Вычислительные методы для задачи газовой динамики и гидродинамики на адаптивных сетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ АКАЛЕМИИ НАУК БЕЛАРУСИ

с-г

0 _ УДК-519. С 3

1-Т:

1___

Си

МИХАЙЛЮК ИГОРЬ АЛЕКСЕЕВИЧ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ И ГИДРОДИНАМИКИ НА АДАПТИВНЫХ СЕТКАХ

(01.01.07 — вычислительная математика)

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико — математических наук

Минск - 1996

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Беларуси

Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

Матус Петр Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

Вабшцевич Петр Николаевич

кандидат физико-математических наук, профессор Бобков Владимир Васильевич

Оппонирующая организация: Институт прикладной математики

им.М.В:Келдыша Российской АН

Защита состоится 1996 г. в ""часов па

заседании совета по защите диссертаций Л 01.02.02 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, г. Минск ул.Сурганова, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.

Автореферат разослан 1996 года.

' Ученый секретарь совета

по защите диссертаций « л, . ■

кандидат физ.-мат. наук ^«Нст^Кет А.И.Астровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Одной из основных проблем современной вычислительной математики является разработка быстрых и экономичных методов решения задач математической физики. Задача построения новых эффективных алгоритмов особенно важна при решении уравнений газовой динамики и гидродинамики, разностная аппроксимация которых приводит к необ-, ходимости решать большие системы нелинейных алгебраических уравнений, что требует значительных затрат машинных ресурсов.

При математическом моделировании задач подобного класса в вычислительной практике широко используются методы, основанные на применении адаптивных сеток. В настоящее время существует несколько подходов к решению этой проблемы. Разработке и исследованию вычислительных методов адаптивного типа посвящены работы А.А.Самарского, С.К.Годунова, А.В.Забродина, Г.И.Марчука, В.В.Шайдурова, Е.В.Ворожцова, Н.Н.Яненко, П.Н.Вабищевича, В.И.Мажукина и многих других авторов. Необходимость построения и исследования разностных схем на адаптивно-времепных сетках для задач газовой динамики с особенностями обусловлена ограничениями па временной шаг г (т < Tt, где т/с — h/c,h - шаг по пространству, с— скорость звука) в области нерегулярности решения. Актуальность разработки указанных методов для уравнений гидродинамики, заданных на произвольном связном графе, вызвана наличием в гидравлической сети, как линий резкого изменения параметров течения, где естественно использовать "мелкие" временные шаги, так и линий с медленно меняющимися параметрами, где шаг г можно увеличить.

Связь работы с крупными научными программами. Исследования проводились в соответствии с темой "Построение и исследование вычислительных методов для задач газовой динамики и гидродинамики" (Постановление Президиума АН Беларуси от 5 декабря 1990 года №116), включенной на 1991-1995 гг. в план НИР, выполняемой отделом численного моделирования Института математики АН Беларуси, а также в соответствии с договорами с Фондом фундаментальных исследований Республики Беларусь №Ф 7-105 от 3 ноября 1992 г. по теме "Вычислительные методы для нелинейных задач гидродинамики на адаптивных сетках" и №Ф 94-1G7 от 31 января 1995 г. по теме "Разностные схемы

для эволюционных задач на динамических локально-сгущающихся сетках".

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка и теоретическое обоснование вычислительных методов на адаптивно-временных сетках для задач газовой динамики и гидродинамики, а также дальнейшее, развитие теории разностных схем с переменными весовыми множителями применительно к системам гиперболических уравнений.

Научная новизна полученных результатов. Новизна предлагаемых методов заключается в том, что они позволяют использовать в каждой расчетной области свой временной шаг и при этом удовлетворяют требованиям безусловной устойчивости и сходимости. В теоретическом плане новизна полученных результатов заключается в дальнейшем развитии теории устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями для систем гиперболических уравнений. С точки зрения математического моделирования в данной диссертации предложены и исследованы два подхода определения области адаптации.

Практическая значимость полученных результатов. Полученные теоретические результаты могут быть использованы при исследовании вопросов устойчивости и сходимости других вычислительных методов, относящихся к классу разностных схем с переменными весовыми множителями. С помощью разработанных в диссертации вычислительных алгоритмов на адаптивно-временных сетках было проведено моделирование задач о поршне и распаде произвольного разрыва, а также моделирование процесса запуска и остановки насоса в гидроприводе вентилятора охлаждения двигателя.

Экономическая значимость. Оценить экономический эффект от разработанных в диссертации вычислительных методов на данном этапе не представляется возможным.

Основные положения диссертации выносимые на защиту:

I. Для двухслойных ■разностных схем с операторно-весовыми множителями получены достаточные условия устойчивости по начальным данным и в специальных нормах но правой части. Исследования проведены в предположении, что весовые операторы не являются коммутирующими и лишниц-непрерьтными по переменной ¿.

■ II. Получены безусловные оценки, точности ра.гностных схем с переменными весовыми множителями для гиперболических систем уравнении первого порядка.

III. Построены и исследованы дна класса разностных схем (консервативные и не дивергентные) на адаптивно-временных сетках для уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа и системы, уравнений слабосжимаемой жидкости, определенной на конечном связном графе. Предложены достаточно простые критерии автоматического нахождения областей нерегулярности решения.

IV. Па основе разработанных алгоритмов проведено численное моделирование процесса запуска насоса в гидроприводе вентилятора охлаждения двигателя.

Личный вклад соискателя.

Основные результаты, приведенные в выносимой на защиту диссертационном работе, получены автором лично. Из совместно опубликованных работ в диссертацию вошли результаты, полученные лично автором, а также результаты, полученные на паритетных начала^ с соавторами.

Апробация результатов диссертации. Материалы диссертации докладывались на VI конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), математической конференции "Еругинские чтения II (Гродно, 1995), Международной конференции "Автоматизация и проектирование дискретных систем" (Минск, 1995), а также на научных семинарах в Институте математики АНБ и Белгосушизер-ситете.

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, выводов и списка использованных источников, содержащего 121 наименование. Работа изложена на 103 страницах машинописного текста и содержит 29 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткая оценка современного состояния проблемы построения и исследования вычислительных методов на адаптивных сетках, а также обоснование необходимости проведения работы.

Первая глава посвящена обзору литературы по рассма-¡иваемой проблеме. В разделе 1.1 дается характеристика извест-IX вычислительных методов адаптивного типа. Проблемы уп-1вления движением адаптивной сетки и постановки краевых ловий на внутренних границах подобластей рассматриваются в .зделе 1.2. В разделе 1.3 обсуждаются вопросы устойчивости и одимости адаптивных методов.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена исследованию :тойчивости двухслойных разностных схем с операторно-совыми множителями и получению оценок сходимости разност-.IX схем с переменными весами для систем гиперболических эавнений. В разделе 2.1 настоящей главы для двухслойных гераторно-разностных схем вида

+ Лу ~ <f(t), у(0) = j/o, <p = tp\ + ri/2Aip2 или <р = ipl + т1/2<р2, (1)

[е Л = А' > 0, В > 0 - линейные конечноразностные операторы гильбертовом пространстве Н, при В > т(еЕ + 0.5Л) получены ;енки устойчивости по начальным данным и правой части вида

п-1

II уп+1 Ид < II 2/о Ид + || </>i(0) IL-, + II Mtn) 11л-. + £>|| Ил- +

*=0

• +il/imax || AV2(tk) ||, 0<k<n

n-1

II U»+1 ||л< II yo \\A + II vi(0) 111- + II vi(i») L-. + X>|| IL-.+

Jb=0

+Mi max || V2{tk) || •

0<k<n

На основании этих оценок проводится исследование двух гассов оиераторно-разностных схем

yt + АуМ = у, <р = у! + г1/2Д№, y(Q)=y0, (2)

у, + (Лу)(5:) = «р, <р = <pi + г1/2у 2, !/(0) = г/о (3)

случае .4 > 0, > О, АЕ ф ЕЛ. Уравнения (2) и (3) приводятся виду (1) и при E(t) > (0.5 + е)Е для них устанавливаются оценки стойчивости вида

71-1

II уп+1II < II г/0 II + II (А-1 VI)о || +1| II + £т|| (л-'^)а 11+

+Л-/, шах ,|| <р2(1к) ||,

0<к<п

>1-1

АУп+1 II < I! Ауо II + II VI(0) || + || щ(гп) II + £ гII (уО.Л ||+

А-0

(5)

+М| тах II <р2(и) || .

0<к<п

Применение полученных результатов демонстрируется на примере исследования сходимости разностных схем с перемепными весовыми множителями для уравнения переноса.

В разделе 2.2 рассматривается смешанная задача для симметрической I - гиперболической системы уравнении

^ + = /(">, *<"> = А««) >с>0,« = й

(б)

1Г - *(Л)1ЙГ= /( у ^ = ^ * с > в = "о*17"'

при 0, = н^(Ь^) = 0. Для задачи (б) строится консервативная разностная схема с переменными весами

у\а)+ _=фЫ »<•>(0,*,) = 0, « =

г/(Н-^(а)((2/М)(<т<",)) =Ф[а), У{а)(1,^) = 0, а = по + 1, п, (7)

которая приводится к виду (2). Доказана следующая

Теорема 2.8. Пусть в разностной схеме (7) для функций выполнены условия Липшица по 2

(1 - С!^»^,) < < (1 + С1 Г)Л(о>(«,•_,).

Тогда при о^") > 0.5 + е, а = 1 ,п решение схемы (7) сходится безусловно к точному решению задачи (6) и имеют место оценки

||-'(а)]| < с2(/1 +>/?), о = 17"0, |[-(о)|| < сз(й + у/7), а = «0 + 1,",

где е, ci, с2,сз = const >0, z = у — и — погрешность метода.

В разделе 2.3 рассматривается недивергентная разностная схема с переменными весовыми множителями

У,[а) + к^Р)^ = фМ, 0, tj) = 0, а = W у[а) - кЩу^)^ = фЫ, yi°\L, t,) = 0, а = 7i0 + l, n, . (8) y{a){xi,0)=tp{a)(kxi),. a = l7n,

которая приводится к виду (3). При выполнении условий теоремы 2.8 для разностного решения задачи (8) получены следующие оценки точности

1кИ||с < /С||4о)]| < ci(h + а = Mo. с4 = const > 0.

||'(о)||с < ^|[4а)п < с5(Л + л/т), а= н0+ 1,7», с5 = const > 0.

Необходимо отметить, что общая теория устойчивости разностных схем в данном случае неприменима из-за неперестановочности операторов Аи Е.

Глава 3 посвящена построению и исследованию разностных схем на адаптивно-временных сетках для систем нелинейных уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа. Идея методов излагается в разделе 3.1 на примере смешанной задачи для системы уравнений акустики

ди _ dv dv _ ди

~dt = дх1 ~dt ~ дх' ^ '

Для аппроксимации задачи (9) используются следующие сетки узлов: U = ZJh х UTll, т0 = т/р, р > 1 — целое число,

Uh = {х,- = ih, xi+i = (г + 1/2)h, i = Ojf, h = L/(N + 1/2)} , ^ = {t{a) = tj+a/p = (j + a/p)r, a; = 6~p, j = 0, J - 1}.

Сеточную область U при каждом фиксированном j представим в виде w = ш\ U aJji ГДе

= {(*;> f(a)), » = (;c,+i/2,i(a)), i' = mi-l,m2, a = 0,1,...,р}.

Предположим, что в области решение задачи (9) является достаточно гладкой функцией, авЦ решение претерпевает резкое

изменение или имеет особенность, движущуюся со временем. Естественно, при численной реализации задачи (9) в области можно применить грубый временной шаг т, а в области ш].2 возникает необходимость использования достаточно мелкого вре-меппого шага т„.

Для аппроксимации задачи (9) строятся недивергентные

й- _><») „. _ 57^1-) Гни

и консервативные

= ьн1а = (11)

разностные схемы на адаптивно-временных сетках, где

У(а) - У (а-1) , . > _ , , ,

У1„ =---. У{») = У{х<, tj+a/p), У = !/(^1>1/2.

_ Г а, г € _ Г а, г €

(12)

/_ = {0,1>...,ЛГ-1}, /+ = {1,2,...,ЛГ},

/1; = {0,...,т{-1, П12, ..., /V — 1}, /2; = {1,...,т{-1,7/4 + 1,...,^}

для схемы (10) и

/ц - {0,..., т{, ..., ^-1}, = {1,..., Ш| —1, »г;2,..., IV} -для (11).

В дальнейшем для упрощения выкладок индекс к будем опускать.

В ходе исследования устойчивости и точности предлагаемых разностных схем было установлено, что они относятся к классу разностных схем с переменными (и к тому же разрывными) весовыми множителями. Для исследования безусловной сходимости построенных методов использовались результаты главы 2.

Рассмотренный метод построения разностных схем на адаптивно-временных сетках применяется в разделе 3.2 для аппроксимации системы уравнений вязкого баротропного газа

дг] 0v _ дд _

01 ~ Э? 01 ~ Р = (г/)'

где ц = \Jp - удельный объем, р - плотность, р = P(i)) - давление, v - скорость газа, д - сумма газокинетического и "вязкого'' давления: д — р + и. Строятся недивергентные

Vt,a = = - ш{а)1 (13)

и консервативные

т,а = (^Х > = -9{a)J, 9м = ^ + "(о) . (14)

разностные схемы на адаптивно-временных сетках. Здесь р = — P{7j), = ~vWil<ai а веса akai fc = 1,2 определяются по фор-

мулам (12).

Для нахождения приближенного решения по схемам (13), (14) применяется метод Ньютона с последующей реализацией методом прогонки. Строгое нахождение краевых'условий на внутренних границах подобластей обеспечивается применением метода встречных прогонок.

Эффективность предложенных методов иллюстрируется на примере численного моделирования задачи о поршне. Рассматриваются два случая, когда поршень выдвигается из газа и вдвигается в газ.

Одной из основных проблем, возникающих при использовании вычислительных методов адаптивного типа на практике, является проблема выбора параметра, управляющего перемещением узлов сетки. Безусловно, способ поиска области адаптации должен быть достаточно прост, чтобы обеспечивать экономию машинного времени в сравнении с неадаптивными методами. И в то же время он должен быть универсален, чтобы его можно было применять как для различных типов задач, так и для разных видов особенностей. В известных монографиях A.A. Самарского подробно описан способ автоматического выбора временного шага в зависимости от числа итераций. В частности, рекомендуется делить пополам временной шаг в случае большого числа итераций. В то же время, хорошо известно, что при численной реализации задач газовой динамики и гидродинамики большое количество итераций возникает лишь в областях нерегулярности решения. Поэтому этот подход естественно использовать для определения области адаптации и введения "мелких" или "грубых" временных шагов. В ходе численных расчетов был опробован и другой способ, наиболее

эффективный при моделировании ударных волн. Известпо, что в таких задачах, чтобы не испортить порядок точности метода, в разностную схему вводят "искусственную вязкость", которая предназначена работать лишь в зоне ударной волны. Данный подход использовался и при построении области адаптации.

В разделе 3.3 рассматривается применение описанного выше метода построения разностных схем для системы уравнений идеального газа в переменных Лагранжа

дп до ду дд де дь ,. __..

Построены недивергентные ^

г,_ _ „(ст,») __Л&2а) т_ _ Ь ~ 1) Ла,а) (<т1а)

гП,а ~ V* I "1,а — Уз 1 "Ча —--^ 3

и консервативные

%а = (Ут°К «Г.а = ~(<)(а2°К Ча =

разностные схемы на адаптивно-временных сетках. Здесь значения функций т], р, Т, £ относятся к полуцелым узлам сетки ы/, , функции и-к целым узлам. Веса а*а определены по формулам (12). Изучаются два вида расчетной сетки:

/_ = {0,1.....¿V - 1}, 4 =

12] = {1,...,т£ - 1, тпк1 + 1,...,АГ} , к = Т^К, где К - число зон адаптации и

1ц = {0, -.., т{ - 1 - р + а, тпк2 + р - а,..., N - 1} ,

/2;- = {1,.. .,т* - 1 -р + а, т«2 "Ы +Р— а> > " = 1 ,Р, к = \,К.

Эффективность предложенных методов иллюстрируется на примере численного моделирования задачи о распаде разрыва, решение которой содержит несколько особенностей.

Исследование устойчивости построенных разностных схем проводится на примере системы уравнений акустики с учетом температуры. На основании результатов главы 2 при сть > 0.5, к = 1,2 доказана безусловная устойчивость по начальным данным.

Проведенные вычислительные эксперименты для задач о поршне и распаде разрыва показали, что использование разностных схем на адаптивно-временных сетках позволяет на 30%—50% сократить затраты машинного времени в сравнении с неадаптивными методами.

Особенность моделирования сложных гидравлических сетей связана с наличием в них как линий резкого изменения параметров течения, так и линий с медленно меняющимися параметрами. В связи с этим введение на некоторых' линиях гидросистемы "мелких" и "грубых" шагов по. временной переменной является естественным условием. В главе 4 для нелинейной системы сла-босжимаемой жидкости, определенной на конечном связном графе G, построены разностные схемы на адаптивно-временных сетках и алгоритмы их реализации.

В области (х, t) g (J Пк х (0, Т],где Oit = .{я* ^ 0 < Хк < 1к} -- ребро кеу

графа G с номером к, течение жидкости описывается еле; ющей системой одномерных уравнений гидродинамики:

Qa+v Ηt+IËEL + Л1 I = о

dt dxt рдхк 2 dk '

(15)

Орк , дщ ■ дрк . 2л—1

Здесь Ук - скорость, рк - давление, р - плотность жидкости, Л = А(Яе,Д) - коэффициент гидравлического сопротивления, <1к -диаметр к - го трубопровода, Ск - скорость распространения упругих возмущений, Д - шероховатость стенок трубопровода. Систему уравнений (15) можно представить в виде

^-+(<Рк+Ск)^- = -Фк{гк~н), = (Ю)'

где Гк = Рк + рСкОк, з* = рк - рскУк - инварианты Римана, = = (гк — Зк)/(2рск), грк = А | Рк | /(4&). Для аппроксимации (Ю) на линиях, содержащих особенности решения, используется схема

Гк1,а + {рЦа) + Ск)Гк!(а) = ~Фк(а){г к(с) ~ вЦа)), I = 1, ..., Л^.,

+ (У*(о) ~ Ск)^кх(а) = Фк(а)(гк(о) ~ «*(<»)), » = 0, ..., Л^ ~ 1,

а на линиях с медленно меняющимися параметрами -

А'л-Т,а + (vt(«) - ct)stx(a) = */'к(а)(гЦа) ~ st(a)), г" = 0, ..., iVjfc - 1.

Здесь /1(а) = fl+a/P, ftla = (Л(„)-Л.(а_1))/(т0), = Uk{a)-fi)/{<XTo)<

Исследование устойчивости и сходимости построенных разностных методов проводится в разделе 4.3 на линейном аналоге системы (16). При <Хка > 0.5, к = 1,2 получены оценки устойчивости по начальным данным и граничным условиям в сеточной норме 1 V2l. а при ata > 0.5 + е доказана безусловная сходимость со скоростью ■р{к+у/т).-

Построенные алгоритмы на адаптивно-временных сетках были использованы для исследования течений жидкости при моделировании процессов запуска и остановки насоса в гидроприводе вентилятора охлаждения двигателя. Рассматриваемая принципиальная схема гидропривода включает насос, гидродвигатель (мотор), необходимые соединительные трубопроводы, фильтр очистки рабочей жидкости и предохранительные клапаны (см. рис.).

Вычислительный эксперимент показал, что использование вычислительных методов адаптивного типа с "грубыми" шагами по времени позволяет существенно сократить затраты машинного времени и получать параметры течения жидкости, практически совпадающие с параметрами, рассчитанными без использования адаптации с "мелкими" шагами.

_7 s ОК1

о о

гидравлическим мотор

предохранитель' ■ ? ный клапан

обратный клапан

фильтр

«-!-1 гидробак

Рис. Гидропривод вентилятора охлаждения двигателя.

12

ВЫВОДЫ

Данная диссертация посвящена разработке и исследованию вычислительных методов на адаптивных сетках по временной переменной для задач газовой динамики в переменных Лагранжа и системы уравнений слабосжимаемой жидкости, определенной на конечном связном графе. Большое внимание уделяется также развитию теории устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями для систем гиперболических уравнений. В ходе выполнения работы были получены следующие результаты:

- для двухслойных разностных схем с операторно-весовыми множителями получены достаточные условия устойчивости по

о п *J

начальным данным и правой части. Б ходе исследовании предполагалось, что весовые операторы не являются коммутирующими и липшиц-непрерывными по переменной

- доказана безусловная сходимость разностных схем с переменными весовыми множителями для гиперболических систем уравнений первого порядка;

- построены консервативные и недивергентные разностные схемы на адаптивно-временных сетках для уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа и системы уравнений слабосжимаемой жидкости, определенной на конечном связном графе. Исследована сходимость данных методов;

- на основе разработанных алгоритмов проведено численное моделирование процесса запуска и остановки насоса в гидроприводе вентилятора охлаждения двигателя.

сновпые результаты диссертации опубликованы в работах

. Матус П.П., Михайлюк И.А. О численном решении задач газовой динамики на адаптивных сетках //VI Конференция математиков Беларуси. Тез. Докл. конф. - Гродно, 1992. -4.2. С. 149.

. Корзюк A.B., Матус П.П., Михайлюк И.А., Никифорова Е.Д. Математическое моделирование нестационарных нелинейных задач на адаптивных сетках. - Препринт / Ин-т математики АН Беларуси-Мн., 1993. -.36 с. . Матус П.П., Михайлюк И.А. Разностные схемы с переменными весами для систем гиперболических уравнений // Математическое моделирование. - 1993. - Т. 5f №12. - С. 35 - 60.

, Матус II.П., Михайлюк И.А., Чуйко М.М. Разностные схемы на адаптивно- временных сетках для систем гиперболических уравнений. - Препринт / Ин-т математики АН Беларуси. -Мн., 1994. - 48 с.

Михайлюк И.А., Чупко М.М. Экономичные разностные методы на гидравлических сетях // Математическая конференция "Еругинские чтения - II". Тез. Докл. конф. - Гродно, 1995. - С. 85.

Михайлюк И.А. Моделирование задач математической физики с особенностями на адаптивных сетках // Международная конференция "Автоматизация проектирования дискретных систем". Тез. Докл. конф. - Минск, 1995. - Т.1. С. 120. Чуйко М.М., Михайлюк И.А., Захарцева В.Д. Вычислительные методы адаптивного типа на гидравлических сетях // Математическое моделирование. - 1995. - Т. 7, №12. - С. 79 - 96.

Михайлюк И.А. Вычислительные методы с непостоянными весами для систем гиперболических уравнений. - Препринт / Ин-т математики АН Беларуси.- Мн., 1996. - 21 с.

РЕЗЮМЕ Михайлюк Игорь Алексеевич "Вычислительные методы для задач газовой динамики и гидродинамики па адаптивных сетках"

Ключевые слова: разностная схема, сходимость, устойчивость, адаптивно - временная сетка, переменный вес.

Данпая диссертация посвящена разработке и исследованию вычислительных методов на адаптивно-временных сетках для задач газовой динамики и гидродинамики, а также дальнейшему развитию теории устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями для гиперболических систем уравнений первого порядка. Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

- для двухслойных разностных схем е операторно-весовыми множителями получены априорные оценки устойчивости по начальным данным и в специальных нормах по правой части;

- получены безусловные оценки точности разностных схем с переменными весовыми множителями для гиперболических систем уравнений первого порядка;

- построены и исследованы два класса разностных схем (консервативные и недивергентные) на адаптивно-временных сетках для уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа и системы уравнений слабосжимаемой жидкости, определенной на конечном связном графе. Новизна предлагаемых методов заключается в том, что они позволяют использовать в каждой расчетной области свой временной шаг и при этом удовлетворяют требованиям безусловной устойчивости и сходимости;

- на основе разработанных алгоритмов проведено численное мо делирование процесса запуска насоса в гидроприводе вентилятор; охлаждения двигателя. Вычислительные эксперименты показали что применение предлагаемых разностных схем позволяет сущест венно сократить затраты машинного времени.

Разработанные вычислительные методы могут применяться дл. решения прикладных задач газовой динамики и гидродинамики особенностями. Результаты, полученные по теории устойчивост разностных схем с переменными весами, могут быть использован] при исследовании различных адаптивных методов, относящихся классу разностных схем с переменными весовыми множителями.

РЭЗЮМЭ ¡УПхайлюк 1гар Аляксеев1ч "Вьшчальпыя метады для задач газавай дышшш 1 пдрадыпамш на адаптыуных сетках"

Ключавыя слопы: рознасная схема, збежнасць, устойл'тасць, 1даптыуна-часовая сетка, пераменпая вага.

Дадзеная дысертацыя нрысвечана распр.ацоуцы I даследванпю !ыл;чальиых метадау на адаптыуиа-часовых сетках для задач ■азавай дынамп-а I пдрадынамЫ, а таксама далейшаму развщцю гэорьп усТ0»л'васД1 рознасных схем з пераменпьип вагавьпн .шожшкам! для гшербал1чпых ск:тэм раунаппяу першага парадку. \сноуныя вышы дысертацьп палягаюць у наступным :

- для дзвухслойных рознаспых схрм з аператарпа-вагавы-.п множшкам! атрымацы апрыерпыя ацэнк! уетоил'шасц1 па ¡ачатковым даным 1 у спецыяльпых нормах па правам частцы;

- атрыманы безумоуныя ацэню дакладнасщ рознаспых схем I пераме1тым1 вагавым1 множ1икам1 для гшербал1чных астэм )аупанняу першага парадку;

- пабуда'ваны I даследаваны два класа рознасных схем (кансер-1атыуныя 1 недывергептпыя) на адаптыуна-часовых сетках для >аушшняу газавай дыпамта у пераменпых Лагранжа \ с1стэмы >аунанняу слабасщскальнай вадкасщ, якая вызначана на кан-1атковым звязным графе. Нав1зиа прапапаваных метадау заклю-саецца у тым, што яшл дазваляюць ужываць у кожнай разл1Ковай обласш свой часовы крок I пры гэтым задавалытюць патраба-¡анням безумоунай устойл1васщ 1 збежнасц!;

- на падставе распрацавапых алгарытмау праведзена л!чбавае ьадэляванне працэса запуску помпы у гщрапрывадзе вентылятара .хладжэння рухавша. Вьипчальныя эксперыменты наказала 1То ирымяненне прапапаваных рознаспых схем дазваляе ¡стотна карацщь страты машыннага часу.

Распрацаваныл выл1чальпыя метады могуць выкарыстоувацца ;ля развязання дастасоуных задач газавай дынамш1 пдрадынамш асабл!васцямь Вышкц атрыманыя па тэорьи устоШпвасщ рознас-ых схем з пераменным! вагам1, могуць быць ужыты пры даслед-аннях розных адаптыуных метадау, яыя дачыпягоцца да класа роз-аспых схем з перамепным! вагавым*! множткам!.

SUMMARY

Mikhailiouk Igor Alexseevich " Computational methods with adaptive grids for gas dynamic aud hydrodynamic problems"

Key words: difference scheme, convergence, stability, time-adaptive grid, variable weight.

The present dissertation is devoted to elaboration and investigation of computational methods with time-adaptive grids for gas dynamic and liy-drodynamic problems and also to further development of the stability theory of the difference schemes with variable weight factors for hyperbolic systems of equations of the first order. Main results of dissertation are contained in following:

- for two-level difference schemes with operator-weight factors were obtained a priori stability estimates with respect to initial data and in special norms to right sides;

- unconditional accuracy estimates were obtained for the difference schemes with variable weight factors for hyperbolic systems of equations of the first order;

- two classes of difference schemes (conservative and nondivergent) with time-adaptive grids were constructed and investigated for gas dynamic equations in Lagrange form and for the system of weakly compressible fluid equations defined on finite connected graph. Novelty of proposed methods is following: they allow to use different time grid steps in each computational region and in the same time they correspond to requirement of unconditional stability and convergence;

- on the base of developed algorithms was carried out the numerical modelling of the start pump, process in the hydro drive of engine cooling ventilator. Computational experiments showed that application of proposed difference schemes allowed to reduce machine time essentially.

Developed computational methods may be used for solution of applied problemes of gas dynamic and hydrodynamic with singularities. Results obtained on the theory of stability of difference schemes with variable weights may be used for investigation of various adaptive methods that belongs to class of difference schemes with variable weight factors.