Численный метод решения уравнений магнитной газодинамики с учетом теплопроводности и диффузии магнитного поля в произвольной подвижной системе координат тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

,/,/л " / /1

//',' / : • « I ч' "" ,

1 ; РОССИЙСКИМ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЯДЕРНЫЙ ЦЕНТР — ВСЕРОССИЙСКИЙ НАУЧНО — ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Экз. N на правах рукописи

УДК 518:539

Диянков Олег Владимирович

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ С УЧЕТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.

(специальность 01.01.07 - вычислительная математика)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Снежинск, 1998.

Оглавление

Введение. 5

1 Математическая модель для описания двумерных маг-нитогазодинамических течений с учетом трех компонент векторных величин в произвольной подвижной системе координат. 18

1.1 Основные уравнения 2-мерной МГД модели с учетом трех компонент векторных величин................. 19

1.2 Расщепление полученной двумерной

МГД системы уравнений по физическим процессам.....32

1.3 Подвижная система координат................ 35

1.4 Граничные условия........................ 39

2 Разностная ТУЮ схема для одномерных уравнений газовой динамики в лагранжевой системе координат. 43

2.1 Анализ одномерных лагранжевых уравнений газовой динамики............................... 45

2.2 Разностная схема типа ТУБ первого порядка аппроксимации................................. 48

2.3 ТУБ схема второго порядка точности............. 51

2.4 Расчеты тестовых задач..........................................52

2.5 Явная полностью консервативная схема с TVD вязкостью

для лагранжевых уравнений газовой динамики................68

2.6 Подавление энтропийного следа в лагранжевых одномерных TVD схемах..................................................75

2.7 Выводы..............................................................86

3 Разностная TVD схема для двумерных гиперболических

систем уравнений в лагранжевой системе координат. 87

3.1 TVD схема для двумерных лагранжевых уравнений газовой динамики........................... 91

3.2 Оценка спектрального радиуса произвольной матрицы. . . 100

3.3 Исследование устойчивости разностной схемы TVD для двумерных уравнений газовой динамики.............105

3.4 Разностная схема типа TVD для консервативной лагранжевой МГД системы уравнений.................111

3.5 Устойчивость разностной схемы TVD типа для многомерной гиперболической системы уравнений............127

3.6 Подвижная система координат.................135

3.7 Численные примеры.......................150

4 Решение диффузионной системы уравнений. 159

4.1 Разностная схема для численного решения одного квазилинейного уравнения теплопроводности............160

4.2 Аппроксимация и устойчивость разностной схемы......169

4.3 Разностная схема для диффузионной системы уравнений. . 173

4.4 Численные примеры....................... 179

5 Численное моделирование газодинамических и магнито-газодинамических течений. 186

5.1 Моделирование разлета пластины под воздействием лазерного излучения..........................187

5.2 Моделирование неустойчивостей

в Z-пинчe..............................195

Заключение. 205

Благодарности. 207

Приложение А.Вычисление коэффициентов для линейной системы уравнений в приграничных ячейках. 208

Приложение Б. 1С С в метод для решения систем линейных уравнений. 217

Введение.

Численное моделирование многомерных магнито-газодинамических течений высокотемпературной плазмы является актуальной задачей современной вычислительной математики. Оно необходимо при изучении различных кумулирующих систем: Z-пинчeй [1], взрыво-магнитных генераторов [2], физических установок типа " Токамак" [3].

Интерес к этой теме привел к появлению целого ряда методов моделирования одномерных и многомерных МГД течений: [4], [5], [6], [7],

И, М-

В первой из перечисленных работ ([4]) предложена одномерная неявная полностью консервативная разностная схема и численный метод для ее решения.

Вторая работа ([5]) описывает метод решения двумерных МГД уравнений в подвижных сетках с учетом одной компоненты вектора магнитного поля и двух компонент вектора скорости.

В третьей работе ([6]) предложена разностная схема для решения двумерных идеальных МГД уравнений (т.е. без учета теплопроводности и диффузии магнитного поля) в лагранжевой системе координат, полученная вариационным методом [10],[11],[12]. При этом рассматриваются все три компоненты векторов массовой скорости и магнитного поля.

В четвертой работе ([7]) предложен численный метод решения двумерных МГД уравнений с учетом теплопроводности и диффузии магнитного поля. Рассматриваются три компоненты массовой скорости и одна (</>-овая) или две (г-ая и г-ая) компоненты магнитного поля. Этот метод является эйлерово-лагранжевым, то есть одно семейство координатных линий является лагранжевым, а второе - эйлеровым. Данное обстоятельство и накладывает основные ограничения на класс течений, которые могут моделироваться этим методом.

В работе ([8]) предложен метод решения двумерных эйлеровых МГД уравнений с учетом теплопроводности и диффузии магнитного поля.

В работе ([9]) предложена ТУБ схема для решения трехмерных идеальных МГД уравнений в эйлеровой системе координат.

В данной работе предлагается подход, который, в некотором смысле, дополняет и объединяет перечисленные подходы к моделированию многомерных МГД течений, а именно: моделировать течения в произвольной подвижной системе координат.

Обсудим основные достоинства и недостатки перечисленных подходов.

Эйлеров подход. Методы, основанные на этом подходе, позволяют моделировать течения с большими деформациями, это их преимущество. Основной недостаток данных методов - сложности с описанием контактных разрывов, поэтому моделирование течений в реальных устройствах, имеющих достаточно сложную структуру, с использованием таких методов затруднено.

Лагранжев подход. Основное преимущество - простота описания

контактных разрывов. Серьезным недостатком являются значительные трудности, возникающие при попытках моделировать течения с большими деформациями. При моделировании таких течений возникают так называемые "перехлесты" сетки, что приводит к ручному вмешательству в счет, и, как следствие, результаты расчета зависят в значительной мере от искусства специалиста, проводящего расчет.

Эйлерово—лагранжев подход. Попытки преодолеть недостатки лагранжевых методик при сохранении их преимуществ привели к возникновению так называемых "эйлерово- лагранжевых" методов [7],[13],[14], в которых одно семейство координатных линий является лагранжевым, а второе - эйлеровым. При моделировании течений плазмы, в которых контактные границы движутся преимущественно в каком-либо направлении, эти методы очень хорошо себя зарекомендовали. В то же время, когда такого направления движения не существует, эти методы имеют ограниченное применение.

Методы, использующие произвольную подвижную систему координат. Впервые метод такого типа был применен для численного моделирования двумерных газодинамических течений [15]. За прошедшие 25 лет появилось много методов такого типа (например [16], [17],[18], и много других), и они хорошо себя зарекомендовали. В данной работе такой подход применен для решения системы уравнений МГД.

Полномасштабная (трехмерная с учетом теплопроводности и диффузии магнитного поля) система уравнений, описывающая МГД течения, не может быть решена с удовлетворительной точностью на доступных нам современных ЭВМ. Для ее численного решения необходимо использовать

современные суперкомпьютеры. Одномерное же моделирование, которое может производиться на современных персональных компьютерах, не дает ответа на многие вопросы, так как реальные течения практически всегда неодномерны. Следовательно, здесь необходим разумный компромисс между имеющимися потребностями моделирования МГД течений плазмы и доступными нам вычислительными возможностями. Таким компромиссом, по нашему мнению, является представленная в данной работе модель, в которой все величины зависят от двух пространственных переменных, а векторные величины (массовая скорость и магнитное поле) имеют три компоненты.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и двух приложений, в которых изложен вспомогательный материал.

Первая глава посвящена формулированию двумерной МГД модели с учетом трех компонент векторных величин, а также явлений теплопроводности и диффузии магнитного поля. За основу была взята модель, предложенная в работе [19] (ее однотемпературный вариант).

Она была записана в декартовой и цилиндрической системах координат, после этого мы отбросили зависимость от третьей переменной (ъ в плоском случае и с/? в цилиндрическом), а затем перешли к системе уравнений, зависящей от параметра г/, при V = О система совпадает с плоской, а при р = 1 - с цилиндрической. Полученные уравнения были записаны в произвольной подвижной системе координат.

Уравнения для х и у компонент магнитного поля были записаны в форме векторного потенциала: Вх = —х~и • Ву = х~и • Здесь А -г-компонента векторного потенциала.

Полученная система уравнений имеет достаточно сложный вид, и, так как она содержит диффузионные члены, то для ее решения нецелесообразно использовать какую-либо явную разностную схему. Если же использовать для численного решения столь сложной системы уравнений неявную схему, то затраты на решение получающихся систем линейных уравнений будут непомерно велики. Поэтому, был применен хорошо известный метод расщепления по физическим процессам.

Сначала была отщеплена система уравнений диффузионного типа. Эта система уравнений состоит из трех уравнений диффузионного типа: для энергии, г (или </?)■-компоненты поля и г (или 99)-компоненты векторного потенциала. Так как в эту систему уравнений не входят уравнения для координат и массовых скоростей, можно считать, что система координат неподвижна, таким образом, мы получаем обычные квазилинейные уравнения диффузионного типа в произвольной неподвижной системе координат.

Оставшаяся система уравнений представляет собой гиперболическую систему уравнений, описывающую идеальные МГД течения в произвольной подвижной системе координат.

В четвертом разделе первой главы рассматриваются граничные условия для полученных систем уравнений.

Во второй главе на примере одномерных уравнений газовой динамики проведено обобщение метода построения явных ТУБ схем, предложенного в [20], с эйлерового на лагранжев случай.

Эти методы хорошо зарекомендовали себя в последнее десятилетие, прежде всего благодаря тому, что получаемая вязкость является мини-

мальной и, следовательно, разрывы размазываются слабо (сильные разрывы, при применении ТУБ схем повышенного порядка точности, размазываются на 2-3 интервала).

Суть проблемы, возникающей при этом обобщении, состоит в том, что лагранжева система уравнений газовой динамики (а также магнитной газовой динамики), включающая в себя уравнения для координат, является нелинейной, поэтому применить технику вывода разностных схем, предложенную в [20], к этой системе уравнений напрямую весьма затруднительно.

Поэтому, для получения разностной схемы был применен следующий прием: получена замкнутая гиперболическая квазилинейная система уравнений, эквивалентная исходной системе, и для нее выведена разностная схема ТУБ типа. Затем уравнения для координат аппроксимировались таким образом, чтобы полученная ранее разностная схема была эквивалентна разностной схеме для исходной системы уравнений с выведенной аппроксимацией уравнений для координат.

В полученную таким образом разностную аппроксимацию уравнений для координат входят вязкие члены, что является особенностью, принципиально отличающей данную схему от других явных разностных схем для уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах.

Было рассмотрено несколько вариантов разностных схем типа ТУБ: первого порядка, второго порядка, полностью консервативная ТУБ схема. На численных примерах показано качество получаемых решений. Рассмотрен вопрос подавления энтропийных следов в местах распада разрывов. Эти следы возникают в любой лагранжевой разностной схеме как

следствие ошибок аппроксимации энтропии. Данный вопрос изучался в работе [21]. В настоящей работе показано, что, применяя дополнительные вязкие члены (также предложенные в [20]), удается уменьшить эти следы на порядок, не теряя качества описания разрывов.

Третья глава посвящена выводу и обоснованию сходимости ТУБ схем первого порядка аппроксимации для двумерных уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики в лагранжевой системе координат. В основу обобщения одномерных ТУБ схем на двумерный случай положена простая идея, встречающаяся, например, в [22] ив [9]. Она заключается в следующем. Пусть имеется двумерная гиперболическая система уравнений:

дЬ дх ду

Тогда явную разностную ТУБ схему на прямоугольной сетке для нее можно записать в виде:

птп+1 _ ,,,П Т (т?п ттт А Т /р„ рп А

где ^+1/2 ^ и ^+1/2 - одномерные ТУБ потоки в соответствующих направлениях.

Так как в нашем случае подвижной лагранжевой системы координат исходная область отображается на прямоугольник, этот прием здесь применим. Единственная сложность заключается снова в подборе согласованной аппроксимации уравнений для координат.

Получение явной разностной схемы ТУБ типа для уравнений газовой

динамики в лагранжевой системе координат было целью первого раздела третьей главы.

Во втором разделе данной главы приведены некоторые оценки спектрального радиуса произвольной комплекснозначной матрицы. Для получения этих оценок были использованы экстремальные свойства собственных чисел матрицы, изучена соответствующая задача нахождения экстремума и в результате получены искомые оценки.

В третьем разделе, опираясь на результаты предыдущего раздела, с использованием метода Неймана проведено исследование устойчивости явной разностной ТУБ схемы для двумерных уравнений газовой динамики, полученной в первом разделе этой главы.

В четвертом разделе получена явная разностная схема типа ТУБ для двумерных лагранжевых МГД уравнений.

В пятом разделе методом Неймана проведено исследование устойчивости многомерных ТУБ схем для произвольных линейных систем гиперболических уравнений, полученное условие является очень сильным и может быть ослаблено для конкретных систем. Опираясь на результаты этого раздела, нами сделан вывод об устойчивости полученной в четвертом разделе разностной схемы ТУБ для системы уравнений магнитной акустики.

Шестой раздел посвящен получению разностных схем для двумерных систем уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики в произвольной подвижной системе координат. Эти схемы строятся следующим образом. Исходная система уравнений расщепляется на две. Первая система уравнений представляет из себя соответствующую систему

уравнений в лагранжевой системе координат, вторая система уравнений является квазилинейной системой уравнений переноса, скорость переноса равна разности скорости движения системы координат и массовой скорости вещества. Для решения первой системы уравнений применяется ТУБ схема, полученная в предыдущей главе, вторая система уравнений аппроксимируется разностной схемой типа донор-акцептор.

Скорость движения системы координат определяется так же, как в работе [15]. На каждом временном шаге по полученным в результате решения первой системы уравнений координатам выделенных лагранже-вых линий строится новая сетка. Скорость движения соответствующего координатного узла при этом равна просто разности его новых и старых координат, поделенной на шаг по времени.

Первый параграф раздела посвящен описанию применяемых алгоритмов построения сеток. Нами применяется три алгоритма: алгебраический, описанный в работе [23]; локальный; и алгоритм, описанный в работе [24].

Второй параграф посвящен описанию расщепления исходной системы уравнений и разностной схемы, примененной для решения полученной квазилинейной системы уравнений переноса.

В седьмом разделе полученный метод иллюстрируется тестовыми одномерными и двумерными расчетами.

Четвертая глава посвящена выводу и обоснованию сходимости разностной схемы для полученной в первой главе диффузионной системы уравнений. Как уже обсуждалось ранее, эта система уравнений состоит из трех слабо связанных между собой уравнений, каждое из кото-

рых является обычным двумерным уравнением диффузии, отличающимся только коэффициентом диффузии и коэффициентом при производной по времени. Для решения одного уравнения диффузии применяется схема, предложенная Кершоу в работе [25].

В первом разделе этой главы подробно рассматривается вывод разностной схемы для одного уравнения диффузии.

Второй раздел посвящен исследованию ее аппроксимации и устойчивости для случая постоянных коэффициентов.

Во третьем разделе обсуждаются вопросы, связанные с аппроксимацией полной системы трех уравнений.

В четвертом разделе рассматриваемой главы свойства разност