Экранирование кулоновского потенциала сверхсильным магнитным полем и уровни энергии водородоподобных ионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение "Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики" им. А. И. Алиханова

Годунов Сергей Иванович

Экранирование кулоновского потенциала сверхсильным магнитным полем и уровни энергии водородоподобных ионов

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

19 СЕН 2013

Москва 2013 г. 005533225

005533225

УДК 539.184.2; 53.098

Работа выполнена в ФГБУ ТНЦ РФ ИТЭФ", г. Москва.

Научный руководитель: академик РАН, доктор физ.-мат. наук

Лев Борисович Окунь, главный научный сотрудник ФГБУ "ГНЦ РФ ИТЭФ", г. Москва

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук

Владимир Степанович Попов ведущий научный сотрудник ФГБУ ТНЦ РФ ИТЭФ", г. Москва,

доктор физ.-мат. наук

Анатолий Ефимович Шабад,

главный научный сотрудник

ФГБУН "Физический институт

им. П.Н. Лебедева Российской академии наук

ФИАН", г. Москва

Ведущая организация: ФГБУН Институт Ядерных Исследований

Российской академии наук, г. Москва

Защита диссертации состоится 8 октября 2013 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 201.002.01 ФГБУ 'ТНЦ РФ ИТЭФ" в конференц-зале ИТЭФ по адресу: г. Москва, ул. Б. Черемушкинская д. 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ. Также диссертация и автореферат доступны по запросу через электронную почту sgodunov@itep.ru.

Автореферат разослан "5" сентября 2013 г. Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук Васильев В. В.

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертационное исследование посвящено изучению квантовой электродинамики в сверхсильных магнитных полях. В частности, рассматриваются модификация кулоновского потенциала за счет усиления радиационных поправок магнитным полем и поведение уровней энергии атома водорода и водородоподобных ионов в сверхсильиом магнитном поле1.

Впервые экранирование кулоновского потенциала за счет усиления поляризации вакуума в однопетлевом приближении было обнаружено численно (А.Е. Шабад, В.В. Усов, 2007-2008). Позже была получена аналитическая формула для потенциала вдоль направления магнитного поля (М.И. Высоцкий, Б. Маше, 2011).

Интерес к физике сверхсильных магнитных полей во многом связан с тем, что такие поля в принципе могут существовать во Вселенной. Самое сильное достигнутое на Земле магнитное поле составляет 3 • 107 Гаусс, но в астрофизике встречаются намного большие поля. На данный момент установлено, что на поверхности нейтронных звезд (радио- и рентгеновские пульсары) магнитное поле может достигать значений 1013 Гаусс. Существует особый класс нейтронных звезд (магнитары), поле на поверхности которых может быть еще на несколько порядков больше. На данный момент из обнаруженных человеком объектов самым сильным магнитным полем обладает магнитар SGR 1806-20 (Soft Gamma Repeater). Магнитное поле на его поверхности составляет 2 ■ 1015 Гаусс. С теоретической точки зрения поля во внутренней области нейтронных звезд могут быть еще больше.

Если ставить обратную задачу о нахождении напряженности магнитного поля по спектру излучения находящегося в нем вещества, то очень важно хорошо знать поведение уровней атома водорода и более тяжелых атомов и ионов в магнитном поле. Например, обнаруженный эффект замерзания

'Сверхсильными магнитными полями будут называться поля с напряженностью В > 37гm-l/e3 яз 6 • 1016 Гаусс (здесь те и е — масса и заряд электрона). В работе принято h = с = 1, а также используется гауссова система единиц, т.е. постоянная тонкой структуры а = 1/137 = е2.

атомных уровней не позволит таким образом измерить магнитное поле напряженностью В > 6 • 1016 Гаусс. Кроме того (поскольку в таких сильных полях спектр перестает зависеть от магнитного поля) можно сделать предсказание, которое в принципе может быть проверено на практике: если есть область пространства, в которой магнитное поле сильнее чем 6-1016 Гаусс (но при этом не обязательно однородное), то излучение вещества, находящегося в этой области, будет иметь четкие линии, соответствующие замерзшему спектру.

Изучение электродинамики в сверхсильных магнитных полях может быть полезно и в других областях физики. Например, в физике твердого тела рассматриваемые эффекты могут проявляться на существенно меньших полях, поскольку эффективная масса возбуждения в таких системах гораздо меньше (характерная величина поля В ос тп2). В конце 1950-х годов Р.Дж. Эллиотт и Р. Лоудон занялись задачей о спектре атома водорода в полях В ш^е3 « 2 • 109 Гаусс именно с целью изучения поведения экситонов в полупроводниках, помещенных во внешнее магнитное поле.

Результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, могут быть полезны и при изучении других теорий, в которых возникает усиление радиационных поправок магнитным полем. Например, при исследовании свойств КХД в сверхсильных магнитных полях. В 2010 году было высказано предположение, что масса заряженного р-мезона должна уменьшатся с ростом магнитного поля (поскольку р-мезон — векторная частица), и при некоторой величине магнитного поля его масса стала бы нулевой, что привело бы к сверхпроводимости вакуума. Однако, /9-мезон не является элементарной частицей и рассмотрение его как системы, состоящей из кварка и антикварка, с учетом вклада от диаграммы поляризации вакуума в про-пагатор глюона, показывает, что масса р-мезопа не стремится к нулю.

Отметим также, что кроме всех перечисленных выше приложений рассматриваемая задача представляет еще и чисто теоретический интерес.

Задачи диссертационного исследования

Диссертационное исследование нацелено на решение следующих задач: 1) вывод аналитических формул для потенциала точечного заряда в сверх-

сильном магнитном поле с учетом поляризации вакуума в одной петле,

2) вычисление поправок к поляризации вакуума в одной петле в сверхсильном магнитном поле за счет высших порядков теории возмущений,

3) вычисление уровней энергии атома водорода и водородоподобных ионов в сверхсильном магнитном поле с учетом эффекта экранировки, анализ влияния конечного размера ядра,

4) анализ зависимости величины критического заряда ядра от магнитного поля с учетом эффекта экранировки и конечного размера ядра.

Научная новизна и результаты диссертационного исследования

В работе получены следующие новые результаты:

1. Получена аналитическая формула для потенциала в плоскости, поперечной магнитному полю. На малых расстояниях, р < (1 /\/е3В) 1п у/е*В/т2е, как и вдоль магнитного поля, потенциал в поперечной плоскости имеет поведение, характерное для обмена массивной частицей. Но, в отличие от потенциала вдоль магнитного поля, на больших расстояниях потенциал не становится кулоновеким, а остается экранированным. Это приводит к сжатию эквипотенциальных поверхностей в плоскости, поперечной магнитному полю.

2. Произведена оценка двухпетлевых вкладов в поляризационный оператор. Показано, что они не усилены как (е3В)2 и малы по сравнению с однопетлевым выражением. Это находится в соответствии с двумерной безмассовой электродинамикой, в которой только одна петлевая диаграмма отлична от нуля — поляризация вакуума в одной петле. В рассматриваемой задаче электроны не являются безмассовыми, и (несмотря на аналогию) четырехмерная электродинамика в сверхсилыюм магнитном поле не является полностью двумерной теорией. Поэтому поправки за счет высших порядков теории возмущений не равны нулю, но все же пренебрежимо малы.

3. Численно решено уравнение Дирака для водородоподобных ионов с учетом экранировки, и эффект замерзания атомных уровней, обнаруженный ранее для атома водорода, получен в релятивистской области энергий. Вычислены энергии замерзания основного уровня энергии для водородопо-

добных ионов с зарядом Z < 50.

4. Получена зависимость величины критического заряда точечного ядра от магнитного поля: для ядер с зарядом Z > 50 вычислены величины магнитных полей, при которых основной уровень энергии достигает нижнего континуума (е = -те). При этом ионы с Z < 56 становятся критическими при таких сильных магнитных полях, что радиус Ландау становился меньше размера ядра.

5. Получена аналитическая формула для основного уровня энергии атома водорода в сверхсильном магнитном поле с учетом конечного размера ядра. Показано, как неточечность ядра приводит к подъему основного уровня энергии. При этом значение энергии в пределе В —> оо изменяется с £#т = —1.7 keV, полученного в приближении точечного заряда, на

= -0.65 keV.

6. Показано, что учет конечного размера ядра приводит к нетривиальной зависимости критического заряда от магнитного поля: критическими становятся только ядра с Z > 59 и только в конечном диапазоне полей. Ядра с Z > 210 являются критическими независимо от напряженности магнитного поля.

Научная и практическая ценность работы

Полученные теоретические результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении явления экранировки и поведения вещества в сверхсильных магнитных полях. Полученные зависимости энергии атомных уровней и критического заряда от магнитного поля должны быть учтены при построении астрофизических моделей, в которых возникают сверхсильные магнитные поля.

Апробация результатов и публикации

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных конференциях "47th Rencontres de Moriond" (Jla Туиль, Италия, 2012), "Ginzburg Conference on Physics" (Москва, 2012), "QUARKS-2012" (Ярославль, Россия), на научных сессиях-конференциях

секции ядерной физики ОФН РАН в 2011 и 2012 гг., на школах "ITEP Winter School of Physics" в 2012 и 2013 гг. (Отрадное, Россия), "12th International scientific Baikal Summer School on Physics of Elementary Particles and Astrophysics" (Большие Коты, Иркутская область, 2012), а также на семинарах ИТЭФ, ФИАН, ИЯИ.

По теме диссертационного исследования опубликовано три статьи в реферируемых журналах [1-3] и одна статья в трудах конференции [4].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, основной части, содержащей четыре главы, и заключения, а также трех приложений. Общий объем диссертации составляет 97 страниц, включая 20 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 50 ссылок.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, приведены общие характеристики диссертации, дан краткий обзор диссертационной работы.

В первой главе исследуется потенциал точечного заряда с учетом радиационных поправок.

Сначала (раздел 1.1) рассмотрен случай двумерной (D = 2) электродинамики, который во многом похож на четырехмерную теорию в сильном магнитном поле. Приведены формулы для потенциала точечного заряда с учетом вклада от диаграммы поляризации вакуума и показано, что в случае д тпе (д и те — заряд и масса электрона) потенциал на больших расстояниях экранируется.

В разделе 1.2 рассмотрен потенциал точечного заряда в четырехмерном случае. Приведена формула для экранированного потенциала вдоль направления магнитного поля

ф(г) = ±. (i _ + е-Ил/га^А) , (1)

где z — координата вдоль магнитного поля, и выведена формула для потен-

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0-

Рис. 1: Т1 и сумма Т2а и Т2Ь в зависимости от í при В = 104Д> Кривые: сплошная ■ Т1 (однопетлевой вклад), штриховая — сумма Т2а и Т26 (двухпетлевые вклады)

циала в поперечной плоскости в пределе В гпЦе3

Ф(0 ,р) =

(2)

- координата в поперечной плоскости, 1о = 1п ^■ Построена примерная картина эквипотенциальных ли-

где р = л/х2 + у'

= а/55

ний.

Кроме этого в первой главе рассмотрены собственная энергия электрона и поправка к вершинной функции в сверхсильном магнитном поле. Для собственной энергии электрона найдена постоянная поправка к лидирующему логарифму, которая оказывается важной в рассматриваемом диапазоне полей.

Произведена оценка вкладов двухпетлевых поправок в поляризационный оператор, для которого получено следующее выражение (д2 = —4тп — внешний импульс фотона):

2 е3В

=

(Г1 + т2а + Т2Ь),

(3)

где Т1 — однопетлевой вклад, Т2а и Т2Ь — двухпетлевые:

Т1 = l--7^=]n(VT+t + Vt), (4)

уДу/í+t V J

Т2Ь = _(»,„JL) l„!(vT+t + ví). (6)

\7г 2aJ 1 +1 \ '

На рис. 1 изображены T\ T2a и ГГ2Ь при В = 104Во, где = тпЦе.

Вторая глава посвящена обзору имеющихся методов нахождения уровней энергии в сильных магнитных полях. Приведен краткий вывод уравнения Карнакова-Попова (уравнения на четные уровни энергии электрона, находящегося одновременно в кулоновском потенциале и сильном магнитном поле):

ln-|- = A + 21iiA + 2i/>^l-Q +v(l + |m|) + 47 + ln2, (7)

где Ва = тп2ее3, 7 — постоянная Эйлера, тп — проекция орбитального момента электрона на ось z, ф — логарифмическая производная Гамма-функции, а А определяет энергию основного уровня: Е = —(тее4/2)А2.

Показано, как модифицируется уравнение Карнакова-Попова, если учесть экранировку:

\п(Л1р-) = А + 21пА + íl - +47 + ln2 + ^(l + |m|). (8)

В третьей главе рассмотрены уровни энергии в рамках уравнения Дирака. Приведено уравнение Ораевского-Реза-Семикоза на уровни энергии в немодифицировнном потенциале (которое справедливо для В > 4m2J(e(Ze2)2)):

- arctan (J^^) - arg Г(1 + 2iZe2) - 2 + 7) = - + птг ,

где Z — заряд ядра, е — собственное значение энергии, а аргумент Г-функции задается следующей формулой:

ОО /

arg Г(х + гу) = -7у + ^ ( - - arctan -Ы1 :

• («Ч

Для основного уровня при е > 0 нужно подставлять п = 0, в то время как для е < 0 необходимо использовать п = — 1.

. Экранировка изменяет кулоновский потенциал на расстояниях z <1/тпе и не позволяет решить уравнение Дирака аналитически. Для того, чтобы найти энергию основного уровня в полях В < 4ш^/е5, а также учесть экранировку, уравнение Дирака было решено численно. В сверхсильном магнитном поле уравнение Дирака сводится к одному уравнению шредингеровско-го типа на функцию x(z):2

0 + 2me(i?-[/)* = 0 , (11)

Г^ — 77! ^

(12)

2 тпе

u = ^v- —V2 I + mV'? - , (13)

me 2 me 4 me(e + me — V) тпе{е + me — V)2

где V(z) задается уравнением

Используя уравнение (11), была численно проверена малость релятивистских поправок к основному уровню энергии для водорода (хотя энергия связи остается нерелятивистской, возникают сомнения в справедливости применения уравнения Шредингера, поскольку для В > тЦе размер волновой функции в поперечной плоскости становится меньше комптоновской длины волны электрона).

Рассмотрено поведение основного уровня энергии для ионов с 2 = 40 и эффект замерзания атомных уровней получен в релятивистской области энергий.

2Этот прием впервые был использован B.C. Поповым для качественного анализа явления критического заряда.

Рассмотрено влияние экранировки на величину критического заряда в магнитном поле: заряда, при котором основной уровень энергии достигает нижнего континуума, є = — тпе. Без учета экранировки с помощью (9) в предельном случае є —> — те получаем уравнение, определяющее величину магнитного поля, при котором ядро с зарядом 2 становится критическим:

В 2 2 ____( _ 1 тг - 2ащГ(1 + гг^е2)

—(И)

Это уравнение использовано для вычисления величин во втором столбце Таблицы 1.

Таблица 1: Значения В/Во, при которых £о = —тпе согласно уравнению Дирака, и ядра становятся сверхкритическими без (столбцы 2,3) и с (столбец 4) учетом экранировки

2сг Ур. (15) Численные результаты Численные результаты

без экранировки с экранировкой

90 118 116 122

85 157 154 164

80 213 210 229

75 301 297 335

70 444 438 527

65 689 681 923

60 1144 1133 1964

55 2068 2053 6830

54 2357 2340 10172

53 2699 2681 17012

52 3107 3087 35135

51 3594 3572 1.20 ■ 105

50 4181 4157 1.14- 107

45 9826 9787 —

40 28478 28408 —

35 1.12-105 1.12 • 105 —

30 6.99 • 105 6.98 • 105 —

25 9.27- 106 9.27-106 -

Представлены результаты численных расчетов величины магнитного поля, при котором ядра с зарядом Я становятся критическими как с учетом так и без учета экранировки (см. Таблицу 1). Обнаружено, что ионы с зарядом < 50 не становятся критическими из-за экранировки, в то время

как ядрам с Z >ЬЪ требуются более сильные поля для того, чтобы стать критическими.

В четвертой главе произведен учет конечного размера и массы ядра в рассматриваемой задаче.

Рассмотрен потенциал ядра конечного размера с учетом несферичности потенциала точечного заряда (см. формулы (1) и (2)). С учетом всех особенностей потенциал вдоль оси г на расстояниях р < а,ц (а только эта область влияет на движение электрона) был взят в следующем виде:

Г £ Л _ е-гх/6^1 + й(Я)е-/яЛ > г >

Г<Д> (16)

где г = \/р2 + г2, Я — радиус ядра, а /¿(г) — некоторая функция, определяющаяся распределением заряда внутри ядра.

Рассмотрено, как модифицируется уравнения Карнакова-Попова для потенциала (16), и получена следующая аналитическая формула для уровней энергии в атоме водорода:

^ + + ^ +2т + 1п2= (17)

1п ~ Ег (^Ю + аЪфкЩ + МВД ^В? + а2„) ,

где

оо

Ег{х) = I

"«Л

Т '

X

СО / 1Л 71 71

, п • п\

71=1

г, / М е~х Л 1 1-2 1-2-3

вди = —+ + -

В пределе В » 1/ (е3Д2) правая часть уравнения (17) не зависит от /?, и мы находим уравнение, определяющие энергии замерзания атомных уровней с учетом конечного размера ядра:

Аит + 21пА1!т + 2^1-^У + 27 + 21П2 = 1П(-^. (18)

Рис. 2: Зависимость основного уровня энергии от магнитного поля для 2 = 40. Штрих-пунктирная (красная) линия соответствует точечному потенциалу без учета экранировки, штриховая (зеленая) линия — точечному экранированному потенциалу, сплошная (синяя) линия — потенциалу с учетом как экранировки, так и конечного размера ядра Я = Я40 ~ 5.1 фм. Коричневая и фиолетовая линии (тип штрихования указан на рисунке) соответствуют (гипотетическим) большим радиусам ядер, Я = ЗД40 и Я = ЮЯ40

Для основного уровня энергии из (18) получено А1ип = 6.9 вместо значения в случае точечного протона АЦт = 11.2, полученного в Главах 2 и 3. Отметим, что для В > 1/(е3Д2) все использованные приближения имеют очень хорошую точность.

Используя радиус ядра Яг = численно были найдены значе-

ния энергии основного уровня в водородоподобном ионе с зарядом На рис. 2 показана зависимость основного уровня энергии от В для 2 = 40. Наблюдается подъем основного уровня энергии в релятивистской области. Кривые для ядер с зарядом 2 = 40 и радиусами ЗЛ40 и ЮЯ40 построены для проверки того, как энергия зависит от радиуса ядра. Видно, что подъем уровней начинается при В ~ 1 /(ей2) и заканчивается при В ~ 1/(е3Я2).

3В численных расчетах мы использовали Го = 1.1 /т и А = 2.52.

Рис. 3: Зависимость энергии основного уровня от магнитного поля для Z = 40,59,60,90,172. Соответствие между зарядом X и цветом (типом штрихования) показано на рисунке

Предельная энергия не зависит от радиуса ядра.

Получена зависимость энергии основного уровня от магнитного поля для 2 — 40, 59, 60,90,172 (см. рис. 3). Видно, что ионы с ^ < 60 никогда не становятся критическими, в то время как ядро с X = 60 становится критическим только в небольшом диапазоне магнитных полей около В ~ 104Д). Для больших 2 диапазон полей, в котором ионы являются критическими, становится шире. Ионы становятся критическими при В, немного больших чем критические поля для точечного ядра, в то время, как из-за подъема основного уровня энергии для достаточно сильных магнитных полей ионы перестают быть критическими. Даже ионы с зарядом Z = 172 перестают быть критическими для В > 1.6 • 106Д), хотя они являются критическими и при отсутствии магнитного поля. Для того, чтобы оценить значение заряда ядра, при котором "конечная", или "вторая", энергия замерзания достигает нижнего континуума, мы потребовали, чтобы ядро было критическим при В = 108Д), и нашли, что это выполняется для 2 > 210. Это означает, что только ионы с2> 210 остаются критическими независимо от напряженно-

10'

10

в/ва

10"

10

10"

10

w¡thout 5сгеептд, Л=0 with Бсгеептд, Я=о \with эсгеептд, КфО

20

30

40

100

Рис. 4: Значения критических полей, при которых ядра с зарядом 2СГ становятся критическими: а) без экранировки согласно уравнению (15), штрйхпунктирная (красная) линия; б) численные результаты с учетом экранировки для точечного ядра, штриховая (зеленая) линия; в) численные результаты с учетом как экранировки, так и конечного размера ядра, сплошная (синяя) линия

сти магнитного поля.

На рис. 4 показана зависимость критического заряда ядра от магнитного

поля.

Учет движения протона приводит к сдвигу энергий подуровней с проекцией орбитального момента тф 0. Эта сдвижка становится существенной для основного уровня с т = 1 при В > 103Ва-

Конечная масса ядра приводит к ненулевому спин-спиновому взаимодействию между электроном и ядром. В заключении главы 4 представлены

комментарии по этому поводу,

В заключении подведены итоги работы и еще раз кратко сформулированы основные результаты.

v, ->f

Публикации автора по теме диссертации

[1] Godunov S. I., Machet В., Vysotsky М. I. Critical nucleus charge in a superstrong magnetic field: Effect of screening // Phys. Rev. D. 2012. Vol. 85. P. 044058.

[2] Годунов С.И. Двухпетлевые поправки к потенциалу точечного заряда в сверхсильном магнитном поле // Ядерная Физика. 2013. Т. 76. С. 955972.

[3] Godunov S. I., Vysotsky М. I. Dependence of the atomic energy levels on a superstrong magnetic field with account of a finite nucleus radius and mass // Phys. Rev. D. 2013. Vol. 87. P. 124035.

[4] Godunov S. Critical nucleus charge in a superstrong magnetic field: effect of screening // Proceedings of the 47th Rencontres de Moriond. ARISF, 2012. P. 437.

Подписано к печати 28.08.13 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 0,7 Тираж 100 экз. Заказ 587

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25

ФГБУ ГНЦ РФ "Институт Теоретической и Экспериментальной Физики"

04201362122

ГОДУНОВ Сергей Иванович

Экранирование кулоновского потенциала сверхсильным магнитным полем и уровни энергии водородоподобных ионов

на п"~'_ си

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: академик РАН, доктор физико-математических наук Л. Б. Окунь

Москва, 2013

Оглавление

Оглавление 2

Введение 4

1 Потенциал точечного заряда в сверхсильном магнитном поле 8

1.1 Потенциал точечного заряда в двумерном пространстве-времени . . 9

1.1.1 Древесный уровень ................................................9

1.1.2 Поляризация вакуума..............................................10

1.1.3 Собственная энергия электрона, поправка к вершинной функции и более высокие порядки теории возмущений .... 12

1.2 Потенциал точечного заряда в четырехмерном пространстве-времени в сильном магнитном поле......................................13

1.2.1 Древесный уровень ................................................13

1.2.2 Поляризация вакуума..............................................13

1.2.3 Собственная энергия электрона и поправка к вершине .... 19

1.2.4 Высшие петли......................................................29

2 Уровни в потенциале точечного заряда. Нерелятивистский случай 36

2.1 Уровни в точечном кулоновском потенциале во внешнем магнитном поле..........................................................................36

2.1.1 Структура уровней ................................................36

2.1.2 Кулоновский потенциал как мелкая яма........................38

2.1.3 Уравнение Карнакова-Попова....................................40

2.2 Замерзание атомных уровней ............................................43

3 Уровни в потенциале точечного заряда. Релятивистский случай 46

3.1 Структура уровней в релятивистском случае ..........................47

3.2 Уравнение Дирака для (экранированного) кулоновского потенциала 48 3.2.1 Численное решение уравнения Дирака..........................51

3.3 Численные результаты для атома водорода ............................54

3.4 Экранировка и критический заряд ядра................................57

4 Учет конечных размеров и массы ядра 61

4.1 Электрический потенциал ядра конечного размера....................61

4.2 Конечный размер протона и уровни атома водорода..................64

4.3 Критический заряд ядра..................................................70

4.4 Движение протона и уровни энергии атома водорода в сверхсильном магнитном поле ............................................................72

4.5 Спин-спиновое взаимодействие в водороде, тяжелых ионах и позитронии в сильных внешних магнитных полях..........................75

Заключение 77

Благодарности 79

Приложение А 80

Приложение В 83

Приложение С 86

Список иллюстраций 90

Список таблиц 93

Список литературы 94

Введение

Диссертационное исследование посвящено изучению квантовой электродинамики в сверхсильных магнитных полях. В частности, рассматриваются модификация кулоновского потенциала за счет усиления радиационных поправок магнитным полем и поведение уровней энергии атома водорода и водородоподобных ионов в сверхсильном магнитном поле1. Впервые экранирование кулоновского потенциала за счет усиления поляризации вакуума в однопетлевом приближении было численно обнаружено в работах [1, 2]. Позже в работе [3] была получена аналитическая формула для потенциала вдоль направления магнитного поля.

Интерес к физике сверхсильных магнитных полей во многом связан с тем, что такие поля в принципе могут существовать во Вселенной. Самое сильное достигнутое на Земле магнитное поле составляет 3 • 107 Гаусс, но в астрофизике встречаются намного большие поля. На данный момент установлено, что на поверхности нейтронных звезд (радио- и рентгеновские пульсары) магнитное поле может достигать значений 1013 Гаусс. Существует особый класс нейтронных звезд — маг-нитары — поле на поверхности которых может быть еще на несколько порядков больше. На данный момент из обнаруженных человеком объектов самым сильным магнитным полем обладает магнитар SGR 1806-20 (Soft Gamma Repeater) [4]. Магнитное поле на его поверхности составляет 2 • 1015 Гаусс. С теоретической точки зрения поля во внутренней области нейтронных звезд могут быть еще больше [5].

Если ставить обратную задачу о нахождении напряженности магнитного поля по спектру излучения находящегося в нем вещества, то очень важно хорошо знать поведение уровней атома водорода и более тяжелых атомов и ионов в магнитном поле. Например, обнаруженный эффект замерзания атомных уровней не позволит таким образом измерить магнитное поле напряженностью В > 6-1016 Гаусс. Кроме

1 Сверхсильными магнитными полями будут называться поля с напряженностью В > З-л-т^/е3 ~ 6 • 1016 Гаусс (здесь те и е — масса и заряд электрона). В работе принято h = с = 1, а также используется гауссова система единиц, т.е. постоянная тонкой структуры а — 1/137 = е2.

того, поскольку в таких сильных полях спектр перестает зависеть от магнитного поля, можно сделать предсказание, которое в принципе может быть проверено на практике: если есть область пространства, в которой магнитное поле сильнее чем 6 • 1016 Гаусс (но при этом не обязательно однородное), то излучение вещества, находящегося в этой области, будет иметь четкие линии, соответствующие замерзшему спектру.

Изучение электродинамики в сверхсильных магнитных полях может быть полезно и в других областях физики. Например, в физике твердого тела рассматриваемые эффекты могут проявляться на существенно меньших полях, поскольку эффективная масса возбуждения в таких системах гораздо меньше (характерная величина поля В ос т2). В конце 1950-х годов Р.Дж. Эллиотт и Р. Лоудон занялись задачей о спектре атома водорода в полях В т^е3 и 2 • 109 Гаусс именно с целью изучения поведения экситонов в полупроводниках, помещенных во внешнее магнитное поле [6].

Результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, могут быть полезны и при изучении других теорий, в которых возникает усиление радиационных поправок магнитным полем. Например, при исследовании свойств КХД в сверхсильных магнитных полях. В 2010 году было высказано предположение [7], что масса заряженного р-мезона должна уменьшатся с ростом магнитного поля (поскольку р-мезон — векторная частица), и при некоторой величине магнитного поля его масса стала бы нулевой, что привело бы к сверхпроводимости вакуума. Однако, р-мезон не является элементарной частицей, и рассмотрение его как системы, состоящей из кварка и антикварка, с учетом вклада от диаграммы поляризации вакуума в пропагатор глюона, показывает [8], что масса р-мезона не стремится к нулю.

Отметим также, что кроме всех перечисленных выше приложений рассматриваемая задача представляет еще и чисто теоретический интерес.

Диссертационное исследование нацелено на решение следующих конкретных задач:

1. Вывод аналитических формул для потенциала точечного заряда в сверхсильном магнитном поле с учетом поляризации вакуума в одной петле.

2. Вычисление поправок к поляризации вакуума в одной петле в сверхсильном

магнитном поле за счет высших порядков теории возмущений.

3. Вычисление уровней энергии атома водорода и водородоподобных ионов в сверхсильном магнитном поле с учетом эффекта экранировки. Анализ влияния конечного размера ядра.

4. Анализ зависимости величины критического заряда ядра от магнитного поля с учетом эффекта экранировки и конечного размера ядра.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных конференциях "47th Rencontres de Moriond" (JTa Туиль, Италия, 2012), "Ginzburg Conference on Physics" (Москва, 2012), "QUARKS-2012" (Ярославль, Россия), на научных сессиях-конференциях секции ядерной физики ОФН РАН в 2011 и 2012 гг., на школах "ITEP Winter School of Physics" в 2012 и 2013 гг. (Отрадное, Россия), "12th International scientific Baikal Summer School on Physics of Elementary Particles and Astrophysics" (Большие Коты, Иркутская область, 2012), а также на семинарах ИТЭФ, ФИАН, ИЯИ.

По теме диссертационного исследования опубликовано три статьи в реферируемых журналах [9-11] и одна статья в трудах конференции [12].

Диссертация имеет следующую структуру:

В первой главе рассматривается потенциал точечного заряда в сверхсильном магнитном поле с учетом поляризации вакуума в однопетлевом приближении. Приведены аналитические формулы для потенциала вдоль магнитного поля и в плоскости, перпендикулярной направлению поля. Рассмотрены двухпетлевые поправки к поляризационному оператору и показано, что они малы.

Во второй главе рассмотрены уже имеющиеся в литературе [3, 13, 14] методы нахождения уровней энергии в (экранированном) кулоновском потенциале в рамках нерелятивистского подхода.

В третьей главе рассмотрены релятивистские поправки к основному уровню энергии в атоме водорода с учетом экранировки. Численно изучено поведение основного уровня энергии в тяжелых водородоподобных ионах. Рассмотрена зависимость критического заряда ядра от магнитного поля с учетом эффекта экранировки.

В четвертой главе получена аналитическая формула для основного уровня энергии атома водорода с учетом как экранировки, так и конечного размера ядра. Численно рассмотрено поведение основного уровня энергии в тяжелых водородоподобных ионах. Рассмотрено, к какой зависимости критического заряда ядра от

магнитного поля приводит учет конечного размера ядра. В Заключении подводятся итоги проделанной работы.

В Приложениях А и В выведены выражения для собственной энергии электрона и поправки к вершине с учетом вкладов только от основного уровня Ландау. В Приложении С приведен вывод решения одномерного уравнения Дирака для электрона в потенциале 1/|<г|.

Глава 1

Потенциал точечного заряда в сверхсильном магнитном поле

В классической электродинамике электромагнитные поля не взаимодействуют друг с другом и результирующее поле является суперпозицией электрического и магнитного полей. Все меняется, если мы учтем радиационные поправки. Обычно петлевые диаграммы малы (ими, например, обуславливаются лэмбовский сдвиг атомных уровней и аномальный магнитный момент электрона), но внешнее поле, взаимодействуя с виртуальными электронами, может усиливать петлевые вклады.

Как показано в работах [1, 2], сверхсильное магнитное поле (В > гп^/е3 ~ 6 • 1015 Гс) за счет радиационных поправок экранирует кулоновский потенциал, тем самым приводя к изменению его вида на расстояниях I < 1/те (те — масса электрона). Аналитическая формула для экранированного потенциала вдоль магнитного поля была получена в работе [3].

В работах [9, 10] была получена формула для потенциала в плоскости, поперечной магнитному полю, а также проведена оценка вкладов более высоких порядков теории возмущений. В этой главе в деталях рассмотрены оба этих вопроса.

Экранировка возникает в однопетлевом приближении, и основной вклад вносит диаграмма поляризации вакуума. Здесь мы рассматриваем не только эту диаграмму, но и другие однопетлевые вклады в потенциал, а также поправки от более высоких порядков теории возмущений. При этом рассмотрим кроме обычного четырехмерного случая {И = 4) также и двумерную (И = 2) электродинамику, которая по физике во многом похожа на четырехмерный случай в сверхсильном поле (см. [3, 15]), поскольку из-за магнитного поля движение частиц становится

Рис. 1.1: Древесная диаграмма.

существенно двумерным.

1.1 Потенциал точечного заряда в двумерном пространстве-времени

1.1.1 Древесный уровень

На древесном уровне взаимодействие двух зарядов описывается диаграммой, изображенной на рис. 1.1. Чтобы получить выражение для потенциала, мы должны взять переданный импульс к в виде (0, к\\)

•<*.) = %

(1.1)

где д — величина рассматриваемого заряда.

Потенциал в координатном представлении задается фурье-преобразованием:

+оо

Ф(г) = J

^g^ikzdk н

+оо

»".^l = ф(о) + 4тгрНт / kl 2тг v ; ■ е-»о у

-¿fell 2

- 1

dk\\

= Ф(0) + Aug lim £->0

£_>0 J — i£)(k\\ + i£) 27Г

—oo

1 eiktz _ 1

27rzRes — —-7-7--—, ie

(1.2)

2ix (А;ц — ie)(k\\ + ie)

= Ф(0) + 4ng\im 2m-

1 e~" - 1

Ф(0) + 4irg( — z/2) = Ф(0)-2тг gz.

2ir 2ie

Здесь при выборе контура обхода мы предполагали, что г > 0. Обобщение на

Рис. 1.2: Диаграммы, соответствующие учету поляризации вакуума.

отрицательный знак г выглядит так:

ф(2) = ф(о) -2тгд\г\

(1.3)

1.1.2 Поляризация вакуума.

Рассмотрим теперь, какой вклад в потенциал дает поляризация вакуума.

Просуммировав все диаграммы, изображенные на рис. 1.2, получим следующее выражение для фотонного пропагатора (и соответственно потенциала):

Ф(*||) =

4тг д

к2-П^){к2У

(1.4)

где П^ = (д^и — к^к^/к2) П^^) — поляризационный оператор (здесь к2 — — к?,). Для двумерной электродинамики его выражение хорошо известно:

П<м>(*) = 4 д2

1п (уТТь + л/*)

(1.5)

где £ = Щ/Атп2 и заряд д имеет размерность массы, [д\ = т.

Как было показано в работе [15], точность не хуже 10% при £ = к2/Ат2 > 0 обеспечивает следующее приближение:

П<М>(А|) « -4р2

к2

6т2 + кп'

(1.6)

обращающееся в верное равенство при Щ т2 и к?, т\

Тогда выражение для потенциала точечного заряда с учетом поляризации ва-

куума определяется следующим соотношением:

+оо

Ф(г) = Ф(0) + 4тг д

= Ф(0) + = Ф(0) +

лкпг

- 1 <1к\\

47тд

к\ - ЩЩ) 2тг

+ 00

(1.7)

3 т2е + 2д2 4тг д

1 + К

1 + ЭТИ?

з < к1

+

2 д2

кI + 6га2 + 4 д7

_ 1) ^ = ^ > 2тг

+

3-\г\у/Ът2+452 _

2 Зт2еЛ/6т2е + 4д2 V В работе [3] показано, что точность данной формулы не хуже 4% для любых

В пределе д те потенциал (1.7) мало отличается от древесного. А в случае д те потенциал претерпевает сильные изменения:

Ф(г) - Ф(0) =

7г (е- 1) ,

3ш1

' д те

(1.8)

Видно, что в зависимости от расстояния имеется два режима: на малых расстояниях наблюдается поведение, характерное для обмена массивной частицей, а на больших расстояниях потенциал уменьшается по сравнению с древесным в (Зтп2е/2д2) раз.

Несмотря на поведение на малых расстояниях, фотон остался безмассовой частицей, потому что ~ Щ при те 0, благодаря чему в (1.4) в знаменателе можно вынести Щ и получить перенормировку заряда. Поскольку /сц~2П(2с1)(£;2) регулярно в нуле, мы получили на больших расстояниях

3 т2

1 + 1з1

1 ^ 3 ггА

2 д

2 '

(1.9)

о.

В случае безмассовых электронов на всех расстояниях реализуется первый режим. Экспоненциальное затухание потенциала и, как следствие, конечный радиус действия соответствуют наличию массы у фотона. Это объясняется тем, что при те = 0 поляризационный оператор (1.5) не зависит от кц и фотон получает массу т7 = V—П(2а) = 2 д.

д — к

Я

к

Я

Рис. 1.3: Собственная энергия электрона.

1.1.3 Собственная энергия электрона, поправка к вершинной функции и более высокие порядки теории возмущений

Хорошо известно, что в безмассовой двумерной электродинамике (модель Швин-гера) только одна петлевая диаграмма отлична от нуля — поляризация вакуума в одной петле. Причем то, что она не перенормируется высшими петлями, может быть объяснено соответствием поляризации вакуума в И — 2 аномалии в дивергенции аксиального тока:

Поскольку в безмассовом случае существует только одна ненулевая диаграмма, то все остальные, включая поправку к вершинной функции и собственную энергию электрона, должны быть пропорциональны различным положительным степеням те и, соответственно, исчезать в пределе те —> 0.

В качестве примера покажем, чему равна собственная энергия электрона (см. диаграмму на рис. 1.3).

Предположим, что фотон имеет массу /л. Тогда изображенной на рис. 1.3 диаграмме соответствует следующее выражение:

При конечной массе фотона в интеграле (1.11) отсутствует инфракрасная расходимость. Проинтегрировав и положив ¡л = 0, получим

(1.10)

(1.11)

(1.12)

к — д

Рис. 1.4: Поляризация вакуума.

Как и было сказано, те = 0) = 0.

1.2 Потенциал точечного заряда в четырехмерном пространстве-времени в сильном магнитном поле

1.2.1 Древесный уровень

Аналогично разделу 1.1.1 запишем выражение для потенциала в импульсном представлении:

где е — заряд электрона; д = (<?*, ду, <?2), (дц = (0, , <?_). = (<?*, яу)). В дальнейшем мы будем считать, что магнитное поле В направлено вдоль оси

Фурье-преобразование этого выражения дает кулоновский потенциал

1.2.2 Поляризация вакуума

Вычислим вклад в потенциал от поляризации вакуума (см. рис. 1.4) в сверхсильном магнитном поле. Пропагатор для электрона, находящегося на нижнем уровне

47ге

ад = Т

(1.13)

(1.14)

Ландау1, выглядит следующим образом [17-19]:

Со (ж, у) = ехр

-ге / А^г^йщ

(1Ак (2тг)<

е-*(*-у)С0(к),

(1.15)

к»

га;

Фазовый фактор е

калибровочно и трансляционно

-Мх,у) = ехр } Ац(г})<1г1ц

X

неинвариантен, но для вычисления поляризации вакуума это неважно, поскольку <р(х,у) + (р(у,х) — 0. Тогда поляризационный оператор равен:

Ш

Ц1/

А-ка

(14к

Ш4

IV

7м ■ ге

-(к-д)*, /ев(к~Я)\\+те

(.к - д)1 - щ

(1 - ?7172)Х

(1.16)

• -к2 /евЧ + те ■ \

хъ-ге - (1 _ г7 7 )

кг, — т±

В выражении (1.16) интегралы по к± и к\\ независимы, поэтому его можно переписать в виде

= -47га

сРк

±

ехр

(к - д)\ + к\

х

(2тг)2 V еВ

сРЬ ^ ~ II + те)(1 - ¿7172)7^(^11 + те)( 1 - ¿7^2)

(1.17)

х

Заметим:

(2тг)2

({к-д)\-т1){к\-т1)

<Рк±

-^ехР

(к - д)1 + к\

х 1 = — еВехр 8тг

<?1

2 еВ

} (2тг)2 V еВ

(¿у + те){ 1 - ¿7х72) = (1 - ¿7172)(А:ц + те);

27^,(1-17172), /1 = 0, 3;

(1 - ¿7172)7^(1 - ¿7172) =

0,

IX = 1,2;

7м (^11 + ШеЬЛФ - <7)|| + те)ъ12

= 0.

(1.18)

(1.19)

(1.20)

(1.21)

:Как показано в работе [16] при вычислении поляризации вакуума в одной петле для В т\/е основной вклад дает нижний уровень Ландау.

В итоге для поляризационного оператора получаем

=Бехр №) / ^ (м7*^■ ^=0,3; (1'22)

П1/4 = П2м = ПМ1 = = 0, м = 0,1,2,3.

Интеграл в выражении (1-22) соответствует поляризации �