Собственно-энергетические поправки в квантовой электродинамике многозарядных ионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 539.182

ЕРОХИН Владимир Анатольевич

СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПОПРАВКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ МНОГОЗАРЯДНЫХ ИОНОВ

специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена на кафедре квантовой механики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный консультант:

ШАБАЕВ Владимир Моисеевич, доктор физ.-мат. наук, проф.

Официальные оппоненты:

КАРШЕНБОЙМ Савелий Григорьевич, доктор физ.-мат. наук, ПАЛЬЧИКОВ Виталий Геннадьевич, доктор физ.-мат. наук, ШЕРСТЮК Алексей Иванович, доктор физ.-мат. наук, проф.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский институт ядерной физики им. Б. П. Константинова РАН (ПИЯФ РАН).

Защита состоится 2005 года в часов в ауд.

главного здания на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб.,

Отзывы на автореферат просьба присылать по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Ульяновская ул., д. 1, НИИФ СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Д. 7/9.

Автореферат разослан

п

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

А.К. Щекин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации.

Значительный прогресс в области экспериментальной спектроскопии многозарядных ионов, достигнутый за последнее время, выдвинул в число первоочередных задач атомной физики проблему прецизионных расчетов квантовоэлектродинамических (КЭД) поправок к уровням энергии таких систем. В настоящее время точность измерения спектральных характеристик многозарядных ионов настолько высока, что на повестку дня ставится вопрос о проверке квантовой электродинамики во втором порядке по постоянной тонкой структуры а. Важность этой задачи определяется тем, что проверка будет производиться в новой области - области сильного кулоновского поля. С практической точки зрения, кулоновское поле, в котором находится электрон в водородоподобном ионе урана, является одним из наиболее сильных электрических полей, доступных для прецизионного экспериментального изучения в настоящее время. Поэтому проверка предсказаний квантовой электродинамики в таких условиях является особенно важной.

Другие обстоятельства, обуславливающие большой интерес к расчетам КЭД эффектов в атомных системах, связаны с высокой точностью имеющихся экспериментальных результатов и динамикой развития исследований в этой области. На сегодняшний день расчеты КЭД эффектов и сравнение теоретических данных с экспериментальными позволяют получать наиболее точные результаты для ряда фундаментальных и ядерных констант (постоянная тонкой структуры, масса электрона, отношение масс электрона и протона, радиус протона). С другой стороны, знание КЭД эффектов в атомных системах, в совокупности с высокоточными экспериментальными результатами, позволяет осуществлять поиски новой физики вне рамок стандартной модели. Несмотря на то, что характерный уровень энергий в атомных системах на много порядков меньше, чем на современных ускорителях, достижимая экспериментальная и теоретическая точность делает рассматриваемые системы весьма перспективным объектом для таких поисков.

Среди наиболее важных экспериментальных результатов в области спектроскопии тяжелых многозарядных ионов следует отметить измерение энергии 2р^2-25 перехода в литиеподобном ионе урана [1]. В этом эксперименте энергия перехода была найдена с точностью 0.1 эв, что на порядок меньше, чем величина КЭД эффекта второго порядка по а. Эта работа во многом мотивировала начало теоретических расчетов КЭД поправок второго порядка в области сильного внешнего поля. С тех пор прецизионные экспериментальные результаты были получены также для ряда других литиеподобных ионов.

В тяжелых водородоподобных ионах экспериментальная точность оказывается несколько хуже, чем в ионах с несколькими электронами, что объясняется тем, что соответствующие переходы лежат в области жесткого рентгеновского диапазона. Тем не менее, точность измерения лэмбовского сдвига основного состояния в водоро-доподобном ионе урана была увеличена за последнее десятилетие в 10 раз и в настоящее время составляет 13 эв (около 5% от полного КЭД вклада) [2]. В ближайшем будущем планируется увеличение точности до уровня 1 эв, что сделает эксперимент чувствительным к КЭД эффектам второго порядка.

Еще один важный класс экспериментов состоит в определении g-фактора электрона в водородоподобном ионе. Величиной, непосредственно измеряемой в эксперименте, является комбинация (g М/т), где M - масса иона, m - масса электрона и g - 9-фактор электрона. Важность данного эксперимента состоит в том, что он открывает возможности для независимого определения массы электрона. Наиболее точное на настоящий день измерение выполнено для иона углерода [3]. Относительная точность соответствующего результата составляет 5хЮ~10, что в 4 раза лучше, чем точность общепринятого значения массы электрона [4].

Прецизионное экспериментальное изучение осуществляется сегодня также и для сверхтонкой структуры (СТС) уровней тяжелых ионов. Первым высокоточным экспериментальным результатом в этой области явилось измерение длины волны перехода между компонентами СТС основного состояния в водородоподобном ионе висмута 209Bi82+ [5]. Погрешность этого экспериментального результата

на три порядка меньше соответствующего КЭД вклада. К сожалению, непосредственное теоретическое исследование СТС уровней во-дородоподобных ионов затрудняется большим вкладом ядерных эффектов, прежде всего, эффекта распределения магнитного момента по ядру (эффект Бора-Вайскопфа). Достижимая на сегодняшний день точность теоретического описания эффекта Бора-Вайскопфа невелика и находится на уровне полного КЭД вклада. Тем не менее, оказывается возможным ввести [6] специфическую разность интервалов СТС водородо- и литиеподобных ионов, которая может быть теоретически описана с точностью на уровне нескольких процентов от полного КЭД вклада (вследствие сокращения ядерных эффектов). Это открывает перспективы для проверки КЭД эффектов в СТС тяжелых ионов. Подобная проверка представляется особенно важной, так как, вследствие большой сингулярности оператора взаимодействия электрона с магнитным полем ядра (~ 1 /т~2), характерная область взаимодействия оказывается в данном случае гораздо ближе к ядру, чем для лэмбовского сдвига или ^-фактора. Тем самым проверка предсказаний квантовой электродинамики производится в эффективно более сильном поле.

С теоретической точки зрения, ситуация сильного внешнего поля соответствует тому, что разложение по параметру и/с ~ Хсх (21 - заряд ядра), которое является традиционным инструментом исследований КЭД эффектов в слабосвязанных системах, становится неприменимым. В этом случае рассмотрение должно включать взаимодействие электрона с ядром во всех порядках. Это достигается использованием представления Фарри; ядро при этом считается бесконечно тяжелой классической частицей (приближение внешнего поля).

Целью диссертации является исследование собственно-энергетических поправок в первом и втором порядках по постоянной тонкой структуры а и во всех порядках по внешнему полю (параметру 2а) для ионов с одним и несколькими электронами.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Выполнено вычисление полного набора диаграмм двухпетлевой собственной энергии для основного состояния водородоподоб-ных ионов без разложения по параметру 2а.. Получены наиболее точные теоретические значения для лэмбовского сдвига основного состояния водородоподобных ионов с зарядом ядра г >40.

2. Для части двухпетлевой собственной энергии, т.н. поправки пет-ля-за-петлей, выполнен численный и аналитический расчет ведущего логарифмического члена разложения по параметру Za. Продемонстрировано согласие между численным и аналитическим подходами и проанализировано отличие результатов от полученных другими авторами.

3. Произведен прецизионный расчет собственно-энергетической поправки к д-фактору связанного электрона в водородоподобном ионе для случая 1$ и 2э состояний. Получены наиболее точные теоретические значения для ^-фактора водородоподобных ионов.

4. Выполнен расчет двухэлектронной собственно-энергетической поправки к уровням энергии гелиеподобных и литиеподобных ионов во всех порядках по параметру Zol. Получены наиболее точные теоретические значения для уровня энергии основного состояния тяжелых гелиеподобных ионов и для энергии 2рх/2-2в перехода в тяжелых литиеподобных ионах.

5. Произведено вычисление собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению уровней 1« и 2з состояний водородоподобных ионов без разложения по параметру 2а. Продемонстрировано хорошее согласие полученных значений с результатами расчетов, основанных на разложении по параметру Zaí и выделен вклад высших порядков. Получены наиболее точные значения для собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению в водороде и ионе Не+.

Научная новизна проведенных исследований определяется следующими положениями:

1. Вычисление двухпетлевой собственно-энергетической поправки является на сегодняшний день наиболее сложной расчетной задачей в квантовой электродинамике многозарядиых ионов, выполненной во всех порядках по Это определяется тем, что все другие расчеты КЭД поправок второго порядка производились посредством обобщения схем, разработанных для первого порядка, в то время как настоящий расчет не сводится к такому случаю. Впервые вычисление без разложения по .2а выполнялось для диаграмм, содержащих перекрывающиеся расходящиеся подграфы и парциальное разложение по двум независимым параметрам.

2. Вычисление ведущего логарифмического вклада, выполненное для поправки петля-за-петлей, позволило разрешить дискуссию, существовавшую в литературе. Неясность ситуации была обусловлена тем, что значение для коэффициента при ведущем логарифмическом члене разложения по этой поправки оказывалось различным в численном и аналитическом расчетах. Проведенные вычисления восстановили согласие численного и аналитического подходов.

3. Прецизионное вычисление однопетлевой собственно-энергетической поправки к д-фактору связанного электрона в водородо-подобных ионах привело, в совокупности с другими поправками, к существенному увеличению точности теоретических значений для ^-фактора. Сравнение с экспериментальными данными позволило произвести независимое определение массы электрона с точностью, в 4 раза превышающей точность общепринятого значения.

4. Расчет двухэлектронной собственно-энергетической поправки был использован для получения наиболее точных теоретических значений для энергии 2р1/2-2$ перехода в литиеподобных ионах и двухэлектронной части энергии основного состояния ге-лиеподобных ионов. В результате было существенно улучшено согласие с экспериментальными данными. В случае литиепо-добного урана сравнение теоретических расчетов с эксперимен-

тальными данными позволило произвести проверку КЭД эффектов второго порядка на уровне 15%. На сегодняшний день это наиболее точная проверка предсказаний КЭД в области сильного внешнего поля.

5. Произведенное вычисление собственно-энергетической поправки к сверхтонкой структуре водородоподобных ионов было использовано для получения наиболее точных теоретических значений сверхтонких интервалов основного состояния водородоподобных и литиеподобных ионов. Полученные результаты были также использованы для уточнения теоретических значений сверхтонкого расщепления в водороде, дейтерии и ионе Не+.

Научная и практическая ценность проведенных исследований. В диссертации разработан последовательный подход для расчета собственно-энергетических эффектов в спектрах многозарядных ионов без разложения по параметру Za. Были выполнены расчеты собственно-энергетических поправок к лэмбовскому сдвигу, сверхтонкому расщеплению и электронному р-фактору в ионах с одним и несколькими электронами. Полученные результаты использованы для уточнения теоретических значений для уровней энергии и д-факторов в таких системах. В ряде случаев было существенно улучшено согласие теоретических результатов с экспериментальными данными.

Вычисление диаграмм двухпетлевой собственной энергии явилось наиболее сложной расчетной задачей, выполненной в данной области за последнее время. Разработанная схема расчета открывает возможности для вычисления других двухпетлевых КЭД эффектов в атомных системах. Актуальность подобных расчетов определяется тем, что двухпетлевые КЭД поправки определяют теоретическую погрешность в целом ряде важных случаев, в частности, в лэмбов-ском сдвиге в водороде и в электронном ^-факторе в водородоподоб-ном углероде.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на XV конференции по атомной спектроскопии (Москва, 1996), на международных конференциях по высокоэнергетичным атомным столкнове-

ниям (Riezlern, Германия, 1998), по многозарядным ионам (Bernsheirn, Германия, 1999; Caen, Франция 2002), по релятивистским эффектам в физике и химии (Maratea, Италия, 1999), по прецизионной физике простых атомных систем (Castiglione délia Pescaia, Италия, 2000; С. Петербург, 2002), по атомной физике на ускорителях (Ajaccio, Франция, 2000), а также на семинарах Института Тяжелых Ионов (Дармштадт, Германия), Технического Университета Дрездена (Германия), Университета Гиссена (Германия), Университета Варшавы (Польша), СПбГУ и ПИЯФ (Гатчина).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 научных статьях в реферируемых журналах и издаииях.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений. Изложение дается на 164 страницах машинописного текста и содержит 14 рисунков и 20 таблиц. Список литературы включает в себя 223 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы исследования, сформулированы основные задачи диссертации, кратко изложено содержание диссертации по главам, перечислены основные положения, выносимые на защиту. В диссертации используются релятивистские единицы (h = с = 1) и Хэвисайдовы единицы заряда (а = е2/4тг, е < 0).

Первая глава посвящена исследованию собственно-энергетической поправки первого порядка по постоянной тонкой структуры а к уровням энергии водородоподобных ионов. В начале главы дается краткий обзор и сравнительный анализ различных методов, используемых для расчета этой поправки без разложения по параметру Za. Детальное изложение приводится для одного из методов расчета собственно-энергетической поправки, т.н. метода потенциального разложения [7, 8]. Описанный подход является основой для последующего рассмотрения собственно-энергетических эффектов в более высоких порядках теории возмущений.

I

Рис. 1: Представление для однопетлевой собственно-энергетической поправки, в котором выделено два первых члена разложения по степеням взаимодействия с кулоновским полем ядра. Двойная линия соответствует электрону в поле ядра, одинарная линия обозначает свободный электронный пропагатор, пунктирная линия обозначает кулоновское взаимодействие с ядром.

Сдвиг энергии электрона в состоянии а, обусловленный поправкой на собственную энергию в первом порядке по а, дается матричным элементом перенормированного оператора собственной энергии

Д-Езе = (а| 7°£(еа)| о.), (1)

где £(е) = Е(е) — 5т^1\ 5т^ обозначает однопетлевой контрчлен перенормировки массы, а оператор собственной энергии определен выражением

J—ос

(7 есть функция Грина уравнения Дирака С(е) = [е — #(1 — ¿О)]-1, II обозначает Гамильтониан уравнения Дирака с кулоновским потенциалом, есть фотонный пропагатор, ам = (1,с*) - матрицы Дирака, х12 = XI - х2.

В рассматриваемом подходе, ультрафиолетовые (УФ) расходимости в выражении для собственно-энергетического оператора выделяются путем разложения пропагатора связанного электрона в ряд

по степеням взаимодействия с внешним полем

1 1 1 , 1

+ -т-е4с -т-+ • ■ • (3)

ф — — т ф — т ф — т ф — т гдеф = а Ас означает внешний (в нашем случае скалярный) потенциал еАс(х) = (Ус(х), 0). Разложение по степеням внешнего поля для собственно-энергетической поправки графически представлено на Рис. 1. Учитывая, что только первые два члена этого разложения содержат УФ расходимости, можно получить следующее представление для собственно-энергетической поправки:

Д£зе = (а\ 7°40)1 а) + Н7°Е(Я1)| а) + <а| 7°£(2+)| а) , (4)

где верхний индекс обозначает порядок соответствующего члена разложения, а индекс Я указывает на то, что берется только УФ-конеч-пая часть вклада. Первые два члена в правой части этого выражения (называемые далее 0- и 1-потенциальными членами) содержат только свободные электронные пропагаторы и вычисляются в импульсном представлении с помощью стандартной техники свободной квантовой электродинамики. Последний член в формуле (4) (многопотенциальный вклад) содержит связанный электронный пропага-тор, но не содержит УФ расходимостей; поэтому для его вычисления может быть использовано координатное представление.

Далее иллюстрируется выполнение интегрирований по угловым переменным и приведение общих выражений к виду, пригодному для численного расчета. После этого, на примере собственно-энергетической поправки первого порядка обсуждается ряд моментов, которые являются общими для расчета всех собственно-энергетических эффектов, в том числе и в высших порядках теории возмущений. Рассмотрены различные способы выбора контура интегрирования по частоте виртуального фотона в комплексной плоскости. Кратко обсуждены различные подходы к вычислению релятивистской кулоновской функции Грина в расчетах собственно-энергетических поправок. Изложен вариант стандартной схемы перенормировки, в котором энергия рассматриваемого состояния в 1-потенциальном члене заменяется на свободный параметр, который может выбираться исходя из удобства практических вычислений.

В заключении главы приводится сравнительный анализ вычислений собственно-энергетической поправки первого порядка в двух различных калибровках, а также результаты расчетов для высоковозбужденных состояний водородоподобных ионов.

Вторая глава посвящена исследованию собственно-энергетической поправки в присутствии внешнего поля, которое предполагается слабым и учитывается в первом порядке теории возмущений. Предполагается, что внешнее возмущение не обладает сферической симметрией. При наличии симметрии, дополнительный потенциал может быть включен в нулевое приближение и задача сводится к

проблеме расчета собственно-энергетической поправки первого порядка в потенциале, отличном от кулоновского.

Обозначим возмущающее взаимодействие через 5V — ect^A*?1,

г*

где А^ = (Л£х1,Ат) есть векторный потенциал. Общие выражения для собственно-энергетической поправки в присутствии дополнительного взаимодействия 5V могут быть легко получены из формул (1) и (2) как поправки к волновой функции, энергии и электронному пропагатору. Эти три члена называются, соответственно, неприводимимым ("ir"), приводимым ("red") и вершинным ("ver") вкладами и даются (в первом порядке теории возмущений) следующими формулами:

ДЯг = (Ja¡ 7°£(£а)| а) + (а\ 7°ЦО| 5а) , (5)

I а), (6)

A£,ed = Sea (а17° |-ВД ое

A£ver = — Г du Т (nil¿v/ln2) (awa|/(b;)|nta) ver 2п щп2 (еа - ^ ~u£n¡)(ea - и - иenj) 1

где

|Да>_-£.|»)<пЦУ|.)1 (8)

п £а Еп

8еа = (а| 5У\а), 1(и) = а и = 1+ ¿0.

Далее обсуждается перенормировка общих выражений. Неприводимый вклад ЛДг выражается через недиагональные матричные элементы собственно-энергетического оператора, перенормировка которого исследована в предыдущей главе. Для ковариантпого извлечения УФ особенностей в приводимом и вершинном членах, из них выделяются вклады свободных пропагаторов. Соответствующие части называются О-потенциальными, а остатки - многопотенциальными вкладами:

А^ег = + (9)

АДес! = Д£г(е°] + Д£&+), (10)

где верхний индекс обозначает порядок соответствующего вклада по взаимодействию с кулоновским потенциалом ядра. О-потенциальные

вклады содержат только свободные электронные пропагаторы, и поэтому могут вычисляться в импульсном представлении. Демонстрируется выделение УФ особенностей в и Д^ге] и их сокращение в сумме.

Далее исследуются инфракрасные (ИК) расходимости, присутствующие в членах ЛЕЦ^ и ИК расходимости могут возникать, когда энергии промежуточных состояний в спектральном разложении связанных электронных пропагаторов совпадают с энергией начального состояния. (В частности, интеграл пои в формуле (7) является расходящимся при о) —* 0, когда еП1 = е„2 = еа.) ИК расходимости регуляризуются введением массы фотона /л; показывается, что члены, расходящиеся в пределе /х —*■ 0, сокращаются в сумме вершинного и приводимого вкладов.

На этом общий анализ собственно-энергетической поправки в присутствии внешнего поля заканчивается и дальнейшее рассмотрение выполняется для двух частных случаев: а) собственно-энергетической поправки к сверхтонкой структуре (СТС) уровней и б) собственно-энергетической поправки в однородном внешнем магнитном поле.

В разделе 2.1 рассматривается случай собственно-энергетической поправки во внешнем магнитном поле ядра (собственно-энергетическая поправка к СТС уровней). В начале раздела дан краткий обзор существующих расчетов этой поправки без разложения по параметру 2а. Далее иллюстрируется факторизация ядерных переменных в общих выражениях. В параграфе 2.1.1 обсуждается приведение выражений к виду, пригодному для численного расчета. Демонстрируется техника выполнения интегрирований по угловым переменным в импульсном и координатном пространстве.

В параграфе 2.1.2 приводятся результаты численных расчетов собственно-энергетической поправки к СТС и 25 состояний водо-родоподобных ионов и производится сравнение с результатами других расчетов. Численные результаты для собственно-энергетической поправки к СТС пэ состояний представляются в виде

ДЕГ = (11)

П0 7Г

где Ер есть нерелятивистское значение сверхтонкого расщепления

Таблица 1: Собственно-энергетическая поправка к СТС 1а и 25 уровней тяжелых водородонодобных ионов, (г2)1/2 обозначает среднеквадратичный радиус ядра.

Z (г2)'/2 {фм\ D^(Za) £>fE(Za)

5 0.174 028 (20) 0.181 96(10)

10 -0.162 860(20) -0.142 51 (10)

25 -1.196 264(15) -1.162 74(6)

49 4.598 -3.189(6) -3.402(16)

59 4.892 -4.398 (9) -4.967(25)

67 5.190 -5.664(11) -6.732(35)

75 5.351 -7.364(15) -9.287(47)

83 5.533 -9.708(19) -13.082(66)

основного состояния. Численные значения функции с п = 1,2 для некоторых тяжелых ионов представлены в Табл. 1.

Далее результаты, полученные в области малых значений Z, сравниваются с результатами расчетов, использующих разложение по параметру Za. Демонстрируется хорошее согласие результатов, полученных различными методами. С помощью экстраполяции численных данных находится наиболее точное значение для собственно-энергетической поправки к СТС ls и 2s состояний в водороде. В случае иона 3Не+, найденный новый вклад в нормированную разность сверхтонких интервалов (Д21 = 8Д23 — Ах$) составляет 0.394(38) кгц, что может быть сравнено с экспериментальным результатом A2i(3He+) = 1189.979(1) кгц [10, 11]. В конце раздела приводятся полные теоретические значения для сверхтонкого расщепления основного состояния тяжелых водородоподобных ионов и производится сравнение с экспериментальными результатами.

В разделе 2.2 рассматривается собственно-энергетическая поправка в присутствии внешнего однородного магнитного поля (собственно-энергетическая поправка к р-фактору связанного электрона). В начале раздела дан краткий обзор существующих расчетов этой поправки без разложения по параметру Za. Далее приводятся основные формулы для ^-фактора электрона в атоме (при этом предполагается, что спин ядра отсутствует). Отмечается, что стандартная схема вычисления вершинной и приводимой частей соб-

Таблица 2: Собственно-энергетическая поправка к д-фактору 15 и 2з состояний водородоиодобных ионов, умноженная на 10®.

2 . Ду|'Е

2 2 322.904 20 (9) 2 322.840 4 (3)

10 2 325.536 68(10) 2 323.413(2)

20 2 337.808 85 (24) 2 325.674 (5)

40 2 419.437 2(5) 2 338.536(8)

60 2 634.498(3) 2 370.807(9)

80 3 095.320(10) 2 444.765(9)

90 3 486.525 (20) 2 514.064(9)

ственно-энергетической поправки путем выделения вкладов свободных пропагаторов (формулы (9) и (10)) приводит в данном случае к медленно сходящемуся ряду парциальных вкладов, что препятствует достижению необходимой точности в численном расчете. Эта проблема решалась путем выделения дополнительного члена в потенциальном разложении вершинного и приводимого вкладов [9]. В этом случае, формулы (9) и (10) заменяются на

где верхний индекс обозначает порядок соответствующего вклада по кулоновскому взаимодействию. Особенностью выполненных в диссертации вычислений является то, что для однопотенциальных членов (Д£^! и Д^е]) получено замкнутое выражение в импульсном пространстве. Это позволило устранить погрешность из-за обрезания парциального разложения в этих членах и увеличить точность вычислений на порядок. В параграфе 2.2.1 обсуждается приведение общих выражений для собственно-энергетической поправки к виду, пригодному для практических вычислений; основное внимание при этом уделяется вычислению вкладов Д-Е^г и ДЕ^1] в импульсном пространстве.

В параграфе 2.2.2 представлены численные результаты для собственно-энергетической поправки к у-фактору и 25 состояний электрона в водородоподобном ионе и сравнение с результатами других вычислений. В Табл. 2 приводятся численные значения для этой

АЕуег = АЕЩ + АЕ^Г + АЕЦ^ , АЕгЫ = АЕ^ + АЕ^ + АЕ^,

гес! >

(12) (13)

поправки для некоторых ионов. В заключении раздела представлены полные теоретические значения для р-фактора основного состояния водородоподобных иоиов углерода и кислорода и сравнение с последними экспериментальными данными. Демонстрируется, что сравнение теоретических и экспериментальных результатов позволяет произвести независимое определение массы электрона (которая входит параметром в экспериментальное значение). Используя результаты эксперимента для иона углерода [3], получено следующее значение массы электрона (в атомных единицах)

те(12С5+) = 0.000 548579909 3(3). (14)

Этот результат согласуется с общепринятым значением [4]

me(CODATA) = 0.000 548 579 9110(12) (15)

в пределах 1.5 стандартного отклонения, но является в 4 раза более точным. Аналогичное определение массы электрона можно произвести, используя данные недавнего эксперимента для иона кислорода [12j. Результат хорошо согласуется со значением (14), но является несколько менее точным.

Третья глава диссертации посвящена исследованию собственно-энергетической поправки в атомах с несколькими электронами (экранированная собственно-энергетическая поправка). В нулевом приближении электроны предполагаются невзаимодействующими; межэлектронное. взаимодействие учитывается точно в первом порядке по 1 (Z. В начале главы дается краткий обзор существующих экспериментальных результатов, а также теоретических исследований собственно-энергетических эффектов в таких системах. Далее приводятся общие выражения для двухэлектронной собственно-энергетической поправки, полученные с помощью метода двухвременных функций Грина [13, 14). Также как и в случае собственно-энергетической поправки во внешнем поле (формулы (5)-(7)), двухэлек-тронная собственно-энергетическая поправка делится на три части: неприводимую, приводимую и вершинную. Анализируется выделение и сокращение УФ и И К расходимостей в общих выражениях.

Таблица 3: Численные значения экранированной собственно-энергетической поправки для гелиеподобных и литиеподобных ионов, выраженные в единицах функции Полная экранированная собственно-энергетическая поправка

дли основного состояния гелиеподобных ионов дается вкладом ДЕ''; для состояния (1з)2^ литиеподобных ионов - суммой + Дгде V = 25, 2р!/2, 2рз/2 ■

2 (г2)1/2 [фм] С1*

20 3.478 -1.7135(3) -0.5466(2) -0.1163(2) -0.1723(3)

40 4.270 -1.2112(2) -0.3967(2) -0.0959(2) -0.1353(1)

60 4.914 -1.0679(2) -0.3589(2) -0.1149(2) -0.1261(1)

70 5.317 -1.0628(2) -0.3628(2) -0.1372(2) -0.1259(1)

83 5.533 -1.1124(2) -0.3896(2) -0.1855(2) -0.1284(1)

92 5.860 -1.1878(2) -0.4253(2) -0.2402(2) -0.1314(1)

В разделе 3.1 обсуждается приведение общих выражений к виду, пригодному для численного расчета. Демонстрируется техника выполнения интегрирований по угловым переменным в импульсном пространстве. В разделе 3.2 приводятся результаты вычислений экранированной собственно-энергетической поправки для основного состояния гелиеподобных ионов, а также для (1з)225, (15)22р1/2 и (15)22р3/2 состояний литиеподобных ионов. Результаты представлены в виде безразмерной функции С^а), определенной следующим выражением

ДЕ = та2(га)г в{га). (16)

Численные значения функции й^а) для некоторых ионов приведены в Табл. 3. В заключении раздела приводятся компиляции для двухэлектронных вкладов в энергию основного состояния гелиеподобных ионов, а также для всех известных вкладов в энергию 2рх/2-25 перехода в литиеподобных ионах. Производится сравнение с другими теоретическими расчетами и существующими экспериментальными результатами. В случае 2р\/2-2з перехода в литиеподобном уране двухэлектронная собственно-энергетическая поправка составляет 1.524(2) эв. Полное теоретическое значение 280.64(23) эв находится в хорошем согласии с экспериментальными результатами (в частности, 280.59(10) эв [1]); при этом КЭД эффекты второго порядка проверяются на уровне 15%. На сегодняшний день это наиболее

-/S - А /ЯчЧ

а Ь с

Рис. 2: Диаграммы двухпетлевой собственной энергии.

точная проверка предсказаний КЭД в области сильного внешнего поля.

В четвертой главе диссертации производится исследование собственно-энергетической поправки второго порядка по а к уровням энергии водородоподобных ионов (двухпетлевая собственно-энергетическая поправка). Соответствующий набор диаграмм представлен на Рис. 2. В начале главы кратко обсуждаются существующие результаты для этой поправки, полученные в рамках разложения по параметру Za.

Раздел 4.1 посвящен наиболее простой части двухпетлевой собственной энергии, т.н. поправке петля-за-петлей. Эта поправка представляется неприводимой частью диаграммы Рис. 2(а). Под неприводимой частью понимается вклад, в котором энергия промежуточных состояний в спектральном разложении среднего электронного пропагатора отличается от энергии начального состояния; остаток при этом называется приводимой частью. Нетрудно показать, что неприводимая часть диаграммы Рис. 2(а) остается инвариантной при ковариантных калибровочных преобразованиях. Выражение для этой поправки может быть записано как

A£lal = H7°g(ga)|n)(ttl70£(ga)la) (1?)

п еа Еп

В начале раздела дается краткий обзор публикаций по теме и описывается дискуссия, развернувшаяся в литературе по поводу этой поправки. Неясность ситуации была обусловлена тем, что величина коэффициента при ведущем логарифмическом вкладе разложения по Za (при члене ~ a2(Za)6 ln3(Za)~2) оказывалась различной в численном [15] и аналитическом [16, 17J подходах. В параграфе 4.1.1 представлен численный расчет поправки петля-за-петлей в области

малых значений Z. Подгонка численных результатов к известной форме разложения по Zot даст значение коэффициента Ввз = —1.1, что согласуется с численным результатом [15] (—0.9), но отличается от аналитического результата (16, 17] (—8/27 = —0.296...). В параграфе 4.1.2 описывается аналитическое вычисление коэффициента Вез и демонстрируется присутствие дополнительного вклада 563(add) = —2/3, который не был учтен в предыдущих аналитических вычислениях. Найденный дополнительный вклад восстанавливает согласие результатов, полученных аналитическим и численным методами.

Раздел 4.2 посвящен исследованию оставшейся части двухпет-левой собственно-энергетической поправки, называемой нами "компактной "частью. Она состоит из приводимой части диаграммы (а), перекрестной диаграммы (Ь) и вложенной диаграммы (с). Общие выражения для этих вкладов даются, соответственно, следующими формулами:

AEKd = AEse (Û|

|а), (18)

АЕо = 2га J du)i J dxi... dx4 X13)

xV»l(xi)aMG(ee - w,)70A1/(ea - шьеа)^а(х4) - к.ч., (19)

ДЕм = 2га j ^du>\ Jdx.i .. . dx4 ¿^"(ui.xu) V>l(xi)

xa^G(ea - u>i) 7°£(ea - u>i) G(ea - wi) av -фа(х4) - к.ч., (20)

где AEse есть собственно-энергетическая поправка первого порядка, "к.ч."обозначает вклад соответствующего контрчлена перенормировки массы, а вершинный оператор Л„ определен как

Л„(гв - wi, с.) = 2ш7° du>2 D^fa, х24)

J—OO

xapG(ea - u>i -u2)al/G(ea-uj2)aa . (21)

В начале раздела обсуждается перенормировка общих выражений и сокращение ИК расходимостей между различными вкладами. Потом излагается процедура выделения УФ расходимостей в практических вычислениях. На первом шаге вводятся вычитания, составленные из диаграмм, содержащих вместо связанных электронных

пропагаторов свободные, таким образом, чтобы поточечная разность соответствующих вкладов была УФ конечна. (Под поточечной разностью понимается то, что означенное вычитание выполняется до всех интегрирований.) Получившийся вклад называется М-членом. Среди вычтенных диаграмм имеются такие, которые содержат, в дополнение к УФ расходимостям, связанные электронные пропа-гаторы. Для этих диаграмм вводятся дополнительные вычитания, которые уменьшают степень расходимости. Соответствующая разность называется Р-членом. Наконец, сумма всех вычтенных членов называется Р-членом. Он состоит из диаграмм, содержащих только свободные пропагаторы. Подобное разделение компактной части собственно-энергетической поправки на М-, Р- и Р-члены было впервые предложено в работе [18]; там же был представлен численный расчет двух из этих вкладов, М- и Р-членов.

Вычисление М-, Р- и Р-членов изложено в параграфах 4.2.1, 4.2.2 и 4.2.3, соответственно. М-член не содержит УФ расходимо-стей, поэтому он вычисляется в координатном пространстве с использованием аналитического представления для связанных электронных пропагаторов (в виде разложения в ряд по парциальным волнам). Присутствующие в М-члене ИК расходимости выделяются в аналитическом виде с помощью введения малой массы фотона; расходящиеся члены сокращаются в сумме с Р-членом. Для облегчения практических вычислений контура интегрирований по частоте виртуальных фотонов разворачивались в комплексной плоскости параллельно мнимой оси. При этом показано, что подынтегральное выражение допускает аналитическое продолжение в требуемую область комплексной плоскости и предъявлены явные выражения, реализующие такое продолжение. Окончательные выражения для М-члена содержат до шести интегрирований и два бесконечных суммирования по парциальным волнам, что делает соответствующий численный расчет наиболее трудоемкой частью вычисления двух-петлевой собственной энергии. Отличие полученных результатов от приведенных в работе [18] составляет около 40%; при этом основное расхождение происходит от перекрестной диаграммы.

Выражения для Р-члепа содержат как связанные электронные

пропагаторы, так и УФ-расходящиеся подграфы. Вычисление вкладов такого типа до сих не встречалось в литературе; оно потребовало разработки оригинальной схемы для расчета релятивистской кулоновской функции Грина в смешанном координатно-импульсном представлении для широкого диапазона значений углового параметра к и комплексных значений энергетического аргумента. Представленная схема вычисления функции Грина в импульсном и смешанном представлениях основывается на методе конечного базисного набора для уравнения Дирака [19], построенного из В-сплайнов. Решая радиальное уравнение Дирака в координатном пространстве на конечном базисе из В-силайнов, находится набор собственных функций и собственных значений энергии. С их помощью радиальная функция Грина строится сначала в координатном пространстве в виде линейной комбинации кусочных полиномов. Затем выполняется численное преобразование Фурье для каждого из базисных полиномов, что позволяет получить радиальную функцию Грина в импульсном или в смешанном координатно-импульсном пространстве.

Расчет ^члена производился в импульсном пространстве. При этом УФ расходимости регуляризовывались переходом к пространству расширенной размерности И = 4 — 2е. Интегрирования по петлевым импульсам выполнялись аналитически, после чего выполнялось разложение по параметру е. Демонстрировалось сокращение сингулярных членов порядка 1/е2 и 1/е. Конечный при е —» 0 остаток содержал до семи интегрирований, которые выполнялись численно с помощью квадратур Гаусса-Лежандра. Полученные результаты для ^члена находятся в хорошем согласии с приведенными в работе [18].

В разделе 4.3 приводятся численные результаты для полной двухпетлевой собственно-энергетической поправки для основного состояния водородоподобных ионов с зарядом ядра X в диапазоне 40 < 2Г < 100. Результаты представлены в виде безразмерной функции /^(^о;),

Полные значения двухпетлевой собственно-энергетической поправ-

(22)

Таблица 4: Отдельные вклады в двухпетлевуго собственно-энергетическую поправку, выраженные в единицах функции

£ ЬАЬ Р член Р член М член Сумма

40 ■ 0.871 10.50 -11.41(15) -8.27(18) -1.05(23)

50 -0.973 10.03 -5.41(8) -4.99(6) -1,34(10)

60 -1.082 5.72 -2.93(4) -3.342(21) -1.63(4)

70 -1.216 3.497 -1.757(25) -2.412(11) -1.888(27)

83 -1.466 1.938 -1.057(13) -1.764(4) -2.349(14)

92 -1.734 1.276 -0.812(10) -1.513(3) -2.783(10)

100 -2.099 0.825 -0.723(7) -1.384(3) -3.381(8)

ки и отдельные вклады поправки петля-за-петлей (ЬАЬ), М, Р и Р членов приводятся в Табл. 4.

Далее численные результаты, полученные для двухпетлевой собственно-энергетической поправки, сравниваются с известными коэффициентами разложения по Zot. Несмотря на то, что настоящие вычисления выполнены в области достаточно больших значений где применимость разложения по Zol весьма ограничена, сравнение приведенных данных позволяет говорить о разумном согласии результатов, полученных различными методами.

В заключении раздела приведена компиляция всех известных двух-пстлевых КЭД поправок и получены наиболее точные теоретические значения для лэмбовского сдвига основного состояния водоро-доподобных ионов. Демонстрируется, что двухпетлевая собственно-энергетическая поправка вносит наибольший вклад среди всех КЭД эффектов второго порядка по а. Полученные теоретические значения сравниваются с экспериментальными результатами. Хотя точность имеющихся экспериментальных данных не является достаточной для проверки результатов настоящих вычислений, в намеченном эксперименте в С31 (Центр Исследования Тяжелых Ионов, Дарм-штадт, Германия) планируемая точность в случае урана составляет 1 за и является сравнимой с соответствующим вкладом двухпетлевой собственной энергии (-1.6 эв) и полной КЭД поправкой второго порядка (-1.3 эв).

В Заключении ('.формулированы основные результаты диссерта-

ции, выносимые на защиту.

В приложениях собраны необходимые сведения о свободных од-нопетлевых операторах в импульсном пространстве; приведен вывод основных формул, необходимых для выполнения интегрирований по угловым переменным в координатном пространстве; дапы детали вычисления однопотенциального вершинного вклада в СЭ поправку к р-фактору электрона.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Yerokhin V.A., Shabaev V.M. .Accurate calculation of self-energy screening diagrams for high Z helium-like ions. - Phys. Lett. A, 1995, v. 207, p. 274-280; erratum 1996, v. 210, p. 437-437.

2. Ерохин В.А., Шабаев В.M. Вклад диаграмм экранированной собственной энергии в лэмбовский сдвиг основного состояния двухэлектронного многозарядного иона. - Журн. эксперим. и теорет. физ., 1996, т. 110, вып. 1(7), с. 74-94.

3. Shabaev V.M., Yerokhin V.A. Self energy contribution to the ground state hyperfine splitting of Bis2+. - Письма в журн. эксперим. и теорет. физ., 1996, т. 63, вып. 5, с. 309-310.

4. Yerokhin V.A., Shabaev V.M., Artemyev A.N. Self-energy correction to the hyperfine splitting of the Is and 2s states in hydrogenlike ions. - Письма в журн. эксперим. и теорет. физ., 1997, т. 66, вып. 1, с. 19-22.

5. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Shabaev V.M. Two-electron self-energy contribution to the ground-state energy of helium-like ions. - Phys. Lett. A, 1997, v. 234, p. 361-366.

6. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Beier T., Shabaev V.M., Soff G. Direct evaluation of the two-electron self-energy corrections to the ground state energy of lithium-like ions. - J. Phys. B, 1998, v. 31, p. L691-L697.

7. Yerokhin V.A., Shabaev V.M. First-order self-energy correction in hydrogenlike systems. - Phys. Rev. A, 1999, v. 60, n. 2, p. 800-811.

8. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Beier T., Shabaev V.M., Soff G. Calculation of the screened self-energy and vacuum-polarization corrections in high-Z lithium-like ions. - Phys. Scr., 1999, v. T80, p. 495-497.

9. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Beier T., Plunien G., Shabaev V.M., Soff G. Two-electron self-energy corrections to the 2p1/2-2s transition energy in Li-like ions. - Phys. Rev. A, 1999, v. 60, n. 5, p. 3522-3540.

10. Yerokhin V.A. Loop-after-loop contribution to the second-order Lamb shift in hydrogenlike low-Z atoms. - Phys. Rev. A, 2000, v. 62, p. 012508-1-012508-6.

11. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Shabaev V.M., Sysak M.M., Zhe-rebtsov O.M., Soff G. Two-photon exchange corrections to the 2pi/2-2s transition energy in Li-like high-Z ions. — Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, n. 22, p. 4699-4702/

12. Yerokhin V.A. Leading logarithmic contribution to the second-order Lamb shift induced by the loop-after-loop diagram. - Phys. Rev. Lett., 2001, v. 86, n. 10, p. 1990-1993.

13. Yerokhin V.A. Loop-after-loop contribution to the second-order self-energy in hydrogen. - In: Hydrogen atom: Precision Physics of Simple Atomic System, ed. by S. G. Karshenboim et ai, Berlin: Springer, 2001, p. 800-809.

14. Yerokhin V.A., Shabaev V.M. Two-loop self-energy correction in H-like. ions. - Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 062507-1-062507-13.

15. Yerokhin V.A., Shabaev V.M. One-loop self-energy correction to the Is and 2s hyperfine splitting in H-like systems. - Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 0125Ü6-1-012506-6.

16. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Shabaev V.M., Sysak M.M., Zhe-rebtsov O.M., Soff G. Evaluation of the two-photon exchange graphs for the 2pi/2-2s transition in Li-like ions. - Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 032109-1-032109-15.

17. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.M. Self-energy correction to the bound-electron g factor in H-like ions. - Phys. Rev. Lett.., 2002, v. 89, p. 143001-1-143001-4.

18. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.M. One-loop self-energy correction to the bound-electron g factor. - Can. J. Phys., 2002, v. 80, p. 1249-1254.

19. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.M. Two-loop self-energy correction in high-Z hydrogenlike ions. - Phys. Rev. Lett., 2003, v. 91, p. 073001-1-073001-4.

20. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.M. Evaluation of the two-loop self-energy correction to the ground state energy of II-like ions to all orders in Za. - Eur. Phys. J. D, 2003, v. 25, p. 203-238.

21. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.M. Two-loop self-energy contribution to the Lamb shift in H-like ions. - Phys. Rev. A, 2005, v. 71, p. 040101(R)-1 - 040101(R)-4.

22. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Shabaev V.M., Plunien G., Soff G., Screened self-energy correction to the 2p^ß-2s transition energy in Li-like ions. - Оптика и спектроскопия, 2005, т. 99, X« 1, стр. 17-22.

23. Ерохин В.А., Инделикато П., Шабаев В.М., Двухпетлевая собственно-энергетическая поправка в сильном кулоновском поле ядра. - Журн. эксперим. и теорет. физ., 2005, т. 128, Л"' 8, стр. 322-336.

Список литературы

[1] Schweppe J., Belkacem А., Blumenfeld L., Claytor N., Feinberg В., Gould H., Kostroun V.E., Levy L., MisawaS., Mowat J.R., Prior M.H. Measurement of the Lamb shift in lithiumlike uranium (U89+). - Phys. Rev. Lett., 1991, v. 66, n. 11, p. 1434-1437.

[2] Stöhlker Th., Mokier P.H., Bosch F., Dunford R.W., Franzke F., Klepper О., Kozhuharov С., Ludziejewski Т., Nolden F., Reich H.,

Rymuza P., Stachura Z., Steck M., Swiat P., Warczak A. Is Lamb shift in hydrogenlike uranium measured on cooled, decelerated ion beams. -Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, n. 15, p. 3109-3112.

|3| Häffncr H., Beicr T., Hermanspahn N., Kluge H.-J., Quint W., Stahl S., Verdü J., Werth G. High-accuracy measurement of the magnetic moment anomaly of the electron bound in hydrogenlike carbon. - Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, n. 25, p. 5308-5311.

[4] Mohr P.J., Taylor B.N. CODATA recommended values of the fundamental constants: 1998. - Rev. Mod. Phys., 2000, v. 72, n. 2, p. 351-495.

[5] Klaft I., Borneis S., Engel T., Fricke B., Grieser R., Huber G., Kühl T., Marx D., Neumann R., Schroder S., Seelig P., Völker L. Precision laser spectroscopy of the ground state hyperfine splitting of hydrogenlike 209Bi82+. - Phys. Rev. Lett., 1994, v. 73, n. 18, p. 24252427.

|6] Shabaev V.M., Shabaeva M.B., Tupitsyn I.I., Yerokhin V.A. Hyperfine structure of highly charged ions. - Hyperfine Interactions, 1998, v. 114, p. 129-133.

[7] Snyderman N.J. Electron radiative self-energy of highly stripped heavy atoms. - Ann. Phys. (N.Y.), 1991, v. 211, n. 1, p. 43-85.

¡8] Blundell S.A., Snyderman N.J., Basis-set approach to calculating the radiative self-energy in highly ionized ions. - Phys. Rev. A, 1991, v. 44, n. 3, p. R1427-R1430.

[9] Persson H., Salomonson S., Sunnergren P., Lindgren I. Radiative corrections to the electron g-factor in H-like ions. - Phys. Rev. A, 1997, v. 56, n. 4, p. R2499-R2502.

(10] Schiuessler H.A., Fortson E.N., Dehmelt H. G. Hyperfine structure of the ground state of 3 He+ by the ion-storage exchange-collision technique - Phys. Rev., 1969, v. 187, p. 5-38; (E) Phys. Rev. A, 1970, v. 2, p. 1612-1612.

[11] Prior M.H., Wang E.C. Hyperfine structure of the 2s state of*He+. - Phys. Rev. A, 1977, v. 16, n.l, p. 6-18.

[12] Werth G., Beier Th., Djekic S., Kluge H.-J., Quint W., Valenzuela Т., Verdii J., Vogel M. Precision studies in traps: Measurement of fundamental constants and tests of fundamental theories. - Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B, 2003, v. 205, p. 1-8.

[13j Шабаев B.M. Квантовоэлектродинамическая теория возмущений в форме Релея-Шредингера для вычисления уровней энергии атомных систем. - В кн.: Многочастичные эффекты в атомах, под ред. Сафроновой У.И., М.: АН СССР, 1988, с. 15-23.

[I4j Shabaev V.M. Two-time Green's function method in quantum electrodynamics of high-Z few-electron atoms. - Phys. Rep., 2002, v. 356, p. 119-228.

[15] Mallampalli S., Sapirstein J. Perturbed orbital contribution to the two-loop Lamb shift in hydrogen. - Phys. Rev. Lett., 1998, v. 80, n. 24, p. 5297-5300,

[16] Каршенбойм С. Г. Новые логарифмические вклады в мюонии и позитронии. - Журн. эксперим. и теорет. физ., 1993, т. 103, вып. 4, с. 1105-1116.

[17j Eides M.I., Grotch Н., Shelyuto V.A. Theory of light hydrogenlike atoms. - Phys. Rep., 2001, v. 342, p. 63-261.

[18] Mallampalli S., Sapirstein J. Fourth-order self-energy contribution to the Lamb shift. ~ Phys. Rev. A, 1998, v. 57, n. 3, p. 1548-1564.

[19] Johnson W.R., Blundell S.A., Sapirstein J. Finite basis sets for the Dirac equation constructed from В splines. - Phys. Rev. A, 1988, v. 37, n. 2, p. 307-315.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ.

Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 23.08.05 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 244/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.