосчитано значительное количество примеров, получено несколько новых результатов, достижение которых от человека потребовало бы значительных усилий. А также была показана возможность реализации на ЭВМ сложных алгоритмов аналитических выкладок и эффективность применения ЭВМ для анализа на совместность систем уравнений в частных цроизводных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Осуществлена полная автоматизация символьных вычислений при построении разностных уравнений, по разработанному алгоритму основанному на методе неопределенных коэффициентов, для произвольных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. С помощью ЭВМ построено семейство новых монотонных разностных схем в случае неравномерной сетки повышенной точности решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа в области с достаточно гладкой границей.

2. Разработаны алгоритмы автоматического построения дифференциальных приближений разностных схем как в целых, так и дробных шагах для скалярных нелинейных дифференциальных уравнений, а также схем в целых шагах для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных.

3. Разработана аналитическо-численная методика исследования устойчивости и диффузии разностных схем, аппроксимирующих системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных.

4. Создан комплекс программ, реализующий методы исследования на совместность систем дифференциальных уравнений в частных производных, применяемые при нахождении частных решений этих уравнений.

1. Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике. - Дубна.: ОИЯИ, 1980. - 187 с.

2. Анучина Н.Н. Некоторые разностные схемы для гиперболических систем. Тр. МИАН СССР им.В.А.Стеклова, 1966, т.74, с.5-15.

3. Арайс Е.А., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Реализация метода внешних форм Картана на ЭВМ. Докл. АН СССР, 1974, т.214, £ 4, с. 737-738.

4. Арайс Е.А., Сибиряков Г.В. Авто-Аналитик. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973. - 284 с.

5. Ахо А., Хопкрофт Дни, Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979. - 535 с.

6. Базисный РЕФАЛ и его реализация на вычислительных машинах. (Методические рекомендации). М.: ЦНИПИАСС, 1977, вып.4-40.

7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1 М.: Наука, 1966. - 632с,-т.2 - М.: Физматгиз, 1962, - 639 с.

8. Валиуллин А.Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики. Новосибирск: йзд-во НГУ, 1973. -138с.

9. Валиуллин А.Н., Ганжа В.Г., Мурзин Ф.А., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Применение символьных преобразований на ЭВМ для построения и анализа разностных схем. Новосибирск, 1981. - II с. (Препринт / Института теоретической и прикладной механики, № 7).

10. Валиуллин А.Н., Ганжа В.Г., Мелешко С.В., Мурзин Ф.А.,

11. Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Символьные преобразования в методах решения задач математической физики. В кн.: Комплексы программ математической физики. - Мат. УП Всесоюзн.сем.по компл.программ мат.физ., Новосибирск, 1982, с. 123-129.

12. Валиуллин А.Н., Ганжа В.Г., Ильин В.П., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Задача автоматического построения и исследования на ЭВМ разностных схем в аналитическом виде. Докл. АН СССР, 1984, т.275, ВЗ, с. 528-532.

13. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963, - 482 с.

14. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982. - 254с.

15. Ганжа В.Г., Мурзин Ф.А., Шапеев В.П. Два алгоритма вычисления в символьном виде определителем разреженных матриц и их реализация на ЭВМ. Новосибирск, 1980. - 14с. (Препринт / Института теоретической и прикладной механики, № 24).

16. Ганжа В.Г., Мурзин Ф.А., Шапеев В.П. Реализация алгоритма скобок Пуассона на ЭВМ. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1981, т.12, J£ 4, с. 48-52.

17. Ганжа В.Г., Мелешко С.В., Мурзин Ф.А., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Реализация на ЭВМ алгоритма исследования на совместность систем уравнений в частных производных.-Докл. АН СССР, 1981, т.261, В 5, с.1044-1046.

18. Ганжа В.Г., Мелешко С.В., Мурзин Ф.А., Шапеев В.П.,Яненко Н.Н. Анализ на совместность систем дифференциальных уравнений на ЭВМ. Новосибирск, 1982, - 28с.(Препринт / Института теоретической и прикладной механики, 1 20).

19. Ганжа В.Г. Применение символьных преобразований на ЭВМ для нахождения дифференциальных приближений разностных схем. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1983, т.14, 1Ь 2, с.39-44.

20. Герд В.П., Тарасов О.В., Ширков Д.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике. -Успехи физических наук, 1980, вып. I, т. 130, с.ПЗ-148.

21. Годунов С.К. Уравнения математической физики.- М.:1. Наука, 197I. 416 с.

22. Голубцов Б.И., Ильин В.П. 0 разностной аппроксимации уравнения Пуассона на неравномерных прямоугольных сетках.- Сиб.мат.журн., 1978, т. 19, JS 3, с. 564-570.

23. Горский Н.Н. О некоторых разностных схемах для решения основных граничных задач математической теории упругости. -Дис. канд.физ.-мат.наук. Новосибирск, 1975, - 114 с.

24. Данилов В.Л., Кац Р.Н. Гидродинамические расчеты взаимного вытеснения жидкостей в пористой среде. М.: Недра, 1980.- 264 с.

25. Дайковский А.Г., Чудов Л.А. Влияние схемных факторов прирасчете следа за плохо обтекаемым телом.-В кн.*. Численные методы механики сплошной среды-, Новосибирск, 1975, т.6, 5, с. 34-44.

26. Ефимов Г. Б.,'Типикин В.Ф., Шашков М.Ю., Щенков PL Б. Автоматизация программирования операторных разностных схем. М.: 1982, - 22 с. (Препринт / Института приклад^ ной. мат ематики им. М. В.Делдыша, № 20).

27. Жижин А.Е. Некоторые вопросы теории метода дифференциальных связей для гиперболических систем уравнений. Дис. . канд.физ.-мат.наук. - Новосибирск, 1979. - 104 с.- 139

28. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики гг- Новосибирск: Наука, 1974. 203с.

29. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М.: Изд-во МГУ, 1962. - 252с.

30. Катков B.J1., Костюкова Н.И. Вычисление группы с помощью ЭВМ. В кн.: Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, Наука, 1975, с.257 -262.

31. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512с.

32. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966.- 260 с.

33. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. - 447 с.

34. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы.-М.: Мир, 1964. 350 с.

35. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Лекции для студентов НГУ. Новосибирск, 1972.- 128 с.

36. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.: Наука, 1968. 720 с.

37. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Изд-ие 7-е. М.: ГИФМЛ, 1962. 431 с.

38. Мазурик С.И. Применение ЭВМ для исследования устойчивости разностных схем систем дифференциальных уравнений. -В кн.: Материалы XX Всесоюзной студенческой конференции, математика. Новосибирск, 1982, о.41-45.

39. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 455 с.

40. Мазный Г.Л. Программирование на БЭСМ-6 в системе "Дубна".- М.: Наука, 1978. 272 с.- 14 0

41. Мелешко С.В. Решение волновых задач динамики неупругой сплошной среды методом дифференциальных связей. Дис. . канд.физ.-мат.наук. - Новосибирск, 1979. - 158 с.

42. Микеладзе III.Е. Избранные труды. T.I Тбилиси: Мецниереба, 1979. - 324 с.

43. Леви Б.И., Зайдель Я.М., Санкин В.М. О методе снижения ориентационной погрешности при численном моделировании диффузной фильтрации. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. Б.и., 1978, т.9, $ 6, с.105-114.

44. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. - 399с.

45. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. Перев. с англ. М.: йзд-во иностр.лит., 1963. - 219 с.

46. Погодин 10.Я., Сучков В.А., Яненко Н.Н. О бегущих волнах уравнений газовой динамики. Докл. АН СССР, 1958, т.119, В 3, с. 443-445.

47. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. - 392 с.

48. Пухначев В.В. Неустановившиеся движения вязкой жидкости со свободной границей, описываемые частично инвариантными решениями уравнений Навье-Стокса. В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1972, вып.10, с.125-137.

49. Распопов В.Е. Метод дифференциальных связей и некоторые аналитические исследования систем уравнений в частных производных. Дис. . канд.физ.-мат.наук. - Новосибирск, 1975, - 123 с.

50. Распопов В.Е., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Д свойства систем уравнений симметричных течений газа. - Докл. АН СССР, 1979, т.244, Ш2, с. 308-311.

51. Распопов В.Е., Шалеев В.П. К вопросу о существовании промежуточных интегралов. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1970, т.1, Ш, с.76-81.

52. Резников И.Г., Стелецкий В.И., Топунов В.Л. Некоторые стандартные Рефал-функции. В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции по методам трансляции. Новосибирск; ВЦ СО АН СССР, 1981, с.177-179.

53. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. - 418 с.

54. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978. - 687 с.

55. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.- 616 с.

56. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. - 552 с.

57. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

58. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. 2-е издание. М.: Наука, 1980. - 352 с.

59. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы. Диф.уравнения, 1981, т.17, W, с. 1317-1327.

60. Саут Дж.К., Келлер Дж.Д., Хафез М.М. Алгоритмы расчета трансзвуковых течений на многопроцессорных ЭВМ. Ракетн. техника и космонавтика. Москва, 1980, т.18, F7, с.209-217.

61. Семенов A.JL Анализ и реализация алгоритмов аналитических преобразований на ЭВМ. Дис. . канд.физ.-мат.наук.- Новосибирск, 1981, 171 с.

62. Топунов ВЛ. Определение совместности и вычисления произвола решения системы дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ. В кн.: Вычислительная математика и математическая физика. Москва, 1975, вып.З

63. Топунов В.Л. Применение ЭВМ к исследованию пфаффовых систем. Численные методы механики сплошной среды Новосибирск, Б.и., 1983, т.14, №% с. 150-158.

64. Тимошенко С.П., Тудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - 560с.

65. Федотова З.И., Шокин Ю.И. Автоматизированная система построения и исследования разностных схем. Красноярск, 1983. - 21с.(Препринт /Вычислительного центра, ЖЕ5).

66. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432с.

67. Шалеев В.П. Применение метода дифференциальных связей к системе одномерных уравнений динамики неупругбй сплошной среды. Дис. . канд.физ.-мат.наук. - Новосибирск, 1974, - 96 с.

68. Шокин Ю.И Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука, 1979. - 222с.

69. Щурыгин В.А., Яненко Н.Н. 0 реализации на электронных вычислительных машинах алгебраическо-дифференциальных алгоритмов . В кн.:Проблемы кибернетики. 1961, вып.6,с.33-42.

70. Яненко Н.Н. Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных. -В кн.: Труды 1У Всесоюзного математического съезда. Л.: Наука, 1964, т.2, с. 247-259.

71. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, Наука, 1967. -195с.

72. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И., Тушева Л.А., Федотова З.И. Классификация разностных схем одномерной газовой динамики методом дифференциального приближения. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1980, т. II, }£ 2, с. 123-159.

73. Chan T.F. Stability analysis of finite difference schemes for the advection-diffusion equation.-SIAM J. Numer. Anal., 1984,v.21 ,N«.2, p. 272-284.

74. Goldschmidt H. Integrability criteria for systems of non linear partial differential equation.-J. Differential geometry, 1969,N6. 1,p. 269-307.

75. Grammeltvedt A. A survey of finite-difference schemes for the primitive equations for a barotropic fluid.-Monthly Weather Review, 1969,v.97,No. 5,p.384-404.

76. Keller H.B., Pereyra V. Symbolic generation of finite diffe- . rence formulas.-Mathematics of Computation,1978,v.32.NeJ44, p.955-971.

77. Khalil H.M. ,Ulery D.L. A,-.semi-numeric difference algorithm.-Lecture Notes in Computer Science,1979,v.72,p.177-188.

78. Kuranishi M. Lectures on involutive systems of partial differential equations.- Publ.Soc.Math. Sao Paulo,19^7.-77p.

79. Lax P.D.,Wendroff B. Difference schemes for hyperbolic equation with high order of accuracy.- Comm.Pure Appl.Math.,1964, v. 17, Na3, p. 38Л -398.

80. Lerat A.,Peyret R. Proprietes dispersives et dissipatives d'une classe.de schemas aux differences pour les systemes hyperboliques non lineaires.- La Recherche Aerospatiale, 1975,No.2,p.61-79.

81. MacCormack R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering.-AIAA Paper, 1969, No. 354, 6 p.

82. Ng E.W. Symbolic Numeric Interface: A Review.- Lecture Notes in Computer Science, 1979, vol.72, p.330-343.

83. Pereyra V. Finite difference solution of two-point boundary value problems and symbolic manipulation.-Lecture Notes in Mathematics, 1978, vol.630, p.133-143.

84. Pommaret J.F. Systems of partial differential equation and Lie pseudogroups.-Paris:College de Prance, 1978.-411 p.

85. Spencer D.C. Overdetermined systems of linear partial differential equation.-Bull.Amer.Math.Soc.,1965, vol.75,p.1-114.

86. Todd M.R.,.0'Dell P.M., Hirasaki G.J. Methods for increased accuracy in numerical reservoir simulation models.-Soc.Pet.Eng. J. , 1972, Ho.12, p.515-530.

87. Ulery D.L., Khalil H.M. Symbolic/numeric algorithms for partial difference equation.-Proceedings of the 1976 ACM SYMSAC, Yorktown Heights, 1976, p.377-381.

88. Valiullin A.N., Ganzha V.G., Meleshko S.V., Murzin F,A., Shapeev V.P., Yanenko N.N. Symbolic manipulations in the methods of mathematical physics.-In: Mathematics for Computer Science, Proceedings of Symposium, Paris, 1982, p.431-438.

89. Warming R.F., Hyett B.J. The modified equation approach to the stability of finite-difference methods.-J.Comput. Phys., 1974, vol.14, No.2, p.159-179.

90. Wilson J.C. Stability of Richtmyer type difference scheme; in any finite number of space variables and their comparison with multistep Strang schemes.-J.Inst.Math, and Its Applications, 1972,^10, Ha2, p.238-257.

91. Wirth M.C. Automatic generation of finite difference equation and Fourier stability analyses,-Proceeding of th 1981 ACM SYMSAC, Snowbird, 1981, p.73-78.