Разностные схемы МГД в системе координат, адаптирующейся к решению тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

рге од

На правах рукописи ' 3 . . УДК 517:519

САЕЛШ МАРК НИКОЛАЕВИЧ

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ МГД В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ АДАПТИРУЮЩЕЙСЯ К РЕШЕНИЮ 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре Вычислительных методов факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Н.В.Арделян

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.М.Головизнин, доктор физико-математических наук В.Ф.Тшшш

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

п . _ Зо

Защита состоится " " '^ЮИЗ ^94 года в 'Ь> час_

на заседают специализированного совета Д 053.05.37 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет Вычислительной математики и кибернетики, 2-ой учебный корпус, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ. Автореферат разослан а прел Л 1994 года

Ученый секретарь Совета доктор физ.-мат. наук,

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Эффективным методом математического моделирования сложных научно-технических, народнохозяйственных задач является вычислительный эксперимент (ВЭ) [1]. Математические модели многих процессов описываются с помощью уравнений математической физики, б частности, уравнениями магнитной гидродинамики ( МГД ) [23.

Уравнения МГД, как правило, представляют собой систему нелинейных уравнений гиперболического типа. С помощью этих уравнений описываются математические модели многих практических задач. Разработка ' эффективных алгоритмов решения таких задач является актуальной проблемой в настоящее время, из-за продолжения исследований методом ВЭ сложных задач газовой динамики, физики плазмы и незавершенности соответствующих, разделов теории уравнений математической физики и численных методов.

Актуальность теш. При описании МГД задач применяются два основных подхода к описанию сплошной среды: эйлеров и лагранжев [3]. Лагранжев подход применяется для описания МГД течений с границами раздела двух сред и свободной границей, но он теряет свою эффективность при возникновении сдвиговых деформаций. Эйлеров подход, напротив, позволяет хорошо описывать течения с сильными деформациями и теряет свою эффективность при наличии ' сильной неоднородности параметров течения и свободных границ. В силу этого достаточно широкое распространение получил смешанный эйлерово-лагранжевый (СЭЛ) подход к описанию МГД задач, позволяющий эффективно использовать достоинства обоих упомяну-

тых вше подходов [4-6] в случаях, когда чисто эйлеров и чисто лагранжев подходы оказываются малоэффективными.

Среди методов, сочетавших достоинства эйлерова и лагран-жевого подходов, в последнее время усиленно развиваются те из них, которые основаны на использовании системы координат, движущейся по законам, зависящим от свойств решения. Такие методы приводят к задачам, решающимся на подвижных сетках, динамически адаптирующихся к решению [4,6-10].

В двумерных расчетах часто бывает так, что расчетная область сильно меняет свою форму и размеры с течением времени, а задача такова, что лагранжев подход к ее описанию малоэффективен. В этом случае неизбежно возникает необходимость топологического изменения сетки в процессе расчета. Существуют эффективные методы перестройки структуры сетки для задач в лагран-жевой постановке [11-13].

Таким образом, актуальна задача создания таких алгоритмов в СЭЛ переменных, в которых используются подвижные сетки и проводится топологическая перестройка сетки в процессе расчета. В диссертации эта проблема рассматривается применительно к двумерным задачам МГД на основе операторного подхода [14]. Цель работы состоит в

- построении на основе операторного подхода двумерной неявной консервативной разностной схемы МГД в СЭЛ переменных, которая аппроксимирует свой непрерывный аналог на нерегулярной треугольной сетке;

- создании, исследовании и программной реализации эффективного численного метода решения двумерных нестационарных залач газовой динамики, основанного на применении этой схемы:

- разработке эффективного метода адаптации сетки к особенностям вычисляемого решения, сочетающегося с изменением ее топологической структуры в процессе расчета, и его проварке на модельных дЕумерных задачах.

Нз.учнзя новизна и практическая ценность. В данной работе построены сеточные аналоги дифференциальных операторов переноса, н-гтг.рые аппроксимируют свои непрерывные аналоги на существенно неравномерной треугольной сетке, сохраняют их основные свойст-и обладают при этом меньшим шаблоном, чем такие же операторы. полученные проекционным методом. В ДЕумерных задачах эта проблема является сложной и для существенно неравномерных сеток актуальна до настояшего времени ( для квазиравномерноых сеток см. [4] ).

Сохранение в сеточном случае, осноеных свойсте дифференциальных операторов является необходимым условием консервативности получаемой разностной схемы. В диссертации на базе операторного подхода построена консервативная разностная неявная двумерная схема МГД в СЭЛ переменных с учетом диссизптиеных процессов и проведена ее операторная интерпретация для случая чистой газовой динамики. Система записана в эйлеровой системе координат, что позволяет менять топологическую структуру сетки е процессе расчета, используя в качестве опорной сетку с предыдущего временного слоя.

В данной работе построен, исследован и реализован в виде программного комплекса эффективный итерационный метод решения системы нелинейных операторных уравнений, получающейся при использовании неявных схем газовой динамики в СЭЛ переменных.

В диссертации предложено уравнение для скорости системы

координат, включение которого систему уравнений гззоеой динамики позволяет эффективно управлять движением узлов сетки в процессе расчета. С использованием адаптации сетки, в сочетании, в случае необходимости, с топологической перестройкой били проведены модельные расчеты ( однофазная задача Стефана о замерзании и задача об истечении в вакуум ). Основные результаты работы.

1. На основе операторного подхода построена двумерная неявная консервативная операторно-разностная схема МГД в СЭЛ переменных, которая аппроксимирует свой непрерывный аналог на нерегулярной треугольной сетке. Выяснены операторные свойства этой схемы.

2. Предложен и исследован эффективный итерационный метод решения неявных ОРС двумерной газовой динамики в подвижной системе координат, создана его программная реализация.

3. Разработан способ адаптации сетки к особенностям вычисляемого решения, сочетающийся с изменением ее топологической структуры в процессе расчета. Его эффективность проверена на расчетах двумерных модельных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре под руководством профессора Ю.П.Попова в ИПМ им. М.В.Келдыша, на научном семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМК МГУ и на Всероссийской конференции "Актуальные проблемы математического моделирования" /Абрау-Дюрсо, 1993 г./.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 работы, список которых приведен в конце реферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из ЕЕеде-

ния, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Обгем работы 125 страниц, из них 17 рисунков и библиография 44 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении представлен краткий обзор состояния вопроса в решении проблем, рассматриваемых в диссертации, обоснована актуальность темы, изложено содержание работы. Глава Ь. состоит из пяти параграфов, в которых проводится необходимая подготовительная работа, а затем строится консервативная разностная схема МГД в СЭЛ переменных и проводится ее операторная интерпретация для задач газовой динамики.

В §1 приведена система уравнений МГД в СЭЛ переменных. Второй параграф содержит используемые в дальнейшем обозначения и определения операторов из [15]. В §3 построены и исследованы

сеточные операторы переноса, необходимые для построения раз-

\

ностной схемы в СЭЛ переменных. Предложен вариант аппроксимации на нерегулярной треугольной сетке оператора 7-( аВ ), где а - вектор, В - либо скаляр, либо вектор, действующего из ячейки в ячейку и из узла в узел, для которого выполняются сеточные аналоги соотношений

•7- ( аВ ) = В 7-а + а-7 В, если В - скаляр или вектор и

2 2 2 В 7-( аВ ) = В2 7-а + а-7 | = | 7-а + 7-( а | ), если В -

вектор. В §4- построена неявная консервативная разностная схема МГД в СЭЛ переменных на нерегулярной треугольной сетке в цилиндрической системе координат при аксиальной симметрии, кото-

рая использует ячеечно-узловую аппроксимацию и аппроксимирует свой непрерывный аналог с первым порядком точности. В §5 приведена эта схема для случая чистой газовой динамики, сформулированы сеточные краевые условия для нее, дана операторная формулировка этой схемы, ее линейной модели и задачи, решаемой на фиксированном временном шаге.

В главе 2 построен итерационный метод решения неявной операторной разностной схемы газовой динамики. Получена оценка его множителя сходимости. Исследования проводятся с помощью теории обобщенных линейных итерационных методов [16-18] решения неявных операторных разностных схем газовой динамики. Рассматриваемый метод представляет собой обобщенные линейные итерации для системы нелинейных операторных уравнений в евклидовом пространстве. Исследование сходимости метода проводится с помощью анализа линеаризованной задачи в окрестности начального приб-

ЛИЖ9НИЯ.

Глава 2 состоит из двух параграфов. В §1 приведен и исследован на сходимость двухступенчатый итерационный метод решения линенйного операторного уравнения специального вида, получена оценка множителя сходимости этого метода. Во втором параграфе на основе §1 полностью определен итерационный процесс для решения линеаризованной задачи на фиксированном шаге по времени для схемы газовой динамики из §5 главы 1 и оценен его множитель сходимости. В том же параграфе определен итерационный процесс для случая, когда решается только одно уравнение теплопроводности с переносом. Далее там же приведен итерационный метод решения нелинейной неявной разностной схемы газовой динамики, который в результате линеаризации сводится к

исследованному вше итерационному процессу для линеаризованной задачи.

Глава 3 посвящена изложению результатов работы по использованию сеток, динамически адаптирующихся к особенностям решения в процессе расчета.

Существуют различные [4,6-10] способы выбора скорости движения системы координат в СЭЛ переменных таким образом, чтобы на каждом шаге по времени ниболее адекватно передавались особенности вычисляемого решения. Оптимальным пврдставляется совместное использование динамической адаптации и топологической перестройки сетки. В этом случае наилучшим образом реализуется основное преимущество адаптивных методов - достижение хорошей точности на сетке с малым числом узлов.

Для динамической адаптации сетки в разностную схему газовой динамики в СЭЛ переменных вводится новое уравнение для определения скорости движения системы координат. Такой способ хорошо зарекомендовал себя на практике ( см. С4, б, 8, 10] ). В главе 3 предложен один из вариантов такого уравнения, приведены варианты краевых условий для этого уравнения, сделана его операторная интерпретация и на тестовых примерах показана его эффективность. В предложеном методе адаптации на каждом шаге по времени в качестве опорной используется сетка с предыдущего временного слоя, что делает возможным изменение ее топологической структуры в процессе расчета.

Далее в этой же главе изложены результаты численных модельных расчетов. В качестве первого теста была взята однофазная задача Стефана о намерзании льда на стенку трубы [19] ( рассчитывалась только область со льдом ). В этой задаче есть

все трудности, которые делают необходимым проведение динамической адаптации сетки вместе с ее топологической перестройкой: расширяющаяся область и большой градиент решения вблизи фазоЕой границы. Рассчеты выявили, что даже на очень грубой сетке достигается вполне приемлемая точность решения. В качестве других тестов рассматривались задача о выдвижении плоского поршня из газа и задача об истечении в Еакуум цилиндрического газового сгустка. Их особенностью является большой градиент скорости среды Еблизи свободной границы, из-за чего в лагранжеЕом расчете ячейки около нее сильно вытягиваются. Применение динамической адаптации позволило обойтись без перестройки и сохранять при этом аппроксимационные свойства схемы в процессе всего расчета.

Третья глава состоит из трех параграфов. В §1 изложен процесс управления скорость системы координат с помощью уравнения специального вида и на примере модельного расчета показано, как изменение коэффициентов этого уравнения влияет на движение узлов. В §2 приведены результаты рассчета однофазной задачи Стефана о намерзании. Приведены сеточная постановка задачи и вид уравнения для скорости системы координат. На рисунках изображены график решения и вид области для различных моментов времени. Третий параграф содержит описание рассчетов плоской и цилиндрической волн разрежения, их результаты изображены на рисунках.

В заключении кратко перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Саблин М.Н. Операторно-разностная схема магнитной гэзоео{ динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. М., 1993, Деп. в ВИНИТИ 9.8.93, J62232-B93.

2. Арделян Н.В., Саблин М.Н. Итерационный метод для системь операторных уравнений, возника- щих при решении неявных разностных схем газоиой динамики. // Вестн. Моек ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем и кибврн., 1993, Ы, С. 7-12.

3. Арделян Н.В., Саблин М.Н. Метод численного решения однофазной задачи Стефана на адаптивной сетке переменной структуры.//Диф. ур-ния, 1993, т.29, Ш, С. 1130-1136.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. Самарский A.A. О математическом моделировании и вычислительном эксперименте в физике.//Вестн. АН СССР, 1979, J45, С. 38-49.

2. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.-М.: Наука, 1982.

3. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики.- М.: Наука, 1992.

4. Колдоба A.B..Кузнецов O.A..Повещенко Ю.А.,Попов Ю.П. К рас чету самогравитирущих и магнитогидродинамических процессов в сешанных эйлерово-лагранжевых переменных.-М:Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР.-J629.-1985.

5. Бойко А.Я. Построение полностью консервативных разностных схем магнитной гидродинамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных.// ДУ, 1988, т.24, Ш, С. 1138-1149.

6. Дарьин H.A.,Мажукин В.И..Самарский A.A. Конечно-разностный метод решения нестационарных двумерных краевых задач на адаптивной сетке, динамически связанной с решением. - М.: МПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1987.-Препринт .«£117.

7. Василевский В.Ф.,Мажукин В.И. Численное решение нестационарной задачи теплопроводности на адаптивной сетке с явным выделением области слабого разрыва.-М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1989.- Препринт ЛИД.

8. Мажукин В.И.Дакоева Л.Ю. Принципы построения динамически адаптирующихся к решени сеток в одномерных краевых задачах.// Математическое моделирование, 1990, т.2, Ä3, С. 101-118.

9. Дегтярев Л.М.,Дроздов В.В.,Иванова Т.е. Метод адаптивных к решению сеток в одномерных краевых задачах с пограничным слоем.- М.:ИШ им. М.В. Келдыша РАН, 1986,- Препринт .№164.

10. Hawken D.P., Gottleb J.J., Hansen J.S. // J. of comp, phys., 1991, .№95, P. 254-302.

11. Арделян H.B., Космачевский K.B., Козлов Н.П. и др. // Радиационная плэзмодинамика. Материалы I Всесоюзного симпозиума по радиацинной плазмодинамике.- М.: Энергоатомиздат, 1991, т.1, С. 218-250.

12. Михайлова Н.В., Тишкин В.Ф., Тюрина H.H. и др. Численное моделирование двумерных газодинамических течений на сетке переменной структуры. // ЖВМ и МФ.- 1986.- т.26, №.- С. 13921406.

13. Нроули У.П. PLAG - свободно-лагранжев метод для численного моделирования гидродинамических течений в двух измерениях. // Численные методы в механике жидкостей.- М.: Мир, 1973.

14. Самарский A.A. Теория разностных схем.- М: Наука, 1983.

15. Арделян Н.В.,Космачевский K.B..Черниговский C.B. Вопрос: построения и исследования полностью консервативных разностны. схем магнитной газовой динамики.-М.:МГУ, 1987.

16. Арделян Н.В. Об использовании итерационных методов пр: реализации неявных разностных схем двумерной магнитной гидро динамики.// Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1983, т. 23, N б С. 1417-1426.

17. Арделян Н.В. К вопросу о полулокальной сходимости линейны: итерационных методов для систем линейных уравнений.// Вестн Моск. ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и киберн. 1984. Ш. С 23-26.

18. НагаеЕа Е.И. О полулокальной сходимости двухступенчаты: итерационных методов.//Вестник Моск.ун-та. Сер.15., Вычисл матем. и киберн. 1990, J43. С.35-40.

19. Самарский A.A..Моисеенко Б.Д. Экономическая схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана.//Журн. вычисл. мат. ; мат. физ, 1965, т. 5, №5, С.816-827.