Численное и аналитическое исследование динамики плазмы в сверхсильных магнитных полях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

5 10 9 0,

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РС'ГСР

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТГУДОБОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи ЛОБАНОВ АЛЕКСЕЯ ИВАНОВИЧ■

УДК 519. 7:533. 9

ЧИСЛЕННОЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПЛАЗШ В ОВЕРХСИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ШЛЯХ

01.01. 07-Вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

• МОСКВА - 1990

й министерство высжго и среднего спещ1лльного

образования рстср

московский ордена трудового красного знамени *изико- т ехнический инст итут

На правах рукописи лобанов алексея иванович

уди г, 19. 7: 533. 9

численна i! л11алитиче1'кое исследование динамики плазмы в '•верхсилышх магнитных полях

01. 01. 'У/ Лы'.ичлит^льная математика

•1ЬТ(.|-'>|«.-|<1Т диссертации на соискание ученой степени кандидата фи?.ико-математических наук

мгк:квл -

1990

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте.

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук доцент Косарев Е И.

Официальные оппоненты - доктор фиэико-математических

наук Леванов Е. И. кандидат физико-математических наук Ермолин Е. В.

Ведущая организация - Институт прикладной математики АН

СССР им М. В. Келдыша.

Защита состоится " "_ 1990г.

в " " часов на заседании Специализированного совета К. 063. 91.03 при Московском физико-техническом институте по адресу : г. Долгопрудный Московской обл. . Институтский пер. , 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке М1ТИ. Автореферат разослан "_"__ 1900г.

Ученый секретарь Специализированного Совета К. 063. 91.03, к. ф.-м. н.

Самыловский А. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Задачи движения плазмы в сверхсильных магни>тных полях приобрели актуальность в связи с работами по осуществлению управляемого термоядерного синтеза и по анализу процессов, происходящих в канале рельсотрона. При теоретическом рассмотрении задач управляемого термоядерного синтеза (УТС) возникает необходимость учета большого количества разнородных физически х эффектов: движение плазмы, диффузия магнитного поля за счет конечной электропроводности среды, перераспределение энергии внутри плазменного образования за счет теплопроводности и переноса излучения и т. д.

Систему уравнений динамики плазмы с учетом ряда физических эффектов, как правило, возможно решить только численно. Иногда удается найти аналитические решения такой системы при наличии ряда упроирнцих предполбжений.

Для задач деления плазмы в сверхсильных магнитных полях характерны большие различия в линейных масштабах, быстрые перемещения сгустка плазмы, наличие свободных границ и разрывов решения. Эти обстоятельства предопределяют некоторые преимущества лагранжевых методик. С другой стороны, в областях сильных локальных сдвиговых деформаций могут наблквдаться эффекты типа "перехлеста" лагранжевых ячеек, что влечет за собой необходимость перестройки расчетных сеток и пересчета величин на новую сетку.

Таким образом, актуальными являются задачи разработки высокоэффективных вычислительных методов и разностных схем Для моделирования задач физики плазмы и способов пересчета с йагранжевой расчетной сетки на сетку, имеющую эйлерову структуру. ,

Представляют интерес результаты вычислительных экспериментов в области динамики плазмы в сверхсильных магнитных по-Мк ДЖя детализации физических процессов, так как не все Йеобх'оДЙиие величины могут быть непосредственно зафиксированы й хоД'е фЙзйческого эксперимента. Для качественного описания йвленйй й тестирования сложных программных комплексов могут служить автомодельные решения задачи.

- 4 -

Цглзки работы яилявтся:

- создание и анализ алгоритмов численного решения задач физики плазмы с учетом сильных локальных сдвиговых деформаций; создание комплекса программ для расчета движения плазмы в сверхсильных магнитных полях.

- численное исследование процессов сжатия лайнера магнитным полем, цоиск оптимальных начальных конфигураций лайнера, оцещса влияния неустойчивости на характер сжатия;

- нвдест;венный анализ происходящих процессов, с помощью автомодельных решений.

йэтодзй исследований. Используется математический аппарат теории разностных схем, вариационное исчисление, методы подобия и размерности, методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная кокка на работ Предложен способ расчета уравнений МГД в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных и две модификации метода расчета диффузиии азимутального магнитного поля. Получены данные численных расчетов задач о сжатии профилированного лайнера между коническими электродами и в ци-лищ>чдеской полости.

Нййдены новые автомодельные решения, описывающие динамику слвдид плазменного шнура (г -пинч) и разлета плазмы.

Ц^дадоюская ценность. Разработаны и реализованы на ЭВМ алтордау^ решения задач физики плазмы с помощью предложенных методо® и модификаций расчета. В работе получен ряд практически важных результатов. Проводится изучение влияния неустойчивости на характер сжатия лайнера. На основе расчета двииения лайнера в конической полости делается вывод о возможности организации устойчивого сжатия профилированного лайнера. Применение программы моделирования движения плазмы к задаче о движении плазмы в плоском канале с подвижной стенкой поаволило оценить нагрузки на стенки рельсотрона, что сделало возможным рассчитать динамику напряженного состояния стенки.

Диссертационная работа выполнена в рамках плановой темы НИР кафедры рыадслительной математики МФТИ ( N

ГОС. р«Г. 018770679078).

Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались: на семинарах по численным методам механики сплошных сред под руководством академика О. М. Белоцерковского, на научных семинарах в ИАЭ им. И. а Курчатова, на научных конференциях МФТИ в 1987 и 1989 годах, на конференциях молодых ученых МФТИ в 1986 г. ,. на XIII Всесоюзной конференции молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование задач газодинамики и пути повышения эффективности энергетических установок" в ИТПМ СО АН СССР (Новосибирск, 1987), на Всесоюзных конференциях "Современные вопросы-механики и тех1Г. !и машиностроения" и "Современные пробле-мыфизики и ее приложения", Москва, 1986, 1987, на межвузовской конференции п г. Куйбышеве, 1988, на Всесоюзной школе-се-м^кре молодых ученых и специалистов "Теоретические и прикладные вопросы вычислительной математики и математической физики", Рига, 1985 г. , на Всесоюзных школах-семинарах "Математическое моделирование в естествознании и технологии", Калининград, 1988 г. и Владивосток, 1989 г.

По результатам исследований, включенных в диссертацию, опубликовано 8 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введе-ки я, тр°х глав, заключения и списка литературы, содержащего 106 наименований. Обший объем работы - 165 стр.

- 6 -СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении лается обоснование актуальности, новизны, ценности работы. Описываются цели исследования и структура изложения. Приведен краткий обзор работ по тематике исследования.

Глава 1 посшшени описанию постановки задачи и методов после дония. В параграфо 1 приведена физическая формулировка рассматриваемой задачи. Рассматривается цилиндрически симметричный сгусток плазмы между проводящими стенками, через которые к плазме подводится электрический ток. Ток внешнего источника генерирует в плазме гиэимуталыюе магнитное поле. Под действием пондеромоторных сил плазменный сгусток приходит ' в движение. Под действием полей порядка 10 ' Г плазма приобретает скорость порядка 10? см/с,при этом считается несущественным различи'' в скоростях между электронами и ионами.

Система уравнений МГД в однотемпературном приближении , описывающая динамику сгустка, с учетом диффузии поля за счет конечной электропроводности среды и переноса излучения в диф-Фу:зИ'ЧШ(|М одногругпюпом приближении такова:

Г с!с -+ £с1иПГ- о

^ = ( НЛг?--

гд-у плотность плазмы. V ..-¡»рост!, при;», нин ср.-д!:. I* гидродинамическое давление, II - ioinv.ii напри.*- нн-.ч-ти чч» ни«' гг.

поля, £- удельная внутренняя энергия, с- скорость света в вакууме,электропроводность, £» - поток энергии излучения, Т -температура плазмы,Х- коэффициент теплопроводности,^ постоянная Стефана-Больцмана, 1 - дли на свободного пробега фэто-нов, U- неравновесная.интенсивность излучения.

Последние уравнения систек"! хорошо описывают два предельных случая - лучистой теплопроводности и объемного высвечивания. Граничные условия для такой системы традиционны: условия на границе с вакуумом, условия на жесткой стенке. Кроме того, ставятся условия отсутствия падающего извне излучения: S=cU/2 и связь компоненты

напряженности поля с полным током во внешней цепи I(t): Н=2Г(t)/cR(t) , здесь R(t) - радиус точки правой границы. Система уравнений замыкается уравнениями состояния и выражениями <ï «г d (J>,T) , 9е = ^(рЧ1) J <ô = ( J»,^) зависящими от рассматриваемой модели.

Во втором параграфе дается обшзя характеристика метода расчета. В систему уравнений входят уравнения различного типа, для задачи характерны сильно различающееся линейные масштабы по разным осям, могут встречаться контактные и тангенциальные разрывы, ударные волны.

При развитии неустойчивости в процессе движения в областях сильных локальных сдвиговых деформаций могут наблюдаться известные эффекты типа "перехлеста" ячеек сетки. Из-за большого числа рассматриваемых разнородных эффектов применялся метод расщепления по физическим процессам. На первом этапе решалась система уравнений МВД с учетом вмороженности магнитного поля по явной вариационно-разностной схеме (ЕМ. Голо-визнин, А. А. Самарский, А. П. (Саворский. Об использовании принципа наименьшего действия для построения дискретных математических моделей в магнитной гидродинамике // ДАН СССР -1979 - т. 246 - N5 - С. 1083-1088). На втором этапе решается уравнение диффузии азимутального магнитного поля, учитываются также члени в уравнении анергии, описывающие джоулев нагрев [1]. На третьем этапе по неявной вариационно-разностной схеме решалось уравнение теплопроводности ( А. II Фаворский. Сб ио-польэЬвании вариационных принципов в численном моделировании

// Современные проблемы математической физики и вычислительной математики - М.: Наука, 1982 - С. 312-320), на четвертом этапе велся учет переноса излучения. Для предотвращения перехлеста лагранжевых ячеек в области 'сильной деформации в схему расчета включен этап эйлерово-лагранжевого пересчета.

Вторая часть параграфа посвящена рассмотрению способов реализации граничных условий.

Параграф 3 содержит описание вариационно-разностного алгоритма решения уравнения диффузиии поля в цилиндрических координатах, учитывающего специфику задачи. Исходное уравнение приводится к виду: д 4

V.

где 1?-временной шаг, т. н. "диффузионный поток" магнитного поля, $ - искомое значение ааимуталыюй компоненты вектора напряженности магнитного поля, И - значение азимутальной компоненты вектора напряженности после первого этапа- расчета.

"Диффузионный поток" , удовлетворяющий уравнениям системы (2) на заданном поле Ц , доставляет минимум функционалу (3):

л л и Эл

где $ - область, занятая плазмой. При «£.= 0 интегрирование по границам не произсодится. Первое иа уравнений (2) играет роль связи.

Рассмстривая дискретный аналог функционала ^ и вводя 1 ^ - компоненты потока, направленные вдоль координатных линий локального базиса, получаем систему разностных соотношений, отыскивая минимум

Я?"' " 9 (4)

= о -г——— = О

«о^ху щн-

Для получения замкнутой системы из соотношений (4) необходимо исключить Ру , используя уравнение связи. ^

В работе предложено два способа исключения , сводящихся к решению линейной и нелинейной системы уравнений, соответственно.

Введение диффузионного потока позволяет провести коррекцию температуры для каждой ячейки разностной сетки, связанную с джоулевым нагревом. При этом значение удельной внутренней энергии выражается через значение напряженности магнитного поля и диффузионного потока магнитного поля:

где У> - значение плотности после лагранжева этапа, ■ - масса элементарной ячейки, Г - контур, охватывающий элемен-

В случае неподвижной сетки при </ =1/2 следствием этого соотношения является:

¿[(¿♦^-к? )?А ж - £ ([» ЫГ-§ Ыг)

х 'У у'/ 1 л г ■>

представляющее разностный аналог закона сохранения

где Я - вектор Пойтинга. Таким образом, предложенный способ учета ' джоулева нагрева удовлетворяет условию полной консервативности при ¿=1/2.

Четвертый параграф содержит описание эйлерово-лагранже-юго пересчета. При пересчете учитывается обмен массы, энергии, количества движения по закону

где - скорость движения среды относительно сетки , С/*"^

для учета обмена массы, для учета обмена энергии и

л

'f^f^i- для учета обмена количества движения.

Предлагаемый способ пересчета близок $ (ЕМ. Головизнин, М. А. Рязанов, О. С. Сороковникова. Об одном классе полностью консервативвных разностных схем магнитной гидродинамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных // ЖВМ и МФ -1984. - т. 24. - N4. - С. 620-533) и отличается от него способом учета обмена количеством движения. Для магнитного поля вместо (Б) применяется аппроксимация закона сохранения магнитного потока.

Во второй главе приведены результаты расчетов решения некоторых задач движения плазмы в мегагауссовых магнитных полях.

Ввиду того, что при численном решении задач данной главы основной целью ставилась качественная оценка влияния тех или иных физических эффектов на характер движения плазмы, счет велся на довольно грубых сетках и система (1) замыкалась уравнениями состояния идеальной плазмы.

Параграф 1 содержит результаты моделирования задачи о наносекундном электрическом взрыве тонкой металлической проволоки. Рассматривалось движение столба плазмы под действием синусоидального импульса тока продолжительностью 120 не, а также с импульсом, аппроксимирующим импульс в экспериментальных работах. Рассматривалась система (1) без учета теплопроводности. Начальная плотность плазмы проволочек принималась равной плотности твердой фазы (2.7 г/см для алюминия, 5.6 г/см для вольфрама).. Начальная температура проволочки составляла 0.1 эВ; в области короны, где сосредотачивалось от 2% до 12Х массы проволочки, температура плавно возрастала до 1 эв. Расчеты проводились для алюминиевых проволочек о начальными радиусами 100 и 70 мкм ("толстые") и 20 мкм ("тонкие"), вольфрамовых проволочек 50 мкм ("толстые") и 10 мкм. Свободная граница в начальный момент времени имела синусоидальное возмущение формы с амплитудой 1% от начального радиуса проволочки.

До середины импульса тока (60 не) процесс протекал как одномерный. Из-за перегрева короны к центру шла первая ударная волна, которая достигала оси симметрии.

- 11 -

Затем возникала вторая ударная волна из-за подтормажива-ния короны магнитным полем, взаимодействующая с отраженной первой ударной волной . В случае "толстых" проволочек результирующая волна гасилась волной разрежения, возникавшей из-за быстрого разлета проволочки. Максимальные отличия в распределениях для "толстой" проволочки от тцномерного составляли 7%.

В "тонких" проволочках вторая ударная волна сходилась на ось примерно в середине длительности импульса тока (00 не). При учете неодномерности задачи в расчетах наблюдалось формирование "перетяжки" - сжатой горячей области пблизи оси симметриии - , температура в которой составляла около 600 эВ при температуре в короне около 30 эВ .

Данные расчетов качественно согласуются с результатами экспериментов (Айвазов И. К. и др. Кольцевые обраэоввания в короне проволочки, взорванной током. // Письма в ЖЭТФ. - 1985. -т. 41. -3. -С. 111-114).

Во втором параграфе приводятся результаты расчета задачи о сжатии профилированного по толщине лайнера в конической полости.

В экспериментах по трехмерному сжатий плазмы лайнером между коническими электродами [8] лайнер должен иметь форму сферического пояса и сохранять подобие формы при схлопывании. Такая динамическая характеристика лайнера может быть достигнута за счет неравномерного распределения массы по его длине (координате Т).

Поскольку толщина лайнера намного меньше его радиуса, то в качестве хорошего приближения представляется следующая оценка [8]. Сила, действующая на лайнер со стороны магнитного поля, обратно пропорциональна квадрату расстояния от оси Я : (Если обеспечить ту же зависимость для поверхностной массы', то в нуль-мерном приближении ( лайнер бесконечно тонкий, (6))лайнер всегда будет сохранять сфери ческую форму.

Однако, за счет продольного перетекания вещества баланс быстро нарушается, профиль массового распределения лайнера должен выбираться из двумерного численного эксперимента.

Рассматревалась полная система (1) с учетом электронной теплопроводности. Масса лайнера считалась равной 6. 362-10 *г.

Показано, что электронная теплопроводность не оказывает значительного влияния на интегральные характеристики движения лайнера. Исследовано влияние формы лайнера на характер развития неустойчивости движения.

Путем изменения начального баланса масс подобрана форма лайнера, дли которой схлопывание выглядит наиболее регулярным. Максимальное значение температуры после кумуляции составляло около 100 эВ.

Трет жй параграф содержит описание результатов расчета сжатия однородного лайнера с прогибом в цилиндрической полости. Мл^-са лайнера подбиралась из оценки достижения им центра полости по нуль-мерной модели:

Начальный радиус внутренней границы лайнера йв полагался рлшшм 1 см, высота лайнера «1. - 1-2 см, толщина £ Ю^см, начальная плотность />¥ была оценена О. 009 г/см.

Преследовался характер развития неустойчивости в зависимости от амплитуды и числа периодов начального прогиба лайнера. Получена оценка излучаемой за время процесса энергии - 14. С кДж/см. Показано, что процесс сжатия носит неустойчивый характер и существенным образом зависит от начальной формы лайнера.

В параграфе 4 приведены результаты моделирования движения плазмы в плоском канале с подвижной стенкой. Рассмотрена одномерная модель канала. получены зависимости ускорения поршня от времени и распределения параметров вдоль кушала рельсотрона в одномерном приближении Подробнее в двуме рном случае-исследована начальная стадия движения плазмы до начала развития в канале неустойчивости ре лея- Тейлора.

(6)

Третья глава диссертации посвящена аналитическому решению задач динамики г -пинча постоянной массы с учетом переноса излучения.

В параграфе 1 получено аналитическое решение системы уравнений

г

чп>>. Г-' )

(7)

полученной из (1) в случае цилиндрической симметрии в предположении степенной автомодельности Р- В (7) а распределение массы - -приведенная массовая координата, Л -автомодельный радиус - независимая переменная, автомодельная плотность, £ - давление, - напряженность электрического поля вдоль оси Ъ, Г - температура, Ь - напряженность магнитного поля, ДГ - интенсивность излучения, поток энергии излучения, р - показатель адиабаты. Параметр 4 определяет закон изменения электрического тока во внешней электроцепи: . .

1-1.**

(8)

К , -С, - безразмерные значения магнитной вязкости -величины, обратнсрропорциональной проводимости - и длины свободного пробега излучения. Показано, что решение существует лишь в случае = -2/7.

СхЗщий вид решения при произвольном в случае граничных условий, соответствующих условиям для (1). следующий:

Ф : У* К-ЧНЩ): ^ '

-г - ;

г-. ;

к = г„ . ; с =

где ^ , - функции Бесселя порядка 0 и 1 соответственно, /• » £ " значения функций / и £ на оси симметрии , Д* -автомодельный радиус внешней границы плазменнога столба, функция .6 определяется из численного решения обыкновенного диф-|ФЧРЯнциадьного уравнения

с условиями 6 (О)«О; Для каждого конкретного значе-

ния |радиуса счет ведется итерациями по £.

|В ¡параграфе также приводится обобщение ¡решения (9)-(10) та.одумай систем с тангенциальным разрывом. ^Приведен пример .яиатемы, описывающей динамику лайнера с непроводящим заполнением.

|Во. втором 1пада1трафв исследован случай безударного сжатия с »обострением, .возникающий при замене условия (8) на

А

щщ сед

и связанными с этим изменениями системы (7).

>В атом случае также находится аналитическое решение типе (9)-(,10).

¡Из-за замени на 2^(1 - модифицированная функ-

ция Бесселя ), свойства данных решений сильно отличаются от свойств решения (9)-(10). Также возможно обобщение подученного решения на случай систем с тангенциальными разрывами.

Параграф 3 содержит результаты расчета автомодельных режимов с помощью комплекса программ для решения систем! (1).

Параграф 4 посвящен аналитическому исследовании задач» о сильноточном разряде в плазме без учета переноса излучения. Получено аналитическое решение задачи, при этом распределение частиц вдоль радиуса разряда оказалось близким к распределению Шоттки (Е. П. Велихов и др. Физические явления в газоразрядной плазме /Е. П. Велихов, А. С. Ковалев, А. Т.-Рахимов - М.,Наука, 1986-160с.).

В заключении формулируются основные результаты работы.

Основные результат работы.

1. Предложен и реализован способ расчета уравнений магнитной гидродинамики в СЭЛ-переменных.

2. Предложены две новые модификации метода расчета уравнения диффузии азимутального магнитного поля за счет конечной электропроводности среды и согласованные с ними способы учета джоулева нагрева в случае произвольной криволинейной сетки. Доказана полная консервативность предложенных модификаций метода на неподвижной с-тке.

3. Проведены расчеты движения плазмы при наяосекундном электрическом взрыве тонких проволочек. Иссдодованы процессы сжатия лайнера магнитным полем. На осноеэяил результатов расчетов сделан "вывод о воамояностл организации устойчивого сжатия профилированного лайнера между коническими электродами.

4. Получены новые автомодельные решения задач динамики плазмы с учетом переноса излучения в диффузионном од-ногрупповом приближении. Отмечается качественное соответствие между найденными решениями и результатами вычислительного эксперимента по моделирования сжатия плазменного образования.

• 1 г,

По тем»' диссертации опубликованы следующие работы:

1. В. И. Росарев, А.И.Лобанов. К расчету движения плазмы с учетом диффузии азимутального магнитного поля / Московский физико-технический институт.

М. ,К.85-25с. - Доп. в ВИНИТИ 27.06.85., 4651-85 Деп.

2. В. И. Косарев, Л.И.Лобанов. Расчет МГД-течений с учетом диффузии магнитного поля //Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики. Тезисы докладов X Всесоюзной школы-семинара молодых ученых и специалистов. Рига: Изд-во ЛГУ, 1985г. - с. 172.

П. В. И. Косарев, Л.И.Лобанов. Численное моделирование движения плазмы под ' действием диффундирующего магнитного поля. // Современные вопросы мехаш-ки и технологии машиностроения. Всесоюзная кошК-рс-нция. Москва, 20 22 апреля 1986 г. Тезисы докладов, часть П. М. : ВИНИТИ, 11186 - с. 23

4. ' К И. Косарев, А. И. Лобанов, К. В. Чукбар. Расчет сжатия

тонких проволочек азимутальным магнитным полем. //Современные проблемы физики и сч» приложения. Всесоюзная конференция. Москва, 19-21 апреля 1987 г. Тезисы докладов, часть а М. : ВИНИТИ, 1987 - с. 45

5. А. И Лобанов. О точных решениях уравнений МГД г учетом диффузии поля и переноса излучения. // Математические методы обработки информации и управвлишн. -М. , МФТИ- 1988-с. 132-136.

6. В. И. Косарев, Л.И.Лобанов. К расчету осесимметричного сжатия тонкой металлической оболочки магнитным полем.. // Математическое моделирование в естествознании и технологии. Тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара молодых ученых и специалистов. Светлогорск. 19-28 сентября 1988 г. - Калининград: Изд-во КРУ. Н'с'Я' г., с. 57.

У. В. И. Косарев, А.И.Лобанов. Результаты расчетов сжатия лайнера магнитным полем. // Математическое мод-'лиро-

- 17 -

вание в естествознании и технологии. Тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара. Владивосток, 14-"1 сентября 1989 г. Влади восток: Иэд-во ДВО ЛИ СССР, 1989 г.-с. 37-38.

8. В. И. Косарев, А. И. Лобанов, К В. Чукбар, Ю. И. Ш-л.-тчков . О возможности организации трехмерного сжатия неоднородного лайнера // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез - 1909. - -Уз.-с. 40- 4)1

Подписано в печать 30. 08. Зох_ , Формат бОхЭО'/ца

Бумага писчая N1. Печать офсетная. Усл. печ. л. . Усл.- изд. л. Тираж 100 экз. Заказ N Л/ччц . Бесплатно.

Ротапринт МЭТИ 141700, Моск. обл. , г. Долгопрудный, Институтский пер. , 9