Границы устойчивости разностных схем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им М В ЛОМОНОСОВА

на правах рукописи

и1-"- I

Ильютко Виктор Петрович

УДК 519 63

ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Специальность 01 01 07 - Вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003069362

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им М В Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Гулин Алексей Владимирович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Галанин Михаил Павлович

кандидат физико-математических наук, доцент Федотов Михаил Валентинович

Ведущая организация — Институт математического моделирования РАН

Защита диссертации состоится ' " 200^г в /5~ час ЪО

мин на заседании диссертационного совета Д 501 001 43 при Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-ой гуманитарный корпус, ВМиК, ауд £

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ

Автореферат разослан "_"_ 200_г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501 001 43

доктор физико-математических наук _ / профессор ^cc-îCc

M Е В Захаров

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности в случае неравномерных пространственных сеток, которые покрывают одномерные и двумерные области

Известно, что некоторые модели физических процессов описываются с помощью дифференциальных уравнений, для которых не всегда можно выписать решение в явном виде В этом случае решение определяется приближенно строится разностная схема, которая аппроксимирует исходную дифференциальную задачу, решение, полученное с помощью разностной схемы, есть приближенное решение исходной задачи Наряду с построением схем возникает задача об исследовании данной схемы на устойчивость, те определение условий на параметры схемы, при которых численно полученное решение является корректным При исследовании устойчивости необходимо решить ряд вопросов Это связано с тем, что устойчивость зависит как от аппроксимации основного уравнения, так и от введенной сетки Устойчивость влияет па количество ресурсов (машинное время, количество памяти и тд), которые нужно затратить для достижения необходимого результата Поэтому при ослаблении условий устойчивости появляется возможность добиться уменьшения затрат для нахождения численного решения поставленной задачи

В работах А А Самарского1,2 получены необходимые и достаточные условия устойчивости разностных схем Эти условия пишутся как операторные неравенства, где операторы порождены исходной задачей В некоторых случаях операторные неравенства сводятся к решению задачи на собственные значения

Представляет интерес исследование вопросов, которые относятся к теории разностных схем с операторными весовыми множителями, записанными на неравномерных сетках Такими схемами можно аппроксимировать достаточно широкий класс задач математической физики Что касается неравномерных сеток, то они применимы для более детального получения решения в некоторой части исходной области Также можно использовать квазиравномерные сетки (Самарский А А , Калиткин Н Н) Квазиравномерные сетки легко адаптируются для широкого класса задач в неограниченных областях и позволяют использовать возможности метода сгущения сеток За счет сгущения таких сеток удается получить оценку погрешности и повысить порядок точности

При написании разностной схемы в двумерных областях появляются проблемы с покрытием области сеткой, т к не для каждой непрямоугольной

1 Самарский А А Классы устойчивых схеч//ЖВиМФ 1967 Т7 Л°5 С 1096-1133

2 Самарский А А О регутяризации разностных схем//ЖВиЧФ 1967 Т7 Л1! С 62-93

области существует равномерная прямоугольная сетка

Предметом настоящей работы являются вопросы, связанные с исследованием схем на устойчивость Рассматриваемые схемы - это схемы, записанные на неравномерных сетках, и схемы с операторными весовыми множителями Исследовать на устойчивость - значит отыскать границу устойчивости данной схемы Под границей устойчивости понимается такое значение какого-то сеточного параметра, который разделяет области устойчивости и неустойчивости Для некоторых схем таким параметром является шаг по времени г Можно определить, что граница устойчивости - это такое значение то, что при 0 < г ^ то схема устойчива, а при т > То схема неустойчива Ввиду множественности сеточных параметров получаем, что граница устойчивости является функцией многих переменных Под термином увеличение запаса устойчивости будем понимать увеличение значения границы устойчивости разностной схемы

В диссертации исследуются схемы, записанные на сетках с двумя и тремя различными шагами, т е имеющие неравномерность вблизи одного или двух концов отрезка Строятся границы устойчивости для схем с различными распределениями весовых множителей Также рассматриваются схемы для двумерных уравнений, записанных в непрямоугольных областях, и изучается устойчивость этих схем

Цель работы Целью работы является построение таких сеток, неравномерных вблизи концов отрезка, чтобы разностная схема, записанная на данных сетках, обладала наибольшим запасом устойчивости (наибольшей границей устойчивости) Также целью работы является выяснение влияния на устойчивость весовых множителей совместно с неравномерностью сеток

Для схемы, которая аппроксимирует двумерное уравнение теплопроводности в непрямоугольной области, цель работы состоит в исследовании устойчивости в зависимости от геометрии области и от введенной сетки, покрывающей область Предметом исследования является обоснование выбора сеток с точки зрения увеличения запаса устойчивости Научная новизна:

1 Получены оценки спектра разностного оператора второй производной в зависимости от рассматриваемых неравномерных сеток

2 Найдено множество одномерных неравномерных сеток, на которых разностная схема обладает ббльшим запасом устойчивости по сравнению со схемами, записанными на равномерной сетке с тем же числом узлов

3 Для разностной схемы, которая аппроксимирует двумерную задачу в непрямоугольной области, найдена оценка снизу границы устойчивости

Апробация работы Результаты работы докладывались на научной конференции "Тихоновские чтения" в г Москве, 2004г, 2005г, на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "ЛОМОНОСОВ 2005" в г Москве, 2005г, "ЛОМОНОСОВ 2006" в г Москве, 2006г, на международной конференции "Тихонов и современная математика" в г Москве, 2006г, а также на семинарах кафедры Вычислительных методов факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им М В Ломоносова

Публикации Основные результаты опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата

Содержание, структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, используемой автором, и содержит 121 страницу

Каждая глава разбита на параграфы, которые состоят из разделов В разделах приводятся описание и вывод результатов диссертации Основное содержание диссертации

Изложим основное содержание и результаты, полученные в данной диссертации

Во введении обозначен круг задач, которые исследовались другими авторами, а также сформулированы проблемы, которые рассматриваются в диссертации, приводятся основные подходы к анализу поставленных проблем Приведен обзор литературы, используемой в диссертации

Первая глава содержит три параграфа, в которых излагаются постановка, анализ задачи, подход к исследованию и результаты анализа (аналитические и численные)

Она посвящена рассмотрению разностных схем для задачи на собственные значения и"(х) = —Хи(х), 0 < х < I, с граничными условиями первого и второго рода, а также со смешанными граничными условиями Решение данной дифференциальной задачи находится в явном виде Хорошо известны и изучены разностные схемы на равномерных сетках и такие вопросы, связанные с численным решением, как аппроксимация и сходимость В этой главе основной упор делается на анализ схем, записанных на неравномерных сетках Анализ состоит в исследовании спектра разностного оператора, записанного на неравномерных сетках, выяснении влияния сеток на границы спектра и нахождении неравномерных сеток таких, чтобы максимальное собственное значение разностной задачи было минимальным

Основная цель - построение неравномерных сеток, на которых максимальное собственное значение разностной задачи будет меньше

максимального собственного значения разностной задачи, записанной на равномерной сетке с тем же числом шагов

Неравномерную сетку, на которой максимальное собственное значение разностной задачи достигает минимума, будем называть наилучшей (оптимальной)

В главе получены аналитические и численные оценки границ спектра разностной задачи, записанной на введенных неравномерных сетках

Остановимся подробнее на описании содержания первой главы по параграфам

В первом параграфе рассмотрена дифференциальная и численная постановка проблемы, введены необходимые определения, сформулированы утверждения, которые непосредственно используются далее Для постановки проблемы приведены необходимые понятия, введенные другими авторами

В разделе 111 рассматриваются дифференциальные задачи на собственные значения

и"(х) = -Хи(х), 0 < х < I, и{0) = и{1) = 0 (1)

и

и"(х) = —Хи(х)у 0 < X < I, и'(0) = и'{1) = 0 (2)

и исследуется их разностная аппроксимация

Также исследуется разностная схема, в которой на одном из концов отрезка пишется граничное условие первого рода, а на другом конце задано граничное условие второго рода

Далее в разделах 1 1 2 и 113 приводится разностная аппроксимация задач (1) и (2) на неравномерных сетках с шагами hi, h2, , h^j

Доказаны леммы, утверждающие существование различных неравномерных сеток, на которых спектры разностной задачи, аппроксимирущей задачу (1) или (2), совпадают Например, имеет место

Лемма 1. Замена сетки с шагами (/jj, h2, , tía сетку с шагами (/гдг, /i/v-i, ,h{) оставляет неизменным спектр оператора, который порождается разностной задачей

В работах А А Самарского показано, что исследование устойчивости разностных схем сводится к проверке некоторого операторного неравенства Для проверки такого операторного неравенства полезно знать границы спектра соответствующего разностного оператора Поэтому во втором параграфе исследуются разностные задачи на собственные значения, аппроксимирующие дифференциальные задачи, решения которых найдены в аналитическом виде Исследование состоит в теоретическом и численном

определении границ спектра разностных операторов в зависимости от введенной неравномерной сетки ш/,

Разделы 12 1 и 12 3 посвящены получению аналитических оценок спектра задачи на собственные значения

Ухх,г = 1 = 1>2' ,-¡V - 1, 2/о = = О, (3)

которая аппроксимирует задачу (1), записанную на различных семействах сеток, имеющих неравномерность вблизи одного или обоих концов отрезка, и на квазиравномерных сетках Здесь

_

УXX,г- Гк

Уг+1 - Уг Уг ~ Уг-1

/11+1 /г,

- вторая разностная производная, записанная на неравномерной сетке с шагами /г,, где Нг = 0 5(/г, + /г,+х)

В разделах 1 2 2 и 1 2 4 получены аналитические оценки спектра задачи на собственные значения

Ухх г = г = 1'2> - 1,

Ух, о , 2/гл , (4)

Ш = " 2/01 05^ =

которая аппроксимирует задачу (2), записанную на различных семействах неравномерных сеток Рассматривается также случай смешанных граничных условий

Уххл ~ г — ,N-1,

л \ (5)

В этих разделах получена следующая оценка сверху для собственных значений

х х, п\ ^ а\ ^2 + 2/11 2 4 Ь,г + 2/гдт 2 ^

где /11 = /ц(а) = /г, = /г2(а,/?), г = 2,3, , Ж - 1, и /гдг = М/З) = ^

- шаги сетки шн(а,Р) такие, что ^ ^ = I Здесь а и ¡3 - положительные

1=1

N - а

параметры такие, что а + {3 < N При ¡3 = _ ^ сетка ¿^(а,/?) с

тремя различными шагами переходит в сетку ¿¡>д(а) с двумя различными шагами Данные сетки ши{а) и /3) введены в разделах 1 2 1 и 1 2 3

соответственно

Оценка (6) для собственных значений задачи (3) верна при любых значениях параметров а и ¡3 Для спектра задачи (4) оценка сверху (6) верна в случае j/o = 0, при этом неравномерность сетки наблюдается на левом конце отрезка, те h^ — /ijv-i = = h2 Во всех остальных случаях (граничные условия второго рода и смешанные граничные условия, когда уо = 0 и неравномерность сетки наблюдается на правом конце, те hi = h2)

4

спектр оценивается сверху значением max ——

о<»<я--1 htht+1

Введение и описание квазиравномерных сеток приводится в разделе 12 5В нем получена оценка сверху границы спектра разностного оператора, записанного на произвольной квазиравномерной сетке Также в этом разделе рассматривается конкретная функция, порождающая квазиравномерную сетку Полученная сетка характерна тем, что она сгущается вблизи одного из концов отрезка и степень сгущения можно изменять

Во втором параграфе доказаны следующие теоремы для задачи (3)

Теорема 1. Существуют такие положительные ао и &i, что для а € [й0, ¿*i] справедливо неравенство

fh2 + 2hi 2 4 \ 4N2 2 тгI

< -тах{ h2hl н1 + }12>ц) < U1) =

Теорема 2. Существует непустое множество D(a,P) параметров (a J3), такое что для любой пары (а,/3), принадлежащей D(a,f3), справедливо неравенство

4 N2 * irl

А(а, Р) < Д (а, ¡3) < Amax(l, 1) = Amax(l) = — cos2 —

Здесь Атах(1) = Ашах(1,1) - максимальное собственное значение задачи (3), записанной на равномерной сетке с количеством шагов, равным N

В случае задачи со смешанными граничными условиями, когда задано нулевое граничное условие первого рода на левом конце отрезка и задано нулевое граничное условие второго рода на правом конце отрезка, справедлива теорема об оценке сверху А(а)

Теорема 3 Существуют такие положительные ао и что для а е [йо, ai] справедливо неравенство

х / \ к ( \ fh2 + 2h1 2 4\ 4 N2 2 тг/

A(q) < A(q) = max ^ ^ ^ + ^ < Щ) = —cos -

Здесь Атах(1) — максимальное собственное значение задачи (5) с заданым граничным условием первого рода на одном из концов отрезка, записанной на равномерной сетке с количеством шагов, равным N

В третьем параграфе первой главы проводится численное исследование границы спектра разностной задачи, записанной на введенных выше сетках Численно строятся графики зависимости максимального собственного значения разностной задачи от параметров сеток При конкретных значениях числа узлов N приводятся сетки, на которых разностная задача имеет наименьшее максимальное собственное значение

В разделе 13 1 приводятся численные исследования разностной задачи, записанной на сетках а»д(а) и ши(а,Р) Показан характер поведения максимального собственного значения в зависимости от значения параметра а для сетки а) и от значений параметров а и /3 для сетки Найдено численно значение параметра а для сетки а>/,(а) и

значения параметров а и /3 для сетки йь(при которых достигается наименьшее значение максимального собственного значения разностных задач, введенных в разделах 1 1 2 и 1 1 3 В этом же разделе приводятся результаты для разностной задачи с граничными условиями второго рода и со смешанными граничными условиями, записанной на неравномерных сетках Показано, что наименьшее значение Атах(а) в некоторых случаях достигается при а, большем 1 Для задачи с граничными условиями второго рода уменьшение Атах(а) очень мало Для задачи со смешанными граничными условиями значение Атах(а) сильно зависит от того, на каком конце введена неравномерность сетки Если неравномерность на конце, где задано граничное условие второго рода, то уменьшение Атах(а) практически не происходит

Раздел 13 2 посвящен численному исследованию задачи, записанной на квазиравномерной сетке В нем строятся сетки, которые порождаются конкретными функциями Численные результаты полученных значений Атах сведены в таблицу Показано, что эти сетки не удовлетворяют основной цели данной главы

Краткое описание полученных результатов первого параграфа приводится в разделе 13 3В нем приводятся сетки, на которых разностная задача обладает необходимыми свойствами и удовлетворяет основной цели данной главы Даются рекомендации по выбору и построению сеток

Основной результат первой главы - нахождение и изучение основных свойств оценок сверху Д(а) и Д(а, /3) границы спектра и доказательство того факта, что максимальное собственное значение поставленной разностной задачи на некоторых неравномерных сетках меньше, чем на равномерной сетке с тем же числом шагов Также в главе приведено численное

исследование границы спектра разностной задачи в зависимости от неравномерности сетки На основании численных исследований строятся наилучшие (оптимальные) неравномерные сетки при фиксированном количестве шагов

Вторая глава состоит из трех параграфов и относится к проблеме исследования разностных схем на устойчивость В этой главе доказаны теоремы, являющиеся основными теоремами диссертации и относящиеся к увеличению границы устойчивости за счет введения неравномерных сеток

Рассматривается разностная схема для уравнения теплопроводности с граничными условиями первого и второго рода Разностная схема пишется на неравномерных сетках, введенных в параграфе 1 2 Для этих схем получено, что в случае некоторых неравномерных сеток разностные схемы обладают большим запасом устойчивости, чем в случае равномерных сеток с тем же числом узлов

Неравномерную сетку, на которой достигается максимальное значение границы устойчивости разностной схемы, будем называть наилучшей

Первый параграф второй главы посвящен теоретическому введению в постановку задачи

В разделе 211 рассматриваются операторно-разностные уравнения в линейном нормированном пространстве Н Разностные уравнения записываются в каноническом виде

ВУ-+ = ^ п = о,1, , у° ен, (7)

т

где А а В являются линейными операторами в Н, векторы уп € II

Разностные схемы будем исследовать на устойчивость в пространстве Но, где оператор В = Б* > 0 Пространство Но снабжено скалярным произведением ( , )о — (■&>•) и нормой || ||д = \/(Л , ) Разностная схема (7) называется устойчивой в пространстве Но или, что то же самое, в норме Б, если при любых у0 Е Н для решения задачи (7) справедливы неравенства

(Оу"+\уп+1)^(Оуп,уп), п = 0,1,

В диссертации выделен класс операторов А к В, для которых ведется аналитическое и численное исследование устойчивости разностных схем (7) В общем случае операторы А к В зависят от сетки, на которой записывается разностная задача

В разделе 2 12 рассматривается общая постановка задачи об устойчивости разностной схемы на произвольных неравномерных сегках Ввиду множественности сеточных параметров (шаги сетки) вводится определение границы устойчивости как такое значение шага по времени

т — го, для которого при 0 < т ^ то схема устойчива, а при т > tq - неустойчива В данном случае величина то является функцией шагов hi,h2, ,Лдг

Во втором параграфе доказаны основные теоремы, относящиеся к увеличению границы устойчивости разностных схем, записанных на неравномерных сетках

В разделе 2 2 1 показано существование неравномерных сеток таких, что разностные схемы на них имеют запас устойчивости больший, чем на равномерных сетках с тем же числом шагов Здесь исследуются явные разностные схемы для одномерного уравнения теплопроводности Показана связь границы устойчивости с оценкой сверху спектра разностного оператора Найдена оценка снизу границы устойчивости разностной задачи Доказаны следующие основные теоремы работы

Теорема 4. Существуют такие âo и âi, что для а 6 [йо, йх} граница устойчивости разностной схемы на сетке Wft(a) будет больше, чем на равномерной сетке

Теорема 5 Существует непустое множество параметров D(a,fi), что для пары (а, ¡5) S D{a, ¡3) граница устойчивости разностной схемы на сетке ûk(a,(3) будет больше, чем на равномерной сетке

Раздел 2 2 2 посвящеп численному исследованию разностных схем на устойчивость Построены графики зависимости границ устойчивости от параметра а для сетки (2»л(а) и от параметров а и ¡3 для сетки w/i(a,/?) Более детальные результаты сведены в таблицы

Третий параграф второй главы посвящен численному исследованию устойчивости разностных схем с весовыми множителями В нем рассматривается задача о явном нахождении границы устойчивости за счет изменения весовых множителей и задача о влиянии весового множителя на границу устойчивости Все задачи относятся к разностным схемам, которые определены на введенных в параграфе 1 2 неравномерных сетках

Раздел 2 31 посвящен получению оценки сверху спектра задачи Л (а — 0 Ъ)Ау = —АЛ?/, где оператор А порожден разностной схемой с весовыми множителями а В нем рассматриваются весовые наборы следующих видов а = (ai, <т2> ,а2) тл а = (сг1; а2, , а2, crN_j) Получено, что

» _ * / fh2 + 2h1 2\щ\ 4M h2+2hN2\nN-i\

А < Л[а,В) = тах ——---—, Т, , ——---—

^ ' \ h2hx hi + h2 h\ h2hN hN + h2/

где fi — <7-0 5 = diag[^!,p2. , Wff-i] Здесь ц, = ст,—0 5, г — 1,2, ,JV —1

Результаты численного исследования разностных схем, близких к абсолютно устойчивым, приводятся в разделе 2 3 2 В нем рассматривается схема с двумя различными наборами весовых множителей Данная схема записывается на равномерной сетке и на неравномерных сетках, введенных в параграфе 1 2 Найдены наилучшие неравномерные сетки для данной схемы Показано, что для таких разностных схем граница устойчивости увеличивается в несколько раз по сравнению с границей устойчивости на равномерной сетке

В разделе 2 3 3 приводятся результаты численного исследования разностной схемы с переменными весовыми множителями Рассмотрен случай, когда один множитель является переменным, а остальные множители являются постоянными Данные схемы записываются на равномерных и на неравномерных сетках, введенных в параграфе 1 2 Численно строятся границы устойчивости при различных распределениях весовых множителей Третья глава состоит из двух параграфов, в которых строятся границы устойчивости для разностной схемы, аппроксимирующей двумерное уравнение теплопроводности в непрямоугольных областях Также исследуются разные неравномерные сетки с целью увеличения значения границы устойчивости

Первый параграф содержит разделы, в которых дана постановка задачи, вводятся сетки, покрывающие непрямоугольные области, формулируется дифференциальная и разностная задачи и исследуется спектр разностного оператора Лапласа

В разделе 3 11 рассматривается задача на собственные значения для оператора Лапласа

д2и(х1,х 2) д2и{хг, х2) , . . > -дх1----дз?-= -Мжьяг), (^ь^г) £ С.

и(х1,х2) ~ О, (хих2) 6 Г,

где (7 = {ж = (х1,х2) 0 < х\ < 1\, 0 < х2 < - криволинейный

треугольник, ограниченный осями 0x1, Ох2 и кривой х2 — Р{х{), Г - граница треугольника в Предполагаем, что Р(х\) - непрерывная, монотонно убывающая функция Прямолинейные стороны треугольника имеют длины I] = где F~1(x2) - функция, обратная к -Р^х), и

12 — .Р(О) соответственно

Для перехода от дифференциальной задачи к разностной вводится сетка, покрывающая исходную область В разделе 3 11 рассматриваются два вида сеток равномерная внутри области и согласованная с областью Такие сетки назовем сетками первого и второго рода (см рис 1) Сетки обоих родов являются неравномерными для произвольной области Первая

областью

сетка является неравномерной вблизи границы области, а вторая сетка - неравномерной по одному из направлений (если выбрать равномерную сетку по одному из направлений, то, в общем случае, по другому направлению сетка будет неравномерная) В этом же разделе определяются разностные аналоги вторых производных как

УХ1ХЪ1]

Уг+1] - Уг] Уг] - У,-1}

Ъ + 1}

С

Ух2Х2, Ч

А(а) ч

Уг]+1 ~ Уч У%} ~ Угз-1

н(2)

Раздел 312 посвящен исследованию свойств разностного оператора Лапласа

М/ч = Ух1Х\, г2 ^ Ух2&2, г]

Доказано, что разностный оператор А — —Л является самосопряженным в смысле скалярного произведения, введенного в разделе 311 диссертации, положительным и ограниченным

Условия положительности и ограниченности следуют из оценок для собственных значений Для каждой из сеток в этом разделе получены оценка снизу 6 минимального и оценка сверху Д максимального собственных значений разностного оператора А Что касается оценки снизу, то для ее получения используются оценки для одномерного случая, которые зависят только от длин катетов Оценка сверху для каждой рассматриваемой сетки получается своя

Представляет интерес случай, когда Г является четвертью окружности (раздел 3 13) или прямоугольным треугольником (раздел 314) Первая область характерна тем, что собственные значения Л находятся в аналитическом виде с помощью функций Бесселя Нули функций Бесселя

хорошо изучены и могут быть вычислены с большой точностью Кроме того, при переходе к полярным координатам появляется возможность введения полярной сетки и, значит, исследование задачи можно проводить на трех видах сеток Вторая область, прямоугольный треугольник, характерна тем, что если катеты равны, то собственные значения разностного оператора А находятся в явном виде, и существуют сетки как первого, так и второго рода, являющиеся равномерными

В разделе 3 13 приводится разностная схема, аппроксимирующая исходную задачу в полярных координатах Численно строится таблица, содержащая границы спектра разностного оператора при различных значениях шага по радиусу и углу

В разделе 314 рассматриваются области с границей в виде криволинейного треугольника Для разностного оператора А, записанного в этих областях, численно находятся границы спектра

В заключительном разделе 3 15 данного параграфа изучается поведение собственных значений оператора А в криволинейной трапеции

Отдельно рассмотрен случай прямоугольной трапеции, тк в такой области можно ввести равномерную прямоугольную сетку по каждому из направлений Численно показано, что в случае равномерной по обоим направлениям сетки выполнено приближенное равенство

_ 4 4

^шш "Ь ^гпах — >

где Amm, Ашах - минимальное и максимальное собственные значения разностного оператора А соответственно Здесь hi и /12 - шаги по первому и второму направлению соответственно

Во втором параграфе третьей главы изложена теория устойчивости разностных схем, которые аппроксимируют двумерные уравнения теплопроводности в непрямоугольных областях Приведен критерий устойчивости, который получен другими авторами, но имеет непосредственное отношение к данной работе Используя этот критерий, строятся границы устойчивости разностных схем

В разделе 3 2 1 рассматривается разностная схема с переменными весовыми множителями 1 _ уп

т = (1 ~ а,^Укхигз +yÏ2X2,ijî + "yfcfôi.y +

7/" - vn 1J° -- Un ^ '

У г] У%] u0,i]>

* = 0,1, , JVi, J = 0,1, ,ЛГ2(0, п = 0,1,2, ,

которая аппроксимирует дифференциальную задачу на неравномерной сетке ùh U тh

Для данной разностной схемы вводится определение границы устойчивости как такое значение параметра т = то, что при 0 < т < то схема устойчива, а при т > то схема неустойчива

В разделе 3 2 2 вычисляются границы устойчивости явных разностных схем, записанных на неравномерных сетках, покрывающих различные непрямоугольные области В этом разделе получены значения границ устойчивости схемы в таких областях, как четверть круга, криволинейный треугольник и прямоугольная трапеция

Раздел 3 2 3 посвящен нахождению оценки сверху границы спектра задачи, которая появляется в результате исследования на устойчивость схемы с весами В нем найдены оценки сверху при определенных распределениях весовых множителей

В разделе 3 2 4 строятся границы устойчивости разностной схемы с весовыми множителями В нем рассматриваются весовые множители, которые принимают следующие значения нулевые множители расположены вблизи границы области, а все остальные веса являются ненулевыми В этом разделе подбираются ненулевые весовые множители таким образом, чтобы граница устойчивости была максимальная при записи разностной задачи на фиксированной сетке

Раздел 3 2 5 посвящен обоснованию выбора сетки, покрывающей непрямоугольную область так, чтобы граница устойчивости разностной схемы была максимальной Показано, что основной вклад в границу устойчивости вносит наименьший шаг по каждому из направлений Также на выбор сетки влияет производная в граничных точках функции, которая описывает криволинейную часть области

Основные результаты диссертации

1 Проведено исследование зависимости границы устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности от характера неравномерности пространственной сетки Построены неравномерные сетки, на которых разностная схема обладает бблыним запасом устойчивости, чем на равномерной сетке с тем же числом узлов

2 Предложены способы построения неравномерных сеток в двумерных непрямоугольных областях, позволяющие ослабить условие устойчивости разностных схем

3 Проведено аналитическое и численное построение границ устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями в случае неравномерных сеток

Список публикаций автора по теме диссертации

[1] Илъютко В П Критерий устойчивости разностных схем в случае неравномерных сеток // Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "ЛОМОНОСОВ 2005", 2005 С 20-21

[2] Илъютко В П Границы устойчивости разностных схем на неравномерных сетках // Математическое моделирование, 2005 Т 17 №11 С 85-92

[3] Илъютко В П Границы спектра разностного оператора Лапласа в непрямоугольных областях // Прикладная математика и информатика, 2006 №23 С 94-113

[4] Илъютко В П Граница устойчивости разностной схемы для двумерного уравнения теплопроводности в непрямоугольных областях // Международная молодежная научная олимпиада "ЛОМОНОСОВ 2006" Сборник тезисов XIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "ЛОМОНОСОВ 2006", 2006 С 24

[5] Илъютко В П Границы спектра разностного оператора Лапласа в непрямоугольных областях // Международная конференция "Тихонов и современная математика" Тезисы докладов секции Вычислительная Математика и Информатика, 2006 С 66

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИДЫ 00510 от 01 1299г Подписано к печати 25 04 2007 г Формат 60x90 1/16 Услпечл 1,0 Тираж 75 экз Заказ 223 Тел 939-3890 Тел /Факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им MB Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к

Введение

1 Влияние неравномерности сетки вблизи концов отрезка на спектр разностной задачи

1.1 Постановка задачи и предварительные сведения.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Аппроксимация исходной задачи в случае граничных условий первого рода

1.1.3 Аппроксимация исходной задачи в случае граничных условий второго рода

1.2 Оценка спектра оператора второй разностной производной

1.2.1 Сетка с двумя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями первого рода

1.2.2 Сетка с двумя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями второго рода

1.2.3 Сетка с тремя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями первого рода

1.2.4 Сетка с тремя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями второго рода

1.2.5 Квазиравномерные сетки.

1.3 Численное исследование спектра.

1.3.1 Численное исследование спектра разностного оператора Л, записанного на сетках шь{а) и ^(а,/?)

1.3.2 Численное исследование спектра разностного оператора А, записанного на квазиравномерных сетках.

1.3.3 Выводы.

2 Влияние неравномерности сетки вблизи концов отрезка на границу устойчивости разностной схемы

2.1 Основные понятия теории устойчивости.

2.1.1 Сведения о теории устойчивости.

2.1.2 Разностная схема и ее граница устойчивости.

2.2 Исследование устойчивости явной схемы

2.2.1 Устойчивость явной разностной схемы на сетках щ{се), (bh{a,(5) и й>ь(х)

2.2.2 Результаты численного исследования

2.3 Исследование устойчивости схемы с весами.

2.3.1 Оценка сверху спектра задачи АцАу = — ХАу

2.3.2 Результаты численного исследования разностных схем, близких к абсолютно устойчивым

2.3.3 Результаты численного исследования разностных схем с переменными весовыми множителями.

2.3.4 Краткие выводы главы

3 Граница устойчивости разностной схемы для уравнения теплопроводности в непрямоугольных областях

3.1 Оценка спектра двумерного разностного оператора Лапласа

3.1.1 Способы введения сеток, покрывающих непрямоугольные области.

3.1.2 Свойства разностного оператора Лапласа.

3.1.3 Тестовый пример.

3.1.4 Задача на собственные значения для разностного оператора Лапласа в криволинейном треугольнике

3.1.5 Задача на собственные значения для разностного оператора Лапласа в криволинейной трапеции.

3.2 Граница устойчивости для двумерной задачи.

3.2.1 Разностная схема.

3.2.2 Численное исследование устойчивости явной разностной схемы

3.2.3 Оценки сверху спектра задачи АцАу = —ХАу.

3.2.4 Численное исследование устойчивости разностной схемы с весами.

3.2.5 Краткие выводы.

С развитием теории дифференциальных уравнений и применением этой теории к прикладным задачам (например, к задачам математической физики: теплопроводность, колебания, течение жидкости, обтекание тел, задачи теории упругости, теории фильтрации и т.д.) появилась возможность анализировать решения, описывающие протекающие физические процессы. Большинство задач, которые описывают модели различных физических процессов, сводится к дифференциальным уравнениям в частных производных. С математической точки зрения модели физических процессов являются совокупностью уравнений в частных производных. Помимо математической записи задачи, которая моделирует физический процесс, необходимо решать данную проблему. Например, решение краевых задач для эллиптических уравнений не всегда удается найти в аналитическом виде. Выход из сложившейся ситуации заключается в переходе от дифференциальной модели процесса к дискретной модели. Построение дискретной модели процесса сводится к замене пространства непрерывного аргумента дискретным пространством, замене дифференциального уравнения и дополнительных условий (например, краевых условий) системой сеточных уравнений. В итоге получаем переход от дифференциальных уравнений к разностным уравнениям. Такой переход называется аппроксимацией дифференциальной задачи разностной схемой. При таком подходе имеем серию систем линейных алгебраических уравнений, для которых существует огромное количество методов решения, начиная от аналитических методов и кончая численными. В конечном итоге при решении систем получаем приближенное описание исходного физического процесса.

Результаты расчета решений по разностным схемам на ЭВМ не всегда совпадали с реальными результатами даже для модельных задач (например, из-за ошибок округления), что привело к развитию теории разностных схем. Были введены следующие понятия: аппроксимация, устойчивость, сходимость и др. Понятие устойчивости, как равномерной относительно шагов сетки непрерывной зависимости решения разностной задачи от начальных данных и правой части, было введено в работах А. Ф. Филиппова и B.C. Рябенького [28], [13]. Это определение дано для произвольной разностной схемы. Там же введено понятие аппроксимации и показано, что из устойчивости и аппроксимации следует (при определенных дополнительных условиях) сходимость решения разностной схемы к решению исходной задачи. Все понятия введены для корректно поставленных задач.

В монографии А. А. Самарского [14] подробно изложены основные положения теории разностных схем. Рассмотрены примеры дифференциальных задач и их разностных аппроксимаций. Проведено исследование аппроксимации, устойчивости и сходимости некоторых характерных разностных схем.

Результаты, полученные А. А. Самарским и А. В. Гулиным ([19], [6]) и имеющие непосредственное отношение к теме исследований данной диссертации, подробно рассмотрены в параграфе 2.1.

Первоначально разностные схемы строились на равномерных сетках. Однако, область применения равномерных сеток ограничивалась расчетом гладких, не сильно меняющихся решений. В задачах с сильно меняющимися коэффициентами и др. целесообразней использовать сетки, имеющие неравномерность, т.е. неравномерные сетки. Теория разностных схем на неравномерных сетках была построена в известных работах А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [24] и [25]. В работах Н. Н. Калиткина и соавторов [1], [10] и [11] выделено семейство квазиравномерных сеток, которые применимы и для задач в неограниченных областях.

Для двумерных задач рассматривались простые области: прямоугольник, круг, прямоугольный равнобедренный треугольник и т.д. Для некоторых из этих областей решение дифференциальной задачи находится в аналитическом виде, что позволяет сравнить численное и аналитическое решения модельной задачи.

В диссертации исследуется устойчивость разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи, записанные в одномерных и двумерных областях. В одномерном случае рассматриваются неравномерные сетки, имеющие неравномерность вблизи границ отрезка. В двумерном случае рассматриваются неравномерные сетки, покрывающие непрямоугольные области. К непрямоугольным областям относим следующие области: криволинейный треугольник, криволинейная трапеция, часть круга. В одномерном случае исследование сводилось к выбору оптимальных шагов сетки, т.е. таких шагов, при которых условия устойчивости разностной схемы, записанной на неравномерной сетке, можно ослабить. В двумерных областях возникает ряд вопросов: введение сетки, покрывающей данную область; наилучшая аппроксимация дифференциальной задачи и т.д. Но вопрос, относящийся к двумерным задачам, тот же - увеличение запаса устойчивости разностной схемы за счет подбора сетки.

В диссертации используются понятия и результаты теории устойчивости разностных схем, развитой в работах [15] и [19].

Разностные схемы записываются в канонической форме n+1 п.П

ВУ-у + АуП = (рп^ п = о,1,., У°ен, (1) т где операторы А и В являются линейными, не зависящими от п, и действуют в конечномерном пространстве Н, состоящем из функций дискретного аргумента уп. Параметр т - шаг по времени t, определяющий временную сетку ujt = {tn = пт, п = 1,2,.}. Начальное значение у0 и правая часть (рп заданы для любых п > 0.

Представляет интерес класс схем, определяемый условиями

Л = В = Е + таА, (2) где а - самосопряженный оператор. Схемы с оператором В являются схемами с весовыми множителями.

Исследование схемы (1) на устойчивость состоит в определении минимальных требований на операторы А, В и параметр г, при которых схема устойчива. Свойства устойчивости и неустойчивости определяются операторами А, В и параметром т. Сами операторы А, В зависят от пространственной сетки, которая покрывает исходную область.

Прежде чем исследовать операторно-разностную схему (1) на устойчивость, необходимо ввести в Н скалярное произведение (•, •) и определить норму || • || = \/Tv)- Иногда устойчивость изучается в энергетических нормах вида || • ||d = \/(D-, •), где D - самосопряженный положительный оператор. Будем говорить, что разностная схема (1) с нулевой правой частью (<рп = 0, где п = 0,1,.) устойчива в пространстве Hp или, что то же самое, в норме D, если при любых у0 Е Я для решения задачи (1) справедливы неравенства

Dyn+1,yn+l)^(Dyn,yn), п = 0,1,. (3)

Важным аспектом в построении разностных схем является сохранение основных свойств исходной задачи (например, самосопряженность, положительность и др.). Также при исследовании разностных схем возникает вопрос о нахождении собственных значений разностных операторов.

В работах [16] и [17] получено, что для устойчивости разностной схемы, записанной в каноническом виде (1), где А - самосопряженный положительный оператор, В - положительный, необходимое и достаточное условие устойчивости в пространстве На имеет вид операторного неравенства

В ^ 0.5тА (4)

В книге [14] приведен пример исследования на устойчивость схемы с весовым множителем а:

Уо =Удг = 0, п = 1,2,.; у? = щ(х{), i = 0,1,., N, аппроксимирующей дифференциальную задачу ди(х, t) д2и(х, t)

5) at дх2 u(0,t) =u(l,t) = 0, t> 0; и(х, 0) = щ(х), 0 < х < I. о * п Уг+1 ~ 2Уг + У11 одесь введены следующие обозначения: ■ = --т.

- оператор второй разностной производной, где h - шаг равномерной сетки u>h = {xi = ih,i = 0,1,.,N, hN = 1} - пространственная сетка. Параметр г является шагом равномерной сетки ojt = \tn = пт, п = 0,1,.} - временная сетка и у" = у(х{, tn).

Первый вопрос - порядок аппроксимации. Известно, что погрешность аппроксимации ф" схемы (5) на решении дифференциальной задачи зависит

1 h2 от параметра а и составляет 0(т2 + /г4) при а = <т* = - — ——, при

2 12т а = 0.5 погрешность аппроксимации Ф? = 0(т2 + h2) и при всех остальных а погрешность аппроксимации фУ = 0(т + h2).

Следующий вопрос - условия на параметры схемы, при которых она устойчива. Для разностной схемы (5), используя неравенство (4), получен следующий результат: схема устойчива тогда, когда весовой множитель удовлетворяет неравенству 1 1 а ^ = п

9 т\ ' 8 где (—Amax) = — ToCOS — - минимальное собственное значение оператора hl 2 второй разностной производной у%х. Таким образом, для схемы можно определить понятие границы устойчивости, т.е. такое значение 7 = 70, 1

70 =-5FP

2(1 - 2а) cos2 — что схема устойчива при 7 ^ 7о и неустойчива при 7 > 70.

В работах [20], [6] и [21] получены критерии устойчивости по начальным данным симметризуемых разностных схем. Условия устойчивости, полученные в [6], [5] и [22], характеризуются тем, что их невозможно ослабить за счет выбора нормы. Так, в [5] был получен критерий устойчивости двуслойных схем с переменными весовыми множителями для двумерного уравнения теплопроводности. Условия устойчивости формулировались в [5] в виде требования неотрицательности всех собственных значений, так называемой матрицы устойчивости, то есть некоторой симметричной матрицы, порожденной рассматриваемой разностной задачей. На основе этих критериев предложен алгоритм определения границ устойчивости схем с переменными весовыми множителями для уравнения теплопроводности (одномерный случай в [4], двумерный случай в [8]).

В указанных работах находилось значение параметра 7 = т/Л, , которое соответствует границе устойчивости. Граница устойчивости определялась как такое значение 70, для которого при 0 < 7 ^ 70 схема устойчива, а при 7 > 7о схема неустойчива. В двумерном случае вводятся два параметра 71 = r/h\ и 72 = r/h\, где т - шаг по времени и hi, h,2 - шаги по пространственным переменным. Границей устойчивости, в данном случае, называется кривая в плоскости параметров 71 и 72, которая разделяет области устойчивости и неустойчивости разностных схем. Для рассматриваемых разностных схем характерно наличие параметров 71 и 72, что объясняется тем, что пространственная сетка равномерная. В случае неравномерной сетки подобное определение понятия границы устойчивости невозможно ввиду множественности сеточных параметров.

В настоящей работе рассматриваются разностные схемы для уравнения теплопроводности в случае неравномерных сеток. Необходимость использования неравномерных сеток возникает, например, при решении задач с быстро меняющимися коэффициентами (см. [24], [14], [9]).

Вводится определение границы устойчивости как такое значение т = tq , для которого при т ^ то схема устойчива, а при т > то схема неустойчива.

Найдена оценка снизу значения то, получена численно граница устойчивости при различном распределении шагов сетки.

Нас будет интересовать, в частности, зависимость границы устойчивости явной разностной схемы от распределения шагов сетки hi,h,2,.,hN. Если сетка равномерная, то условием устойчивости явной схемы является выполнение неравенства 7 ^ 0.5cos~2(nh/2). В случае неравномерной сетки условие устойчивости явной схемы формулируется в виде 7"Amax(.A) s^ 2, где Amax (А) - максимальное собственное значение разностного оператора А, аппроксимирующего вторую производную (см. [14]).

В настоящей работе исследуются сетки, имеющие неравномерность вблизи концов отрезка, т.е. первый и последний шаги - произвольные, а остальные - равны между собой. Такая ситуация возникает в том случае, когда двумерная область с выпуклой границей покрывается равномерной прямоугольной сеткой. Для сеток такого вида найдены ограничения на шаги, при которых граница устойчивости tq достигает максимального значения.

Как видим из примера, устойчивость зависит от собственного значения оператора второй разностной производной. В данном случае собственное значение найдено в аналитическом виде, но во многих случаях не представляется возможным найти в аналитическом виде собственные значения оператора. Выход из сложившейся ситуации - это численное нахождение спектра или нахождение оценок спектра оператора. Для данного примера можно было бы найти оценку сверху максимального собственного значения и получить оценку границы устойчивости 7.

Данный пример характеризует частный случай аппроксимации дифференциальной задачи. Другой пример - это аппроксимация на неравномерной сетке. Для разностного оператора, записанного на неравномерной сетке, не удается отыскать в аналитическом виде собственные значения, но для его спектра известны границы (см., например, [14]), что позволяет оценить значение границы устойчивости.

В дальнейшем будет показано, что использование неравномерных сеток в некоторых случаях дает лучший результат в том смысле, что запас устойчивости увеличивается, нежели на равномерных сетках. Так в случае использования сетки, имеющей неравномерность на концах отрезка, получим, что допустимое значение для шага по времени г увеличится приблизительно на 3%. Такой результат достигается при определенных пространственных шагах. При совместном использовании неравномерности сетки и весовых множителей удается значительно увеличить значение границы устойчивости в несколько раз).

Видим, что задачи на собственные значения занимают важное место в исследовании разностных схем на устойчивость. Например, для того чтобы проверить условие устойчивости (4) в случае, когда операторы являются самосопряженными, нужно всего лишь проверить такое же условие на собственных значениях, т.е. условие А (В) ^ 0.5гЛ(Л), где A (D) - собственное значение оператора D.

Задача численного нахождения собственных значений матрицы не является довольно сложной на данный момент. Для численного решения задачи на собственные значения существует достаточно много методов, например, итерационные (степенной метод, метод вращений Якоби, LR и QR - алгоритм и др.), метод конечных элементов и т.д. (см., например, книгу [12]). В основном трудности возникают при написании уравнений и подбора метода для численного решения. Для подбора необходимого метода полезно знать основные свойства матрицы (самосопряженность, положительность и т.д.), что облегчает численное решение поставленной проблемы.

В некоторых случаях целесообразней иметь представление об оценке границ спектра, поэтому в диссертации уделяется внимание анализу разностной задачи на собственные значения. Этот анализ сводится к численному поиску собственных значений и аналитическому улучшению оценки границы спектра разностных операторов.

В последнее время уделяется внимание аппроксимации задач на неравномерных сетках, в частности, исследованию задач на квазиравномерных сетках (см. [10]). В работе [10] вводится строгое определение понятия квазиравномерной сетки, определяется ряд задач, для которых целесообразно использовать эти сетки, приведены примеры сеток, которые обладают различными свойствами, например, сгущением на одном из концов отрезка и т.д. При введении неравномерных сеток возникает ряд интересных вопросов: аппроксимация, погрешность аппроксимации, определение понятия границы устойчивости, выбор оптимальных шагов и т.д. В отличии от равномерной сетки, где введено понятие границы т устойчивости 7 = j-z, в случае неравномерной сетки, ввиду множественности /г сеточных параметров, такое определение границы устойчивости не годится.

В диссертации рассматривается двумерная задача теплопроводности в непрямоугольных ограниченных областях. К рассматриваемым областям относятся плоские области, ограниченные координатными осями и непрерывной монотонно убывающей функцией. В этих областях ставится задача теплопроводности с граничными условиями первого рода. Упор делается на написание разностных схем, которые сохраняют основные свойства дифференциальной задачи (самосопряженность, положительность и т.д.).

Аналогично одномерному случаю дифференциальная задача в двумерной области аппроксимируется разностной схемой на различных неравномерных сетках. Далее остается выяснить пригодность данной схемы для численного нахождения решения, а именно, исследовать аппроксимацию, устойчивость и другие свойства схемы. Из-за криволинейности границы области сетка, покрывающая область, в общем случае будет неравномерная. Рассматривается несколько видов неравномерных сеток (неравномерная вблизи границы, согласованная с областью). Для каждой из сеток рассматривается ряд вопросов, относящихся к численному исследованию искомой задачи. Как было сказано ранее, основной вопрос - это устойчивость разностной схемы. Ввиду множественности сеточных параметров (различные шаги вблизи границы или внутри области), под границей устойчивости понимаем максимальное значение шага по времени г, т.е. такое значение т = го, что при т ^ то схема устойчива, а при т > tq схема неустойчива. Ясно, что граница устойчивости зависит от величины каждого шага. Задача состоит в отыскании таких шагов, чтобы граница устойчивости (максимально допустимый шаг по времени) была максимальной. Как в одномерном случае, так и в двумерном задача сводится к анализу собственных значений разностной схемы. В силу множественности сеточных параметров и большого размера матрицы поиск собственных значений в аналитическом виде затруднен, поэтому данные значения вычисляются численно. В работе рассмотрена разностная аппроксимация исходной задачи в таких областях, как криволинейный треугольник, криволинейная трапеция и часть круга. Построена разностная аппроксимация на регулярных и нерегулярных сетках. Исследована самосопряженность разностного оператора. Получены оценки, теоретические и численные, границ спектра. Попутно при выяснении границы устойчивости велся анализ задачи на собственные значения. Для некоторых областей имелась возможность найти собственные значения с любой точностью. Так, например, задачу в четверти окружности можно свести к одномерной, а затем к уравнению Бесселя (собственные значения искомой задачи связаны с корнями уравнения Бесселя, которые хорошо изучены и находятся с большой точностью). Также для равнобедренного прямоугольного и равностороннего треугольников известны собственные значения. Все эти примеры позволяют сравнить численный результат с аналитическим.

Основное содержание диссертации

Изложим основное содержание и результаты, полученные в данной диссертации.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Каждая глава разбита на параграфы, которые состоят из разделов. В разделах приводятся описание и вывод результатов диссертации.

Выводы, сделанные для треугольной области в разделе 3.1.4, справедливы для данного случая (с некоторыми изменениями в полученных результатах). А именно, при увеличении количества шагов значение Атах неограниченно возрастает, а значение Amin незначительно увеличивается и остается ограниченным.

Из таблиц 3.8, 3.9 и 3.10 видно, что минимальное собственное значение меньше минимального собственного значения для треугольника с катетами ^ = 1, l2 = 1 и больше минимального собственного значения для прямоугольника со сторонами l\ = 1, l2 = 1.

3.2 Граница устойчивости для двумерной задачи

В этом параграфе исследуется устойчивость разностной схемы, которая аппроксимирует уравнение теплопроводности в непрямоугольной области. Дифференциальное уравнение аппроксимируется на неравномерных сетках, введенных в параграфе 3.1. Вводится понятие границы устойчивости. Численно строится граница устойчивости явной разностной схемы. Для разностной схемы с весовыми множителями выявляются наборы весов, на которых аналитически находится оценка снизу границы устойчивости.

Первый раздел посвящен определению разностной аппроксимации задачи и определению понятия границы устойчивости в данном случае, так как определение, данное в работе [8], не подходит ввиду множественности сеточных параметров. Следующие разделы относятся к численному построению границ устойчивости. Рассматриваются примеры различных непрямоугольных областей. В отдельный раздел вынесен вопрос об увеличении запаса устойчивости за счет введения весовых множителей. Весовые множители вводятся в узлах, где наблюдается неравномерность сетки или где наименьшие шаги.

3.2.1 Разностная схема

Рассматривается задача о применении численных методов к отысканию решения u(xi,x2,t) уравнения теплопроводности в непрямоугольных областях ЛМ + ам«ь«, ,t) £ at дх{ 0x2 с граничными условиями первого рода и(х 1, х2, t) = v(xh х2, t), (xh х2) е Г, t е [О, Т]; ^ u(xhx2,0) =щ(хъх2), {xhx2)eG, где G = {х = {х\,х2) : 0 < xi < 0 < х2 < F(x 1)} - непрямоугольная область, ограниченная осями Ох 1, Ох2 и кривой х2 = F(x 1), Г - граница области G. Предполагаем, что F(x 1) - непрерывная, убывающая функция. Прямолинейные стороны области имеют длины 1\ = где

F~^(x2) - функция, обратная к F(x 1), и l2 = F(0) соответственно.

Более подробно данные области и сетки, покрывающие эти области, рассматривались в параграфе 3.1. Также в параграфе 3.1 исследовалось поведение границ спектра разностного оператора Лапласа, что необходимо для изучения границ устойчивости схемы.

Будем рассматривать двуслойную разностную схему с переменными весовыми множителями aij 6 [0, 1] уП + 1 vn

УЛ-ZlL = (l- ац)(уп- - .)+<т«(г£Н .+уЧ+\ .); r V ,1] УХ2Х2 ,IJ' tJKyXiXi,lJ yX2X2,lJJ' fij = Vij = UW> i = 0,l,.,iVi, j = 0,l,.,N2(i), n = 0,1,2,.,

3.13) которая аппроксимирует задачу (3.11) - (3.12) на неравномерной сетке

3Десь упц - v(xf-\xf\tn) при (xf\xf) € tn = пт и (1) (2)\ t (1) (2)\ . «о,у = ,Х)') при (х\ \х)') G щ.

Дальнейшая задача заключается в исследовании схемы (3.13) на устойчивость в зависимости от значений и распределения весовых множителей а^, от области G и покрывающей ее сетки щ, т.е. от величин шагов. Хорошо известно, что если все весовые множители не меньше 0.5, то разностная схема (3.13) является абсолютно устойчивой, т.е. устойчива при любых значениях параметра т.

Разностная схема (3.13) приводится к каноническому виду п+1 п

В--— + Ауп = 0, п = 0,1,2,. (3.14) г где В = Е + та А и А - оператор, определенный в разделе 3.1.2. Оператор а определяется как (ay)ij = а^уц.

В данном случае имеем неравномерность сетки вблизи непрямолинейной части границы области G или по одному из направлений, что приводит к возникновению множественности сеточных параметров. Из-за множественности сеточных параметров определение границы устойчивости, данное в работе [8], не подходит.

Для дальнейшего исследования достаточно рассмотреть нулевые граничные условия.

Введем следующее понятие границы устойчивости. Границей устойчивости разностной схемы (3.13) будем называть такое значение параметра г = tq , что при 0 < т ^ tq схема устойчива, а при т > tq схема неустойчива.

Принимая во внимание свойства оператора А, записанного на сетке и>1 или (b\, можно сказать, что к схеме (3.14) применима теорема 2.1 (см. страницу 65), которая гласит, что если схема (3.14), где А* = А, а* = сг, В = Е + та А, устойчива в какой-либо норме, то выполнено операторное неравенство

А'1 + т/О 0, (3.15) где ц = (Т—0.5Е, и, обратно, если выполнено (3.15), то схема (3.14) устойчива в На 2.

В результате применения теоремы 2.1 к исследуемой схеме возникает задача на собственные значения АцАу = —ХАу, решение которой в явном виде не определяется при произвольном операторе А. В дальнейшем будет показано, что в некоторых случаях решение этой задачи может быть найдено в явном виде и определено значение для границы спектра.

3.2.2 Численное исследование устойчивости явной разностной схемы

Численное исследование устойчивости явной разностной схемы (3.13), где все равны 0, т.е. схемы следующего вида уп+1 уп т yXiXhl]^ yX2X2,lj' у§ = О, $ = tio,y; (3.16) г = 0,1,.,ЛГь j = 0,l,.,N2{i)-, п = 0,1,2,., основывается на результатах раздела 3.1.2 (оценки для спектра разностного оператора Лапласа) и раздела 2.1.1 (связь устойчивости со спектром).

Далее, используя положительную определенность и ограниченность оператора А (раздел 3.1.2), заключаем, что выполняются условия теоремы 2.1 (см. раздел 2.1.1).

Используя следствие данной теоремы, получаем, что граница 2 устойчивости то равна --j—г, где Атах(^) - максимальное собственное значение разностного оператора А, равного — (Ух1%1 ц + Ух2х2, ij)-Рассмотрим области следующего вида (рис. 3.4):

1. Четверть круга радиуса R = l\ = F(0) (рис. 3.4 а)). криволинейный треугольник и трапеция.

2. Прямоугольный треугольник с катетами l\ = F 1 и l2 = F(0) (рис. 3.4 6)).

3. Прямоугольная трапеция с основаниями l2 = F(0), I и высотой F-1(0) (рис. 3.4 Ь)).

4. Криволинейный треугольник (рис. 3.4 с)) с катетами 12 и гипотенузой, которая описывается функцией х2 = F(xi) (функция F(xi) является монотонной).

5. Криволинейная трапеция с основаниями I и высотой 12. Одна из боковых сторон является криволинейной и описывается функцией х2 = F(x{), а другая сторона - прямолинейная (рис. 3.4 с)).

Четверть круга и криволинейный треугольник

Начнем с рассмотрения криволинейного треугольника. Рассматривается случай, когда область является четвертью круга (функция F(xi) = — х\), и случай произвольной монотонной функции F(x\). В таблице З.б приведены численные результаты расчетов максимального собственного значения оператора А = —Л, где Л - разностный оператор, который аппроксимирует дифференциальный оператор Лапласа в четверти единичного круга. Расчеты проводились на трех различных сетках (полярная, первого рода и второго рода). Расчеты собственных значений разностного оператора А в криволинейном треугольнике приведены в таблице 3.7.

На основе таблиц 3.6 и 3.7 построена таблица 3.11, содержащая значения границ устойчивости для различных областей. Таблица 3.11 состоит из двух подтаблиц. В верхней - значения границы устойчивости при аппроксимации задачи на равномерной внутри области сетке, а в еах еа С?1 - четверть круга, Gi - область с F(x, а) = —-—

Ni n2 Gi G2, a2 = 0.5 G3, «3 = 1 G4, «4 = 2

10 10 1.2264 1.7558 0.8393 0.6214

20 20 0.2643 0.0278 0.2921 0.1929

30 30 0.0528 0.0901 0.0518 J 0.0318

10 10 0.4163 2.7493 2.5008 1.544

20 20 0.0256 0.5967 0.4868 0.2361

30 30 0.005 0.2502 0.1953 0.0867

1. Алыиина А. В., Калиткин Н. Н., Панченко C.J1. Численное решение краевых задач в неограниченных областях j j Математическое моделирование, 2002. Т. 14. mi. С. 10-22.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц 4-е изд. - М.: Наука, 1988.

3. Гулин А. В. Симметризуемые разностные схемы. Учебное пособие. М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова, 2004 г. - 120 с.

4. Гулин А. В., Гулин В. А. Границы устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями // Известия вузов. Математика, 1994. №9(388). С. 29-39.

5. Гулин А. В., Дегтярев С. Л. Критерий устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. №7. С. 1-8.

6. Гулин А. В., Самарский А. А. Об устойчивости одного класса разностных схем // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. №7. С. 1163-1174.

7. Гулин А. В., Юхно Л. Ф. Границы устойчивости двумерных разностных схем // Математическое моделирование. 1998. Т. 10. №1. С. 44-50.

8. Гулин А. В., Шередина А. В. Границы устойчивости разностных схем // Известия вузов. Математика. 2000. №11. С. 26-33

9. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1968. 512 с.

10. Калиткин Н.Н., Альшин А. В., Альшина Е. А., Рогов Б. В. Вычисления на квазиравномерных сетках. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 224 с.

11. Калиткин Н.Н., Кузнецов Н. О., Панченко C.JI. Метод квазиравномерных сеток в бесконечной области // ДАН. 2000. Т. 374. №5. С. 598-601.

12. Коллатц JI. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. М.: Изд-во "Наука", 1968. - 504 с.

13. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.

14. Самарский А. А. Теория разностных схем. 3-е изд. - М.: Наука, 1989.

15. Самарский А. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных разностных схем // ДАН СССР. 1968. Т. 181. №4. С. 808 -811.

16. Самарский А. А. Классы устойчивых схем // ЖВиМФ. 1967. Т.7. №5. С. 1096-1133.

17. Самарский А. А. О регуляризации разностных схем // ЖВиМФ. 1967. Т.7. т. С. 62-93.

18. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. 352 с.

19. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2005. 384 с.

20. Самарский А. А., Гулин А. В. Критерии устойчивости семейства разностных схем // ДАН. 1993. Т. 330. №6. С. 694-695.

21. Самарский А. А., Гулин А. В., Вабищевич П. Н. Устойчивость операторно-разностных схем // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, т. С. 152-187.

22. Самарский А. А., Гулин А. В., Вукославчевич В. Критерии устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. №7. С. 975-979.

23. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск.: ЗАО "ЦОТЖ", 1998. 442 с.

24. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках // ЖВМиМФ. 1962. Т. 2. С. 812-832.

25. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Об однородных разностных схемах // ЖВиМФ. 1961. Т.1. т. С. 5-62.

26. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Изд. 6-е, испр. и доп. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999.

27. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

28. Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений // ДАН СССР. 1955. Т. 100. №6. С. 1045-1048.

29. Список работ автора по теме диссертации

30. Ильютко В. П. Критерий устойчивости разностных схем в случае неравномерных сеток // Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "ЛОМОНОСОВ 2005", 2005.1. С. 20 21.

31. Ильютко В. П. Границы устойчивости разностных схем на неравномерных сетках // Математическое моделирование, 2005. Т. 17. №11. С. 85-92.

32. Ильютко В. П. Границы спектра разностного оператора Лапласа в непрямоугольных областях // Прикладная математика и информатика, 2006. №23. С. 94-113.

33. Ильютко В. П. Границы спектра разностного оператора Лапласа в непрямоугольных областях // Международная конференция "Тихонов и современная математика". Тезисы докладов секции Вычислительная Математика и Информатика, 2006. С. 66.