Устойчивость и сходимость разностных схем с операторно-весовыми множителями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Институт математики Академии наук Беларуси

Р Г Б ОД

УДК 519.63

.Щеглик Валерий Семенович

УСТОЙЧИВОСТЬ и сходимость РАЗНОСТНЫХ СХЕМ С ОПЕРАТОРНО-ВЕСОВЫМИ МНОЖИТЕЛЯМИ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат I < ссертащги на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск, 1997

Работа выполнена в Институте математики АН Беларуси

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Вабищевич П.Н.

доктор физико-математических наук, профессор Матус П.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Лапин A.B.,

доктор физико-математических наук, профессор Монастырный П.И.

Оппонирующая организация: Московский государственный университет

Зашита состоится 30 мая 1997 г. в 15°° на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.02 при Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, Минск, ул. Сурганова 11

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси

Автореферат разослан апреля 1997 г.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций, кандидат физико-математических наук

JlJ}e<TTvjvel— А.И. Астровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Теория устойчивости разностных схем для нестационарных задач математической физики стала самостоятельной областью исследования уже в 50-ые годы, после того как были опубликоианы известные работы Дж. Неймана и Р. Рихтмайера, П. Лакса, B.C. Рябенького, А.Ф. Филлипова и'др. авторов. В 60-х годах в работах A.A. Самарского была построена общая теория устойчивости для операторно-разностных схем с операторами, действующими в конечномерном гильбертовом пространстве. При исследовании вопросов устойчивости и сходимости разностных схем с переменными весовыми множителями было установлено, что даже в линейном случае применение общей теории при исследовании этих схем приводит к ограничениям на шаги, к условной аппроксимации. К этим классам вычислительных методов относятся часто применяемые в вычислительной практике гибридные разностные схемы (разностные схемы на адаптивно-временных сотках, явно-неявные разностные схемы, "шахматная" схема, методы вложенных сеток и др.). В связи с этим в настоящее время несомненный интерес представляют работы по развитию общей теории устойчивости на случай схем с непостоянными весами. Первыми на это обратили внимание A.A. Самарский и A.B. Гулин, которые в своих работах для двухслойных разностных схем с постоянными и самосопряженными операторами сформулировали необходимые и достаточные условия устойчивости одного класса схем с переменными но пространству весами. В дальнейшем данные результаты получили свое развитие в работах A.B. Гулина. П.Н. Вабищевича, П.П. Матуса и др. авторов.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является развитие теории устойчивости операторно-разностных схем с переменными операторно-весовыми множителями, а также исследование сходимости разностных схем для задач с обобщенными решениями.

Для достижения указанной цели в диссертации были поставлены следующие задачи:

- для трехслойных разностных схем с непостоянными весовыми множителями по пространству и времени получить достаточные условия устойчивости. Исследования провести п предположении, что весовые операторы не являются коммутирующими и липшиц-непрерывными по временной переменной;

- для разностных уравнений дивергентного типа с операторно-весовыми множителями найти достаточные условия устойчивости по правой

части и начальным данным в предположении, что весовые операторы не являются коммутирующими и летттттлц-непрерывными по временной переменной;

- получить оценки точности разностных схем, согласованные с гладкостью решения .исходной задачи, для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неограниченной нелинейностью и для уравнения параболического типа с обобщенными решениями.

Научная новизна полученных результатов. Научная новизна состоит в том, что

- найдены новые достаточные условия устойчивости двух- и трехслойных операторно-разностных схем с переменными операторно-весовыми множителями;

- получены согласованные с гладкостью решения дифференциальной задачи опенки точности разностных схем для нелинейных уравнений второго порядка с неограниченной нелинейностью и уравнения параболического типа.

Практическая значимость полученных результатов. Полученные теоретические результаты могут быть использованы для исследования устойчивости и сходимости конкретных разностных схем с переменными по пространству и времени весами.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. В настоящей диссертационной работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:

I. Для трехслойных операторно-разностных схем с переменными операторно-весовыми множителями получены достаточные условия устойчивости по начальным данным и правой части для различных случаев "взвешивания" в предположении, что весовые операторы не являются коммутирующими.

II. Для двухслойных и трехслойных операторно-разностных схем дивергентного типа с переменными операторно-весовыми множителями найдены достаточные условия устойчивости по правой части и начальным данным, когда весовые операторы не являются коммутирующими и липшиц-непрерывными по временной переменной.

III. Получены оценки точности разностных схем. согласованные с гладкостью решения исходной задачи, для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неограниченной нелинейностью и для уравнения параболического типа с обобщенными решениями.

Личный вклад соискателя. Основные результаты, приведенные в

выносимой на защиту диссертационной работе, получены авзором лично. Нз совместно опубликованных работ п диссертацию пошли результаты, полученные лично автором, а также результаты, полученные на паритетных началах с соавторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались:

- на международной конференции "Автоматизация проектирования дискретных систем" (г.Минск, ноябрь 1995г.);

- на всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (г.Казань, июнь 199Gr.);

- па I международной конференции по численному анализу и приложениям (г.Русс, Болгария, июнь 1990г.);

- на VII Белорусской математической конференции (г.Минск, ноябрь 1990г.);

-- на минском городском семинаре по математическому моделированию.

Опубликспашюеть результатов. Результаты диссертации опубл - копаны в 8 работах.

Структура и объём диссертации. D диссертации имеется введение, общая характеристика работы, 4 главы, список использованных источников. Полный объём — 118 е., из них 11 с:, занимает список использованных источников (118 наименований).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В первой главе диссертации дается краткий обзор литературы по теме исследований.

Глптза 2 посвящена, исследованию устойчивости трехслойных опера-торно-разностных схем с операторно-весовыми множи телями.

[{2.1 носит вводный характер и содержит вспомогательные утверждения. пеполь.зз'емые в дальнейшем для доказательства теорем.

15 вещественном конечномерном гильбертовом пространстве JJ со скалярным произведением (-,-) и нормой ||-|| рассмотрим абстрактную задачу Коши для эволюционного уравнения второго порядка:

. / . du, . , .

-¿р+Ли = <р, 0<¿<r, «(0)=«о, -^г(О) = Щ, (1)

где Л - линейный конечно-разностный оператор с областью определения D(A) = II и областью значения П(Л) = //, v¡), 77ц заданные -элементы

из Я. u(t), y(t) - абстрактные функции непрерывной переменной t со значениями в H.

В §2.2 для (1) ставится в соответствие трехслойные операторно-разностные схемы со взвешиванием решения

Уй+Ау&Ы =?(*)> t Guv, у(О) = у0, ¡А(0)=У0: (2)

где = Eiv + (F - Ei - Е2) V + Z2v, = £a(0> a = 1,2, - линей-

ные операторы.

Устойчивость операторно-разностной схемы (2) исследуется в норнах. порожденных некоторым положительным самосопряженным оператором R, действующим в Н. Через Hr обозначается гильбертово пространство, состоящее из элементов H, снабженное скалярным произведением (v,w)D = (Dv.w) и нормой ||и||0 = \J(y. w)D.

Схема (2) может быть приведена к каноническому виду

Dyit + By. + Ay = t e y{0) = ¡/о, 2/Д0) = Уо>

где

D = D(t) = B + 0,5T'A (Si(t) + Ej(i)), В = B(f) = rA (£,(*) - E2(i)).

Изучение схемы (2) проводилось в предположении некоммутируемости операторов А и Et (А- = 1,2) и постоянного оператора А. В случае когда операторы являются лппшпц-нелрерывными по переменной t.. то умножая (2) слева на оператор А-1 можно показать принадлежность (2) исходному семейству операторно-разностных схем и для нее справедливы полученные ранее априорные оценки. Особый интерес представляет более общий случай, а именво когда не являются липшиц-непрерывными.

Имеет место утверждение.

Теорема 1. Пусть в разностной схеме (2), А = А* > 0 - постоянный оператор,

£î(0 = Sî(i) > El (О > 40,S) + 0, ЬЕ- (3)

Тогда имеет место оценка

ПК« + ^11 < Ml И!IÎ/(°)II + ¡Ыо)Ия(г) + v^ |А-^(О)|{) + + !!--i"V(0l + Л/2 max Î].4-Vi(nl s

где Я = Л~1 + т2(Т,2+2Е), а постоянные Л/, = ехр(0,5Г), Л/2 = Л/,%/Г.

Приведем еше один результат, где за счет более сильных требований на оператор Е2 удается получить оценку решения без разностного дифференцирования по 4 правой части.

Теорема 2. Пусть в разностной схеме (2), А ~ А* > 0 - постоянный оператор.

= 25(0 > 0, 2,(0 > Е(2°'5) + 0, ЪЕ.

Тогда имеет место оценка

||у(г + т)|| < (112/(0)11 + 11^(0)11^) +2Г шах МОНд-»

где Я = А-1 + т2(Ъ2 + 2Е).

В §2.3 исследуются трехслойные операторно-разностные схемы со взвешиванием Ау

Ги + (Лу^Ы = 2/(0) =2/о, 2/«(0) = У0. (4)

Получены достаточные условия устойчивости по начальным данным и правой части как для случая липшиц-непрерывностн операторов Т.к , так и при отсутствии данного свойства.

Теорема 3. Пусть в разностной схеме (4) А = .4* > 0 - постоянный оператор, операторы £а. а = 1,2, удовлетворяют операторным соотношениям (3). Тогда решение задачи (4) устойчиво по правой части, начальным данным и верна априорная оценка

||Лу(* + т)\\ < Л/, (>/2 МОП + 11-427,(0)11^) + л/2 ||?(0)||) +

+ Мт + Л/2тах|ЫО||!

где В. = .4-1 + г2(Е2 + 2£), а постоянные М{ = ехр(0,5Г), Мг = Л/1%/Т.

Отдельно рассмотрен случай со специальной правой частью ^ — = т1!-т], который возникает при исследовании разностных схем на адаптивно-временной сетке.

В §2.4 рассматриваются разностные схемы с переменными по пространству и времени весовыми множителями для одномерного уравнения колебаний. На основе полученных оценок при достаточной гладкости решения и входных данных дифференциальной задачи устанавливается следующая оценка скорости сходимости в сеточном пространстве Н"| (^'а)

тах||у-и||и?ы<Л/(А2 + г1/г)

G

при выполнении условии

Oí > 4>,5) + о-а > -

1 + е . Л2

4 г2'

В главе 3 выделен еще один класс разностных схем с переменными весами, который используется для уравнений с дивергентными операторами. При решении уравнения теплопроводности такой класс разностных схем соответствует взвешиванию не решения (температуры), а потока.

В §3.1 для эволюционного уравнения первого порядка ~ + Ли = (f, ü < t < f„,ax, u(0) = Щ

с линейным конечно-разностным оператором A(t) > 0 ставится в соответствие разностная задача

Ш + Т* (STy)^ = <р, 1Еит, ?/(()) =2/о, (5)

где i-'-' = Ev + [Е — E)v, E(í), S(t), Т, Т* - линейпые операторы.

Определим через Н* - евклидово пространство со скалярным произведением (у, i'j и нормой \\у}\ = [у, у]l/í2. Пусть опе])атор Т действует из Я в Я*, операторы S(í), E(í) заданы в Я', оператор Т* действует из Я* в II. Тогда оператор /1 = T'ST отображает II на Я, т.е. А : II — Я.

Исследование устойчивости решения разностной задачи (5) велось в предположении, что выполнены следующие условия:

1°. Операторы Т и Т* - постоянные и сопряжены в следующем смысле:

(Ty,v] = (у,Т*и) для всех у £ II, v € Н*. (б)

2°. 5 = S(í), Е — E(í) - самосопряженные перестановочные операторы. удовлетворяющие при всех t £ UJT неравенствам

к\Е < S(t) < kiE, < E(í) < k3E,

где k\. /иг; k-i - положительные постоянные, не зависящие от шагов сеткк. 0 < е < 1 - произвольное действительное число.

3°. Оператор S(t) лиишиц-нспрсрывен rio t с постоянной с(,

||5(< + r)-5(í)J| <тсц.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть выполнены условия 1° - 3°. Тогда операторно-разностная схема (5) абсолютно устойчива по начальным данным и правой части, а для решения задачи (5) справедлива оценка

Цу(* + r)L(«+r) < М [||у(0)Ил(0) + (о,5¿Г ]М011 j ' ^

где М = ехр(0,5cimiX), с = 2(сц +1)(1 + k3)/(k,y/e).

Если дополнительно потребовать выполнения условия

£(i) - E(i -т)< ДЕ, t е шт, (7)

то в случае постоянного оператора А удается показать устойчивость решения в пространстве Н.

Теорема 5. Пусть для (5) выполнены условия 1° - 3°. Тогда если справедливо неравенство (7), то имеют место опенки

1|у(*+г)11<№(0)||в(0,+

при Д<0, 0 < е < 2 и

.ЕЧИОИл-.) (8)

" \£'=0

i \ J/2

Л||2

l|y(i + r)|| < lb(O)||fl(0) + V^^IHOir^.J (9)

при Л е (0,2), 0 < <5+0,5Л < <?, B(t) = E+rT*T.S(t)T, сс = ce(5,s) > 0.

Приведены также примеры применения полученных результатов при исследовании устойчивости и сходимости разностных схем с переменными весами для одномерного уравнения теплопроводности.

В §3.2 исследуется устойчивость консервативных трехслойных опера-торно-разностных схем вида

Vit + Т* (STy)^1'^ = tp, 2/(0) = 2/о, Vt{0) = Уо- (Ю)

По аналогии с условиями 1° - 3° предполагалось, что на операторы, входящие в разностную схему (10), наложены следующие ограничения: 4°. Операторы Т и Т" - постоянные и сопряжены в смысле (6). 5°. S(t), £*(f) - самосопряженные перестановочные (S£jt = StS) операторы, причем для S справедливы соотношения

к\Е < S(t) < к2Е, ||S(i + г) - 5(i)]| < reo, (11)

где ki, со - положительные постоянные. Имеет место

Теорема 6. Пусть выполнены условия 4°, 5°. Тогда если справедливы операторные неравенства

S2(0 = Si(0> Ö, + (12)

с е > 0 и достаточно малом г < tq, то имеет место априорная оценка

Mt + г)||л(0 < M |||У(0)||д(0) + ЫтПг) + (¿г ||v(i')l|2) 1/2j , (13)

M = const > 0, P{t) = Е + Т2 (T+S2(i)S(i - т)Т + A(t - г)).

Если существует T~l, тогда в случае постоянного оператора 5 решение разностной задачи (10) абсолютно устойчиво и на операторы Ei(i), Ег(') накладываются менее жесткие ограничения

Ei(i) > E^0'5)(ii) + 0,5Е для всех t € Шг,

s2(i) = Ц(0 > -Г2 ЦЗ^цгг«!! для всех г е Ut-

При исследовании вопросов точности консервативных разностных схем с переменными и негладкими весами полезной является следующая оценка устойчивости

IM' + OlUt) < м (||г/(о)||д(0) + ||yt(0)||ß(T,+

( i , Л \\l/2\

Ч?ЛК('')|| +А »'«« )) ) •

полученная при специальном представлении правой части у =

Приведены также примеры применения полученных результатов при исследовании устойчивости и сходимости разностных схем с переменными весами для гиперболических уравнений второго порядка (как одномерных, так и многомерных).

Четвертая глава посвящена исследованию сходимости разностных схем для задач с обобщенными решениями.

В §4.1 рассматривается первая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с неограниченной нелинейностью:

~ q{u)u = ~f[u)> 0<х<1> и(0) = и(1) = 0. (14)

Предполагается, что существует единственное решение задачи (14) и оно принадлежит соболевским классам 1К2т, т = 2,3. Относительно коэффициентов дифференциального уравнения предполагается выполненным: 1°. к(у) > ку > 0, |/(и)| < Л/0) q(v) > 0 при любых V £ 2?„; 2°. для любых ь\, ^ 6 ^и

3°.

4°.

1^) - ¿(у2)\ < р| |и| - и2|, \fivi) - \ < Р2— «а| ;

Л/о Л , 1 \ ,1

(15)

К1 + ||и|к'(«)) > • (17)

При т = 3 дополнительно будем требовать выполнение .условий

5°.

Н/М*))!!^') ^ + Инда)) >

(18)

^(«ООЭИижп') ^ >1И«11и?(П')> и е м»' п> с

Под Ми понимаем область значений точного решения

Мп = {и : «1 < и(х) < и2, х € и се окрестность Р„ :

Т>ь={й:щ-15 < й(х) <щ + 6, а; С Л' С П}.

Заметим, что условия 1е, 2°, накладываемые на коэффициенты уравнения к(и), /(и), выполнены лишь в окрестности значений точного решения, что говорит как о наличии нелинейностей неограниченного роста, так и сильно расширяет класс допустимых функций. Исследование сходимости разностных схем в этом случае даже на гладких решениях представляет довольно сложную техническую проблему.

Дифференциальной задаче (14) поставим в соответствие разностную

Л(у)у = /(у),

(19)

где нелинейный оператор А определяется так:

Л{у)ь= - (о(у)««)а + д(у)«, г6ы\{Л,1-Л}, (20)

причем шаблонный функционал а (у) возьмем следующим образом:

(а(у))(®) = А(0,5(з,(х)+2/(1-А))). (21)

Для решения (19) воспользуемся следующим итерационным методом

А(у)*у=1(у). (22)

Окрестностью точного решения дифференциальной задачи (14) назовем множество

5и = {«:|||;-и||00<г}, (23)

где « - точное решение.

Для сходимости итерационного метода справедлива Теорема 7. Пусть выполнены условия 1° - 31 и

о „ У6 5„,

Р <8, ß = l±£i\0z^

1 ~ Po

]| + йГ«'Ч +

Hill-

Тогда

1) Для любых 5 = 0,1,... последовательность решений задачи (22) принадлежит £и.

2) Итерационный процесс сходится

]Н8> У-- У е

и предел последовательности является решением разностной краевой задачи (19).

3) Скорость сходимости итерационного процесса характеризуется оценкой

F "У <

ß

=о 1 - ро

Ро-

Также в §4.1 получены согласованные с гладкостью оценки точности разностной схемы, которые формулируются в виде следующего результата

Теорема 8. Пусть решение дифференциальной задачи (14) и(х) £

6 U 2П(П), т = 2,3 и начальное приближение «5„ . Тогда при достаточно малом h < //и , а также при выполнении условии 1° - 4° для п> —'I и 1° - 5° для т = 3, решение разностной схемы (19) сходится к решению дифференциальной задачи, так что справедлива оценка точности

где 7 = const > 0 , не зависящая от шага сетки h .

В §4.2 рассматривается третья краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с нелинейностью неограниченного роста. Для нее строится соответствующая разностная схема и итерационный метод. Доказаны теоремы о сходимости метода итераций к решению разностной задачи и получены согласованные с гладкостью оценки точности разностной схемы.

В §4.3 рассматриваются разностные схемы с переменными весовыми м ¡жителями аля одномерного уравнения теплопроводности на обобщенных решениях вида:

m={y{a))iT + slsj, (x,t)ewhT, (24)

?/(.r. 0) = S>o(x), x 6 uh, ?/((), /,) = 1/(1,1) =(),(£ SJr. (25)

где

t'W = av(x,t) + (1 - o)v(z,t- r), (7 = a(x.,1), S7J(* J) = J (1 - \s\) f(x + sh,t)d.s, Sif{x,f) - j ¡(x,t + ot)<IO

-1 -I

операторы осреднения по Стсклову.

Введем пространство сеточных функций А', заданных на сетке £7/, и равных нулю на границах х = 0 и х = 1, со скалярным произведением (v.w) = Е v(x)w(x)h. и нормой ||?;||л = . Определим L-tj^hr)

как сеточный аналог L2{Qt) с нормой ||w||Ar = ( Е т"||';(011л Тогда справедлива Теорема 9. Пусть в (24), (25)

а{х, t) > а£= - cr(x, t) - а(х, t. - г) < Л < 2. 2 4г

шах |(т(х, <7, 7 > 0 - не зависит от к.т. Тогда для разностной схемы (24), (25) при выполнении:

л < о. е е (0,2) либо д е (0,2), г + о;5Д<£, <5>о

верна опенка, выражающая устойчивость по правой части и начальным данным в пространстве

Лг

< Л/Г (II2/оIIд-1,/, + ||Уо||/,) + Щ\А~1Ч>1Т, • (26)

где ЛЦ > 0, Л/2* > 0 - не зависят от Л, г.

Обозначил! через й = и осреднение точного решения и[х. {) диф-ференниальной задачи, при этом решение продолжим нечетным образом через прямые 1 = 0 и х = 1. Будем сравнивать приближенное решение у(х, ¿) с осреднением й(х, <). Для функции г = у—й получим следующую разностную задачу:

= (*(в))г« - ?«» V = (^ы - , (1,4)6^, (27)

г(х,0) = 0, а; £ г(ОЛ) = г(1,г) =0, г (28)

Для сходимости метода имеет место '

Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 9. Тогда решение разностной схемы (24), (25) сходится в сеточном пространстве Ъ^.к к осреднешпо й и имеет место следующая оценка скорости сходимости

д2 » , \

" \\ои

дх%(Ог) ' 11 &

(29)

I £а(Фт)

В §4.4 рассматривается квазилинейное уравнение теплопроводности с неограниченной нелинейностью и однородными граничными условиями. Для численного решения рассматривается безытераиионная разностная схема вида

^ + Жу)у = Лу)= У(0) = 2/о, (30)

где нелинейный оператор А определен формулой (20). Предполагается, что разностная задача (30) аппроксимирует дифференциальное уравнение лишь в негативной норме:

1Н1(-<) = {Ы + 1!Ш1/2 < с (лА + г"), КЗ > о, 5, (31) фл) = + (х-О.оМ+г), х 6 ЦТ,

£(x, t) = {Sxq(u)u - Sxf{u)) (x, f + r) - q{u{x, t))u{x, t + r) + f{u{x., t)) + +Sx—(x,t+r)-ut(x,t), x£uh,t£uJr, (Sxv)(x,t) = - J v(x',t)dx'.

1-0,5 h

При произвольных соотношениях на шаги сетки получены следующие оценки:

IMI2 + rfc, |Ы|2 < с, (ЛА + т0) , ||z(i)|loo < {hX~°<5 + т^) , (32) где с\, С2 = const > 0.

ВЫВОДЫ

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости и сходимости двух- и трехслойных операторно-разностных схем с переменными операторно-вссовыми множителями, а также исследованию таких разностных схем для задач с обобщенными решениями.

В ходе выполнения диссертационной работы получены следующие результаты:

1. Для трехслойных операторно-разностных схем с переменными операторно-весовымн множителями получены достаточные условия устойчивости по начальным данным ц правой части для различных случаев "взвешивания" в предположении, что весовые операторы не являются коммутирующими.

2. Для двухслойных и трехслойных операторно-разностных схем дивергентного типа с переменными операторно-весовымн множителями найдены достаточные условия устойчивости по правой части и начальным данным, когда весовые операторы не являются коммутирующими и липпшц-непрерывными по временной переменной.

3. Получены оценки точности разностных схем, согласованные с гладкостью решения исходной задачи, для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неограниченной нелинейностью и для уравнения параболического типа с обобщенными решениями.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Вабищевич П. Н., Матус П. П., Щеглик В. С. Трехслойные операторно-разностные схемы с переменными весами - Препринт / Ин-т. математ. моделирования РАН, 1993, №31.

2. Вабшцевич II. П., Матус II. II., Щеглик В. С. Онераторно-разностние уряшюиня дивергентного типа // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 30. № 7. С. 1175 - 1186.

3. Вабпщевич П. Н., Матус П. П., Щсглик В. С. Разностные схемы с переменными весами для эволюционных уравнений второго порядка // Докл. АН Беларуси. 1994. Т. 38. № 3. С. 13 - 15.

4. Матус П. П., Москальков М. Н., Щсглик В. С. Согласованные оценки скорости сходимости метода сеток для нелинейного уравнения второго порядка с обобщенными решениями // Диффсренн. уравнения. 1995. Т. 31, 7. С. 1219 — 122С.

5. Щеглик B.C. Операторно-разностные схемы с переменными весами для эволюционного уравнения второго порядка с лссамосопряженным оператором. // Международная конференция "Автоматизация проектирования дискретных систем". Тез. докл. конф. - Мн., 1995г. - Т. 1. С. 121.

6. Щеглик В. С. Согласованные оценки точности разностных схем для нелинейного уравнения второго порядка с обобщенными решениями. Всероссийский семинар "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач". Тез. докл. семинара. Казань. 1996г. С. 107 - 110.

7. Самарский А. А., Иованович Б. С, Матус II. II., Щсглик В. С. О точности разностных схем на адаптшшо-врсмешшх сетках для параболических уравнений с обобщенными решениями. - Препринт / Ин-т математики АН Беларуси. Мн., 199G, № 10(522). - 16с.

8. Щсглик В. С. Анализ одной разностной схемы для третьей краевой задачи нелинейного дифференциального уравнения второго порядка на обобщенных решениях. - Препринт / Ин-т математики АН Беларуси. Мн.. 1996, № 3(526). - 11с.

РЕЗЮМЕ Щеглик Валерий Семенович Устойчивость и сходимость разностных схем с операторно-весовыми множителями

Ключевые слова: разностная схема, сходимость, устойчивость, переменные весовые множители.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости операторно-разностных схем с переменными операторно-весовыми множителями, а также изучению сходимости разностных схем для задач с обобщенными решениями. Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

- для трехслойных операторно-разностных схем с переменными опе-раторно-весовыми множителями получены достаточные условия устойчивости по начальным данным и правой части для различных случаев "взвешивания" в предположении, что весовые операторы не являются коммутирующими;

- для двухслойных и трехслойных операторно-разностных схем дивергентного типа с переменными операторно-весовыми множителями найдены новые достаточные условия устойчивости по правой части и начальным данным, когда весовые операторы не являются коммутирующими и липшиц-непрерывнымп по временной переменной;

- получены оценки точности разностных схем, согласованные с гладкостью решения исходной задачи, для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неограниченной нелинейностью и для уравнения параболического типа с обобщенными решениями.

Все результаты диссертации являются новыми. Полученные результаты имеют теоретическое и прикладное значение и могут быть использованы при теоретических исследованиях более общих линейных и нелинейных задач.

РЭЗЮМЭ Шчэг.ик Валерый Сяменавгч Устойл1васць 1 збежнасць рознасных схем з аператарна—вагавым! множтками

Клычавыя словы: рознасная схема, збежнасць, устой."нваспь, пера-менныя вагавыя множишь

Сапраудная дысертацыйная работа прысвечана даследаванню устой-."пвасш аператарна-рознасных схем з пераменным1 аператарпа-впгавьпп множшкалп, а таксама вывучэнню збежнасш рознасных схем для задач з абагульненым1 ращэннямь Асноуныя вынщ дысертацьп палягаюпь у наступным:

- для трехслойных аператарна-рознасных схем с пераменньпп апера-тарна-вагавым! множшхада атрыманы дастатковыя умовы устойл1васш па пачатковым даным 1 правай частцы для розных выпадкау "узважан-ня': у дапушчэнш, што вагавыя аператары не з'яуляюцца камутаваль-нымп

- для двухслойных и трехслойных аператарна-рознасных схем ды-вергентнага тылу з пераменньпп вагавыш множшкам! знойдзены новыя дастатковыя уметы устойл1васш па пачатковым даньш 1 правай част-

1G

цы, Kaai пагаиыя аператары не з'яуляюцца камутавальным! i лшшыц-непарыуныхи па часавой зменнай;

- атрыманы ацэнк1 дакладнасш рознасных схем, узгодненыя з глад-касцю рашэння зыходнай задачы, для нелшейных звычайных дыферэн-цыяльных раунанняу другога парадку i для раунання парабал1чнага ты-пу з абагульненьиш рашэннямь

Усе вышю дысертадьи з'яуляюцца повыли. Атрыманыя вышю маюць тэарэтычнае i прикладное значэнне i могуць быць выкарыстаны пры тэ-арэтычных даследаваннях больш агульных лшейных i нелшейных задач.

Shchcglik Valéry Scmcnovich Stability arid convergence of difference schemes with operator

weight factors

Key words: dilFereiiee scheme, convergence, stability, variable weight factors.

The present dissertation is devoted to investigation of stability for operator difference schemes with variable operator weight factors and also for studying of the difference schemes convergence for problems with generalized solutions. The main results of dissertation are the following:

- sufficient conditions of stability with respect to initial data and right side for different cases of "weighting" are obtained for three-level operator-difference schemes with variable operator weight factors under assumption that operators are not commutative;

- sufficient conditions of stability with respect to right side and initial data are found for two-level and three-level operator difference sdiemes of divergent type with variable operator weights factors when weight operators are not commutative and Lipschitz-continuous with respect to time variable;

- difference schemes compatible with smoothness of original problem solution are obtained for nonlinear ordinary differential equations of second order with unlimited nonlinearit.y and for parabolic equation with generalized solutions.

All results of dissertation are new. The results obtained have theoretical and applied meaning and may be used for theoretical investigation of more general linear and nonlinear problems.

SUMMARY